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【文字式】２けたの自然数を文字式で表して解く練習問題（基礎１）

ハラユタカ — Fri, 03 Dec 2021 13:58:40 +0000

問題

１．一の位の数字が４である２けたの自然数Ａが，Ａの各位の数字の和の７倍に等しいとき，
　　自然数Ａを求めなさい。

２．２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しく，また，十の位の数字と一の位の数字を
　　入れかえてできる２けたの自然数は，自然数Ａの２倍より９だけ小さい。
　　このとき，自然数Ａを求めなさい。

３．十の位の数字と一の位の数字の和が１０である２けたの自然数がある。この自然数の
　　十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数は，もとの自然数より３６大きくなる。
　　もとの自然数を求めなさい。

解答

１．８４
２．１４
３．３７

解説

一の位の数字が４＆各位の数字の和の７倍に等しい

最初に，例として２５の場合を考えます。

２５という自然数は，１０を２個，１を５個集めてできている数字です。
これを数式で表すと，２５＝１０✕２＋１✕５になります。

同様に，求める２けたの自然数Ａを，１０をａ個，１を４個集めてできた数字と考えると，
数式では，Ａ＝１０ａ＋４と表すことができます。

また、＂Ａの各位の数字の和の７倍に等しい”を
数式にすると，Ａ＝（ａ＋４）✕７と表すことができます。

以上より，

　　１０ａ＋４＝（ａ＋４）✕７
　　１０ａ＋４＝７ａ＋２８
　１０ａ－７ａ＝２８－４
　　　　　３ａ＝２４
　　　　　　ａ＝８

となり，自然数Ａは８４になります。

各位の数字の和の４倍＆入れかえた自然数は２倍より９小さい。

十の位の数字をａ，一の位の数字をｂ，とすると，

”２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しい”を数式で表すと，Ａ＝（ａ＋ｂ）✕４となります。

また，＂十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数＂を数式で表すと，１０ｂ＋ａとなります。
これが自然数Ａの２倍より９だけ小さい”ので，１０ｂ＋ａ＝２Ａ－９

以上より

　　１０ｂ＋ａ＝２Ａ－９
　　１０ｂ＋ａ＝２✕４（ａ＋ｂ）－９
　　１０ｂ＋ａ＝８ａ＋８ｂ－９
　　　　　２ｂ＝７ａ＋９　（１≦ａ≦９，１≦ｂ≦９）

これを満たす（ａ，ｂ）の組み合わせは（ａ，ｂ）＝（１，４）のみですので

自然数Ａは１４になります。

各位の数字の和が１０＆入れかえた自然数は３６大きい

もとの自然数をＰ，十の位の数字をａ，一の位の数字をｂとするとき，
＂十の位の数字と一の位の数字の和が１０である”ことは，

　　ａ＋ｂ＝１０　・・・　（1）

と表すことができます。

次に，もとの自然数Ｐは，

　　Ｐ＝１０ａ＋ｂ　・・・　（2）

と表すことができます。

また，もとの自然数Ｐの十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数をＱとすると，

　　Ｑ＝１０ｂ＋ａ　・・・　（3）

と表すことができます。

ここで，自然数Ｑは，もとの自然数Ｐより３６大きくなるので，

　　Ｑ＝Ｐ＋３６　・・・　（4）

となります。

ここで，（2）（3）（4）より，

\begin{eqnarray}
Q&=&P+36\\
10b+a&=&10a+b+36\\
10b+a-10a-b&=&36\\
9b-9a&=&36\\
b-a&=&4　・・・　（5）\\
\end{eqnarray}

（1）（5）より連立方程式を立てると，
　\(\left
\{\begin{array}{l}
a+b=10　　　　(1) \\
b-a=4　　　　　(5) \\
\end{array}
\right.\)

(1)＋(5) より
　　\( 2b = 14 \)
　　\(\;b = 7 \)
(4) より
　　\( a+7 = 10 \)
　　　　\( a = 3 \)

以上より、２けたの自然数は３７であるとわかります。

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【問題・解説】連続する整数の性質を文字式をつかって証明する問題（基礎１）

