（１） \( 4-11 \)

（２） \( (-10) \div \dfrac{2}{5} \)

（３） \( (-2.3)+4.1 \) （小数で答えなさい）

（４） \( 3\sqrt{6} \div \sqrt{2} \)

（５） \( 3a \times (-2b)^2 \)

（６） \( -(5x-y)+2(x+2y) \)

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x-2=3x+4 \) の解は，\( x= \) 　　　 である。

（２） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-2 \\
x-y=6 \\
\end{array} \right. \) の解は，\( x= \) 　　　 ，\( y= \) 　　　 である。

（３） \( (x-2y)(x+2y) \) を展開して整理すると， 　　　 である。

（４） \( 3ax^2-2ax \) を因数分解すると， 　　　 である。

（５） 二次方程式 \( 3x^2-5x+1=0 \) の解は，\( x= \) 　　　 である。

（６） \( \sqrt{2} \) と \( \dfrac{3}{2} \) の大小関係を式で表すと， 　　　 である。次のア～ウのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　 ア　 \( \sqrt{2}=\dfrac{3}{2} \) 　　　イ　 \( \sqrt{2}<\dfrac{3}{2} \) 　　　ウ　 \( \sqrt{2}>\dfrac{3}{2} \)

（８） ある中学校の生徒６人が砲丸投げを行ったところ，下のような結果になった。この６人の砲丸投げの記録の中央値は， 　　　 \( m \) である。

　　　 ［記録］ \( \boxed{　8，7，4，5，4，9 \;\;\;\; (m)　} \)

（９） あるアルミ工場で製造した製品から \( 200 \) 個を無作為に抽出して検査をすると，不良品の割合が \( 0.03 \) と推定された。この工場で製造された製品 \( 8000 \) 個に含まれる不良品は，およそ 　　　 個であると推定される。次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　 ア　\( 240 \) 　　　イ　\( 600 \) 　　　ウ　\( 1200 \) 　　　エ　 \( 2400 \)

大問３

下の図は，２０１７年度，２０１８年度，２０２２年度，２０２３年度について，沖縄県入域観光客数（国内）の月ごとの人数をそれぞれ１２か月分調べ,箱ひげ図にまとめたものである。
ただし，沖縄県入域観光客数（国内）とは，沖縄県在住者を除く，沖縄県を訪れた国内客の人数のことである。また，月ごとの人数は千の位を四捨五入しており，単位は万人である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　２０１８年度のデータについて，第３四分位数を答えなさい。

【解説】

第３四分位数を表すのは箱の右端部分にあたる値です。

問２　図から読み取れることとして，必ず正しいといえるものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　２０１７年度よりも２０１８年度の方が，データの四分位範囲が大きい。
　　　イ　４つの年度のうち，データの平均値が最も大きいのは，２０１８年度である。
　　　ウ　沖縄県入域観光客数 (国内) が \( 52 \) 万人以下の月は，２０２２年度よりも２０１８年度の方が
　　　　　多い。
　　　エ　２０２３年度において，沖縄県入域観光客数 (国内)が \( 60 \) 万人以上の月は，６か月以上ある。

問３　２０２３年度の箱ひげ図と同じデータを使ってまとめたヒストグラムとして最も適するものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。なお，\( 50 \) 万人以上 \( 52 \) 万人未満，\( 52 \) 万人以上 \( 54 \) 万人未満のように，階級の幅はいずれも \( 2 \) 万人である。

大問４

例えば，さいころを２回投げるとき，１回目に \( 1 \) の目が出たら，点 \( P \) は頂点 \( A \) から頂点 \( B \) に移動し，さらに２回目に \( 2 \) の目が出たら，点 \( P \) は頂点 \( B \) から頂点 \( C \) を通って頂点 \( D \) に移動する。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

問１　さいころを１回投げて，点 \( P \) が頂点 \( D \) の位置にある確率を求めなさい。

問２　さいころを１回投げて，点 \( P \) が頂点 \( B \) の位置にある確率を求めなさい。

問３　さいころを２回投げて，点 \( P \) が頂点 \( B \) の位置にある確率を求めなさい。

大問５

下の図は，学校の体育館でシートの上に椅子を並べている様子である。椅子の前脚から後脚までの幅は \( 50 \; cm \) であり，椅子と椅子の間隔を \( a \; cm \) 空けて規則的に椅子を並べていく。はじめにシートの先端から \( 10 \; cm \) 空けて最初の椅子を置き，最後の椅子を置いたときに，椅子の後脚がちょうどシートの端にくるように，椅子を並べるものとする。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　下の表は，\( a=40 \) のときの椅子の数と椅子を並べるのに必要なシートの長さの関係を示した表の一部である。
このとき，下の表の \( \boxed{　　　} \) にあてはまる最も適する数を答えなさい。

【解説】

前の椅子の後脚から次の椅子の後脚までの距離は \( 40+50=90 \; (cm) \) になるので，
　椅子を \( 3 \) 脚並べるのに必要なシートの長さは \( 150+90=240 \; (cm) \)
　椅子を \( 4 \) 脚並べるのに必要なシートの長さは \( 240+90=330 \; (cm) \)
になります。

問２　\( a=40 \) とする。椅子の数を \( x \) 脚，椅子を並べるのに必要なシートの長さを \( y \; cm \) としたとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

問３　長さ \( 3180 \; cm \) のシートに \( 40 \) 脚の椅子を並べるとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解説】

