大問１

（１） \( 3+(-7) \) を計算しなさい。

（２） \( \dfrac{4}{3} \div \left( -\dfrac{5}{12} \right) \) を計算しなさい。

（３） \( x \) 枚の折り紙を，１人に \( 10 \) 枚ずつ \( y \) 人に配ると \( 4 \) 枚余る。このときの数量の関係を等式に表しなさい。

（４） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
4x+7y=-2 \\
3x-2y=13 \\
\end{array} \right.  \) を解きなさい。

（５） \( a=15，b=6 \) のとき，次の式の値を求めなさい。
　　　　\( a^2-4ab+4b^2 \)

（６） ２つのさいころを同時に投げるとき，次のアとイでは，どちらの方が起こりやすいといえますか。起こりやすい方の記号と確率を答えなさい。
ただし，２つのさいころの１から６の目は，どの目が出ることも同様に確からしいとする。

　　　　ア　出る目の数の和が \( 6 \) である
　　　　イ　出る目の数の積が \( 6 \) である

（７） 右の図は，ある地域の２０１０年３月と２０２４年３月の日平均気温をもとに，横軸を気温，縦軸を相対度数として度数分布多角形に表したものである。
これらの度数分布多角形から，「日平均気温は，２０１０年３月より２０２４年３月の方が高い傾向にある」と主張することができる。このように主張することができる理由を，２つの度数分布多角形の特徴を比較して説明しなさい。

大問２

１　次のア～エの立体について，回転体とみることができないものを１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　円柱 　　イ　四角柱 　　ウ　円錐 　　エ　球

（２） 体積を求めなさい。

大問３

１　浩太さんは，図Ⅰのように，ア～ウの正方形で４つの整数を囲んだ。次の【会話Ⅰ】は，それぞれの整数の和について，陽香さんと話し合っている場面である。【会話Ⅰ】の下線部について，後の（１），（２）の問いに答えなさい。

【会話Ⅰ】
浩太：アの正方形は，４つの整数が \( 1，2，8，9 \) だから，その和は \( 1+2+8+9=20 \) だね。
陽香：同じように考えると，イの整数の和は \( 32 \) で，ウの整数の和は \( 108 \) だから，正方形で囲まれた
　　　４つの整数の和は，偶数になると予想できるね。
浩太：確かにそうだけど，アは \( 20=4 \times 5 \)，イは \( 32=4 \times 8 \) と表されるから，\( 4 \) の倍数になると
　　　予想することもできるよ。
陽香：なるほど。『正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数である』ことを，文字式を使って説明
　　　してみよう。

（１） 下線部①について，浩太さんは，ウの正方形のときも，囲まれた４つの整数の和が \( 4 \) の倍数になることを次のように確かめた。□に当てはまる式を答えなさい。
　　　　 \( 23+24+30+31=108=\boxed{　　} \)

（２） 下線部②について，陽香さんは，予想が正しいことを説明するための手順を考え，次の【説明Ⅰ】を完成させた。【説明Ⅰ】の矢印( → ) で示された部分に用いた手順として，最も適切なものを，下のア～オから１つ選び，記号で答えなさい。

　　ア　４つの整数の和を式で表し，計算する。
　　イ　共通因数をくくり出し，因数分解する。
　　ウ　計算した式の意味を読みとって，結論を導く。
　　エ　\( 4 \) の倍数であることを示すために，計算結果を変形する。
　　オ　\( n \) を自然数として，４つの整数をそれぞれ文字式で表す。

２ 【説明Ⅰ】の \( 4(n+4) \) という式から，正方形で囲まれた４つの整数の和について，\( 4 \) の倍数であることのほかに，どんなことがいえるか考えた。次の【会話Ⅱ】は，２人が話し合っている場面である。

【会話Ⅱ】
浩太：\( 4(n+4) \) は，\( (n+4) \) の \( 4 \) 倍ということだよね。\( (n+4) \) は，何を表しているのかな。
陽香：【説明Ⅰ】の４つの整数の中に, \( (n+4) \) はないね。図Ⅰのアの正方形で考えてみよう。
　　　アの正方形は  だね。\( 20=4 \times 5 \) の \( 5 \) は，どこかに隠れていないかな。
浩太：見つけたよ。 をみて! \( 5 \) は左上の数 \( 1 \) と右下の数 \( 9 \) の和の半分になっているよね。
　　　右上の数 \( 2 \) と左下の数 \( 8 \) のときも，和の半分は \( 5 \) になるよ。
陽香：すごい。浩太さんの考えを文字式を使って整理すると， と表されるから，
　　　● に入る式は \( (n+4) \) になるのかな。
浩太：文字式を計算して確かめると，左上の数と右下の数の和の半分は \( (n+4) \) になるね。
陽香：同じように，右上の数 \( (n+1) \) と左下の数 \( (n+7) \) の和の半分も \( (n+4) \) になるよ。
浩太：正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数であることだけでなく，『正方形の真ん中に
　　　ある数 ● の \( 4 \) 倍である』こともいえるね。

