（１）（ア）〜（エ）の計算をしなさい。

　　　（ア） \( 3-(-5) \)

　　　（イ） \( 2(x+3y)-5(2x+y) \)

　　　（ウ） \( 18x^2y \div (-12xy) \)

　　　（エ） \( (\sqrt{5}-\sqrt{2}) (\sqrt{5}+\sqrt{2}) \)

（２） \( x^2y-6xy \) を因数分解しなさい。

（３） 二次方程式 \( x^2-x-1=0 \) を解きなさい。

（４） 下の図のような三角すいの体積を求めなさい。

（５） 下の図のような線分 \( AB \) がある。線分 \( AB \) の垂直二等分線を作図しなさい。
ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（６） 下の図のように，異なる５点 \( A，B，C，D，E \) が同じ円周上にあり，\( AE//BD \) である。このとき， \( ∠BDC \) の大きさを求めなさい。

大問２

（１） ある学校の生徒，職員から５人を選び，年齢順に若い方からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとする。５人の年齢の中央値は \( 30 \) 歳である。【Ａの年齢を \( 3 \) 倍し \( 2 \) を加えると，Ｄの年齢と等しくなる】。また，ＢとＥの年齢の和は \( 78 \) 歳であり，５人の年齢の平均値はちょうど \( 34 \) 歳である。
このとき，(ア)～(ウ)の各問いに答えなさい。

(ア) Ｃの年齢を答えなさい。

(イ) Ａの年齢を \( x \) 歳，Ｄの年齢を \( y \) 歳とする。このとき，\( x、y \) を用いて【　　】部の関係を等式に表しなさい。

(ウ) ＡとＤの年齢を答えなさい。

（２） 下の図のように，\( AB=15 \; cm，AC=BC \) の直角二等辺三角形 \( ABC \) があり，辺 \( AC \) 上に点 \( D \)，辺 \( BC \) 上に点 \( E \) を，\( AB//DE \) となるようにとる。また，頂点 \( C \) を通る直線 \( AB \) の垂線をひき，その垂線と２つの線分 \( AB，DE \) との交点をそれぞれ \( F，G \) とする。
このとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。

（ア） 線分 \( CF \) の長さを求めなさい。

（イ） 線分 \( FG \) の長さを \( x \; cm \) とするとき，線分 \( DE \) の長さを \( x \) を用いて表しなさい。

（ウ） 四角形 \( ABED \) の面積が \( 36 \; cm^2 \) であるとき，線分 \( FG \) の長さを求めなさい。
ただし、線分 \( FG \) の長さを \( x \; cm \) として，\( x \) についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

大問３

（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

（２） ２点 \( A，B \) を通る直線の傾きを求めなさい。

（３） 直線 ℓ の式を求めなさい。

（４） 点 \( C \) の座標を求めなさい。

（５） 直線 \( n \) の式を求めなさい。

（６） 直線 \( n \) と \( x \) 軸との交点を \( D \) とするとき，四角形 \( ADCB \) の面積を求めなさい。

大問４

（２） \( △OCD≡△OCE \) であることを証明しなさい。

（３） 線分 \( AF \) の長さを求めなさい。

（４） 直線 \( AD \) と直線 \( CF \) の交点を \( G \) とする。\( △AGF \) の面積を \( S，△BCF \) の面積を \( T \) とするとき，\( S：T \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。

大問５

（１） 下の【図】のように，Ａ，Ｂ，Ｃと書かれた赤いカードがそれぞれ１枚ずつと，Ａと書かれた白いカードが１枚入っている袋がある。この袋の中から，カードを１枚ずつ続けて３回取り出し，取り出した順に左から横１列に並べる。
このとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。
ただし，これらのカードの取り出し方は同様に確からしいとし，取り出したカードは袋にもどさないこととする。