ハラユタカ — Mon, 22 Nov 2021 14:55:52 +0000

問題

連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明しなさい。
連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。
連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。

解説

小問１

連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明します。

連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3\) とすると，

１番大きい数と２番目に大きい数の積は，

　　\((n+3)(n+2)\)　・・・　（１）

１番小さい数と２番目に小さい数の積は，

　　\(n(n+1)\)　・・・　（２）

式（１）ー式（２）は，

　　\((n+3)(n+2)-n(n+1)=(n^2+5n+6)-(n^2+n)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=4n+6\)　・・・　（３）

連続する４つの整数の和は，

　　\(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6\)　・・・（４）

（３）（４）より

　　\((n+3)(n+2)-n(n+1)=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=4n+6\)

小問２

連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明します。

連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3\) とすると，

１番大きい数と２番目に小さい数の積は，

　　\((n+3)(n+1)\)　・・・　（１）

１番小さい数と２番目に大きい数の積は，

　　\(n(n+2)\)　・・・　（２）

式（１）ー式（２）は，

　　\((n+3)(n+1)-n(n+2)=(n^2+4n+3)-(n^2+2n)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+3\)　・・・　（３）

１番小さい数と１番大きい数の和は，

　　\(n+(n+3)=2n+3\)　・・・（４）

（３）（４）より

　　\((n+3)(n+1)-n(n+2)=n+(n+3)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+3\)

小問３

連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明します。

連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3，n+4\) とすると，

２番目に小さい数と１番大きい数の積は，

　　\((n+1)(n+4)\)　・・・　（１）

１番小さい数と２番目に大きい数の積は，

　　\(n(n+3)\)　・・・　（２）

式（１）ー式（２）は，

　　\((n+1)(n+4)-n(n+3)=(n^2+5n+4)-(n^2+3n)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+4\)　・・・　（３）

１番小さい数と１番大きい数の和は，

　　\(n+(n+4)=2n+4\)　・・・　（４）

（３）（４）より

　　\((n+1)(n+4)-n(n+3)=n+(n+4)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+4\)

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【証明】各位の数字の和が３の倍数である数は必ず３で割り切れることを証明してみた

ハラユタカ — Thu, 18 Nov 2021 15:07:10 +0000

けた数が多くても少なくても関係なく共通している数字の特徴として，
「それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れる」
というものがあります。
小さい数字であれば，実際に３で割ってみればわかりますが，本当に大きい数字でも成り立つかわかりません。
ここでは、特定の数字だけではなく，文字式として一般化した形の証明を紹介します。

それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「 \(abcd\) 」と書くとき，
これを式に表すと、

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。
例）１２３４の場合：１０００ ✕ １＋１００ ✕ ２＋１０ ✕ ３＋４

式（１）を次の通り変形します。
　　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝(９９９＋１) \(a\) ＋(９９＋１) \(b\) ＋(９＋１) \(c\) ＋ \(d\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９９９ \(a\) ＋９９ \(b\) ＋９ \(c\) ＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３ ✕ (３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )　・・・　（２）

また，それぞれの位の数字の合計が３の倍数になることを整数ｎを使って式で表すと，

( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝３ \(n\) 　・・・　（３）

となります。

次に，式（３）を式（２）に代入すると，

３ ✕ (３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝３✕(３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋３ \(n\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３✕(３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) ＋ \(n\) )
となります。

\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\) はそれぞれ整数なので、３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) ＋ \(n\) も整数になります。
よって，それぞれの位の数字の合計が３の倍数になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず３で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が３３３３ \(e\) ，３３３３３ \(f\)･･･と増えていくだけなので同じです。

それぞれの位の数字の合計が９の倍数である数は必ず９で割り切れる？

３の場合の式（２）,式（３）のところで，

９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )　・・・　（２Ａ）
\(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) ＝９ \(n\)　・・・　（３Ａ）

として，式（３Ａ）を式（２Ａ）に代入すると，

９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋９ \(n\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(n\) )

となります。

\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\)はそれぞれ整数なので、１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(n\) も整数になり，それぞれの位の数字の合計が９の倍数である４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず９で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が１１１１ \(e\) ，１１１１１ \(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。