図から，椅子の数を増やしていったときの必要なシートの長さを表にして書き出すと，

となり，必要なシートの長さは，
　椅子が \( 2 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 1 \; (cm) \)
　椅子が \( 3 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 2 \; (cm) \)
　椅子が \( 4 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 3 \; (cm) \)
　　　･･･
　椅子が \( 40 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 39 \; (cm) \)
となります。

よって，\( 40 \) 脚の椅子を並べるときに必要なシートの長さが \( 3180 \; cm \) であるとき，
　\( 60+(a+50) \times 39=3180 \)
　　　 \( (a+50) \times 39=3120 \)
　　　　　　　\( a+50=80 \)
　　　　　　　　　　\( a=30 \)

大問６

大問７

雄太さんと桃子さんは,次の【宿題】について考えた。下の【会話】は，２人が話し合っている場面である。

【会話】
　雄太：点 \( A \) の座標は \( A(-2， \)　　ア　　 \( ) \) になるね。同じように点 \( B \) の座標もわかるね。
　桃子：２点の座標がわかったから，２点 \( A，B \) を通る直線の式が，\( y= \) 　　イ　　 であることが
　　　　求められたよ。
　雄太：直線の式がわかったから，\( △ABC \) の面積が 　　ウ　　 \( cm^2 \) になることがわかるね。
　桃子：点 \( P \) の座標を求めるためには \( △ABC \) の底辺を線分 \( AB \) としたときに，\( △ABC \) の高さと
　　　　\( △ABP \) の高さが同じになるような点 \( P \) を \( x \) 軸上にとればよさそうだね。
　雄太：点 \( C \) を通り直線 \( AB \) と平行な直線を使えば，点 \( P \) の座標が求められるね。
　桃子：そうだね。点 \( C \) のほかにも \( y \) 軸上に点 \( D \) をとって，\( △ABC \) の面積と \( △ABD \) の面積が
　　　　等しくなるようにできるね。点 \( D \) を通り直線 \( AB \) と平行な直線を利用することでも
　　　　問題の条件を満たす点 \( P \) が \( x \) 軸上にとれるから，宿題の答えとなる点 \( P \) は２点あるという
　　　　ことだね。

このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　　　ア　　 にあてはまる最も適する数を答えなさい。

問２　　　イ　　 にあてはまる最も適する式を答えなさい。

問３　　　ウ　　 にあてはまる最も適する数を答えなさい。

問４　\( △ABC \) と \( △ABP \) の面積が等しくなるような \( x \) 軸上の点 \( P \) の座標を２つ求めなさい。

大問８

下の図のように，４点 \( A，B，C，D \) を円 \( O \) の円周上にとる。線分 \( AB \) は円 \( O \) の直径であり，線分 \( BD \) 上に \( AD//EC \) となる点 \( E \) をとり，線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を \( F \) とする。
また，\( AD=6 \; cm，AF=3\sqrt{5} \; cm，BE=6 \; cm \) とする。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　線分 \( DF \) の長さを求めなさい。

問２　\( △ADF \) ∽ \( △CEF \) となることを証明しなさい。

問３　\( △ABD \) の面積を求めなさい。

大問９

２点 \( P，Q \) が重なる点を \( R \) とし，この立方体を３点 \( B，E，R \) を通る平面で切り，頂点 \( F \) を含む立体を \( S \) とする。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） ２点 \( P，Q \) が重なるのは出発して何秒後か求めなさい。

（２） 立体 \( S \) の体積を求めなさい。

（３） 立体 \( S \) において，\( △BER \) を底面としたときの高さを求めなさい。

大問１０

下の図１のように並べられた○の中に，次の規則にしたがって数を記入する。

下の図２は，\( a=1，b=2 \) として，規則にしたがって数を３段目まで記入したときの様子である。

このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　\( a=1，b=2 \) のとき，４段目に記入される５個の数を左から順に答えなさい。

【解説】

真美さんは \( a，b \) を様々な値に変えて１段目から４段目まで数を記入し，その結果を考察して，次のように予想した。

真美さんは，まず予想１が成り立つことを次のように説明した。

予想１の説明
１段目の２個の数を \( a，b \) とすると，その和は \( a+b \)
２段目の３個の数を a と b を用いて左から順に表すと \( a，a+b，b \)
その和は \( a+(a+b)+b=2a+2b=2(a+b) \)
よって，２段目の３個の数の和は，１段目の２個の数の和の２倍となる。

次に，予想２が成り立つことを次のように説明した。

予想２の説明
１段目の２個の数を \( a，b \) とすると，その和は \( a+b \)
３段目の４個の数を \( a \) と \( b \) を用いて左から順に表すと \( a \)，　ア　，　イ　，\( b \)
その和は \( a+( \) 　ア　 \( )+( \) 　イ　 \( )+b=4a+4b=4(a+b) \)
よって，３段目の４個の数の和は，１段目の２個の数の和の４倍となる。

問２　上の 　ア　，　イ　 にそれぞれあてはまる最も適する式を答え，真美さんの予想２の説明を完成しなさい。ただし，式は同じ文字の項をまとめ，最も簡単な形で表すこと。

【解説】

問３　予想３が成り立つことを，１段目の２個の数を \( a，b \) とし，４段目の５個の数を \( a \) と \( b \) を用いて表すことによって説明しなさい。

