標本調査と全数調査

標本調査

標本調査とは、ある集団（母集団）の中から無作為に一部を取り出して（無作為抽出して）調査し，その結果をもとに全体の状態を統計的に推定する方法のことで，サンプル調査と呼ばれることもあります。

ある箱の中に青色の玉と赤色の玉が合計１０００個入っているとします。
箱の中の青色の玉と赤色の玉の個数を知りたいとき，１０００個の玉すべてを調べるのは時間がかかります。
このとき，標本として５０個の玉を無作為に取り出し､青色の玉と赤色の玉の個数を数えることで，
箱の中の青色の玉と赤色の玉の個数を推定することができます。

標本調査の例

【テレビの視聴率調査】
視聴率調査の主な方法としては，日本全国を３２の地区に分け，それぞれの地区で無作為に選ばれた家庭に調査用機材を設置し，テレビの視聴状況を記録しています。
この場合，母集団は「調査地区内のすべての家庭」になります。

【水質調査】
調査対象となる地点（施設）からビーカーやバケツで調査用の水を採取し，検査を実施します。
量も多く，常に流れている水を全量せき止め、検査をすることは現実的ではありません。

【工場の品質検査】
特に工業用製品においては，十分な強度が保たれているか検査するためにサンプル品を実際に破壊して検査しています。
これを全数調査にしてしまうと，販売できる製品がなくなってしまいます。

【世論調査】
新聞社や自治体等が行う世論調査も一部の人だけを対象に実施されています。
政策に対する賛否・政党支持率などの国民の意見についておよその傾向がつかめればいいので，
標本調査により実施されています。

全数調査

標本調査に対し、全数調査という方法もあり，名前のとおり，集団に含まれる全てのもの（人）をもれなく調査する方法です。

全数調査の例

【国勢調査】
国勢調査は，効果的な政策を実施するためのベースになる資料をつくることを目的として
居住地や就業・就学状況等について調査されています。
そのため，正確な情報を得る必要があり，国内在住の全国民を対象として実施されています。

【学校・会社の健康診断】
学校で行われている健康診断は全員が受診しています。
健康状態に異常がある人は，もれなく発見し，治療してもらう必要があるからです。

【空港。イベントの手荷物検査】
凶器や爆発物等の持ち込みにより安全性を脅かされることを防ぐために実施されています。
安全の確保のためにはもれなく発見する必要がありますので，全員の荷物を検査する必要があります。

標本調査と全数調査の特徴

標本調査と全数調査には，次のような特徴があり，調査したいもの（こと）の性質や母集団の規模等により選択する必要があります。

標本調査の特徴

【誤差の有無】
標本調査では，母集団の中から一部を取り出して調査し推定するため，誤差が発生します。
そのため，確実性が重視されるものを調査することには不向きです。

【コストと手間】
標本調査では，母集団の中から一部を取り出して調査し推定するため，
実際に調査する数を少なくすることができ，コストと手間を節約することができます。

【注意点】
標本調査では，母集団の中から一部を取り出して調査し推定するため，
標本の選び方に偏りがある（無作為抽出できていない）と正しい結果が得られなくなります。

全数調査の特徴

【誤差の有無】
全数調査では，母集団すべてを調査するため，誤差が発生せず，正確なデータが得られます。
そのため，確実性が重視されるものを調査することに適しています。

【コストと手間】
全数調査では，母集団すべてを調査するため，母集団が大きくなるほど，コストと手間もかかります。

以上より，
知りたい内容や必要とする精度，コストのバランスを考えて標本調査と全数調査を選択する必要があります。
母集団の規模が大きい場合やざっくりとした傾向が知りたい場合にはコストや手間を節約できる標本調査を，
母集団について正確な情報をもれなく知りたい場合には全数調査を用いるのがいいと考えられます。

無作為抽出とは

無作為抽出とは、母集団（調査対象全体）から「公平に」標本を選ぶ方法です。
無作為抽出で選ばれた標本は，集団の全ての要素が同じ確率で抽出されたと考えることができます。
無作為抽出するためには、乱数表やさいころなどが利用されるほか，パソコンを使用する場合には，Excelのランダム関数（ＲＡＮＤ関数）が利用されます。

無作為抽出の例

無作為抽出の例として，あるクラスの生徒３５人（男子２１人，女子１４人）の中から，５人の生徒を無作為抽出する方法について考えてみましょう。

方法１．乱数表から１０個の数を選び，選んだ番号と同じ出席番号の生徒を選ぶ

方法２．区間を区切ってその中から１人ずつ選ぶ
手順１．３５人の中から，５人の生徒を選ぶので，出席番号順に７人ずつのグループをつくる。

手順２．１番から７番までの７人の中から，無作為に１人を選ぶ。
　　　　例として，２番を選んだ場合を示します。

手順３．手順２で選んだ番号からグループの人数（７人）ごとに１人を選ぶ。
　　　　（母集団の人数が大きく，２０人ずつのグループになった場合は，２０人ごとに１人を選ぶ。）

方法３．母集団の特徴別にグループ分けし，比例配分して選ぶ
手順１．３５人を男女にグループ分けする。

手順２．方法１または方法２を用いて，男子から３人，女子から２人を選ぶ。
　　　　（男女比が ２１：１４＝３：２のため）

乱数表の使い方

乱数表は，０から９までの数字が不規則に並んだ表のことで，縦，横，斜めのどの方向を見ても数字がバラバラに並んでいて，各数字の現れる確率が同じになっています。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（JISより一部抜粋）

