\( -1 \)

\( =3-8+4 \)
\( =3+4-8 \)
\( =-1 \)

\( 10a^2b \)

\( =\dfrac{2ab^2 \times 5a}{b} \)
\( =10a^2b \)

\( 5\sqrt{6} \)

\( =\dfrac{12 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}}+3\sqrt{6} \)
\( =2\sqrt{6}+3\sqrt{6} \)
\( =5\sqrt{6} \)

\( x=0，-16 \)

\( x(x+16)=0 \)
　　　　 \( x=0，-16 \)

\( x=3 \)

\( y \) が \( x \) に比例するとき，この関係は，\( y=ax \)（\( a \) は定数）の式で表すことができるので，
\( x=-4，y=8 \) を代入すると，
　\( 8=a \times (-4) \)
　\( a=-2 \)

よって，\( y=-2x \) に \( y=-6 \) を代入すると，
　\( -6=-2x \)
　　\( x=3 \)

ア，ウ

「\( y \) は \( x \) の関数である」というのは，
\( x \) の値１つに対して，\( y \) の値が１つに決まるということです。

\( 27 \; g \)

四分位範囲は，【 第３四分位数 \( – \) 第１四分位数 】で求めることができます。

\( 11 \) 個のデータを集計するとき，
第１四分位数は，小さい方から３番目の値，第３四分位数は，小さい方から９番目の値
になるので，今回の問題では，
第１四分位数は \( 112 \; g \)，第３四分位数は \( 139 \; g \)
になります。

よって，四分位範囲は，
　\( 139-112=27 \; (g) \)

\( n=39 \)

\( \dfrac{45^2-n^2}{7} \) が自然数（正の整数）になるとき，\( 45^2-n^2 \) は必ず正の数になるので，
整数 \( n \) の取り得る値の範囲は \( -45<n<45 \) になります。

\( \dfrac{45^2-n^2}{7} \) が自然数になるとき，\( 45^2-n^2 \) は \( 7 \) で割り切れる，
つまり，\( 45^2-n^2 \) の値は \( 7 \) の倍数になります。
\( 45^2-n^2 \) を因数分解すると \( (45+n)(45-n) \) なので，
\( 45+n，45-n \) のどちらか一方または両方が \( 7 \) の倍数であるとき，
\( 45^2-n^2 \) は \( 7 \) の倍数になります。

整数 \( n \) の取り得る値の範囲は \( -45<n<45 \) で，条件を満たす 最大の \( n \) の値 を求めるので，
\( (45+n)(45-n) \) に \( n=44，43，･･･ \) と順番に代入していくと，

　\( n=44 \) のとき，\( (45+44)(45-44)=89 \times 1 \)　　→　どちらも \( 7 \) の倍数でなない
　\( n=43 \) のとき，\( (45+43)(45-43)=88 \times 2 \)　　→　どちらも \( 7 \) の倍数でなない
　\( n=42 \) のとき，\( (45+42)(45-42)=87 \times 3 \)　　→　どちらも \( 7 \) の倍数でなない
　\( n=41 \) のとき，\( (45+41)(45-41)=86 \times 4 \)　　→　どちらも \( 7 \) の倍数でなない
　\( n=40 \) のとき，\( (45+40)(45-40)=85 \times 5 \)　　→　どちらも \( 7 \) の倍数でなない
　\( n=39 \) のとき，\( (45+39)(45-39)=84 \times 6 \)　　→　\( 84 \) が \( 7 \) の倍数

なので，求める \( n \) の値は \( n=39 \) になります。

\( (12+\sqrt{22}) \; cm \)

\( CI \) の長さを求める
\( △CDI \) において，
点 \( I \) は辺 \( AD \) の中点なので，
　\( ID=\dfrac{1}{2}AD=3 \; cm \)
直方体の向かい合う辺の長さは等しいので，
　\( DC=AB=4 \; cm \)
であり，三平方の定理より，
　\( CI^2=DC^2+ID^2=25 \)
　 \( CI=5 \; (cm) \)（ \( CI>0 \) より）

　　

\( IJ \) の長さを求める
点 \( I \) から辺 \( EH \) に垂線をひいた交点を\( K \) とすると，
\( △KEJ \) において，
点 \( K \) は辺 \( EH \) の中点になるので，
　\( EK=\dfrac{1}{2}EH=\dfrac{1}{2}AD=3 \; cm \)
点 \( J \) は辺 \( EF \) の中点なので，
　\( EJ=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{1}{2}AB=2 \; cm \)
三平方の定理より，
　\( KJ^2=EK^2+EJ^2=13 \)
\( KJ^2 \) に値を代入するだけなので，\( KJ \) の長さを求める必要はありません 。

\( △IJK \) において，三平方の定理より，
　\( IJ^2=KJ^2+IK^2=22 \)
　 \( IJ=\sqrt{22} \; (cm) \)（ \( IJ>0 \) より）

　　

\( CJ \) の長さを求める
\( △GJF \) において，
点 \( J \) は辺 \( EF \) の中点なので，
　\( JF=\dfrac{1}{2}EF=\dfrac{1}{2}AB=2 \; cm \)
直方体の向かい合う辺の長さは等しいので，
　\( FG=AD=6 \; cm \)
であり，三平方の定理より，
　\( GJ^2=JF^2+FG^2=40 \)

\( △CJG \) において，三平方の定理より，
　\( CJ^2=CG^2+GJ^2=49 \)
　 \( CJ=7 \; (cm) \)（ \( CJ>0 \) より）

　　

よって，\( △CIJ \) の周の長さは，
　\( CI+IJ+CJ=5+\sqrt{22}+7=12+\sqrt{22} \; (cm) \)

　ア　 ･･･ \( 0.55 \)
　イ　 ･･･ \( 0.52 \)
　ウ　 ･･･ ➀

ある階級の累積相対度数は，
その階級以下のすべての階級の度数の合計 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

　ア　 ･･･ 上野さんの記録の中で，\( 130 \) 秒未満の階級の度数の合計は \( 2+3+6=11 \)（回），
　　　　　　すべての階級の度数の合計は \( 20 \) 回なので，
　　　　　　求める累積相対度数は，\( \dfrac{11}{20}=0.55 \)

　イ　 ･･･ 大西さんの記録の中で，\( 130 \) 秒未満の階級の度数の合計は \( 1+4+8=13 \)（回），
　　　　　　すべての階級の度数の合計は \( 25 \) 回なので，
　　　　　　求める累積相対度数は，\( \dfrac{13}{25}=0.52 \)

今年のイベントで購入された，大人の入場券の枚数を \( x \) 枚，子どもの入場券の枚数を \( y \) 枚とすると，
実際の入場券の売り上げの合計は，
　\( 1000 \times 0.7x+1300 \times 0.3x+500 \times 0.6y+700 \times 0.4y=554100 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( 109x+58y=55410 \) ･･･ ➀
全て前売り券であった場合の入場券の売り上げの合計は，
　\( 1000x+500y=500000 \)
　　　　　\( 2x+y=1000 \) ･･･ ➁
と表すことができる。
➀➁を連立方程式にして解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
109x+58y=55410 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x+y=1000 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁ \( \times 58 \) すると，
　\( 116x+58y=58000 \) ･･･ ➁’
➁ \( – \) ➀すると，
　\( 7x=2590 \)
　 \( x=370 \)
➁に代入すると，
　\( 2 \times 370+y=1000 \)
　　　　　　 \( y=260 \)
　\( x=370，y=260 \) は問題に適している。

よって，今年のイベントで購入された，
大人の入場券の枚数は \( 370 \) 枚
子どもの入場券の枚数は \( 260 \) 枚

\( E(2，-4) \)

点 \( A \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，
\( y \) 座標は，
　\( y=-(-2)^2=-4 \)
点 \( E \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標が \( -4 \) なので，
\( x \) 座標は，
　\( -4=-x^2 \)
　 \( x^2=4 \)
　　\( x=±2 \)
点 \( E \) は点 \( A \) と異なる点なので，
あてはまるのは \( x=2 \) のみです。

よって，点 \( E \) の座標は，\( E(2，-4) \) になります。

【参考】
\( y=ax^2 \) 上の点で \( y \) 座標が等しい異なる２点について，
\( x \) 座標の値は，絶対値が等しく，符号を入れ替えた値になります。
これを知っていれば，点 \( A \) の座標が \( A(-2，-4) \) であることを求めるだけで，
計算しなくても，点 \( E \) の座標が \( E(2，-4) \) になることがわかります。

\( \dfrac{15}{7} \)

\( C(0，1)，F(0，-6) \) より，\( CF \) の長さは \( 1-(-6)=7 \) なので，
\( △CAF \) の面積は
　\( △CAF=7 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=7 \)

四角形 \( CABD \) の面積が \( 25 \) となるとき，四角形 \( CFBD \) の面積は，
　四角形 \( CFBD= \) 四角形 \( CABD-△CAF \)
　　　　　　　　 \( =25-7 \)
　　　　　　　　 \( =18 \)

つまり，四角形 \( CFBD \) の面積が \( 18 \) となるときの
点 \( D \) の \( x \) 座標を求めればいいことになります。

よって，求める点 \( D \) の \( x \) 座標は \( \dfrac{15}{7} \) になります。

よって，点 \( E \) が，点 \( A \) と点 \( D \) を除く \( \stackrel{\huge\frown}{ AD } \) 上のどの位置にあっても，
\( ∠OFB \) の大きさと \( ∠OGC \) の大きさの和は  \( 135° \) である。

\( ∠OFB \) と \( ∠OGC \) が円周角でも中心角でもない中途半端な場所の角であることと，
\( ∠OFB \; (∠a) \) の大きさと \( ∠OGC \; (∠b) \) の大きさの和を求めていること
の２つから，\( ∠a，∠b \) をそれぞれ違う式で置きかえられないか考えます。

まず，点 \( E \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AD } \) 上を動くことから，
円周角を使って解くのではないかという推測ができます。
ここから，点 \( E \) がどこにあっても \( ∠BEC=∠BAC=45° \) になっているので，
\( 135°=45° \times 3 \) であることを考えると，この \( 45° \) という数字は使いたくなってきます。

あとは，\( ∠a \) と \( ∠BEC \)，\( ∠b \) と \( ∠BAC \) がそれぞれ同一直線上に
あることに気付くことができれば，\( ∠a \) が \( △CEF \) の外角，\( ∠b \) が \( △CAG \) の外角
になっていることがわかると思います。

ここまで気づけば，
　\( ∠a=∠ECF+∠FEC，∠b=∠ACG+∠GAC \)
と式で置きかえることができるので，
あとは，これらを整理して文章に書くだけになります。

\( \dfrac{3}{10} \)

【操作Ｐ】を１回だけ行うとき，白色の面が上であるカードが \( 1 \) 枚，黒色の面が上であるカードが \( 4 \) 枚となるのは，\( 4 \) 枚のカードを裏返した時だけなので，あてはまるのは，取り出した \( 2 \) 個の玉に書かれている数のうち，大きい方の数が \( 4 \) になるときです。

取り出した \( 2 \) 個の玉に書かれている数の組み合わせとそれぞれの組み合わせにおける大きい方の数を
樹形図にして書き出すと，
大きい方の数が \( 4 \) になる組み合わせは \( 6 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} \) になります。

\( \dfrac{8}{25} \)

１回目に取り出した玉に書かれている数を \( a \)，２回目に取り出した玉に書かれている数を \( b \)
とすると，白色の面が上であるカードが \( 1 \) 枚，黒色の面が上であるカードが \( 4 \) 枚となる
\( a \) と \( b \) の組み合わせは，
　\( (a，b)=(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(4，2)，(5，1) \)
の \( 8 \) 通りになります。

\( -12 \)

\( 3a+4b \)

\( =2a+5b+a-b \)
\( =3a+4b \)

\( 2\sqrt{2} \)

\( =3\sqrt{2}-\sqrt{2} \)
\( =2\sqrt{2} \)

\( x^2-6xy+9y^2 \)

\( 5a+3b=2000 \)

