熊本 - 数学基礎トレーニングルーム https://service.1escape1.net 中学数学の基礎を学ぶ部屋 Wed, 03 Dec 2025 13:00:50 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.8.13 熊本県公立高校入試　令和７（2025）年度　選択問題Ｂ　解答＆解説 https://service.1escape1.net/kouritsu_kumamotob_2025/ https://service.1escape1.net/kouritsu_kumamotob_2025/#respond Wed, 03 Dec 2025 13:00:50 +0000 https://service.1escape1.net/?p=24367 大問１ （１） \( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \)   （２） \( 2 \times (7-9) \)   （３） \( 7x+4y-(8x-5y) \)   […]

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]]> 大問１

（１） \( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \)

【解答】
\( \dfrac{2}{15} \)
【解説】
\( =\dfrac{5}{15}-\dfrac{3}{15} \)
\( =\dfrac{2}{15} \)

 

（２） \( 2 \times (7-9) \)

【解答】
\( -4 \)
【解説】
\( =2 \times (-2) \)
\( =-4 \)

 

（３） \( 7x+4y-(8x-5y) \)

【解答】
\( -x+9y \)
【解説】
\( =7x+4y-8x+5y \)
\( =-x+9y \)

 

（４） \( 8a^2b \div (-6ab)^2 \times 9b^3 \)

【解答】
\( 2b^2 \)
【解説】
\( =\dfrac{8a^2b \times 9b^3}{(-6ab)^2} \)
\( =\dfrac{72a^2b^4}{36a^2b^2} \)
\( =2b^2 \)

 

（５） \( (2x-3)^2+2(6x+5) \)

【解答】
\( 4x^2+19 \)
【解説】
\( =(4x^2-12x+9)+12x+10 \)
\( =4x^2+19 \)

 

（６） \( \sqrt{10}+\sqrt{40} \)

【解答】
\( 3\sqrt{10} \)
【解説】
\( =\sqrt{10}+2\sqrt{10} \)
\( =3\sqrt{10} \)

 

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x+8=6x-1 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=9 \)

 

（２） \( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。

【解答】
\( 2(x+3)(x-3) \)
【解説】
\( =2(x^2-9) \)
\( =2(x+3)(x-3) \)

 

（３） 右の図のように，\( AB=BC=CD=DE \) である五角形 \( ABCDE \) の５つの頂点 \( A，B，C，D，E \) が点 \( O \) を中心とする円の周上にある。
\( ∠OAB=50° \) であるとき，\( ∠OAE \) の大きさを求めなさい。

【解答】
\( ∠OAE=70° \)

【解説】

補助線 \( OB \) をひくと，\( △OAB \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠AOB=180°-50° \times 2=80° \)

さらに，補助線 \( OC，OD，OE \) をひくと，
\( AB=BC=CD=DE \) より \( △OAB，△OBC，△OCD，△ODE， \) は
いずれも３辺の長さが等しく，合同なので，
　\( ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=80° \)
であり，
　\( ∠AOE=360°-80° \times 4=40° \)

\( △OAE \) も二等辺三角形なので，
　\( ∠OAE=\dfrac{180°-40°}{2}=70° \)

 

（４） 右の図のように，\( 3，4，5，6，7 \) の数字が１つずつ書かれた５個の玉が入った箱がある。この箱から玉を１個取り出し，取り出した玉に書かれている数を確認してから箱にもどすことを２回行う。
１回目に取り出した玉に書かれている数を \( a \)，２回目に取り出した玉に書かれている数を \( b \) とするとき，\( a+b \) の値が \( 24 \) の約数になる確率を求めなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

【解答】
\( \dfrac{7}{25} \)
【解説】

\( a \) と \( b \) の値の組み合わせとそのときの \( a+b \) の値を表に書き出し，\( 24 \) の約数になるところに 〇 を
つけてみます。

\( 24 \) の約数は，\( 1，2，3，4，6，8，12，24 \) なので，あてはまるのは \( 7 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 25 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{25} \) になります。

 

