（２） \( 3\sqrt{2}+\dfrac{4}{\sqrt{2}} \)

（３） \( \dfrac{x+2y}{2}-\dfrac{x-y}{3} \)

（４） \( -\dfrac{2}{5}a^3b \div \left( -\dfrac{4}{15}ab \right) \)

問２ 次の数量を表す式を書きなさい。ただし，消費税は考えないものとする。

　　　　\( a \) 円のノートを，\( 3 \) 割引きで買ったときの代金

問３　\( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。

問４　連立方程式  \( \left\{ \begin{array}{}
x+y=2 \\
3x+4y=3 \\
\end{array} \right.  \) を解きなさい。

問５　二次方程式 \( x^2-3x-1=0 \) を解きなさい。

問６　次のア～エのうち，\( y \) が \( x \) の一次関数であるものを２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　気温 \( x \; ^\circ C \) のときの降水量 \( y \; mm \)
　　　　イ　分速 \( x \; m \) で \( 7 \) 分間進むときの道のり \( y \; m \)
　　　　ウ　１辺の長さが \( x \; cm \) の正方形の面積 \( y \; cm^2 \)
　　　　エ　\( 300 \; mL \) のジュースを，\( x \; mL \) 飲んだときの残り \( y \; mL \)

問７　２つの関数 \( y=ax^2 \) と \( y=3x+2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの，それぞれの変化の割合が等しくなるような，\( a \) の値を求めなさい。

【操作➀】：点 \( Q \) は２回目に出た目の数だけ反時計回りに正五角形の頂点を１つずつ移動する。
【操作➁】：点 \( Q \) は２回目に出た目の数だけ時計回りに正五角形の頂点を１つずつ移動する。

次の解答は，点 \( P \) と点 \( Q \) が移動したとき，正五角形の同じ頂点にある確率を【操作➀】の場合と【操作➁】の場合について，それぞれ求めたものである。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。
ただし，さいころは６つのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（１） 解答の 　ア　，　イ　 にあてはまる数を，それぞれ求めなさい。

【解説】

　ア　
さいころを２回投げたときの目の出方は次の３６通りになります。

　イ　
正五角形の残りの頂点に右の図のように \( B \)～\( E \) の名前をつけます。
出た目の数とその行き先の組み合わせを樹形図にして書きだすと，差が \( 0 \) または \( 5 \) になる組み合わせは \( 8 \) 通りなので，
その確率は，\( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \) になります。

 \( \phantom{　　} \)

（２） 解答の下線部を参考にして，さいころの目の出方について 　ウ　 に適切な語句を入れなさい。
また，　エ　 にあてはまる数を求めなさい。

大問２

次の図Ⅰは,ある中学校の３年生Ａ組 \( 30 \) 人と，Ｂ組 \( 30 \) 人のハンドボール投げの記録をそれぞれ箱ひげ図にまとめたものである。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

問１　Ａ組の記録の第３四分位数を求めなさい。

【解説】

問２　図Ⅰの箱ひげ図から読み取れることとして必ず正しいといえるものを，次のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　平均値は，Ａ組の方がＢ組より大きい。
　　　　イ　最大値は，Ａ組の方がＢ組より小さい。
　　　　ウ　範囲は，Ａ組の方がＢ組より大きい。
　　　　エ　\( 29 \; m \) 以上投げた生徒の数は，Ａ組の方がＢ組より多い。

問３　Ａ組とＢ組には，運動部に所属する生徒がそれぞれ \( 15 \) 人ずついる。次の図Ⅱは，運動部に所属するＡ組 \( 15 \) 人と，Ｂ組 \( 15 \) 人のハンドボール投げの記録をそれぞれ箱ひげ図にまとめたものである。また，あとの会話は，けいたさんとかりんさんが，図Ⅱの箱ひげ図をもとに話し合ったものである。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。

