\( a，b \) の組み合わせとそれぞれの場合の \( \dfrac{a}{b} \) の値を表に書き出し，\( 1< \dfrac{a}{b} <2 \) になるところに ○ をつけると右のようになります。

\( 1< \dfrac{a}{b} <2 \) になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \) になります。

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を \( C，D \) とします）
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く

直線 ℓ と手順２の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

線分 \( AB \) の中点を \( M \)，
２点 \( A，B \) から等しい距離にある点を \( P \)
とすると，
\( △APM \) と \( △BPM \) において，
仮定より，
　\( AP=BP \) ･･･ ➀
　\( AM=BM \) ･･･ ➁
\( △ABP \) は，二等辺三角形なので，
　\( ∠PAM=∠PBM \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △APM≡△BPM \)
合同な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠AMP＝∠BMP=90° \)
よって，線分 \( PM \) は線分 \( AB \) の垂直二等分線になっています。

図１の箱ひげ図は３１日分のデータからできているので，中央値になるのは気温の高い方から１６番目の値になります。

２０２４年８月の箱ひげ図の中央値は \( 35.0\;^\circ C \) より大きい（高い）ので，
最高気温が \( 35.0\;^\circ C \) 以上であった日が１６日以上あるといえます。

２点 \( A，B \) から \( y \) 軸に垂線をひいた交点を
\( M，N \) とすると，
\( △ACM \) ∽ \( △BCN \) なので，
対応する辺の比は等しく，
　\( AM：BN=AC：CB=1：3 \)
\( AM=3 \) なので，
　\( AM：BN=1：3 \)
　　 \( 3：BN=1：3 \)
　　　　\( BN=9 \)

よって，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 9 \) になります。

補助線 \( AD \) をひくと，
　四角形 \( OABD=△ABD+△AOD \)
　　　　\( △PBD=△ABD+△APD \)
なので，四角形 \( OABD \) の面積と \( △PBD \) の面積が等しくなるとき，
　\( △AOD=△APD \)
になります。

点 \( D \) は，放物線①上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
\( y \) 座標は
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)
であり，線分 \( AD \) は \( x \) 軸と平行になっています。

\( △AOD \) と \( △APD \) は線分 \( AD \) が共通で，
原点 \( O \) は \( x \) 軸上の点なので，
等積変形の考え方から，
\( △AOD=△APD \) となるのは，
点 \( P \) が \( x \) 軸上にあるときです。

点 \( P \) の座標を \( P(t，0) \) とすると，
点 \( P \) は，直線②上の点で，\( y \) 座標が \( 0 \) なので，
　\( 0=2t+9 \)
　\( t=-\dfrac{9}{2} \)

【\( P \) が点 \( B \) より上側にあるとき】
\( P \) が点 \( B \) より上側にある場合を \( P’ \) とすると，
\( △PBD \) と \( △P’BD \) は，３点 \( B，P，P’ \) が
直線②上にあり，高さが共通なので，
\( PB=P’B \) となるとき，
\( △PBD=△P’BD \) となります。

点 \( B，P’ \) から \( x \) 軸に垂線をひき，
交点を \( Q，R \) とすると，
\( △PBQ \) ∽ \( △PP’R \) であり，
対応する辺の比は等しいので，
\( PB=P’B \) のとき，\( PQ=QR \) となります。

点 \( B \) と点 \( Q \) の \( x \) 座標は \( 9 \) なので，
　\( PQ=9-\left( -\dfrac{9}{2} \right)=\dfrac{27}{2} \)
点 \( P’ \) と点 \( R \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，
　\( PQ=QR \)
　\( \dfrac{27}{2}=t-9 \)
　　\( t=\dfrac{45}{2} \)

この正四角すいを組み立てると，
　辺 \( BC \) と辺 \( FE \)
　辺 \( CD \) と辺 \( ED \)
　辺 \( GH \) と辺 \( GF \)
が重なるので，点 \( B \) と重なる点は。
\( F \) と \( H \) になります。

\( △ABC \) と \( △BIC \) において，
共通な角なので，
　\( ∠ACB=∠BCI \) ･･･ ➀
\( BG//CD \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠BIC=∠ACD \) ･･･ ➁
正四角すいの側面は合同な三角形なので，
\( △ABC≡△ACD \) であり，
対応する角は等しいので，
　\( ∠ABC=∠ACD \) ･･･ ➂
➁➂より，
　\( ∠ABC=∠BIC \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC \) ∽ \( △BIC \)