乱数表の使い方は次のとおりです。

手順１．乱数表の中から１つの数字を選ぶ。
　　　　例：目をつぶって指をさした数字を選ぶ。
　　　　　　今日の日付から選ぶ。（２月６日→２行６列）

手順２．手順１で選んだ数字から上下左右いずれか好きな方向に必要な個数だけ数字を選ぶ。
　　　　（選んだ数字が重複した場合や母集団の数より大きい数の場合は無視して次の数を選ぶ）

乱数表による数字の選び方の例
例として，５つの１～３５の中から５つの数字を選んでみます。

手順１．乱数表の中から１つの数字を選ぶ。
　　　　今回は２行６列の数「３２」を選んだことにします。

手順２．手順１で選んだ数字から上下左右いずれか好きな方向に必要な個数だけ数字を選ぶ。
　　　　今回は下に選んでいくと，５，２５，８，１５が選ばれることになります。
　　　　なお，途中にある ４７，８９，６７，７３，７２ は３５より大きいので無視します。

無作為抽出できていない標本調査の結果は信用できない

標本調査の結果は，標本の抽出のしかた（無作為抽出したか）によって大きな影響を受けます。
無作為抽出できていない標本調査の結果から推定される内容は実態と異なることになります。
以下に，無作為抽出できていない標本調査の結果が実態と異なる例をあげます。

例１
ある中学校で全校生徒の自宅での学習時間を調べる場合，
３年生からだけ標本を抽出するのは無作為抽出ではありません。
３年生の多くは受験生であると考えられ，１年生，２年生よりは自宅での学習時間は長くなると考えられます。
つまり，３年生からだけ標本を抽出すると，実態より自宅での学習時間は長くなると考えられます。

例２
１００人に実施したアンケート調査でカレーが好きと答えた人９０人，嫌いと答えた人が１０人であったとします。
このとき，１０人分の回答を無作為抽出すると，好きと答えた回答が９人分，嫌いと答えた回答が１人分選ばれると考えられます。
しかし，好きと答えた回答を５人分，嫌いと答えた回答を５人分意図的に選んでしまうと，
標本調査の結果は「カレーが好きな人と嫌いな人の割合はほぼ同等である」となってしまいます。

標本調査と推定

母集団の中の比率（割合）と標本の中の比率（割合）は等しい

母集団に含まれる割合と標本に含まれる割合は等しいものとする

標本調査では，母集団に含まれる比率（割合）と抽出した標本に含まれる比率（割合）は等しくなると考えられます。

例として，ある工場で１日 \( 10000 \) 個の製品を製造し，その中から \( 100 \) 個を抽出して品質検査をした結果，\( 3 \) 個の不良品が見つかったという事例について，１日に発生した不良品の数を推定してみます。

抽出した標本 \( 100 \) 個の中に３個の割合で不良品が含まれているので，
母集団 \( 10000 \) 個の中にも \( 100 \) 個中３個の割合で不良品が含まれていると考えます。

　母集団 ･･･ １日に製造した製品数（ \( 10000 \) 個）
　標本 ･･･ 抽出した製品の数（ \( 100 \) 個）
　標本に含まれる調査したいものの数 ･･･ 標本の中の不良品の数（ \( 3 \) 個）

なので，

　母集団に含まれる調査したいものの数 ･･･ 母集団の中の不良品の数（ \( x \) 個）

として数式で表すと，

　\( 10000：x=100：3 \)

となり，これを解くと，\( x=300 \) なので，
１日に製造した製品の中には \( 300 \) 個の不良品が含まれていると推定されます。

母集団の中の構成比率と標本の中の構成比率は等しいものとする

同様に，母集団の中の「Ａ」と「Ｂ」の比率（割合）と抽出した標本の中の「Ａ」と「Ｂ」の比率（割合）は等しくなると考えられます。

例えば，箱の中に白の碁石と黒の碁石が多数入っていて，白の碁石は \( 360 \) 個入っていることだけがわかっているとします。箱の中から \( 30 \) 個を抽出して白の碁石と黒の碁石の数を数えた結果，白の碁石が \( 18 \) 個，黒の碁石が \( 12 \) 個であったとときの箱の中の黒の碁石の数を推定してみます，

抽出した標本 \( 30 \) 個の中の白の碁石と黒の碁石の比は \( 18：12 \) なので，
母集団の中の白の碁石と黒の碁石の比も \( 18：12 \) になっていると考えます。

　母集団の中の「Ａ」の数 ･･･ 箱の中の白の碁石の数（ \( 360 \) 個）
　標本の中の「Ａ」の数 ･･･ 抽出した白の碁石の数（ \( 18 \) 個）
　標本の中の「Ｂ」の数 ･･･ 抽出した黒の碁石の数（ \( 12 \) 個）

なので，

　母集団の中の「Ｂ」の数 ･･･ 箱の中の黒の碁石の数（ \( x \) 個）

とすると，

　\( 360：x=18：12 \)

となり，これを解くと，\( x=240 \) なので，
箱の中に入っている黒の碁石は \( 240 \) 個であると推定されます。

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ここでは，箱ひげ図で表されたデータの読み取り方と箱ひげ図の書き方について学んでいきます。