会話
けいたさん：運動部に所属する各組の生徒 \( 15 \) 人のうち，Ａ組とＢ組のどちらにハンドボールを遠くに
　　　　　　投げる人が多いかな。図Ⅱの箱ひげ図をみても，範囲も四分位範囲も違うからどう比べたらいいのだろう。
かりんさん：何か基準があるといいかも。先生が，この中学校の３年生で運動部に所属する生徒の
　　　　　　ハンドボール投げの記録の平均は，\( 25 \; m \) だとおっしゃっていたよ。
けいたさん：それでは，\( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，Ａ組，Ｂ組のどちらの方が多いのか考えてみよう。
かりんさん：Ａ組は 　ア　 が \( 24 \; m \) だから，Ａ組に \( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，最も多くて
　　　　　　　イ　 人だと考えられるね。
けいたさん：Ｂ組は 　ア　 が \( 26 \; m \) だから，Ｂ組に \( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，少なくとも
　　　　　　　ウ　 人いるよ。
かりんさん：これで判断できるね。\( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，　エ　 組の方が多いといえるね。

（１） 会話の 　ア　 にあてはまる語句を答えなさい。
ただし，　ア　 には同じ語句があてはまるものとする。

（２） 会話の 　イ　，　ウ　 にあてはまる数を求めなさい。また，　エ　 にあてはまる組をＡ，Ｂからひとつ選び，記号で答えなさい。

【解説】

大問３

問１　次の会話Ⅰは，まなぶさんが通う学校の授業で先生が数当てマジックを披露したときのものである。
このとき，あとの（１）～（３）に答えなさい。

会話Ⅰ
先　　　生：\( 1 \) から \( 10 \) までの整数で好きな数をひとつ思い浮かべてください。思い浮かべたら，
　　　　　　次に示す手順１～４で計算をして，求めた数を教えてください。

まなぶさん：計算したら \( 10 \) になりました。
先　　　生：わかりました。まなぶさんがはじめに思い浮かべた数は \( 4 \) ですね。
まなぶさん：すごい！正解です。
先　　　生：どうして私が,まなぶさんのはじめに思い浮かべた数を当てることができたか考えてみて
　　　　　　ください。

（１） はじめに思い浮かべた数を \( n \) として，手順１～４で計算して求めた数を \( n \) を用いて式で表しなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしも約分や式を整理する必要はない。

（２） 手順１～４で計算して求めた数が \( 35 \) のとき，はじめに思い浮かべた数を求めなさい。

（３） 手順１～４で計算して求めた数から，はじめに思い浮かべた数を求めるための方法として適切なものを次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　求めた数に \( 10 \) をたし，\( 5 \) でわる。
　　　　 イ　求めた数を \( 5 \) でわり，\( 10 \) をたす。
　　　　 ウ　求めた数を \( 5 \) でわり，\( 2 \) をたす。
　　　　 エ　求めた数を２倍し，\( 5 \) でわる。
　　　　 オ　求めた数から \( 6 \) をひく。

問２　次の会話Ⅱは，授業後にまなぶさんも数を当てる方法を自分で考え，かずこさんに披露したときのものである。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。

会話Ⅱ
まなぶさん：異なる２つの自然数を選び，和と積を教えてください。
かずこさん：和は \( 14 \) で，積は \( 48 \) だよ。
まなぶさん：選んだ数は \( \boxed{　a　} \) と \( \boxed{　b　} \) だね。
かずこさん：正解。\( x^2+14x+48 \) を因数分解するときに考えるよね。じゃあ，もう少し難しそうな
　　　　　　組合せで，和が \( 22 \) で，積が \( 112 \) はどう。これならすぐわからないよね。
まなぶさん：わかるよ。かずこさんが選んだ数は \( 8 \) と \( 14 \) だね。
かずこさん：すごい！どうやって考えたの。
まなぶさん：２つの数の和の半分 \( 11 \) を基準とすれば，選んだ数のどちらかは \( 11 \) より大きく，
　　　　　　他方は \( 11 \) より小さくなるよね。選んだ２つの数は，\( 11+x \) と \( 11-x \) とおけて，
　　　　　　積は \( 112 \) だから \( (11+x)(11-x)=112 \) を解けば，\( x \) の値を求めることができるので，
　　　　　　選んだ２つの数がわかるよ。