（５） 右の図のように，直線 \( l \) と線分 \( AB \) があり，\( l \) と \( AB \) は交わっている。\( l \) 上に点 \( P \) を，\( ∠APB=90° \) となるようにとりたい。点 \( P \) を，定規とコンパスを使って１つ作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
（交点を  \( C，D \) とします）
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く。
（線分 \( AB \) との交点を \( E \) とします。）
手順３　点 \( E \) を中心に線分 \( AE \) を半径とする円弧を描く。

 

手順３の円弧と直線 \( l \) との交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

点 \( P \) が線分 \( AB \) を直径とする円周上の点のとき，
\( ∠APB \) は直径 \( AB \) に対する円周角であり，
\( ∠APB=90° \) になります。

線分 \( AB \) が直径であるとき，\( AB \) の中点が円の中心になるので，線分 \( AB \) の垂直二等分線を作図することで，円の中心を求められます。

 

（６） 図１のように，縦に \( n \) 段，横に４列のマス目があり，各マス目に数を１つずつ記入する。記入する数は \( 1，1，1，0，0，0 \) の繰り返しで，１段目の１列目から右方向に数を記入し，各段とも４列目まで記入したら，次の段の１列目に移り，つづけて記入する。
例えば，図２は，\( n=4 \) のときのマス目に数を記入したものである。

１　\( n=10 \) のとき，１段目の１列目から１０段目の４列目まで記入したすべての数の和を求めなさい。

【解答】
\( 21 \)
【解説】

このマス目において，
１段目に記入する数を１～４番目の数，
２段目に記入する数を５～８番目の数，
と考え，各段の４列目に注目すると，
１段目の４列目は４ \( (=4 \times 1) \) 番目の数，
２段目の４列目は８ \( (=4 \times 2) \) 番目の数，
なので，
１０段目の４列目には，４０ \( (=4 \times 10) \) 番目の数が記入されます。

次に，【 \( 1，1，1，0，0，0 \) 】 の６個の数の並びを１セットと考えると，
【 \( 1，1，1，0，0，0 \) 】 の数の並び１セットについて，
すべての数の和は \( 3 \) なので，この数の並びが６セット集まったとき，
\( 36(=6 \times 6) \) 番目までの数の和は \( 18(=3 \times 6) \) であり，
１０段目に記入される数は，左から順に【 \( 1，1，1，0 \) 】となるので，
１０段目の４列目まで記入したすべての数の和は \( 21 \) になります。

 

２　\( n \) を３の倍数から２引いた自然数とする。１段目の１列目から \( n \) 段目の４列目まで記入したすべての数の和を，\( n \) を使った式で表しなさい。

【解答】
\( 2n+1 \)
【解説】
\( n \) が３の倍数から２引いた自然数ということは，
\( n \) 段目は
　１ \( (=3 \times 1-2) \) 段目，
　４ \( (=3 \times 2-2) \) 段目，
　７ \( (=3 \times 3-2) \) 段目，
･･･
になります。

試しに７段目までを表に書き込んでみると，右の図のようになります。

この表で，３段ずつをまとめて考えると，
３段の中に，【 \( 1，1，1，0，0，0 \) 】 の数の並びがちょうど２セット入っているので，和が \( 6 \) になることがわかります。

つまり，
３段目の４列目までの和は \( 6 \)，
６段目の４列目までの和は \( 12 \)，
９段目の４列目までの和は \( 18 \)，
になります。

次に，１段目，４段目，７段目に注目すると，すべて【 \( 1，1，1，0 \) 】になっていて，
１段目だけの和，４段目だけの和，７段目だけの和，はすべて \( 3 \) になっています。

１段目，４段目，７段目，･･･ の並びを１段目，４ \( (=3+1) \) 段目，７ \( (=6+1) \) 段目，･･･ と考えると，
\( n \) 段目の４列目までの和は次のようになります。

よって，この関係を \( n \) を使った式で表すと，\( 2n+1 \) になります。

 