（ア） 取り出した３枚のカードの並べ方は，全部で何通りあるか求めなさい。

（イ） 並べた３枚のカードの中に，Ａと書かれたカードが２枚含まれる確率を求めなさい。

（ウ） 並べた３枚のカードの色が，左から順に赤，白，赤となる確率を求めなさい。

（２） 【図１】のように，直線 ℓ 上に２点 \( A，B \) があり，\( AB=20 \; cm \) である。はじめ点 \( P \) は点 \( A \) の位置に，点 \( Q \) は点 \( B \) の位置にあり，【図２】のように，スタートの合図と同時に直線ℓ上を，点 \( P \) は点 \( A \) から右へ毎秒 \( 1 \; cm \)，点 \( Q \) は点 \( B \) から左へ毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動き始める。
ただし，２点 \( P，Q \) は止まることなく一定の速さで，動き続ける。
このとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。

（ア） スタートの合図から \( 3 \) 秒後の線分 \( PQ \) の長さを求めなさい。

（イ） スタートの合図から \( 13 \) 秒後の線分 \( PQ \) の長さを求めなさい。

（ウ） 【図３】のような点 \( P \) を中心とする半径 \( 6 \; cm \) の円 \( P \) と，点 \( Q \) を中心とする半径 \( 8 \; cm \) の円 \( Q \) を考える。円 \( Q \) の半径は，スタートの合図と同時に毎秒 \( 1 \; cm \) ずつ大きくなっていく。
ただし，円 \( P \) の半径は変わらない。
このとき，２つの円 \( P，Q \) の半径の差と線分 \( PQ \) の長さが等しくなるのは，スタートの合図から何秒後であるか，すべて求めなさい。

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（１）（ア）〜（エ）の計算をしなさい。
　　（ア） \( 4-11 \)

　　（イ） \( 4(2x+y)-3(x-3y) \)

　　（ウ） \( (-6xy^3)÷(-2xy) \)

　　（エ） \( \sqrt{27}-\sqrt{12} \)

（２） \( x^2-3x-40 \) を因数分解しなさい。

（３） 二次方程式 \( 3x^2+x-1=0 \) を解きなさい。

（７） 下の図は１組から４組の各３０人の生徒に対して数学のテストを行い，その得点をクラス別に箱ひげ図に表したものである。この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，あとのア～オの中からすべて選び，記号を書きなさい。

　ア　１～４組全体の最高得点の生徒がいるのは２組である。
　イ　平均点が最も高いのは３組である。
　ウ　四分位範囲が最も大きいのは１組である。
　エ　箱が示す区間に含まれているデータの個数は１組よりも２組の方が少ない。
　オ　２組において，７０点以上の人数は８人以上である。

大問２

（１） アオイさんとリョウさんはバスケットボール部に所属しており，ある試合が終わった後に，次のような 【会話】をしている。
【会話】を踏まえて，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。

【会話】
アオイ：今日の試合では，私たちのチームの得点は \( 61 \) 点だったね。
リョウ：コーチから聞いたけど，この試合では，シュートと得点が \( 1 \) 点のフリースローを合計 \( 85 \) 本放って
　　　　いて，シュートのうち \( 3 \) 点シュートと \( 2 \) 点シュートは同じ本数を放ったみたいだよ。チーム全体の
　　　　\( 3 \) 点シュートの成功率が \( 30 \; \% \)，\( 2 \) 点シュートとフリースローの成功率はどちらも \( 40 \; \% \) だった
　　　　そうだよ。
アオイ：それぞれの種類のシュートとフリースローが何本成功したのかを計算してみよう。\( 3 \) 点シュートと
　　　　\( 2 \) 点シュートを放った本数をそれぞれ \( x \) 本，フリースローを放った本数を \( y \) 本として 【表】 の
　　　　ようにまとめたよ。

（ア） 【表】の中の \( \fbox{ ➀ } \) ～ \( \fbox{ ➂ } \) にあてはまる数や式の組み合わせとして正しいものを、次のア～エの中から１つ選び，記号を書きなさい。