【会話Ⅱ】の下線部について，右上の数と左下の数の和の半分が \( (n+4) \) になることを示す計算をかきなさい。
ただし，計算の過程では，\( (n+1) \) と \( (n+7) \) の両方の文字式を用いること。

この【予想】が正しいことを文字式を使って説明した。下の【説明Ⅱ】の 　➀　 ～ 　➂　 に当てはまる式を答えなさい。また，　④　 をうめて，【説明Ⅱ】を完成させなさい。
ただし，図Ⅱのように，正方形で５つの整数を囲むとき，四すみにある４つの整数は，上，左，右，下の数を，それぞれ \( 2，8，10，16 \) とする。また，真ん中にある数は \( 9 \) とする。

大問４

志帆さんと直樹さんは，タブレット端末のソフトを使って，グラフを作成している。図Ⅰは，ソフトの【機能】を用いて，関数 \( y=x^2 \) のグラフを表示したものである。
このとき，後の１，２の問いに答えなさい。

【機能】
・ 関数を選び，\( \boxed{　　　} \) に値を入力すると，グラフが表示される。
・ 文字の値は を使って変えることができる。
　 ボタン (●) を左に動かすと値はだんだん小さくなり，
　 右に動かすとだんだん大きくなる。
・ 複数のグラフを作成し，同時に表示することができる。

１　【会話Ⅰ】は，関数 \( y=ax^2 \) と関数 \( y=bx+c \) のグラフについて，\( a，b，c \) の値によってグラフがどのように変化するかを，２人が調べている場面である。　①　 ～ 　➂　 に当てはまるグラフの変化として正しいものを，後のア～カから１つずつ選び，それぞれ記号で答えなさい。
ただし，変化する前のグラフを薄い線 (－)，変化した後のグラフを濃い線 (－) で表している。

【会話Ⅰ】
志帆：図Ⅰは，\( y=ax^2 \) を選んで \( a \) に \( 1 \) を入力したから，\( y=x^2 \) のグラフが表示されているね。
　　　\( a \) のボタン (●) を動かすと，グラフの開き方がどのように変わるのかな。
直樹：\( a \) のボタンを右に動かすと，\( a \) の値は \( 1 \) より大きくなって，グラフは 　①　 のように変化したよ。
　　　\( y=bx+c \) のグラフではどうかな。
志帆：\( b \) に \( -1 \), \( c \) に \( 6 \) を入力すると，\( y=-x+6 \) のグラフができるよ。\( b=-1 \) と \( c=6 \) の
　　　状態から，どちらか一方のボタンを動かして，グラフの変化を調べてみようよ。
直樹：\( b \) の値は変えずに，\( c \) のボタンを \( 0 \) に合わせると，グラフは 　➁　 のように変化し，\( c \) の値は
　　　変えずに，\( b \) のボタンを \( 0 \) に合わせると，グラフは 　➂　 のように変化するね。

【解説】

　➀　 ･･･ \( y=ax^2 \; (a>0) \) のグラフでは，\( a \) の値が大きくなるほどグラフの開きは小さくなります。
　　　　　 例として，\( y=x^2 \) と \( y=2x^2 \) のグラフを考えると下の図のようになります。

　➁　 ･･･ \( y=bx+c \) に \( b=-1，c=0 \) を代入すると，\( y=-x \) なので，
　　　　　 グラフは下の図のようになります。

　➂　 ･･･ \( y=bx+c \) に \( b=0，c=6 \) を代入すると，\( y=6 \) なので，
　　　　　 グラフは下の図のようになります。

２　図Ⅱは，関数 \( y=x^2 \) ･･･ ❶ と関数 \( y=-x+6 \) ･･･ ❷ と \( x=t \) のグラフを同時に表示し，点 \( A，B，P，Q，R \) を，次の【設定】にしたがって定めたものである。下の【会話Ⅱ】は，\( t \) の値によって変化する点や図形について，２人が調べている場面である。
このとき，後の（１）～（３）の問いに答えなさい。