（１） 会話Ⅱの \( \boxed{　a　} \) と \( \boxed{　b　} \) にあてはまる数を，それぞれ求めなさい。

（２） かずこさんは，会話Ⅱの下線部のまなぶさんの考えをもとに，次のような方法を考えた。
次のかずこさんの考えの \( \boxed{　c　} \) と \( \boxed{　d　} \) にあてはまるものとして，最も適切なものを，あとのア～カからそれぞれひとつ選び,記号で答えなさい。

　　ア　\( A \) 　　　イ　\( B \) 　　　ウ　\( \dfrac{A}{2} \) 　　　エ　\( \dfrac{B}{2} \) 　　　オ　\( \left( \dfrac{A}{2} \right)^2 \) 　　カ　\( \left( \dfrac{B}{2} \right)^2 \)

問３　和が \( 90 \)，積が \( 1961 \) となる２つの自然数を求めなさい。

大問４

問１　点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

問２　\( a \) の値を求めなさい。

問３　\( △AEB≡△AFD \) であることを，次のように証明した。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。

証明
\( △AEB \) と \( △AFD \) で，
正方形 \( ABCD \) の一辺の長さなので，
　\( AB=AD \) ･･･ ➀
仮定より，\( AE，DF \) は \( y \) 軸に平行で，\( EB，AF \) は \( x \) 軸に平行なので,
　\( \boxed{　a　} \; = \; \boxed{　b　} \; =90° \) ･･･ ➁
同様に，\( ∠FAE=90° \) ･･･ ➂
また，正方形 \( ABCD \) の１つの内角なので，
　\( ∠BAD=90° \) ･･･ ➃
➂，➃から，\( ∠FAE=∠BAD \)
ここで， \( ∠BAE=∠FAE- \; \boxed{　c　} \)
　\( ∠DAF=∠BAD- \; \boxed{　d　} \)
よって， \( ∠BAE=∠DAF \) ･･･ ➄
➀，➁，➄から，\( \boxed{　e　} \) がそれぞれ等しいので,
　\( △AEB≡△AFD \)

（１） 証明の \( \boxed{　a　} \) ～ \( \boxed{　d　} \) にあてはまる最も適切なものを，次のア～カから選び，それぞれ記号で答えなさい。
なお，同じ記号を何度使用してもよい。

　　　　 ア　\( ∠AFD \) 　　イ　\( ∠DAE \) 　　ウ　\( ∠FAB \)
　　　　 エ　\( ∠BAE \) 　　オ　\( ∠AEB \) 　　カ　\( ∠ABC \)

（２） 証明の \( \boxed{　c　} \) にあてはまる最も適切な語句を入れて，証明を完成させなさい。

問４　２点 \( A，D \) を通る直線の式を求めなさい。

問５　\( △ADB=△ADP \) となるように \( x \) 軸上に点 \( P(t，0) \) をとる。このとき，\( t \) の値を求めなさい。
ただし，\( t>0 \) とする。

大問５

次の会話は，つむぎさんが身の回りにある図形について，先生と話し合ったものである。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

会話
先　　　生：下の図Ⅰのように図形を２本の平行線ではさみ込んだとき，これら２本の平行線の間隔の
　　　　　　ことを「さしわたし幅」といいます。

つむぎさん：ノギスという工具があれば，いろいろな図形の「さしわたし幅」を測ることができますね。
先　　　生：そうですね。例えば，円は「さしわたし幅」が一定の図形になります。正三角形はどう
　　　　　　でしょうか。
つむぎさん：正三角形は,「さしわたし幅」が最大になるときと最小になるときで幅が異なるので，
　　　　　　「さしわたし幅」が一定ではないことがわかります。
先　　　生：そうですね。この「さしわたし幅」が一定である性質を利用して，お掃除ロボットや硬貨が
　　　　　　作られています。「さしわたし幅」が一定である円以外の図形では,「ルーローの三角形」が
　　　　　　よく知られています。

