徳島 - 数学基礎トレーニングルーム

徳島県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sun, 18 Jan 2026 13:00:48 +0000

大問１

（１） \( -4-5 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -9 \)

（２） \( a=3，b=2 \) のとき，\( 10a^2b \div 2a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( 30 \)

【解説】

\( 10a^2b \div 2a=\dfrac{10a^2b}{2a}=5ab \)

ここに \( a=3，b=2 \) を代入すると，
　\( 5ab=5 \times 3 \times 2=30 \)

（３）絶対値が \( 4 \) 以下の整数は何個あるか，求めなさい。

【解答】

９個

【解説】

絶対値とは，\( +，- \) の符号をはずした数のことなので，
絶対値が \( 4 \) になる整数は \( (+)4 \) と \( -4 \) です。

絶対値が \( 4 \) 以下の整数ということは，絶対値が \( 0，1，2，3，4 \) の整数なので，
あてはまるのは，\( -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 \) の９個になります。

（４） \( y \) は \( x \) の２乗に比例し，\( x=-3 \) のとき \( y=36 \) である。\( x \) と \( y \) の関係を式に表しなさい。

【解答】

\( y=4x^2 \)

【解説】

\( y \) が \( x \) の２乗に比例することを表す式は \( y=ax^2 \)（\( a \) は定数）になります。

この式に，\( x=-3，y=36 \) を代入すると，
　\( 36=a \times (-3)^2 \)
　\( 9a=36 \)
　 \( a=4 \)

よって，求める式は \( y=4x^2 \) になります。

（５）ある工場で大量に製造した品物から \( 400 \) 個を無作為に抽出して検査をすると，不良品が \( 3 \) 個あった。この工場で，\( 10000 \) 個の品物を製造したとき，そのうち不良品の個数は，およそ何個と推定されるか，求めなさい。

【解答】

\( 75 \) 個

【解説】

標本調査では，
「母集団の中に含まれる不良品の割合」と「取り出したサンプルに含まれる不良品の割合」
は等しくなると考えられます。

\( 10000 \) 個の品物に含まれる不良品の個数を \( x \) 個とすると，
　\( 10000：x=400：3 \)
　　　 \( 400x=30000 \)
　　　　　\( x=75 \)（個）

（６）内角の和が \( 1440° \) である多角形は何角形か，求めなさい。

【解答】

十角形

【解説】

多角形の１つの頂点から対角線をひくと，いくつかの三角形をくっつけた形に分けることができます。

このことから，\( n \) 角形は対角線により \( n-2 \) 個の三角形に分けることができるので，
\( n \) 角形の内角の和は \( 180(n-2)° \) で表すことができます。

\( n \) 角形の内角の和が \( 1440° \) の場合は，
　\( 180(n-2)=1440 \)
　　　　\( n-2=8 \)
　　　　　　\( n=10 \)
なので，十角形になります。

（７）関数 \( y=\dfrac{6}{x} \) について，\( x \) の変域が \( 1≦x≦4 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{3}{2}≦y≦6 \)

【解説】

関数 \( y=\dfrac{6}{x} \) について，
\( x=1 \) のときの \( y \) の値は，
　\( y=\dfrac{6}{1}=6 \)
\( x=4 \) のときの \( y \) の値は，
　\( y=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} \)
なので，\( y \) の変域は \( \dfrac{3}{2}≦y≦6 \) になります。

（８）右の箱ひげ図は，あるクラスの生徒 \( 30 \) 人にそれぞれ \( 10 \) 点満点の国語と数学のテストを実施し，得点の分布を表したものである。この箱ひげ図から読みとれることとして，正しいといえるものはどれか，ア～エから２つ選びなさい。ただし，得点は整数とする。

　　　　ア　国語と数学の平均点は同じである。
　　　　イ　数学が \( 5 \) 点以下の生徒は \( 15 \) 人である。
　　　　ウ　範囲も四分位範囲も，数学より国語の方が大きい。
　　　　エ　\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，国語より数学の方が多い。

【解答】

イ，エ

【解説】

ア･･･箱ひげ図の情報からだけでは平均点を判断することはできません。

イ･･･全部で \( 30 \) 人のデータを集計しているので，
　　　中央値は得点の低い方から１５番目と１６番目の平均値になります。
　　　箱ひげ図から，中央値は \( 5.5 \) 点で，得点は整数であることから，
　　　１５番目の値は \( 5 \) 点以下，１６番目の値は \( 6 \) 点以上です。
　　　よって，数学が \( 5 \) 点以下の生徒は \( 15 \) 人になっています。

ウ･･･範囲の大きさは箱ひげ図全体の長さ，四分位範囲の大きさは箱の長さで判断することができます。

　　　箱ひげ図全体の長さ，箱の長さともに数学の方が長いので，
　　　範囲，四分位範囲ともに数学の方が大きくなっています。

エ･･･全部で \( 30 \) 人のデータを集計しているので，
　　　第３四分位数は得点の高い方から８番目の値になります。
　　　国語の第３四分位数は \( 7 \) 点なので，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，\( \color{blue}{7} \) 人以下です。
　　　数学の第３四分位数は \( 8 \) 点なので，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，\( \color{red}{8} \) 人以上です。
　　　よって，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，国語より数学の方が多いといえます。

（９） \( \sqrt{90n} \) の値が自然数となるような自然数 \( n \) のうち，２番目に小さいものを求めなさい。

【解答】

\( n=40 \)

【解説】

\( \sqrt{90n} \) の値が自然数となるのは，\( 90n=k^2 \)（ \( k \) は整数）で表すことができるときです。

\( 90n \) を素因数分解すると \( 3^2 \times 2 \times 5 \times n \) なので，
\( 90n=k^2 \) で表すことができる最も小さい自然数 \( n \) は，\( n=10 \) です。
　\( 90 \times 10=3^2 \times 2^2 \times 5^2=30^2 \)
次に \( 90n=k^2 \) で表すことができるのは，\( n=40=10 \times 2^2 \) のときです。
　\( 90 \times 40=3^2 \times 2^4 \times 5^2=60^2 \)

（１０）右の図のように，\( △ABC \) の辺 \( AB \) の中点を \( D \) とし，辺 \( AC \) 上に \( AE：EC=4：3 \) となるような点を \( E \) とする。線分 \( AE \) の中点を \( F \) とし，線分 \( CB \) と線分 \( FD \) をそれぞれ延長した直線の交点を \( P \) とする。
\( DP=2 \; cm \) であるとき，線分 \( BE \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( BE=\dfrac{12}{7} \; cm \)

【解説】

\( △ADF \) と \( △ABE \) において，
点 \( D \) は辺 \( AB \) の中点，点 \( F \) は辺 \( AE \) の中点
なので，中点連結定理より，
　\( DF//BE，DF=\dfrac{1}{2}BE \)
になっています。

\( △CBE \) と \( △CPF \) において，
\( DF//BE \) より，同位角は等しいので，
　\( ∠CBE=∠CPF \)
共通な角なので，
　\( ∠BCE=∠PCF \)
２組の角が等しいので，
　\( △CBE \) ∽ \( △CPF \)

\( AE：EC=4：3，AF=FE \) より \( AF：FE：EC=2：2：3 \) なので，
　\( CE：CF=3：5 \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( BE：PF=CE：CF=3：5 \)

\( BE=x \; cm \) とすると，\( DF=\dfrac{x}{2} \; cm \) と表せるので，
　　　\( BE：PF=3：5 \)
　\( x：\left( 2+\dfrac{x}{2} \right)=3：5 \)
　　　　　　 \( 5x=6+\dfrac{3}{2}x \)
　　　　　　\( 10x=12+3x \)
　　　　　　　\( x=\dfrac{12}{7} \; (cm) \)

大問２

なつさんは，健康を維持するためには適度な運動が大切であると聞いて，どのくらいの運動をすればよいか調べたところ，身体活動量を数値で表す方法を厚生労働省のウェブサイトで見つけた。なつさんは調べたことをもとに，次の【メモ】と【身体活動の強度表】のようにまとめた。（１）～（３）に答えなさい。

【メモ】
〇身体活動･･･安静にしている状態よりも多くのエネルギーを消費する活動のこと。
〇メッツ･･･身体活動の強度を表す単位。安静時を \( 1 \) メッツとして，身体活動が安静時の何倍の
　　　　　　　エネルギーを消費するかで活動の強度を示している。
〇エクササイズ･･･身体活動量を表す単位。
○ 身体活動量の求め方
　　
　（例）テニス（\( 7 \) メッツ）を \( 1 \) 時間行ったときの身体活動量は \( 7 \times 1=7 \)（エクササイズ）
○ \( 3 \) メッツ以上の身体活動を，\( 1 \) 週間で合計 \( 23 \) エクササイズ行うことが推奨されている。

（１）バスケットボールを \( 20 \) 分間行ったときの身体活動量は何エクササイズになるか，求めなさい。

【解答】

\( 2 \) エクササイズ

【解説】

\( 20 \) 分を時間に換算すると \( \dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3} \) 時間なので，
バスケットボール（\( 6 \) メッツ）を \( \dfrac{1}{3} \) 時間行ったときの身体活動量は
　\( 6 \times \dfrac{1}{3}=2 \)（エクササイズ）

