（１） \( -3-(-4) \)

（２） \( (-6ab) \times \dfrac{2}{3}b \)

（３） \( 5(a-2b)+4(2a+b) \)

（４） \( (3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2}) \)

（５） 方程式 \( (x+3)^2=7x+15 \) を解きなさい。

（６） \( n \) は \( 2 \) 以上 \( 20 \) 以下の自然数とします。\( \sqrt{3(2n+1)} \) の値が自然数となるような \( n \) の値を求めなさい。

（７） 四角錐の投影図として最も適当なのは,ア～エのうちではどれですか。一つ答えなさい。

（８） \( y \) が \( x \) に反比例するものは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。

　　　　 ア　分速 \( x \; m \) で \( 30 \) 分歩いたときに進んだ道のり \( y \; m \)
　　　　 イ　面積が \( 20 \; cm^2 \) の三角形の底辺 \( x \; cm \) と高さ \( y \; cm \)
　　　　 ウ　\( 100 \; cm \) のひもを \( x \) 等分したときの \( 1 \) 本の長さ \( y \; cm \)
　　　　 エ　半径が \( x \; cm \) の円周の長さ \( y \; cm \)

（１０） 大小二つのさいころを同時に投げるとき，出た目の数の和が \( 12 \) の約数となる確率を求めなさい。ただし，さいころの \( 1 \) から \( 6 \) までの目の出方は，同様に確からしいものとします。

大問２

花子さんの家の近所にある焼き鳥屋では，図に示すように，焼き鳥 \( 3 \) 本入りの商品Ａと \( 5 \) 本入りの商品Ｂの２種類の商品が販売されています。（１），（２）に答えなさい。

（１） 焼き鳥 \( 3 \) 本入りの商品Ａと \( 5 \) 本入りの商品Ｂを合わせて \( 160 \) 個用意したとき，焼き鳥の本数の合計が \( 700 \) 本でした。➀，➁に答えなさい。

➀　用意した商品Ａの個数を \( x \) 個，商品Ｂの個数を \( y \) 個として，連立方程式をつくりなさい。

➁　用意した商品Ａと商品Ｂの個数は，それぞれ何個であるかを求めなさい。

（２） 焼き鳥 \( 3 \) 本入りの商品Ａと \( 5 \) 本入りの商品Ｂをそれぞれ何個か用意したとき，焼き鳥の本数の合計が \( 62 \) 本でした。➀，➁に答えなさい。

➀　次の数量の間の関係から，二元一次方程式をつくることができます。

\( a=19，b=1 \) は，この方程式の解の一つです。
\( a，b \) の値が，ともに \( 0 \) 以上の整数のとき，この方程式の解は，\( a=19，b=1 \) を含めて，
全部で何個あるかを求めなさい。

②　用意した商品Ａと商品Ｂの個数の合計が最も少ないのは，商品Ａと商品Ｂの個数がそれぞれ何個のときであるかを求めなさい。

大問３

体育委員の太郎さんは，中学生の握力について調べています。図は，太郎さんの中学校で実施した２０１０年，２０１５年，２０２０年の２年生の握力測定の記録をもとに作った箱ひげ図です。いずれの年もデータの個数は \( 47 \) 個です。（１）～（４）に答えなさい。

（１） 太郎さんが作った箱ひげ図から読み取れることとして，次のことがらは，正しいといえますか。［選択肢］のア～ウの中から最も適当なものを一つ答えなさい。

［選択肢］
ア　正しい　　　　イ　正しくない　　　　　ウ　太郎さんが作った箱ひげ図からはわからない

（２） 四分位範囲は，データの散らばりの度合いを表す指標です。太郎さんが作った箱ひげ図の２０１０年と２０１５年では，それぞれの年のすべてのデータのうち，真ん中に集まる約半数のデータについて，散らばりの度合いが大きいのはどちらですか。また，そのように判断した理由を答えなさい。その際，四分位範囲が箱ひげ図のどの部分を表しているかにふれて答えなさい。

太郎さんは，２０１５年と２０２０年の箱ひげ図が同じなので，箱ひげ図を作るときにもとにしたデータを使って，ヒストグラムを作りました。

（３） ２０１５年，２０２０年の二つのヒストグラムから読み取れることを正しく説明しているのは，ア～エのうちではどれですか。当てはまるものをすべて答えなさい。

　　　 ア　\( 30.0 \; kg \) 以上 \( 30.5 \; kg \) 未満の階級には，どちらの年もデータが含まれている。
　　　 イ　度数が最も多い階級の階級値は,２０１５年より２０２０年の方が大きい。
　　　 ウ　中央値が入っている階級の度数は，どちらの年も同じである。
　　　 エ　\( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積相対度数は，２０２０年より２０１５年の方が大きい。

（４） 次の文章は，握力について調べた後の太郎さんの振り返りです。<太郎さんの振り返り>について，
　(あ)　～ 　(う)　 に当てはまることばの組み合わせとして最も適当なのは，ア～カのうちではどれ
ですか。一つ答えなさい。

<太郎さんの振り返り>
箱ひげ図は，　(あ)　 という特徴がある。また，四分位数や四分位範囲などを読み取りやすく，　(い)　 などを読み取りにくいという特徴がある。一方，ヒストグラムは，　(い)　 や 　(う)　 などを読み取りやすいという特徴があるため，目的に応じて二つを合わせて用いることが必要な場面もある。

　 ア　　(あ)　 一つのデータの分布を詳細に読み取ることができる
　　　 　(い)　 最大値 　　　(う)　 範囲
　 イ　　(あ)　 一つのデータの分布を詳細に読み取ることができる
　　　 　(い)　 最大値 　　　(う)　 分布の形
　 ウ　　(あ)　 複数のデータの分布を一度に比較しやすい
　　　 　(い)　 最大値 　　　(う)　 範囲
　 エ　　(あ)　 一つのデータの分布を詳細に読み取ることができる
　　　 　(い)　 最頻値 　　　(う)　 分布の形
　 オ　　(あ)　 複数のデータの分布を一度に比較しやすい
　　　 　(い)　 最頻値 　　　(う)　　分布の形
　 カ　　(あ)　 複数のデータの分布を一度に比較しやすい
　　　 　(い)　 最頻値 　　　(う)　 範囲

大問４

（１） \( a \) を正の定数とするとき，関数 \( y=ax^2 \) に関して述べたⅠ，Ⅱ，Ⅲの文について，内容の正誤を表したものとして最も適当なのは，ア～カのうちではどれですか。一つ答えなさい。

Ⅰ　\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域は \( a≦y≦4a \) である。
Ⅱ　変化の割合は常に一定である。
Ⅲ　グラフは \( y \) 軸について対称である。

ア　Ⅰのみ正しい。
イ　Ⅱのみ正しい。
ウ　Ⅲのみ正しい。
エ　ⅠとⅡのみ正しい。
オ　ⅠとⅢのみ正しい。
カ　ⅡとⅢのみ正しい。

（２） 点 \( A \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，点 \( C \) の \( y \) 座標を \( t \) を用いて表しなさい。

（３） 次のことがらは，３点 \( A，B，C \) の座標について述べています。　あ　，　い　 に適当な数を書きなさい。

（４） \( △EFG \) の面積は，\( △ABC \) の面積の何倍かを求めなさい。

大問５

（１） 線分 \( AE \) の長さを求めなさい。

（２） \( △AHF \) ∽ \( △EHC \) を証明しなさい。

（３） \( ∠ACF \) の大きさを求めなさい。

（４） 線分 \( CH \) の長さを求めなさい。

（５） ３点 \( A，E，F \) を通る円の中心を \( P \)，３点 \( C，F，H \) を通る円の中心を \( Q \) とします。このとき，線分 \( PQ \) の長さを求めなさい。

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（１） \( 4-(-1)-8 \) を計算せよ。

（２） \( -6^2 \times \dfrac{1}{2}+(-4)^2 \) を計算せよ。

（３） \( \dfrac{x+2}{3}+\dfrac{3x-1}{4} \) を計算せよ。

（４） 等式 \( y=-5x+7 \) を \( x \) について解け。

（５） \( \sqrt{5}(\sqrt{2}+1)-\sqrt{45} \) を計算せよ。

（６） \( 4x^2-8x-12 \) を因数分解せよ。

（７）　次の文中の \( \boxed{　　　} \) 内にあてはまる数を求めよ。

\( 5.3^2=28.09，5.4^2=29.16 \) であるから，\( \sqrt{29} \) を小数で表したときの小数第１位の数は \( \boxed{　　　} \) である。

大問２

ア　次の \( \boxed{ア} \;  \)～\( \; \boxed{エ} \)の直線のうち，直線 \( AE \) とねじれの位置にある直線はどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。