（イ）  \( x、y \) についての連立方程式を次のようにつくった。このとき，➃ と ➄ にあてはまる式を \( x、y \) を用いてそれぞれ表しなさい。

　　　　　　\( \left\{ \begin{array}{}
\fbox{ ➃ }=85 \\
\fbox{ ➄ }=61 \\
\end{array} \right.  \)

（ウ） この試合で，３点シュートは何本成功したか求めなさい。

（２） 縦の長さが \( 8 \; m \)，横の長さが \( 12 \; m \) の長方形の土地がある。下の図のように，縦に２本，横に１本の同じ幅の通路がある花だんをつくりたい。
通路の幅を \( x \; m \) とするとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。

（ア） 通路の幅を \( 1 \; m \) とするとき，通路の面積を求めなさい。

（イ） 通路の面積を，\( x \) を用いて表しなさい。

（ウ） 通路の面積と花だんの面積が等しいとき，通路の幅は何 \( m \) か求めなさい。
ただし，\( x \) についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

大問３

（２） \( b \) の値を求めなさい。

（３） 点 \( C \) の座標を求めなさい。

（４） 直線 \( CD \) の式を求めなさい。

（５） 関数 ② のグラフ上には，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに自然数となるような点は何個あるか求めなさい。

（６） \( △ABC \) の面積を求めなさい。

（７） 直線 \( BC \) 上に点 \( P \) をとる。\( △ACP \) の面積を \( S \)，\( △ADP \) の面積を \( T \) とするとき，\( S：T=3：2 \) となるような点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

【解説】

３点 \( C，D，P \) は一直線上に並ぶことから，\( △ACP \) と \( △ADP \) は高さが等しいので，
\( △ACP：△ADP=3：2 \) となるとき，\( CP：DP=3：2 \) であり，
下の図のように，
３点 \( C，D，P \) が \( C，P，D \) の順番に並ぶ場合と \( C，D，P \) の順番に並ぶ場合
の２通りが考えられます。

\( CP \) と \( DP \) の長さの比は，
３点 \( C，D，P \) の \( x \) 座標の値の差を使って求めることができます。

【 \( -4≦t≦2 \) の場合 】
点 \( P \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -4 \)，点 \( D \) の \( x \) 座標は \( 2 \) なので，
点 \( P \) が \( C，D \) の間にあるとき，\( -4≦t≦2 \) となります。

点 \( C \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線と
点 \( P \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線の交点を \( E \)，
点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線と
点 \( D \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線の交点を \( F \)
とすると，
\( △CEP \) ∽ \( △PFD \) なので，
　\( CP：DP=PE：DF \)
　　　 \( 3：2=(t+4)：(2-t) \)
　 \( 3(2-t)=2(t+4) \)
　　　　　\( 5t=-2 \)
　　　　　 \( t=-\dfrac{2}{5} \)

【 \( 2≦t \) の場合 】
\( C，D，P \) の順番に並ぶとき，\( 2≦t \) となります。

点 \( C \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と
点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線の交点を \( G \)，
点 \( D \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と
点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線の交点を \( H \)
とすると，
\( △PCG \) ∽ \( △PDH \) なので，
　\( CP：DP=CG：DH \)
　　　 \( 3：2=(t+4)：(t-2) \)
　 \( 3(t-2)=2(t+4) \)
　　　　　\( t=14 \)

大問４

（１） 線分 \( AC \) の長さを求めなさい。

（２） 線分 \( CE \) の長さを求めなさい。

（ア） \( △DFG \) ∽ \( △ACG \) であることを証明しなさい。

（イ） \( △DFG \) の面積を \( S \) とするとき，\( △ACG \) の面積を，\( S \) を用いて表しなさい。

（ウ） \( △DFG \) の面積を \( S \)，\( △BCD \) の面積を \( T \) とするとき，\( S：T \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。