（２）なつさんは，月曜日から日曜日までの \( 7 \) 日間で合計 \( 23 \) エクササイズ行うことを目標にした。
今週の身体活動量を計算してみると，目標まであと \( 5 \) エクササイズ必要であることがわかった。日曜日に卓球となわとびを合計 \( 45 \) 分間して，目標を達成したい。ちょうど \( 5 \) エクササイズになるようにするには，卓球となわとびをそれぞれ何分間行えばよいか，求めなさい。

【解答】

卓球･･･ \( 30 \) 分間
なわとび･･･ \( 15 \) 分間

【解説】

卓球を \( x \) 時間，なわとびを \( y \) 時間行うとすると，
\( 45 \) 分を時間に換算すると \( \dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4} \) 時間なので，
　\( x+y=\dfrac{3}{4} \) ･･･ ➀
卓球の強度は \( 4 \) メッツ，なわとびの強度は \( 12 \) メッツなので，
合計の身体活動量は，
　\( 4x+12y=5 \) ･･･ ➁
➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=\dfrac{3}{4} \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
4x+12y=5 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 4 \) すると，
　\( 4x+4y=3 \) ･･･ ➀’
➁ \( – \) ➀’ すると，
　\( 8y=2 \)
　 \( y=\dfrac{1}{4} \)
➀ に代入すると，
　\( x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \)
　　　 \( x=\dfrac{1}{2} \)
よって，卓球を \( \dfrac{1}{2} \) 時間，なわとびを \( \dfrac{1}{4} \) 時間行えばよいことになります。
これを分表記に換算すると，
卓球を行う時間は \( \dfrac{1}{2} \times 60=30 \) 分
なわとびを行う時間は \( \dfrac{1}{4} \times 60=15 \) 分
になります。

（３）なつさんの家の近くには，いろいろな運動ができる公園がある。公園の中に大きな池があり，池のまわりを走ることができる。ある日,なつさんは池のまわりを２周した。１周目は早歩きで歩き，２周目はランニングをして，合計 \( 30 \) 分間運動をした。ランニングの速さは，早歩きの速さの \( 1.5 \) 倍であったとすると，\( 30 \) 分間で行った身体活動量は何エクササイズになるか，求めなさい。

【解答】

\( 2.9 \) エクササイズ

【解説】

【身体活動の強度表】から，早歩きの強度は \( 4 \) メッツ，ランニングの強度は \( 8.5 \) メッツなので，
早歩きを行った時間とランニングを行った時間がわかれば，身体活動量を求めることができます。

池のまわりの距離は変わらないので，ランニングの速さは，早歩きの速さの \( 1.5 \) 倍であったことから，
早歩きを行った時間はランニングを行った時間の \( 1.5 \) 倍であり，比で表すと，\( 3：2 \) になります。

早歩きを行った時間とランニングを行った時間の合計が \( 30 \) 分なので，
早歩きを行った時間は，\( 30 \times \dfrac{3}{5}=18 \) 分，つまり，\( \dfrac{18}{60}=\dfrac{3}{10} \) 時間
ランニングを行った時間は，\( 30 \times \dfrac{2}{5}=12 \) 分，つまり，\( \dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5} \) 時間
です。

ここから，合計の身体活動量は，
　\( 4 \times \dfrac{3}{10}+8.5 \times \dfrac{1}{5}=1.2+1.7=2.9 \)（エクササイズ）
になります。

大問３

ひなたさんとみずきさんは，家にあるいろいろな時計の表示の仕方に興味をもち，調べることにした。（１）・（２）に答えなさい。

（１）図１は，ひなたさんの家にあるデジタル時計であり，１８時２４分７秒を示している。このデジタル時計の表示について，２人が話し合っている。次の２人の【話し合いの一部】を読んで，（　ア　）・（　イ　）にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

【話し合いの一部】
ひなたさん　このデジタル時計は，図２のような７個のＬＥＤが個別に
　　　　　　点灯したり消灯したりすることで，\( 0 \) から \( 9 \) までの数字
　　　　　　を表し，時刻を表示していますね。
みずきさん　そうですね。\( 0 \) から \( 9 \) までのそれぞれの数字について，
　　　　　　ＬＥＤによって表される数字と，７個のＬＥＤのうち
　　　　　　点灯しているＬＥＤの個数をまとめると表のようになり
　　　　　　ますね。

\( \phantom{　} \)

ひなたさん　デジタル時計の秒の２つの数字に注目して考えてみましょう。図１のように \( 7 \) 秒のときは
　　　　　　０７のように２つの数字で表されて，１４個のＬＥＤのうち９個のＬＥＤが同時に点灯
　　　　　　していますね。
みずきさん　\( 0 \) 秒から \( 59 \) 秒のうち，最も多くのＬＥＤが同時に点灯するのは（　ア　）秒のときで，
　　　　　　１４個のＬＥＤのうち１３個のＬＥＤが同時に点灯します。
ひなたさん　１４個のＬＥＤのうち１０個のＬＥＤが同時に点灯するのは \( 1 \) 分間に何回あるのでしょうか。
　　　　　　例えば１０個のＬＥＤが同時に点灯するような２つの数字の組み合わせには,「０と４」や
　　　　　　「５と５」がありますね。
みずきさん　２つの数字の組み合わせの中には，並び方によっては，デジタル時計の秒として表示されない
　　　　　　ものがありますね。それを除くと，１４個のＬＥＤのうち１０個のＬＥＤが同時に点灯
　　　　　　するのは \( 1 \) 分間に（　イ　）回ありますね。

【解答】

（　ア　）･･･ \( 8 \)
（　イ　）･･･ \( 13 \)

【解説】

（　ア　）
１つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( A \)
２つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( B \)
とすると，表より，最も多くのＬＥＤが点灯するのは，\( (A，B)=(7，7) \) となるときで，
２つの数字の組み合わせは「８８」になりますが，\( 88 \) 秒はないので，あてはまりません。

次に多くのＬＥＤが点灯するのは，\( (A，B)=(6，7)，(7，6) \) となるときで，
\( (A，B)=(6，7) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「０８，６８，９８」ですが，\( 68 \) 秒，\( 98 \) 秒はないので，あてはまるのは \( 8 \) 秒のときです。
\( (A，B)=(7，6) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「８０，８６，８９」ですが，\( 80 \) 秒，\( 86 \) 秒，\( 89 \) 秒はないので，どれもあてはまりません。

よって，最も多くのＬＥＤが同時に点灯するのは \( 8 \) 秒のときになります。

（　イ　）
１つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( A \)
２つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( B \)
とすると，表より \( 2≤A≤7，2≤B≤7 \) であることから，
\( A+B=10 \) となる \( A，B \) の組み合わせは，
　\( (A，B)=(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3) \)
の５通りです。

\( (A，B)=(3，7) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「７８」ですが，\( 78 \) 秒はないのであてはまりません。
\( (A，B)=(4，6) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「４０，４６，４９」の３通り。
\( (A，B)=(5，5) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「２２，２３，２５，３２，３３，３５，５２，５３，５５」の９通り。
\( (A，B)=(6，4) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「０４，６４，９４」ですが，\( 64 \) 秒，\( 94 \) 秒はないので，あてはまるのは「０４」の１通り。
\( (A，B)=(7，3) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「８７」ですが，\( 87 \) 秒はないのであてはまりません。

よって，１０個のＬＥＤが同時に点灯するのは，\( 1 \) 分間に \( 13 \) 回になります。

（２）図３は，みずきさんの家にある長針と短針がそれぞれ一定の速さで動く円形のアナログ時計であり，午後１時を示している。（ａ）・（ｂ）に答えなさい。

（ａ）みずきさんは，ある日の午後３時から午後４時の間で，長針と短針のつくる角度が \( 130° \) になる時刻について，【みずきさんの考え方】のように求めた。【みずきさんの考え方】の（　ウ　）にはあてはまる数を，
　エ　にはあてはまる \( x \) を用いた式を，それぞれ書きなさい。ただし，長針と短針のつくる角とは，長針と短針をそれぞれ線分と考えたときに，２つの線分がつくる角のうち角度が小さい方の角とする。

【みずきさんの考え方】
午後３時から午後４時の間で，長針と短針のつくる角度が \( 130° \) になる時刻を午後３時 \( x \) 分とする。午後３時の時点で，長針と短針のつくる角度は（　ウ　）°であり，そこから長針と短針が重なる
まで，長針と短針のつくる角度は小さくなっていく。長針と短針のつくる角度が \( 130° \) になるのは，
長針が短針を追い越した後である。
また，長針は \( 60 \) 分間で \( 360° \)，短針は \( 60 \) 分間で \( 30° \) 動くので，\( 1 \) 分間で長針は \( 6° \)，
短針は \( 0.5° \) 動く。これらのことから \( x \) についての方程式をつくると，
　　エ　 \( =130 \)
となり，これを解くと \( x=40 \) となり，\( 130° \) になる時刻は午後３時４０分であることがわかる。

【解答】

（　ウ　）･･･ \( 90 \)
　エ　･･･ \( 6x-(90+0.5x) \)

