（１） 次の①～④を計算しなさい。

①　\( -5+6+(-2) \)

➁　\( 8-12 \div (-2)^2 \)

➂　\( 8a \div (-4b^2) \times 3ab^2 \)

④　\( \dfrac{4}{\sqrt{2}}+\sqrt{10} \times \sqrt{5} \)

（２） １個 \( a \; kg \) の荷物 \( 6 \) 個と，１個 \( b \; kg \) の荷物 \( 3 \) 個を合わせた荷物全体の重さは \( 45 \; kg \) であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。

（３） ２次方程式 \( x^2+8x+15=0 \) を解きなさい。

（４） 関数 \( y=-2x+6 \) のグラフについて述べた文として正しいものを，次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

　　　　ア　\( x \) の値が増加すると，\( y \) の値は減少する。
　　　　イ　点 \( (-2，6) \) を通る直線である。
　　　　ウ　グラフの傾きは \( 6 \) である。
　　　　エ　方程式 \( 2x+y-6=0 \) のグラフと一致する。

（６） ある工場で同じ製品を \( 32000 \) 個作った。この製品のうち，\( 10 \% \) にあたる製品を無作為に抽出して調べたところ，その中に \( 8 \) 個の不良品が見つかった。この工場で作られた \( 32000 \) 個の製品の中に含まれる不良品は，およそ何個あると考えられるか，求めなさい。

大問２

図書委員のりなさんは，中学３年生の１週間の読書時間を調べるために，３年生全体の生徒 \( 50 \) 人に対して，アンケートをとった。このうち，自分の学級の生徒 \( 25 \) 人の結果を，次の【記録】のように，読書時間が短い順に並べかえた後，相対度数を含めた【度数分布表Ａ】に整理しようとしている。このとき，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。

（１） 【度数分布表Ａ】の①・②に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

　　 ア　りなさんの学級は，３年生全体と比べて，読書時間が \( 150 \) 分未満の生徒数の割合が大きい。
　　 イ　りなさんの学級は，３年生全体と比べて, 読書時間が \( 150 \) 分未満の生徒数の割合が小さい。

大問３

（２） 三角形 \( AOC \) と三角形 \( COB \) の面積の比が \( 1：2 \) であるとき，２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

大問４

あさひさんは，次の【ルール】にしたがって数を並べたとき，並べた数にはどんなきまりがあるかを考えた。このことについて，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。

【ルール】
図１のように，６つの○が並べられている。最初に，図１の１段目の３つの○の中に，連続する整数を左から小さい順に書く。次に，２段目の２つの○の中に，１段目の隣り合う整数の和をそれぞれ書く。最後に，３段目の○の中に，２段目の整数の和を書く。図２は１段目の左端の○の中に「\( 2 \)」を書いた場合の例である。

（１） １段目の左端の○の中に「\( 5 \)」を書いたとき，○の中に書いた６つの整数の和を求めなさい。

（２） あさひさんは，１段目の○の中に書く整数を変えながら，２段目，３段目の○の中に入る整数を書き入れていった。○の中の整数を見て，あさひさんは，３段目の整数は，１段目の真ん中の整数の４倍になるのではないかと予想し，n を用いた文字式を使って説明してみようと考えた。次の【あさひさんのノート】は，あさひさんの予想がいつでも成り立つことを，文字を使って正しく説明したノートの一部である。このとき，下の①・②の問いに答えなさい。

➀　　ア　 ～ 　オ　 に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

➁　３段目の整数が \( 620 \) であるとき，１段目の左端の整数を求めなさい。

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（１） 次の①～④を計算しなさい。

➀　\( 1-(-3)-9 \)

➁　\( \dfrac{2x+y}{3}-\dfrac{x-3y}{4} \)

➂　\( 2a^2b \times (-3b)^2 \div \dfrac{9}{2}a^2 \)

➃　\( \sqrt{15}+\sqrt{12} \div \sqrt{5} \)

（２） 比例式 \( (x-6)：x=4：7 \) について，\( x \) の値を求めなさい。

（３） ある生徒の３教科のテストの点数は，それぞれ \( a \) 点，\( b \) 点，\( 90 \) 点であり，その平均点は \( 72 \) 点であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。