１本 \( a \) 円のボールペンを \( 5 \) 本買うときに必要な金額は \( 5a \) 円，
１個 \( b \) 円の修正テープを \( 3 \) 個買うときに必要な金額は \( 3b \) 円
と表すことができるので，これらの合計金額は \( 5a+3b \) 円と表すことができます。

この合計金額が \( 2000 \) 円と等しいので，
　\( 5a+3b=2000 \)
になります。

４つの関数 \( y=-x^2，y=-\dfrac{1}{2}x^2，y=\dfrac{1}{4}x^2，y=x^2 \) のうち，
定数が \( 0 \) より小さいのは，\( y=-x^2，y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) の２つであり，
\( y=-x^2 \) の方が定数の絶対値が大きいので，
あてはまるグラフは，開き具合が小さい ウ になります。

\( ∠B=30° \)
\( ∠C=90° \)

三角形の内角の和は \( 180° \)，つまり，\( ∠A+∠B+∠C=180° \) なので，
\( ∠A=60° \) のとき，
　\( ∠A+∠B+∠C=180° \)
　\( 60°+∠B+∠C=180° \)
　　　　\( ∠B+∠C=120° \)
であればどのような組み合わせでもいい（正の値に限る）ことになります。

ア，エ

ア ･･･ 累積相対度数は，その階級以下の階級すべての相対度数の和を表していて，
　　　 すべての階級の度数の合計に対するその階級以下の度数の割合を表しています。
　　　 この問題では，\( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の累積相対度数 \( 0.23 \) が
　　　 クラスの生徒全員の人数に対する，学習時間が \( 60 \) 分未満の生徒数の割合を表しています。
　　　 よって，この割合は２割（\( =0.20 \)）より大きいので，正しい。

イ ･･･ アと同様に考えると，\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級の累積相対度数 \( 0.56 \) は，
　　　 半数（\( =0.50 \)）より大きいので，学習時間が \( \color{blue}{90} \) 分未満の生徒が半数以上いるとわかります。
　　　 よって，学習時間が \( \color{red}{90} \) 分以上の生徒は半数以下なので，正しくありません。

ウ ･･･ 各階級の相対度数を下の表のように \( a～f \) とすると，
　　　 \( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級の累積相対度数は，\( a+b+c+d+e \; (=0,92) \)
　　　 \( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の累積相対度数は，\( a+b+c+d+e+f \; (=1.00) \)
　　　 で表されるので，\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の相対度数（\( f \)）は，
　　　　 \( a+b+c+d+e+f=1.00 \)
　　　　　　　　　　　 \( 0.92+f=1.00 \)
　　　　　　　　　　　　　　　 \( f=1.00-0.92=0,08 \)
　　　 であることがわかります。

　　　 学習時間が最も長い生徒が，\( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級にいるとすると，
　　　 \( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の度数（生徒数）は \( 0 \) になるので，
　　　 相対度数も \( 0 \) になるはずです。
　　　 しかし，\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の相対度数が \( 0 \) ではない，
　　　 つまり，度数も \( 0 \) ではないので，学習時間が\( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の生徒が
　　　 いるということであり，正しくありません。

エ ･･･ ウと同様の考え方で，各階級の相対度数を求めると，
　　　　 \( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.23-0.08=0.15 \)
　　　　 \( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.56-0.23=0.33 \)
　　　　 \( 90 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.74-0.56=0.18 \)
　　　　 \( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.92-0.74=0.18 \)
　　　　 \( 150 \) 分以上 \( 180 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 1.00-0.92=0,08 \)
　　　 であり，相対度数は，
　　　　 【相対度数=その階級の度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計】
　　　 で求められることから，度数が大きいほど相対度数も大きくなるので，
　　　 相対度数が最も大きい \( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級の度数（生徒数）が最も多いので正しい。

２点 \( A，B \) からの距離が等しい点は，すべて２点 \( A，B \) の垂直二等分線上の点になります。
同様に，２点 \( B，C \) からの距離が等しい点は，すべて２点 \( B，C \) の垂直二等分線上の点になります。
つまり，３つの頂点 \( A，B，C \) からの距離が等しい点は，これら２つの垂直二等分線の交点になります。

\( \dfrac{9}{20} \)

Ａ，Ｂそれぞれの袋から取り出したカードの組み合わせを樹形図にして書き出し，
Ａの袋から取り出したカードの数の方が大きくなる組み合わせのところに 〇 をつけます。
すべての組み合わせは２０通り，Ａの袋から取り出したカードの数の方が大きくなる組み合わせは
９通りなので，求める確率は \( \dfrac{9}{20} \) になります。

正方形Ａ ･･･ ウ
正方形Ｂ ･･･ エ

正方形Ａの１辺の長さを長くしていくほど正方形Ｂの１辺の長さは短くなり，
正方形Ａの１辺の長さを短くしていくほど正方形Ｂの１辺の長さは長くなります。

方針 ア を選んだ場合
四隅の正方形Ａの１辺の長さを \( x \; m \) とすると，
正方形Ｂの１辺の長さは \( (12-2x) \; m \) と表すことができるので，
　　　　　\( 4x^2+(12-2x)^2=\dfrac{1}{2} \times 12 \times 12 \)
　\( 4x^2+(4x^2-48x+144)=72 \)
　　　　　　\( 8x^2-48x+72=0 \)
　　　　　　　　\( x^2-6x+9=0 \)
　　　　　　　　　　\( (x-3)^2=0 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( x=3 \)
\( x=3 \) は問題に適している。
よって，四隅の正方形Ａの１辺の長さは \( 3 \; m \)

方針 イ を選んだ場合
正方形Ｂの１辺の長さを \( x \; m \) とすると，
四隅の正方形Ａの１辺の長さは \( \dfrac{12-x}{2} \; m \) と表すことができるので，
　 \( x^2+4 \times \left( \dfrac{12-x}{2} \right)^2=\dfrac{1}{2} \times 12 \times 12 \)
　　　　　\( x^2+(12-x)^2=72 \)
　\( x^2+(x^2-24x+144)=72 \)
　　　　　\( 2x^2-24x+72=0 \)
　　　　　 \( x^2-12x+36=0 \)
　　　　　　　　 \( (x-6)^2=0 \)
　　　　　　　　　　　　\( x=6 \)
\( x=6 \) は問題に適している。
よって，正方形Ｂの１辺の長さは \( 6 \; m \)

　ア　 ･･･ \( CD \)
　イ　 ･･･ 円周角の大きさは等しい

　ウ　 ･･･ \( ACF \)
　エ　 ･･･ \( BCE \)
　オ　 ･･･ 合同

\( a=\dfrac{10}{3} \)

図Ⅰから，並盛りは麺の重さ \( 240 \; g \) で値段 \( 800 \) 円なので，
\( x=240，y=800 \) を \( y=ax \) に代入すると，
　\( 800=a \times 240 \)
　　\( a=\dfrac{800}{240}=\dfrac{10}{3} \)

\( 288 \; g \)

➀より，関係を表す式は \( y=\dfrac{10}{3}x \) なので，
値段が \( 960 \) 円（\( y=960 \)）のときの麺の重さは，
　\( 960=\dfrac{10}{3}x \)
　　\( x=288 \; (g) \)

\( a=2 \)
\( b=320 \)

図Ⅱから，並盛りは麺の重さ \( 240 \; g \) で値段 \( 800 \) 円 なので，
\( x=240，y=800 \) を \( y=ax+b \) に代入すると，
　\( 800=a \times 240+b \)
　\( 240a+b=800 \)

大盛りは麺の重さ \( 320 \; g \) で値段 \( 960 \) 円なので，
\( x=320，y=960 \) を \( y=ax+b \) に代入すると，
　\( 960=a \times 320+b \)
　\( 320a+b=960 \)

これら２つの式を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
240a+b=800 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
320a+b=960 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁ \( – \) ➀
　\( 80a=160 \)
　　 \( a=2 \)
➀に代入すると，
　\( 240 \times 2+b=800 \)
　　　\( 480+b=800 \)
　　　　　　 \( b=320 \)

\( 660 \) 円

➀より，関係を表す式は \( y=2x+320 \) なので，
麺の重さを \( 170 \; g \) にしたときのつけ麺の値段は，
　\( y=2 \times 170+320 \)
　　\( =340+320 \)
　　\( =660 \)（円）

\( 10\sqrt{2} \; m \)

このとき，四角形 \( ABFE \) は右の図のようにかけます。

\( 60 \; m \)

\( -6 \)

\( \dfrac{2}{3} \)

\( =\dfrac{7}{3}+2 \times \left( -\dfrac{5}{6} \right) \)
\( =\dfrac{7}{3}+ \left( -\dfrac{5}{3} \right) \)
\( =\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{3} \)
\( =\dfrac{2}{3} \)

\( 4a+3b \)

\( =6a-2b-2a+5b \)
\( =4a+3b \)

\( 2\sqrt{2} \)

\( =5\sqrt{2}-\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =5\sqrt{2}-3\sqrt{2} \)
\( =2\sqrt{2} \)

\( 2a^2-8a+7 \)

\( =(a^2-9)+(a^2-8a+16) \)
\( =2a^2-8a+7 \)

\( x=1，-6 \)

\( (x-1)(x+6)=0 \)
　　　　　　　\( x=1，-6 \)

ウ，オ

無理数とは，\( \dfrac{整数}{整数} \) の形の分数で表せないものまたは小数で表したときに同じ数の並びを繰り返さない
（循環小数ではない）もののことです。

ア，イ，エは，\( \dfrac{整数}{整数} \) の形の分数で表すことができるので無理数ではありません。

　ア　\( -0.2=-\dfrac{2}{10}=-\dfrac{1}{5} \)
　イ　\( \dfrac{1}{3} \)
　エ　\( -\sqrt{16}=-4=-\dfrac{4}{1} \)

\( y=-9 \)

\( y \) が \( x \) に比例するとき，\( y=ax \)（ \( a \) は定数）の形の式で表すことができます。

\( y=ax \) に \( x=4，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=4a \)
　\( a=\dfrac{3}{2} \)
なので，この関係を表す式は \( y=\dfrac{3}{2}x \) になります。

ここに \( x=-6 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times (-6)=-9 \)

垂直二等分線

手順のとおりに作図すると，下の図のようになり，
２つの円の半径が等しいことから，四角形 \( ADBC \) はひし形になります。

ひし形の対角線はそれぞれの中点で垂直に交わるので，
直線 \( CD \) は，線分 \( AB \) の垂直二等分線になっています。

およそ \( 720 \) 人

標本調査では，
母集団に含まれる調査対象の割合（比率）と標本に含まれる調査対象の割合（比率）は等しい
と考えることができます。

求める１５歳以上２０歳未満の人数を \( x \) 人とすると，
母集団（\( 2500 \) 人）に含まれる１５歳以上２０歳未満の人数（\( x \) 人）の割合と
標本（\( 125 \) 人）に含まれる１５歳以上２０歳未満の人数（\( 36 \) 人）の割合は等しいので，
　\( 2500：x=125：36 \)
　　 \( 125x=2500 \times 36 \)
　　　　 \( x=20 \times 36=720 \)（人）

\( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=12400 \\
3x+y=12300 \\
\end{array} \right.  \)

おとな \( 1 \) 人の入園料･･･ \( 3500 \) 円
中学生 \( 1 \) 人の入園料･･･ \( 1800 \) 円

おとな \( 3 \) 人と中学生 \( 1 \) 人の入園料
おとな \( 2 \) 人の入園料は \( 2x \) 円，中学生 \( 3 \) 人の入園料は \( 3y \) 円
と表すことができ，これらの合計が \( 12400 \) 円なので，
　\( 2x+3y=12400 \) ･･･ ➀

おとな \( 2 \) 人と中学生 \( 3 \) 人の入園料
おとな \( 3 \) 人の入園料は \( 3x \) 円，中学生 \( 1 \) 人の入園料は \( y \) 円
と表すことができ，これらの合計が \( 12300 \) 円なので，
　\( 3x+y=12300 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=12400 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x+y=12300 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁ \( \times 3 \) すると，
　\( 9x+3y=36900 \) ･･･ ➁’
➁’ \( – \) ➀すると，
　\( 7x=24500 \)
　 \( x=3500 \)（円）
➁に代入すると，
　\( 3 \times 3500+y=12300 \)
　　 \( 10500+y=12300 \)
　　　　　　　\( y=1800 \)（円）