【解説】

午後３時の長針と短針の位置が異なるので，
０時（または０分）の位置を基準（仮に「基準の位置」と呼びます）にして，
午後３時 \( x \) 分に長針と短針が基準の位置からどれだけ回転した位置にあるかを考えます。

このとき，午後３時 \( x \) 分の長針の位置を
「基準の位置」から \( a° \) 回転した位置，
午後３時 \( x \) 分の短針の位置を
「基準の位置」から \( b° \) 回転した位置，
とすると，長針と短針のつくる角度は，
　\( a-b \)
で表すことができます。

【午後３時 \( x \) 分の長針の位置】
長針は \( 1 \) 分間に \( 6° \) ずつ動くので，
午後３時 \( x \) 分には，「基準の位置」から \( 6x° \) 回転した位置にあります。

【午後３時 \( x \) 分の短針の位置】
午後３時には「基準の位置」から \( 90° \) 回転した
位置にあり，そこから \( 1 \) 分間に \( 0.5° \) ずつ動くので，
午後３時 \( x \) 分には，午後３時から \( 0.5x° \) 回転した位置、つまり，「基準の位置」から \( (90+0,5x)° \) 回転した位置にあります。

よって，長針と短針のつくる角度を \( x \) についての方程式で表すと，
　\( 6x-(90+0.5x)=130 \)
となります。

（ｂ）図４は，図３の時計の一部を模式的に表したものである。線分 \( OA \) がある時刻の長針を表しているとき，この時刻の \( 5 \) 分後の長針を表す線分 \( OP \) を，定規とコンパスの両方を使って作図しなさい。ただし，点 \( P \) は円 \( O \) の円周上にとることとし，作図に使った線は消さずに残しておくこと。また，定規やコンパスを持っていない場合は，作図の方法を文章で書きなさい。

【解答】

手順１　点 \( A \) を中心に線分 \( OA \) を半径とする円弧を描く
（円 \( O \) との交点を \( B \) とします）
手順２　線分 \( OB \) を描く
手順３　点 \( O \) を中心に円弧を描く
（線分 \( OA，OB \) との交点を \( C，D \) とします）
手順４　２点 \( C，D \) を中心に円弧を描く
（交点を \( E \) とします）

直線 \( OE \) と円 \( O \) の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

長針は \( 1 \) 分間に \( 6° \) ずつ動くので，\( 5 \) 分で \( 30° \) 回転します。
つまり，線分 \( OP \) は線分 \( OA \) を時計回りに \( 30° \) 回転させたものになります。

\( 30° \) は \( 60° \) の半分の大きさなので，
線分 \( OA \) を時計回りに \( 60° \) 回転させた線分 \( OB \) を描き，\( ∠AOB \) の二等分線を描けばいいことになります。

また，\( ∠AOB=60° \) になるとき，\( △OAB \) は正三角形になるので，点 \( A \) を中心に線分 \( OA \) を半径とする円弧を描くことで \( AO=AB \) となる点 \( B \) の位置が求められます。

大問４

右の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，点 \( A \) の \( x \) 座標は \( -4 \)，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 6 \) である。また，直線 \( y=a \; (a>0) \) と関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフとの交点のうち，\( x \) 座標が小さい方を点 \( P \)，\( x \) 座標が大きい方を点 \( Q \) とする。（１）～（４）に答えなさい。

（１）直線 \( OB \) の式を求めなさい。

【解答】

\( y=3x \)

【解説】

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，点 \( B \) の座標は，\( B(6，18) \) です。

直線 \( OB \) の傾きを \( m \) とすると，
　\( m=\dfrac{18-0}{6-0}=3 \)

よって，直線 \( OB \) の式は \( y=3x \) になります。

（２） \( PQ=10 \) のとき，\( x \) 軸を対称の軸として点 \( Q \) を対称移動した点の座標を求めなさい。

【解答】

\( \left( 5，-\dfrac{25}{2} \right) \)

【解説】

\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフは \( y \) 軸に対して左右対称なので，
\( PQ \) と \( y \) 軸の交点を \( R \) とすると，
\( PQ=10 \) のとき，\( PR=RQ=5 \) になります。

ここから，点 \( Q \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 5 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 5^2=\dfrac{25}{2} \)
より，点 \( Q \) の座標は，\( Q \left( 5，\dfrac{25}{2} \right) \) です。

求める点を \( Q’ \) とすると，
点 \( Q，Q’ \) の座標は，\( x \) 座標の値は等しく，
\( y \) 座標は符号を入れ替えた値になるので，
点 \( Q’ \) の座標は，\( Q’ \left( 5，-\dfrac{25}{2} \right) \) になります。

（３） \( a=14 \) のとき，四角形 \( OQBP \) の面積は \( △AQP \) の面積の何倍か，求めなさい。

【解答】

３倍

【解説】

四角形 \( OQBP \) を \( △OQP \) と \( △BQP \) に分けると，
\( △AQP \) を含む３つの三角形はすべて線分 \( PQ \) を辺にもつので，
線分 \( PQ \) を底辺と考えると，高さの比が面積の比と等しくなります。

【\( △OQP \) の高さ】
原点 \( O \) の \( y \) 座標は \( 0 \)，
点 \( P，Q \) の \( y \) 座標は \( 14 \) なので，
\( △OQP \) の高さは \( 14 \)

【\( △BQP \) の高さ】
原点 \( B \) の \( y \) 座標は \( 18 \)，
点 \( P，Q \) の \( y \) 座標は \( 14 \) なので，
\( △BQP \) の高さは \( 4 \)

【\( △AQP \) の高さ】
点 \( A \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( -4 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times (-4)^2=8 \)
点 \( P，Q \) の \( y \) 座標は \( 14 \) なので，
\( △AQP \) の高さは \( 6 \)

ここから，四角形 \( OQBP \) と \( △AQP \) の面積比は，
　四角形 \( OQBP： △AQP=(14+4)：6=3：1 \)

よって，四角形 \( OQBP \) の面積は \( △AQP \) の面積の３倍になります。

（４）直線 \( AQ \) と \( x \) 軸との交点を \( C \) とする。点 \( A \) が線分 \( CQ \) の中点となるとき，直線 \( CP \) の傾きを求めなさい。

【解答】

\( 2 \)

【解説】

点 \( Q \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を \( E \)，
点 \( A \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と線分 \( QE \) との交点を \( F \) とすると，
\( △QAF \) と \( △QCE \) は，点 \( A \) が線分 \( CQ \) の中点であることから，
\( △QAF \) ∽ \( △QCE \) ，相似比は \( 1：2 \) になっています。

点 \( Q \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
線分 \( AF \) の長さは \( t+4 \) と表すことができるので，
線分 \( CE \) の長さは \( 2AF=2t+8 \) と表すことができます。
また，点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 8 \) であることから，\( EF=8 \) であり，
相似比は \( 1：2 \) より，\( QF=8 \) になっています。
ここから，２点 \( P，Q \) の \( y \) 座標の値は \( 16 \) になります。

また，点 \( P \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を \( G \) とすると，，
点 \( P \) の \( x \) 座標は \( -t \) と表せるので，\( PQ=2t \) と表すことができます。
このとき，\( CE=2t+8，GE=PQ=2t \) より，\( CG=8 \) になっています。

以上より，直線 \( CP \) の傾きは，
　傾き \( =\dfrac{16}{8}=2 \)

大問５

右の図１のように，すべての辺の長さが \( 2 \; cm \) の正四角錐 \( OABCD \) があり，底面の正方形 \( ABCD \) の対角線の交点を \( H \) とする。
（１）～（４）に答えなさい。

（１） \( △BCH \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( 1 \; cm^2 \)

【解説】

\( △BCH，△ABH，△CDH，△ADH \) はすべて合同で，面積は等しいので，
正方形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{1}{4} \) になります。

よって，
　\( △BCH=\dfrac{1}{4} \times 2 \times 2=1 \; (cm^2) \)

（２）３点 \( O，A，C \) を通る円の半径を求めなさい。

【解答】

\( \sqrt{2} \; cm \)

【解説】

\( △ABC \) は \( AB=BC=2 \; cm \) の直角二等辺三角形なので，
　\( AC=2\sqrt{2} \; cm \)

\( △OAC \) は \( OA=OC=2 \; cm，AC=2\sqrt{2} \; cm \) なので，
\( ∠AOC=90° \) の直角二等辺三角形になっています。

\( ∠AOC \) は，３点 \( O，A，C \) を通る円の円周角なので，
\( ∠AOC=90° \) より，線分 \( AC \) は，この円の直径になります。

よって，この円の半径は，
　\( \dfrac{1}{2}AC=\sqrt{2} \; (cm) \)

（３）図２は，図１の正四角錐 \( OABCD \) の展開図である。図２のように，正四角錐 \( OABCD \) の \( △OAD \) の頂点 \( A \) が移る点を \( E \)，線分 \( CO \) の中点をMとするとき，\( △ABE \) ∽ \( △MCD \) を証明しなさい。