大問５

（１） と書かれた合計８枚のカードがある。アルファベットが書かれたカード４枚 () は 【図１】 のようにこの順に机の上に並べ，数字が書かれたカード４枚 () は 【図２】 のように袋の中に入れる。
下の 【操作】 を２回行うとき， 【例】 を参考にして，（ア）～（エ）の各問いに答えなさい。
ただし，どのカードの取り出し方も同様に確からしいとし，取り出したカードはもとにもどさない。また， 【操作】 によって回転させたカードはもとにもどさない。

（ア） 【図１】 の状態から２回 【操作】 を行った。取り出したカードが１回目に，２回目にのカードであったとき，アルファベットが書かれたカードの状態として正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号を書きなさい。

　　　　ア　 　　　　　イ　
　　　　ウ　 　　　　エ　 

【解説】

１回目の 【操作】 で時計回りに \( 90° \)，２回目の 【操作】 で時計回りに \( 180° \) 回転させることになります。

（イ） ２回 【操作】 を行うとき，１度ものカードを取り出さない確率を求めなさい。

【解説】

袋に入っている２枚ののカードに「２Ａ」，「２Ｂ」と名前をつけて
２枚のカードを選ぶ組み合わせを樹形図に書き出し，のカードを含まないところに ○ をつけると，
「０」を含まない組み合わせは６通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2} \)

（ウ） 【図１】 の状態から２回 【操作】 を行った後，アルファベットが書かれたカードの状態がとなる確率を求めなさい。

【解説】

【図１】 の状態のカードの向きを \( 0 \) とし，
時計回りに \( 90° \) 回転させることを \( +1 \)，反時計回りに \( 90° \) 回転させることを \( -1 \) とすると，
２回の操作の合計が \( +3 \) または \( -1 \) となるとき，のカードの向きになります。

２回の操作の合計が \( +3 \) または \( -1 \) となるのは，とのカードを１回ずつ取り出すときなので，
あてはまる組み合わせは４通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3} \)

（エ） 【図１】 の状態から２回 【操作】 を行うとき，１回目の操作後と２回目の操作後で，アルファベットが書かれたカードの状態が１度もとならない確率を求めなさい。

【解説】

２枚のカードを選ぶ組み合わせとそれぞれの場合でのカードの向きを樹形図に書き出し，
「＋２」を含まないところに ○ をつけてみると，
「＋２」を含まない組み合わせは７通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{12} \)

（２） 白い石と黒い石を，次の 【ルール】 に従って，下のように並べていく。また，あとの 【表】 は，白い石の個数を \( X \)，黒い石の個数を \( Y \) として，白い石の個数から黒い石の個数を引いた \( X-Y \) の値についてまとめたものである。
このとき，（ア）～（エ）の各問いに答えなさい。

（ア） 図形５のとき，\( X \) の値を求めなさい。

【解説】

（イ） 図形６のとき，\( X-Y \) の値を求めなさい。

【解説】

【表】の \( X-Y \) の値は，図形１から図形４まで
符号は＋と－を順番に繰り返し，絶対値は \( 1 \) ずつ増えています。
よって，図形６のときの \( X-Y \) の値は， \( -6 \)

（ウ） \( X-Y=9 \) のとき，\( X \) の値を求めなさい。

（エ） \( X+Y=225 \) のとき，\( X \) と \( Y \) の値を求めなさい。

【解説】

【表】の \( X-Y \) のところを \( X+Y \) に書き直してみると，\( n \) 番目の図形の値は \( n^2 \) になっていて，
\( 225=15 \times 15 \) なので，\( X+Y=225 \) になるのは図形１５のときになります。

\( n \) 段目に並ぶ白い石の個数は，\( 2n-1 \) 個なので，
図形１５，つまり，１５段でできた図形の
１５段目に並ぶ白い石の個数は，
\( 2 \times 15-1=29 \)（個）になります。