箱ひげ図の特徴

箱ひげ図は名前のとおり，箱とひげでできたグラフです。

箱ひげ図は，集めたデータから求めた
最小値・第一四分位数・中央値（第二四分位数）・第三四分位数・最大値
の値をもとに作成されています。

箱ひげ図を理解するための準備として，四分位数と四分位範囲について知っておく必要があるので，
まず，四分位数と四分位範囲の解説をしていきます。

四分位数と四分位範囲

四分位数とは

四分位数とは，集めたデータを小さい順に並び替え，データの数が４等分されるように区切った時の区切り値のことをいいます。
データを４等分すると区切り値は３つあらわれ，小さいほうから順に 第一四分位数，中央値（第二四分位数），第三四分位数 といいます。

【参考】　中央値と平均値は同じではない
　中央値は，小さい順に値を並べたときに中央の位置にある値，
　平均値は，すべての値の合計をデータの個数で割った値
　を表しており，同じではありません。
　平均値は「はずれ値（極端に離れた値）」の影響を受けやすいという弱点があるので，
　注意が必要です。

　（例）
　　年収１００万円の人が９人いるとするとき，平均値と中央値はどちらも１００万円です。
　　ここに，１０人目として年収１億円の人が１人加わると･･･
　　中央値は１００万円で変わりませんが，平均値は１０９０万円になります。
　　この平均値を参考にして，１０人は約１０００万円を稼ぐことができている人たちであると
　　考えるのは適切ではありません。

四分位数の求め方

四分位数を求める手順は

です。

データの個数が偶数個の場合と奇数個の場合でグループ分けのしかたは異なりますが，
共通するキーワードはデータの個数が等しくなるように２つのグループに分けるです。

ＳＴＥＰ４，５とＳＴＥＰ６，７でやることはは，ＳＴＥＰ２，３と同じなので，
まずはＳＴＥＰ１～３を確実にマスターしてください。

ＳＴＥＰ１：データを小さい順に並び替える

ＳＴＥＰ２：データの個数が等しくなるように２つのグループに分ける

●　データの総数が偶数個（例：１２個）の場合

●　データの総数が奇数個（例：１３個）の場合
　　データの個数が等しくなるように２つのグループに分けると，６個ずつに分けることができ，
　　小さい方から７番目の値はどちらのグループにも入らず余りますが，そのままにしておきます。

ここからの解説では，２つのグループを仮に「グループ小」と「グループ大」と呼ぶことにします。

ＳＴＥＰ３：中央値を求める

●　データの総数が偶数個（例：１２個）の場合
　　”グループ小”の中で最も大きい値と”グループ大”の中で最も小さい値の平均値が中央値になります。
　　この例の場合，
　　”グループ小”の中で最も大きい値は \( 60 \)，”グループ大”の中で最も小さい値は \( 64 \) なので，
　　\( 60 \) と \( 64 \) の平均値 \( \dfrac{60+64}{2}=62 \) が中央値になります。

●　データの総数が奇数個（例：１３個）の場合
　　ＳＴＥＰ２で余った小さい方から７番目の値 \( 64 \) が，そのまま中央値になります。

次に，第一四分位数と第三四分位数を求めていきますが，
　第一四分位数は ”グループ小における中央値”
　第三四分位数は ”グループ大における中央値”
と考えることができるので，ＳＴＥＰ２，３と同じことを繰り返していきます。

ＳＴＥＰ４：”グループ小”をデータの個数が等しくなるよう２つのグループに分ける

”グループ小”のデータをＳＴＥＰ２と同じように２つのグループに分けていきます。

●　”グループ小”のデータの個数が偶数個（例：６個）の場合
　　　　

●　”グループ小”のデータの個数が奇数個（例：７個）の場合
　　データの個数が等しくなるように２つのグループに分けると，３個ずつに分けることができ，
　　小さい方から４番目の値はどちらのグループにも入らず余りますが，そのままにしておきます。
　　　　

ＳＴＥＰ５：第一四分位数を求める

●　”グループ小”のデータの個数が偶数個（例：６個）の場合
　　小さい方のグループの中で最も大きい値と大きい方のグループの中で最も小さい値の平均値が
　　第一四分位数になります。
　　この例の場合，
　　　小さい方のグループの中で最も大きい値は \( 52 \)，
　　　大きい方のグループの中で最も大きい値は \( 54 \)
　　なので，\( 52 \) と \( 54 \) の平均値 \( \dfrac{52+54}{2}=53 \) が第一四分位数になります。

●　”グループ小”のデータの個数が奇数個（例：７個）の場合
　　ＳＴＥＰ４で余った小さい方から４番目の値 \( 52 \) が，そのまま第一四分位数になります。

ＳＴＥＰ６：”グループ大”をデータの個数が等しくなるよう２つのグループに分ける

”グループ大”のデータをＳＴＥＰ２と同じように２つのグループに分けていきます。

●　”グループ大”のデータの個数が偶数個（例：６個）の場合
　　　　

●　”グループ大”のデータの個数が奇数個（例：７個）の場合
　　データの個数が等しくなるように２つのグループに分けると，３個ずつに分けることができ，
　　小さい方から４番目の値はどちらのグループにも入らず余りますが，そのままにしておきます。
　　　　