【解説】

問４　\( a=18，b=32 \) のとき，１段目から４段目までの○の中に記入された１４個の数の和を求めなさい。

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（１） \( -8+3 \)

（２） \( 9 \div \left( -\dfrac{3}{2} \right) \)

（３） \( 3+6 \div 2 \)

（４） \( \sqrt{3} \times 2\sqrt{6} \)

（５） \( (-2a)^2 \times 5a^3 \)

（６） \( 5(2x-y)-2(3x-y) \)

大問２

次の 　　　　 に最も適する数や式を入れなさい。

（１） 一次方程式 \( 5x+3=4x-6 \) の解は，\( x= \) 　　　　 である。

（２） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{} x+3y=-5 \\ 2x-y=4 \\ \end{array} \right.  \) の解は， \( x= \) 　　　　，\( y= \) 　　　　 である。

（３） \( (x-3y)^2 \) を展開して整理すると，　　　　 である。

（４） \( x^2-25 \) を因数分解すると，　　　　 である。

（５） 二次方程式 \( x^2-7x+1=0 \) の解は， \( x= \) 　　　　 である。

（６） \( \dfrac{5}{\sqrt{2}} \) の分母を有理化すると，　　　　 である。

（８） 下の表は，ある中学生 \( 100 \) 人の靴のサイズを調べた結果である。

最頻値は，　　　　 \( cm \) である。

（９） ある養殖池にいるエビの総数を調べるために，網でエビを捕獲した。捕獲したエビは \( 30 \) 匹で，これらのエビすべてに印をつけてから養殖池に戻した。\( 10 \) 日後再び同じ網で捕獲するとエビが \( 28 \) 匹とれ，その中に印のついたエビが \( 6 \) 匹いた。この養殖池にいるエビの総数はおよそ 　　　　 匹と推定される。

大問３

下の図１は，札幌市，横浜市，那覇市について，２０２２年における，降水量が \( 1 \; mm \) 以上であった日の月ごとの日数をすべて調べ，箱ひげ図にまとめたものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　那覇市の月ごとのデータについて，四分位範囲を求めなさい。

【解説】

四分位範囲は「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求めることができます。

問２　図１から読み取れることとして正しいものを次のア～エのうちからすべて選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　１年間に降った降水量が最も多いのは札幌市である。
　　　　イ　札幌市，横浜市，那覇市いずれも \( 9 \) 日以上の月が半数以上あった。
　　　　ウ　那覇市は \( 10 \) 日以上 \( 14 \) 日未満の月が \( 3 \) か月以上あった。
　　　　エ　データの四分位範囲が最も小さいのは横浜市である。

問３　下の表のデータは，宮古島市について，２０２２年における，降水量が \( 1 \; mm \) 以上であった日の月ごとの日数を小さい順に並べたものである。 宮古島市のデータを表した箱ひげ図を下の図２のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　　　　　表　宮古島市の降水量が \( 1 \; mm \) 以上であった日の月ごとの日数(日)
　　　　　\( \fbox{8　　8　　10　　11　　14　　15　　16　　16　　18　　18　　18　　25} \)

大問４

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの4人がプレゼントを一つずつ持ちより，交換会を開く。プレゼントはすべて異なるものとし，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの4人が用意したプレゼントをそれぞれａ，ｂ，ｃ，ｄとする。交換の方法は，外見が同じギフト箱を４人分用意し，各箱にプレゼントを一つずつ入れたうえで，よく混ぜて４人に箱を一つずつ配り，４人は配られた箱の中のプレゼントを受け取る。交換の結果によっては自分が用意したプレゼントを受け取ることもある｡
このとき，次の問いに答えなさい。
ただし，ギフト箱の配り方は，同様に確からしいものとする。

問１　プレゼントの受け取り方は全部で何通りあるか答えなさい。

【解説】

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄそれぞれが受け取るプレゼントの組み合わせを樹形図に書き出すと，
全部で \( 24 \) 通りになります。

問２　Ａさんがａではないプレゼントを受け取る確率を求めなさい。

【解説】

問１の \( 24 \) 通りの組み合わせのうち，Ａさんがａではないプレゼントを受け取る組み合わせは
\( 18 \) 通りなので，求める確率は，\( \dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4} \)

問３　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人全員が，自分で用意したプレゼントを受け取らない確率を求めなさい。

【解説】

問１の \( 24 \) 通りの組み合わせのうち，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４人全員が，自分で用意したプレゼントを
受け取らない組み合わせは\( 9 \) 通りなので，求める確率は，\( \dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8} \)

大問５

翔子さんの学校では，卒業の記念に文集を作成することにした。Ａ社とＢ社の文集作成にかかる代金を調べ，下の表にまとめた。

代金は基本料金と製本料金と印刷料金の合計金額とする。
例えば，\( 60 \) 冊注文した場合，Ａ社では \( 5000 +50 \times 60+30 \times 60=9800 \) であるため，代金は \( 9800 \) 円となり，Ｂ社では \( 10000+50 \times 60+30 \times 50=14500 \) であるため，代金は \( 14500 \) 円となる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，消費税は考えないものとする。

問１　Ｂ社に \( 100 \) 冊注文するときの代金を求めなさい。

問２　Ａ社に \( x \) 冊注文するときの代金を \( y \) 円とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