　　\( \boxed{ア} \)　直線 \( BC \) 　　　\( \boxed{イ} \)　直線 \( CG \)
　　\( \boxed{ウ} \)　直線 \( DH \) 　　　\( \boxed{エ} \)　直線 \( EF \)

イ　この直方体の体積は何 \( \; cm^3 \) か。

大問３

（１） \( y \) は \( x \) に比例し，\( x=4 \) のとき \( y=-2 \) である。\( x=8 \) のときの \( y \) の値を求めよ。

（２）　数字を書いた５枚のカード \( \boxed{1}，\boxed{2}，\boxed{2}，\boxed{3}，\boxed{5} \) がある。この５枚のカードをよくきって，その中から１枚ずつ続けて２回引き，はじめに引いたカードに書いてある数を \( a \)，次に引いたカードに書いてある数を \( b \) とする。このとき，\( 2a+b=5 \) が成り立つ確率を求めよ。

（３）　花子さんは，１組から４組の各クラスの生徒 \( 30 \) 人の通学時間を調べ，そのデータを，組ごとに，ヒストグラムと箱ひげ図にそれぞれ表した。下の図１のヒストグラムは，１組のヒストグラムである。下の図２のア～エの箱ひげ図は，１組から４組の箱ひげ図のいずれかに対応している。図２のア～エの箱ひげ図のうち，１組の箱ひげ図はどれか。正しいものを１つ選んで，その記号を書け。

ア　関数 \( y=x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域を求めよ。

イ　四角形 \( ABDC \) が平行四辺形であるとき，点 \( A \) の \( x \) 座標はいくらか。点 \( A \) の \( x \) 座標を \( a \) として，\( a \) の値を求めよ。\( a \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

大問４

（１） 次の会話文を読んで，あとのア，イの問いに答えよ。

先生：図１のような，かけられる数とかける数がそれぞれ \( 1 \) から \( 8 \) まで書かれたかけ算の表があります。
　　　このかけ算の表の「\( 1 \times 1 \)」と「\( 8 \times 1 \)」，「\( 1 \times 8 \)」と「\( 8 \times 8 \)」の位置が重なるように点線で
　　　半分に折り，図２のような二つ折りにします。次に，「\( 1 \times 1 \)」と「\( 1 \times 8 \)」の位置が重なるように
　　　点線で半分に折り，図３のような四つ折りにします。このように四つ折りにしたとき，「\( 1 \times 1 \)」と
　　　位置が重なるかけ算は，「\( 8 \times 1 \)」，「\( 1 \times 8 \)」，「\( 8 \times 8 \)」で，この４つのかけ算の値の和は \( 81 \)
　　　です。では，「\( 2 \times 3 \)」と位置が重なるかけ算の式は，どうなりますか。

花子：「\( 2 \times 3 \)」と位置が重なるかけ算は，「\( 7 \times 3 \)」と他に２つあります。この４つのかけ算の値の和は，
　　　\( 6+21+12+42 \) で \( 81 \) です。位置が重なる４つのかけ算の値の和はどこでも \( 81 \) なのでしょうか。
先生：では，それを調べるために文字式を使って考えましょう。四つ折りにしたとき，「\( a \times b \)」と位置が
　　　重なるかけ算の式を \( a，b \) を使って表すと，「\( a \times b \)」以外の式はどう表されますか。
花子：「( 　Ｐ　 ) \( \times b \)」と「 \( a \times \) ( 　Ｑ　 )」と「( 　Ｐ　 ) \( \times \) ( 　Ｑ　 )」です。
先生：その通りです。この４つのかけ算の値の和を求めると \( 81 \) ですから，位置が重なる４つのかけ算の
　　　値の和はどこでも \( 81 \) であることがわかりましたね。
　　　では、かけられる数とかける数がそれぞれ \( 1 \) から 　Ｒ　 まで書かれたかけ算の表を，同じように
　　　四つ折りにすると，位置が重なる４つのかけ算の値の和は，どうなりますか。
花子：計算してみます･････ ，先生，\( 2025 \) になりました。
先生：正しく求められましたね。

ア　会話文中の 　Ｐ　 にあてはまる式は何か。\( a \) を使った式で表せ。また，会話文中の 　Ｑ　 にあてはまる式は何か。\( b \) を使った式で表せ。

イ　会話文中の 　Ｒ　 にあてはまる偶数を求めよ。

（２） 太郎さんが店長をしている店には，\( 1000 \) 円札と \( 500 \) 円玉専用の両替機が１台設置されている。この両替機に \( 1000 \) 円札を \( 1 \) 枚投入すれば，\( 500 \) 円玉 \( 1 \) 枚と \( 100 \) 円玉 \( 5 \) 枚が出てくる。また，この両替機に \( 500 \) 円玉を \( 1 \) 枚投入すれば，\( 100 \) 円玉 \( 4 \) 枚と \( 50 \) 円玉 \( 2 \) 枚が出てくる。
１月３１日の営業終了後すぐに，太郎さんが，両替機の中にある紙幣と硬貨の枚数を確認すると，この日の営業開始前に比べて，\( 50 \) 円玉の枚数が \( 12 \) 枚減っていた。
２月１日の営業開始前に，太郎さんは，両替機の中にある紙幣と硬貨の枚数を，\( 1000 \) 円札 \( 0 \) 枚，\( 500 \) 円玉 \( 30 \) 枚，\( 100 \) 円玉 \( 200 \) 枚，\( 50 \) 円玉 \( 50 \) 枚にして，店の営業を開始した。そして，２月１日の営業終了後すぐに，両替機の中にある紙幣と硬貨の枚数を確認した。
１月３１日と２月１日の営業時間内に，両替機の中の硬貨の枚数が不足して両替ができなくなることはなかった。
これについて，次のア～ウの問いに答えよ。

ア　１月３１日の営業時間内に，両替機に投入された \( 500 \) 円玉の枚数は何枚か。

イ　２月１日の営業終了後の両替機の中にあった \( 100 \) 円玉の枚数は何枚か。２月１日の営業時間内に，両替機に投入された \( 1000 \) 円札の枚数を \( x \) 枚，\( 500 \) 円玉の枚数を \( y \) 枚として，\( x \) と \( y \) を使った式で表せ。

ウ　２月１日の営業終了後の両替機の中にあった，\( 500 \) 円玉の枚数は \( 24 \) 枚で，\( 100 \) 円玉の枚数は \( 50 \) 円玉の枚数より \( 15 \) 枚多かった。このとき，２月１日の営業時間内に両替機に投入された \( 1000 \) 円札と \( 500 \) 円玉の枚数はそれぞれ何枚か。２月１日の営業時間内に両替機に投入された \( 1000 \) 円札の枚数を \( x \) 枚，\( 500 \) 円玉の枚数を \( y \) 枚として，\( x，y \) の値を求めよ。\( x，y \) の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。

大問５

（１） \( △ADE \) ∽ \( △AHI \) であることを証明せよ。

（２） \( △DEG≡△BFG \) であることを証明せよ。

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（１） \( -4-5 \) を計算しなさい。

（２） \( a=3，b=2 \) のとき，\( 10a^2b \div 2a \) の値を求めなさい。

（３） 絶対値が \( 4 \) 以下の整数は何個あるか，求めなさい。

（４） \( y \) は \( x \) の２乗に比例し，\( x=-3 \) のとき \( y=36 \) である。\( x \) と \( y \) の関係を式に表しなさい。

（５） ある工場で大量に製造した品物から \( 400 \) 個を無作為に抽出して検査をすると，不良品が \( 3 \) 個あった。この工場で，\( 10000 \) 個の品物を製造したとき，そのうち不良品の個数は，およそ何個と推定されるか，求めなさい。

（６） 内角の和が \( 1440° \) である多角形は何角形か，求めなさい。

（７） 関数 \( y=\dfrac{6}{x} \) について，\( x \) の変域が \( 1≦x≦4 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。

（８） 右の箱ひげ図は，あるクラスの生徒 \( 30 \) 人にそれぞれ \( 10 \) 点満点の国語と数学のテストを実施し，得点の分布を表したものである。この箱ひげ図から読みとれることとして，正しいといえるものはどれか，ア～エから２つ選びなさい。ただし，得点は整数とする。

　　　　 ア　国語と数学の平均点は同じである。
　　　　 イ　数学が \( 5 \) 点以下の生徒は \( 15 \) 人である。
　　　　 ウ　範囲も四分位範囲も，数学より国語の方が大きい。
　　　　 エ　\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，国語より数学の方が多い。

（９） \( \sqrt{90n} \) の値が自然数となるような自然数 \( n \) のうち，２番目に小さいものを求めなさい。

大問２

なつさんは，健康を維持するためには適度な運動が大切であると聞いて，どのくらいの運動をすればよいか調べたところ，身体活動量を数値で表す方法を厚生労働省のウェブサイトで見つけた。なつさんは調べたことをもとに，次の【メモ】と【身体活動の強度表】のようにまとめた。（１）～（３）に答えなさい。