（７） あるタクシー会社の運賃は，タクシーに乗って移動した距離で決まる金額Ａと，タクシーの利用中に信号待ちや渋滞など，時速 \( 10 \; km \) 以下であった時間で決まる金額Ｂとを合計した金額である。タクシーに乗って移動した距離と金額Ａの関係は表１のとおりであり，\( 1100 \; m \) をこえると，\( 300 \; m \) ごとに \( 100 \) 円が加算される。また，時速 \( 10 \; km \) 以下であった時間と金額Ｂの関係は表２のとおりであり，\( 120 \) 秒をこえると，\( 120 \) 秒ごとに \( 100 \) 円が加算される。なお，消費税は考えないものとする。

１　この会社のタクシーに乗って \( x \; m \) 移動したときの金額Ａを \( y \) 円とする。\( 0<x≦2000 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適当なものを，下のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。ただし，グラフにおいて，端の点をふくむ場合は ●，ふくまない場合は ○ で表している。

【解答】
ウ
【解説】
タクシーの運賃は，一定の距離をこえると一気に料金が跳ね上がります。
（例えば，この会社の場合，運賃が \(  750  \) 円になることは絶対にありません）
このような変化のしかたを表しているグラフは ウ または エ になります。

エ のグラフは，\( 1100 \; m  \) までの料金が \(  0  \) 円になっているので誤りであり，
あてはまるのは ウ のグラフになります。

 

２　次の 　Ｐ　 ～ 　Ｒ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。

この会社のタクシーに乗って \( 6300 \; m \) 移動したところ,金額Ａと金額Ｂの合計が \( 2900 \) 円であった。
このとき,金額Ａは 　Ｐ　 円であり,タクシーの利用中に時速 \( 10 \; km \) 以下であった時間は 　Ｑ　 秒を
こえて 　Ｒ　 秒までであったことがわかる。

【解答】
　Ｐ　 ･･･ \( 2500 \)
　Ｑ　 ･･･ \( 480 \)
　Ｒ　 ･･･ \( 600 \)
【解説】
　Ｐ　
\( 6300 \; m \) 移動したときの金額Ａについて，
距離によって変動する部分は，\( 8300-1100=5200 \; (m) \) であり，
\( 300 \; m \) ごとに \( 100 \) 円が加算されるので，
\( \dfrac{5200}{300}=17.333･･･ \) より，\( 1800 \) 円が加算されます。
つまり，\( 6300 \; m \) 移動したときの金額Ａは，\( 700+1800=2500 \)（円）になります。

　Ｑ　，　Ｒ　
\( 6300 \; m \) 移動したときの金額Ｂは，\( 2900-2500=400 \)（円）なので，
あてはまるのは，「 \( 480 \) 秒をこえて \( 600 \) 秒まで」 になります。


 

大問３

ある高校の１年生が,ハンドボール投げの測定を行った。図１は，１組から３組のうちのある組について，\( 35 \) 人の測定結果をヒストグラムに表したものである。このヒストグラムでは，例えば，\( 4 \) ～ \( 8 \) の階級では，測定結果が \( 4 \; m \) 以上 \( 8 \; m \) 未満の人数が \( 2 \) 人であったことを表している。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，測定結果はすべて自然数である。

（１） 次は,図１のヒストグラムからいえることについて述べた文章である。　Ａ　，　Ｂ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。ただし，　Ｂ　 は小数第３位を四捨五入して答えなさい。

測定結果の最頻値は 　Ａ　 \( m \) である。また，\( 16 \; m \) 未満の人数の累積相対度数は 　Ｂ　 である。

【解答】
　Ａ　 ･･･ \( 22 \)
　Ｂ　 ･･･ \( 0.34 \)
【解説】
　Ａ　
最頻値とは，度数がもっとも大きい階級の階級値のことです。
度数がもっとも大きい階級は，\( 20 \; m \) 以上 \( 24 \; m \) 未満の階級なので，
その階級値は，\( \dfrac{20+24}{2}=22 \; (m) \) になります。