問３　翔子さんはＡ社とＢ社の文集作成にかかる代金を比較するため，卒業文集を \( x \) 冊注文するときの代金を \( y \) 円として \( x \) と \( y \) の関係を下の図のようにグラフで表した。このグラフから \( 150 \) 冊注文したときは，Ａ社の方が安いが，\( 250 \) 冊注文したときは，Ｂ社の方が安くなることが分かった。何冊以上の卒業文集を注文した場合にＢ社の方が安くなるか，最も小さな整数で答えなさい。

大問６

図１のように自然数を１段に５個ずつ並べた表がある。この表で，図２のような図形で5つの数を囲む。例えば， 図１の場合，上の数は \( 2 \)，左の数は \( 6 \)，真ん中の数は \( 7 \)，右の数は \( 8 \)，下の数は \( 12 \)となる。
健人さんは，囲まれた５つの数について，次の規則に従って計算した。その結果がどんな値になるかを調べた。

健人さんは囲みの場所を変え，いくつか計算した結果，次のように予想した。

<健人さんの予想１>
規則に従って計算すると，
　\( 2，6，7，8，12 \) のとき，\( 6 \times 8-2 \times 12=48-24=24 \)
　\( 9，13，14，15，19 \) のとき，\( 13 \times 15-9 \times 19=195-171=24 \)
　\( 19，23，24，25，29 \) のとき， \( 23 \times 25-19 \times 29=575-551=24 \)
となるので，５つの数を図形で囲むとき，左の数と右の数の積から，上の数と下の数の積をひいた値は
いつでも \( 24 \) になる。

上記の<健人さんの予想１> が成り立つことは，次のように説明できる。

<説明>
上の数を \( n \) とすると，左の数は \( n+4 \)，右の数は \( n+6 \)，下の数は \( n+10 \) と表される。
よって，
　\( (n+4)(n+6)-n(n+10)=(n^2+10n+24)-(n^2+10n) \)
　　　　　　　　　　　　　　　 \( =n^2+10n+24-n^2-10n \)
　　　　　　　　　　　　　　　 \( =24 \)
となる。したがって，図２のような図形で囲まれた５つの数について，左の数と右の数の積から，
上の数と下の数の積をひいた値はいつでも \( 24 \) になる。

次に，健人さんは，図３のように１段に並べる自然数の個数を６個に変えて考えた。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　健人さんは，図３においても図２のような図形で囲まれた５つの数について規則に従って計算した。囲みの場所を変え，いくつか計算した結果，次のように予想した。　　　　 にあてはまる最も適する値を答えなさい。

問２　<健人さんの予想２> が成り立つことを説明しなさい。

大問７

大問８

問２　関数 \( y=ax^2 \) において，\( x \) の値が \( -2 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

問３　関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( -2 \) である点 \( C \) をとる。このとき，２点 \( B，C \) を通る直線の式を求めなさい。

問４　\( y \) 軸上に点 \( P \) をとり，線分 \( AP \) と線分 \( BP \) の長さの和 \( AP+BP \) が最も小さくなるとき，\( AP+BP \) の長さを求めなさい。

大問９

下の図のように，点 \( P \) は線分 \( AB \) 上にある。\( PA=PQ，PB=PR，∠APQ=∠BPR=30° \) とする２つの二等辺三角形 \( △PAQ \) と \( △PBR \) を直線 \( AB \) に関して同じ側につくる。また，線分 \( AR \) と線分 \( BQ \) の交点を \( S \) とするとき，次の各問いに答えなさい。
　　

問１　\( ∠QPR \) の大きさを求めなさい。

問２　\( △PAR≡△PQB \) を証明しなさい。

【解答】

\( △PAR \) と \( △PQB \) において，
仮定より，\( PA=PQ \) ･･･ ➀
　　　　　\( PB=PR\) ･･･ ➁
\( ∠APR=∠QPR+30° \) ･･･ ➂
\( ∠QPB=∠QPR+30° \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠APR=∠QPB \) ･･･ ➄
➀➁➄より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △PAR≡△PQB \)

問３　次のア～エのうちいつでも正しいものをすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　４点 \( P，B，R，S \) はすべて一つの円周上にある。
　　　　イ　４点 \( A，P，R，Q \) はすべて一つの円周上にある。
　　　　ウ　\( ∠ASP=75° \) である。
　　　　エ　\( ∠ARB=85° \) である。

【解説】

ア　「４点 \( P，B，R，S \) はすべて一つの円周上にある」とすると，
　　問２より \( △PAR≡△PQB \) なので，\( ∠PRS＝∠PBS \)
　　ここから，この２つの角は，どちらも \( \stackrel{\huge\frown}{ PS } \) に対する円周角なので，
　　仮定とした「４点 \( P，B，R，S \) はすべて一つの円周上にある」は正しいといえます。

イ　「４点 \( A，P，R，Q \) はすべて一つの円周上にある」とすると，
　　問１より \( ∠QPR＝120° \)
　　\( △PAQ \) は頂角が \( 30° \) の二等辺三角形なので，\( ∠QAP=\dfrac{180°-30°}{2}=75° \)
　　ここから， \( ∠QAR=∠QAP-RAP=75°-∠RAP<75° \)
　　\( ∠QPR \) と \( ∠QAR \) は，どちらも \( \stackrel{\huge\frown}{ QR } \) に対する円周角のため，等しくなければならないので，
　　矛盾しています。
　　つまり，仮定とした「４点 \( A，P，R，Q \) はすべて一つの円周上にある」は正しくないといえます。

