ど忘れした場合でも自分で導き出せるぐらいにしっかり理解しておきましょう。

三角形の合同条件

三角形の合同条件は次のとおりです。

• ３組の辺の長さがすべて等しい
• ２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい
• １組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい

３組の辺の長さがすべて等しい

２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい

１組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい

まとめ

以上、三角形の合同条件

• ３組の辺の長さがすべて等しい
• ２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい
• １組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい

を「ただ１つの三角形を描くために必要な条件」という視点から
実際に三角形を描くことで証明しました。

公式や定理はただ覚えているだけだと、ド忘れしたときに行き詰ってしまいます。
「なぜ成り立つのか」を理解できていれば、試験中でも思い出すことができます。

覚えることは増えますが，公式や定理を確実に理解できますので、
ぜひ「なぜ」を理解するクセをつけていきましょう。

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でも，長いし，ルート（√ ）の中は \(b^2-4ac\) とかなってるし，±もあるし ･･･
中学数学３年間の中で 🏆 つまづきやすい公式 No.1 🏆 です。

でも、心配しなくて大丈夫！

解の公式を忘れても二次方程式は解けます‼

その理由は、解の公式が 平方完成 という方法で方程式を解いた結果だからです。
結果だけ覚えるのではなく、その過程を知っていれば自分で求めることができます。

平方完成って何？

平方完成とは，

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を \(a(x＋p)^2＋q=0\) の形に変形することです。

はぁ⁉、意味わからん ･･･ ってなると思いますが、実は知らないうちに使っています。

一番簡単な例は，”\(x^2+2x+1=0\) を解きなさい。” の場合です。
ほとんどの人は，因数分解して

\(x^2+2x+1=0\)
　　\((x+1)^2=0\)
　　　 \(x+1=0\)
　　　　　 \(\,x=－1\)

と解くと思います。

この \(x^2+2x+1=0\) を \((x+1)^2=0\) に変形するのが平方完成です。

実は，この形に変形できれば， ほぼすべての二次方程式は解けます。

平方完成のやり方

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を平方完成する手順は次のとおり。

1. 1. \(a\) で割る
   2. １次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換える
   3. \(\left(x＋\dfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る
   4.  \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

これで，平方完成ができます。

ここからは，それぞれの手順をもう少し詳しく見てみましょう。

手順１． \(a\) で割る

\(ax^2+bx+c=0\) を \(a\) で割ると，

\(ax^2+bx+c=0\)
\(x^2＋\dfrac{b}{a}x＋\dfrac{c}{a}=0\)　･･･①

手順２．１次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換える

因数分解の公式 \(a^2+2ab+b^2＝(a+b)^2\) を使うため，
一次の項の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換えます。

　　　　\(\,x^2\)＋\(\cfrac{b}{a}\)\(x\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
\(x^2\)＋\(\left(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\right)\)\(x\)＋\(\dfrac{c}{a}=0\)

手順３．\(a\left(x＋\dfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る

因数分解の公式 \(\underline{a^2+2ab}+b^2＝\underline{(a+b)^2}\) を使って，
強引に \(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) の形を作ります。

\(x^2＋\left(2\:✕\:\cfrac{b}{2a}\right)x\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)

手順４．\(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

手順３の形を展開すると，

　　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
\( x^2＋2 \times \cfrac{b}{2a} \times x＋\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
　　　　\(x^2＋\cfrac{b}{2}x＋\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)　･･･②

①と②を比較すると

\(x^2＋\dfrac{b}{a}x＋\dfrac{c}{a}=0\)　･･･①
\(x^2＋\cfrac{b}{a}x\)＋\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)　･･･②

と，＋\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)が追加されてしまって方程式が成り立たなくなっていますので，
②から \(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\) を引くことで\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)は打ち消しあって０になるので，

\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) \(－\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)

これで平方完成ができたので、この方程式を解いていきましょう。

方程式を解く

\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2－\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2＋\cfrac{c}{a}＝0\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2－\cfrac{c}{a}\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\cfrac{b^2}{4a^2}－\cfrac{4ac}{4a^2}\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\cfrac{b^2－4ac}{4a^2}\)
　　　　　　　　　\(x＋\cfrac{b}{2a}＝\cfrac{±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)
　　　　　　　　　　　　\(x＝\cfrac{－b±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)

以上より，

であることが証明されました。

例題

\(2x^2＋12x＋1=0\)を平方完成を使って解いてみます。

　\(2x^2＋12x＋1=0\)
　　\(x^2＋6x＋\cfrac{1}{2}=0\)　　 ←　手順１．\(a\) で割る
\(x^2＋2\times3x＋\cfrac{1}{2}=0\)　\(\,\)　←　手順２．１次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\cfrac{b}{2a}\) の形に書き換える
　\(\;(x＋3)^2＋\cfrac{1}{2}=0\)　　\(\;\)←　手順３．\(a\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る
\((x＋3)^2\)－9\(+\cfrac{1}{2}=0\)　　\(\:\)←　手順４．\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

まとめ

わかったこと
　・解の公式は二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を平方完成を使って解いた結果と等しい
　・解の公式がわからなくなっても、平方完成の方法で2次方程式は解くことができる

数学はひたすら公式だけを覚えるだけだと何の面白みもないですが、１つ１つを理解しながら学べば、
パズルや謎解きに近い感覚になれる科目です。今回の例は，基本的な公式（平方の公式）を覚えているだけで
解けてしまう良い例だと思います。

特に数学が苦手な人ほど知っていてほしい知識です。

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