（１） \( (-2)+6 \) を計算しなさい。

（２） \( 5a+1-(2-3a) \) を計算しなさい。

（３） \( \dfrac{2}{5}a \times \left( -\dfrac{10}{9}b \right) \) を計算しなさい。

（４） \( (8x^2-6xy) \div 2x \) を計算しなさい。

（５） \( (\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3) \) を計算しなさい。

大問２

（１） \( x^2-5x-24 \) を因数分解しなさい。

（３） 次の図は，ある年における，総人口がともに１３０万人である自治体Ａと自治体Ｂの年齢別人口のデータを，箱ひげ図に表したものである。

この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　自治体Ａの平均年齢は３０歳である。
　　　イ　四分位範囲は，自治体Ｂより自治体Ａの方が大きい。
　　　ウ　５０歳以下の人口は，自治体Ｂより自治体Ａの方が多い。
　　　エ　自治体Ａの６０歳以上の人口は,自治体Ｂの８０歳以上の人口の２倍である。

【解説】

【正しい理由】
箱ひげ図のひげの部分と２つに分けられた箱のそれぞれの部分には，
全体の約２５％にあたる個数のデータが含まれています。
自治体Ａ ･･･ 第三四分位数が約４９歳なので，５０歳以下の人口は，
　　　　　　 \( 130 \) 万 \( \times 0.75=97 \) 万 \( 5 \) 千人以上いるとわかります。
自治体Ｂ ･･･ 中央値が５０歳なので，５０歳以下の人口は，６５万人未満とわかります。
　　　　　　 よって，５０歳以下の人口は，自治体Ｂより自治体Ａの方が多くなっています。

【正しくない理由】

ア ･･･ 箱ひげ図から，自治体Ａの中央値が３０歳であることがわかりますが，
　　　 中央値と平均値は等しくなるとは限りません。

イ ･･･ 四分位範囲は 第三四分位数 \( – \) 第一四分位数 で求められます。
　　　　 自治体Ａのおよその四分位範囲は \( 49-21=28 \)（歳）
　　　　 自治体Ｂのおよその四分位範囲は \( 63-25=38 \)（歳）
　　　 自治体Ｂの方が自治体Ａより大きくなっています。

エ ･･･ 箱ひげ図のひげの部分には全体の約２５％にあたる個数のデータが含まれるので，
　　　 自治体Ａの６０歳以上の人口と自治体Ｂの８０歳以上の人口は，
　　　 どちらも３２万５千人未満であると考えられますが，
　　　 その約３２万５千人の内訳は，箱ひげ図からだけでは判断できません。
　　　 （自治体Ａの場合，５０歳以上６０歳未満の人が約３２万人いるかもしれないし，
　　　 ９０歳以上１００歳未満の人が約３２万人いるかもしれない）
　　　 つまり，この箱ひげ図からだけでは，自治体Ａの６０歳以上の人口と自治体Ｂの８０歳以上の人口
　　　 を比較することはできません。

大問３

関数 \( y=\dfrac{a}{x} \) が表す双曲線 ①について, 次の（１），（２）に答えなさい。

大問４

全校生徒数が \( 871 \) 人の中学校で，保健委員会が学校新聞の記事を作成している。保健委員会は，生徒のインターネットの利用実態を調査するために，【アンケート】を実施することにした。次の【アンケート】は，保健委員会が作成したものの一部である。このとき,下の（１），（２）に答えなさい。

（１） 全校生徒 \( 871 \) 人から \( 120 \) 人を無作為に抽出して，この【アンケート】を実施したところ，全員が回答し，\( Q \, 1 \) で「イ １時間以上，２時間未満」と回答した生徒は \( 48 \) 人であった。
この結果から考えると，先週１週間における，１日あたりのインターネット平均利用時間が「１時間以上，２時間未満」である生徒は，全校生徒 \( 871 \) 人のうち，およそ何人と推定されるか。小数第１位を四捨五入した概数で答えなさい。

（２） 保健委員会のＡさん，Ｂさん，Ｃさんは【アンケート】の回答を集計したグラフと，集計結果を分析した文章を学校新聞の記事に載せるために，グラフ作成の担当者１人と文章作成の担当者２人を以下の【方法】で決めることにした。