ウ　\( △PAR≡△PQB \) より，\( ∠PAS＝∠PQS \) なので，
　　４点 \( A，P，S，Q \) はすべて一つの円周上の点になります。
　　\( △PAQ \) は頂角が \( 30° \) の二等辺三角形なので，\( ∠AQP=\dfrac{180°-30°}{2}=75° \)
　　\( \stackrel{\huge\frown}{ AP } \) に対する円周角なので，\( ∠ASP=∠AQP=75° \)

エ　「\( ∠ARB=85° \) である」がいつでも成り立つとすると，
　　\( ∠PRB=75° \) なので，\( ∠ARP=85°-∠PRB=10° \) であり，
　　\( PB’=PR’ \; (PB’<PB，PR’<PR) \) となるように \( B’，R’ \) をとるとき，
　　\( ∠AR’P=10° \) になります。
　　ここで，\( ∠AR’P \) は \( △ARR’ \) の外角なので，\( ∠RAR’=x \) とすると，
　　\( ∠AR’P=(10+x)° \) となり，矛盾しています。
　　よって，「\( ∠ARB=85° \) である」がいつでも正しいわけではありません。

大問１０

図１のように，先端にライトのついた柱が地面に対して垂直に立っており，周辺を照らしている。ただし，ライトが照らす範囲の地面に高低差はなく，照らす範囲の形は円とする。この円の中心を \( P \) とし，柱の先端を \( Q \) とする。
光輝さんはこの柱を支柱として，図２のような大型のテントを設営することを考えている。ただし，テントの形はライトが照らす範囲の円を底面，柱の先端 \( Q \) を頂点とする円錐とし，この円錐の側面を布で覆ったテントを設営する。なお，地面には布を敷かない。
光輝さんはライトが照らす自分の影を利用して，柱の高さ \( PQ \) とテントを張るのに必要な布の面積を求めようとしている。

光輝さんの身長は \( 1.6 \; m \) であり，地面に対して垂直に，まっすぐ立つものとする。
光輝さんは図１のように，ライトが照らす範囲の円周上に影の先端がくるような地点 \( A \) に立った。このとき２地点 \( P，A \) 間の距離を測ると \( 3 \; m \) であった。また，影の先端を \( B \) として影の長さ \( AB \) を測ると \( 2 \; m \) であった。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

問１　ライトが照らす範囲の円の円周の長さを求めなさい。

問２　柱の高さ \( PQ \) を求めなさい。

問３　テントを張るのに必要な布の面積，すなわち円錐の側面積を求めなさい。

大問１１

桜子さんは次の 規則 にしたがって，たくさんあるビー玉を整理している。ただし，\( n \) は \( 2 \) 以上の自然数とする。

例えば \( n=3 \) のとき，\( 19 \) 個のビー玉を 規則 にしたがって整理した結果は，次のようになる。

このとき，次の各問いに答えなさい。

【解答】

【解説】

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(1)　\( -5-(-7) \)

(2)　\( (-12) \div \dfrac{4}{3} \)

(3)　\( 7-5 \times (-2) \)

(4)　\( \sqrt{12}+\sqrt{27} \)

(5)　\( (-3a)^2 \times (-2b) \)

(6)　\( 3(5x+2y)-4(3x-y) \)

大問２

(1)　一次方程式 \( 5x-6=2x+3 \) の解は，\( x= \) 　　　　 である。

(2)　連立方程式  \( \left \{ \begin{array}{}
2x+y=5 \\
x-2y=5
\end{array} \right. \) の解は，\( x= \) 　　　　，\( y= \) 　　　　 である。

(3)　\( (x+3)(x-3) \) を展開して整理すると， 　　　　 である。

(4)　\( x^2+2x-15 \) を因数分解すると， 　　　　 である。

(5)　二次方程式 \( 2x^2+5x+1=0 \) の解は，\( x= \) 　　　　 である。

(6)　\( \sqrt{5}<n<\sqrt{11} \) となるような自然数 \( n \) の値は，\( n= \) 　　　　 である。

(7)　右の図１のように円 \( O \) の周上に，５点 \( A，B，C，D，E \) があるとき，\( ∠x= \) 　　　　°である。

【解答】

\( 128 \)

【解説】

弧 \( AE \) 上に点 \( F \) をとると，
弧 \( BC \) の円周角なので \( ∠BFC=∠BAC=30° \)
弧 \( CD \) の円周角なので \( ∠CFD=∠CED=34° \)
\( ∠BFD \) は弧 \( BD \) の円周角，\( ∠BOD \) は弧 \( BD \) の中心角なので，
\( ∠BOD=2∠BFD=2(30°+34°)=128° \)

(8)　１個１２０円のメロンパンが１０％値上がりした。このメロンパンを３個買うとき，代金は 　　　　 円である。ただし，消費税は考えないものとする。

大問３

那覇市に住む太郎さんは，２０１９年から２０２２年までの４年間について那覇市の気温のデータを調べてみた。下の表は，それぞれの年の５月の３１日間について，日最高気温のデータをまとめたもので，図はそのデータをもとに箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，日最高気温とは，１日の中での最高気温のことである。

問１　２０２２年５月の日最高気温を表す箱ひげ図を上の図のＡ～Ｄのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