問１　次の図Ⅱは，正三角形のさしわたし幅が最大になるときと，最小になるときを表している。正三角形の１辺の長さを \( 6 \; cm \) として，さしわたし幅が最小になるときのさしわたし幅を求めなさい。

問２　次の図Ⅲは，手順➀～➂にしたがって，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角形 \( ABC \) から「ルーローの三角形」を作ったものである。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 図Ⅲの手順➀によってできた色の付いた部分の図形は，おうぎ形となる。
このとき，おうぎ形の面積を求めなさい。

（２） 図Ⅲの手順➀～➂で完成した「ルーローの三角形」の面積を求めなさい。

問３　次の図Ⅳは，正七角形をもとにして作られた「ルーローの七角形」(頂点 \( A \) を中心に，対角線 \( AD \) の長さを半径とする弧 \( DE \) をかき，他の頂点についても同様に作図する)である。さしわたし幅が \( h \; cm \) であるとき，この「ルーローの七角形」の周の長さを求めなさい。

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問１　次の計算をしなさい。

（１） \( -2-(-4)+5 \)

（２） \( -\dfrac{2}{3} \times \left( -\dfrac{9}{4} \right) \)

（３） \( 3\sqrt{3}-\sqrt{12} \)

（４） \( 3(2x-1)-(x-2) \)

（５） \( -3xy \times 2x^3y^2 \div (-x^2y) \)

問２　\( x^2-8x+7 \) を因数分解しなさい。

問３　二次方程式 \( 5x^2-x-1=0 \) を解きなさい。

問４　次の数量の関係を不等式に表しなさい。

\( 1 \) 個 \( a \) 円の梨を \( 7 \) 個と \( 1 \) 箱 \( 4000 \) 円の長いもを \( b \) 箱買って代金を支払おうとしたところ，\( 15000 \) 円では足りなかった。

問６　３枚の硬貨を同時に投げるとき，少なくとも１枚は表となる確率を求めなさい。
ただし，硬貨を投げるときの表，裏の出かたは，同様に確からしいものとする。

問７　３つの数，\( 6，\sqrt{31}，\dfrac{8}{\sqrt{2}} \) を，左から小さい順に並べなさい。

問８　次の 図Ⅱ のように，２本の棒で１個の部品を作り，この部品を横につなげてフェンスを作る。そして，棒の交わる部分と先端には飾りをつける。部品２個をつなげてフェンスを作った場合は飾りが８個，部品３個の場合は飾りが１１個必要になる。ともこさんとたけおさんは，部品 \( n \) 個をつなげてフェンスを作ったとき，飾りが何個必要になるかを考えた。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） ともこさんは，必要な飾りの個数について，次のように考えた。

次の ともこさんのノート を参考にして，この式の \( 2 \times (n+1) \) は何を表しているか，説明しなさい。

（２） たけおさんは，必要な飾りの個数について，次のように考えた。

次の たけおさんのノート を参考にして，この式の 　ア　，　イ　 にあてはまる文字式をそれぞれ求めなさい。

【解説】

角の二等分線の性質により，\( ∠BAC \) の二等分線の二等分線をひくと，
\( BP：PC=AB：AC \) になります。

大問２

せいらさんとよしえさんが住んでいる地域では，毎年，県外から多くの人が参加するマラソン大会が開催されている。次の会話は，２人が，大会公式ホームページで，昨年のマラソン大会の参加者一覧のデータを見ながら先生と話し合ったものである。また，あとの表は，会話の中でよしえさんがまとめた度数分布表である。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