　Ｂ　
累積相対度数は，【ある階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計】で求めることができます。
\( 16 \; m \) 未満の階級の累積度数は \( 2+4+6=12 \)（人）
すべての階級の度数の合計は，その組全員の人数なので，\( 35 \) 人
よって，累積相対度数は，
\( 12 \div 35=0.3428･･･ \)
小数第３位を四捨五入すると，\( 0.34 \)

 

（２） 図２は，１組，２組，３組の，それぞれ \( 35 \) 人の測定結果を箱ひげ図に表したものである。

ここで，１組の箱ひげ図が図１のヒストグラムに対応していないことは，次のように説明できる。

図１のヒストグラムで，第１四分位数が入っている階級は \( 12 \; m \) 以上 \( 16 \; m \) 未満であるが，１組の箱ひげ図の第１四分位数はこの階級に入っていないからである。

２組と３組の箱ひげ図のうち，図１のヒストグラムに対応していないのはどちらであると考えられるか，下のア，イから１つ選び，記号で答えなさい。また，そのように考えた理由を，「図１のヒストグラムで，」につづけてかきなさい。

　　　　 ア　２組 　　イ　３組

【解答】
イ
図１のヒストグラムで，
中央値が入っている階級は \( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満であるが，
３組の箱ひげ図の中央値はこの階級に入っていないから。
【解説】
全部で \( 35 \) 人のデータを集計した結果なので，中央値は，値の小さい方から１８番目の値になります。

図１のヒストグラムで，各階級の累積度数を確認すると，\( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級の累積度数が
\( 18 \) 人になっているので，中央値は \( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級に入っていることがわかります。

これに対して，３組の箱ひげ図では中央値は \( 20 \; m \) で，\( 20 \; m \) 以上 \( 24 \; m \) 未満の階級に入っているので，
図１のヒストグラムに対応していないといえます。

 

（３） 後日，図１のヒストグラムの \( 35 \) 人のデータのうちの１つが，\( 26 \; m \) ではなく \( 20 \; m \) であることがわかった。データの修正前と修正後で値が変わるものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　第１四分位数 　　イ　中央値 　　ウ　第３四分位数　　エ 四分位範囲 　　オ　平均値

【解答】
ウ，エ，オ
【解説】
ここまでの内容から，図１のヒストグラムが対応している箱ひげ図は２組のものです。
２組の箱ひげ図に注目すると，第３四分位数（大きい方から９番目の値）が \( 24 \; m \) であることから，
修正前の \( 26 \; m \) のデータは大きい方から２～８番目のどこかにあったとわかります。
また，中央値（大きい方から１８番目の値）が \( 19 \; m \) であることから，
修正後の \( 20 \; m \) のデータは大きい方から９～１７番以内のどこかになることがわかります。

ここまでを参考にア～オのそれぞれの値が変わるか確認します。

【ア　第１四分位数】と【イ　中央値】
修正前の \( 26 \; m \) のデータと修正後の \( 20 \; m \) のデータは，
どちらも中央値 \( 19 \; m \) よりも大きい値なので，第一四分位数と中央値の値は変わりません。

【ウ　第３四分位数】
箱ひげ図から，大きい方から９番目の値は \( 24 \; m \) であり，
ヒストグラムから，修正前の \( 24 \; m \) 以上の記録の人は９人なので，
大きい方から１０番目（上の図で●）のデータは \( 24 \; m \) 未満であったことがわかります。

ここから，修正後には \( 26 \; m \) のデータが１個なくなるので，
修正後の \( 24 \; m \) 以上の記録の人は８人になります。
つまり，修正前の大きい方から１０番目のデータまたは修正後の \( 20 \; m \) のデータが
第３四分位数になるので，第３四分位数の値は変わります。

【エ 四分位範囲】
四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
第３四分位数の値が変わり，第１四分位数の値は変わらないので，四分位範囲の値は変わります。

【オ　平均値】
平均値は，「すべてのデータの合計 \( \div \) データの個数」で求めることができます。
データの１つの値だけが変化するとき，すべてのデータの合計も変わります。
データの個数は変わらないので，平均値は変わります。

 