【方法】
【手順】
１枚の硬貨を，Ａさん，Ｂさん，Ｃさんが順番に１回ずつ投げる。

【担当決定のルール】
３人が１回ずつ投げた硬貨の表裏の出かたのうち
・ １人が表，２人が裏の場合　→　表が出た人がグラフ担当，裏が出た人が文章担当
・ １人が裏，２人が表の場合　→　裏が出た人がグラフ担当，表が出た人が文章担当
・ 全員が表の場合　　　　　　→　Ｃさんがグラフ担当, ＡさんとＢさんが文章担当
・ 全員が裏の場合　　　　　　→　Ｂさんがグラフ担当, ＡさんとＣさんが文章担当

上の【方法】で担当を決めるとき，ＡさんとＣさんのどちらがグラフ担当になりやすいか。確率を求めるまでの過程を明らかにして説明しなさい。

大問５

Ｓさんは花植えボランティアに参加した。次の（１），（２）に答えなさい。

（１） Ｓさんは長方形の花だんから正方形の花だんへの花の植え替えを手伝った。長方形の花だんは，横の長さが縦の長さの４倍であり，周の長さは \( 30 \; m \) であった。長方形の花だんの面積が正方形の花だんの面積と同じとき，正方形の花だんの１辺の長さを求めなさい。

（２） 次に，Ｓさんは三角形の花だんの花植え作業を手伝った。三角形の花だんの花植え作業は，三角形の花だんを \( △ABC \) とし，【手順１】から【手順４】により行う。図１から図３は【手順１】から【手順４】の様子を図にしたものである。

【手順１】　辺 \( AB \) と辺 \( AC \) を \( 15 \) 等分する点をそれぞれとり，辺 \( BC \) に平行になるように \( 15 \) 等分
　　　　　 した点をそれぞれ結ぶ。図１のように区分けされた場所を，頂点 \( A \) から辺 \( BC \) に向かって
　　　　　 \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，･･･，\( 15 \) 段目とする。

【手順２】　辺 \( BC \) を \( 15 \) 等分する点をとり，辺 \( AB \) と平行になるように辺 \( AC \) を \( 15 \) 等分した点と
　　　　　 それぞれ結ぶ。辺 \( BC \) を \( 15 \) 等分した点と辺 \( AB \) を \( 15 \) 等分した点を辺 \( AC \) と平行と
　　　　　 なるようにそれぞれ結び， \( △ABC \) を図２のように三角形の区画に分割する。

【手順３】　図３のように，分割した三角形の区画すべてに，以下の規則で \( 1 \) から順に自然数の番号を
　　　　　 付ける。
　　　　　 ①　\( 1 \) 段目を \( 1 \) とする。
　　　　　 ②　\( 2 \) 段目の左端を \( 2 \) とし，左から順に番号を付ける。
　　　　　 ③　\( 3 \) 段目以降の段は，その段の1つ上の段の右端の番号に \( 1 \) を足したものを，その段の
　　　　　　　 左端の番号とし，左から順に番号を付けていく。
　　　　　 ④　③の操作を \( 3 \) 段目から順に \( 15 \) 段目までおこなっていく。

【手順４】　図３のように，各区画に植える花の鉢には \( 1 \) から順に自然数の番号が付いており，番号を
　　　　　 付けた区画に同じ番号の鉢の花を植える。

Ｓさんは，\( 10 \) 段目のすべての区画に花を植えることになった。
このとき，次の文の 　ア　，　イ　 にあてはまる数を求めなさい。

　　Ｓさんは 　ア　 番から 　イ　 番までの鉢の花を植える。

大問６

直角三角形について，次の（１）～（３）に答えなさい。

（２） 図２において，\( △ABC \) は \( AB=AC \) の直角二等辺三角形であり，点 \( A \) を通り，辺 \( BC \) に平行でない直線を ℓ とする。また，点 \( B，C \) から直線 ℓ にひいた垂線をそれぞれ \( BD，CE \) とする。このとき，\( △ABD≡△CAE \) であることを証明しなさい。

（３） （２）の図２において，\( AB=3√5 \; cm，CE=6 \; cm \) のとき，\( DE \) の長さを求めなさい。

大問７

関数 \( y=x^2 \) と点 \( A(1，1) \) について，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 図１において，関数 \( y=x^2 \) のグラフと直線 ℓ との交点が点 \( A \) と点 \( B \) である。点 \( B \) の \( x \) 座標が \( -2 \) であるとき，直線 ℓ の式を求めなさい。