　ア　 ･･･ \( 2n+2 \)
　イ　 ･･･ \( 2n+4 \)
　ウ　 ･･･ \( 2n+6 \)

整数は， 偶数，奇数，偶数，奇数 ･･･ と，偶数と奇数が順番に繰り返しているので，
偶数だけを考えると，\( 2，4，6，8，･･･ \) と \( 2 \) ずつ増えていきます。

よって， 最も小さい偶数を \( 2n \) とすると，連続する４つの偶数は，
小さい順に \( 2n \)，\( 2n+2 \)，\( 2n+4 \)，\( 2n+6 \) と表されます。

連続する４つの奇数のうち，最も小さい奇数を \( 2n+1 \) とすると，連続する４つの奇数は，
小さい順に \( 2n+1 \)，\( 2n+3 \)，\( 2n+5 \)，\( 2n+7 \) と表される。
このとき，４つの奇数の和は，
　\( (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16=8(n+2) \)
と表すことができる。
\( n \) が整数であるとき，\( n+2 \) も整数なので，
\( 8(n+2) \) は \( 8 \) の倍数である。
したがって，連続する４つの奇数の和は \( 8 \) の倍数になる。

\( 72\pi{} \; cm^2 \)

できた立体は，半径が \( 6 \; cm \) の球を \( \dfrac{1}{4} \) だけ切り取ったもので，
曲面１つと半円状の平面２つからできています。

曲面部分の面積
半径が \( 6 \; cm \) の球の表面積の \( \dfrac{1}{4} \) なので，
　\( 4\pi{} \times 6^2 \times \dfrac{1}{4}=36\pi{} \; (cm^2) \)

平面部分の面積
半径が \( 6 \; cm \) の円を半分にした平面が２つあるということは，
２つ合わせると半径が \( 6 \; cm \) の円になるので，
　\( \pi{} \times 6^2=36\pi{} \; (cm^2) \)

よって，求める立体の表面積は，
　\( 36\pi{}+36\pi{}=72\pi{} \; (cm^2) \)

\( \dfrac{5}{12} \)

（Ⅰ） ･･･ イ
（Ⅱ） ･･･ ア
（Ⅲ） ･･･ ウ

（Ⅰ） ･･･ 第３分位数は，箱の右端の部分の値なので，Ａ農園の第３四分位数は \( 90 \; g \) であり，
　　　　　 正しくありません。

（Ⅱ） ･･･ データの範囲は，【 最大値 \( – \) 最小値 】で求めることができます。
　　　　　　 Ａ農園の範囲は，\( 100-60=40 \; (g) \)
　　　　　　 Ｂ農園の範囲は，\( 95-50=45 \; (g) \)
　　　　　 であり，Ｂ農園の方が大きいので正しい。

（Ⅲ） ･･･ Ｂ農園ではみかんを \( 200 \) 個収穫したので，
　　　　　 第一四分位数（\( 55 \; g \)）は，小さい方から \( 50 \) 番目と \( 51 \) 番目の重さの平均値
　　　　　 中央値（\( 63 \; g \) ）は，小さい方から \( 100 \) 番目と \( 101 \) 番目の重さの平均値
　　　　　 になっています。
　　　　　 ここから，
　　　　　 小さい方から \( 51 \) 番目の重さは \( 55 \; g \) 以上，\( 100 \) 番目の重さは \( 63 \; g \) 以下
　　　　　 であることがわかります。
　　　　　 ただし，\( 51～100 \) 番目の重さについては，\( 55 \; g \) 以上 \( 63 \; g \) 以下であること
　　　　　 しかわかりません。
　　　　　 よって，重さが \( 60 \; g \) 以下のみかんの個数は \( 50 \) 個以上 \( 100 \) 個以下であった
　　　　　 としか言えません。

ア，ウ

ア ･･･ 絶対値が \( t \) である数について，
　　　 \( x \) 座標を \( t \) とするとき，\( y \) 座標の値は，\( \dfrac{1}{3}t^2 \) と表すことができます。
　　　 \( x \) 座標の正負を入れ替えた \( -t \) とするとき，\( y \) 座標の値は，\( \dfrac{1}{3}t^2 \) と表すことができます。
　　　 つまり，\( x \) 座標の絶対値が等しいとき，\( y \) 座標の値は等しくなるので，
　　　 この関数のグラフは，\( y \) 軸を対称の軸として，線対称であるといえます。

イ ･･･ 変化の割合とは，グラフ上の任意の２点を直線で結んだときの傾きのことです。
　　　 例として，\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) 上の３点 \( \left( 1，\dfrac{1}{3} \right) \)，\( \left( 2，\dfrac{4}{3} \right) \)，\( (3，3) \) について考えると，
　　　 ２点 \( \left( 1，\dfrac{1}{3} \right) \)，\( \left( 2，\dfrac{4}{3} \right) \) 間の変化の割合は，
　　　　 \( \dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{1}{3}}{2-1}=1 \)
　　　 ３点 \( \left( 2，\dfrac{4}{3} \right) \)，\( (3，3) \) 間の変化の割合は，
　　　　 \( \dfrac{3-\dfrac{4}{3}}{3-2}=\dfrac{5}{3} \)
　　　 なので，一定ではありません。

ウ ･･･ \( x>0 \) の範囲で，\( x \) の値が増加すると，\( x^2 \) の値も大きくなるので，
　　　 \( x \) の値が増加すると，\( y \) の値 \( \left( \dfrac{1}{3}x^2 \right) \) は増加します。

\( (4，0)，(-4，0) \)

「すべて求めなさい」となっているので，２つ以上の答えがある（可能性が高い）ことに気をつけます。
この場合は，\( P \) の \( x \) 座標が正の場合と負の場合の２つあります。

直線 \( BC \) は，２点 \( B(3，9a)，C(-4，16a) \) を通り，
傾きが \( 1 \) であることから，
　\( \dfrac{9a-16a}{3-(-4)}=1 \)
　　　 \( \dfrac{-7a}{7}=1 \)
　　　　　 \( a=-1 \)

「\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点」と条件があるので，
まず，\( x \) の取り得る値について考えると，
➀➁のグラフはどちらも原点を通っていて，点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 3 \) なので，
\( x \) の取り得る値は \( 0，1，2，3 \) の４つに限定されます。

ここから，\( x \) 座標が \( 0，1，2，3 \) それぞれの場合において
\( y \) 座標の取り得る値を考えていきます。

\( x \) 座標が \( 2 \) の場合
➀のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 2^2=\dfrac{4}{3} \)
➁のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=-\dfrac{1}{4} \times 2^2=-1 \)
なので，斜線の部分が含まれる \( y \) 座標の範囲は，
　\( -1≦y≦\dfrac{4}{3} \)
この中で整数は，\( -1，0，1 \) なので，
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，
\( (2，-1)，(2，0)，(2，1) \) の３個。

\( x \) 座標が \( 3 \) の場合
➀のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)
➁のグラフの \( y \) 座標の値は，
　\( y=-\dfrac{1}{4} \times 3^2=-\dfrac{9}{4} \)
なので，斜線の部分が含まれる \( y \) 座標の範囲は，
　\( -\dfrac{9}{4}≦y≦3 \)
この中で整数は，\( -2，-1，0，1，2，3 \) なので，
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，
\( (3，-2)，(3，-1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3) \) の６個。

以上より，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は，全部で１１個。

まず，与えられた条件からわかることを整理します。

以上，\( 30°，60°，90° \) の直角三角形と直角二等辺三角形ができていることから，
以下，これらの辺の比を利用して線分 \( CF \) の長さを求められないか考えます。

線分 \( CF \) の長さを求める
線分 \( CF \) を \( CO+OF \) と考えると，\( CO=DO=3+\sqrt{3} \; cm \) なので，
　\( CF=CO+OF \)
　　　\( =(3+\sqrt{3})+(1+\sqrt{3}) \)
　　　\( =4+2\sqrt{3} \; (cm) \)

\( 1 \)

\( =-3+4 \)
\( =1 \)

\( -4ab^2 \)

\( =-\dfrac{6ab \times 2b}{3} \)
\( =-4ab^2 \)

\( 13a-6b \)

\( =5a-10b+8a+4b \)
\( =13a-6b \)

\( 7 \)

\( =3^2-(\sqrt{2})^2 \)
\( =9-2 \)
\( =7 \)

\( x=-2，3 \)

　 \( x^2+6x+9=7x+15 \)
　　\( x^2-x-6=0 \)
\( (x+2)(x-3)=0 \)
　 　　　　　 \( x=-2，3 \)

\( n=13 \)

\( \sqrt{3(2n+1)} \) の値が自然数となるのは，
\( \sqrt{\phantom{　}} \) の中の部分 \( 3(2n+1) \) の値が平方数（整数を２乗した数）になるときです。
　\( 3(2n+1) \) に \( n \) の最小値 \( n=2 \) を代入すると，\( 3 \times (2 \times 2+1)=15 \)
　\( 3(2n+1) \) に \( n \) の最大値 \( n=20 \) を代入すると，\( 3 \times (2 \times 20+1)=123 \)
なので，\( 3(2n+1) \) の値は \( 15 \) 以上 \( 123 \) 以下になります。

\( 15 \) 以上 \( 123 \) 以下の数のうち，平方数は
　\( 16=4^2，25=5^2，36=6^2，49=7^2，64=8^2，81=9^2，100=10^2，121=11^2 \)
になります。

さらに，\( \color{red}{3}(2n+1) \) の値は，必ず \( 3 \) の倍数になることから，
\( 16 \) 以上 \( 121 \) 以下の平方数のうち，\( 3 \) の倍数なのは，
　\( 36=6^2，81=9^2 \)
に限られます。

\( 3(2n+1)=36 \) になるとき，
　\( 3(2n+1)=36 \)
　　 \( 2n+1=12 \)
　　　　\( 2n=11 \)
　　　　　\( n=\dfrac{11}{2} \) → 自然数ではないので不適

\( 3(2n+1)=81 \) になるとき，
　\( 3(2n+1)=81 \)
　　 \( 2n+1=27 \)
　　　　\( 2n=26 \)
　　　　　\( n=13 \) → 自然数なので適

よって，あてはまる \( n \) の値は \( n=13 \) になります。

ウ

イ と ウ

\( y \) が \( x \) に反比例することを表す式は
　\( y=\dfrac{a}{x} \) または \( xy=a \)（ \( a \) は定数）
になります。

ア ～ エ を式で表すと，
　ア　\( y=30x \)
　イ　\( \dfrac{1}{2}xy=20 \) → \( xy=40 \)
　ウ　\( y=\dfrac{100}{x} \)
　エ　\( y=2\pi{}x \)
なので，あてはまるのは イ と ウ になります。

誤り

【反例】

正方形である条件は，「四つの辺がすべて等しく，内角が \( 90° \) であること」です。

四つの辺がすべて等しいだけではひし形になります。

\( \dfrac{1}{3} \)

この三角形の高さ \( AH \) は点 \( A \) から辺 \( BC \) にひいた垂線になります。

\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=160 \\
3x+5y=700 \\
\end{array} \right.  \)

商品Ａの個数を \( x \) 個，商品Ｂの個数を \( y \) 個用意したときの合計が \( 160 \) 個なので，
この関係を方程式で表すと \( x+y=160 \)

\( 3 \) 本入りの商品Ａを \( x \) 個用意するのに必要な焼き鳥の本数は \( 3x \) 本，
\( 5 \) 本入りの商品Ｂを \( y \) 個用意するのに必要な焼き鳥の本数は \( 5y \) 本
と表すことができ，これらの合計が \( 700 \) 本なので，
この関係を方程式で表すと \( 3x+5y=700 \)

