（１） \( 4-(-1)-8 \) を計算せよ。

（２） \( -6^2 \times \dfrac{1}{2}+(-4)^2 \) を計算せよ。

（３） \( \dfrac{x+2}{3}+\dfrac{3x-1}{4} \) を計算せよ。

（４） 等式 \( y=-5x+7 \) を \( x \) について解け。

（５） \( \sqrt{5}(\sqrt{2}+1)-\sqrt{45} \) を計算せよ。

（６） \( 4x^2-8x-12 \) を因数分解せよ。

（７）　次の文中の \( \boxed{　　　} \) 内にあてはまる数を求めよ。

\( 5.3^2=28.09，5.4^2=29.16 \) であるから，\( \sqrt{29} \) を小数で表したときの小数第１位の数は \( \boxed{　　　} \) である。

大問２

ア　次の \( \boxed{ア} \;  \)～\( \; \boxed{エ} \)の直線のうち，直線 \( AE \) とねじれの位置にある直線はどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。

　　\( \boxed{ア} \)　直線 \( BC \) 　　　\( \boxed{イ} \)　直線 \( CG \)
　　\( \boxed{ウ} \)　直線 \( DH \) 　　　\( \boxed{エ} \)　直線 \( EF \)

イ　この直方体の体積は何 \( \; cm^3 \) か。

大問３

（１） \( y \) は \( x \) に比例し，\( x=4 \) のとき \( y=-2 \) である。\( x=8 \) のときの \( y \) の値を求めよ。

（２）　数字を書いた５枚のカード \( \boxed{1}，\boxed{2}，\boxed{2}，\boxed{3}，\boxed{5} \) がある。この５枚のカードをよくきって，その中から１枚ずつ続けて２回引き，はじめに引いたカードに書いてある数を \( a \)，次に引いたカードに書いてある数を \( b \) とする。このとき，\( 2a+b=5 \) が成り立つ確率を求めよ。

（３）　花子さんは，１組から４組の各クラスの生徒 \( 30 \) 人の通学時間を調べ，そのデータを，組ごとに，ヒストグラムと箱ひげ図にそれぞれ表した。下の図１のヒストグラムは，１組のヒストグラムである。下の図２のア～エの箱ひげ図は，１組から４組の箱ひげ図のいずれかに対応している。図２のア～エの箱ひげ図のうち，１組の箱ひげ図はどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。

ア　関数 \( y=x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域を求めよ。

イ　四角形 \( ABDC \) が平行四辺形であるとき，点 \( A \) の \( x \) 座標はいくらか。点 \( A \) の \( x \) 座標を \( a \) として，\( a \) の値を求めよ。\( a \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

大問４

（１） 次の会話文を読んで，あとのア，イの問いに答えよ。

先生：図１のような，かけられる数とかける数がそれぞれ \( 1 \) から \( 8 \) まで書かれたかけ算の表があります。
　　　このかけ算の表の「\( 1 \times 1 \)」と「\( 8 \times 1 \)」，「\( 1 \times 8 \)」と「\( 8 \times 8 \)」の位置が重なるように点線で
　　　半分に折り，図２のような二つ折りにします。次に，「\( 1 \times 1 \)」と「\( 1 \times 8 \)」の位置が重なるように
　　　点線で半分に折り，図３のような四つ折りにします。このように四つ折りにしたとき，「\( 1 \times 1 \)」と
　　　位置が重なるかけ算は，「\( 8 \times 1 \)」，「\( 1 \times 8 \)」，「\( 8 \times 8 \)」で，この４つのかけ算の値の和は \( 81 \)
　　　です。では，「\( 2 \times 3 \)」と位置が重なるかけ算の式は，どうなりますか。