問１　会話の ( 　①　 )，( 　②　 ) にあてはまる内容の組み合わせとして正しいものを, 次のア～エからひとつ選び, 記号で答えなさい。

　　　　ア ･･･ ①：\( 46 \) 歳以上 \( 51 \) 歳未満の参加者
　　　　　　　 ②：抽出する \( 150 \) 人の参加者
　　　　イ ･･･ ①：\( 46 \) 歳以上 \( 51 \) 歳未満の参加者
　　　　　　　 ②：すべての参加者
　　　　ウ ･･･ ①：すべての参加者
　　　　　　　 ②：\( 46 \) 歳以上 \( 51 \) 歳未満の参加者
　　　　エ ･･･ ①: すべての参加者
　　　　　　　 ②：抽出する \( 150 \) 人の参加者

問２　会話の ( 　➂　 ) にあてはまる内容として最も適切なものを，次のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　すべての参加者を男女に分けて，無作為に男女各 \( 75 \) 人を選ぶ
　　　　イ　すべての参加者を男女に分けて，年齢が散らばるように男女各 \( 75 \) 人を選ぶ
　　　　ウ　すべての参加者から，無作為に \( 150 \) 人を選ぶ
　　　　エ　すべての参加者から，年齢が散らばるように \( 150 \) 人を選ぶ

問３　会話の ( 　④　 ) にあてはまる数を求めなさい。

問４　表をもとに，\( 31 \) 歳以上\( 36 \) 歳未満の階級までの累積相対度数を求めなさい。

問５　せいらさんは，抽出した \( 150 \) 人の年齢の四分位数を求めようとした。次の説明は，中央値 (第２四分位数)の求め方を記述したものである。説明の 　　　　 に適切な文を入れ，説明を完成させなさい。

　　ア　四分位範囲が一番大きいのは大会Ａである
　　イ　平均年齢が一番高いのは大会Ｂである
　　ウ　\( 40 \) 歳未満の参加者が一番多いのは大会Ｃである
　　エ　第１四分位数が一番小さいのは大会Ｄである
　　オ　Ａ～Ｄのすべての大会について, \( 50 \) 歳以上の参加者は \( 38 \) 人以上いる

大問３

（２） あきえさんの班は，ホテルから最初は時速 \( 3 \; km \) の速さで歩き，途中から時速 \( 10 \; km \) の速さで走ったところ，ホテルを出発してから \( 15 \) 分後にＡ駅に到着した。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ） 歩いた道のりを \( a \; km \) として，次のような方程式をつくった。次の 　　　　 にあてはまる式を，\( a \) を用いて表しなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしも約分や式を整理する必要はない。
　　　　 　　　　 \( =\dfrac{1}{4} \)

（ⅱ） 歩いた時間を \( b \) 分として，次のような方程式をつくった。次の 　　　　 にあてはまる式を，\( b \) を用いて表しなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしも約分や式を整理する必要はない。
　　　　 　　　　 \( =1 \)

問２　Ａ駅からＢ駅を経由してＣ寺に行く道のりは \( 20 \; km \) あり，Ｃ寺からＤ城跡，Ｅ神社を経由してホテルに行く道のりも \( 20 \; km \) ある。なお，列車はバスよりも速く，列車のほうが１時間あたり \( 21 \; km \) 多く進むことが分かっている。また，行程表 のＢ駅以降に「徒歩」と書いてある区間を歩く速さは，すべて等しい。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 歩く速さを時速 \( x \; km \) ，列車の速さを時速 \( y \; km \) として，行程表 をもとに次のような連立方程式をつくった。次の 　ア　，　イ　 にあてはまる式を，\( x，y \) を用いて表しなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしも約分や式を整理する必要はない。

　　　　 　ア　 \( =20 \)
　　　　 　イ　 \( =20 \)

（２） 歩く速さと列車の速さは時速何 \( km \) か，それぞれ求めなさい。

大問４

問２　\( t=1 \) のとき，直線 \( PQ \) の式を求めなさい。

問３　直線 \( PQ \) が \( x \) 軸と平行になるとき，\( t \) の値を求めなさい。また，このときの点 \( R \) の \( y \) 座標を求めなさい。