問２　２０２０年５月の日最高気温の範囲を求めなさい。

問３　那覇市の５月の日最高気温について，上の表および図から読み取れるものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　２０２２年の四分位範囲は，他の年の四分位範囲と比べて最も大きい。
イ　２０２２年は，日最高気温が２５℃以下の日数が７日以上あった。
ウ　２０２２年は，日最高気温が３０℃を超えた日があった。
エ　どの年も日最高気温の平均値は，中央値よりも小さい。

大問４

２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げる。Ａの出た目の数を十の位，Ｂの出た目の数を一の位として２けたの整数 \( n \) をつくる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，どちらのさいころも１から６までの目の出方は，同様に確からしいものとする。

問１　整数 \( n \) は全部で何通りできるか求めなさい。

問２　\( n≧55 \) となる確率を求めなさい。

問３　整数 \( n \) が３の倍数となる確率を求めなさい。

大問５

ある電話会社には，１か月の電話使用料金について，次のようなＡ，Ｂ，Ｃの３種類の料金プランがある。
ただし，１か月の電話使用料金は基本料金と通話料金の合計金額とする。

このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，消費税は考えないものとする。

問１　Ａプランで１か月に \( x \) 分通話したときの電話使用料金を \( y \) 円とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

問３　花子さんは，「私にとっては３種類の料金プランのうちＢプランであると電話使用料金が最も安くなります。」と話している。花子さんの１か月の通話時間は何分から何分までの間と考えられるか，答えなさい。

大問６

結奈さんと琉斗さんは，連続する２つの奇数では，大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数がどんな数になるか調べた。

　\( 1，3 \) のとき　　 \( 3^2−1^2=9−1=8 \)
　\( 3，5 \) のとき　　 \( 5^2−3^2=25−9=16 \)
　\( 5，7 \) のとき　　 \( 7^2−5^2=49−25=24 \)

結奈さんは，これらの結果から次のことを予想した。

上記の <結奈さんの予想> がいつでも成り立つことは，次のように証明できる。

(証明)
\( n \) を整数とすると，連続する２つの奇数は
　　　\( 2n+1，2n+3 \)
と表せる。 大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数は
　　\( (2n+3)^2−(2n+1)^2 \)
　\( =4n^2+12n+9−(4n^2+4n+1) \)
　\( =8n+8 \)
　\( =8(n+1) \)
\( n+1 \) は整数だから，\( 8(n+1) \) は８の倍数である。
したがって，連続する２つの奇数では，大きい奇数の２乗から
小さい奇数の２乗をひいた数は８の倍数になる。

次の各問いに答えなさい。

問１　二人は，「連続する２つの奇数」を「連続する２つの偶数」に変えたとき，どんな数になるかを調べることにした。琉斗さんは，いくつか計算した結果から次のことを予想した。　　　　 にあてはまることばを答えなさい。

問２　問１の <琉斗さんの予想> がいつでも成り立つことを証明しなさい。

大問７

大問８

問２　２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

問３　\( △OAB \) の面積を求めなさい。

問４　関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( t \) である点 \( P \) をとると，\( △PAB \) の面積と \( △OAB \) の面積が等しくなった。
このとき，点 \( P \) の座標を求めなさい。ただし，点 \( P \) は原点 \( O \) と異なり，\( -2≦t≦1 \) とする。

大問９

問１　\( ∠EPR \) を求めなさい。

問２　\( △REP \) と \( △RBD \) が合同であることを証明しなさい。

問３　\( OA：OC=\sqrt{3}：1 \) のとき，\( OQ：QE \) を求めなさい。

大問１０

問１　辺 \( OB \) の長さを求めなさい。

問２　四角すい \( OABCD \) において，\( △OBC \) や \( △QAC \) で三平方の定理を利用することにより， \( AC=\sqrt{7} \; cm \) であることが分かった。
このことによって，分かることがらとして正しくないものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　\( ∠ABC=90° \) である。
イ　線分 \( AC \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の直径である。
ウ　四角形 \( ABCD \) は台形である。
エ　点 \( D \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の周上にある。

問３　四角すい \( OABCD \) の体積を求めなさい。

大問１１

正 \( n \) 角形のそれぞれの辺上に頂点から頂点までに，ある規則にしたがって碁石を並べる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，\( n \) は３以上の自然数とする。

図１は [規則１] にしたがって，正三角形と正四角形の辺上に碁石を並べたものである。

図２は [規則２] にしたがって，正三角形と正四角形の辺上に碁石を並べたものである。

問１　[規則１] にしたがって，正五角形の辺上に碁石を並べるときに必要な碁石の個数を求めなさい。

問２　[規則１] にしたがって，正 \( n \) 角形の辺上に碁石を並べるときに必要な碁石の個数を \( n \) を使った式で表しなさい。

【解説】

例として，正三角形，正四角形，正五角形について，それぞれ必要な碁石の数の規則性を考えます。
　正三角形 ･･･ ３本の辺に３個ずつ並べるので，\( 3 \times 3=9 \)（個）
　正四角形 ･･･ ４本の辺に４個ずつ並べるので，\( 4 \times 4=16 \)（個）
　正五角形 ･･･ ５本の辺に５個ずつ並べるので，\( 5 \times 5=25 \)（個）

よって，
　正 \( n \) 角形 ･･･ \( n \) 本の辺に \( n \) 個ずつ並べるので， \( n \times n=n^2 \)（個）

問３　[規則２] にしたがって碁石を並べるときに必要な碁石の個数を調べる。必要な碁石の個数は，正三角形で６個，正四角形で１２個である。必要な碁石の個数が８７０個となるのは正何角形であるか答えなさい。