【会話Ⅱ】
直樹：\( t \) に \( -2 \) を入力すると，点 \( Q \) の座標は 　➃　 になったよ。
　　　このとき，点 \( P \) は線分 \( QR \) の中点になるね。\( t \) の値を少しずつ大きくしてみよう。
志帆：\( t=0 \) のときは，点 \( P \) は原点 \( O \) と重なるね。
　　　このとき，\( △APB \) の面積は 　➄　 になるね。
直樹：ほら見て。点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるときが，もう１つあったよ。
志帆：本当だね。そのときの \( t \) の値は，\( t= \) 　⑥　 だね。

（１） 【会話Ⅱ】の 　➃　 に当てはまる座標を答えなさい。

（２） 【会話Ⅱ】の 　➄　 ，　⑥　 に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

（３） \( △APB \) について，正しく述べているものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　\( t=0 \) のとき，\( △APB \) は \( ∠B=90° \) の直角三角形である。
　　　　 イ　\( t=0 \) のとき，\( △APB \) の面積は，\( y \) 軸によって二等分される。
　　　　 ウ　\( t=-1 \) と \( t=0 \) のときの \( △APB \) の面積は等しい。
　　　　 エ　点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるとき，\( △APB \) の面積は，\( △ARB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍である。
　　　　 オ　\( t \) の値が変わると，\( △APB \) の３つの辺は，すべて長さが変わる。

大問５

１　\( ∠BCD=110° \) のとき，\( ∠ABD \) の大きさを求めなさい。

２　\( △APB \) ∽ \( △CPD \) であることを証明しなさい。

（１） \( BP：PQ \) を求めなさい。

（２） \( PQ=2 \; cm  \) のとき，\( BQ，BC \) と \( \stackrel{\huge\frown}{ QC } \) で囲まれた部分( 　　　 ) の面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

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（１） \( -8-(-3) \) を計算しなさい。

（２） \( -\dfrac{3}{7} \div \left(-\dfrac{9}{14} \right) \) を計算しなさい。

（３） 方程式 \( 5x+12=7x-4 \) を解きなさい。

（４） \( a=-5，b=\dfrac{1}{3} \) のとき，次の式の値を求めなさい。
　　　　　\( 2(a-2b)-(5a-4b) \)

（５） 二次方程式 \( x^2+4x-12=0 \) を解きなさい。

（６） ３枚の１０円硬貨を同時に投げるとき，２枚は表で，１枚は裏となる確率を求めなさい。
ただし，１０円硬貨の表裏の出かたは，同様に確からしいとする。

【解説】

３枚の１０円硬貨に「Ａ」，「Ｂ」，「Ｃ」と名前をつけ，表裏の組み合わせを樹形図として書き出し，
２枚は表，１枚は裏となる組み合わせのところに ○ をつけると，
あてはまる組み合わせは３通り，すべての組み合わせは８通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{3}{8} \)

【別の方法】
１枚だけが裏になるときなので，
「Ａ」だけが裏のとき，「Ｂ」だけが裏のとき，「Ｃ」だけが裏のとき，の３通りがあてはまる
と考えれば，樹形図を書かなくても求められます。

（７） 次の標本調査について，標本の選び方として，最も適切なものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　県内の中学生の１日の読書時間を調べるために，読書活動が盛んな中学校の生徒を無作為に抽出
　　　　　　して回答してもらった
　　　　イ　全国の高校生に人気のある曲を調べるために，回答をよびかけた自分のホームページを見て
　　　　　　くれた人に回答してもらった。
　　　　ウ　ある工場では，製造しているお菓子の品質検査をするために，その日の最初に製造されたお菓子
　　　　　　\( 150 \) 個を検査した。
　　　　エ　ある工場では，製造している電池が切れるまでの時間を調べるために，製造した電池の中から
　　　　　　\( 150 \) 個を無作為に抽出して検査した。

大問２

１ 正四角錐 \( OABCD \) の展開図として正しくないものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

【解説】

ウの展開図を組み立てると，\( A \) の面と\( B \) の面が重なってしまいます。
　　　　

２ 正四角錐 \( OABCD \) の側面積を求めなさい。

３ 正四角錐 \( OABCD \) の体積を求めなさい。

大問３

裕一さんと真琴さんは，宮崎県の魅力を調べる中で，「日本のひなた宮崎県」というキャッチフレーズに興味をもった。２人は，宮崎県が温暖な気候であることに着目して，宮崎市の日照時間と日平均気温を調べることにした。
このとき，後の１，２の問いに答えなさい。