（４） ２次方程式 \( x^2-4x+3=0 \) の２つの解の和が，\( x \) についての２次方程式 \( x^2+ax-4=0 \) の解の１つになっているとき，\( a \) の値を求めなさい。

（５） \( y \) が \( x \) に反比例するものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

　　　ア　定価 \( x \) 円のノートを定価の \( 30\% \) 引きで買ったとき，代金は \( y \) 円である。
　　　イ　\( 12 \; km \) の道のりを時速 \( x \; km \) で進んだとき，かかった時間は \( y \) 時間である。
　　　ウ　\( x \; mL \) のジュースを４人で均等に分けたとき，１人分のジュースの量は \( y \; mL \) である。
　　　エ　面積が \( 15 \; cm^2 \) の三角形の底辺を \( x \; cm \) としたとき，高さは \( y \; cm \) である。

（６） ３辺の長さが \( \sqrt{10} \; cm，2\sqrt{7} \; cm，3\sqrt{2} \; cm \) である三角形は直角三角形であることを，言葉と式を使って説明しなさい。

（７） １から６までの目が出る２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げるとき，さいころＡの出た目の数を \( a \)，さいころＢの出た目の数を \( b \) とする。このとき，\( \dfrac{36}{a+b} \) が整数となる確率を求めなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。

大問２

（１） 通学時間が \( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級までの累積度数を求めなさい。

（２） 【図】からわかることとして適切なものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

　　　ア　通学時間が平均値以上の生徒は，８人未満である。

　　　イ　通学時間の範囲は，\( 20 \) 分である。

　　　ウ　通学時間が \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.25 \) である。

　　　エ　通学時間の第１四分位数は，度数が最も大きい階級に含まれている。

（３） ３年２組の生徒２０人についても通学時間を調査し，結果をヒストグラムに表すと，下のア～エのいずれかになった。１組と２組のヒストグラムを比較すると，次の①～③のことがわかった。このとき，３年２組のヒストグラムとして適切なものを，下のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

　　　①　度数が最も多い階級は，１組と２組で異なる。
　　　➁　階級値が \( 32.5 \) 分である階級の度数は，１組よりも２組が少ない。
　　　③　通学時間の中央値は１組よりも２組が小さい。

大問３

のぞみさんは，昨日の数学の授業で学習した内容について，先生と話をしている。次の【会話】は，のぞみさんと先生の会話である。また，下の【のぞみさんのノート】は，のぞみさんが文字を使って正しく説明したノートの一部である。このとき（１）・（２）の問いに答えなさい。

【会話】

　先　生：昨日の授業で，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は，
　　　　　必ず \( 11 \) の倍数になることを，文字を使って学習しました。例えば，\( 12 \) と \( 21 \)，\( 73 \) と \( 37 \) の
　　　　　和を考えると，それぞれ \( 33，110 \) となって \( 11 \) の倍数になりますね。実は，\( 12 \) と \( 21 \) を
　　　　　つないだ \( 1221 \)，\( 73 \) と \( 37 \) をつないだ \( 7337 \) のような，千の位の数と一の位の数が等しく，
　　　　　百の位の数と十の位の数が等しい４けたの自然数も \( 11 \) の倍数になります。
　のぞみ：えっ，本当ですか。\( 1221 \) と \( 7337 \) が \( 11 \) の倍数かどうか，実際に計算して確かめてみます。
　　　　　\( 1221 \) を \( 11 \) でわると \( 111，7337 \) を \( 11 \) でわると \( 667 \) になります。\( 11 \) でわり切れると
　　　　　いうことは，\( 1221 \) も \( 7337 \) も確かに \( 11 \) の倍数ですね。これが必ず成り立つことを，
　　　　　昨日学習したように，文字を使って説明してみます。

【のぞみさんのノート】

（１） 　ア　 ～ 　エ　 に当てはまる数と，　オ　 に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

（２） ２けたの自然数には，その数から，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数をひくと \( 36 \) になるものがいくつかあるが，このような２けたの自然数のうち，最も大きな自然数は \( 95 \) である。このことを，もとの自然数の十の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) として，文字を使って説明しなさい。