【解説】

例として，正三角形，正四角形，正五角形について，それぞれ必要な碁石の数の規則性を考えます。
　正三角形 ･･･ ３本の辺に２個ずつ並べるので，\( 3 \times 2=6 \)（個）
　正四角形 ･･･ ４本の辺に３個ずつ並べるので，\( 4 \times 3=12 \)（個）
　正五角形 ･･･ ５本の辺に４個ずつ並べるので，\( 5 \times 4=20 \)（個）

よって，
　正 \( n \) 角形 ･･･ \( n \) 本の辺に \( n-1 \) 個ずつ並べるので， \( n \times n−1=n(n−1) \)（個）

ここで，\( 870=30 \times 29 \) なので，必要な碁石の個数が８７０個となるのは正三十角形のとき。

８７０＝３０×２９を方程式を解かずに求める方法

\( 870 \) は，\( 900=30 \times 30 \) に近い数なので，\( n \) は \( 30 \) またはそれに近い数であると推測できます。 碁石の数を表す式は \( n(n−1) \) なので，\( 30×29 \) で試してみると，\( 870 \) になることがわかります。
この方法は「\( n^2≦500 \) を満たす \( n \) のうち最も大きい値を求めなさい」のような問題にも使えます。

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(1)  \( -5-(-7) \)

(2)　\( (-12) \div \dfrac{4}{3} \)

(3)　\( 7-5 \times (-2) \)

(4)　\( \sqrt{12}+\sqrt{27} \)

(5)　\( (-3a)^2 \times (-2b) \)

(6)　\( 3(5x+2y)-4(3x-y) \)

大問２

(1)　一次方程式 \( 5x-6=2x+3 \) の解は， \( x= \) 　　　　 である。

(2)　連立方程式  \( \left \{ \begin{array}{}
2x+y=5 \\
x-2y=5
\end{array} \right. \) の解は，\( x= \) 　　　　，\( y= \) 　　　　 である。

(3)　\( (x+3)(x-3) \) を展開して整理すると，　　　　 である。

(4)　\( x^2+2x-15 \) を因数分解すると，　　　　 である。

(5)　二次方程式 \( 2x^2+5x+1=0 \) の解は，\( x= \) 　　　　 である。

(6)　\( \sqrt{5}<n<\sqrt{11} \) となるような自然数 \( n \) の値は，\( n= \) 　　　　 である。

(7)　右の図１のように円 \( O \) の周上に，５点 \( A，B，C，D，E \) があるとき，\( ∠x= \) 　　　　 °である。

【解答】

\( 128 \)

【解説】

弧 \( AE \) 上に点 \( F \) をとると，
弧 \( BC \) の円周角なので \( ∠BFC=∠BAC=30° \)
弧 \( CD \) の円周角なので \( ∠CFD=∠CED=34° \)
\( ∠BFD \) は弧 \( BD \) の円周角，\( ∠BOD \) は弧 \( BD \) の中心角なので，
\( ∠BOD=2∠BFD=2(30°+34°)=128° \)

(8)　１個１２０円のメロンパンが１０%値上がりした。 このメロンパンを３個買うとき，代金は 　　　　 円である。
ただし，消費税は考えないものとする。

大問３

那覇市に住む太郎さんは，２０１９年から２０２２年までの４年間について那覇市の気温のデータを調べてみた。下の表は，それぞれの年の５月の３１日間について，日最高気温のデータをまとめたもので，図はそのデータをもとに箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，日最高気温とは，１日の中での最高気温のことである。

問１　２０２２年５月の日最高気温を表す箱ひげ図を上の図のＡ～Ｄのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

問２　２０２０年５月の日最高気温の範囲を求めなさい。

問３　那覇市の５月の日最高気温について，上の表および図から読み取れるものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　２０２２年の四分位範囲は，他の年の四分位範囲と比べて最も大きい。
イ　２０２２年は，日最高気温が２５℃以下の日数が７日以上あった。
ウ　２０２２年は，日最高気温が３０℃を超えた日があった。
エ　どの年も日最高気温の平均値は，中央値よりも小さい。

大問４

２つのさいころＡ，Ｂを同時に投げる。Ａの出た目の数を十の位，Ｂの出た目の数を一の位として２けたの整数 \( n \) をつくる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，どちらのさいころも１から６までの目の出方は，同様に確からしいものとする。

問１　整数 \( n \) は全部で何通りできるか求めなさい。

問２　\( n≧55 \) となる確率を求めなさい。

問３　整数 \( n \) が３の倍数となる確率を求めなさい。

大問５

ある電話会社には，１か月の電話使用料金について，次のようなＡ，Ｂ，Ｃの３種類の料金プランがある。
ただし，１か月の電話使用料金は基本料金と通話料金の合計金額とする。

このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，消費税は考えないものとする。

問１　Ａプランで１か月に \( x \) 分通話したときの電話使用料金を \( y \) 円とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

問３　花子さんは，「私にとっては３種類の料金プランのうちＢプランであると電話使用料金が最も安くなります。」と話している。花子さんの１か月の通話時間は何分から何分までの間と考えられるか，答えなさい。

大問６

結奈さんと琉斗さんは，連続する２つの奇数では，大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数がどんな数になるか調べた。