１　次の【会話Ⅰ】は，２人が日照時間について話し合っている場面である。後の（１）～（３）の問いに答えなさい。

【会話Ⅰ】
裕一：気象庁のデータをもとにして，宮崎市の日照時間をヒストグラムに表してみようよ。
真琴：そうだね。鹿児島市や大分市とも，くらべてみることにしよう。
裕一：\( 2022 \) 年 \( 8 \) 月の日照時間をヒストグラムに表すと，図 I のようになったよ。
真琴：ヒストグラムを見ると，３つの市の日照時間のようすがよくわかるね。
裕一：宮崎市は，日照時間が \( 8 \) 時間以上の日が \( 18 \) 日あるから，他の市とくらべて日照時間が長いといえそう
　　　だね。
真琴：ヒストグラムから最頻値や中央値を調べて，くらべてみようよ。
裕一：宮崎市の日照時間の最頻値は，　①　 時間だから，３つの市の中で一番大きいね。
真琴：中央値をみると，鹿児島市と大分市は，同じ階級に含まれているね。宮崎市の中央値は，　➁　 の階級
　　　に含まれているよ。
裕一：ちなみに，日照時間の平均値は，宮崎市が一番大きいよ。
真琴：なるほど。調べた結果から，\( 2022 \) 年 \( 8 \) 月の日照時間は，宮崎市が３つの市の中で一番長いといえる
　　　ね。
裕一：データをくらべやすくするために，箱ひげ図 もつくってみようよ。

（１） 【会話Ⅰ】の 　①　 に当てはまる数を答えなさい。

（２） 【会話Ⅰ】の 　➁　 に当てはまる階級を，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　\( 4 \) 時間以上 \( 6 \) 時間未満
　　　　イ　\( 6 \) 時間以上 \( 8 \) 時間未満
　　　　ウ　\( 8 \) 時間以上 \( 10 \) 時間未満
　　　　エ　\( 10 \) 時間以上 \( 12 \) 時間未満

（３） 【会話Ⅰ】の 箱ひげ図 について，裕一さんは同じデータを使って，宮崎市の日照時間の箱ひげ図をつくった。宮崎市の日照時間を表す箱ひげ図として正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

【会話Ⅱ】
真琴：箱ひげ図は，データのおおまかな分布のようすをとらえることができるね。
裕一：四分位範囲が一番小さいのは，　　　　 年の箱ひげ図だね。
真琴：そうだね。\( 2007 \) 年と \( 2022 \) 年の箱ひげ図をくらべて，\( 8 \) 月の日平均気温について，どんなことがいえるか考えてみようよ。
裕一：表の最大値と最小値に着目すると，どちらの年も範囲が同じであることがわかるね。
真琴：範囲は同じだけど，箱ひげ図を見ると，日平均気温は \( 2007 \) 年より \( 2022 \) 年の方が高い傾向にあるといえるね。

（１） 【会話Ⅱ 】の 　　　　 に当てはまる年を答えなさい。

（２） 【会話Ⅱ】の波線部のように，「日平均気温は，\( 2007 \) 年より \( 2022 \) 年の方が高い傾向にある」と主張することができます。このように主張することができる理由を，「第１四分位数」と「第３四分位数」の両方の言葉を用いて説明しなさい。

大問４

美織さんと正樹さんは，数学の授業で，タブレット端末を使って図形をつくった。図Ⅰは，下の【設定】にしたがってつくった図形を，表示したものである。
このとき，後の１～３の各問いに答えなさい。

1 【会話Ⅰ】は，２人が，点 \( C \) を動かしながら図形の性質や関係について話し合っている場面である。

【会話Ⅰ】
美織：点 \( C \) を動かすと，\( △ABC \) の形が変わるから，辺 \( CA \)，辺 \( CB \) の長さが変わるね。
正樹：角については，どんなことがいえるかな。
美織：円周角の定理が成り立つから，\( ∠ACB \) の大きさは点 \( C \) がどの位置にあっても同じよ。
正樹：そうだね。２点 \( A，B \) は固定されているから，\( ∠BAT \) の大きさもいつも同じだね。
美織：なるほど。点 \( C \) をどの位置に動かしても，\( ∠ACB \) と \( ∠BAT \) の大きさは変わらないとうことね。
正樹：\( ∠ACB \) と \( ∠BAT \) の大きさは等しいのかな。
美織：見た目には等しく見えるけど，詳しく調べてみようよ。

２人は，\( ∠ACB \) と \( ∠BAT \) について，次のことを予想した。

この【予想】が成り立つことを証明するために，図Ⅱのように線分 \( CA \) が円 \( O \) の直径となるように点 \( C \) を点 \( D \) の位置まで動かした。次の【証明】の 　ア　 ～ 　ウ　 に当てはまる記号や式，角度を書きなさい。
ただし，同じカタカナのところには共通するものが入る。