商品Ａ ･･･ \( 50 \) 個
商品Ｂ ･･･ \( 110 \) 個

問➀の連立方程式を解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=160 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x+5y=700 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \(  \times 3 \) すると，
　\( 3x+3y=480 \) ･･･ ➀’
➁ \(  – \) ➀’すると，
　\( 2y=220 \)
　 \( y=110 \)
➀ に代入すると，
　\( x+110=160 \)
　　　　\( x=50 \)

よって，用意した商品Ａと商品Ｂの個数は，
商品Ａが \( 50 \) 個，商品Ｂが \( 110 \) 個
になります。

\( 4 \) 個

（１）の問➀と同様の考え方から，
数量の間の関係からつくることができる二元一次方程式は，
　\( 3a+5b=62 \)
になります。

この方程式において，まず \( b \) の取り得る値だけを考えると，
　\( b=12 \) のとき，焼き鳥の本数は \( 5 \times 12=60 \)（本），
　\( b=13 \) のとき，焼き鳥の本数は \( 5 \times 13=65 \)（本）→  \( 62 \) 本を超えているので×
なので，\( b \) の取り得る範囲は \( 0≦b≦12 \) であることがわかります。

ここから，\( 3a+5b=62 \) に \( b=0 \) から \( b=12 \) までを順に代入し，
\( a \) の値を求めると，
　\( b=0 \) のとき \( a=\dfrac{62}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=1 \) のとき \( a=19 \)
　\( b=2 \) のとき \( a=\dfrac{52}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=3 \) のとき \( a=\dfrac{47}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=4 \) のとき \( a=14 \)
　\( b=5 \) のとき \( a=\dfrac{37}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=6 \) のとき \( a=\dfrac{32}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=7 \) のとき \( a=9 \)
　\( b=8 \) のとき \( a=\dfrac{22}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=9 \) のとき \( a=\dfrac{17}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=10 \) のとき \( a=4 \)
　\( b=11 \) のとき \( a=\dfrac{7}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=12 \) のとき \( a=\dfrac{2}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
となり，あてはまるのは，
　\( (a，b)=(19，1)，(14，4)，(9，7)，(4，10) \)
の４通りになります。

商品Ａ ･･･ \( 4 \) 個
商品Ｂ ･･･ \( 10 \) 個

➀の結果から，
　商品Ａが \( 19 \) 個，商品Ｂが \( \;\;1 \) 個のとき → 合計は \( 19+1=20 \) 個
　商品Ａが \( 14 \) 個，商品Ｂが \( \;\;4 \) 個のとき → 合計は \( 14+4=18 \) 個
　商品Ａが \(  \;\; 9 \) 個，商品Ｂが \( \;\;7 \) 個のとき → 合計は \( 9+7=16 \) 個
　商品Ａが \( \;\; 4 \) 個，商品Ｂが \( 10 \) 個のとき → 合計は \( 4+10=14 \) 個
なので，合計が最も少ないのは，商品Ａが \( 4 \) 個，商品Ｂが \( 10 \) 個のときになります。

ア　正しい

第３四分位数は箱の右端の縦線の部分の値になります。
３つの箱ひげ図のうち，箱の部分の右端が最も右側にあるのは２０１０年なので，
この文章は正しいといえます。

四分位範囲は，箱ひげ図の箱の部分の長さが長いほど大きいので，
２０１５年より箱の長さが長い２０１０年の方が四分位範囲が大きく，
散らばりの度合いが大きい。

イ，エ

ア ･･･ ２０１５年は，\( 30.0 \; kg \) 以上 \( 30.5 \; kg \) 未満の階級の度数が \( 0 \) なので，
　　　 正しくありません。

イ ･･･ 階級値とは，その階級の幅の真ん中の値のことです。
　　　 ２０１５年の度数が最も多い階級は \( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，
　　　 階級値は \( \dfrac{29.0+29.5}{2}=29.25 \; (kg) \) ，
　　　 ２０２０年の度数が最も多い階級は \( 29.5 \; kg \) 以上 \( 30.0 \; kg \) 未満の階級であり，
　　　 階級値は \( \dfrac{29.5+30.0}{2}=29.75 \; (kg) \) ，
　　　 なので，２０１５年より２０２０年の方が大きく，正しいといえます。

ウ ･･･ 各年のデータの個数が \( 47 \) 個なので，中央値は，小さい方から \( 24 \) 番目の値です。
　　　 ヒストグラムに累積度数を書き込むと下の図のようになります。
　　　 小さい方から \( 24 \) 番目の値が入っている階級は，
　　　 ２０１５年は，\( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，この階級の度数は \( 13 \) 人，
　　　 ２０２０年は，\( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，この階級の度数は \( 12 \) 人，
　　　 なので，正しくありません。

エ ･･･ 累積相対度数は，
　　　　 その階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
　　　 で求められます。
　　　 ２０１５年の \( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積度数は，\( 9 \) 人，
　　　 すべての階級の度数の合計は \( 47 \) 人 なので，累積度数は，\( 9 \div 47=\dfrac{9}{47} \)
　　　 ２０２０年の \( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積度数は，\( 6 \) 人，
　　　 すべての階級の度数の合計は \( 47 \) 人 なので，累積度数は，\( 6 \div 47=\dfrac{6}{47} \)
　　　 よって，２０２０年より２０１５年の方が大きいので正しいといえます。

オ

【箱ひげ図の特徴】
箱ひげ図には，「複数のデータの分布を一度に比較しやすい」という特徴があります。
この問題のように複数の比較対象について箱ひげ図を並べて記載することで，
一目で分布の状態を比較できます。
また，四分位数や四分位範囲などを読み取りやすいので，
データの散らばり具合を判断しやすくなっています。
ただし，ひげの中や箱の中の部分にあるデータの分布を詳細に判断することには適していません。
２０２０年の箱ひげ図の場合，左側のひげの部分には最小値と第１四分位数を除くと
１０個のデータが含まれています。
箱ひげ図だけでは，１０個のデータが赤，青，緑，オレンジのどの部分に多く分布しているか判断できません。
箱ひげ図では，最大値，最小値，中央値などの代表値が明確になる一方，
度数の詳細な分布がわからないため，ほとんどの場合最頻値を読み取ることはできません。

【ヒストグラムの特徴】
ヒストグラムには，１つの対象についてのデータの分布をより詳細に判断できるという特徴があります。
２０２０年のデータの場合，箱ひげ図では，\( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の度数はわかりませんが，ヒストグラムをみると，度数が \( 5 \) 人であることがわかります。
ただし，ヒストグラムは１つの図が大きくなりがちなため，
比較対象が増えれば増えるほど比較しにくくなってしまいます。
ヒストグラムでは，階級ごとの度数の分布が明確になるため，最頻値はわかりやすくなっていますが，
最大値，最小値などの代表値はほとんどの場合読み取ることができません。

ウ

Ⅰ ･･･ 二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
　　　 \( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
　　　 また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

　　　 \( y=ax^2 \) のグラフにおいて，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，
　　　 \( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
　　　 また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=2 \) のときなので，
　　　 \( y \) の最大値は，
　　　　 \( y=a \times 2^2=4a \)

　　　 よって，あてはまる \( y \) の変域は \( 0≦y≦4a \) なので，正しくありません。

Ⅱ ･･･ 変化の割合とは，任意の２点を直線で結んだときの傾きになります。
　　　 ２点 \( (0，0)，(1，a) \) を結ぶ直線の傾きを \( m \) とすると，
　　　　 \( m=\dfrac{a-0}{1-0}=a \)
　　　 ２点 \( (1，a)，(2，4a) \) を結ぶ直線の傾きを \( n \) とすると，
　　　　 \( n=\dfrac{4a-a}{2-1}=3a \)
　　　 であり，変化の割合は一定ではないので，正しくありません。

Ⅲ ･･･ \( x=1 \) のとき，\( y=a \times 1^2=a \)　　\( x=-1 \) のとき，\( y=a \times (-1)^2=a \)
　　　 \( x=2 \) のとき，\( y=a \times 2^2=4a \)　　\( x=-2 \) のとき，\( y=a \times (-2)^2=4a \)
　　　 \( x=3 \) のとき，\( y=a \times 3^2=9a \)　　\( x=-3 \) のとき，\( y=a \times (-3)^2=9a \)
　　　　 ･･･
　　　 \( x=t \) のとき，\( y=a \times t^2=at^2 \)　　\( x=-t \) のとき，\( y=a \times (-t)^2=at^2 \)
　　　 となり，\( x \) 座標の絶対値が等しければ，どのような値をとっても \( y \) 座標の値は等しくなるので，
　　　 このグラフは \( y \) 軸について対称であるといえ，正しいです。

\( \dfrac{1}{2}t^2 \)

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( t \) なので，
\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times t^2=\dfrac{1}{2}t^2 \)

点 \( B \) と \( C \) の \( y \) 座標は等しいので，
点 \( C \) の \( y \) 座標も \( \dfrac{1}{2}t^2 \) になります。

　あ　 ･･･ \( 3 \)
　い　 ･･･ \( \sqrt{3} \)

　あ　
点 \( A \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，
　点 \( A \) の \( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{6}t^2 \)
　点 \( B \) の \( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{2}t^2 \)
なので，\( \dfrac{1}{2}t^2 \div \dfrac{1}{6}t^2=3 \) より，
点 \( B \) の \( y \) 座標は，点 \( A \) の \( y \) 座標の \( 3 \) 倍になっています。

　い　
\( y \) が \( x \) の２乗に比例するとき，\( x \) の値が \( m \) 倍になると，\( y \) の値は \( m^2 \) 倍になります。

つまり，点 \( C \) の \( y \) 座標が点 \( A \) の \( y \) 座標の \( 3 \) 倍になることから，
点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( A \) の \( x \) 座標の \( \sqrt{3} \) 倍になっています。

念のために点 \( C \) の \( y \) 座標が \( \dfrac{1}{2}t^2 \) であるときの \( x \) 座標の値を求めると，
　\( \dfrac{1}{2}t^2=\dfrac{1}{6}x^2 \)
　 \( x^2=3t^2 \)
　　\( x=\sqrt{3}t \)（\( x>0 \) より）
よって，点 \( A \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，点 \( C \) の \( x \) 座標は \( \sqrt{3}t \) となるので，
点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( A \) の \( x \) 座標の \( \sqrt{3} \) 倍になっていることが確認できます。

\( 27 \) 倍

よって，\( △EFG \) は，\( △ABC \) に対して，底辺が \( 3 \) 倍，高さが \( 9 \) 倍なので，
面積は \( 27 \) 倍になります。
（底辺が \( 9 \) 倍，高さが \( 3 \) 倍と考えても結果は同じです。）

\( AE=2\sqrt{5} \; cm \)

\( ∠ACF=90° \)

\( CH=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \; cm \)

\( △AEF \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AC=\sqrt{2}AB=4\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，線分 \( CH \) の長さは，
　\( CH=AC-AH \)
　　　\( =4\sqrt{2}-\dfrac{10\sqrt{2}}{3} \)
　　　\( =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \; (cm) \)

\( PQ=\dfrac{5\sqrt{2}}{3} \; cm \)

線分 \( PQ \) の長さを求めるために，まず，２点 \( P，Q \) がどこにあるのかを考えます。

\( 8 \)

\( =11-3 \)
\( =8 \)

\( 12ab \)

\( =9a^2 \div 6a \times 8b \)
\( =\dfrac{9a^2 \times 8b}{6a} \)
\( =12ab \)

\( \dfrac{3x-13y}{10} \)

\( =\dfrac{5(x-y)}{10}-\dfrac{2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5(x-y)-2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5x-5y-2x-8y}{10} \)
\( =\dfrac{3x-13y}{10} \)

\( 9-7\sqrt{14} \)

\( =7+2\sqrt{14}+2-9\sqrt{14} \)
\( =9-7\sqrt{14} \)

\( 95 \)

\( 36a^2-b^2 \) を因数分解すると，
　\( 36a^2-b^2=(6a+b)(6a-b) \)
なので，\( a=8，b=47 \) を代入すると，
　\( (6 \times 8+47)(6 \times 8-47)=(48+47)(48-47) \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \times 1 \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \)