【解答】

\( △ABE \) ∽ \( △MCD \) において，
すべての辺は \( 2 \; cm \) なので，
　\( BE=BO+OE=4 \; cm \)
　\( MC=\dfrac{1}{2}OC=1 \; cm \)
であり，
　\( AB：MC=2：1 \) ･･･ ➀
　\( BE：CD=4：2=2：1 \) ･･･ ➁
正方形の内角 \( ABCD \) の内角なので，
　\( ∠ABC=∠DCB=90° \) ･･･ ➂
\( △OBC \) は正三角形なので，
　\( ∠CBO=∠BCO=60° \) ･･･ ➃
➂➃より，
　\( ∠ABE=∠ABC+∠CBO=150° \) ･･･ ➄
　\( ∠MCD=∠DCB+∠BCO=150° \) ･･･ ⑥
➄⑥より，
　\( ∠ABE=∠MCD \) ･･･ ➆
➀➁➆より，
２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABE \) ∽ \( △MCD \)

（４）図３のように，\( △OAB \) が底面になるように，正四角錐 \( OABCD \) を平面 \( P \) 上に置いたとき，点 \( D \) と平面 \( P \) との距離を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \; cm \)

【解説】

線分 \( AB \) の中点を \( E \)，線分 \( CD \) の中点を \( F \)
とし，点 \( F \) から線分 \( OE \) に垂線をひくと，
この垂線の長さは点 \( D \) と平面 \( P \) との距離と
等しくなります。

\( △OAE，△ODF \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，
　\( OE=OF=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 2=\sqrt{3} \; (cm) \)
\( EF//AD \) なので，\( EF=AD=2 \; cm \)

\( △OEF \) において，点 \( F \) から線分 \( OE \) に垂線を
ひいた交点を \( G \) とし，\( EG=x \; cm \) とすると，
三平方の定理より，
　\( 2^2-x^2=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-x)^2 \)
　 \( 4-x^2=3-(3-2\sqrt{3}x+x^2) \)
　 \( 4-x^2=2\sqrt{3}x-x^2 \)
　　\( 2\sqrt{3}x=4 \)
　　　　\( x=\dfrac{2}{\sqrt{3}} \; (cm) \)

よって，
　\( FG^2=2^2-\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^2=\dfrac{8}{3} \)
　 \( FG=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \; (cm) \)（ \( FG>0 \) より）

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徳島県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 31 Aug 2024 13:00:34 +0000

大問１

（１） \( (-5)+(-2) \) を計算しなさい。

【解答】

\( -7 \)

【解説】

\( =-5-2 \)
\( =-7 \)

（２） \( 3(a+b)-2 (a-b) \) を計算しなさい。

【解答】

\( a+5b \)

【解説】

\( =3a+3b-2a+2b \)
\( =a+5b \)

（３） \( 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{3} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 8\sqrt{6} \)

（４）正四面体の辺の数を答えなさい。

【解答】

\( 6 \) 本

【解説】

正四面体は，すべての班の長さが等しい三角すいなので，辺の長さは \( 6 \) 本になります。

（５） \( 4x^2-9y^2 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (2x+3y)(2x-3y) \)

（６） \( y \) 軸を対称の軸として, 直線 \( y=-3x+1 \) と線対称となる直線の式を求めなさい。

【解答】

\( y=3x+1 \)

【解説】

直線 \( y=-3x+1 \) は，
\( (x，y)=(0，1)，(-1，4) \) を通ります。

\( (x，y)=(-1，4) \) の点を \( y \) 軸を対称の軸として移動させると，\( (x，y)=(1，4) \) に移動します。
また，\( (x，y)=(0，1) \) は，
直線 \( y=-3x+1 \) と \( y \) 軸の交点なので
移動しません。

よって，求める直線は，
２点 \( (0，1)，(1，4) \) を通る直線なので，
\( y=3x+1 \)

（７）関数 \( y=5x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦3 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。

【解答】

\( 0≦y≦45 \)

【解説】

\( y=ax^2 \;\;(a>0) \) において，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。

また，\( x \) の絶対値が最大になるとき，
\( y \) の値も最大になります。

\( -1≦x≦3 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，最小値は \( 0 \)，
絶対値が最大になるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の値は，\( y=5 \times 3^2=45 \)

よって，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦45 \)

（８）右の表は，ある中学校の女子 \( 20 \) 人のハンドボール投げの記録を度数分布表に整理したものである。この表から求めた最頻値が \( 12.5 \; m \) であるとき，\( a，b \) にあてはまる数の組み合わせは全部で何通りあるか，求めなさい。

【解答】

６通り

【解説】

すべての階級の度数の合計が \( 20 \) 人なので，
　\( 1+5+a+b+3=20 \)
　　　　 \( a+b=11 \) ･･･ ➀

最頻値が \( 12.5 \; m \) であることから，
最頻値が含まれる階級は，「\( 10 \; m \) 以上 \( 15 \; m \) 未満」になります。
ここから，\( a>b \) ･･･ ➁

➀➁を満たすような \( a，b \) の組み合わせは，
　\( (a，b)=(6，5)，(7，4)，(8，3)，(9，2)，(10，1)，(11，0) \)
の６通り

（９）\( △ABC \) において，\( AB=8 \; cm，BC=6 \; cm，CA=x \; cm \) である。\( △ABC \) が直角三角形になるときの \( x \) の値をすべて求めなさい。

【解答】

\( x=2\sqrt{7}，10 \)

【解説】

直角三角形の３辺は，斜辺の長さが一番長くなります。
\( AB=8 \; cm，BC=6 \; cm，CA=x \; cm \) より，一番長くなる可能性があるのは，
\( AB=8 \; cm，CA=x \; cm \) のどちらかです。

【\( AB=8 \; cm \) が斜辺の場合】
三平方の定理より，
　\( 8^2=6^2+x^2 \)
　\( x^2=28 \)
　\( x=2\sqrt{7} \; (cm) \) (\( AB>0 \) より)

【\( CA=x \; cm \) が斜辺の場合】
三平方の定理より，
　\( x^2=8^2+6^2 \)
　\( x^2=100 \)
　 \( x=10 \; (cm) \) (\( CA>0 \) より)

直角三角形は斜辺が一番長くなる理由

辺 \( QR \) を斜辺とする直角三角形 \( PQR \) において，
３つの頂点を通る円 \( O \) を考えると，
\( ∠QPR=90° \) より，直径に対する円周角になるので，
辺 \( QR \) は円 \( O \) の直径になっています。

１つの円の中で最も長い弦が直径になるので，
３辺の中で辺 \( QR \) が一番長いといえます。

（１０）右の図のように，点 \( A (3，6) \) をとる。また，\( 1 \) から \( 6 \) までの目が出るさいころを２回投げて，最初に出た目の数を \( a \)，２回目に出た目の数を \( b \) とし，２点 \( B (2，a)，C(1，b) \) をとる。このとき，３点 \( A，B，C \) が１つの直線上に並ぶ確率を求めなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

【解答】

\( \dfrac{1}{12} \)

【解説】

３点 \( A，B，C \) が１つの直線上に並ぶのは，
　\( B (2，6)，C(1，6) \) つまり，\( a=6，b=6 \)
　\( B (2，5)，C(1，4) \) つまり，\( a=5，b=4 \)
　\( B (2，4)，C(1，2) \) つまり，\( a=4，b=2 \)
の３通りになっています。

さいころの出た目 \( a，b \) の組み合わせを表に書き出すと，
一直線上に並ぶのは３通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} \)

大問２

一直線にのびた線路と，その横に，線路に平行な道路がある。電車が駅に停車していると，あさひさんが乗った自転車が電車の後方から，電車の進行方向と同じ方向に走ってきた。図１のように，停車している電車の先端を地点 \( P \) とする。このとき，電車が地点 \( P \) を出発したのと同時に，自転車も地点 \( P \) を通過した。
電車が地点 \( P \) を出発してから \( x \) 秒間に電車と自転車が進む距離を \( y \; m \) とする。\( 0≦x≦30 \) のとき，電車は \( y=\dfrac{3}{10}x^2 \) の関係になり，自転車は \( y=6x \) の関係になることがわかっている。
図２は，電車と自転車について，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。（１）～（４）に答えなさい。

（１）電車が自転車に追いつくのは，地点 \( P \) から何 \( m \) 離れた地点か，求めなさい。

【解答】

\( 120 \; m \)

【解説】

電車が自転車に追いつく時間と場所は，グラフにおいて，直線と曲線の交点として表されます。
交点の \( x \) 座標の値は \( 20 \) なので，そのときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=6 \times 20=120 \; (m) \)

（２）電車が地点 \( P \) を出発して \( 10 \) 秒後から \( 20 \) 秒後までの電車の平均の速さは秒速何 \( m \) か，求めなさい。

【解答】

秒速 \( 9 \; m \)

【解説】

出発して \( 10 \) 秒後の電車の位置は
　\( y=\dfrac{3}{10} \times 10^2=30 \; (m) \)
なので，平均の速さは
　\( \dfrac{120-30}{20-10}=9 \)
より，秒速 \( 9 \; m \)

（３） \( 0≦x≦20 \) のとき，自転車と電車が \( 30 \; m \) 離れるのは，電車が地点 \( P \) を出発してから何秒後か，求めなさい。