【メモ】
〇 身体活動 ･･･ 安静にしている状態よりも多くのエネルギーを消費する活動のこと。
〇 メッツ ･･･ 身体活動の強度を表す単位。安静時を \( 1 \) メッツとして，身体活動が安静時の何倍の
　　　　　　　エネルギーを消費するかで活動の強度を示している。
〇 エクササイズ ･･･ 身体活動量を表す単位。
○ 身体活動量の求め方
　　
　 （例）テニス（\( 7 \) メッツ）を \( 1 \) 時間行ったときの身体活動量は \( 7 \times 1=7 \)（エクササイズ）
○ \( 3 \) メッツ以上の身体活動を，\( 1 \) 週間で合計 \( 23 \) エクササイズ行うことが推奨されている。

（１） バスケットボールを \( 20 \) 分間行ったときの身体活動量は何エクササイズになるか，求めなさい。

（２） なつさんは，月曜日から日曜日までの \( 7 \) 日間で合計 \( 23 \) エクササイズ行うことを目標にした。
今週の身体活動量を計算してみると，目標まであと \( 5 \) エクササイズ必要であることがわかった。日曜日に卓球となわとびを合計 \( 45 \) 分間して，目標を達成したい。ちょうど \( 5 \) エクササイズになるようにするには，卓球となわとびをそれぞれ何分間行えばよいか，求めなさい。

（３） なつさんの家の近くには，いろいろな運動ができる公園がある。公園の中に大きな池があり，池のまわりを走ることができる。ある日,なつさんは池のまわりを２周した。１周目は早歩きで歩き，２周目はランニングをして，合計 \( 30 \) 分間運動をした。ランニングの速さは，早歩きの速さの \( 1.5 \) 倍であったとすると，\( 30 \) 分間で行った身体活動量は何エクササイズになるか，求めなさい。

大問３

ひなたさんとみずきさんは，家にあるいろいろな時計の表示の仕方に興味をもち，調べることにした。（１）・（２）に答えなさい。

（１） 図１は，ひなたさんの家にあるデジタル時計であり，１８時２４分７秒を示している。このデジタル時計の表示について，２人が話し合っている。次の２人の【話し合いの一部】を読んで，（　ア　）・（　イ　）にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

ひなたさん　デジタル時計の秒の２つの数字に注目して考えてみましょう。図１のように \( 7 \) 秒のときは
　　　　　　０７のように２つの数字で表されて，１４個のＬＥＤのうち９個のＬＥＤが同時に点灯
　　　　　　していますね。
みずきさん　\( 0 \) 秒から \( 59 \) 秒のうち，最も多くのＬＥＤが同時に点灯するのは（　ア　）秒のときで，
　　　　　　１４個のＬＥＤのうち１３個のＬＥＤが同時に点灯します。
ひなたさん　１４個のＬＥＤのうち１０個のＬＥＤが同時に点灯するのは \( 1 \) 分間に何回あるのでしょうか。
　　　　　　例えば１０個のＬＥＤが同時に点灯するような２つの数字の組み合わせには,「０と４」や
　　　　　　「５と５」がありますね。
みずきさん　２つの数字の組み合わせの中には，並び方によっては，デジタル時計の秒として表示されない
　　　　　　ものがありますね。それを除くと，１４個のＬＥＤのうち１０個のＬＥＤが同時に点灯
　　　　　　するのは \( 1 \) 分間に（　イ　）回ありますね。

（ａ） みずきさんは，ある日の午後３時から午後４時の間で，長針と短針のつくる角度が \( 130° \) になる時刻について，【みずきさんの考え方】のように求めた。【みずきさんの考え方】の（　ウ　）にはあてはまる数を，
　エ　 にはあてはまる \( x \) を用いた式を，それぞれ書きなさい。ただし，長針と短針のつくる角とは，長針と短針をそれぞれ線分と考えたときに，２つの線分がつくる角のうち角度が小さい方の角とする。

大問４

（２） \( PQ=10 \) のとき，\( x \) 軸を対称の軸として点 \( Q \) を対称移動した点の座標を求めなさい。

（３） \( a=14 \) のとき，四角形 \( OQBP \) の面積は \( △AQP \) の面積の何倍か，求めなさい。

（４） 直線 \( AQ \) と \( x \) 軸との交点を \( C \) とする。点 \( A \) が線分 \( CQ \) の中点となるとき，直線 \( CP \) の傾きを求めなさい。

大問５

（２） ３点 \( O，A，C \) を通る円の半径を求めなさい。

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（２） \( 3\sqrt{2}+\dfrac{4}{\sqrt{2}} \)

（３） \( \dfrac{x+2y}{2}-\dfrac{x-y}{3} \)

（４） \( -\dfrac{2}{5}a^3b \div \left( -\dfrac{4}{15}ab \right) \)

問２ 次の数量を表す式を書きなさい。ただし，消費税は考えないものとする。

　　　　\( a \) 円のノートを，\( 3 \) 割引きで買ったときの代金

問３　\( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。

問４　連立方程式  \( \left\{ \begin{array}{}
x+y=2 \\
3x+4y=3 \\
\end{array} \right.  \) を解きなさい。

問５　二次方程式 \( x^2-3x-1=0 \) を解きなさい。

問６　次のア～エのうち，\( y \) が \( x \) の一次関数であるものを２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　気温 \( x \; ^\circ C \) のときの降水量 \( y \; mm \)
　　　　イ　分速 \( x \; m \) で \( 7 \) 分間進むときの道のり \( y \; m \)
　　　　ウ　１辺の長さが \( x \; cm \) の正方形の面積 \( y \; cm^2 \)
　　　　エ　\( 300 \; mL \) のジュースを，\( x \; mL \) 飲んだときの残り \( y \; mL \)

問７　２つの関数 \( y=ax^2 \) と \( y=3x+2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの，それぞれの変化の割合が等しくなるような，\( a \) の値を求めなさい。

【操作➀】：点 \( Q \) は２回目に出た目の数だけ反時計回りに正五角形の頂点を１つずつ移動する。
【操作➁】：点 \( Q \) は２回目に出た目の数だけ時計回りに正五角形の頂点を１つずつ移動する。

次の解答は，点 \( P \) と点 \( Q \) が移動したとき，正五角形の同じ頂点にある確率を【操作➀】の場合と【操作➁】の場合について，それぞれ求めたものである。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。
ただし，さいころは６つのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（１） 解答の 　ア　，　イ　 にあてはまる数を，それぞれ求めなさい。

【解説】

　ア　
さいころを２回投げたときの目の出方は次の３６通りになります。

　イ　
正五角形の残りの頂点に右の図のように \( B \)～\( E \) の名前をつけます。
出た目の数とその行き先の組み合わせを樹形図にして書きだすと，差が \( 0 \) または \( 5 \) になる組み合わせは \( 8 \) 通りなので，
その確率は，\( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \) になります。

 \( \phantom{　　} \)

（２） 解答の下線部を参考にして，さいころの目の出方について 　ウ　 に適切な語句を入れなさい。
また，　エ　 にあてはまる数を求めなさい。

大問２

次の図Ⅰは,ある中学校の３年生Ａ組 \( 30 \) 人と，Ｂ組 \( 30 \) 人のハンドボール投げの記録をそれぞれ箱ひげ図にまとめたものである。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

問１　Ａ組の記録の第３四分位数を求めなさい。

【解説】

問２　図Ⅰの箱ひげ図から読み取れることとして必ず正しいといえるものを，次のア～エからひとつ選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　平均値は，Ａ組の方がＢ組より大きい。
　　　　イ　最大値は，Ａ組の方がＢ組より小さい。
　　　　ウ　範囲は，Ａ組の方がＢ組より大きい。
　　　　エ　\( 29 \; m \) 以上投げた生徒の数は，Ａ組の方がＢ組より多い。

問３　Ａ組とＢ組には，運動部に所属する生徒がそれぞれ \( 15 \) 人ずついる。次の図Ⅱは，運動部に所属するＡ組 \( 15 \) 人と，Ｂ組 \( 15 \) 人のハンドボール投げの記録をそれぞれ箱ひげ図にまとめたものである。また，あとの会話は，けいたさんとかりんさんが，図Ⅱの箱ひげ図をもとに話し合ったものである。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。