\( x=-2，10 \)

　 \( x^2-8x-20=0 \)
\( (x+2)(x-10)=0 \)
　　　　　　　 \( x=-2，10 \)

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( O \) になります。

【条件➀からわかること】
点と辺（線分・直線）の距離とは点から辺にひいた垂線の長さのことなので，
点 \( O \) が，２辺 \( BC，AC \) から等しい距離にあるとき，
点 \( O \) から２辺 \( BC，AC \) にひいた垂線の長さが等しくなります。

\( y=\dfrac{90}{x} \)

\( y \) を \( x \) の式で表すというのは，\( y=\boxed{　　} \) の形になるよう式で表すということです。

毎分 \( x \; L \) の割合で \( y \) 分間水を入れると満水（\( 90 \; L \)）になるので，
　\( xy=90 \)
　 \( y=\dfrac{90}{x} \)

\( \dfrac{7}{16} \)

最初に袋Ａから１の玉を取り出したとき，玉の個数が４個になった袋Ｂには，１，１，２，３の玉が入っています。
これらを２，３，４の玉を取り出したときについても考えると，玉の個数が４個になった袋Ｂに入っている玉は次のようになります。

これをもとに，袋Ａ，Ｂから取り出した玉の組み合わせを樹形図に書き出すと，
袋Ａから取り出した玉に書いてある数と，袋Ｂから取り出した玉に書いてある数が
同じである組み合わせは \( 7 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{16} \)

今年の１月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 256 \; kg \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 242 \; kg \)

昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
0.8x+1.1y=498 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
0.2x-0.1y=42 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( \times 10 \) すると，
　\( 8x+11y=4980 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 40 \) すると，
　\( 8x-4y=1680 \) ･･･ ➁’
➁’\( – \) ➀’すると，
　\( 15y=3300 \)
　　\( y=220 \)
➁’に代入すると，
　\( 8x-4 \times 220=1680 \)
　　　　　　 \( 8x=2560 \)
　　　　　　　\( x=320 \)
となり，昨年の１月の二酸化炭素の排出量は \( 320 \; kg \)，
昨年の２月の二酸化炭素の排出量は \( 220 \; kg \)
なので，今年の１月の二酸化炭素の排出量は
　\( 0.8 \times 320=256 \; (kg) \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は
　\( 1.1 \times 220=242 \; (kg) \)

通常の連立方程式の問題の考え方では，
今年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，今年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) としますが，
今回は昨年の排出量の表し方がややこしくなり，間違えやすくなってしまうので，
昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とするのが
おすすめです。

今年の１月の二酸化炭素の排出量は，昨年の１月より \( 20\% \) 減少しているので，
昨年から今年の１月の二酸化炭素の排出量の減少分は，\( 0.2x \)
今年の１月の二酸化炭素の排出量は，\( 0.8x \)

今年の２月の二酸化炭素の排出量は，昨年の２月より \( 10\% \) 増加しているので，
昨年から今年の２月の二酸化炭素の排出量の増加分は，\( 0.1y \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は，\( 1.1y \)
と表すことができます。

ここから，
今年の１月と２月の，二酸化炭素の排出量の合計は \( 0.8x+1.1y \) と表すことができ，
これが \( 498 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.8x+1.1y=498 \) ･･･ ➀

次に，昨年から今年で１月と２月の二酸化炭素の排出量の合計は \( 42 \; kg \) 減少していたので，
昨年から今年の二酸化炭素の排出量の合計の減少分は \( 0.2x-0.1y \) と表すことができ，
これが \( 42 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.2x-0.1y=42 \) ･･･ ➁

となります。

１つの面を下じきと考え，２つの面（２枚の下じき）が垂直になるとき，
交わっている２つの面（２枚の下じき）が直線に見える（青の直線が点に見える）向きから見ると，
２本の直線が垂直に交わるように見えます。

四角形 \( ADEG \) を，辺 \( BE \) を軸として１回転させてできる立体は，
下の図のような円柱から円すいを取り除いた形になります。

線分 \( MN \) は斜めになっていて計算しにくそうなので，
線分 \( MN \) を通る平面上で計算しやすい形をつくることを考えます。

点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( P \)，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( Q \)
とし，この三角柱を面 \( ADLK \)，点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面 で切断すると，
下の図のような三角柱が残り，この三角柱の中に直角三角形 \( NPM \) ができます。

ここから，線分 \( MP \) と \( NP \) の長さを求めることができれば，
三平方の定理を使って線分 \( MN \) の長さを求められます。

以上より，\( △NPM \) において，三平方の定理より，
　\( MN^2=MP2+PN^2 \)
　　　　\( =2^2+(\sqrt{13})^2 \)
　　　　\( =17 \)
　 \( MN=\sqrt{17} \; (cm) \)（\( MN>0 \) より）

\( 25 \) 人

\( 120 \) 人の記録を集計しているので，中央値は，
記録の少ない方から \( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録の平均値になります。

図６に累積度数を書き込んでいくと下のようになり，
\( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録は，\( 24 \) 回以上 \( 28 \) 回未満の階級に含まれているので，
この階級の度数は，\( 25 \) 人になります。

イ，エ

ア ･･･ 図６のヒストグラムは，\( 120 \) 人の記録を集計しているので，
　　　 第１四分位数は，記録の少ない方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録の平均値になります。
　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録は，\( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれていることから，
　　　 第１四分位数も \( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれるので，正しくありません。

イ ･･･ 各組の人数は \( 30 \) 人なので，中央値は，記録の少ない方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の記録の
　　　 平均値になっています。

　　　 図７の箱ひげ図から，１組の中央値は \( 25 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

　　　 同様に，３組の中央値は \( 24 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 24 \) 回または \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

ウ ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱ひげ図の箱の長さで比較することができ，
　　　 箱の長さが長い方が四分位範囲が大きくなります。

　　　 図７より，２組の方が４組より箱の長さが長いので，
　　　 四分位範囲は，２組の方が４組より大きく，正しくありません。

エ ･･･ 図６より，記録が \( 36 \) 回以上 \( 40 \) 回未満の生徒の人数は，\( 3 \) 人であることがわかります。
　　　 図７より，２組，３組，４組の最大値は \( 36 \) 回未満なので，
　　　 記録が \( 36 \) 回以上の生徒は１組にしかいないことがわかります。
　　　 また，１組の最大値が \( 36 \) 回であることから，\( 37 \) 回，\( 38 \) 回，\( 39 \) 回の生徒はいません。

　　　 以上より，１組で上体起こしの記録が \( 36 \) 回の生徒の人数は，\( 3 \) 人であると判断できます。

\( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \)

二次関数 \( y=mx^2 \)（\( m>0，m \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，
\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 3^2=\dfrac{9}{4} \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \) になります。

\( 2a \)

点 \( A \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができます。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OA \) は原点と \( A(2，4a) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{4a-0}{2-0}=2a \) と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，\( AE=BG \) であり，
点 \( A，B，G \) の \( x \) 座標は，それぞれ \( 2，4，1 \) であることから，
点 \( E \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
　\( 2-t=4-1 \)
　　　\( t=-1 \)

点 \( D \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができる。
点 \( E \) は線分 \( DO \) の中点にあたるので，
点 \( E \) の \( y \) 座標は \( 2a \) ･･･ （あ）

点 \( C \) は，直線 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 1 \) である。
直線 \( CA \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{4a-1}{2-(-2)}=\dfrac{4a-1}{4} \)
\( y=\dfrac{4a-1}{4}x+n \) に \( x=2，y=4a \) を代入すると，
　\( 4a=\dfrac{4a-1}{4} \times 2+n \)
　 \( n=\dfrac{4a+1}{2} \)
なので，直線 \( CA \) の式は \( y=\dfrac{4a-1}{4}x+\dfrac{4a+1}{2} \)
この直線において，\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{4a-1}{4} \times (-1)+\dfrac{4a+1}{2} \)
　　\( =\dfrac{4a+3}{4} \) ･･･ （い）

（あ）と（い）の値は等しくなるので，
　\( 2a=\dfrac{4a+3}{4} \)
　 \( a=\dfrac{3}{4} \)

ここから，点 \( A \) の \( x \) 座標から点 \( E \) の \( x \) 座標を引いた値と
点 \( B \) の \( x \) 座標から点 \( G \) の \( x \) 座標を引いた値は等しくなります。

円 \( O \) の半径がわかっていることから，中心角の大きさがわかれば，弧の長さを求めることができるので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ DP } \) に対する中心角 \( ∠DOP \) を求めることを考えていきます。

弧の長さは中心角の大きさに比例するので，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ DP }=2 \pi{} \times 9 \times \dfrac{92°}{360°} \)
　　　\( =18 \pi{} \times \dfrac{23}{90} \)
　　　\( =\dfrac{23}{5}\pi{} \; (cm) \)

\( 3 \)

\( 2 \)

\( =-8 \div (-4) \)
\( =2 \)

\( \dfrac{5x+4y}{6} \)

\( =\dfrac{2(x-y)}{6}+\dfrac{3(x+2y)}{6} \)
\( =\dfrac{2(x-y)+3(x+2y)}{6} \)
\( =\dfrac{2x-2y+3x+6y}{6} \)
\( =\dfrac{5x+4y}{6} \)

\( -\dfrac{8}{3}xy^2 \)

\( =x^3y^2 \times (-4y) \times \dfrac{2}{3x^2y} \)
\( =-\dfrac{x^3y^2 \times 4y \times 2}{3x^2y} \)
\( =-\dfrac{8}{3}xy^2 \)

\( \sqrt{6} \)

\( =3\sqrt{6}-\dfrac{4\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{6}-\dfrac{4\sqrt{6}}{2} \)
\( =3\sqrt{6}-2\sqrt{6} \)
\( =\sqrt{6} \)

\( x=2，-3 \)

　　　\( x^2+x-6=0 \)
　\( (x-2)(x+3)=0 \)
　　　　　　　 \( x=2，-3 \)

\( 0≦y≦3 \)

二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦3 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦3 \) になります。

\( 245 \) 人

標本調査では，
「母集団に含まれる調査対象の割合と標本に含まれる調査対象の割合は等しくなる」
と考えられます。

全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒の人数を \( x \) 人とすると，
母集団（全校生徒）\( 350 \) 人に含まれる数学の学習が好きな生徒の人数 \( x \) 人の割合と
標本（無作為抽出で選ばれた生徒）\( 40 \) 人に含まれる数学の学習が好きな生徒の人数 \( 28 \) 人の割合
は等しくなるので，
　\( 350：x=40：28 \)
　\( 350：x=10：7 \)
　　 \( 10x=2450 \)
　　　 \( x=245 \)
となり，全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒の人数は \( 245 \) 人になります。

手順５の円と辺 \( OA \) の交点が求める点 \( P \) になります。

条件より，\( ∠ACB=∠APB \) であることから， \( △ABC \) と \( △ABP \) について考えてみます。

円を描くためには中心の場所を知ることが必要になります。

【線分 \( AB，BC \) の垂直二等分線の交点が円の中心になる理由】
\( AH，BH，CH \) はすべて円 \( H \) の半径なので，\( △HAB，△HBC \) は二等辺三角形になります。
ここから，点 \( H \) から線分 \( AB，BC \) に垂線をひくと，線分 \( AB，BC \) の中点を通ります。

\( a=\dfrac{1}{2} \)

\( A(2，2) \) は，\( y=ax^2 \) 上の点なので，
　　\( 2=a \times 2^2 \)
　\( 4a=2 \)
　　\( a=\dfrac{1}{2} \)

\( y=-x+4 \)

\( △OAB \) と \( △OAC \) の面積が等しくなるということは，
等積変形の考え方から，\( BC//OA \) になります。

\( O \) は原点，\( A(2，2) \) であることから，直線 \( OA \) の傾きは \( 1 \) であり，
平行な直線の傾きは等しいので，直線 \( BC \) の傾きも \( 1 \) になります。