【解答】

\( 10 \) 秒後

【解説】

出発してから \( t \) 秒後に自転車と電車が \( 30 \; m \) 離れるとすると，
\( t \) 秒後に自転車が進んだ距離は
　\( y=6t \; (m) \)
\( t \) 秒後に電車が進んだ距離は
　\( y=\dfrac{3}{10}t^2 \; (m) \)
と表せるので，
　　　 \( 6t-\dfrac{3}{10}t^2=30 \)
　\( \dfrac{3}{10}t^2-6t+30=0 \)
　 \( t^2-20t+100=0 \)
　　　　 \( (t-10)^2=0 \)
　　　　　　　　 \( t=10 \)
よって，答えは出発してから \( 10 \) 秒後

（４）地点 \( P \) から \( 150 \; m \) 離れた地点において，電車が到達してから自転車が到達するまでにおよそ何秒かかるか，求め方を説明しなさい。ただし，実際に何秒かかるかを求める必要はない。

【解答】

電車のグラフを表す式 \( y=\dfrac{3}{10}x^2 \) に \( y=150 \) を代入したときの \( x \) の値を \( x_1 \)，
自転車のグラフを表す式 \( y=6x \) に \( y=150 \) を代入したときの \( x \) の値を \( x_2 \)
とすると，\( x_2-x_1 \) で求めることができる。

大問３

まことさんは，トランプを使って図１のようなタワーをつくろうと考えた。できるだけ大きなタワーをつくるために，必要なトランプの枚数を調べることにした。（１）・（２）に答えなさい。

（１）まことさんは，図２のように，トランプの代わりに同じ長さの棒を並べたモデルをつくり，棒の本数を数えることでトランプの枚数を調べることにした。（ａ），（ｂ）に答えなさい。

（ａ）まことさんは，図３のように，上から \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，\( 3 \) 段目，\( 4 \) 段目，･･･，\( n \) 段目と分けて，各段の棒の本数を，横向きの棒と斜め向きの棒に着目して，下のような表にまとめようとしている。表の (　ア　) にあてはまる数を，　イ　にはあてはまる \( n \) を用いた式をそれぞれ書きなさい。

【解答】

( 　ア　 ) ･･･ \( 14 \) 本
　イ　･･･ \( n-1 \) 本

【解説】

( 　ア　 )
図３から，横向きの棒の本数は，\( 0 → 1 → 2 → 3 \) となっているので，その次は \( 4 \)
斜め向きの棒の本数は， \( 2 → 4 → 6 → 8 \) となっているので，その次は \( 10 \)
よって，合計の本数は \( 14 \) 本。

　イ　
横向きの棒の本数は，段数より \( 1 \) 小さい数字が入っているので，
\( n \) 段目のときは，\( n-1 \) 本。

（ｂ）トランプ \( 1 \) 組 \( 54 \) 枚を使うと最大何段のタワーをつくることができるか，求めなさい。ただし，使わないトランプがあってもよいものとする。

【解答】

\( 5 \) 段

【解説】

（ａ）の表から各段数のタワーをつくるのに必要なトランプの枚数は，
　\( 1 \) 段目･･･ \( 2 \) 本
　\( 2 \) 段目･･･ \( 2+5=7 \) 本
　\( 3 \) 段目･･･ \( 2+5+8=15 \) 本
　\( 4 \) 段目･･･ \( 2+5+8+11=26 \) 本
　\( 5 \) 段目･･･ \( 2+5+8+11+14=40 \) 本
　\( 6 \) 段目･･･ \( 2+5+8+11+14+17=57 \) 本
なので，\( 54 \) 枚のトランプでは，最大 \( 5 \) 段のタワーをつくることができる。

（２）まことさんは，タワーをつくるために，必要なトランプの枚数を効率的に調べる方法について，次のように考えをまとめた。（ａ），（ｂ）に答えなさい。

【まことさんの考え】
［\( 4 \) 段のとき］
図４のように，\( 4 \) 段のモデルと，同じものを逆さまにしたモデルを組み合わせて，上から \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，\( 3 \) 段目，\( 4 \) 段目を考えると，各段の棒の本数は，それぞれ (　ウ　) 本で同じになる。
　　　

このことを利用すれば，\( 4 \) 段のタワーに必要なトランプの枚数を求めることができる。

［\( n \) 段のとき］
図５のように，\( n \) 段のモデルと，同じものを逆さまにしたモデルを組み合わせて，上から \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，\( 3 \) 段目，･･･，\( n \) 段目を考えると，各段の棒の本数は，それぞれ ( 　エ　 ) 本で同じになる。

これらの考え方を利用すれば，何段のタワーであっても，必要なトランプの枚数を求めることができる。

（ａ）【まことさんの考え】の (　ウ　) にあてはまる数を，　エ　にはあてはまる \( n \) を用いた式を，それぞれ書きなさい。

【解答】

( 　ウ　 ) ･･･ \( 13 \) 本
　エ　･･･ \( 3n+1 \) 本

【解説】

( 　ウ　 )
すべての段において，横向きの棒は \( 3 \) 本，
斜め向きの棒は，「ハ」の字または「Ｖ」の字型を１組と考えると５組ずつあるので，全部で \( 10 \) 本
よって，合計で \( 13 \) 本。

　エ　
すべての段において，横向きの棒は \( n-1 \) 本，
斜め向きの棒は，「ハ」の字または「Ｖ」の字型を１組と考えると
下の図のように \( n+1 \) 組ずつあるので，全部で \( 2(n+1) \) 本
よって，合計で \( (n-1)+2(n+1)=3n+1 \) 本。

（ｂ） \( 20 \) 段のタワーをつくるために，必要なトランプは何枚か，求めなさい。

【解答】

\( 610 \) 枚

【解説】

【まことさんの考え】から，
\( n \) 段のとき，各段の棒の本数は，それぞれ \( (3n+1) \) 本で，
これが \( n \) 段あるので，合計の本数は \( n(3n+1) \) 本になります。
これは，タワー２個分の本数なので，タワー１個では，\( \dfrac{n(3n+1)}{2} \) 本になります。

\( 20 \) 段のときの棒の本数は，\( n=20 \) を代入すると，
　\( \dfrac{20 \times (3 \times 20+1)}{2}=10 \times 61=610 \) 本

よって，必要なトランプは \( 610 \) 枚。

大問４

右の図のように，直線 \( y=3x \) 上に点 \( A \)，直線 \( y=\dfrac{1}{2}x \) 上に点 \( C \)，直線 \( y=-x \) 上に点 \( E \) があり，点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 3 \) である。また，四角形 \( ABCD \) と四角形 \( AEFG \) がともに正方形になるように点 \( B，D，F，G \) をとる。ただし，点 \( C \) と点 \( F \) の \( x \) 座標はともに \( 3 \) より大きく，辺 \( AB \) と辺 \( AE \) はともに \( y \) 軸に平行とする。（１）～（４）に答えなさい。

（１）点 \( E \) の座標を求めなさい。

【解答】

\( E(3，-3) \)

【解説】

点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 3 \) で，辺 \( AE \) はともに \( y \) 軸に平行なので，
点 \( E \) の \( x \) 座標も \( 3 \)
また，\( y=-x \) 上の点なので，\( y \) 座標の値は \( -3 \)

よって，点 \( E \) の座標は \( E(3，-3) \)

（２）２点 \( A，F \) を通る直線の式を求めなさい。

【解答】

\( y=-x+12 \)

【解説】

点 \( A \) は \( y=3x \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 3 \) なので，
\( y \) 座標の値は \( y=3 \times 3=9 \) であり，
点 \( A \) の座標は \( A(3，9) \)

辺 \( AE \) はともに \( y \) 軸に平行で，
点 \( A \) の \( y \) 座標の値は \( 9 \)
点 \( E \) の \( y \) 座標の値は \( -3 \)
なので，辺 \( AE \) の長さは \( 9-(-3)=12 \)

四角形 \( AEFG \) は正方形なので，
\( EF=AE=12 \)

点 \( F \) の \( x \) 座標は \( 3+12=15 \)
\( AE⊥EF \) より，辺 \( EF \) は \( x \) 軸に平行なので，
\( y \) 座標の値は \( -3 \)
であり，点 \( F \) の座標は \( F(15，-3) \)

求める直線は \( A(3，9)，F(15，-3) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{-3-9}{15-3}=-1 \)
この直線の式を \( y=-x+b \) とし，\( x=3，y=9 \) を代入すると，
　\( 9=-3+b \)
　\( b=12 \)

よって，２点 \( A，F \) を通る直線の式は \( y=-x+12 \)

（３）正方形 \( ABCD \) を，辺 \( AB \) を回転の軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 125\pi{} \)

【解説】

点 \( C \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
点 \( C \) の座標は \( C \left(t，\dfrac{1}{2}t \right) \)

正方形 \( ABCD \) は，辺 \( AB \) が \( y \) 軸に平行，
辺 \( BC \) が \( x \) 軸に平行なので，
点 \( B \) の座標は \( B \left(3，\dfrac{1}{2}t \right) \)

正方形のすべての辺は等しいので，
　　 \( AB=BC \)
　\( 9-\dfrac{1}{2}t=t-3 \)
　　　\( \dfrac{3}{2}t=12 \)
　　　　\( t=8 \)
よって，点 \( C \) の座標は \( C(8，4) \)

以上より，正方形 \( ABCD \) は１辺の長さが \( 5 \) なので，
求める立体は底面の半径 \( 5 \)，高さ \( 5 \) の円柱になります。