会話
けいたさん：運動部に所属する各組の生徒 \( 15 \) 人のうち，Ａ組とＢ組のどちらにハンドボールを遠くに
　　　　　　投げる人が多いかな。図Ⅱの箱ひげ図をみても，範囲も四分位範囲も違うからどう比べたらいいのだろう。
かりんさん：何か基準があるといいかも。先生が，この中学校の３年生で運動部に所属する生徒の
　　　　　　ハンドボール投げの記録の平均は，\( 25 \; m \) だとおっしゃっていたよ。
けいたさん：それでは，\( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，Ａ組，Ｂ組のどちらの方が多いのか考えてみよう。
かりんさん：Ａ組は 　ア　 が \( 24 \; m \) だから，Ａ組に \( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，最も多くて
　　　　　　　イ　 人だと考えられるね。
けいたさん：Ｂ組は 　ア　 が \( 26 \; m \) だから，Ｂ組に \( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，少なくとも
　　　　　　　ウ　 人いるよ。
かりんさん：これで判断できるね。\( 25 \; m \) より遠くに投げた人は，　エ　 組の方が多いといえるね。

（１） 会話の 　ア　 にあてはまる語句を答えなさい。
ただし，　ア　 には同じ語句があてはまるものとする。

（２） 会話の 　イ　，　ウ　 にあてはまる数を求めなさい。また，　エ　 にあてはまる組をＡ，Ｂからひとつ選び，記号で答えなさい。

【解説】

大問３

問１　次の会話Ⅰは，まなぶさんが通う学校の授業で先生が数当てマジックを披露したときのものである。
このとき，あとの（１）～（３）に答えなさい。

会話Ⅰ
先　　　生：\( 1 \) から \( 10 \) までの整数で好きな数をひとつ思い浮かべてください。思い浮かべたら，
　　　　　　次に示す手順１～４で計算をして，求めた数を教えてください。

まなぶさん：計算したら \( 10 \) になりました。
先　　　生：わかりました。まなぶさんがはじめに思い浮かべた数は \( 4 \) ですね。
まなぶさん：すごい！正解です。
先　　　生：どうして私が,まなぶさんのはじめに思い浮かべた数を当てることができたか考えてみて
　　　　　　ください。

（１） はじめに思い浮かべた数を \( n \) として，手順１～４で計算して求めた数を \( n \) を用いて式で表しなさい。
ただし，この問いの答えは，必ずしも約分や式を整理する必要はない。

（２） 手順１～４で計算して求めた数が \( 35 \) のとき，はじめに思い浮かべた数を求めなさい。

（３） 手順１～４で計算して求めた数から，はじめに思い浮かべた数を求めるための方法として適切なものを次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　求めた数に \( 10 \) をたし，\( 5 \) でわる。
　　　　 イ　求めた数を \( 5 \) でわり，\( 10 \) をたす。
　　　　 ウ　求めた数を \( 5 \) でわり，\( 2 \) をたす。
　　　　 エ　求めた数を２倍し，\( 5 \) でわる。
　　　　 オ　求めた数から \( 6 \) をひく。

問２　次の会話Ⅱは，授業後にまなぶさんも数を当てる方法を自分で考え，かずこさんに披露したときのものである。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。

会話Ⅱ
まなぶさん：異なる２つの自然数を選び，和と積を教えてください。
かずこさん：和は \( 14 \) で，積は \( 48 \) だよ。
まなぶさん：選んだ数は \( \boxed{　a　} \) と \( \boxed{　b　} \) だね。
かずこさん：正解。\( x^2+14x+48 \) を因数分解するときに考えるよね。じゃあ，もう少し難しそうな
　　　　　　組合せで，和が \( 22 \) で，積が \( 112 \) はどう。これならすぐわからないよね。
まなぶさん：わかるよ。かずこさんが選んだ数は \( 8 \) と \( 14 \) だね。
かずこさん：すごい！どうやって考えたの。
まなぶさん：２つの数の和の半分 \( 11 \) を基準とすれば，選んだ数のどちらかは \( 11 \) より大きく，
　　　　　　他方は \( 11 \) より小さくなるよね。選んだ２つの数は，\( 11+x \) と \( 11-x \) とおけて，
　　　　　　積は \( 112 \) だから \( (11+x)(11-x)=112 \) を解けば，\( x \) の値を求めることができるので，
　　　　　　選んだ２つの数がわかるよ。

（１） 会話Ⅱの \( \boxed{　a　} \) と \( \boxed{　b　} \) にあてはまる数を，それぞれ求めなさい。

（２） かずこさんは，会話Ⅱの下線部のまなぶさんの考えをもとに，次のような方法を考えた。
次のかずこさんの考えの \( \boxed{　c　} \) と \( \boxed{　d　} \) にあてはまるものとして，最も適切なものを，あとのア～カからそれぞれひとつ選び,記号で答えなさい。

　　ア　\( A \) 　　　イ　\( B \) 　　　ウ　\( \dfrac{A}{2} \) 　　　エ　\( \dfrac{B}{2} \) 　　　オ　\( \left( \dfrac{A}{2} \right)^2 \) 　　カ　\( \left( \dfrac{B}{2} \right)^2 \)

問３　和が \( 90 \)，積が \( 1961 \) となる２つの自然数を求めなさい。

大問４

問１　点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

問２　\( a \) の値を求めなさい。

問３　\( △AEB≡△AFD \) であることを，次のように証明した。
このとき，あとの（１），（２）に答えなさい。

証明
\( △AEB \) と \( △AFD \) で，
正方形 \( ABCD \) の一辺の長さなので，
　\( AB=AD \) ･･･ ➀
仮定より，\( AE，DF \) は \( y \) 軸に平行で，\( EB，AF \) は \( x \) 軸に平行なので,
　\( \boxed{　a　} \; = \; \boxed{　b　} \; =90° \) ･･･ ➁
同様に，\( ∠FAE=90° \) ･･･ ➂
また，正方形 \( ABCD \) の１つの内角なので，
　\( ∠BAD=90° \) ･･･ ➃
➂，➃から，\( ∠FAE=∠BAD \)
ここで， \( ∠BAE=∠FAE- \; \boxed{　c　} \)
　\( ∠DAF=∠BAD- \; \boxed{　d　} \)
よって， \( ∠BAE=∠DAF \) ･･･ ➄
➀，➁，➄から，\( \boxed{　e　} \) がそれぞれ等しいので,
　\( △AEB≡△AFD \)

（１） 証明の \( \boxed{　a　} \) ～ \( \boxed{　d　} \) にあてはまる最も適切なものを，次のア～カから選び，それぞれ記号で答えなさい。
なお，同じ記号を何度使用してもよい。

　　　　 ア　\( ∠AFD \) 　　イ　\( ∠DAE \) 　　ウ　\( ∠FAB \)
　　　　 エ　\( ∠BAE \) 　　オ　\( ∠AEB \) 　　カ　\( ∠ABC \)

（２） 証明の \( \boxed{　c　} \) にあてはまる最も適切な語句を入れて，証明を完成させなさい。

問４　２点 \( A，D \) を通る直線の式を求めなさい。

問５　\( △ADB=△ADP \) となるように \( x \) 軸上に点 \( P(t，0) \) をとる。このとき，\( t \) の値を求めなさい。
ただし，\( t>0 \) とする。

大問５

次の会話は，つむぎさんが身の回りにある図形について，先生と話し合ったものである。
このとき，あとの各問いに答えなさい。

会話
先　　　生：下の図Ⅰのように図形を２本の平行線ではさみ込んだとき，これら２本の平行線の間隔の
　　　　　　ことを「さしわたし幅」といいます。

つむぎさん：ノギスという工具があれば，いろいろな図形の「さしわたし幅」を測ることができますね。
先　　　生：そうですね。例えば，円は「さしわたし幅」が一定の図形になります。正三角形はどう
　　　　　　でしょうか。
つむぎさん：正三角形は,「さしわたし幅」が最大になるときと最小になるときで幅が異なるので，
　　　　　　「さしわたし幅」が一定ではないことがわかります。
先　　　生：そうですね。この「さしわたし幅」が一定である性質を利用して，お掃除ロボットや硬貨が
　　　　　　作られています。「さしわたし幅」が一定である円以外の図形では,「ルーローの三角形」が
　　　　　　よく知られています。

問１　次の図Ⅱは，正三角形のさしわたし幅が最大になるときと，最小になるときを表している。正三角形の１辺の長さを \( 6 \; cm \) として，さしわたし幅が最小になるときのさしわたし幅を求めなさい。

問２　次の図Ⅲは，手順➀～➂にしたがって，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角形 \( ABC \) から「ルーローの三角形」を作ったものである。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 図Ⅲの手順➀によってできた色の付いた部分の図形は，おうぎ形となる。
このとき，おうぎ形の面積を求めなさい。

（２） 図Ⅲの手順➀～➂で完成した「ルーローの三角形」の面積を求めなさい。

問３　次の図Ⅳは，正七角形をもとにして作られた「ルーローの七角形」(頂点 \( A \) を中心に，対角線 \( AD \) の長さを半径とする弧 \( DE \) をかき，他の頂点についても同様に作図する)である。さしわたし幅が \( h \; cm \) であるとき，この「ルーローの七角形」の周の長さを求めなさい。