正四角すい \( OPQRS \) の展開図において，
\( PT+TU+US \) が最小となるとき，
４点 \( P，T，U，S \) は一直線上に並びます。
これは，図２と同じになっています。

（２）より \( △OSR \) ∽ \( △SUR \) なので，
\( OS=OP=7 \; cm，RS=PQ=4 \; cm \) であることから，
　\( RS：RU=OS：SR \)
　　\( 4：RU=7：4 \)
　　　 \( RU=\dfrac{16}{7} \; (cm) \)

次に，\( △OTU \) と \( △OQR \) に注目すると，
（２）より \( SP//RQ \) なので，
\( △OTU \) ∽ \( △OQR \) になっています。

\( OR=OS=7 \; cm，RU=\dfrac{16}{7} \; cm \) より，
　\( OU=7-\dfrac{16}{7}=\dfrac{33}{7} \; (cm) \)

対応する辺の比は等しいので，
　\( TU：QR=OU：OR \)
　　\( TU：4=\dfrac{33}{7}：7 \)
　　　 \( TU=\dfrac{132}{49} \; (cm) \)

①，② のグラフにおいて，
\( x=t \) (\( t \) は \( 0 \) 以外の数)とすると，
\( at^2<bt^2 \) となるので，
両辺を \( t^2 \) で割ると，\( a<b \)

よって，\( c<a<b \)

手順１　２点 \( B，C \) を中心に辺 \( BC \) を
　　　　半径とする円弧を描く。
　　　　(交点を点 \( D \) とします。)
手順２　２点 \( B，D \) を通る直線を描く。
手順３　点 \( B \) を中心に円弧を描く。
　　　　(辺 \( AB \)，直線 \( BD \) との交点を
　　　　点 \( E，F \) とします。)
手順４　２点 \( E，F \) を中心に円弧を描く。
　　　　(交点を点 \( G \) とします。)
手順５　２点 \( B，G \) を通る直線を描く。

\( 30° \) が \( 60° \) の半分であることに注目します。

辺 \( BC \) を１辺とする正三角形 \( BCD \) を描き，
\( ∠DBC \) の二等分線と辺 \( CD \) の交点を
点 \( E \) とすると，
線分 \( BE \) と辺 \( AC \) の交点が求める点 \( P \) になります。

\( △PBH \) と \( △APH \) は，
\( 30°，60°，90° \) の直角三角形であることから，
\( BH=x \; m \) とすると，
\( PH=\sqrt{3}x \; m \) と表すことができるので，
　\( BH：PH=PH：AH \)
　　\( x：\sqrt{3}x=\sqrt{3}x：(x+10) \)
　\( x(x+10)=3x^2 \)
　\( 2x^2-10x=0 \)
　　\( x(x-5)=0 \)
　　　　　 \( x=5 \; (m) \) (\( x>0 \) より)

このレンガを \( x \) 個並べたとき，きれいな円ができるとすると，
内側の円の円周の長さは \( 12\pi{}x \; cm \)
外側の円の円周の長さは \( 14\pi{}x \; cm \)
と表すことができます。

また，内側の円の直径を \( d \; cm \) とすると，
外側の円の直径を \( d+30 \; cm \) と表すことができるので，
内側の円の円周の長さは \( \pi{}d \; cm \)
外側の円の円周の長さは \( \pi{}(d+30) \; cm \)
と表すことができます。

点 \( A \) の \( x \) 座標は \( x=-4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-4)^2=4 \)
点 \( B \) の座標は \( (8，16) \) であることから，
直線 ➁ のの式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{16-4}{8-(-4)}=1 \)
\( y=x+b \) に \( x=8，y=16 \) を代入すると，
　\( 16=8+b \)
　 \( b=8 \)

よって，求める直線の式は，\( y=x+8 \)

点 \( P，Q \) の \( x \) 座標は \( t \) であり，
点 \( Q \) は \( y=x+8 \) 上の点なので，
\( y \) 座標は，\( y=t+8 \) と表すことができます。