点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標の値は \( 8 \) なので，
\( x \) 座標の値は，
　 \( 8=\dfrac{1}{2} \times x^2 \)
　\( x^2=16 \)
　\( x=±4 \)
図より，点 \( B \) の \( x \) 座標の値は正の値なので，
あてはまる \( x \) 座標の値は，\( x=4 \) になります。

直線 \( BC \) の傾きが \( 1 \) ということは，\( BC \) 間の \( x \) の増加量と \( y \) の増加量は
等しくなります。
点 \( B \) の座標が \( B(4，8)，C \) の \( x \) 座標は \( 0 \) であることから，
\( B \) → \( C \) の \( x \) の増加量は \( -4 \) なので，
\( C \) の \( y \) 座標の値は，\( 8-4=4 \) になります。

以上より，直線 \( AC \) は \( A(2，2)，C(0，4) \) を通るので，
この直線の傾きを \( m \) とすると，
　\( m=\dfrac{2-4}{2-0}=-1 \)
であり，直線 \( AC \) の式は \( y=-x+4 \) になります。

　　　　　　　

\( E \left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{16}{5} \right) \)

点 \( E \) は，直線 \( AC \; ･･･ \; y=-x+4 \) 上の点なので，
\( x \) 座標を \( t \) とすると，\( y \) 座標は \( -t+4 \) と表すことができます。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OB \) は原点と \( B(4，8) \) を通るので，直線 \( OB \) の式は \( y=2x \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，\( y \) 座標は \( 2t \) と表すことができます。

点 \( G \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点なので，
\( x \) 座標が \( t \) のとき，\( y \) 座標は \( \dfrac{1}{2}t^2 \) と表すことができます。

このとき，\( EF=(-t+4)-2t=-3t+4，FG=2t-\dfrac{1}{2}t^2 \) と表すことができるので，
\( EF：FG=5：4 \) になるときの \( t \) の値は，
　\( (-3t+4)： \left(2t-\dfrac{1}{2}t^2 \right)=5：4 \)
　　　　　　　　\( 4(-3t+4)=5 \left(2t-\dfrac{1}{2}t^2 \right) \)
　　　　　　　　\( -12t+16=10t-\dfrac{5}{2}t^2 \)
　　　　　　　　\( -24t+32=20t-5t^2 \)
　　　　　　\( 5t^2-44t+32=0 \)
　　　　　　 \( (5t-4)(t－8)=0 \)
　　　　　　　　　　　　　\( t=\dfrac{4}{5}，8 \)
点 \( E \) は，必ず線分 \( AC \) 上にあるので，\( 0≦t≦2 \) であることから，
あてはまる \( t \) の値は，\( t=\dfrac{4}{5} \)

点 \( E \) は，\( y=-x+4 \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=-\dfrac{4}{5}+4=\dfrac{16}{5} \)

以上より，点 \( E \) の座標は，\( E \left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{16}{5} \right) \)

　　　　　　　

\( \dfrac{5}{36} \)

上を向いている面がすべて黒色となるのは，すべてのコマを１回だけひっくり返すときなので，
［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の和が \( 6 \) になる場合です。

［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の組み合わせを樹形図に書き出すと，
和が \( 6 \) になる組み合わせは \( 5 \) 通り，すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{36} \)

【コマのひっくり返し方】
・［操作１］のさいころの出た目が \( 1 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 5 \) の場合
　　［操作１］　●○○○○○ ･･･ 左端の \( 1 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 5 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 2 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 4 \) の場合
　　［操作１］　●●○○○○ ･･･ 左端から \( 2 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 4 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 3 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 3 \) の場合
　　［操作１］　●●●○○○ ･･･ 左端から \( 3 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 3 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 4 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 2 \) の場合
　　［操作１］　●●●●○○ ･･･ 左端から \( 4 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 2 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 5 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 1 \) の場合
　　［操作１］　●●●●●○ ･･･ 左端から \( 5 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端の \( 1 \) 枚をひっくり返す

\( \dfrac{7}{36} \)

問１と同様に［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の和と
［操作２］の後にコマの上を向いている面の色の数に注目して考えます。

さいころの出た目の和が同じであるとき，［操作１］，［操作２］で出た目の組み合わせが違っても，
上を向いている面の色が白色になる枚数と黒色になる枚数の組み合わせは同じになります。

さいころを２回投げたときの出る目の和は，\( 2 \) から \( 12 \) のいずれかであり，
それぞれの場合において，上を向いている面が白の枚数と黒の枚数は，下の表のようになります。

この中で，上を向いている面が白色となる枚数が，黒色となる枚数よりも多くなるのは，
さいころの目の和が \( 2，10，11，12 \) になるときです。

からあげ ･･･ \( 600 \) 円
とり天　 ･･･ \( 480 \) 円

【からあげの定価】
「からあげ」の仕入れ値は，１パック \( 400 \) 円，
利益は仕入れ値の５割つまり，\( 0.5 \) 倍で，\( 400 \times 0.5=200 \) 円
なので，定価は
　\( 400+200=600 \)（円）

【とり天の定価】
「とり天」の仕入れ値は，１パック \( 300 \) 円，
利益は仕入れ値の６割つまり，\( 0.6 \) 倍で，\( 300 \times 0.6=180 \) 円
なので，定価は
　\( 300+180=480 \)（円）

\( 120 \) パック

仕入れた「からあげ」を \( x \) パック，仕入れた「とり天」を \( y \) パックとします。

【仕入れた数の関係】
「からあげ」と「とり天」を合わせて \( 200 \) パック仕入れたので，方程式で表すと，
　\( x+y=200 \) ･･･ ➀

【利益の関係】
●　「からあげ」\( x \) パックの実際の利益
問１より，「からあげ」１パックが定価で売れたときの利益は \( 200 \) 円です。
仕入れた「からあげ」（ \( x \) パック）の \( 80 \%(=0.8) \) は定価で売れたので，
利益の合計は \( 200 \times x \times 0.8=160x \)（円）と表すことができます。
仕入れた「からあげ」の残りの \( 20 \%(=0.2) \) は定価の \( 200 \) 円引きで売れたということは，
利益が \( 200 \) 円減る，つまり，利益は \( 0 \) 円になります。
と表すことができ，「からあげ」全体の実際の利益は \( 160x \)（円）と表すことができます。

●　「とり天」\( y \) パックの実際の利益
問１より，「とり天」１パックが定価で売れたときの利益は \( 180 \) 円です。
仕入れた「とり天」（ \( y \) パック）の \( 70 \%(=0.7) \) は定価で売れたので，
利益の合計は \( 180 \times y \times 0.7=126y \)（円）
仕入れた「とり天」の残りの \( 30 \%(=0.3) \) は定価（\( 480 \) 円）の半額で売れたということは，
１パック \( 240 \) 円で売れたということです。
「とり天」１パックの仕入れ値は \( 300 \) 円なので，１パックあたりの利益は \( 240-300=-60 \)円であり，
利益の合計は \( -60 \times y \times 0.3=-18y \)（円）
と表すことができ，「とり天」全体の実際の利益は \( 126y +(-18y)=108y \)（円）と表すことができます。

ここから，「からあげ」と「とり天」をあわせたの実際の利益は \( 160x+108y \)（円）と表すことができます。

●　「からあげ」と「とり天」がすべて定価で売れた場合の利益
１パックの利益が \( 200 \) 円の「からあげ」が \( x \) パック売れた場合の利益は \( 200x \)（円），
１パックの利益が \( 180 \) 円の「とり天」が \( y \) パック売れた場合の利益は \( 180y \)（円），
と表せるので，「からあげ」と「とり天」がすべて定価で売れた場合の利益は \( 200x+180y \)（円）と表すことができます。

「からあげ」と「とり天」を合わせた \( 200 \) パックの利益の合計は，
「からあげ」と「とり天」のすべてが定価で売れた場合の利益の合計よりも \( 10560 \) 円少なかったので，
方程式で表すと，
　\( (200x+180y)-(160x+108y)=10560 \)
　　　　　　　　　　　　\( 40x+72y=10560 \) ･･･ ➁

\( 27.25 \) 度

最頻値 ･･･ 度数が最も大きい階級の階級値
階級値 ･･･ その階級の中の真ん中の値
のことをいいます。

〔図１〕のヒストグラムから，度数が最も大きい階級は \( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級であり，
\( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級の階級値は \( \dfrac{27.0+27.5}{2}=27.25 \) 度

Ａ ･･･ イ
Ｂ ･･･ ア
Ｃ ･･･ ウ

Ａ
この箱ひげ図は，２５年ずつのデータを集計してつくられているので，
中央値は気温の高い方から１３番目の値になります。
期間１の箱ひげ図では，中央値は \( 25.5 \) 度未満であることから，
気温の高い方から１３番目の値が \( 25.5 \) 度未満なので，
\( 25.5 \) 度を上回った年は１３年未満であり，正しくありません。

Ｂ 
範囲は箱ひげ図の端から端までの長さで表され，長い方が範囲が大きくなります。
期間２と期間３では，期間３の方が長くなっているので，範囲が大きくなっており，正しい。

Ｃ 
この箱ひげ図は，２５年ずつのデータを集計してつくられているので，
第１四分位数は気温の低い方から７番目の値，中央値は気温の高い方から１３番目の値，
第３四分位数は気温の高い方から７番目の値になります。
期間１の箱ひげ図では，
　第１四分位数は \( 26.0 \) 度以上 \( 26.5 \) 度未満の階級，
　中央値は \( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級，
　第３四分位数は \( 27.5 \) 度以上 \( 28.0 \) 度未満の階級
にあることから，\( 27.0 \) 度を下回った年，\( 27.5 \) 度を上回った年は，
どちらも８年以上１３年未満であることはわかりますが，
それ以上に詳しいデータの分布は箱ひげ図だけの情報ではわかりません。

（『期間４』と『期間１，期間２，期間３』を比べると，）
『期間４』の第１四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の中央値よりも大きく，
『期間４』の第３四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の第３四分位数よりも大きい
ので，『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて
高くなっている傾向にあるといえる。

箱ひげ図では，上の図のように，左右のひげの部分，箱の左右の部分にそれぞれ全体の約 \( 25\% \) のデータが含まれます。
このことから，箱の部分が右側にあるほど値が大きい傾向にあるといえます。

『期間４』の第１四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の中央値よりも大きく，
『期間４』の第３四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の第３四分位数よりも大きい
ことから，『期間４』の箱ひげ図の箱の部分が『期間１，期間２，期間３』の箱ひげ図の箱の部分より
右側（気温が高い側）にあるので，
『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて
高くなっている傾向にあるといえます。

点 \( B，D \)

\( \dfrac{160}{3} \; cm^3 \)

よって，立体 \( OPQR-CDGTF \) の体積は，
　　四角すい \( A-OPQR-( \) 四角すい \( A-OPQR+ \) ，三角すい \( R-EST) \)
　\( =\dfrac{160}{3}-\left(\dfrac{20}{3}+\dfrac{10}{3}\right) \)
　\( =\dfrac{130}{3} \; (cm^3) \)

 

\( AP+BP+CP=\sqrt{41} \; cm \)

\( AP+BP+CP \) の長さという３つの線分の和を求めることから，
\( AP，BP，CP \) の中のいくつかをどこか違う場所に移して，１本の線分にできないかを考えてみます。

\( △ACD \) は正三角形であることから，
\( ∠ACD=60°，CD=AC=5 \; cm \) なので，
\( △BCD \) は \( ∠BCD=30°+60°=90° \) の
直角三角形になります。

\( △BCD \) において，三平方の定理より，
　\( BD^2=BC^2+CD^2=4^2+5^2=41 \)
　 \( BD=\sqrt{41} \; (cm) \)（ \( AD>0 \) より）

\( ∠BPC=120° \)

角度については，正三角形の内角が \( 60° \) であることと，
\( ∠ACB=30° \) であることしか明らかになっていないので，
正三角形の内角が \( 60° \) であることをうまく使っていきます。

\( -3 \)

\( =4+1-8 \)
\( =5-8 \)
\( =-3 \)

\( -2 \)

\( =-36 \times \dfrac{1}{2}+16 \)
\( =-18+16 \)
\( =-2 \)