２ 図Ⅲは，図Ⅰにおいて，点 \( C \) を固定し，線分 \( CB \) を延長した直線と直線 \( AT \) との交点を \( E \) としたものである。このとき，２人は，\( △CAE \) ∽ \( △ABE \) であると予想した。次の【会話Ⅱ】は，その予想が成り立つことを確認している場面である。【会話Ⅱ】の 　エ　 には式を，　オ　 には当てはまる言葉を書きなさい。

（２） \( △BFE \) の面積は，\( △CAE \) の面積の何倍になりますか。

大問５

１　関数①と②に共通する特徴を述べた文として正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
　　　ア　グラフは，\( y \) 軸を対称の軸として線対称である。
　　　イ　対応する \( x \) と \( y \) の値の積 \( xy \) は一定である。
　　　ウ　変化の割合は一定ではない。
　　　エ　\( x<0 \) で，\( x \) の値が増加するにつれて，\( y \) の値は増加する。

２　\( a \) の値を求めなさい。

（２） ３点 \( A，B，C \) を通る円の面積を求めなさい。
　　　 ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

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(1)　\( -2+7 \) を計算しなさい。

(2)　\( -\dfrac{3}{4}×\dfrac{2}{15} \) を計算しなさい。

(3)　\(  \sqrt{50}+ \sqrt{8}- \sqrt{18} \) を計算しなさい。

(4)　等式 \( -a+3b=1 \) を，\( b \) について解きなさい。

(5)　連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
y=x-6 \\
3x+4y=11
\end{array} \right. \) を解きなさい。

(6)　二次方程式 \( 9x^2=5x \) を解きなさい。

大問２

(1)　最初に取り出したカードに書かれた数字と，次に取り出したカードに書かれた数字が同じである確率を求めなさい。

(2)　最初に取り出したカードに書かれた数字を十の位，次に取り出したカードに書かれた数字を一の位とし，２けたの整数をつくる。
このとき，次のアとイでは，どちらの方が起こりやすいといえるか、確率を使って説明しなさい。
　ア　２けたの整数が，４の倍数になる
　イ　２けたの整数が，６の倍数になる

２　亮太さんと洋子さんは，農場の体験活動で収穫したじゃがいもと玉ねぎを使って，カレーと肉じゃがをつくることにした。図は，カレーと肉じゃがの主な材料と分量をインターネットを活用して調べたものである。また，【会話】は，２人が何人分の料理をつくることができるか話し合っている場面である。
このとき，下の (1) ，(2) の問いに答えなさい。

【会話】
亮太：収穫した野菜の重さを量ってみたら，じゃがいもの重さの合計は \( 1120 \; g \)，玉ねぎの重さの
　　　合計は \( 820 \; g \) だったよ。

洋子：調べた分量で，カレーと肉じゃがを両方つくるとすると，それぞれ何人分できるかな。

亮太：カレーを \( x \) 人分，肉じゃがを \( y \) 人分つくると考えると，使用するじゃがいもの重さの
　　　合計は \( 100x+600y \; (g) \) になるね。

洋子：ちょっと待って。図の中に書いてある人数をよく見てみようよ。

亮太：あっ，式がまちがっているね。正しい式は 　　　　 \( (g) \) になるね。

洋子：そうだね。さっき量ったじゃがいもと玉ねぎを全部使って，カレーと肉じゃがを両方つくるとき，
　　　カレーは 　①　 人分，肉じゃがは 　②　 人分できるね。

(1)　【会話】の中で，亮太さんは 　　　 部の式がまちがっていることに気づいた。
　　 　　　 に当てはまる式を答えなさい。

(2)　【会話】の 　①　 ， 　②　 に当てはまる数を答えなさい。

大問３

２　直線 \( l \) の式を求めなさい。

(2)　長方形 \( CDEF \) が正方形となるとき，点 \( C \) の座標を求めなさい。

大問４

(1)　\( △BCD \)∽\( △DBF \) であることを証明しなさい。

(2)　線分 \( DB \) の長さを求めなさい。

(3)　\( △DEF \) の面積を求めなさい。

大問５

図Ⅰのような１辺の長さが \( 6 \; cm \) の立方体がある。
このとき，次の１～４の問いに答えなさい。

１　図Ⅰにおいて，辺を直線とみたとき，直線 \( BF \) とねじれの位置にある直線は何本あるか答えなさい。

【解答】

４本

【解説】

直線 \( BF \) とねじれの位置にある直線は
\( AD，CD，EH，GH \) の４本

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