花子：「\( 2 \times 3 \)」と位置が重なるかけ算は，「\( 7 \times 3 \)」と他に２つあります。この４つのかけ算の値の和は，
　　　\( 6+21+12+42 \) で \( 81 \) です。位置が重なる４つのかけ算の値の和はどこでも \( 81 \) なのでしょうか。
先生：では，それを調べるために文字式を使って考えましょう。四つ折りにしたとき，「\( a \times b \)」と位置が
　　　重なるかけ算の式を \( a，b \) を使って表すと，「\( a \times b \)」以外の式はどう表されますか。
花子：「( 　Ｐ　 ) \( \times b \)」と「 \( a \times \) ( 　Ｑ　 )」と「( 　Ｐ　 ) \( \times \) ( 　Ｑ　 )」です。
先生：その通りです。この４つのかけ算の値の和を求めると \( 81 \) ですから，位置が重なる４つのかけ算の
　　　値の和はどこでも \( 81 \) であることがわかりましたね。
　　　では、かけられる数とかける数がそれぞれ \( 1 \) から 　Ｒ　 まで書かれたかけ算の表を，同じように
　　　四つ折りにすると，位置が重なる４つのかけ算の値の和は，どうなりますか。
花子：計算してみます･････ ，先生，\( 2025 \) になりました。
先生：正しく求められましたね。

ア　会話文中の 　Ｐ　 にあてはまる式は何か。\( a \) を使った式で表せ。また，会話文中の 　Ｑ　 にあてはまる式は何か。\( b \) を使った式で表せ。

イ　会話文中の 　Ｒ　 にあてはまる偶数を求めよ。

（２） 太郎さんが店長をしている店には，\( 1000 \) 円札と \( 500 \) 円玉専用の両替機が１台設置されている。この両替機に \( 1000 \) 円札を \( 1 \) 枚投入すれば，\( 500 \) 円玉 \( 1 \) 枚と \( 100 \) 円玉 \( 5 \) 枚が出てくる。また，この両替機に \( 500 \) 円玉を \( 1 \) 枚投入すれば，\( 100 \) 円玉 \( 4 \) 枚と \( 50 \) 円玉 \( 2 \) 枚が出てくる。
１月３１日の営業終了後すぐに，太郎さんが，両替機の中にある紙幣と硬貨の枚数を確認すると，この日の営業開始前に比べて，\( 50 \) 円玉の枚数が \( 12 \) 枚減っていた。
２月１日の営業開始前に，太郎さんは，両替機の中にある紙幣と硬貨の枚数を，\( 1000 \) 円札 \( 0 \) 枚，\( 500 \) 円玉 \( 30 \) 枚，\( 100 \) 円玉 \( 200 \) 枚，\( 50 \) 円玉 \( 50 \) 枚にして，店の営業を開始した。そして，２月１日の営業終了後すぐに，両替機の中にある紙幣と硬貨の枚数を確認した。
１月３１日と２月１日の営業時間内に，両替機の中の硬貨の枚数が不足して両替ができなくなることはなかった。
これについて，次のア～ウの問いに答えよ。

ア　１月３１日の営業時間内に，両替機に投入された \( 500 \) 円玉の枚数は何枚か。

イ　２月１日の営業終了後の両替機の中にあった \( 100 \) 円玉の枚数は何枚か。２月１日の営業時間内に，両替機に投入された \( 1000 \) 円札の枚数を \( x \) 枚，\( 500 \) 円玉の枚数を \( y \) 枚として，\( x \) と \( y \) を使った式で表せ。

ウ　２月１日の営業終了後の両替機の中にあった，\( 500 \) 円玉の枚数は \( 24 \) 枚で，\( 100 \) 円玉の枚数は \( 50 \) 円玉の枚数より \( 15 \) 枚多かった。このとき，２月１日の営業時間内に両替機に投入された \( 1000 \) 円札と \( 500 \) 円玉の枚数はそれぞれ何枚か。２月１日の営業時間内に両替機に投入された \( 1000 \) 円札の枚数を \( x \) 枚，\( 500 \) 円玉の枚数を \( y \) 枚として，\( x，y \) の値を求めよ。\( x，y \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

大問５

（１） \( △ADE \) ∽ \( △AHI \) であることを証明せよ。

（２） \( △DEG≡△BFG \) であることを証明せよ。

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（１） \( 7 \times (-2)-(-5) \) を計算せよ。