（２） \( n=50 \) のとき，\( t \) の値を求めなさい。

大問５

問２　\( t=5 \) のとき，三角錐 \( BFGP \) の体積を求めなさい。

問３　線分 \( DP \) の長さが \( 6\sqrt{6} \) となるとき，\( t \) の値を求めなさい。

問４　\( t=2 \) のとき，ひもを点 \( D \) から立方体の表面にそって点 \( P \) までゆるまないようにかける。このひもの長さが最も短くなるときの長さを求めなさい。

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問１　次の計算をしなさい。

(1)　\( -6-(-2) \)

(2)　\( -\dfrac{2}{3} \div \dfrac{8}{9} \)

(3)　\( 6\sqrt{2}-\sqrt{18}+\sqrt{8} \)

(4)　\( 4(2x+1)-3(2x+1) \)

(5)　\( 3xy \times 2x^3y^2 \div (-x^3y) \)

問２　\( x^2-3x+2 \) を因数分解しなさい。

問３　二次方程式 \( 3x^2-x-1=0 \) を解きなさい。

問４　関数 \( y=2x^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問５
右の図Ⅰにおいて，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。
ただし, ４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点であり，線分 \( AC \) は円 \( O \) の直径である。

【解答】

円周角が等しいので，\( ∠ADB＝∠ACB=40° \)
\( ∠ADC \) は直径 \( AC \) に対する円周角なので，\( ∠ADC=90° \)
よって，\( ∠x=∠ADC-∠ADB=90°-40°=50° \)

問７
面積が \( 168n \; m^2\) の正方形の土地がある。この正方形の土地の１辺の長さ \( (m) \) が整数となるような最も小さい自然数 \( n \) の値を求めなさい。

問８
連続する２つの偶数の積は，８の倍数である。さよさんは，このことを，次のように文字式を使って証明した。
このとき，あとの (1)，(2) に答えなさい。

(証明)
\( n \) を整数とし, 連続する２つの偶数のうち, 小さい方を \( 2n \) とすると，もう一方の偶数は 　ア　 と表される。
このとき, 連続する２つの偶数の積は
　\( 2n \times \)( 　ア　 )＝　イ　\( n(n+1) \)  ･･･ ①
【\( n，n+1 \) は連続する２つの整数だから，① の右辺の \( n(n+1) \) は２の倍数である。】
よって，\( m \) を整数とすると，\( n(n+1) \) は \( 2m \) と表される。
このとき，連続する２つの偶数の積は
　\( 2n \times \)( 　ア　 )= \( 8m \)
\( m \) は整数だから，\( 2n \times \)( 　ア　 ) は８の倍数である。
したがって，連続する２つの偶数の積は，８の倍数である。
(証明終)

(1)　証明の 　ア　，　イ　 にあてはまる適切な数または文字式を入れて，証明を完成させなさい。
ただし，　ア　 には，同じ数または同じ文字式があてはまるものとする。

(2)　次の説明は，証明の【　　　】部において，\( n，n+1 \) が連続する２つの整数だと，\( n(n+1) \) は２の倍数となる理由を説明したものである。説明中の 　ウ　 に適切な文を入れなさい。

説明
連続する２つの整数 \( n，n+1 \) は，　ウ　  。
整数と偶数の積は２の倍数となるので，\( n(n+1) \) は２の倍数である。

(証明)
\( △OAP \) と \( △OCQ \) で
対頂角は等しいので，
　\( ∠AOP=∠COQ \) ･･･ ➀
　a　 は等しいので，\( AB//DC \) から，
　　b　 ･･･ ➁
平行四辺形の 　c　 ので，
　　d　 ･･･ ➂
①，②，③より 　e　 がそれぞれ等しいので，
　\( △OAP≡△OCQ \)
合同な図形では, 対応する辺は, それぞれ等しいので，
　　\( OP=OQ \)
(証明終)