（２） 図２において，関数 \( y=x^2 \) のグラフと直線 \( m \) は２点 \( A，C \) で交わっている。直線 \( m \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \) で，点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -\dfrac{1}{2} \) である。直線 \( m \) と \( x \) 軸の交点を \( E \) とおき，線分 \( AC \) 上に点 \( P \) をとる。点 \( P，A \) から \( x \) 軸にひいた垂線をそれぞれ \( PM，AN \) とし，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とする。
\( △EAN \) の面積が \( △EPM \) の面積の２倍となるとき，\( t \) の値を求めなさい。

大問８

図形の計量について, 次の（１），（２）に答えなさい。ただし, 円周率は \( \pi{} \) とする。

（１） 図１のようなグラスの上の部分は，図２のように円すい型の容器とみなすことができる。ここに，\( 15 \; mL \) の水を入れたところ，この容器の高さのちょうど半分のところまで水が入った。このグラスの容積を求めなさい。

（２） グラスが置いてあるコースターに図３のような模様がかかれていた。図３の模様をもとに図４の図形を考える。円 \( O \) は正三角形 \( ABC \) の３辺に接しており，\( △ABC \) の内部には円 \( O \) 以外の３つの円があり，これらの３つの円はすべて円 \( O \) と \( △ABC \) の２辺に接している。円 \( O \) と辺 \( BC \) の接点を \( H \) とし，\( △ABC \) の内部にある大小４つの円の面積の和が \( 8\pi{} \; cm^2 \) に等しいとき，\( OH \) の長さを求めなさい。

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（１）　\( (-2) \times 4 \) を計算しなさい。

（２）　\( (-3)^2+8 \) を計算しなさい。

（３）　\( 7x-(6x-1) \) を計算しなさい。

（４）　\( \dfrac{9a^3}{5b} \div \dfrac{3a^2}{2b^2} \) を求めなさい。

（５）　\( \sqrt{12}-\sqrt{27} \) を計算しなさい。

大問２

（１）　\( y \) が \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=6 \) である。\( x=4 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。

（３）　二次方程式 \( 2x^2+3x-1=0 \) を解きなさい。

（４）　ある池で \( 50 \) 匹の魚をつかまえ，その全部に印をつけて池に戻した。数日後，同じ池で \( 40 \) 匹の魚をつかまえたところ，印のついた魚が \( 11 \) 匹いた。この数日の間に，この池にいる魚の数と，印のついた魚の数に変化がないとするとき，この池にいる魚はおよそ何匹と推定されるか。
一の位を四捨五入した概数で答えなさい。

大問３

大問４

大問５

Rさんは，図１の展開図を組み立ててできる特殊なさいころを２個つくり，できたさいころを図２のように，それぞれさいころＡ，さいころＢとした。

次の（１），（２）に答えなさい。ただし，さいころＡ，さいころＢはどの面が出ることも同様に確からしいものとする。

（１） さいころＡを１回投げるとき，１の目が出る確率を求めなさい。

（２） さいころＡとさいころＢを同時に１回投げるとき，出る目の数の和について，Ｒさんは次のように予想した。

大問６

Ｓさんは授業でフェアトレードについて学習した。フェアトレードとは，発展途上国で生産された農作物や製品を適正な価格で購入することで，その国の人々の生活改善と自立をめざす貿易の仕組みである。
次の（１），（２）に答えなさい。

（１） コーヒー１杯の販売価格 \( 400 \) 円に対して，コーヒー豆の生産者の収入を \( a \) 円とする。このとき，このコーヒー１杯の販売価格に対する生産者の収入の割合は何％になるか。\( a \) を使った式で表しなさい。

大問７

図１のような \( AB=AC \) である二等辺三角形の紙 \( ABC \) がある。この紙 \( ABC \) において，図２のように辺 \( BC \) 上に，\( ∠ADC<90° \) となる点 \( D \) をとる。図３のように線分 \( AD \) で折り返し，頂点 \( B \) が移った点を \( E \)，線分 \( AE \) と線分 \( CD \) の交点を \( F \) とする。図４は，図２と図３の点 \( A，B，C，D，E，F \) を結んでできた図形である。
次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 図４において，\( △ADF \) ∽ \( △CEF \) であることを証明しなさい。