（２） \( a=-3 \) のとき，\( a^2+\dfrac{15}{a} \) の値を求めよ。

（３） \( 4a^3b^2 \div \dfrac{1}{2}ab \) を計算せよ。

（４） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+5y=4 \\
x-y=4 \\
\end{array} \right.  \) を解け。

（５） \( \sqrt{50}-\sqrt{2}+\dfrac{6}{\sqrt{2}} \) を因数分解せよ。

（６） \( (x+3)^2-(x+3)-30 \) を因数分解せよ。

（７） 次のア～ウの数が，小さい順に左から右に並ぶように，記号ア～ウを用いて書け。
　　　　　ア　\( -\sqrt{11} \) 　　　イ　\( 3 \) 　　　ウ　\( -4 \)

大問２

ア　線分 \( DF \) の長さは何 \( cm \) か。

イ　四角形 \( ABGE \) の面積は何 \( cm^2 \) か。

大問３

（１） \( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも，同様に確からしい２つのさいころ A，B がある。この２つのさいころを同時に投げるとき，２つの目の数の積が \( 10 \) の約数になる確率を求めよ。

【解説】

さいころＡ，Ｂの出た目の組み合わせとその積を表に書き出します。
\( 10 \) の約数は，\( 1，2，5，10 \) なので，その部分に ○ をつけることにします。
\( 10 \) の約数になるのは７通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{36} \)

イ　線分 \( CD \) の長さと，線分 \( DE \) の長さが等しくなるとき，点 \( C \) の \( x \) 座標はいくらか。点 \( C \) の \( x \) 座標を \( a \) として，\( a \) の値を求めよ。

（４） ２つの奇数がある。これらの数をそれぞれ２乗してできた２つの数の和に \( 2 \) を加えた数は \( 4 \) の倍数であることを，文字式を使って証明せよ。

大問４

（１） 白の碁石と黒の碁石がたくさんある。これらを次の図のように，上段には，１列目から，白の碁石，黒の碁石の順にくりかえし並ぶように，それぞれの列に１個ずつ置き，下段には，１列目から，黒の碁石，黒の碁石，白の碁石の順にくりかえし並ぶように，それぞれの列に１個ずつ置く。

たとえば，上段も下段も７列目まで碁石を置いたとき，７列目については，上段が白の碁石，下段が黒の碁石である。また，１列目から７列目までに並んでいるすべての碁石のうち，白の碁石の個数は \( 6 \) 個であり，黒の碁石の個数は \( 8 \) 個である。

これについて，次のア，イの問いに答えよ。

ア　次の文は，上段も下段も２０２４列目まで碁石を置いたとき，２０２４列目の碁石について述べようとしたものである。文中の２つの【　　　　】内にあてはまる言葉を，ア，イから１つ，ウ，エ から１つ，それぞれ選んで，その記号を書け。

２０２４列目については，上段が【 ア 白の碁石　 イ 黒の碁石 】，下段が【 ウ 白の碁石　 エ 黒の碁石 】である。

イ　上段も下段も \( n \) 列目まで碁石を置いたとき，\( n \) 列目については，上段も下段も白の碁石であった。また，１列目から \( n \) 列目までに並んでいるすべての碁石のうち，白の碁石の個数と黒の碁石の個数の比は \( 8：11 \) であった。このときの \( n \) の値を求めよ。

【解説】

白の碁石と黒の碁石の並びをさらに書き出していくと，
上段も下段も白の碁石になるのは，３列目，９列目，１５列目，･･･ となっており，
各列における白の碁石と黒の碁石の個数は，
　　３列目 \( (n=3) \)  ･･･ 白の碁石が \( 3 \) 個（\( n \) 個），黒の碁石が \( 3 \) 個（\( n \) 個）
　　９列目 \( (n=9) \)  ･･･ 白の碁石が \( 8 \) 個（\( n-1 \) 個），黒の碁石が \( 10 \) 個（\( n+1 \) 個）･･･ ➀
　１５列目 \( (n=15) \) ･･･ 白の碁石が \( 13 \) 個（\( n-2 \) 個），黒の碁石が \( 17 \) 個（\( n+2 \) 個）･･･ ➁
となっています。