この円柱の体積は，
　\( (\pi{} \times 5^2) \times 5=125\pi{} \)

（４）辺 \( FG \) 上に点 \( P \) をとり，\( △OAP \) の周の長さが最小となるような点 \( P \) の座標を求めなさい。

【解答】

\( P(15，5) \)

【解説】

\( △OAP \) の周の長さは \( OP+PA+AO \) と表すことができ，
点 \( P \) がどこにあっても，辺 \( AO \) の長さは変わらないので，
\( OP+PA \) が最小のとき，\( △OAP \) の周の長さが最小になります。

線分 \( FG \) について点 \( A \) と対称な点を \( A’ \) とすると，
\( PA=PA’ \) なので，\( OP+PA’=OP+PA \) であり，
線分 \( OA’ \) と線分 \( FG \) の交点が点 \( P \) になるとき，
\( OP+PA \) が最小になります。

\( A(3，9)，F(15，-3) \) より，点 \( G \) の座標は \( G(15，9) \)
\( A’G=AG \) なので，\( AG=12 \) より，
点 \( A’ \) の座標は \( A’(27，9) \)

ここから，直線 \( OA’ \) の式は \( y=\dfrac{1}{3}x \)

直線 \( OA’ \) と線分 \( FG \) の交点 \( P \) の \( x \) 座標の値は \( 15 \) なので，
\( y \) 座標の値は
\( y=\dfrac{1}{3} \times 15=5 \)

よって，求める点 \( P \) の座標は，\( P(15，5) \)

大問５

右の図のように，円 \( O \) の直径 \( AB \) 上に点 \( C \) をとり，点 \( C \) を通り直径 \( AB \) に垂直な直線と円 \( O \) との交点をそれぞれ \( D，E \) とする。中心 \( O \) と点 \( E \)，点 \( A \) と点 \( D \)，点 \( A \) と点 \( E \)，点 \( B \) と点 \( E \) をそれぞれ結ぶ。（１）～（４）に答えなさい。

（１） \( ∠AEB \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 90° \)

【解説】

直径に対する円周角なので，\( ∠AEB=90° \)

（２） \( △AED \) ∽ \( △OEB \) の証明について，（ａ），（ｂ）に答えなさい。

（ａ） \( △AED \) ∽ \( △OEB \) を証明するために，次のように \( △DAC≡△EAC \) を証明した。
　　　にあてはまる言葉を書きなさい。

【\( △DAC≡△EAC \) の証明】
\( △DAC \) と \( △EAC \) で
\( AC \) は共通だから，\( AC=AC \) ･･･ ①
仮定より， \( ∠DCA=∠ECA=90° \) ･･･ ②
また，直径 \( AB \) は弦 \( DE \) の垂直二等分線だから，
\( DC=EC \) ･･･ ③
➀，②，③ より，　　　が，それぞれ等しいので，\( △DAC≡△EAC \)

【解答】

２組の辺とその間の角

（ｂ）（ａ）で示したことを用いて，\( △AED \) ∽ \( △OEB \) を証明しなさい。

【解答】

\( △AED \) ∽ \( △OEB \) において，
\( △DAC≡△EAC \) より，
\( ∠DAC=∠EAC \) なので，
　\( ∠EAD=2∠EAB \) ･･･ ➀
\( ∠EAB \) は弧 \( EB \) に対する円周角，
\( ∠EOB \) は弧 \( EB \) に対する中心角なので，
　\( ∠EOB=2∠EAB \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠EAD=∠EOB \) ･･･ ③
弧 \( AE \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADE=∠OBE \) ･･･ ➃
③➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AED \) ∽ \( △OEB \)

（３） \( △AED \) と \( △OEB \) の相似比が \( 5：3 \) であり，\( △AED \) の面積が \( 50 \; cm^2 \) であるとき，\( △AEB \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( 36 \; cm^2 \)

【解説】

相似な三角形の面積比は相似比の二乗の比になるので，
　\( △AED：△OEB=5^2：3^2=25：9 \)
　　　　\( 50：△OEB=25：9 \)
　　　　　　 \( △OEB=18 \; (cm^2) \)

\( △OEA \) と \( △OEB \) は，
\( OA=OB \)，高さが共通なので，
　\( △OEA=△OEB=18 \; (cm^2) \)

よって，
　\( △AEB=△OEA+△OEB=36 \; (cm^2) \)

（４） \( AD=8 \; cm，BE=4 \; cm \) のとき，\( AC：CB \) を求めなさい。

【解答】

\( AC：CB=4：1 \)

【解説】

\( △DAC \) と \( △BEC \) において，
\( ∠ADC=∠EBC，∠ACD=∠ECB=90° \) より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △DAC \) ∽ \( △BEC \)

対応する辺の比は等しいので，
　\( AC：EC=AD：EB=8：4=2：1 \)

\( △DAC≡△EAC \) より，\( DC=EC \) なので，
　\( AC：DC=2：1 \)

また，\( DC：BC=2：1 \) でもあるので，
　\( AC：DC：BC=2：1：\dfrac{1}{2} \)

よって，
　\( AC：BC=2：\dfrac{1}{2}=4：1 \)

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徳島県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Wed, 20 Dec 2023 17:06:57 +0000

大問１

(1)　\( (-4) \times 2 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -8 \)

(2)　\( 5\sqrt{3}- \sqrt{27} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 2\sqrt{3} \)

【解説】

\( =5\sqrt{3}-3\sqrt{3} \)
\( =2\sqrt{3} \)

(3)　二次方程式 \( x^2-14x+49=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=7 \)

【解説】

\( (x-7)^2=0 \)
\( (x-7)=0 \)
　　　\( x=7 \)

(4)　\( y \) は \( x \) に比例し、\( x=-2 \) のとき \( y=10 \) である。\( x \) と \( y \) の関係を式に表しなさい。

【解答】

\( y=-5x \)

【解説】

\( y \) は \( x \) に比例するということは，式に表すと，\( y=ax \) の形になります。
ここに，\( x=-2，y=10 \) を代入すると，
　\( 10=a \times (-2) \)
　 \( a=-5 \)
よって，求める式は，\( y=-5x \) になります。

(5)　関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) について、 \( x \) の値が \( 2 \) から \( 6 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

【解答】

\( 2 \)

【解説】

変化の割合は次の式で求めることができます。
変化の割合 \(=\dfrac{y の変化量}{x の変化量}　\)
\( x=2 \) のとき，\( y \) の値は，\( y=\dfrac{1}{4} \times2^2=1 \)
\( x=6 \) のとき，\( y \) の値は，\( y=\dfrac{1}{4} \times6^2=9 \)
なので，
変化の割合 \(=\dfrac{9-1}{6-2}=2 \)

(6)　赤玉３個，白玉２個，青玉１個がはいっている箱から，同時に２個の玉を取り出すとき，取り出した２個の玉の色が異なる確率を求めなさい。ただし，どの玉の取り出し方も，同様に確からしいものとする。

【解答】

\( \dfrac{11}{15} \)

【解説】

球の取り出し方を樹形図にして色が異なるところに○を書いてみます。
すべての場合の数は１５通りで，色が異なるのは１１通りなので，
求める確率は \( \dfrac{11}{15} \)

(7)　ある式に \( 3a-5b \) をたす計算を間違えて，ある式から \( 3a-5b \) をひいてしまったために，答えが \( -2a+4b \) となった。正しく計算をしたときの答えを求めなさい。

【解答】

\( 4a-6b \)

【解説】

「ある式」を　Ａ　とすると，
「ある式」から \( 3a-5b \) をひいた答えが \( -2a+4b \) となったのだから，
　　Ａ　 \( -(3a-5b)=-2a+4b \)
　　　　　　　　Ａ　 \( =-2a+4b+3a-5b \)
　　　　　　　　　　 \( =a-b \)
「ある式」に \( 3a-5b \) をたすと，
　　Ａ　 \( +(3a-5b)=a-b+3a-5b \)
　　　　　　　　　　 \( =4a-6b \)

(8)　右の図のように，\( ∠C=90°，∠D=120° \) の四角形 \( ABCD \) がある。同じ印をつけた角の大きさが等しいとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 105° \)

【解説】

四角形の内角の和は \( 360° \) なので，
　\( ∠ABC+∠BAD+120°+90°=360° \)
　　　　　　　　 \( ∠ABC+∠BAD=150° \)
　　　　　　　　　\( ○+○+●+●=150° \)
　　　　　　　　　　　　 \( 2(○+●)=150° \)
　　　　　　　　　　　　　　\( ○+●=75° \)
内側の三角形において，
　\( ∠x+○+●=180° \)
　　 \( ∠x+75°=180° \)
　　　　　　\( ∠x=105° \)

(9)　１から９までの９つの自然数から異なる４つの数を選んでその積を求めると，８１０になった。この４つの数をすべて書きなさい。

【解答】

\( 3，5，6，9 \)

【解説】

８１０を素因数分解すると，
\( 810=2 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \)
　　\( =(2 \times 3) \times (3 \times 3) \times 3 \times 5 \)
　　\( =6 \times 9 \times 3 \times 5 \)