ＳＴＥＰ７：第三四分位数を求める

●　”グループ大”のデータの個数が偶数個（例：６個）の場合
　　小さい方のグループの中で最も大きい値と大きい方のグループの中で最も小さい値の平均値が
　　中央値になります。
　　この例の場合，
　　　小さい方のグループの中で最も大きい値は \( 68 \)，
　　　大きい方のグループの中で最も大きい値は \( 69 \)
　　なので，\( 68 \) と \( 69 \) の平均値 \( \dfrac{68+69}{2}=68.5 \) が第三四分位数になります。

●　”グループ大”のデータの個数が奇数個（例：７個）の場合
　　ＳＴＥＰ６で余った小さい方から４番目の値 \( 69 \) が，そのまま第三四分位数になります。

以上，解説が長くなったので，例題を使って整理してみましょう。

例題：第一四分位数，中央値，第三四分位数を求める

次の表は，ある１０人のグループの数学のテストの得点を表したものである。
このとき，第一四分位数，中央値，第三四分位数を求めなさい。

　　　\( \fbox{  63，75，52，87，58，48，68，95，70，80  } \)

四分位範囲とは

四分位範囲は

で求めることができます。

最小値から第一四分位数，第一四分位数から中央値，中央値から第三四分位数，第三四分位数から最大値の
各区間には，それぞれ約２５％のデータが含まれることから，四分位範囲は中央値付近の約５０％の値の散らばり具合を表しています。

例えば，１２人が行ったテストの得点の場合を考えると，

●　第一四分位数： \( 53 \) 点，中央値： \( 60 \) 点，第三四分位数： \( 68 \) 点の場合，
　　　　四分位範囲 \( =68-53=15 \)（点）
　　となり，\( 15 \) 点の範囲の中に６人分のデータが含まれていることになります。

●　第一四分位数： \( 45 \) 点，中央値： \( 60 \) 点，第三四分位数： \( 75 \) 点の場合，
　　　　四分位範囲 \( =75-45=30 \)（点）
　　となり，\( 30 \) 点の範囲の中に６人分のデータが含まれていることになります。

つまり，四分位範囲の値が大きいほど，データの散らばり具合も大きいことになります。

箱ひげ図の書き方

箱ひげ図は，最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値を図に表したものであり，

を表しています。

箱ひげ図は，縦向きになっている場合もあります。

ＳＴＥＰ１：最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値を求める

集めたデータを小さい順に並べ替え，最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値を求めます。
第一四分位数・中央値・第三四分位数 の求め方の詳細はコチラ

ＳＴＥＰ２：求めた値をもとにグラフに書き込む

ＳＴＥＰ１で求めた最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値をもとに，

になるよう，グラフに箱とひげを書き込めば完成です。

箱ひげ図の読み取り方

箱ひげ図から読み取ることができる値

箱ひげ図は，最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値を図に表したものです。

また，箱の左端が第一四分位数，箱の右端が第三四分位数を表していることから，
箱の長さが四分位範囲を表しています。

さらに，ひげの左端が最小値，ひげの右端が最大値を表していることから，
ひげの長さが範囲を表しています。

ヒストグラムと箱ひげ図の対応

ヒストグラムに対応した箱ひげ図を見つけるための手順は次のとおりです。

例として，３１人分のデータを集めた次のヒストグラムに対応する箱ひげ図はどのようになるか考えてみます。

ＳＴＥＰ１：ヒストグラムに各階級の度数を書き込む

ヒストグラムの各階級の棒の上側に度数を書き込みます。

ＳＴＥＰ２：ヒストグラムに各階級の累積度数を書き込む

ヒストグラムの各階級の棒の内部に累積度数を書き込みます。

ＳＴＥＰ３：四分位数が小さい方（大きい方）から何番目の値になるか求める

データを小さい順に並べたとき，第一四分位数・中央値・第三四分位数がそれぞれ小さい方（大きい方）から
何番目の値になるか求めます。
具体的な値はわかりませんが，問題ありません。

１．３１個のデータを２つのグループに分けると，１５個ずつに分かれて１個余るので，
　　中央値は小さい方から１６番目の値であることがわかります。

２．”グループ小”の１５個のデータを２つのグループに分けると，７個ずつに分かれて１個余るので，
　　第一四分位数は小さい方から８番目の値であることがわかります。
　　同様に，
　　”グループ大”の１５個のデータを２つのグループに分けると，７個ずつに分かれて１個余るので，
　　第三四分位数は大きい方から８番目（小さい方から２４番目 ）の値であることがわかります。

ＳＴＥＰ４：ヒストグラムから代表値がどの階級に含まれているか求める

ヒストグラムから，最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値がそれぞれどの階級に含まれているのかを求めます。

【最小値】
　度数が \( 0 \) ではない階級のうち最も小さい階級は \( 0 \) 回以上 \( 2 \) 回未満なので，
　最小値は，\( 0 \) 回以上 \( 2 \) 回未満の階級に含まれます。