大問４

図１は，点 \( A，B，C，D，E，F，G，H \) を頂点とし，４つの側面がそれぞれ長方形である四角柱で，\( AB=5 \; cm，AD=4 \; cm，BF=6 \; cm， \)
\( FG=8 \; cm，∠ADC=∠BCD=90° \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） 辺 \( AD \) とねじれの位置にある辺を，次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　辺 \( AB \) 　　イ 辺 \( BF \) 　　ウ　辺 \( CD \) 　　エ　辺 \( EF \) 　　オ 辺 \( FG \)

【解答】
イ，エ
【解説】
ねじれの位置にある辺とは，どこまで延ばしても交わらない２辺のうち，
平行なものを除いた辺の関係のことです。

【ア　辺 \( AB \)，ウ　辺 \( CD \) 】
辺 \( AD \) と交わるのでねじれの辺ではありません。

【オ 辺 \( FG \) 】
辺 \( AD \) と平行なのでねじれの辺ではありません。

 

（２） 辺 \( GH \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( GH=3 \; cm \)
【解説】
この四角柱において，四角形 \( ABCD \) と四角形 \( EFGH \) は合同なので，
\( EF=AB=5 \; cm，EH=AD=4 \; cm \) です。

点 \( E \) から、辺 \( FG \) に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( ∠ADC=∠BCD=90° \) より，
\( EH//FG \) なので，
\( IG=EH=4 \; cm \) であり，
\( FI=FG-IG=4 \; cm \) です。

\( △EFI \) は斜辺が \( 4 \; cm \)，他の１辺が \( 4 \; cm \) の直角三角形，
つまり，３辺の比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( EI=3 \; cm \) であり，
\( EI//GH \) より，\( GH=EI=3 \; cm \)

 

（３） 図２は，２つの線分 \( EG，FH \) の交点を \( P \) とし，線分 \( BH \) 上に点 \( Q \) を，線分 \( BQ \) と線分 \( QH \) の長さの比が \( BQ：QH=2：3 \) となるようにとったものである。

１　\( △EFP \) の面積を求めなさい。

【解答】
\( △EFP=4 \; cm^2 \)
【解説】

\( △PEH \) と \( △PGF \) において，
\( EH//FG \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠PEH=∠PGF，∠PHE=∠PFG \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △PEH \) ∽ \( △PGF \)
対応する辺の比は広しいので，
　\( HP：FP=EH：FG=1：2 \)

\( △EFP \) と \( △EFH \) は高さが共通なので，
　\( △EFP：△EFH=FP：FH=2：3 \)
　\( △EFP=\dfrac{2}{3}△EFH \)

\( △EFH \) の面積は，
　\( △EFH=4 \times 3  \times \dfrac{1}{2}=6 \; (cm^2) \)
なので，
　\( △EFP=\dfrac{2}{3} \times 6=4 \; (cm^2) \)

 

２　三角すい \( QEFP \) の体積を求めなさい。

【解答】
三角すい \( QEFP=\dfrac{24}{5} \; cm^3 \)
【解説】

点 \( Q \) から面 \( EFP \) に垂線をひき，
交点を \( R \) とすると，
\( QR \) は， \( △EFP \) を底面としたときの
高さであり，
点 \( R \) は線分 \( FH \) 上の点になります。

面 \( BFHD \) に注目すると，
\( △BFH \) と \( △QRH \) において，
仮定より，
　\( ∠BFH=∠QRH=90° \)
　\( ∠BHF=∠QHR \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BFH \) ∽ \( △QRH \)

対応する辺の比は等しいので，\( BQ：QH=2：3 \) より，
　\( BF：QR=(BQ+QH)：QH=5：3 \)
　　　　\( QR=\dfrac{3}{5}BF\)
　　　　　　\( =\dfrac{3}{5} \times 6 \)
　　　　　　\( =\dfrac{18}{5} \; (cm) \)

よって，三角すい \( QEFP \) の体積は，
　\( 4 \times \dfrac{18}{5} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{24}{5} \; (cm^3) \)

 