ここから，図形１５の白い石の個数 \( (X) \) は，
　\( X=1+5+9+13+17+21+25+29=120 \)（個）

このとき，黒い石の個数 \( (Y) \) は，
　\( Y=225-120=105 \)（個）

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(1)　(ア)〜(エ) の計算をしなさい。

(ア)　\( -4-7 \)

(イ)　\( -2(x+3y)+(x-3y) \)

(ウ)　\( 8xy^2 \div (-2x) \)

(エ)　\( (\sqrt{5}+1)^2 \)

(2)　 \( x^2-9y^2 \) を因数分解しなさい。

(3)　二次方程式 \( 2x^2-x-2=0 \) を解きなさい。

(7)　次の図は，ある都市における ２００３年，２０１２年，２０２１年の各月の最高気温をそれぞれ年別に箱ひげ図に表したものである。この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，あとの➀～➄の中からすべて選び，番号を書きなさい。

➀　第３四分位数は，２０２１年が最も大きい。
➁　四分位範囲は，２０１２年が最も大きい。
➂　２０２１年では，最高気温が２０℃以下の月は１つしかない。
➃　２０１２年では，２５%以上の月が，最高気温が３４℃以上である。
➄　２００３年では，最高気温の平均値は２８℃である。

大問２

(1)　ユウさんとルイさんが，学校の【宿題】についてあとのような【会話】をしている。
【会話】を踏まえて，(ア)〜(ウ)の各問いに答えなさい。

【宿題】
連立方程式を利用して解く問題をつくりなさい。また，その問題を解くために利用する連立方程式をつくりなさい。

【会話】
ユウ：学校の【宿題】について，このように考えたよ。

【ユウさんがつくった問題】
家から \( 1640 m \) 離れた学校へ行くために，はじめは歩いていましたが，遅刻しそうになったので，途中から分速 \( 100 m \) で走りました。すると，家を出発して２２分後に学校に着きました。
このとき，歩いた道のりと，走った道のりをそれぞれ求めなさい。

【ユウさんがつくった連立方程式】
\( \left\{
\begin{array}{}
x+y=1640 \\
\dfrac{x}{60}+\dfrac{y}{100}=22
\end{array} \right. \)

ルイ：【ユウさんがつくった連立方程式】では，何を \( x \) と \( y \) でそれぞれ表したの。

ユウ：歩いた 　①　 を \( x \) ，走った 　①　 を \( y \) と表したよ。

ルイ：そうなんだね。けれども，【ユウさんがつくった問題】から【ユウさんがつくった連立方程式】はつくれるのかな。【ユウさんがつくった問題】には何かが足りない気がするけど。

ユウ：本当だ。歩いた速さは分速 　➁　 m であることを書き忘れていたよ。

ルイ：そうか。歩いた速さを書き加えればいいね。そういえば，\( x \) と \( y \) で表すものを変えて，同じ問題から別の連立方程式をつくる学習をしたね。【ユウさんがつくった問題】に歩いた速さは分速 　➁　  \( m \) であることを書き加えて，別の連立方程式をつくれないかな。

ユウ：歩いた 　③　 を \( x \) ，走った 　③　 を \( y \) と表して連立方程式をつくれそうだ。このとき、連立方程式は，

\( \left\{
\begin{array}{}
\;\;\;\;\; ➃ \;\;\;\;\; =1640 \\
\;\;\;\;\; ➄ \;\;\;\;\; =22
\end{array} \right. \)

になるよ。

(ア)　【会話】の中の 　①　 ～ 　③　 にあてはまる語句や数の組み合わせとして正しいものを，下のア〜エの中から１つ選び，記号を書きなさい。
ただし，道のりの単位は \( m \) とし，時間の単位は 分 とする。