【第一四分位数（小さい方から８番目）】
　ヒストグラムから，
　\( 2 \) 回以上 \( 4 \) 回未満の階級の累積度数は \( 4 \) 人，
　\( 4 \) 回以上 \( 6 \) 回未満の階級の累積度数は \( 9 \) 人
　なので，
　\( 4 \) 回以上 \( 6 \) 回未満の階級に含まれる値は小さい方から５～９番目の値になります。
　よって，小さい方から８番目の値は，\( 4 \) 回以上 \( 6 \) 回未満の階級に含まれていることになります。

【中央値（小さい方から１６番目）】
　ヒストグラムから，
　\( 6 \) 回以上 \( 8 \) 回未満の階級の累積度数は \( 16 \) 人
　なので，
　小さい方から１６番目の値は，\( 6 \) 回以上 \( 8 \) 回未満の階級に含まれていることになります。

【第三四分位数（大きい方から８番目）】
　ヒストグラムから，
　\( 10 \) 回以上の階級の度数の合計は \( 5+1=6 \) 人，
　\( 8 \) 回以上の階級の度数の合計は \( 9+5+1=15 \) 人
　なので，
　\( 4 \) 回以上 \( 6 \) 回未満の階級に含まれる値は大きい方から７～１５番目の値になります。
　よって，大きい方から８番目の値は，\( 8 \) 回以上 \( 10 \) 回未満の階級に含まれていることになります。

【最大値】
　度数が \( 0 \) ではない階級のうち最も大きい階級は \( 12 \) 回以上 \( 14 \) 回未満なので，
　最大値は，\( 12 \) 回以上 \( 14 \) 回未満の階級に含まれます。

ＳＴＥＰ５：代表値がヒストグラムと同じ階級に含まれている箱ひげ図を選ぶ

以上より，このヒストグラムに対応する箱ひげ図は
　最小値　　　 ･･･ \( 0 \) 回以上 \( 2 \) 回未満の階級
　第一四分位数 ･･･ \( 4 \) 回以上 \( 6 \) 回未満の階級
　中央値　　　 ･･･ \( 6 \) 回以上 \( 8 \) 回未満の階級
　第三四分位数 ･･･ \( 8 \) 回以上 \( 10 \) 回未満の階級
　最大値　　　 ･･･ \( 12 \) 回以上 \( 14 \) 回未満の階級
をすべて満たすものになります。

あてはまる箱ひげ図の一例はこんな感じです。

テストのときは，適切な箱ひげ図を選ぶパターンが多いので，
すべてがあてはまる箱ひげ図は１つになるはずです。

その他箱ひげ図から読み取ることができること

例として１５人分のデータからつくられた下の箱ひげ図から読み取れることを考えてみます。
なお，得点は１点単位（小数点以下は考えない）とします。

最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値

【最小値】
　図から，最小値は \( 40 \) 点以上 \( 45 \) 点未満であることがわかります。
　その中で半分より少し小さい値になっているので \( 42 \) 点であると推測できます。

【第一四分位数】
　図から，第一四分位数は \( 50 \) 点以上 \( 55 \) 点未満であることがわかります。
　その中で半分より少し大きい値になっているので \( 53 \) 点であると推測できます。

【中央値】
　図から，中央値は \( 60 \) 点以上 \( 65 \) 点未満であることがわかります。
　その中で半分より少し小さい値になっているので \( 62 \) 点であると推測できます。

【第三四分位数】
　図から，第三四分位数は \( 65 \) 点以上 \( 70 \) 点未満であることがわかります。
　その中で半分より少し大きい値になっているので \( 67 \) 点であると推測できます。

【最大値】
　図から，最大値は \( 75 \) 点であることがわかります。

【四分位範囲】
　第一四分位数は \( 53 \) 点，第三四分位数は \( 67 \) 点と推測されるので，
　四分位範囲は \( 67-53=14 \) 点であると推測できます。

【範囲】
　最小値は \( 42 \) 点と推測され，最大値は \( 75 \) 点なので，
　範囲は \( 75-42=33 \) 点であると推測できます。

６５点以上とった人は何人いるか

中央値が \( 65 \) 点未満，第三四分位数が \( 65 \) 点以上であることに注目します。

１．中央値・第三四分位数が何番目にあたるか求める
　　１５個のデータを２つのグループに分けると，７個ずつに分かれて１個余るので，
　　中央値は大きい方から８番目の値であることがわかります。
　　大きい方の７個のデータを２つのグループに分けると，３個ずつに分かれて１個余るので，
　　第三四分位数は大きい方から４番目の値であることがわかります。

２．\( 65 \) 点以上とった人数を求める
　　箱ひげ図から，第三四分位数は大きい方から４番目の値で，\( 65 \) 点より大きい値なので，
　　少なくとも４人は \( 65 \) 点以上とったことがわかります。
　　また，中央値は大きい方から８番目の値で，\( 65 \) 点より小さい値なので，
　　\( 65 \) 点以上とった人は，多くても７人であることがわかります。
　　５番目から７番目の人の得点は箱ひげ図のデータだけではわかりません。
　　よって，\( 65 \) 点以上とった人は４人以上７人以下であることがわかります。

７０点以上とった人は何人いるか

第三四分位数が \( 70 \) 点未満，最大値が \( 75 \) 点であることに注目します。

１．中央値・第三四分位数が何番目にあたるか求める
　　１５個のデータを２つのグループに分けると，７個ずつに分かれて１個余るので，
　　中央値は大きい方から８番目の値であることがわかります。
　　大きい方の７個のデータを２つのグループに分けると，３個ずつに分かれて１個余るので，
　　第三四分位数は大きい方から４番目の値であることがわかります。