大問５

右の図のように，２つの関数
　\( y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) ･･･ ➀
　\( y=ax^2 \)（\( a \) は定数） ･･･ ➁
のグラフがある。
点 \( A \) は関数➀のグラフ上にあり，\( x \) 座標は \( 2 \) である。点 \( B \) は関数➁のグラフ上にあり，\( y \) 座標が \( 4 \) で，直線 \( AB \) は原点 \( O \) を通る。また，点 \( C \) の座標は \( (4，0) \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） \( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=\dfrac{1}{4} \)
【解説】

点 \( A \) は \( y=-\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標の値は
　\( y=-\dfrac{1}{2} \times 2^2=-2 \)

直線 \( AB \) は原点と \( A(2，-2) \) を通るので，
直線 \( AB \) の式は，\( y=-x \)

点 \( B \) は \( y=-x \) 上の点で，\( y \) 座標が \( 4 \) なので，
\( x \) 座標の値は \( -4 \)

\( y=ax^2 \) のグラフは，\( B(-4，4) \) を通るので，
　\( 4=a \times (-4)^2 \)
　\( 4=16a \)
　\( a=\dfrac{1}{4} \)

 

（２） 直線 \( BC \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=-\dfrac{1}{2}x+2 \)
【解説】
直線 \( BC \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
\( B(-4，4) \) と \( C(4，0) \) を通るので，
　\( m=\dfrac{0-4}{4-(-4)}=-\dfrac{1}{2} \)

\( y=-\dfrac{1}{2}x+n \) に \( x=4，y=0 \) を代入すると，
　\( 0=-\dfrac{1}{2} \times 4+n \)
　\( n=2 \)

よって，直線 \( BC \) の式は \( y=-\dfrac{1}{2}x+2 \)

 

（３） 直線 \( BC \) と \( y \) 軸との交点を \( D \) とする。また，関数➁のグラフ上において，\( x \) 座標が \( 2 \) より大きい点 \( P \) をとる。
\( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，

１　四角形 \( OCPD \) の面積を，\( t \) を使った式で表しなさい。

【解答】
\( \dfrac{1}{2}t^2+t \)
【解説】

点 \( P \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( t \) なので，
\( y \) 座標の値は \( \dfrac{1}{4}t^2 \) と表すことができます。

四角形 \( OCPD \) を \( △OPD \) と \( △OPC \) に分けて考えると，
\( △OPD，△OPC \) の面積は，
　\( △OPD=2 \times t \times \dfrac{1}{2}=t \)
　\( △OPC=4 \times \dfrac{1}{4}t^2 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}t^2 \)
と表すことができるので，
　四角形 \( OCPD=△OPD+△OPC \)
　　　　　　　　 \( =\dfrac{1}{2}t^2+t \)
と表すことができます。

 

２　四角形 \( OCPD \) の面積が，\( △BAC \) の面積の２倍となるような \( t \) の値を求めなさい。

【解答】
\( t=6 \)
【解説】
１ で四角形 \( OCPD \) の面積が \( \dfrac{1}{2}t^2+t \) で表せることがわかっているので，
\( △BAC \) の面積を \( S \) とすると，四角形 \( OCPD \) の面積と \( △BAC \) の面積の関係は，
\( \dfrac{1}{2}t^2+t=2S \) となります。

辺 \( BA \) を \( △BAC \) の底辺として，
点 \( C \) を通り，直線 \( AB \) と平行な直線と \( y \) 軸との交点を \( E \) とすると，
等積変形の考え方から，\( △BAC \) と \( △BAE \) の
面積は等しくなります。

\( △BAE \) を \( △BOE \) と \( △AOE \) に分けると，
\( △BOE，△AOE \) の面積は，
　\( △BOE=4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=8 \)
　\( △AOE=4 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=4 \)
なので，
　\( △BAE=△OPD+△OPC \)
　　　　　\( =8+4 \)
　　　　　\( =12 \)
です。