　\( 1，3 \) のとき　　 \( 3^2-1^2=9-1=8 \)
　\( 3，5 \) のとき　　 \( 5^2-3^2=25-9=16 \)
　\( 5，7 \) のとき　　 \( 7^2-5^2=49-25=24 \)

結奈さんは，これらの結果から次のことを予想した。

上記の<結奈さんの予想>がいつでも成り立つことは，次のように証明できる。

(証明)
\( n \) を整数とすると，連続する２つの奇数は
　　　\( 2n+1，2n +3 \)
と表せる。 大きい奇数の２乗から小さい奇数の２乗をひいた数は
　　\( (2n+3)^2-(2n+1)^2 \)
　\( =4n^2+12n+9-(4n^2+4n+1) \)
　\( =8n+8 \)
　\( =8(n+1) \)
\( n+1 \) は整数だから， \( 8(n+1) \) は８の倍数である。
したがって，連続する２つの奇数では，大きい奇数の２乗から
小さい奇数の２乗をひいた数は８の倍数になる。

次の各問いに答えなさい。

問１　二人は，「連続する２つの奇数」を「連続する２つの偶数」に変えたとき，どんな数になるかを調べることにした。琉斗さんは，いくつか計算した結果から次のことを予想した。　　　　 にあてはまることばを答えなさい。

問２　問１の <琉斗さんの予想> がいつでも成り立つことを証明しなさい。

大問７

大問８

問２　２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

問３　\( △OAB \) の面積を求めなさい。

問４　関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( t \) である点 \( P \) をとると，\( △PAB \) の面積と \( △OAB \) の面積が等しくなった。
このとき，点 \( P \) の座標を求めなさい。ただし，点 \( P \) は原点 \( O \) と異なり，\( -2≦t≦1 \) とする。

大問９

問１　\( ∠EPR \) を求めなさい。

問２　\( △REP \) と \( △RBD \) が合同であることを証明しなさい。

問３　\( OA：OC=\sqrt{3}：1 \) のとき，\( OQ：QE \) を求めなさい。

大問１０

問１　辺 \( OB \) の長さを求めなさい。

問２　四角すい \( OABCD \) において，\( △OBC \) や \( △QAC \) で三平方の定理を利用することにより， \( AC=\sqrt{7} \; cm \) であることが分かった。
このことによって，分かることがらとして正しくないものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　\( ∠ABC=90° \) である。
イ　線分 \( AC \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の直径である。
ウ　四角形 \( ABCD \) は台形である。
エ　点 \( D \) は，３点 \( A，B，C \) を通る円の周上にある。

問３　四角すい \( OABCD \) の体積を求めなさい。

大問１１

正 \( n \) 角形のそれぞれの辺上に頂点から頂点までに，ある規則にしたがって碁石を並べる。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，\( n \) は３以上の自然数とする。

図１は [規則１] にしたがって，正三角形と正四角形の辺上に碁石を並べたものである。

図２は [規則２] にしたがって，正三角形と正四角形の辺上に碁石を並べたものである。

問１　[規則１] にしたがって，正五角形の辺上に碁石を並べるときに必要な碁石の個数を求めなさい。

問２　[規則１] にしたがって，正 \( n \) 角形の辺上に碁石を並べるときに必要な碁石の個数を \( n \) を使った式で表しなさい。

【解説】

例として，正三角形，正四角形，正五角形について，それぞれ必要な碁石の数の規則性を考えます。
　正三角形 ･･･ ３本の辺に３個ずつ並べるので，\( 3 \times 3=9 \)（個）
　正四角形 ･･･ ４本の辺に４個ずつ並べるので，\( 4 \times 4=16 \)（個）
　正五角形 ･･･ ５本の辺に５個ずつ並べるので，\( 5 \times 5=25 \)（個）

よって，
　正 \( n \) 角形 ･･･ \( n \) 本の辺に \( n \) 個ずつ並べるので，\( n \times n=n^2 \)（個）

問３　[規則２] にしたがって碁石を並べるときに必要な碁石の個数を調べる。必要な碁石の個数は，正三角形で６個，正四角形で１２個である。必要な碁石の個数が８７０個となるのは正何角形であるか答えなさい。

【解説】

例として，正三角形，正四角形，正五角形について，それぞれ必要な碁石の数の規則性を考えます。
　正三角形 ･･･ ３本の辺に２個ずつ並べるので，\( 3 \times 2=6 \)（個）
　正四角形 ･･･ ４本の辺に３個ずつ並べるので，\( 4 \times 3=12 \)（個）
　正五角形 ･･･ ５本の辺に４個ずつ並べるので，\( 5 \times 4=20 \)（個）

よって，
　正 \( n \) 角形 ･･･ \( n \) 本の辺に \( n-1 \) 個ずつ並べるので，\( n \times n-1=n(n-1) \)（個）

ここで，\( 870=30 \times 29 \) なので，必要な碁石の個数が８７０個となるのは正三十角形のとき。

８７０＝３０×２９を方程式を解かずに求める方法

\( 870 \) は，\( 900=30 \times 30 \) に近い数なので，\( n \) は \( 30 \) またはそれに近い数であると推測できます。
碁石の数を表す式は \( n(n-1) \) なので，\( 30 \times 29 \) で試してみると，\( 870 \) になることがわかります。
この方法は「\( n^2≦500 \) を満たす \( n \) のうち最も大きい値を求めなさい」のような問題にも使えます。

The post 沖縄県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説 first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.