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問１　\( 5+3 \times (-2) \) を計算しなさい。

問２　\( 8a \times 3b^2 \div 12ab \) を計算しなさい。

問３　連立方程式  \( \left\{ \begin{array}{}
x-4y=1 \\
2x-5y=8 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

問４　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=4 \) のとき \( y=2 \) である。比例定数を求めなさい。

問５　\( △ABC \) と \( △DEF \) において，\( AB=DE \) である。このとき，条件として加えても \( △ABC≡△DEF \) がいつも成り立つとは限らないものを，ア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　\( BC=EF，AC=DF \)
　　　イ　\( BC=EF，∠C=∠F \)
　　　ウ　\( BC=EF，∠B=∠E \)
　　　エ　\( ∠A=∠D，∠B=∠E \)

２　点 \( P \) を含む \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の長さは何 \( cm \) か，求めなさい。

問７　図２は，縦横同じ \( n \) 個のマス目が左右に印刷された，作文を書くための用紙である。次の１，２に答えなさい。ただし，マス目は用紙のおもて面だけに印刷され，マス目１つに１字書くとする(句読点，記号も１字として考える)。

１　\( n=20 \) のとき，用紙１枚に最大何字まで書くことができるか，求めなさい。

２　１枚に \( 1000 \) 字書くことが可能な用紙のうち，最も小さい \( n \) の値を求めなさい。

問８　アルミ缶とスチール缶の空き缶を合わせて \( 2000 \) 個回収した。回収した空き缶の中から \( 100 \) 個を無作為に抽出したところ，スチール缶が \( 40 \) 個含まれていた。回収したアルミ缶の個数はおよそ何個と推定されるか。ア～エから最も適当なものを１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　\( 800 \) 個 　　　イ　\( 1000 \) 個 　　　ウ　\( 1200 \) 個 　　　エ　\( 1400 \) 個

大問２

問１　袋の中に１～９の整数が１つずつ書かれた９個の玉がある。この袋から玉を１個取り出すとき，次の１，２に答えなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいとする。

１　取り出した玉に書かれた数が素数である確率を求めなさい。

２　取り出した玉に書かれた数を \( x^2+ax-6=0 \) の \( a \) に代入して二次方程式をつくるとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 玉に書かれた数が５のとき，二次方程式の解を求めなさい。

（２） 二次方程式の解が整数となる確率を求めなさい。

問２　太郎さんと先生が整数の性質について話している。次の１，２に答えなさい。ただし，　ア　 にはすべて同じ数が入る。

１　次の会話文１を読んで，後の（１），（２）に答えなさい。

会話文１
先生：連続する整数にはいろいろな性質があります。どんなものがありましたか。
太郎：(自分のノートを見返す)
はい。「連続する３つの整数の和は 　ア　 の倍数になる」ことを確かめたときのノートが残っていました。

（１） 　ア　 にあてはまる数を答えなさい。

（２） 連続する３つの整数の和が \( 2025 \) のとき，連続する３つの整数を求めなさい。

２　次の会話文２を読んで，後の（１），（２）に答えなさい。

（１） 表中の 　イ　 にあてはまる数を答えなさい。

（２） 　ウ　 に証明の続きを書き入れ，証明を完成しなさい。ただし，　ウ　 にあてはまる部分のみ書くこと。

大問３

問１　町役場では，よりよい交通サービスを提供するため，ある路線のバスの利用状況を調査した。図１は平日  \( 20 \) 日間分の各時間帯におけるバス利用者数のデータを箱ひげ図に表したものである。後の１～３に答えなさい。

１　図１の箱ひげ図のうち，範囲が最も小さい時間帯はどれか。ア～オから１つ選び，記号で答えなさい。

　　ア　\( 7～9 \) 時 　　イ　\( 9～11 \) 時 　　ウ　\( 11～13 \) 時 　　エ　\( 13～15 \) 時 　　オ　\( 15～17 \) 時

２　\( 9～11 \) 時の時間帯について，利用者数が \( 70 \) 人以上の日は何日あったと考えられるか。考えられる最も少ない日数を求めなさい。

３　図１から，町役場の田中さんは，混雑することが多いと予想される \( 11～13 \) 時の時間帯にバスを増便する提案をした。田中さんの発言の 　①　，　➁　 にあてはまる適切な言葉をそれぞれ答えなさい。

問２　町役場では，駅 \( A \) から観光地 \( B \) までの \( 3600 \; m  \) のまっすぐな路線に，自動運転の車 \( P，Q \) の運行計画を立てることにした。車 \( P，Q \) は次のルールで走行し，同じ路線を走るとする。車 \( P \) が最初に駅 \( A \) を出発してから経過した時間を \( x \) 分, 車 \( P，Q \) から駅 \( A \) までの距離を \( y \; m \) として，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表すと図２のようになった。後の１～３に答えなさい。

１　車 \( P \) について, 次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 車 \( P \) の走行中の速さは分速何 \( m \) か，求めなさい。

（２） 車 \( P \) が２回目に駅 \( A \) を出発するときの，\( x \) の値を求めなさい。

２　車 \( Q \) が駅 \( A \) から観光地 \( B \) に向かうとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。ただし，変域は求めなくてよい。

３　車 \( P \) と車 \( Q \) が１回目にすれ違うときの，\( y \) の値を求めなさい。

大問４

問１　図１の５合升の内側は，底面の１辺の長さが \( 10 \; cm  \) である。内側の高さは何 \( cm \) か，求めなさい。

１　升を傾け水をこぼしていったところ，升に残った水の体積がちょうど半分になった。升内の水面はどの頂点を通っていると考えられるか，ア〜ウから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　頂点 \( A，B，C，D \) 　　イ　頂点 \( A，C，G，E \) 　　ウ　頂点 \( A，D，G，F \)

２　頂点 \( C \) から水をこぼしながら水面が頂点 \( C，H，F \) を通るまで升を傾けたとき，残った水の体積は何 \( cm^3 \) か求めなさい。

１　内側の高さが最も高いのはどの升か，ア〜ウから１つ選び，記号で答えなさい。

　　ア　升１ 　　イ　升２ 　　ウ　升３

２　升３の内側の高さが \( 4 \; cm  \) のとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 点 \( S \) の \( x \) 座標を求めなさい。

（２） \( PQ：QR：RS=2：2：1 \) のとき，升２の内側の高さは何 \( cm \) か，求めなさい。

大問５

問１　次の１，２に答えなさい。

１　線分 \( AD \) の長さを求めなさい。

２　\( △ABC \) の面積を求めなさい。

２　３点 \( A，B，E \) を通る円の中心を \( O \) とする。次の（１）～（３）に答えなさい。

（２） 線分 \( OF \) の長さを求めなさい。

（３） \( △EOF \) の面積を求めなさい。

大問Ａ

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（１） 次の①～④を計算しなさい。

①　\( -5+6+(-2) \)

➁　\( 8-12 \div (-2)^2 \)

➂　\( 8a \div (-4b^2) \times 3ab^2 \)

④　\( \dfrac{4}{\sqrt{2}}+\sqrt{10} \times \sqrt{5} \)

（２） １個 \( a \; kg \) の荷物 \( 6 \) 個と，１個 \( b \; kg \) の荷物 \( 3 \) 個を合わせた荷物全体の重さは \( 45 \; kg \) であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。

（３） ２次方程式 \( x^2+8x+15=0 \) を解きなさい。

（４） 関数 \( y=-2x+6 \) のグラフについて述べた文として正しいものを，次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

　　　　ア　\( x \) の値が増加すると，\( y \) の値は減少する。
　　　　イ　点 \( (-2，6) \) を通る直線である。
　　　　ウ　グラフの傾きは \( 6 \) である。
　　　　エ　方程式 \( 2x+y-6=0 \) のグラフと一致する。

（６） ある工場で同じ製品を \( 32000 \) 個作った。この製品のうち，\( 10 \% \) にあたる製品を無作為に抽出して調べたところ，その中に \( 8 \) 個の不良品が見つかった。この工場で作られた \( 32000 \) 個の製品の中に含まれる不良品は，およそ何個あると考えられるか，求めなさい。

大問２

図書委員のりなさんは，中学３年生の１週間の読書時間を調べるために，３年生全体の生徒 \( 50 \) 人に対して，アンケートをとった。このうち，自分の学級の生徒 \( 25 \) 人の結果を，次の【記録】のように，読書時間が短い順に並べかえた後，相対度数を含めた【度数分布表Ａ】に整理しようとしている。このとき，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。