よって，四角形 \( OCPD \) の面積が，\( △BAC \) の面積の２倍となるとき，
　　　　\( \dfrac{1}{2}t^2+t=2 \times 12 \)
　　　　 \( t^2+2t=48 \)
　　\( t^2+2t-48=0 \)
　\( (t-6)(t+8)=0 \)
　　　　　　　 \( t=6 \)（ \( t>2 \) より）

 

大問６

次は，大輔さんと美咲さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。会話文を読んで，あとの各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

先生：今日は，コンピュータを使って図形の勉強をします。
　　　では，次の課題について考えてみましょう。

(課題)
図１は，線分 \( AB \) を直径とする半円であり，点 \( O \) は \( AB \) の中点である。\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上に点 \( C \) を，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) の長さが \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) の長さより長くなるようにとる。点 \( D \) は \( C \) で半円と接する直線上にあり，\( AD//OC \) である。また，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) と線分 \( AD \) の交点を \( E \) とし，\( AD \) 上に点 \( F \) を，\( AF=AO \) となるようにとる。
このとき，\( △DFC \) と \( △EAB \) はどんな関係にあるか調べなさい。

先生：点 \( C \) を \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上のどこにとるかによって，３点 \( D，E，F \) の位置が変わり，\( △DFC \) と \( △EAB \)
　　　の形や大きさも変わります。\( C \) を \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上で，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) の長さが \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) の長さより長くなる条件で
　　　動かせるようにしたので，動かしてみてください。
大輔：先生，\( C \) の位置を変えてみたら，\( F \) が線分 \( DE \) 上ではなく，図２のように，線分 \( AE \) 上に
　　　とれました。
先生：そうですね。それでは，課題にある，\( △DFC \) と \( △EAB \) はどんな関係にありますか。
美咲：\( C \) の位置に関係なく，\( △DFC \) と \( △EAB \) は相似になりそうです。
先生：その通りです。では，相似になることを証明してみましょう。

（１） 下線部について，\( △DFC \) ∽ \( △EAB \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △DFC \) と \( △EAB \) において，
直径 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠AEB=90° \) ･･･ ➀
仮定より，直線 \( CD \) は，点 \( C \) における円 \( O \) の接線なので，
\( OC⊥CD \)
仮定より，\( AD//OC \) なので，\( AD⊥CD \) でもあり，
　\( ∠FDC=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠FDC=∠AEB \) ･･･ ➂
仮定より，\( AF=AO \) ･･･ ➃
円 \( O \) の半径なので，
　\( CO=AO \) ･･･ ➄
➃➄より，
　\( AF=CO \) ･･･ ⑥
さらに，\( AD//OC \) でもあることから，
四角形 \( AOCF \) はひし形（注）であり，
　\( FC//AB \)
ここから，同位角は等しいので，
　\( ∠DFC=∠EAB \) ･･･ ⑦
➂➆より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △DFC \) ∽ \( △EAB \)

\( \phantom{　} \)

注：四角形ＡＯＣＦがひし形とわかる理由
\( △AOF \) と \( △CFO \) において，
仮定より，
　\( AF=CO \) ･･･ ➀
\( AD//OC \) より錯角は等しいので，
　\( ∠AFO=∠COF \) ･･･ ➁
辺 \( OF \) は共通 ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AOF≡△CFO \)
対応する辺は等しいので，\( AO=CF \)
よって，四角形 \( AOCF \) は４つの辺が
すべて等しいのでひし形といえます。

 

 

（２） 図２において，\( AB=9 \; cm，BC=3 \; cm \) のとき,

１　線分 \( DC \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( DC=2\sqrt{2} \; cm \)
【解説】

線分 \( BE \) と線分 \( OC \) の交点を \( G \) とすると，
\( ∠AEB=∠ADC=90°，AD//OC \) より \( DC=EG \) ･･･ ➀ になっています。

また，\( △EAB \) ∽ \( △GOB \) であり，
点 \( O \) は \( AB \) の中点であること，
\( AD//OC \) であることから，
点 \( G \) は \( EB \) の中点，つまり，\( EG=GB \) ･･･ ➁ になっています。