大問４

ある道の駅で，自転車の貸し出しを行っている。次の表は，自転車の貸し出しの料金表である。この道の駅では，借りる日の前日までに予約をすると，自転車１台につき基本料金を \( 100 \) 円値引きしている。このとき，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。

（１） 普通自転車 \( a \) 台と子供用自転車 \( b \) 台を２時間半，予約をせずに当日借りたところ，料金の合計は \( 5000 \) 円以下であった。この数量の関係を不等式で表しなさい。

（２） サイクリングに行く計画を立て，サイクリングの前日までに普通自転車４台，子供用自転車６台の合計１０ 台の自転車を予約した。当日になって，新たに普通自転車と子供用自転車をそれぞれ何台か借り，合計１６台でサイクリングをした。１０時から１５時まで自転車を借りたときの，料金の合計が \( 10000 \) 円だったとき，当日新たに借りた普通自転車と子供用自転車の台数をそれぞれ求めなさい。

大問５

（１） 点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 2 \) であり，点 \( B \) と点 \( C \) の \( y \) 座標が等しいとき，次の①，②の問いに答えなさい。

① \( a \) の値を求めなさい。

② 四角形 \( OCAB \) の面積を求めなさい。

（２） 点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 4 \) とする。点 \( A \) と点 \( B \)，点 \( B \) と点 \( C \)，点 \( C \) と点 \( D \)，点 \( D \) と点 \( A \) をそれぞれ結ぶと，平行四辺形になった。このとき，\( a \) の値を求めなさい。

大問６

（１） \( △BGD \) ∽ \( △FGH \) を証明しなさい。

（２） 正三角形 \( ABC \) の１辺の長さを \( 16 \; cm \) とし，三角形 \( BGD \) の３辺の長さを，\( BG=8 \; cm，GD=7 \; cm，DB=5 \; cm \) とする。このとき，線分 \( CE \) の長さを求めなさい。

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（１） 次の①～④を計算しなさい。

➀　 \( 3-7-(-8) \)

➁　 \( -2^2 \times (-3)+6 \)

➂　 \( 3a^2b \times 4b \div (-6a) \)

➃　 \( \sqrt{2} \times \sqrt{6}+\dfrac{6}{\sqrt{3}} \)

（２） １辺が \( a \; cm \) の正方形を底面とし，高さが \( b \; cm \) である正四角柱の体積が \( 20 \; cm^3 \) であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。

（３） ２次方程式 \( 3x^2-12=0 \) を解きなさい。

（４） 関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，\( y \) の変域は \( 0≦y≦18 \) である。このときの \( a \) の値を求めなさい。

（６）　１から６までの目が出る２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げるとき，さいころＡの出た目の数を \( a \)，さいころＢの出た目の数を \( b \) とする。このとき，\( a+b-1 \) が素数となる確率を求めなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。

大問２

次の図は，Ａ市の２０２３年と１９７３年の，７月１日から７月３１日までの毎日の最高気温のデータを，それぞれ箱ひげ図で表したものである。このとき，下の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　次の表は，１９７３年７月の毎日の最高気温の四分位数と最大値，最小値をまとめたものである。この表の値をもとに，１９７３年７月の毎日の最高気温の範囲を求めなさい。

（２）　上の箱ひげ図からわかることとして適切なものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。ただし，猛暑日とは最高気温が \( 35.0 \, ^\circ C \) 以上の日のことをいう。

　　　　　ア　２０２３年７月は, 半数を超える日が猛暑日である。
　　　　　イ　１９７３年７月の猛暑日の日数は，７日である。
　　　　　ウ　２０２３年７月と１９７３年７月のどちらにも, 最高気温が \( 33.0 \, ^\circ C \) の日が必ずある。
　　　　　エ　２０２３年７月の最高気温は，１９７３年７月の最高気温に比べると，\( 2 \, ^\circ C \) 以上高い。