（１） 【度数分布表Ａ】の①・②に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

　　 ア　りなさんの学級は，３年生全体と比べて，読書時間が \( 150 \) 分未満の生徒数の割合が大きい。
　　 イ　りなさんの学級は，３年生全体と比べて, 読書時間が \( 150 \) 分未満の生徒数の割合が小さい。

大問３

（２） 三角形 \( AOC \) と三角形 \( COB \) の面積の比が \( 1：2 \) であるとき，２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

大問４

あさひさんは，次の【ルール】にしたがって数を並べたとき，並べた数にはどんなきまりがあるかを考えた。このことについて，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。

【ルール】
図１のように，６つの○が並べられている。最初に，図１の１段目の３つの○の中に，連続する整数を左から小さい順に書く。次に，２段目の２つの○の中に，１段目の隣り合う整数の和をそれぞれ書く。最後に，３段目の○の中に，２段目の整数の和を書く。図２は１段目の左端の○の中に「\( 2 \)」を書いた場合の例である。

（１） １段目の左端の○の中に「\( 5 \)」を書いたとき，○の中に書いた６つの整数の和を求めなさい。

（２） あさひさんは，１段目の○の中に書く整数を変えながら，２段目，３段目の○の中に入る整数を書き入れていった。○の中の整数を見て，あさひさんは，３段目の整数は，１段目の真ん中の整数の４倍になるのではないかと予想し，n を用いた文字式を使って説明してみようと考えた。次の【あさひさんのノート】は，あさひさんの予想がいつでも成り立つことを，文字を使って正しく説明したノートの一部である。このとき，下の①・②の問いに答えなさい。

➀　　ア　 ～ 　オ　 に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

➁　３段目の整数が \( 620 \) であるとき，１段目の左端の整数を求めなさい。

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（１） 次の①～④を計算しなさい。

➀　\( 1-(-3)-9 \)

➁　\( \dfrac{2x+y}{3}-\dfrac{x-3y}{4} \)

➂　\( 2a^2b \times (-3b)^2 \div \dfrac{9}{2}a^2 \)

➃　\( \sqrt{15}+\sqrt{12} \div \sqrt{5} \)

（２） 比例式 \( (x-6)：x=4：7 \) について，\( x \) の値を求めなさい。

（３） ある生徒の３教科のテストの点数は，それぞれ \( a \) 点，\( b \) 点，\( 90 \) 点であり，その平均点は \( 72 \) 点であった。このとき，\( b \) を \( a \) の式で表しなさい。

（４） ２次方程式 \( x^2-4x+3=0 \) の２つの解の和が，\( x \) についての２次方程式 \( x^2+ax-4=0 \) の解の１つになっているとき，\( a \) の値を求めなさい。

（５） \( y \) が \( x \) に反比例するものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

　　　ア　定価 \( x \) 円のノートを定価の \( 30\% \) 引きで買ったとき，代金は \( y \) 円である。
　　　イ　\( 12 \; km \) の道のりを時速 \( x \; km \) で進んだとき，かかった時間は \( y \) 時間である。
　　　ウ　\( x \; mL \) のジュースを４人で均等に分けたとき，１人分のジュースの量は \( y \; mL \) である。
　　　エ　面積が \( 15 \; cm^2 \) の三角形の底辺を \( x \; cm \) としたとき，高さは \( y \; cm \) である。

（６） ３辺の長さが \( \sqrt{10} \; cm，2\sqrt{7} \; cm，3\sqrt{2} \; cm \) である三角形は直角三角形であることを，言葉と式を使って説明しなさい。

（７） １から６までの目が出る２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げるとき，さいころＡの出た目の数を \( a \)，さいころＢの出た目の数を \( b \) とする。このとき，\( \dfrac{36}{a+b} \) が整数となる確率を求めなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。

大問２

（１） 通学時間が \( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級までの累積度数を求めなさい。

（２） 【図】からわかることとして適切なものはどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書きなさい。

　　　ア　通学時間が平均値以上の生徒は，８人未満である。

　　　イ　通学時間の範囲は，\( 20 \) 分である。

　　　ウ　通学時間が \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の階級の相対度数は，\( 0.25 \) である。

　　　エ　通学時間の第１四分位数は，度数が最も大きい階級に含まれている。

（３） ３年２組の生徒２０人についても通学時間を調査し，結果をヒストグラムに表すと，下のア～エのいずれかになった。１組と２組のヒストグラムを比較すると，次の①～③のことがわかった。このとき，３年２組のヒストグラムとして適切なものを，下のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

　　　①　度数が最も多い階級は，１組と２組で異なる。
　　　➁　階級値が \( 32.5 \) 分である階級の度数は，１組よりも２組が少ない。
　　　③　通学時間の中央値は１組よりも２組が小さい。

大問３

のぞみさんは，昨日の数学の授業で学習した内容について，先生と話をしている。次の【会話】は，のぞみさんと先生の会話である。また，下の【のぞみさんのノート】は，のぞみさんが文字を使って正しく説明したノートの一部である。このとき（１）・（２）の問いに答えなさい。

【会話】

　先　生：昨日の授業で，２けたの自然数と，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数の和は，
　　　　　必ず \( 11 \) の倍数になることを，文字を使って学習しました。例えば，\( 12 \) と \( 21 \)，\( 73 \) と \( 37 \) の
　　　　　和を考えると，それぞれ \( 33，110 \) となって \( 11 \) の倍数になりますね。実は，\( 12 \) と \( 21 \) を
　　　　　つないだ \( 1221 \)，\( 73 \) と \( 37 \) をつないだ \( 7337 \) のような，千の位の数と一の位の数が等しく，
　　　　　百の位の数と十の位の数が等しい４けたの自然数も \( 11 \) の倍数になります。
　のぞみ：えっ，本当ですか。\( 1221 \) と \( 7337 \) が \( 11 \) の倍数かどうか，実際に計算して確かめてみます。
　　　　　\( 1221 \) を \( 11 \) でわると \( 111，7337 \) を \( 11 \) でわると \( 667 \) になります。\( 11 \) でわり切れると
　　　　　いうことは，\( 1221 \) も \( 7337 \) も確かに \( 11 \) の倍数ですね。これが必ず成り立つことを，
　　　　　昨日学習したように，文字を使って説明してみます。

【のぞみさんのノート】

（１） 　ア　 ～ 　エ　 に当てはまる数と，　オ　 に当てはまる文字式を，それぞれ書きなさい。

（２） ２けたの自然数には，その数から，その数の十の位の数と一の位の数を入れかえた数をひくと \( 36 \) になるものがいくつかあるが，このような２けたの自然数のうち，最も大きな自然数は \( 95 \) である。このことを，もとの自然数の十の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) として，文字を使って説明しなさい。

大問４

ある道の駅で，自転車の貸し出しを行っている。次の表は，自転車の貸し出しの料金表である。この道の駅では，借りる日の前日までに予約をすると，自転車１台につき基本料金を \( 100 \) 円値引きしている。このとき，下の（１）・（２）の問いに答えなさい。

（１） 普通自転車 \( a \) 台と子供用自転車 \( b \) 台を２時間半，予約をせずに当日借りたところ，料金の合計は \( 5000 \) 円以下であった。この数量の関係を不等式で表しなさい。

（２） サイクリングに行く計画を立て，サイクリングの前日までに普通自転車４台，子供用自転車６台の合計１０ 台の自転車を予約した。当日になって，新たに普通自転車と子供用自転車をそれぞれ何台か借り，合計１６台でサイクリングをした。１０時から１５時まで自転車を借りたときの，料金の合計が \( 10000 \) 円だったとき，当日新たに借りた普通自転車と子供用自転車の台数をそれぞれ求めなさい。

大問５

（１） 点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 2 \) であり，点 \( B \) と点 \( C \) の \( y \) 座標が等しいとき，次の①，②の問いに答えなさい。

① \( a \) の値を求めなさい。

② 四角形 \( OCAB \) の面積を求めなさい。

（２） 点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 4 \) とする。点 \( A \) と点 \( B \)，点 \( B \) と点 \( C \)，点 \( C \) と点 \( D \)，点 \( D \) と点 \( A \) をそれぞれ結ぶと，平行四辺形になった。このとき，\( a \) の値を求めなさい。

大問６

（１） \( △BGD \) ∽ \( △FGH \) を証明しなさい。

（２） 正三角形 \( ABC \) の１辺の長さを \( 16 \; cm \) とし，三角形 \( BGD \) の３辺の長さを，\( BG=8 \; cm，GD=7 \; cm，DB=5 \; cm \) とする。このとき，線分 \( CE \) の長さを求めなさい。