\( \dfrac{13x+5}{12} \)

\( =\dfrac{4(x+2)}{12}+\dfrac{3(3x-1)}{12} \)
\( =\dfrac{4(x+2)+3(3x-1)}{12} \)
\( =\dfrac{4x+8+9x-3}{12} \)
\( =\dfrac{13x+5}{12} \)

\( x=-\dfrac{1}{5}y+\dfrac{7}{5} \)

等式 \( \boxed{　?　} \) を \( x \) について解くというのは，
\( x=\boxed{　??　} \) の形に変形するということなので，
　　\( y=-5x+7 \)
　\( 5x=-y+7 \)
　　\( x=-\dfrac{1}{5}y+\dfrac{7}{5} \)

\( \sqrt{10}-2\sqrt{5} \)

\( =\sqrt{5}(\sqrt{2}+1)-3\sqrt{5} \)
\( =\sqrt{10}+\sqrt{5}-3\sqrt{5} \)
\( =\sqrt{10}-2\sqrt{5} \)

\( 4(x+1)(x-3) \)

　\( 4x^2-8x-12 \)
\( =4(x^2-2x-3) \)
\( =4(x+1)(x-3) \)

\( 3 \)

\( a^2>b^2 \; (a>0，b>0) \) が成り立つとき，\( a>b \) になります。

\( (\sqrt{29})^2=29 \) なので，\( 28.09<29<29.16 \) より，
\( 5.3^2<(\sqrt{29})^2<5.4^2 \) であり，\( 5.3<\sqrt{29}<5.4 \) になります。
ここから，\( \sqrt{29} \) は \( 5.3 \) より大きく \( 5.4 \) より小さい数なので，
\( \sqrt{29}=5.3〇〇 \) となり，小数第１位の数は \( 3 \) になります。

\( ∠BAC=50° \)

\( \boxed{ア} \)　直線 \( BC \)

ねじれの位置にある直線とは，
どこまで伸ばしても交わらない直線のうち，平行ではないもののことです。

\( 30\sqrt{15} \; cm^3 \)

\( DF=\dfrac{21}{8} \; cm \)

\( y=-4 \)

\( y \) は \( x \) に比例することを表す式は，\( y=ax \)（\( a \) は定数） です。

\( y=ax \) に \( x=4，y=-2 \) を代入すると，
　\( -2=a \times 4 \)
　　\( a=-\dfrac{1}{2} \)

\( y=-\dfrac{1}{2}x \) に \( x=8 \) を代入すると，
　\( y=-\dfrac{1}{2} \times 8=-4 \)

\( \dfrac{3}{20} \)

\( a，b \) の組み合わせとそれぞれにおける \( 2a+b \) の値を樹形図にして書き出すと，
下の図のようになります。

\( 2a+b=5 \) になる組み合わせは \( 3 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{20} \)

イ

図２のア～エの箱ひげ図は，最小値，第１四分位数，最大値は４つすべてで同じ階級にあるので，
違いがみられる中央値と第３四分位数がヒストグラムでどの階級に属しているかを見ていきます。

各クラスの生徒数は \( 30 \) 人なので，
中央値は，小さい方から１５番目と１６番目の値の平均値，
第３四分位数は，小さい方から２３番目の値，
になります。

\( 0≦y≦4 \)

二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=2 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=2^2=4 \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦4 \) になります。

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，\( AC=BD \) である。

　Ｐ　 ･･･ \( 9-a \)
　Ｑ　 ･･･ \( 9-b \)

　Ｑ　
かけられる数を \( 1 \) に固定して，図２のように折り返すとき，
位置が重なるかけ算の組み合わせは，
　「\( 1 \times 1 \)」と「\( 1 \times 8 \)」，「\( 1 \times 2 \)」と「\( 1 \times 7 \)」，
　「\( 1 \times 3 \)」と「\( 1 \times 6 \)」，「\( 1 \times 4 \)」と「\( 1 \times 5 \)」
になります。

それぞれの組み合わせの，かける数に注目すると，
　「\( 1 \)」と「\( 8 \)」，「\( 2 \)」と「\( 7 \)」，
　「\( 3 \)」と「\( 6 \)」，「\( 4 \)」と「\( 5 \)」
であり，それぞれの和は \( 9 \) になっています。

よって，あるかけ算のかける数を \( b \) とするとき，
そこに重なるかけ算のかけられる数は \( 9-b \) になります。

　Ｒ　 ･･･ \( 44 \)

問アをヒントにして \( a \times b \) と重なる４つのかけ算の和を実際に求めてみると，
　　\( (a \times b)+\{ (9-a) \times b \}+\{ a \times (9-b) \}+\{ (9-a) \times (9-b) \} \)
　\( =ab+(9b-ab)+(9a-ab)+(81-9a-9b+ab) \)
　\( =81(=9^2) \)
であり，文字 \( a，b \) を含む項はすべて消え，\( 9^2 \) の部分だけが残ります。

この \( 9 \) は \( 1+8 \) で，「 \( 1 \) から \( 8 \) まで書かれているとき」の
\( 1 \) と \( 8 \) の和になっています。

このことから， 　Ｒ　 にあてはまる偶数を \( n \) とすると，
和が \( 2025 \) になるとき，
　\( (1+n)^2=2025 \)
　\( (1+n)^2=45^2 \) （\( n>1 \) より \( 1+n>2 \)）
　　 \( 1+n=45 \)
　　　　 \( n=44 \)

\( 6 \) 枚

\( 500 \) 円玉を \( 1 \) 枚投入すれば，\( 100 \) 円玉 \( 4 \) 枚と \( 50 \) 円玉 \( 2 \) 枚が出てくる
ということは，\( 500 \) 円玉が \( 1 \) 枚投入されると，\( 50 \) 円玉は \( 2 \) 枚減ります。
よって，\( 50 \) 円玉の枚数が \( 12 \) 枚減ったということは，
投入された \( 500 \) 円玉の枚数は，
　\( 12 \div 2=6 \)（枚）

\( 200-5x-4y \) 枚

\( 1000 \) 円札が \( 1 \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 5 \) 枚減るので，
\( 1000 \) 円札が \( x \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 5x \) 枚減ります。

\( 500 \) 円玉が \( 1 \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 4 \) 枚減るので，
\( 500 \) 円玉が \( y \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 4y \) 枚減ります。

２月１日の営業開始前には，両替機の中に \( 100 \) 円玉が \( 200 \) 枚入っていたので，
営業終了後の \( 100 \) 円玉の枚数は，\( (200-5x-4y) \) 枚になります。

２月１日の営業終了後の両替機の中にあった \( 500 \) 円玉，\( 100 \) 円玉，\( 50 \) 円玉の枚数を
\( x，y \) を使って表すと，
　\( 500 \) 円玉の枚数は \( (30－x+y) \) 枚
　\( 100 \) 円玉の枚数は \( (200-5x-4y) \) 枚
　\( 50 \) 円玉の枚数は \( (50-2y) \) 枚
と表すことができる。

２月１日の営業終了後の両替機の中にあった，
\( 500 \) 円玉の枚数は \( 24 \) 枚なので，
　\( 30-x+y=24 \) ･･･ ➀
２月１日の営業終了後の両替機の中にあった，
\( 100 \) 円玉の枚数は \( 50 \) 円玉の枚数より \( 15 \) 枚多かったので，
　\( 200-5x-4y=(50-2y)+15 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として解くと，
　\( x=21，y=15 \)
よって，２月１日の営業時間内に両替機に投入された
\( 1000 \) 円札の枚数は \( 21 \) 枚
\( 500 \) 円玉の枚数は \( 15 \) 枚

連立方程式の途中式
　\( \left\{ \begin{array}{}
30-x+y=24 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
200-5x+4y=(50-2y)+15 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀を整理すると
　\( -x+y=-6 \) ･･･ ➀’
➀’ \( \times 2 \) すると
　\( -2x+2y=-12 \) ･･･ ➀”
➁を整理すると
　\( 200-5x-4y=(50-2y)+15 \)
　　　 \( -5x-2y=-135 \) ･･･ ➁’
➀” \( – \) ➁’すると
　\( -7x=-147 \)
　　 \( x=21 \)
➀’に代入すると，
　\( -21+y=-6 \)
　　　　 \( y=15 \)

\( 9 \)

\( =5+4 \)
\( =9 \)

\( -21 \)

\( =6 \times \left( -\dfrac{7}{2} \right) \)
\( =-\dfrac{6 \times 7}{2} \)
\( =-21 \)

\( 20a^2b \)

\( =4a^2 \times 5b \)
\( =20a^2b \)

\( b=-\dfrac{1}{7}a+\dfrac{3}{7} \)

\( b \) について解くということは，\( b=\boxed{　　　} \) の形で表すということなので，
　\( a+7b-3=0 \)
　　　　　 \( 7b=-a+3 \)
　　　　　　\( b=-\dfrac{1}{7}a+\dfrac{3}{7} \)

\( 8\sqrt{3} \)

\( =\dfrac{15 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}+3\sqrt{3} \)
\( =5\sqrt{3}+3\sqrt{3} \)
\( =8\sqrt{3} \)

\( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \)

\( y \) が \( x \) の２乗に比例することを表す式は \( y=ax^2 \) になります。

\( y=ax^2 \) に \( x=6，y=-9 \) を代入すると，
　\( -9=a \times 6^2 \)
　\( 36a=-9 \)
　　\( a=-\dfrac{1}{4} \)
なので，求める式は \( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \) になります。

エ

大きい方の組 ･･･ Ａ組
累積相対度数 ･･･ \( 0.64 \)

ある階級の累積相対度数は，
　その階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

【Ａ組の累積相対度数】
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数は \( 16 \) 人
すべての階級の度数の合計（クラスの人数）は \( 25 \) 人
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数は
　\( 16 \div 25=0.64 \)

【Ｂ組の累積相対度数】
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数は \( 18 \) 人
すべての階級の度数の合計（クラスの人数）は \( 30 \) 人
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数は
　\( 18 \div 30=0.60 \)

Ｑ \( =-27 \)

Ｐ に \( 1 \) を入れると，
　\( \boxed{ア}=1+2=3 \)
　\( \boxed{イ}=1-6=-5 \)
であり，
　\( \boxed{ウ}=\boxed{ア} \times \boxed{イ} \)
　　　\( =3 \times -5 \)
　　　\( =-15 \)
なので，
　Ｑ \( =\boxed{ウ}-12 \)
　　 \( =-15-12 \)
　　 \( =-27 \)

\( x=-3，8 \)

Ｐ 入れた整数を \( x \) とすると，
　\( \boxed{ア}=x+2 \)
　\( \boxed{イ}=x-6 \)
と表すことができるので，
　\( \boxed{ウ}=\boxed{ア} \times \boxed{イ} \)
　　　\( =(x+2)(x-6) \)
ここから，Ｑ の値は，
　Ｑ \( =\boxed{ウ}-12 \)
　　 \( =(x+2)(x-6)-12 \)
と表すことができます。

Ｑ の値が Ｐ に入れた整数 \( x \) と同じ値になるとき，
　\( (x+2)(x-6)-12=x \)
　\( (x^2-4x-12)-12=x \)
　　　　 \( x^2-5x-24=0 \)
　　　　\( (x+3)(x-8)=0 \)
　　　　　　　　　　　\( x=-3，8 \)

\( y=6 \)

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{3}{2}x \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times 4=6 \)

\( a=-12 \)

\( A(4，6)，D(4，0) \) より，\( AC=6 \) なので，
\( AD=BC \) のとき，
　 \( 6=4-\dfrac{a}{6} \)
　\( \dfrac{a}{6}=-2 \)
　 \( a=-12 \)

\( 64：27 \)

三角すいを４つの面のうち１つの面に平行な面で切ってできる小さい三角すいは，
もとの三角すいと相似になります。
また，相似な立体の対応する辺の比はすべて等しいので，体積比は相似比の３乗の比と等しくなります。

\( AE：EB=3：1 \) より、相似比は \( AB：AE=4：3 \) なので，
体積比は，
　\( 4^3：3^3=64：27 \)