(10)　右の図のように，円柱と，その中にちょうどはいる球がある。円柱の高さが \( 4 \; cm \) であるとき，円柱の体積と球の体積の差を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( \dfrac{16}{3}\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

球は，円柱の中にちょうどはいるので，正面から見ると右の図のようになります。
球の高さと円柱の高さは等しいので，\( 4\; cm \)
左右も接しているので，円柱の底面は直径 \( 4\; cm \) の円であるとわかります。

円柱の体積 \( =\pi{} \times 2^2 \times 4=16\pi{} \; (cm^3) \)
球の体積 \( =\dfrac{4}{3} \times \pi{} \times 2^3=\dfrac{32}{3}\pi{} \; (cm^3) \)

なので，体積の差は，
\( 16\pi{}-\dfrac{32}{3}\pi{}=\dfrac{16}{3}\pi{} \; (cm^3) \)

大問２

右の図のように，２つの関数 \( y=x^2 \) と \( y=ax^2　(0

(1)　関数 \( y=x^2 \) のグラフと \( x \) 軸について線対称となるグラフの式を求めなさい。

【解答】

\( y=-x^2 \)

【解説】

関数 \( y=ax^2 \) のグラフと \( x \) 軸について線対称となるグラフの式は，\( y=-ax^2 \) になります。
よって，求める式は，\( y=-x^2 \)

(2)　２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

【解答】

\( y=-x+6 \)

【解説】

２点 \( A，B \) の \( y \) 座標は，
　\( A \) ･･･ \( y=2^2=4 \)
　\( B \) ･･･ \( y=(-3)^2=9 \)
なので，２点 \( (-3，9)，(2，4) \) を通る直線の式は，
　傾き \( =\dfrac{4-9}{2-(-3)}=-1 \)
この直線の式を \( y=-x+b \) とし，\( (2，4) \) を代入すると，
　\( 4=-2+b \)
　\( b=6 \)
以上より，求める直線の式は，\( y=-x+6 \)

(3)　\( △ABC \) の面積を \( a \) を用いて表しなさい。

【解答】

\( \dfrac{45-45a}{2} \)

【解説】

点 \( B，C \) の \( x \) 座標は \( -3 \) なので，\( y \) 座標の値は，
　\( B \) ･･･ \( y=(-3)^2=9 \)
　\( C \) ･･･ \( y=a \times (-3)^2=9a \)
なので，線分 \( BC \) の長さは，\( 9-9a \)
線分 \( BC \) を底辺とすると，高さは \( 2-(-3)=5 \)
よって，
　\( △ABC=(9-9a) \times 5 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{45-45a}{2} \)

(4)　線分 \( AC \) と線分 \( OB \) との交点を \( D \) とし，点 \( E \) を \( y \) 軸上にとる。四角形 \( BDAE \) が平行四辺形となるとき， \( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{7}{27} \)

【解説】

点 \( B \) の座標は \( (-3，9) \) なので，線分 \( OB \) の式は \( y=-3x \)
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，線分 \( AE \) の式は \( y=-3x+b \) と表すことができます。
この直線は \( A(2，4) \) を通るので，
　\( 4=-3 \times 2+b \)
　\( b=10 \)
よって，\( E \) の座標は，\( E(0，10) \)

点 \( E \) から点 \( B \) までは
\( x \) 軸方向に \( -3 \)，\( y \) 軸方向に \( -1 \) 進むので，
点 \( A \) から点 \( C \)までは
\( x \) 軸方向に \( -5 \) 進むので，\( y \) 軸方向に \( -\dfrac{5}{3} \) 進みます。
よって，点 \( C \) の座標は，\( C \left(-3，\dfrac{7}{3} \right) \)
\( y=ax^2 \) に代入すると，
　\( \dfrac{7}{3}=a \times (-3)^2 \)
　\( a=\dfrac{7}{27} \)

大問３

ゆうきさんとひかるさんは，桜の開花日予想に興味をもち，数学の授業で学んだことを利用して，今年の桜の開花日を予想しようと話し合っている。(1)・(2)に答えなさい。

【話し合いの一部】
ゆうきさん　気象庁のホームページには，徳島県の桜の開花日のデータがあります。
　　　　　　それを使って過去４０年間の桜の開花日をヒストグラムに表すと，図１のようになりました。

ひかるさん　開花日が４月１日以降になった年が， (　①　) 回ありますね。

ゆうきさん　そうですね。ほかにも，３月２５日から２９日の５日間に開花する回数が多いことが
　　　　　　読みとれます。この５日間に開花した割合を求めると (　②　) ％ですね。

ひかるさん　もっと開花日を正確に予想したいですね。

ゆうきさん　開花日には気温が関係しているかもしれませんね。

ひかるさん　インターネットで調べてみると，気温を用いた予想方法が２つ見つかりました。
　　　　　　４００℃の法則と６００℃の法則という予想方法です。

ゆうきさん　それは，どんな法則ですか。

ひかるさん　どちらも２月１日を基準とする考え方です。４００℃の法則は，２月１日以降その日の平均気温を
　　　　　　毎日たしていき，合計が４００℃以上になる最初の日を開花予想日とします。６００℃の法則は，
　　　　　　２月１日以降その日の最高気温を毎日たしていき，合計が６００℃以上になる最初の日を
　　　　　　開花予想日とします。

ゆうきさん　どちらの法則の方が正確に予想できるのでしょうか。

ひかるさん　それぞれの法則で過去の開花予想日を求め，実際の開花日と比べてみましょう。
　　　　　　その誤差をまとめると，どちらの法則の方が正確に予想できるかを調べることができます。

ゆうきさん　なるほど。気象庁のホームページには，日々の気温のデータもあります。
　　　　　　そのデータを用いて２０２２年の開花予想日を求めると，いつになりますか。

ひかるさん　平均気温の合計が４００℃以上になる最初の日は，３月２４日でした。
　　　　　　だから，４００℃ の法則を使えば，開花予想日は３月２４日となります。
　　　　　　また，６００℃の法則を使えば，開花予想日は３月２２日となります。

ゆうきさん　実際の開花日は３月２５日だったので，４００℃の法則での誤差は１日，６００℃の法則での
　　　　　　誤差は３日ですね。

ひかるさん　ほかの年ではどうなっているのでしょうか。２人で手分けして４０年間分の誤差を求め，
　　　　　　それをヒストグラムに表して，どちらの法則の方が正確に予想できるか考えてみましょう。

(1)　【話し合いの一部】の (　①　)・(　②　) にあてはまる数を，それぞれ書きなさい。

【解答・解説】

(　①　)
図１のヒストグラムから数えると，８(回)

(　➁　)
３月２５日から２９日の５日間に開花したのは２０回，
全部で４０年（４０回）分の統計を取っているので，
　\(\dfrac{20}{40} \times 100=50　(％) \)

(2)　図２，図３は，４０年間の気温のデータを用いて各法則で求めた開花予想日と，実際の開花日との誤差をヒストグラムに表したものである。(a)・(b)に答えなさい。ただし，誤差は絶対値で表している。

(a)　この２つのヒストグラムから読みとれることとして正しいものを，ア〜エからすべて選びなさい。

　ア　最頻値は，図２より図３の方が大きい。
　イ　予想が的中した回数は，図２，図３とも同じである。
　ウ　誤差が１０日以上になる割合は，図２より図３の方が小さい。
　エ　誤差が３日までの累積相対度数は，図２，図３とも同じである。

【解答】

　イ，ウ

【解説】

　ア　最頻値（最も度数が大きい日）は，図２，図３とも６日
　イ　予想が的中した（誤差が０日の）回数は，図２，図３とも２回。
　ウ　誤差が１０日以上になったのは，図２･･･５回，図３･･･３回。
　　　図２，図３とも全部で４０年分の統計を取っているので，図３の方が割合は小さくなる。
　エ　誤差が３日までの累積度数は，図２･･･１６回，図３･･･１５回。
　　　図２，図３とも全部で４０年分の統計を取っているので，図３の方が累積相対度数は小さくなる。

(b)　ゆうきさんとひかるさんは，図２，図３のヒストグラムだけでは，どちらの法則の方が正確に開花日を予想できるのかを判断することが難しいと考え，箱ひげ図で比較することにした。図４は，図２，図３を作成するためにもとにしたデータを，箱ひげ図に表したものである。
ゆうきさんとひかるさんは，この２つの箱ひげ図から「４００℃の法則の方が正確に開花日を予想できそうだ」と判断した。そのように判断した理由を，２つの箱ひげ図の特徴を比較して説明しなさい。

【解答】

４００℃の法則の方が中央値が小さいため

【解説】

４００℃の法則の場合，中央値が４．５日なので，５０％の確率で誤差が４．５日以下になっています。
６００℃の法則の場合，中央値が６日なので，５０％の確率で誤差が６日以下になります。
つまり，４．５日以下になる確率は５０％未満であり，
４００℃の法則の方がより誤差が小さく（正確に）予想できるといえます。

大問４

生徒会役員のはるきさんたちは，次の【決定事項】をもとに文化祭の日程を考えている。(1)・(2) に答えなさい。

【決定事項】
・　文化祭は学級の出し物から始まり，学級の出し物の時間はすべて同じ長さとする。
・　学級の出し物の間には入れ替えの時間をとり，その時間はすべて同じ長さとする。
・　すべての学級の出し物が終わった後に昼休みを６０分とり，
　　その後，吹奏楽部の発表とグループ発表を行う。
・　グループ発表の時間はすべて同じ長さとする。
・　昼休み以降の発表の間には，入れ替えの時間をとらず，発表の時間に含める。