２．\( 70 \) 点以上とった人数を求める
　　箱ひげ図から，最大値は \( 75 \) 点なので，
　　少なくとも１人は \( 70 \) 点以上とったことがわかります。
　　また，第三四分位数は大きい方から４番目の値で，\( 70 \) 点より小さい値なので，
　　\( 70 \) 点以上とった人は，多くても３人であることがわかります。
　　２番目，３番目の人の得点は箱ひげ図のデータだけではわかりません。
　　よって，\( 70 \) 点以上とった人は１人以上３人以下であることがわかります。

同様の考え方から，
\( 55 \) 点未満の得点の人，\( 60 \) 点未満の得点の人は４人以上７人以下
\( 45 \) 点未満の得点の人，\( 50 \) 点未満の得点の人は１人以上３人以下
であることもわかります。

箱ひげ図によるデータの比較

箱ひげ図は，データのばらつき具合をわかりやすく示すことができ，
複数のグループの傾向（例：各クラスの学期末テストの得点の分布）を比較するのに適しています。

例として１５人分のデータからつくられた下の２つの箱ひげ図を比較して読み取れることを考えてみます。
なお，得点は１点単位（小数点以下は考えない）とします。

ＡとＢでデータのばらつき具合が大きいのはどちら？

まず，範囲に注目すると，
Ａの箱ひげ図では，最小値が \( 40 \) 点，最大値が \( 84 \) 点なので，
範囲は \( 84-40=44 \) 点
Ｂの箱ひげ図では，最小値が \( 42 \) 点，最大値が \( 75 \) 点なので，
範囲は \( 75-42=33 \) 点
であり，Ａの箱ひげ図では \( 44 \) 点の幅，Ｂの箱ひげ図では \( 33 \) 点の幅の中に
１５人分すべての得点が分布していることがわかります。

次に四分位範囲に注目すると，
Ａの箱ひげ図では，第一四分位数が \( 52 \) 点，第三四分位数が \( 71 \) 点なので，
四分位範囲は \( 71-52=19 \) 点
Ｂの箱ひげ図では，第一四分位数が \( 53 \) 点，第三四分位数が \( 67 \) 点なので，
四分位範囲は \( 67-53=14 \) 点
であり，Ａの箱ひげ図では \( 19 \) 点の幅，Ｂの箱ひげ図では \( 14 \) 点の幅の箱の中に
中央値を含む７人分の得点が分布していることがわかります。

これらのことから，最小値・第一四分位数・中央値・第三四分位数・最大値の５つの値以外のわからない値が
均等に分布しているものと仮定し，○印として箱ひげ図に書き加えると，下の図のようになり，
Ａの箱ひげ図の方が○印どうしの間隔が大きくなっています。
つまり，データのばらつき具合が大きいといえます。

ＡとＢで７０点以上とった人数はどちらが多い？

Ａの箱ひげ図の第三四分位数が \( 70 \) 点以上，Ｂの箱ひげ図の第三四分位数が \( 70 \) 点未満であることに注目します。

Ａの箱ひげ図における７０点以上とった人数
第三四分位数は大きい方から４番目の値で，第三四分位数は \( 70 \) 点以上なので，
少なくとも４人以上は \( 70 \) 点以上とっていることがわかります。

Ｂの箱ひげ図における７０点以上とった人数
第三四分位数は大きい方から４番目の値で，第三四分位数は \( 70 \) 点未満なので，
\( 70 \) 点以上とった人は３人以下であることがわかります。

第三四分位数が何番目にあたるか求める方法はコチラ

つまり，Ａの箱ひげ図の方が \( 70 \) 点以上とった人数が多いとわかります。

ＢとＣで得点が低い傾向にあるのはどちら？

Ｂの箱ひげ図とＣの箱ひげ図で箱の位置に注目すると，Ｃの箱ひげ図の方が箱の位置が左にあります。
さらに細かく見ると，Ｃの第三四分位数はＢの中央値よりも小さくなっています。
また，Ｃの第一四分位数はＢの第一四分位数よりも小さくなっています。

１５人のデータを集計していることから，
第三四分位数は小さい方から４番目
中央値は小さい方から８番目
第三四分位数は小さい方から１２番目
の値であり，
Ｂの中央値は \( 62 \) 点，Ｃの第三四分位数は \( 61 \) 点であると考えられるので，
Ｂの箱ひげ図からは，\( 62 \) 点以下の人数は８人，
Ｃの箱ひげ図からは，\( 62 \) 点以下の人数は１２人以上
であるとわかります。

また，Ｂの第一四分位数は \( 53 \) 点，Ｃの第一四分位数は \( 50 \) 点であると考えられるので，
Ｂの箱ひげ図からは，\( 53 \) 点以下の人数は４人，
Ｃの箱ひげ図からは，\( 53 \) 点以下の人数は４人以上
であるとわかります。

つまり，\( 62 \) 点以下の人数はＣの方が多く，さらに，\( 53 \) 点以下の人数もＣの方が多いので，
全体としては，Ｃの方が得点が低い傾向にあるといえます。