（２） 図４において，\( AB=12 \; cm，BD=3 \; cm，AF=10 \; cm \) であるとき，線分 \( CD \) の長さを求めなさい。

大問８

Ｔさんは, キャンプに行くことにした。
次の（１）～（３）に答えなさい。

テントＡとテントＢについて，評価が３以上の相対度数は，どちらが大きいか。評価が３以上の相対度数をそれぞれ明らかにして説明しなさい。ただし，相対度数は，小数第３位を四捨五入し，小数第２位まで求めなさい。

（２） Ｔさんが行こうとしているキャンプ場の標高は \( 350 \; m \) で山の中腹にある。山頂の標高は \( 800 \; m \) であり，Ｔさんはキャンプ場の気温をもとに，山頂の気温を求めることにした。
気温は，標高が高くなるにつれ一定の割合で下がり，その割合は，標高 \( 100 \; m \) あたり \( 0.6 \; ^\circ \)\( C \) とする。キャンプ場の気温が \( 20.8 \; ^\circ \)\( C \) であるときの山頂の気温を求めなさい。

（３） Ｔさんは，キャンプ場で使用する図１のようなたき火台を購入する予定である。Ｔさんはその中に入れる薪を，図２のように井の字型に積もうと考えている。
たき火台の底は図３のような正八角形 \( ABCDEFGH \) の形をしていて，Ｔさんは,その正八角形の対角線 \( AD \) の長さを， たき火台に入れる薪の長さの目安にしようとしている。
正八角形 \( ABCDEFGH \) の一辺の長さを \( a \; cm \) とするとき，対角線 \( AD \) の長さを，\( a \) を使った式で表しなさい。

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(1)　\( (-8) \div 4 \) を計算しなさい。

(2)　\( \dfrac{5}{2}+(-\dfrac{7}{3}) \) を計算しなさい。

(3)　\( 4(8x-7) \) を計算しなさい。

(4)　\( a=-2，b=9 \) のとき，\( 3a+b \) の値を求めなさい。

(5)　\( (\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+5) \) を計算しなさい。

大問２

(1)　二次方程式 \( (x-2)^2-4=0 \) を解きなさい。

(2)　右の図の円 \( O \) で，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 31° \)

【解説】

下の図のように点 \( A，B，C，D，E \) をとると，
弧 \( AD \) に対する円周角なので，\( ∠ABE=∠ACD \)
\( △ABE \) において，
　\( x+62°+87°=180° \)
　　　　　　　 \( x=31° \)

(3)　関数 \( y=-2x^2 \) について，次の \( \fbox{　ア　} ， \fbox{　イ　} \) にあてはまる数を求めなさい。

\( x \) の変域が \( -2≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域は \( \fbox{　ア　} ≦y≦ \fbox{　イ　} \) となる。

大問３

(1)　「１個あたりのエネルギーが \( 20 \) kcal のスナック菓子 \( a \) 個と，１個あたりのエネルギーが \( 51 \) kcal のチョコレート菓子 \( b \) 個のエネルギーの総和は \( 180 \) kcal より小さい」という数量の関係を，不等式で表しなさい。

(2)　チョコレートにはカカオが含まれている。チョコレート全体の重さに対するカカオの重さの割合をカカオ含有率とし，次の式で表す。

\( カカオ含有率(％)＝\dfrac{カカオの重さ}{チョコレート全体の重さ} \times 100 \)

カカオ含有率 \( 30％ \) のチョコレートと，カカオ含有率 \( 70％ \) のチョコレートを混ぜて，カカオ含有率 \( 40％ \) のチョコレートを \( 200 \; g \) 作る。
このとき，カカオ含有率 \( 30％ \) のチョコレートの重さを \( x \; g \) ，カカオ含有率 \( 70％ \) のチョコレートの重さを \( y \; g \) として連立方程式をつくり，カカオ含有率 \( 30％ \) のチョコレートの重さと，カカオ含有率 \( 70％ \) のチョコレートの重さをそれぞれ求めなさい。

大問４

(1)　図のように，半径 \( 6 \; cm \) で中心角 \( 60° \) であるおうぎ形を \( A \)，半径 \( 6 \; cm \) で弧の長さが \( 6 \; cm \) であるおうぎ形を \( B \)，一辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角形を \( C \) とする。