(1)　はるきさんたちは，次の【条件】をもとに文化祭のタイムスケジュールをたてることにした。(a)・(b) に答えなさい。

【条件】
・　学級の出し物を５つ，グループ発表を１０グループとする。
・　学級の出し物の時間は，入れ替えの時間の４倍とし，吹奏楽部の発表の時間を４０分とする。
・　最初の学級の出し物が午前１０時に始まり，最後の学級の出し物が正午に終わるようにする。
・　最後のグループ発表が午後３時に終わるようにする。

(a)　学級の出し物の時間と入れ替えの時間は，それぞれ何分か，求めなさい。

【解答】

学級の出し物の時間･･･２０分
入れ替えの時間･･･５分

【解説】

学級の出し物の時間を \( x \) 分，入れ替えの時間を \( y \) 分とすると，
午前１０時から正午までの２時間（＝１２０分）に学級の出し物が５つあって，入れ替えの時間は４回あるので，
\( 5x+4y=120 \)　･･･ ①
学級の出し物の時間は，入れ替えの時間の４倍なので，
\( x=4y \)　･･･ ➁

①➁を連立方程式として解くと，
\( x=20，y=5 \)

【連立方程式の途中式】
\( \left\{
\begin{array}{}
5x+4y=120 \\
x=4y
\end{array}
\right. \)
➁を①に代入
　\( 5x+x=120 \)
　　　\( 6x=120 \)
　　　　\( x=20 \)
➁に代入
　\( 20=4y \)
　 \( y=5 \)

(b)　グループ発表の時間は何分か，求めなさい。

【解答】

８分

【解説】

正午から，昼休みが６０分，吹奏楽部の発表が４０分あるので，
グループ発表が始まるのは午後１時４０分。
ここから，午後３時までの１時間２０分（＝８０分）の間にグループ発表を１０個行うので，
グループ発表の時間は，\( 80 \div 10=8 \) (分)

(2)　はるきさんたちは，学級の出し物の数を変更し，条件を見直すことにした。次の【見直した条件】をもとに，受け付けできるグループ発表の数について検討をしている。(a)・(b) に答えなさい。

【見直した条件】
・学級の出し物は７つとし，学級の出し物の入れ替えの時間は８分とする。
・吹奏楽部の発表の時間は，学級の出し物の時間の３倍とする。
・グループ発表の時間は７分とする。
・最初の学級の出し物が午前９時４０分に始まる。
・最後のグループ発表が午後３時２０分までに終わる。

(a)　最後のグループ発表が午後３時２０分ちょうどに終わるとき，学級の出し物の時間を \( a \) 分，グループ発表の数を \( b \) グループとして，この数量の関係を等式で表しなさい。

【解答】

\( 10a+7b=232 \)

【解説】

１つ \( a \) 分の学級の出し物を７つ行うときにかかる時間は \( 7a \) 分
このとき，１回８分の入れ替えが６回発生するので，かかる時間は \( 48 \) 分
昼休みは６０分
吹奏楽部の発表の時間は，学級の出し物の時間の３倍なので， \( 3a \) 分
１つ７分のグループ発表を \( b \) 個行うときにかかる時間は \( 7b \) 分
これらのイベントを午前９時４０分から午後３時２０分までの５時間４０分（３４０分）の間に行うので，
等式で表すと，
　\( 7a+48+60+3a+7b=340 \)
　\( 10a+7b=232 \)

(b)　学級の出し物の時間を１５分とするとき，グループ発表は，最大何グループまで受け付けできるか，求めなさい。

【解答】

１１グループ

【解説】

(a) で導き出した等式 \( 10a+7b=232 \) より，午後３時２０分までに終わらせるためには，
\( 10a+7b<232 \) が成り立つようにグループ発表のグループ数を調整すればいいことになります。
よって，\( 10a+7b<232 \) に \( a=15 \) を代入すると，
　\( 10 \times 15+7b<232 \)
　　　　　　 \( 7b<82 \)
　　　　　　　\( b<\dfrac{82}{7}=11\dfrac{5}{7} \)
グループ数は必ず自然数になるので，最大１１グループまで受け付けできる。

大問５

右の図のように，すべての辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角錐 \( OABC \) がある。辺 \( OB \) 上に点 \( D \) をとり，辺 \( BC \) の中点を \( M \) とする。\( OD=4 \; cm \) のとき， (1)～(4) に答えなさい。

(1)　正三角錐 \( OABC \) で，辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺はどれか，書きなさい。

【解答】

辺 \( OC \)

(2)　\( △OAD \) ∽ \( △BMD \) を証明しなさい。

【解答・解説】

正三角錐のすべての面は正三角形なので，
　\( ∠AOD=∠MBD=60° \) ･･･ ①
\( △OAB \) は正三角形なので，
　\( OB=OA=6 \; cm \) ･･･ ②
仮定より \( OD=4 \; cm \) なので，
　\( BD=OB-OD=2 \; cm \) ･･･ ➂
②➂より，\( OD：BD=4：2=2：1 \) ･･･ ➃
仮定より，
　\( BM=\dfrac{1}{2}BC=3 \; cm \) ･･･ ➄
仮定より，
　\( OA=6 \; cm \) ･･･ ➅
➄➅より，
　\( OA：BM=6：3=2：1 \) ･･･ ➆
①④➆より，２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，\( △OAD \) ∽ \( △BMD \)

(3)　\( AD+DM \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 3\sqrt{7} \; cm \)

【解説】

(2) より，\( △OAD \) ∽ \( △BMD \) なので，
　\( ∠AOD=∠MBD \)
対頂角が等しいので，
３点 \( A，D，M \) は一直線上にあります。
点 \( M \) から辺 \( AB \) の延長線に垂線をひき，交点を点 \( E \) とすると，
\( ∠ABD=∠MBD=60° \) より，
　\( ∠MBE=180°-(∠ABD+∠MBD)=60° \)
よって，\( △MBD \) は \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形なので，
　\( BE=\dfrac{1}{2}BM=\dfrac{3}{2} \; cm \)
　\( EM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}BM=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)

\( △AEM \) において，三平方の定理より，
　\( AM^2=EM^2+AE^2 \; cm \)
　　　　\( =\left( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left( 6+\dfrac{3}{2} \right)^2 \)
　　　　\( =\dfrac{27}{4}+\dfrac{225}{4} \)
　　　　\( =63 \)
　 \( AM=3\sqrt{7} \; (cm) \)

\( AD+DM=AM=3\sqrt{7} \; (cm) \)

(4)　辺 \( OC \) 上に点 \( P \) をとる。４点 \( O，A，D，P \) を頂点とする立体 \( OADP \) の体積が正三角錐 \( OABC \) の体積の \( \dfrac{2}{7} \) 倍であるとき，線分 \( OP \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{18}{7} \; cm \)

【解説】

面 \( OBC \) と面 \( ODP \) は同一平面にあるので，
これらを底面と考えると，立体 \( OADP \) と正三角錐 \( OABC \) は，
高さが共通になっています。
このとき，\( △ODP \) と \( △OBC \) の比が，
立体 \( OADP \) と正三角錐 \( OABC \) の体積比になります。
つまり，\( △ODP：△OBC=2：7 \) となるときの
線分 \( OP \) の長さを求めればいいことになります。

\( △OBC \) に注目すると，\( △ODP：△OBC=2：7 \) より，
\( △ODP= \) ② とするとき，\( △OBC= \) ⑦ になります。
このとき，四角形 \( BCPD=△OBC-△ODP= \) ➄ になります。

また，\( OD=4 \; cm，DB=2 \; cm \) なので，
　\( △BDC：△OBC=1：3 \)
　　　 \( △BDC： \) ⑦ \( =1：3 \)
　　　　　\( 3△BDC= \) ⑦
　　　　　　\( △BDC= \) ○\(\dfrac{7}{3}\)
　注：○\(\dfrac{7}{3}\) は，\(\dfrac{7}{3}\) を○で囲んだものと考えてください。

よって，
　\( △PDC= \) 四角形 \( BCPD-△BDC \)
　　　　　\( = \) ➄ \( – \) ○\( \dfrac{7}{3} \)
　　　　　\( = \) ○\( \dfrac{8}{3} \)

\( △ODP：△PDC= \) ②：○\( \dfrac{8}{3}=3：4 \)
\( △ODP \) と \( △PDC \) は，高さが共通なので，
　\( OP：PC=△ODP：△PDC=3：4 \)
よって，
　\( OP=\dfrac{3}{7}OC=\dfrac{18}{7} \; (cm) \)

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徳島県公立高校入試 令和７（2025）年度 解答＆解説

大問１

大問２

大問３

大問４

大問５

徳島県公立高校入試 令和６（2024）年度 解答＆解説

大問１

大問２

大問３

大問４

大問５

徳島県公立高校入試 令和５（2023）年度 解答＆解説

大問１

大問２

大問３

大問４

大問５

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徳島県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

徳島県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説