３列目，９列目，１５列目･･･ と３列目をスタートとして，６列ごとに出てくるので，
　　９\( (=3+6 \times 1) \) 列目 ･･･ \( 1=\dfrac{9-3}{6} \) ･･･ ➂
　１５\( (=3+6 \times 2) \) 列目 ･･･ \( 2=\dfrac{15-3}{6} \) ･･･ ➃
となり，
➀➂より，
９列目 \( (n=9) \) の白の碁石の数は \( 9-\dfrac{9-3}{6}=8 \) 個，黒の碁石の数は \( 9+\dfrac{9-3}{6}=10 \) 個
➁➃より，
１５列目 \( (n=15) \) の白の碁石の数は \( 15-\dfrac{15-3}{6}=13 \) 個，黒の碁石の数は \( 15+\dfrac{15-3}{6}=17 \) 個
なので，
\( n \) 列目の白の碁石の数は \( n-\dfrac{n-3}{6} \) 個，黒の碁石の数は \( n+\dfrac{n-3}{6} \) 個と表すことができます。

白の碁石の個数と黒の碁石の個数の比が \( 8：11 \) のとき，
　\( \left( n-\dfrac{n-3}{6} \right)： \left( n+\dfrac{n-3}{6} \right)=8：11 \)
　　　　\( \left( \dfrac{5n+3}{6} \right)： \left( \dfrac{7n-3}{6} \right)=8：11 \)
　　　　　　　　　\( 5n+3：7n-3=8：11 \)
　　　　　　　　　　　\( 11(5n+3)=8(7n-3) \)
　　　　　　　　　　　　\( 55n+33=56n-24 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( n=57 \)

（２） 下の図１のような，１辺の長さが \( 4 \; cm \) の立方体がある。点 \( P \) は，点 \( A \) を出発して辺 \( AE，EF \) 上を通って毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで点 \( F \) まで動く点であり，点 \( Q \) は，点 \( C \) を出発して辺 \( CB，BF \) 上を通って毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで点 \( F \) まで動く点である。２点 \( P，Q \) は同時に出発する。下の図２は，２点 \( P，Q \) が同時に出発してから \( 5 \) 秒後の状態を示したものである。
これについて，あとのア～ウの問いに答えよ。

ア　２点 \( P，Q \) が同時に出発してから \( 4 \) 秒後にできる三角すい \( APQD \) の体積は何 \( cm^3 \) か。

イ　２点 \( P，Q \) が同時に出発してから \( x \) 秒後にできる \( △APQ \) の面積は何 \( cm^2 \) か。\( 4<x<8 \) の場合について \( x \) を使った式で表せ。

ウ　\( 4<x<8 \) とする。２点 \( P，Q \) が同時に出発してから \( x \) 秒後にできる三角すい \( APQD \) の体積が，２点 \( P，Q \) が同時に出発してから \( 1 \) 秒後にできる三角すい \( APQD \) の体積と等しくなるのは，\( x \) の値がいくらのときか。\( x \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

大問５

（１） \( △ACH \) ∽ \( △GBH \) であることを証明せよ。

（２） 点 \( A \) と点 \( G \)，点 \( B \) と点 \( F \) をそれぞれ結ぶとき，\( △ABF≡△ABG \) であることを証明せよ。

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(1)　\( 3+8 \div (-4) \) を計算せよ。

(2)　\( 6×\dfrac{5}{3}-5^2 \) を計算せよ。

(3)　\( \dfrac{x+2y}{2}+\dfrac{4x-y}{6} \) を計算せよ。

(4)　\( \sqrt{8}-\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{27}) \) を計算せよ。