\( A，B，C \) の面積について，次の 　ａ　 ， 　ｂ　 にあてはまる語句の組み合わせとして正しいものを，下のア〜エから1つ選び，記号で答えなさい。

・\( A \) の面積よりも \( B \) の面積の方が 　ａ　 。
・\( A \) の面積よりも \( C \) の面積の方が 　ｂ　 。

ア　　ａ　：大きい　　　ｂ　：大きい
イ　　ａ　：大きい　　　ｂ　：小さい
ウ　　ａ　：小さい　　　ｂ　：大きい
エ　　ａ　：小さい　　　ｂ　：小さい

大問５

Ｔさんが通う中学校では，毎年１０月に各生徒の１週間の総運動時間（授業等を除く）を調査している。図は，その調査のうち，Ｔさんが所属する学年の生徒５０人について，令和２年，令和３年，令和４年の各データを箱ひげ図に表したものである。

次の(1) ，(2)に答えなさい。

(1)　図から読み取れることとして正しいものを，次のア～エから1つ選び，記号で答えなさい。

ア　すべての年で，１週間の総運動時間の最小値は３０分となっている。
イ　１週間の総運動時間の四分位範囲は年々小さくなっている。
ウ　すべての年で，１週間の総運動時間が１００分以上の人は２５人以上いる。
エ　令和４年の１週間の総運動時間が１５０分以上の人数は，令和２年の１週間の総運動時間が２１０分以上の人数の２倍である。

選んだくじが２枚とも球技である確率は，選び方Ａと選び方Ｂではどちらが高いか。それぞれの選び方での確率を求めるまでの過程を明らかにして説明しなさい。

【解答＆解説】

【選び方Ａの場合】
選んだくじの組み合わせを樹形図で表し，２枚とも球技になる組み合わせに ○ をつけると，
すべての組み合わせが１０通り，２枚とも球技になるのは３通りなので，
確率は \( \dfrac{3}{10} \)

【選び方Ｂの場合】
選んだくじの組み合わせを樹形図で表し，２枚とも球技になる組み合わせに ○ をつけると，
すべての組み合わせが６通り，２枚とも球技になるのは２通りなので，
確率は \( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)

よって，選んだくじが２枚とも球技である確率は，選び方Ｂの方が高い。

大問６

Ｔさんは道路を走る車のナンバープレートを見て，自然数について考えた。次の(1) ，(2)に答えなさい。

問題
２けたの自然数には，その数から，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数をひくと \( 54 \) となるものがいくつかある。このような２けたの自然数のうち，最大の自然数を答えなさい。

問題の答えとなる自然数を求めなさい。

連続する４つの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひく。例えば，連続する４つの偶数が，
　\( 2，4，6，8 \) のとき，
　\( 6×8-2×4=48-8=40=8×5 \) ，
　\( 4，6，8，10 \) のとき，
　\( 8×10-4×6=80-24=56=8×7 \) ，
　\( 6，8，10，12 \) のとき，
　\( 10×12-6×8=120-48=72=8×9 \) となる。

Ｔさんはこの結果から，次のように予想した。

予想
連続する４つの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひいた数は，８の倍数である。

Ｔさんは，この予想がいつでも成り立つことを次のように説明した。次の 　　　　 に式や言葉を適切に補い，Ｔさんの説明を完成させなさい。

説明
\( n \) を自然数とすると，連続する4つの偶数は \( 2n，2n+2，2n+4，2n+6 \) と表される。これらの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひいた数は，

したがって，連続する４つの偶数のうち，小さい方から３番目と４番目の偶数の積から１番目と２番目の偶数の積をひいた数は，８の倍数である。

大問７

大問８

大問９

(1)　Ｔさんが自宅から公園まで，毎時 \( 4 \; km \) の速さで歩くと，到着するまでにかかった時間は \( 30 \) 分であった。Ｔさんが自宅から公園まで同じ道を，自転車に乗って毎時 \( a \; km \) の速さで移動するとき，到着するまでにかかる時間は何分か。\( a \) を使った式で表しなさい。ただし，Ｔさんが歩く速さと，自転車に乗って移動する速さはそれぞれ一定であるとする。

※ 　　　 は街灯が照らすことのできる地面の範囲を表している。

この仮定に基づいて，街灯を設置するとき，その高さは最低何 \( m \) 必要か。求めなさい。

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