一部わからなくなっているデータを推測する

例として７人分のデータからつくられた箱ひげ図に対して，後から１人分のデータを追加し，箱ひげ図を書き直した場合の追加したデータの値を考えてみます。
なお，得点は１点単位（小数点以下は考えない）とします。

１．７個のデータの値を求める
　　７人分の箱ひげ図から代表値を読み取ると，７個のデータのうち５個が明らかになります。

　　このとき，不明な値を \( x，y \;\; (x<y) \) として７個のデータを小さい順に並べると，

　　　　　　　\( 2，3，x，8，y，11，14 \)

　　となります。

２．データが追加される位置を見つける
　　８人分の箱ひげ図において，追加した値を \( z \) とすると，
　　最小値 \( 2 \) と最大値 \( 14 \) は変わらないので，\( 2≦z≦14 \) になり，
　　下の図のア～カのどこかに追加されることになります。

　　アの位置に追加されると仮定すると･･･
　　アの位置に追加される \( (2≦z≦3) \) と仮定し，８個のデータを小さい順に並べると，

　　　　\( 2，z，3，x，8，y，11，14 \)

　　となります。

　　８人分のデータで箱ひげ図を描くとき，
　　第一四分位数は２番目と３番目の平均値，中央値は４番目と５番目の平均値，
　　第三四分位数は６番目と７番目の平均値
　　になります。

　　８人分のデータの箱ひげ図から第一四分位数は \( 4 \) なので，
　　　\( \dfrac{z+3}{2}=4 \)
　　　 \( z+3=8 \)
　　　　　 \( z=5 \)
　　となり，\( 2≦z≦3 \) と矛盾するのであてはまりません。

　　カの位置に追加されると仮定すると･･･
　　カの位置に追加される \( (11≦z≦14) \) と仮定し，８個のデータを小さい順に並べると，

　　　　　　　\( 2，3，x，8，y，11，z，14 \)

　　となります。
　　８人分のデータの箱ひげ図から第三四分位数は \( 10 \) なので，
　　　\( \dfrac{11+z}{2}=10 \)
　　　 \( 11+z=20 \)
　　　　　　\( z=9 \)
　　　となり，\( 11≦z≦14 \) と矛盾するのであてはまりません。

　　オの位置に追加されると仮定すると･･･
　　オの位置に追加される \( (8≦z≦11) \) と仮定し，８個のデータを小さい順に並べると，

　　　　　　　\( 2，3，x，8，y，z，11，14 \)

　　となります。
　　８人分のデータの箱ひげ図から中央値は \( 7 \) なので，
　　　\( \dfrac{8+y}{2}=7 \)
　　　 \( 8+y=14 \)
　　　　　　\( y=6 \)
　　　となり，\( 8≦y≦11 \) と矛盾するのであてはまりません。

　　エの位置に追加されると仮定すると･･･
　　エの位置に追加される \( (8≦z≦11) \) と仮定し，８個のデータを小さい順に並べると，

　　　　　　　\( 2，3，x，8，z，y，11，14 \)

　　となります。
　　８人分のデータの箱ひげ図から中央値は \( 7 \) なので，
　　　\( \dfrac{8+z}{2}=7 \)
　　　 \( 8+z=14 \)
　　　　　　\( z=6 \)
　　　となり，\( 8≦z≦11 \) と矛盾するのであてはまりません。

　　ウの位置に追加されると仮定すると･･･
　　ウの位置に追加される \( (3≦z≦8) \) と仮定し，８個のデータを小さい順に並べると，

　　　　　　　\( 2，3，x，z，8，y，11，14 \)

　　となります。
　　８人分のデータの箱ひげ図から中央値は \( 7 \) なので，
　　　\( \dfrac{z+8}{2}=7 \)
　　　 \( z+8=14 \)
　　　　　　\( z=6 \)
　　　となり，\( 3≦z≦8 \) よりあてはまります。

　　イの位置に追加されると仮定すると･･･
　　イの位置に追加される \( (3≦z≦8) \) と仮定し，８個のデータを小さい順に並べると，

　　　　　　　\( 2，3，z，x，8，y，11，14 \)

　　となります。
　　８人分のデータの箱ひげ図から第一四分位数は \( 4 \) なので，
　　　\( \dfrac{3+z}{2}=4 \)
　　　 \( 3+z=8 \)
　　　　　　\( z=5 \)
　　　となり，\( 3≦z≦8 \) よりあてはまります。

以上より，追加したデータの値は \( 5 \) または \( 6 \) であるとわかります。

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A中学校では，体育祭の種目に長縄跳びがある。全学年とも連続して何回跳べるかを競うものである。下の表は，１年生のあるクラスで長縄跳びの練習を行い，それぞれの回で連続して跳んだ回数を体育委員が記録したものである。

さらに，９回目の練習を行ったところ，記録はａ回であった。下の図は，１回目から９回目までの記録を箱ひげ図に表したものである。このとき，９回目の記録として考えられるａの値をすべて求めなさい。