(5)　\( (x+1)(x-3)+4 \) を因数分解せよ。

(6)　\( x \) についての２次方程式 \( -x²+ax+21=0 \) の解の１つが \( 3 \) のとき，\( a \) の値を求めよ。

(7)　次のア～エの数のうち，１２の倍数であるものはどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。

ア　\( 2 \times 3^4 \) 　　　イ　\( 2 \times 3^2 \times 7 \) 　　　ウ　\( 2^2 \times 3^2 \times 5 \) 　　　エ　\( 2^3 \times 5 \times 7 \)

大問２

ア　線分 \( GH \) の長さは何 \( cm \) か。

イ　この三角柱の体積は何 \( cm^3 \) か。

大問３

(1)　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=5 \) である。\( x=3 \) のときの \( y \) の値を求めよ。

(2)　２つのくじＡ，Ｂがある。くじＡには，５本のうち，２本の当たりが入っている。くじＢには，４本のうち，３本の当たりが入っている。くじＡ，Ｂからそれぞれ１本ずつくじを引くとき，引いた２本のくじのうち，少なくとも１本は当たりである確率を求めよ。

【解説】

くじＡ，Ｂから引いたくじの組み合わせを表にして，
当たりが含まれる場合には ○ ，２本ともはずれの場合には × をつけます。
すべての組み合わせは２０通り，２本ともはずれの組み合わせは１７通りなので，
確率は \( \dfrac{17}{20} \)

イ　\( AB：CD=8：5 \) であるとき，点 \( C \) の \( x \) 座標はいくらか。点 \( C \) の \( x \) 座標を \( a \) として，\( a \) の値を求めよ。\( a \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

大問４

(1)　次の会話文を読んで，あとのア，イの問いに答えよ。

先生：ここに何も書かれていないカードがたくさんあります。このカードと何も入っていない袋を使って，次の操作⓵から操作⓹を順におこなってみましょう。

操作⓵　５枚のカードに自然数を１つずつ書き，その５枚のカードをすべて袋に入れる。

操作⓶　袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( a \) とし，
　　　　新しい１枚のカードに \( a \) の値を書いて袋に入れる。取り出した２枚のカードは袋に戻さない。

操作⓷　袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( b \) とし，
　　　　新しい１枚のカードに \( b+1 \) の値を書いて袋に入れる。取り出した２枚のカードは袋に戻さない。

操作⓸　袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( c \) とし，
　　　　新しい１枚のカードに \( c+2 \) の値を書いて袋に入れる。取り出した２枚のカードは袋に戻さない。

操作⓹　袋の中から同時に２枚のカードを取り出す。その２枚のカードに書いてある数の和を \( Ｘ \) とする。

花子：私は操作⓵で５枚のカード \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{5}，\fbox{7} \) を袋に入れます。次に操作⓶をします。袋の中から \( \fbox{3} \) と \( \fbox{5} \) を取り出したので，\( \fbox{8} \) を袋に入れます。操作⓶を終えて，袋の中のカードは \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{7}，\fbox{8} \) の４枚になりました。

太郎：私も操作⓵で５枚のカード \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{5}，\fbox{7} \) を袋に入れました。操作⓶を終えて，袋の中のカードは \( \fbox{3}，\fbox{3}，\fbox{5}，\fbox{7} \) の４枚になりました。次に操作③をします。袋の中から \( \fbox{3} \) と \( \fbox{3} \) を取り出したので，\( \fbox{7} \) を袋に入れます。操作⓷を終えて，袋の中のカードは \( \fbox{5}，\fbox{7}，\fbox{7} \) の３枚になりました。

花子：操作⓹を終えると，私も太郎さんも \( X= \)　Ｐ　 になりました。

先生：２人とも正しく \( X \) の値が求められましたね。

ア　会話文中の Ｐ の 　　　 内にあてはまる数を求めよ。

イ　次郎さんも，花子さんや太郎さんのように，操作⓵から操作⓹を順におこなってみることにした。そこで，操作⓵で異なる５つの自然数を書いた５枚のカードを袋に入れた。操作⓶で取り出した２枚のカードの一方に書いてある数は \( 3 \) であった。操作⓷で取り出した２枚のカードの一方に書いてある数は \( 1 \) であり，操作⓷を終えたとき，袋の中にある３枚のカードに書いてある数はすべて同じ数であった。操作⓹を終えると \( X=62 \) になった。このとき，次郎さんが操作⓵で書いた５つの自然数を求めよ。