\( \dfrac{1}{2} \)

円盤をまわして決まった数字とそれ折れにおけるコマの移動先は次のとおり，
数字が \( 1 \) のとき → \( A \) のマスに移動
数字が \( 2 \) のとき → \( B \) のマスに移動
数字が \( 3 \) のとき → \( C \) のマスに移動し，\( C \) のマスの指示により \( D \) のマスに移動
数字が \( 4 \) のとき → \( D \) のマスに移動

よって，すべての場合の数は４通り，コマが \( D \) のマスにあるのは２通りなので，
求める確率は \( \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{3}{8} \)

「１回目に決まった数字とコマの移動先」と「２回目に決まった数字とコマの移動先」の
組み合わせを樹形図に書き出すと下の図のようになります。
コマが \( H \) のマスにある組み合わせは６通り，
すべての組み合わせは１６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} \)

\( 50a+15b \)

➀ の用途で１回使用するときのガスの消費量は \( 50 \; g \) なので，
\( a \) 回使用するときのガスの消費量は \( 50a \; g \)
➁ の用途で１回使用するときのガスの消費量は \( 15 \; g \) なので，
\( b \) 回使用するときのガスの消費量は \( 15b \; g \)
と表すことができます。

ガスの消費量の合計は，これらの和なので，\( 50a+15b \; g \) となります。

\( 18 \) 回

（１）と同様に ➀ の用途で \( a \) 回，➁ の用途で \( b \) 回使用すると考えると，
➁ の用途で使用する回数が ➀ の用途で使用する回数の２倍となるとき，
\( b=2a \) と表すことができます。

これを（１）の \( 50a+15b \) に代入すると，\( 50a+15 \times 2a=80a \) と表すことできます。

ガスが \( 240 \; g \) 入ったボンベ \( 6 \) 本分のガスの総量は
　\( 240 \times 6=1440 \; (g) \)
なので，
　\( 80a=1440 \)
　　\( a=18 \)（回）

\( 160 \; g \)

「強火」の設定のとき，\( 240 \; g \) のガスが \( 60 \) 分間でなくなるのだから，
\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 240 \div 60=4 \; (g) \) です。

つまり，「強火」の設定で \( 20 \) 分間使用したときに消費されるガスの量は，
\( 4 \times 20=80 \; (g) \) なので，ボンべに残るガスの量は
　\( 240-80=160 \; (g) \)

ボンベが満タン（\( x=0 \)）のときから「強火」の設定で \( 40 \) 分間使用し，
そこ（\( x=40 \)）から「弱火」の設定に変えてガスがなくなるまで使用したので，
\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線と\( 0≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線と
２つをくっつけたものになります。

【\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線】
「強火」の設定のとき，\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 4 \; g \) で，
\( 40 \) 分間使用したときに消費されるガスの量は，
\( 4 \times 40=160 \; (g) \) なので，ボンべに残るガスの量は
　\( 240-160=80 \; (g) \)
ここから，\( x=40 \) のときの \( y \) の値は \( y=80 \) になります。
また，ボンベが満タン（\( x=0 \)）のときのガスの量は \( y=240 \; (g) \) なので，
\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線は，\( (0，240) \) と \( (40，80) \) を結んだ直線になります。

【\( 40≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線】
「弱火」の設定のとき，\( 240 \; g \) のガスが \( 180 \) 分間でなくなるのだから，
\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 240 \div 180=\dfrac{4}{3} \; (g) \) です。
ここから，ボンべに残った \( 240 \; g \) のガスがなくなるまでの時間は，
\( 80 \div \dfrac{4}{3}=60 \)（分）であり，
「強火」の設定で使用した \( 40 \) 分間と合わせて，\( x=40+60=100 \) のときに
ガスがすべてなくなることになります。
つまり，\( 40≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線は，\( (40，80) \) と \( (100，0) \) を結んだ直線になります。

　a　 ･･･ 交点の \( y \) 座標
ボンべに残るガスの量 ･･･ \( 48 \; g \)

図Ⅲに（ア）のグラフを書き足すと，\( 40≦x≦100 \) の直線と交わります。
\( 40≦x≦100 \) の直線の式を \( y=-\dfrac{4}{3}x+b \) とすると，
\( (100，0) \) を通るので，
　\( 0=-\dfrac{4}{3} \times 100+b \)
　\( b=\dfrac{400}{3} \)
であり，この直線の式は \( y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3} \) ･･･➀ になります。

また，図Ⅲの直線は，\( (0，240) \) と \( (80，0) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{0-240}{80-0}=-3 \) であり，
この直線の式は \( y=-3x+240 \) ･･･➁ になります。

\( AC=\sqrt{11} \; cm \)

\( AE=\dfrac{25}{6} \; cm \)

以上より，１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC≡△BAD \)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，
　\( AD=BC=5 \; cm \)

【\( △DFB \) の面積を求める】
問３と同様の考え方から \( △DFB≡△BAD≡△ABC \) なので，
\( △DFB \) と \( △ABC \) の面積は等しくなります。

【\( FB \) の長さを求める】
\( △DFB≡△BAD \) より，対応する辺の長さは等しいので，\( FB=AD=5 \; cm \) になります。

\( -2 \)

\( \dfrac{3}{8} \)

\( =\dfrac{5}{8}+ \left( -\dfrac{1}{4} \right) \)
\( =\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4} \)
\( =\dfrac{5}{8}-\dfrac{2}{8} \)
\( =\dfrac{3}{8} \)

\( 7 \)

\( =16-9 \)
\( =7 \)

\( 5\sqrt{2} \)

\( =\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}+\sqrt{8} \)
\( =3\sqrt{2}+\sqrt{8} \)
\( =3\sqrt{2}+2\sqrt{2} \)
\( =5\sqrt{2} \)

\( 9ab^2 \)

\( =-\dfrac{1}{5}a^2 \times 45b^3 \times \left( -\dfrac{1}{ab} \right) \)
\( =\dfrac{a^2 \times 45b^3}{5 \times ab} \)
\( =9ab^2 \)

エ　家から駅までの道のり

毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩いたときに進む道のりは \( 60x \) と表すことができます。

家を出発して 毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩き，\( 10 \) 分後に駅に着いたということは，
毎分 \( 80 \; m \) で歩いた時間は \( 10-x \) 分と表すことができるので，
毎分 \( 80 \; m \) で \( 10-x \) 分間歩いたときに進む道のりは \( 80(10-x) \) と表すことができます。

よって，これらの和である \( 60x+80(10-x) \) は，家から駅までの道のりを表しています。

線分 \( BC \) の垂直二等分線上にある点は，
すべて２点 \( B，C \) からの距離が等しい点になります。

\( y=-9 \)

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \)（\( a \) は定数）になります。

ここに，\( x=3，y=-12 \) を代入すると，
　\( -12=\dfrac{a}{3} \)
　　 \( a=-36 \)

よって，\( y=-\dfrac{36}{x} \) に \( x=4 \) を代入すると，
　\( y=-\dfrac{36}{4}=-9 \)

\( \dfrac{3}{10} \)

３本が当たりくじに「あ１，あ２，あ３」，２本のはずれくじに「は１，は２」と名前をつけ，
Ａさん，Ｂさんがひくくじの組み合わせを樹形図に書き出すと，
すべての組み合わせは２０通り，２人とも当たりくじをひく組み合わせは６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} \)

ア

箱ひげ図は，１５年分のデータを集計しているので，
第１四分位数は気温の低い方から４番目の値で，\( 17.0 \; C^\circ \) 以上 \( 17.5 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。
中央値は気温の低い方から８番目の値で，\( 17.5 \; C^\circ \) 以上 \( 18.0 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。
第３四分位数は気温の低い方から１２番目の値で，\( 18.0 \; C^\circ \) 以上 \( 18.5 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。

次に，それぞれのヒストグラムに累積度数を書き込み，
第１四分位数（４番目の値）が含まれている階級に ○，
中央値（８番目の値）が含まれている階級に ○，
第３四分位数（１２番目の値）が含まれている階級に ○
をつけると，箱ひげ図とすべてが合致しているのは ア のヒストグラムになります。

　　

２０１０年～２０２４年の箱ひげ図の箱の方が１９９５年～２００９年の箱ひげ図の箱より右側にあるから

箱ひげ図の箱の部分には約５０％の数のデータが含まれています。
２つの箱ひげ図の最大値と最小値がほぼ同じで，箱の位置が右側にあるということは

１９９５年～２００９年では，約半分の年で平均気温が\( 18.3 \; C^\circ \) 以上 \( 18.8 \; C^\circ \) 未満であるのに対して，
２０１０年～２０２４年では，約半分の年で平均気温が\( 18.9 \; C^\circ \) 以上 \( 20.8 \; C^\circ \) 未満になっています。

ここから，「２０１０年～２０２４年の５月の平均気温は，１９９５年～２００９年の５月の平均気温より高くなっている傾向にある」といえます。

\( x=10 \)

　 \( (x-6)(x-1)=36 \)
　　　\( x^2-7x+6=36 \)
　　\( x^2-7x-30=0 \)
　\( (x+3)(x-10)=0 \)
　　　　　　　　 \( x=10 \)（ \( x>0 \) より）

\( \dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

これらを➀に代入すると，
　\( 3 \times \dfrac{x-1}{2} \times (x-6)=\dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

イ　満水状態の電気給湯器の中のお湯の量

表から，スイッチＡを押すと電気給湯器の中から毎分 \( 12 \; L \) のお湯が出ていき（減り）ます。
つまり，スイッチＡを押してから \( x \) 分間の間には
電気給湯器の中から \( 12x \; L \) のお湯が出ていき（減り）ます。

式を \( y+12x=360 \) に書き換えると，
　\( y \) は \( x \) 分後に電気給湯器の中に残っているお湯の量，
　\( 12x \) は \( x \) 分間に電気給湯器から出ていったお湯の量
を表しているので，これらの和（\( 360 \)）は満水状態の電気給湯器の中のお湯の量になります。

\( -120 \)

「\( x \) の増加量が \( 10 \) のとき」を「\( x \) が \( 0 \) から \( 10 \) まで増加したとき」と考えると，
　\( x=0 \) の \( y \) の値は，\( y=-12 \times 0+360=360 \)
　\( x=10 \) の \( y \) の値は，\( y=-12 \times 10+360=240 \)
なので，\( y \) の増加量は，\( 240-360=-120 \)

\( 270 \; L \)

スイッチＢを押すと，毎分 \( 18 \; L \) ずつ電気給湯器の中のお湯が減っていくので，
\( 5 \) 分間に減るお湯の量は \( 18 \times 5＝90 \; (L) \) になります。
満水状態では \( 360 \; L \) なので，\( 5 \) 分後の電気給湯器の中のお湯の量は，
　\( 360-90=270 \; (L) \)

直線Ａ，直線Ｂそれぞれにおいて \( y \) 座標が \( 180 \) になる点の \( x \) 座標の差を求める。

式 ･･･ \( y=6x-90 \)
変域 ･･･ \( 25≦x≦45 \)

スイッチＡが押されていた時間を \( s \) 秒，スイッチＢが押されていた時間を \( t \) 秒とすると，
時間についての関係を方程式で表すと，\( s+20+t=55 \) ･･･ ➀
お湯の量についての関係を方程式で表すと，
スイッチＡを押して出ていったお湯の量は \( 12s \; L \)，
スイッチＢを押して出ていったお湯の量は \( 18t \; L \)，
と表すことができ，これら出ていったお湯の総量は，
満水状態の水の量 \( 360 \; L \) とスイッチＣを押してためたお湯の量 \( 6 \times 20=120 \; (L) \) の合計と等しくなるので，
　\( 12s+18t=360+120 \) ･･･ ➁

スイッチＣに切り替えてから，スイッチＢに切り替えるまでの \( x \) と \( y \) の関係を表す式を
\( y=6x+b \) として，\( x=25，y=60 \) を代入すると，
　\( 60=6 \times 25+b \)
　\( 60=150+b \)
　 \( b=-90 \)
よって，求める式は \( y=6x-90 \)