(1)　証明の 　a　，　b　 にあてはまるものとして最も適切なものを，次のア～キからそれぞれひとつ選び，記号で答えなさい。

　ア　平行線の同位角　　　　　　イ　平行線の錯角　　　　　ウ　平行線の向かい合う辺
　エ　\( ∠OAP=∠OCQ \)　　　　オ　\( ∠OPA=∠OQC \)
　カ　\( ∠OBA=∠ODC \)　　　　キ　\( AP=CQ \)

(2)　証明の 　c　，　d　 にあてはまるものとして最も適切なものを，次のア～キからそれぞれひとつ選び，記号で答えなさい。

　ア　２組の向かい合う辺は，それぞれ等しい
　イ　２組の向かい合う角は，それぞれ等しい
　ウ　対角線は，それぞれの中点で交わる
　エ　\( ∠ABC=∠CDA \)　　　　オ　\( ∠OAP=∠OCQ \)
　カ　\( OA＝OC \)　　　　　　　　 キ　\( AP=CQ \)

(3)　証明の 　e　 にあてはまる最も適切な語句を入れて，証明を完成させなさい。

【解答】

１組の辺の長さとその両端の角の大きさ

大問２

問１　四分位範囲が最も大きいクラスは，１組から４組のうちどのクラスか，答えなさい。また，その四分位範囲を求めなさい。

問２　次の図Ⅰは，各クラスの結果を箱ひげ図に表したものである。１組の箱ひげ図を，図Ⅰ中のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

【解答】

表に示されている各値と箱ひげ図が一致しているのは，エ

問３　あとの図Ⅱは，各クラスの結果をヒストグラムに表したものである。
このとき，次の(1)～(3)に答えなさい。

(1)　１組のヒストグラムを，図Ⅱ中のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

(2)　７冊の階級の相対度数が \( 0.2 \) であるクラスは，１組から４組のうちどのクラスか，答えなさい。

(3)　４組の平均値を求めなさい。

大問３

高校生のじょうじさんは陸上競技部に所属しており，学校から公園までの片道９００ｍの道を走って往復するトレーニングをしている。ある日じょうじさんは，１６時に学校を出発し，この道を分速 ３００ｍの速さで立ち止まることなく走り２往復した。同じ日に，きょうこさんは，公園での清掃活動に参加するため，学校を出発し，じょうじさんと同じ道を通って公園に向かった。
次の図は，じょうじさんが学校を出発してからの時間 (分) と，学校からじょうじさんがいる地点までの道のり  \( (m) \) の関係をグラフに表したものである。ただし，グラフはじょうじさんが学校を出発してからこの道を１往復したところまでしかかかれていない。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

問１　じょうじさんが，この道を２往復走り終えて，学校に到着するのは何時何分か，求めなさい。

問２
きょうこさんは，じょうじさんより２分遅れて学校を出発し，学校から公園までの間にある時計店までは分速５０ｍ，時計店から公園までは分速７５ｍの速さで，それぞれ立ち止まることなく歩き，公園に１６時１５分に到着した。
このとき，次の(1)～(4)に答えなさい。

(1)　きょうこさんが，学校から時計店まで歩いた時間を \( a \) 分，時計店から公園まで歩いた時間を \( b \) 分とするとき，\( a \) と \( b \) の連立方程式をつくりなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしもつくった方程式を整理する必要はない。

【解答】

歩いた道のりとかかった時間の関係をそれぞれ方程式で表します。
【道のり】
　分速５０ｍで \( a \) 分歩いたとき，歩いた道のりは \( 50a \; m \)，
　分速７５ｍで \( b \) 分歩いたとき，歩いた道のりは \( 75b \; m \)，
　学校から公園までは９００ｍなので，
　　\( 50a+75b=900 \)
【時間】
　１６時２分に学校を出発し，１６時１５分に公園に到着したので，歩いた時間は１３分。
　学校から時計店までは \( a \) 分，時計店から公園までは \( b \) 分かかったので，
　　\( a+b=13 \)