(2)　２日間おこなわれたバザーで，太郎さんのクラスは，ペットボトル飲料，アイスクリーム，ドーナツの３種類の商品を仕入れて販売した。バザーは，１日目，２日目とも９時から１５時まで実施された。
１日目の８時に，太郎さんのクラスへ，１日目と２日目で販売するペットボトル飲料とアイスクリームのすべてが届けられた。このとき，１日目に販売するドーナツも届けられた。また，２日目の８時に，２日目に販売するドーナツが届けられ，その個数は，１日目の８時に届けられたドーナツの個数の３倍であった。
ペットボトル飲料は，１日目と２日目で合計２８０本売れ，１日目に売れたペットボトル飲料の本数は，２日目に売れたペットボトル飲料の本数よりも１３０本少なかった。
１日目において，１日目の８時に届けられたドーナツはすべて売れた。１日目に売れたアイスクリームの個数は，１日目の８時に届けられたアイスクリームの個数の３０％で，１日目に売れたドーナツの個数よりも３４個多かった。
２日目は，アイスクリーム１個とドーナツ１個をセットにして販売することにした。１日目が終了した時点で残っていたアイスクリームの個数が，２日目の８時に届けられたドーナツの個数よりも多かったので，ドーナツはすべてセットにできたが，いくつかのアイスクリームはセットにできなかった。セットにできなかったアイスクリームは１個ずつで販売され，セットにしたアイスクリームとは別に４個が売れた。２日目が終了した時点で，アイスクリームは５個，ドーナツは３個残っていた。
これについて，次のア〜ウの問いに答えよ。

ア　１日目に売れたペットボトル飲料の本数は何本か。

イ　下線部について，１日目に届けられたアイスクリームの個数を \( x \) 個，１日目に届けられたドーナツの個数を \( y \) 個として，\( y \) を \( x \) を使った式で表せ。

ウ　１日目に届けられたアイスクリームの個数を \( x \) 個，１日目に届けられたドーナツの個数を \( y \) 個として，\( x，y \) の値を求めよ。\( x，y \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

【解説】

２日目に届けられたドーナツの個数は，１日目の３倍なので，\( 3y \) 個
ドーナツはすべてセットにできたので，２日目に用意したセットの個数も \( 3y \) 個
２日目終了時点で，ドーナツは３個残っていたので，残ったセットの個数も３個
２日目終了時点で，残っていたアイスクリーム５個のうち３個はセットにしていたものなので，
のこりの２個は単品で売っていたものです。単品で売れたアイスクリームは４個なので，
１日目に残ったアイスクリームの個数は，\( 3y+6 \) 個
これは，１日目に届けられたアイスクリームの個数の７０％にあたるので，
\( 3y+6=0.7x \) ･･･ ➀

➀とイの式を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
3y+6=0.7x \:\:  ･･･ \:\: ➀ \\
y=0.3x-34 \:\: ･･･ \:\: ➁
\end{array} \right. \)
➀に➁を代入
　\( 3(0.3x-34)+6=0.7x \)
　　\( 0.9x-102+6=0.7x \)
　　　　　　　 \( 0.2x=96 \)
　　　　　　　　　\( x=480 \)
➁に代入
　\( y=0.3 \times 480-34 \)
　　\( =110 \)

大問５

(1)　\( △CFG \) ∽ \( △FIC \) であることを証明せよ。

(2)　直線 \( AH \) と線分 \( BE \) との交点を \( J \)，辺 \( AB \) と線分 \( CH \) との交点を \( K \) とする。このとき，\( BJ=HK \) であることを証明せよ。

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