(イ)　【会話】の中の 　④　 ， 　⑤　 にあてはまる式を \( x，y \) を用いて表しなさい。

(ウ)　【会話】を踏まえて，歩いた道のりを求めなさい。

(ア)　点 \( P \) と点 \( Q \) が出発してから \( 3 \) 秒後の三角錐 \( PABQ \) の体積を求めなさい。

(イ)　点 \( Q \) が出発してから \( x \) 秒後の線分 \( QA \) の長さを \( x \) を用いて表しなさい。

(ウ)　三角錐 \( PABQ \) の体積が \( 24 \; cm^3 \) になるのは，点 \( P \) と点 \( Q \) が出発してから何秒後か求めなさい。
ただし，\( x \) についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

大問３

(2)　直線 \( AB \) の式を求めなさい。

(3)　点 \( C \) の座標を求めなさい。

(4)　四角形 \( OABC \) の対角線 \( OB \) と \( AC \) の交点を \( D \) とする。
このとき，(ア)～(ウ)の各問いに答えなさい。

(ア)　\( OD：DB \) を求めなさい。

(イ)　\( △OAD \) の面積を求めなさい。

(ウ)　直線 \( BC \) 上に点 \( P \) をとる。\( △OAD \) と \( △OPC \) の面積比が \( 3：7 \) となるような点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

大問４

(1)　線分 \( AC \) の長さを求めなさい。

(2)　\( △OBC \) ∽ \( △DEC \) であることを証明しなさい。

(3)　点 \( C \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，その垂線と線分 \( AB \) との交点を \( H \) とする。
このとき，(ア)〜(ウ)の各問いに答えなさい。

(ア)　線分 \( CH \) の長さを求めなさい。

(イ)　\( △OAD \) の面積を \( S \)，\( △O’AE \) の面積を \( T \) とするとき，\( S：T \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(ウ)　\( △DEC \) の面積を求めなさい。

大問５

(1)　１つのさいころを２回投げて【図】のようなマスの上でコマを動かす。コマはあとの【ルール】に従って動かすものとする。
このとき【例】を参考にして，(ア)〜(エ)の各問いに答えなさい。
ただし，さいころの目の出方はどの目も同様に確からしいとする。また，最初，コマは \( A \) のマスにあるものとする。

【ルール】
・　さいころを投げて，出た目の数だけコマを動かす。
・　\( A \) から \( H \) の方向にコマを動かし，\( H \) に到達したら折り返して \( H \) から \( A \) の方向にコマを動かす。

(ア)　１回目に６の目，２回目に５の目が出たとき，コマは \( A～H \) のどのマスにあるか，記号を書きなさい。

【解答・解説】

\( D \)

(イ)　コマが \( A \) のマスにある確率を求めなさい。

【解説】

さいころの目の組み合わせとコマの行き先を樹形図で表すと，\( A \) のマスに止まることはないので，
求める確率は \( 0 \)

(ウ)　コマが \( F \) のマスにある確率を求めなさい。

【解説】

さいころの目の組み合わせとコマの行き先を樹形図で表すと，
すべての場合の数は３６通り，\( F \) のマスに止まるのは８通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)

(エ)　コマが \( H \) のマスにない確率を求めなさい。

(2)　【図１】のような１辺の長さが \( 1 \; cm \) の正三角形のタイルをすき間なく並べて正六角形をつくる。
例えば，１辺の長さが \( 1 \; cm \) の正六角形をつくると【図２】のようになる。また，１辺の長さが \( 2 \; cm \) の正六角形をつくると【図３】のようになる。
このとき，(ア)〜(ウ)の各問いに答えなさい。

(ア)　１辺の長さが \( 3 \; cm \) の正六角形を１個つくるとき，ちょうど何枚のタイルが必要か求めなさい。

(イ)　１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正六角形を１個つくるとき，ちょうど何枚のタイルが必要か求めなさい。

(ウ)　【図１】のタイルが２０２３枚あるとき，つくることができる正六角形の中で，最も大きな正六角形の１辺の長さを求めなさい。
ただし，正六角形の１辺の長さを表す数は整数とする。

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