よって，
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
50a + 75b = 900 \\
a + b = 13
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

 

(2)　学校から時計店までの道のりは何 \( m \) か，求めなさい。

(3)　きょうこさんが，学校を出発してから公園に到着するまでに，じょうじさんとすれ違う，または追いこされるのはあわせて何回か，求めなさい。

(4)　きょうこさんが，学校を出発して，じょうじさんと最初にすれ違ってから，その後追いこされるまでにかかった時間は何分か，求めなさい。

【解答】

きょうこさんがじょうじさんと最初にすれ違ったのは●の時間，その後追いこされたのは●の時間です。

赤の直線は，\( (5，150) \) と \( (15，900) \) を通っているので，\( y=75x-225 \) ･･･ ①
青の直線は，\( (3，900) \) と \( (6，0) \) を通っているので，\( y=-300x＋1800 \) ･･･ ➁
緑の直線は，\( (6，0) \) と \( (9，900) \) を通っているので，\( y=300x-1800 \) ･･･ ➂
赤と青の直線の交点の \( x \) 座標は，
　\( 75x-225=-300x＋1800 \)
　　　 \( 375x=2025 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{27}{5} \)
赤と緑の直線の交点の \( x \) 座標は，
　\( 75x-225=300x-1800 \)
　　　 \( 225x=1575 \)
　　　　　 \( x=7 \)
よって，●から●までかかった時間は，\( 7-\dfrac{27}{5}=\dfrac{8}{5} \) 分

大問４

問２　球 \( O \) の半径を求めなさい。

(1) 立体 \( Q \) の側面積を求めなさい。

大問５

(1)　\( x=2 \) のときと，\( x=6 \) のときの \( y \) の値を，それぞれ求めなさい。

(2)　\( 0≦x≦4 \) における \( x \) と \( y \) の関係を式で表しなさい。

(3)　\( 0≦x≦12 \) における \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフ (実線部分)として最も適切なものを，次のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。
ただし，ア～エのグラフ中の点線で表された直線①は，傾き１の直線を表している。

ノート
\( △OPQ \) の面積 \( y \; cm^2 \) を次のように考える。
\( PQ \) を延長した直線と \( OE \) を延長した直線の交点を \( R \) とするとき，
\( ( △OPQ \) の面積 \( y ) =( △OPR \) の面積\( )－( △OQR \) の面積\( ) \: (cm^2) \)
と考えることができる。このとき，線分 \( EQ，DP，
OR \) の長さ \( (cm) \) をそれぞれ \( x \) を用いて表すと，
\( EQ=x－8，DP＝ \) 　ア　， \( OR＝ \) 　イ　 と表せる。
これらを用いて \( y \) を \( x \) で表すと， \( y= \) 　ウ　 と表すことができる。

問３
正方形を８個並べてつくった，次の図形Ⅲおよび図形Ⅳにおいて，\( 24 <x<28 \) のとき，図形Ⅲにおける  \( △OPQ \) の面積を \( S_1 \: cm^2 \) ，図形Ⅳにおける \( △OPQ \) の面積を \( S_2 \: cm^2 \) とする。
\( S_1：S_2 \) を最も簡単な整数の比で答えなさい。

【解答】

● 図形Ⅲ
\( OQ=x \; cm \)，高さは \( 4cm \) なので，
\( S_1=x \times 4 \times \dfrac{1}{2}=2x \)

● 図形Ⅳ
問２と同じ考え方から，
\( △OPR = x \times (x-12) \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x(x-12)\)
\( △OQR = x \times (x-16) \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}x(x-16)\)
となるので，
\( △OPQ = △OPR － △OQR \)  より，
　　 \( S_2=\dfrac{1}{2}x\{(x-12)-(x-16)\} \)
　　　　\( =\dfrac{1}{2}x \times 4 \)
　　　　\( =2x \)

よって，\( S_1：S_2=1：1 \)

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