大問３

次の図において，①は関数 \( y=\dfrac{a}{x} \; (a<0) \) のグラフ，②は右上がりの直線である。①と②は２点 \( A，B \) で交わり，点 \( A \) の座標は \( (2，-6) \)，点 \( B \) の座標は \( (12，-1) \) である。また，\( x \) 軸上に \( x \) 座標を \( p \) とする点 \( P \) をとり，２点 \( A，B \) と点 \( P \) を頂点とする三角形 \( ABP \) をつくる。このとき，下の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） \( a \) の値を求めなさい。

（２） ２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

（３） 三角形 \( ABP \) の面積が \( 25 \) となる \( p \) の値を求めなさい。ただし，\( 2≦p≦12 \) とする。

大問４

ゆいさんたちの学級では，数学の授業で次の〔問題〕に取り組んだ。下の 【ゆいさんのノート】と【なぎさんのノート】 は，ゆいさんとなぎさんがこの問題を正しく解いたノートの一部である。このことについて，下の（１），（２） の問いに答えなさい。

〔問題〕
ある中学校の昨年度の全校生徒数は，男女あわせて \( 250 \) 人であった。今年度は，昨年度と比べると，男子の生徒数は \( 20 \; \% \) 増え，女子の生徒数は \( 10 \; \% \) 減り，全校生徒数は \( 11 \) 人増えた。今年度の男子の生徒数を求めなさい。

（１） 　ア　，　イ　，　エ　 に当てはまる文字式と，　ウ　 に当てはまる数字を，それぞれ書きなさい。

（２） 今年度の男子の生徒数を求めなさい。

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(1)　次の➀～➃を計算しなさい。
➀　\( -5+1-(-12) \)

➁　\( \dfrac{3x+y}{2}-\dfrac{x+y}{3} \)

➂　\( -ab^2 \div \dfrac{2}{3}a^2b \times (-4b) \)

➃　\( \dfrac{8}{\sqrt{12}}+\sqrt{50} \div \sqrt{6} \)

(2) ある中学校の生徒３０人の通学時間を調べたところ，自転車で通学する２３人の通学時間の平均値は \( a \) 分，徒歩で通学する７人の通学時間の平均値は \( b \) 分，生徒全員の通学時間の平均値は \( 14 \) 分であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。

(3)　次の四角形のうち，必ず平行四辺形になる四角形はどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

ア　４つの角がすべて直角である四角形
イ　１組の対辺が平行であり，もう１組の対辺の長さが等しい四角形
ウ　対角線が垂直に交わる四角形
エ　対角線がそれぞれの中点で交わる四角形

【解説】

ア　４つの角がすべて直角である四角形は長方形になります。
　　長方形の対辺は平行で長さが等しいので，必ず平行四辺形になります。
イ　等脚台形は平行四辺形にはなりません。
　　
ウ　下の図のような図形は平行四辺形にはなりません。
　　
エ　対角線がそれぞれの中点で交わるとき，四角形の中にできる向かい合う三角形は，
　　２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，合同になります。
　　合同な三角形において，対応する辺と角は等しいので，
　　この四角形は１組の対辺が平行で長さが等しくなり，必ず平行四辺形になります。
　　

(4)　\( 8a^2b-18b \) を因数分解しなさい。

(5)　２つの方程式 \( 3x+2y+16=0，2x-y+6=0 \) のグラフの交点が，方程式 \( ax+y+10=0 \) のグラフ上にある。このときの \( a \) の値を求めなさい。

(6)　右の図は，三角柱 \( ABC-DEF \) である。辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺をすべて書きなさい。

【解答】

辺 \( CF \)，辺 \( DF \) ，辺 \( EF \)

【解説】

(7)　次の表は，Ａ中学校とＢ中学校の野球部の最近１０試合の得点のデータをまとめたものである。この表をもとに，Ａ中学校の得点のデータを箱ひげ図で表した。Ａ中学校の箱ひげ図にならって，Ｂ中学校の得点のデータの箱ひげ図をかき入れなさい。

【解答】

大問２

ゆうさんたちの学級では，数学の授業で次の〔問題〕に取り組んだ。下の【ゆうさんのノート】と【りくさんのノート】は，ゆうさんとりくさんがこの問題を正しく解いたノートの一部である。このことについて，下の (1)～(3) の問いに答えなさい。