解説

８回分のデータを小さい順に並べ替える

中央値にあたるデータを確認する

データの総数が９個ということは，中央値は５番目の値になります。
箱ひげ図から中央値は９なので，９回のデータのうち，５番目の値が９になるということです。

並べ替えた８回のデータの中で値が９になっているのは４番目なので，
９回目の値ａはａ≦９（１～４番目）になります。

第一四分位数にあたるデータを確認する

ここまでで９回目のデータは１～４番目になるとわかったので，次は第一四分位数に注目します。

箱ひげ図から第一四分位数は７です。

データの総数が９個ということは，第一四分位数は２番目の値と３番目の値の平均値になります。
並べ替えた８回のデータの中で２番目と３番目は７なので，第一四分位数は７になっています。
このとき，９回目の値が６であると仮定すると，２番目の値は６，３番目の値は７になり，
第一四分位数は６．５になってしまうため箱ひげ図と一致しません。

よって，９回目の値ａは７≦ａになります。

以上より，考えられるａの値は，７≦ａ≦９になります。

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箱ひげ図を書くためにやることは次の４つです。

１．データを小さい順に並べ替える
２．中央値（第二四分位数），第一四分位数，第三四分位数を求める
３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
４．それぞれの印を線でつないで完成させる

なので，中央値，第一四分位数，第三四分位数を求めることができれば，箱ひげ図は書けたようなものです。

中央値・第一四分位数・第三四分位数の求め方

中央値・第一四分位数・第三四分位数の求め方は，計算自体は簡単ですが，データの個数によって求め方が異なるので，注意が必要です。

中央値（第二四分位数）の求め方

データの総数が奇数個の場合
データを値が小さいグループと大きいグループに二等分すると，１つだけデータが余ります。
このとき余った値が中央値（第二四分位数）になります。

データの総数が偶数個の場合
データを値が小さいグループと大きいグループに二等分し，小さいグループの中で最も大きいデータの値と大きいグループの中で最も小さいデータの値との平均値が中央値（第二四分位数）になります。

第一四分位数・第三四分位数の求め方

グループ内のデータの数が奇数個の場合
小さいグループと大きいグループのデータをさらに二等分すると，１つだけデータが余ります。
このとき余った値が第一四分位数・第三四分位数になります。

グループ内のデータの数が偶数個の場合
小さいグループと大きいグループのデータをさらに二等分し，小さいグループの中で最も大きいデータの値と大きいグループの中で最も小さいデータの値との平均値が第一四分位数・第三四分位数になります。

具体例で学ぶ箱ひげ図の作り方

データの総数が奇数個の場合

例として，９人のテストの点数を箱ひげ図に表してみます

１．データを小さい順に並べ替える
データを小さい順に並べ替えると，最小値が５２，最大値が８８であるとわかります。

２．中央値，第一四分位数，第三四分位数を求める
データの値が小さいグループと大きいグループそれぞれ４個ずつに分けると，１個余ります。
この余った値６４が中央値になります。

小さい方のグループのデータ４個をさらにそれぞれ２個ずつに分けます。
このとき，小さい方のグループの中で最も大きい値５５と大きい方のグループの中で最も小さい値５７の
平均値５６が第一四分位数になります。

大きい方のグループのデータ４個をさらにそれぞれ２個ずつに分けます。
このとき，小さい方のグループの中で最も大きい値７１と大きい方のグループの中で最も小さい値８５の平均値７８が第三四分位数になります。

３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
グラフ上の最小値(５２)，第一四分位数(５６)，中央値(６４)，第三四分位数(７８)，最大値(８８) の場所に印をつける

４．第一四分位数の印と第三四分位数の印を線で結び箱型をつくる

５．最小値の印と第一四分位数の印，第三四分位数の印と最大値の印を線で結ぶ

これで箱ひげ図が完成しました。

データの総数が偶数個の場合

例として，１０人のテストの点数を箱ひげ図に表してみます

１．データを小さい順に並べ替える
データを小さい順に並べ替えると，最小値が４２，最大値が８０であるとわかります。

２．中央値，第一四分位数，第三四分位数を求める
データの値が小さいグループと大きいグループそれぞれ５個ずつに分けます。
このとき，小さい方のグループの中で最も大きい値６０と大きい方のグループの中で最も小さい値６４の
平均値６２が中央値になります。

小さい方のグループのデータ５個をさらにそれぞれ２個ずつに分けると，１個余ります。
この余った値５４が第一四分位数になります。

大きい方のグループのデータ４個をさらにそれぞれ２個ずつに分けると，１個余ります。
この余った値７２が第三四分位数になります。

３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
グラフ上の最小値(４２)，第一四分位数(５４)，中央値(６２)，第三四分位数(７２)，最大値(８０) の場所に印をつける

４．第一四分位数の印と第三四分位数の印を線で結び箱型をつくる

５．最小値の印と第一四分位数の印，第三四分位数の印と最大値の印を線で結ぶ

これで箱ひげ図が完成しました。

まとめ

箱ひげ図を書くためにやることは次の４つです。

１．データを小さい順に並べ替える
２．中央値（第二四分位数），第一四分位数，第三四分位数を求める
３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
４．それぞれの印を線でつないで完成させる

計算自体は小学生でもできるぐらい簡単なものです。
中央値，第一四分位数，第三四分位数の求め方がデータの個数が奇数の場合と偶数の場合で異なるので，
その求め方さえ頭の中で整理できていれば簡単に書くことができます。

データの個数が奇数個の場合は，二等分して余った値
データの個数が偶数個の場合は，二等分して小さい方のグループの最大値と大きい方のグループの最小値の平均値

が，それぞれ中央値，第一四分位数，第三四分位数になります。

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