点 \( Q，S \) の \( y \) 座標の値は等しいので，
点 \( S \) の \( y \) 座標は，\( y=t+8 \)

点 \( P \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( t \) なので，
\( y \) 座標は \( \dfrac{1}{4}t^2 \) と表すことができ，
ここから，線分 \( PQ \) の長さは，
\( t+8-\dfrac{1}{4}t^2 \) と表すことができます。

また，線分 \( PR \) の長さは，\( -t \) と表すことができ，
正方形はすべての辺の長さが等しいので，
　\( t+8-\dfrac{1}{4}t^2=-t \)
　\( 4t+32-t^2=-4t \)
　\( t^2-8t-32=0 \)
　　　　　　 \( t=4-4\sqrt{3} \) (\( t<0 \) より)

ヒストグラムから，
最小値が含まれる範囲は３０点以上４０点未満，
第一四分位数が含まれるのは５０点以上６０点未満，
第二四分位数が含まれるのは６０点以上７０点未満，
第三四分位数が含まれるのは７０点以上８０点未満，
最大値が含まれるのは９０点以上１００点未満
なので，これらがすべてあてはまるのは イ になります。

この直線の傾きは，\( \dfrac{0-3000}{45-20}=-120 \)
この直線の式を \( y=-120x+b \) とすると，
\( (20，3000) \) を通るので，
　\( 3000=-120 \times 20+b \)
　　　\( b=5400 \)
よって，この直線の式は，\( y=-120x+5400 \)

グラフより，花子さんが太郎さんと出会ったのは公園と図書館の間なので，
太郎さんが公園から図書館まで歩いた直線の式を求めます。

歩いた速さが傾きになるので，
この直線の式を \( y=60x+c \) とすると，
\( (25，1200) \) を通るので，
　\( 1200=60 \times 25+c \)
　　　\( c=-300 \)
よって，この直線の式は，\( y=60x-300 \)

\( △ACG \) と \( △ADE \) において，
仮定より，\( AB=AC，AB=AD \) なので，
　\( AC=AD \) ･･･ ➀
　\( ∠A \) は共通 ･･･ ➁
\( △ABD \) は \( AB=AD \) の二等辺三角形なので，
　\( ∠ABF=∠ADE \) ･･･ ➂
弧 \( AF \) の円周角なので，
　\( ∠ABF=∠ACF \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠ACF=∠ADE \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACG≡△ADE \)

問１より，\( △ACG≡△ADE \) なので，
\( AC=AD=6 \; cm，AE=AG=4 \; cm， \)
\( EC=AC-AE=2 \; cm \)

仮定より，直線 \( l \; // \) 線分 \( BC \) なので，
　\( ∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ADE \) ∽ \( △CBE \)

対応する辺の長さは等しいので，
　\( AE：CE=AD：BC \)
　　　 \( 4：2=6：BC \)
　　　　\( BC=3 \; (cm) \)

\( △CBF \) と \( △DGF \) において，
直線 \( l \; // \) 線分 \( BC \)，\( BC=3 \; cm，GD=2 \; cm \) より，
\( △CBF \) ∽ \( △DGF \) で，相似比は \( 3：2 \)
よって，面積比は，
　\( △CBF：△DGF=3^2：2^2=9：4 \)
　　　　　　 \( △CBF=\dfrac{9}{4}△DGF \)

補助線 \( BG \) を引くと，\( △CBF \) と \( △CBG \) は底辺の比が \( CF：CG=3：5 \) で高さが共通なので，
　\( △CBF：△CBG=3：5 \)
　　　　　　\( △CBG=\dfrac{5}{3}△CBF \)
　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{5}{3} \times \dfrac{9}{4}△DGF \)
　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{15}{4}△DGF \) ･･･ ➀

点 \( A \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，交点を \( H \) とすると，\( △ABC \) は \( AB=AC=6 \; cm \)，
\( BC=3 \; cm \) の二等辺三角形なので，
　\( CH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3}{2} \; (cm) \)
三平方の定理より，
　\( AH^2=AC^2-CH^2 \)
　　　　\( =36-\dfrac{9}{4} \)
　　　　\( =\dfrac{135}{4} \)
　 \( AH=\dfrac{3\sqrt{15}}{2} \; (cm) \) （\( AH>0 \) より）