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（１） \( (-2)+6 \) を計算しなさい。

（２） \( 5a+1-(2-3a) \) を計算しなさい。

（３） \( \dfrac{2}{5}a \times \left( -\dfrac{10}{9}b \right) \) を計算しなさい。

（４） \( (8x^2-6xy) \div 2x \) を計算しなさい。

（５） \( (\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3) \) を計算しなさい。

大問２

（１） \( x^2-5x-24 \) を因数分解しなさい。

（３） 次の図は，ある年における，総人口がともに１３０万人である自治体Ａと自治体Ｂの年齢別人口のデータを，箱ひげ図に表したものである。

この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　自治体Ａの平均年齢は３０歳である。
　　　イ　四分位範囲は，自治体Ｂより自治体Ａの方が大きい。
　　　ウ　５０歳以下の人口は，自治体Ｂより自治体Ａの方が多い。
　　　エ　自治体Ａの６０歳以上の人口は,自治体Ｂの８０歳以上の人口の２倍である。

【解説】

【正しい理由】
箱ひげ図のひげの部分と２つに分けられた箱のそれぞれの部分には，
全体の約２５％にあたる個数のデータが含まれています。
自治体Ａ ･･･ 第三四分位数が約４９歳なので，５０歳以下の人口は，
　　　　　　 \( 130 \) 万 \( \times 0.75=97 \) 万 \( 5 \) 千人以上いるとわかります。
自治体Ｂ ･･･ 中央値が５０歳なので，５０歳以下の人口は，６５万人未満とわかります。
　　　　　　 よって，５０歳以下の人口は，自治体Ｂより自治体Ａの方が多くなっています。

【正しくない理由】

ア ･･･ 箱ひげ図から，自治体Ａの中央値が３０歳であることがわかりますが，
　　　 中央値と平均値は等しくなるとは限りません。

イ ･･･ 四分位範囲は 第三四分位数 \( – \) 第一四分位数 で求められます。
　　　　 自治体Ａのおよその四分位範囲は \( 49-21=28 \)（歳）
　　　　 自治体Ｂのおよその四分位範囲は \( 63-25=38 \)（歳）
　　　 自治体Ｂの方が自治体Ａより大きくなっています。

エ ･･･ 箱ひげ図のひげの部分には全体の約２５％にあたる個数のデータが含まれるので，
　　　 自治体Ａの６０歳以上の人口と自治体Ｂの８０歳以上の人口は，
　　　 どちらも３２万５千人未満であると考えられますが，
　　　 その約３２万５千人の内訳は，箱ひげ図からだけでは判断できません。
　　　 （自治体Ａの場合，５０歳以上６０歳未満の人が約３２万人いるかもしれないし，
　　　 ９０歳以上１００歳未満の人が約３２万人いるかもしれない）
　　　 つまり，この箱ひげ図からだけでは，自治体Ａの６０歳以上の人口と自治体Ｂの８０歳以上の人口
　　　 を比較することはできません。

大問３

関数 \( y=\dfrac{a}{x} \) が表す双曲線 ①について, 次の（１），（２）に答えなさい。

大問４

全校生徒数が \( 871 \) 人の中学校で，保健委員会が学校新聞の記事を作成している。保健委員会は，生徒のインターネットの利用実態を調査するために，【アンケート】を実施することにした。次の【アンケート】は，保健委員会が作成したものの一部である。このとき,下の（１），（２）に答えなさい。

（１） 全校生徒 \( 871 \) 人から \( 120 \) 人を無作為に抽出して，この【アンケート】を実施したところ，全員が回答し，\( Q \, 1 \) で「イ １時間以上，２時間未満」と回答した生徒は \( 48 \) 人であった。
この結果から考えると，先週１週間における，１日あたりのインターネット平均利用時間が「１時間以上，２時間未満」である生徒は，全校生徒 \( 871 \) 人のうち，およそ何人と推定されるか。小数第１位を四捨五入した概数で答えなさい。

（２） 保健委員会のＡさん，Ｂさん，Ｃさんは【アンケート】の回答を集計したグラフと，集計結果を分析した文章を学校新聞の記事に載せるために，グラフ作成の担当者１人と文章作成の担当者２人を以下の【方法】で決めることにした。

【方法】
【手順】
１枚の硬貨を，Ａさん，Ｂさん，Ｃさんが順番に１回ずつ投げる。

【担当決定のルール】
３人が１回ずつ投げた硬貨の表裏の出かたのうち
・ １人が表，２人が裏の場合　→　表が出た人がグラフ担当，裏が出た人が文章担当
・ １人が裏，２人が表の場合　→　裏が出た人がグラフ担当，表が出た人が文章担当
・ 全員が表の場合　　　　　　→　Ｃさんがグラフ担当, ＡさんとＢさんが文章担当
・ 全員が裏の場合　　　　　　→　Ｂさんがグラフ担当, ＡさんとＣさんが文章担当

上の【方法】で担当を決めるとき，ＡさんとＣさんのどちらがグラフ担当になりやすいか。確率を求めるまでの過程を明らかにして説明しなさい。

大問５

Ｓさんは花植えボランティアに参加した。次の（１），（２）に答えなさい。

（１） Ｓさんは長方形の花だんから正方形の花だんへの花の植え替えを手伝った。長方形の花だんは，横の長さが縦の長さの４倍であり，周の長さは \( 30 \; m \) であった。長方形の花だんの面積が正方形の花だんの面積と同じとき，正方形の花だんの１辺の長さを求めなさい。

（２） 次に，Ｓさんは三角形の花だんの花植え作業を手伝った。三角形の花だんの花植え作業は，三角形の花だんを \( △ABC \) とし，【手順１】から【手順４】により行う。図１から図３は【手順１】から【手順４】の様子を図にしたものである。

【手順１】　辺 \( AB \) と辺 \( AC \) を \( 15 \) 等分する点をそれぞれとり，辺 \( BC \) に平行になるように \( 15 \) 等分
　　　　　 した点をそれぞれ結ぶ。図１のように区分けされた場所を，頂点 \( A \) から辺 \( BC \) に向かって
　　　　　 \( 1 \) 段目，\( 2 \) 段目，･･･，\( 15 \) 段目とする。

【手順２】　辺 \( BC \) を \( 15 \) 等分する点をとり，辺 \( AB \) と平行になるように辺 \( AC \) を \( 15 \) 等分した点と
　　　　　 それぞれ結ぶ。辺 \( BC \) を \( 15 \) 等分した点と辺 \( AB \) を \( 15 \) 等分した点を辺 \( AC \) と平行と
　　　　　 なるようにそれぞれ結び， \( △ABC \) を図２のように三角形の区画に分割する。

【手順３】　図３のように，分割した三角形の区画すべてに，以下の規則で \( 1 \) から順に自然数の番号を
　　　　　 付ける。
　　　　　 ①　\( 1 \) 段目を \( 1 \) とする。
　　　　　 ②　\( 2 \) 段目の左端を \( 2 \) とし，左から順に番号を付ける。
　　　　　 ③　\( 3 \) 段目以降の段は，その段の1つ上の段の右端の番号に \( 1 \) を足したものを，その段の
　　　　　　　 左端の番号とし，左から順に番号を付けていく。
　　　　　 ④　③の操作を \( 3 \) 段目から順に \( 15 \) 段目までおこなっていく。

【手順４】　図３のように，各区画に植える花の鉢には \( 1 \) から順に自然数の番号が付いており，番号を
　　　　　 付けた区画に同じ番号の鉢の花を植える。

Ｓさんは，\( 10 \) 段目のすべての区画に花を植えることになった。
このとき，次の文の 　ア　，　イ　 にあてはまる数を求めなさい。

　　Ｓさんは 　ア　 番から 　イ　 番までの鉢の花を植える。

大問６

直角三角形について，次の（１）～（３）に答えなさい。

（２） 図２において，\( △ABC \) は \( AB=AC \) の直角二等辺三角形であり，点 \( A \) を通り，辺 \( BC \) に平行でない直線を ℓ とする。また，点 \( B，C \) から直線 ℓ にひいた垂線をそれぞれ \( BD，CE \) とする。このとき，\( △ABD≡△CAE \) であることを証明しなさい。

（３） （２）の図２において，\( AB=3√5 \; cm，CE=6 \; cm \) のとき，\( DE \) の長さを求めなさい。

大問７

関数 \( y=x^2 \) と点 \( A(1，1) \) について，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 図１において，関数 \( y=x^2 \) のグラフと直線 ℓ との交点が点 \( A \) と点 \( B \) である。点 \( B \) の \( x \) 座標が \( -2 \) であるとき，直線 ℓ の式を求めなさい。

（２） 図２において，関数 \( y=x^2 \) のグラフと直線 \( m \) は２点 \( A，C \) で交わっている。直線 \( m \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \) で，点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -\dfrac{1}{2} \) である。直線 \( m \) と \( x \) 軸の交点を \( E \) とおき，線分 \( AC \) 上に点 \( P \) をとる。点 \( P，A \) から \( x \) 軸にひいた垂線をそれぞれ \( PM，AN \) とし，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とする。
\( △EAN \) の面積が \( △EPM \) の面積の２倍となるとき，\( t \) の値を求めなさい。