(1)　【ゆうさんのノート】の 　　ア　　，　　イ　　 に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

(2)　【りくさんのノート】の 　　ウ　　，　　エ　　 に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

(3)　【ゆうさんのノート】と【りくさんのノート】の 　　Ｘ　　 には同じ文字式が入り，　　Ｙ　　 には言葉と式を使って書いた解答の続きが入る。　　Ｘ　　 に当てはまる文字式と，　　Ｙ　　 に入る内容を書き，解答を完成させなさい。

大問３

次の図のように，玉が６個入った箱Ａと，玉が５個入った箱Ｂがある。１個のさいころを２回投げて，１回目に出た目の数だけ玉を箱Ａから箱Ｂに移し，２回目に出た目の数だけ玉を箱Ｂから箱Ａに移す。このとき，下の (1)・(2) の問いに答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。

(1)　箱Ａに入っている玉の個数が，５個になる確率を求めなさい。

【解説】

２回玉を移動させた後，箱Ａの玉が１個減ればいいので，１回目に出た目の数が２回目に出た目の数より１大きければいいということになります。
よって，出た目の組み合わせを樹形図に表すと，
あてはあまるのは５通り，すべての場合の数は３６通りなので，求める確率は，\( \dfrac{5}{36} \)

(2)　箱Ａに入っている玉の個数が，箱Ｂに入っている玉の個数より多くなる確率を求めなさい。

大問４

次の図のように，底面が１辺 \( 20 \; cm \) の正方形で高さが \( 25 \; cm \) である直方体の形をした水槽に，高さ \( 15 \; cm \) の長方形の仕切りが底面に対して垂直に取り付けられている。仕切りは底面積を２等分するように取り付けられており，２等分された底面をそれぞれ面 \( P \)，面 \( Q \) とする。また，水槽の上には蛇口 \( p \)，蛇口 \( q \) があり，蛇口 \( p \) を開くと面 \( P \) 側に水が入り，蛇口 \( q \) を開くと面 \( Q \) 側に水が入る。水面が仕切りの高さまで上昇すると，水があふれ出て仕切りの隣側に入る。水を入れ始めてから \( x \) 秒後の，面 \( P \) 側の水面の高さを \( y \; cm \) とするとき，下の (1)・(2)の問いに答えなさい。
ただし，水槽は水平な床の上に置かれており，水槽の壁や仕切りの厚さは考えないものとする。

(1)　蛇口 \( p \) を開くと面 \( P \) 側に毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水が入る。このとき，\( x \) と \( y \) との関係を表したグラフとして適切なものを，次のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

(2)　蛇口 \( p \) と蛇口 \( q \) の両方を同時に開けると，蛇口 \( p \) から面 \( P \) 側に毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水が入り，蛇口 \( q \) から面 \( Q \) 側に毎秒 \( 300 \; cm^3 \) ずつ水が入る。このとき，次の➀・➁の問いに答えなさい。
➀　\( x=12 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。

➁　\( x \) の値が \( 0 \) から \( 10 \) まで増加するときの変化の割合を \( a \)，\( 10 \) から \( 15 \) まで増加するときの変化の割合を \( b \)，\( 15 \) から \( 25 \) まで増加するときの変化の割合を \( c \) とするとき，\( a，b，c \) の大小を，不等号を使って表しなさい。

大問５

(2)　直線 \( BC \) と傾きが等しく，点 \( A \) を通る直線と，\( y \) 軸との交点を \( P \) とする。このとき，三角形 \( PBC \) の面積を求めなさい。

(3)　線分 \( AB \) と \( y \) 軸との交点を \( D \)，線分 \( BC \) と \( y \) 軸との交点を \( E \) とする。台形 \( DECA \) を線分 \( DA \) を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi \) を用いること。

大問６

(1)　\( △DFE \) ∽ \( △EHG \) を証明しなさい。

(2)　\( AB=9 \; cm，BC=15 \; cm \) のとき，三角形 \( DFE \) の面積は，三角形 \( DHG \) の面積の何倍か。

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