大問８

図形の計量について, 次の（１），（２）に答えなさい。ただし, 円周率は \( \pi{} \) とする。

（１） 図１のようなグラスの上の部分は，図２のように円すい型の容器とみなすことができる。ここに，\( 15 \; mL \) の水を入れたところ，この容器の高さのちょうど半分のところまで水が入った。このグラスの容積を求めなさい。

（２） グラスが置いてあるコースターに図３のような模様がかかれていた。図３の模様をもとに図４の図形を考える。円 \( O \) は正三角形 \( ABC \) の３辺に接しており，\( △ABC \) の内部には円 \( O \) 以外の３つの円があり，これらの３つの円はすべて円 \( O \) と \( △ABC \) の２辺に接している。円 \( O \) と辺 \( BC \) の接点を \( H \) とし，\( △ABC \) の内部にある大小４つの円の面積の和が \( 8\pi{} \; cm^2 \) に等しいとき，\( OH \) の長さを求めなさい。

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１ \( (-2) \times 5 \)

２　\( \dfrac{3}{4}-(-\dfrac{1}{5}) \)

３　\( 20a^2b \div (-2a) \div (-b) \)

４　\( (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})-\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} \)

５　\( (x+1)^2+(x-2)(x+3) \)

大問２

１　二次方程式 \( (x-2)^2=5 \) を解け。

２　次のア～エのうち，\( y \) が \( x \) に反比例するものを１つ選び，その記号を書け。

　ア　長さ \( 100 \; cm \) のひもを，\( x \; cm \) 使ったときの残りの長さ \( y \; cm \)
　イ　面積 \( 20 \; cm^2 \)，縦の長さ \( x \; cm \) の長方形の横の長さ \( y \; cm \)
　ウ　半径 \( x \; cm \) の円の面積 \( y \; cm^2 \)
　エ　１個 \( 250 \) 円のお菓子を，\( x \) 個買ったときの代金 \( y \) 円

３　\( \sqrt{60}<n \) となる自然数 \( n \) のうち，最も小さいものを求めよ。

５　大小２つのさいころを同時に投げ, 大きい方のさいころの出る目の数を \( a \)，小さい方のさいころの出る目の数を \( b \) とする。このとき，\( \dfrac{a}{b} \) の値が \( 1< \dfrac{a}{b} <2 \) になる確率を求めよ。ただし，さいころは，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

６　下の図のように，２点 \( A，B \) と直線 ℓ がある。２点 \( A，B \) から等しい距離にある直線 ℓ 上の点 \( P \) を，解答欄に作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

７　ある中学校では，毎年３月に，入学式の案内を，送付先に応じて，はがきか手紙のいずれかの方法で送付している。今年の３月も，昨年と同じ送付先に，昨年と同じ方法で送付しようとしたところ，昨年１０月から，下の資料のように１通当たりの郵便料金が変更されたため，郵便料金の総額が，昨年送付するのにかかった郵便料金の総額と比べて，\( 4880 \) 円の増加になることが分かった。そこで，全てはがきによる送付に変えたところ，増加を \( 1880 \) 円に抑えることができた。 昨年送付したはがきと手紙は，それぞれ何通か求めよ。ただし，用いる文字が何を表すかを最初に書いてから連立方程式をつくり，答えを求める過程も書くこと。

大問３

（２） ８月の日ごとの最高気温について，図１から読み取れることとして正しいものを，次のア～エから１つ選び，その記号を書け。

　　ア　２０２３年には，最高気温が \( 33.0\;^\circ C \) であった日がある。
　　イ　最高気温が \( 31.0\;^\circ C \) 以下であった日の数は，２０２４年より２０２３年の方が多い。
　　ウ　２０２２年，２０２３年，２０２４年のうち，四分位範囲が最も大きいのは，２０２２年である。
　　エ　２０２２年，２０２３年，２０２４年のいずれの年にも，最高気温が \( 36.0\;^\circ C \) 以上であった日がある。

（３） 図１の３つの箱ひげ図を比較すると，「８月の日ごとの最高気温は，２０２２年から２０２４年にかけて，高くなる傾向にある」と主張することができる。そのように主張することができる理由を，「第１四分位数」「第３四分位数」の２つの言葉を用いて，解答欄の書き出しに続けて簡単に書け。

２ 下の表と図２は，ある都市の，２０２４年における，８月１日～９月２日の日ごとの最高気温のデータを，８月１日～８月３１日，８月２日～９月１日，８月３日～９月２日の期間別に，まとめたものと箱ひげ図に表したものである。８月１日，８月２日，９月１日，９月２日の最高気温が，全て異なり，次のア～オのいずれかであることが分かっているとき，９月１日，９月２日の最高気温として適当なものを，ア～オからそれぞれ１つずつ選び，その記号を書け。

　　ア　\( 32.6 \) 　　　　イ　\( 35.2 \) 　　　　ウ　\( 35.5 \) 　　　　エ　\( 36.2 \) 　　　　オ　\( 36.9 \)

【解説】

３つの箱ひげ図に含まれるデータにどのような違いがあるかを考えると，
「８月２日～９月１日」の箱ひげ図に含まれるデータは，
「８月１日～８月３１日」の箱ひげ図に含まれるデータから
８月１日のデータを削除し，９月１日のデータを追加したものになっています。
「８月３日～９月２日」の箱ひげ図に含まれるデータは，
「８月２日～９月１日」の箱ひげ図に含まれるデータから
８月２日のデータを削除し，９月２日のデータを追加したものになっています。

【オ　\( 36.9 \;^\circ C \) にあたるのは何日？】
表から，最大値に注目すると，オ　\( 36.9 \;^\circ C \) の日は，８月１日～８月３１日と８月２日～９月１日の期間には含まれているが，８月３日～９月２日の期間には含まれていない日であるとわかります。
これは８月２日なので，オ　\( 36.9 \;^\circ C \) は，８月２日の最高気温になります。

データを削除・追加した場合の並び順の変化について例を使って考えてみる

他の日の最高気温を見つけるにあたり，箱ひげ図に含まれるデータからあるデータを削除し，
別のデータを追加した場合に中に含まれるデータの並び順がどのように変わるかを
例を使って考えてみます。
ある箱ひげ図に含まれる１５個のデータを小さい方から順に並べ，
Ａ～Ｏの名前をつけて考えることにします。

●　Ｆ を削除し，ＪとＫの間にＺを追加すると･･･
削除したところより小さい値（\( n=1 \) から \( n=5 \)），
追加したところより小さい値（\( n=11 \) から \( n=15 \)）
については値は変わりません。
削除したところから追加したところまでの間の値（\( n=6 \) から \( n=9 \)）
についてはもとの値より大きい値になります。

●　Ｊ を削除し，ＥとＦの間にＺを追加すると･･･
追加したところより小さい値（\( n=1 \) から \( n=5 \)），
削除したところより小さい値（\( n=11 \) から \( n=15 \)）
については値は変わりません。
削除したところから追加したところまでの間の値（\( n=6 \) から \( n=9 \)）
についてはもとの値より大きい値になります。

この例の考え方を参考に，８月３日，９月１日，９月２日の最高気温について考えていきます。

【９月１日の最高気温は？】
表の「８月１日～８月３１日」と「８月２日～９月１日」の範囲における代表値の変化に注目すると，
中央値と第三四分位数だけが「８月２日～９月１日」の方が大きい値になっています。
ここから，追加された９月１日のデータは第三四分位数（ \( 36.0 \;^\circ C \) ）より大きく，
最大値（ \( 36.9 \;^\circ C \) ）より小さい値であったことがわかります。
よって，あてはまるのは エ　\( 36.2 \;^\circ C \) になります。

ちなみに，消えた８月１日のデータは第一四分位数（ \( 34.8 \;^\circ C \) ）より大きく，
中央値（ \( 35.3 \;^\circ C \) ）より小さい値であったことがわかり，
あてはまるのは イ　\( 35.2 \;^\circ C \) になります。

【９月２日の最高気温は？】
表の「８月２日～９月１日」と「８月３日～９月２日」の範囲における代表値の変化に注目すると，
第一四分位数，中央値，第三四分位数と最大値が「８月３日～９月２日」の方が小さい値になっています。
ここから，追加された９月２日のデータは最小値（ \( 29.2 \;^\circ C \) ）より大きく，
第一四分位数（ \( 34.8 \;^\circ C \) ）より小さい値であったことがわかります。
よって，あてはまるのは ア　\( 32.6 \;^\circ C \) になります。

大問４

２　点 \( B \) の \( x \) 座標を求めよ。

３　直線②の式を求めよ。

大問５