➀➁から，\( DC=GB \) になっています。

\( △BOG \) と \( △BCG \) において，
\( OG=x \; cm \) とすると，\( OC=OB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{9}{2} \; cm \) なので，
\( CG=\left(\dfrac{9}{2}-x\right) \; cm \) と表すことができ，
三平方の定理より，
　\( BO^2-OG^2=BC^2-CG^2 \)
　\( \left(\dfrac{9}{2}\right)^2-x^2=3^2-\left(\dfrac{9}{2}-x\right)^2 \)
　　　　　　 \( x=\dfrac{7}{2} \; (cm) \)

\( △BOG \) において，三平方の定理より，
　\( BG^2=BO^2-OG^2 \)
　　　　\( =\left(\dfrac{9}{2}\right)^2-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2 \)
　　　　\( =8 \)
　 \( BG=2\sqrt{2} \; (cm) \)（\( BG>0 \) より）

よって，\( DC=BG=2\sqrt{2} \; cm \)

 

２　線分 \( EF \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( EF=\dfrac{5}{2} \; cm \)
【解説】

\( △BOG \) と \( △CFD \) において，
ここまでの結果から，
　\( ∠OGB=∠FDC=90° \)
　\( OB=AO=FC \)
\( AD//OC，FC//AB \) なので，
　\( ∠GOB=∠DAB=∠DFC \)
直角三角形において，
斜辺と他の１つの鋭角がそれぞれ等しいので，
　\( △BOG≡△CFD \)

合同な三角形の対応する辺は等しいので，
１より，
　\( FD=OG=\dfrac{7}{2} \; cm \)
\( OC=OB=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{9}{2} \; cm \) より，
　\( GC=OC-OG=1 \; (cm) \)
\( AD//OC，DC//EB \) より，\( ED=GG=1 \; cm \) なので，
　\( EF=FD-ED=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)

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]]> 大問１

（１） \( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \)

【解答】
\( \dfrac{2}{15} \)
【解説】
\( =\dfrac{5}{15}-\dfrac{3}{15} \)
\( =\dfrac{2}{15} \)

 

（２） \( 2 \times (7-9) \)

【解答】
\( -4 \)
【解説】
\( =2 \times (-2) \)
\( =-4 \)

 

（３） \( 7x+4y-(8x-5y) \)

【解答】
\( -x+9y \)
【解説】
\( =7x+4y-8x+5y \)
\( =-x+9y \)

 

（４） \( 8a^2b \div (-6ab)^2 \times 9b^3 \)

【解答】
\( 2b^2 \)
【解説】
\( =\dfrac{8a^2b \times 9b^3}{(-6ab)^2} \)
\( =\dfrac{72a^2b^4}{36a^2b^2} \)
\( =2b^2 \)

 

（５） \( (2x-3)^2+2(6x+5) \)

【解答】
\( 4x^2+19 \)
【解説】
\( =(4x^2-12x+9)+12x+10 \)
\( =4x^2+19 \)

 

（６） \( \sqrt{10}+\sqrt{40} \)

【解答】
\( 3\sqrt{10} \)
【解説】
\( =\sqrt{10}+2\sqrt{10} \)
\( =3\sqrt{10} \)

 

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x+8=6x-1 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=9 \)

 

（２） \( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。

【解答】
\( 2(x+3)(x-3) \)
【解説】
\( =2(x^2-9) \)
\( =2(x+3)(x-3) \)

 

（３） 右の図のように，\( AB=BC=CD=DE \) である五角形 \( ABCDE \) の５つの頂点 \( A，B，C，D，E \) が点 \( O \) を中心とする円の周上にある。
\( ∠OAB=50° \) であるとき，\( ∠OAE \) の大きさを求めなさい。

【解答】
\( ∠OAE=70° \)

【解説】

補助線 \( OB \) をひくと，\( △OAB \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠AOB=180°-50° \times 2=80° \)

さらに，補助線 \( OC，OD，OE \) をひくと，
\( AB=BC=CD=DE \) より \( △OAB，△OBC，△OCD，△ODE， \) は
いずれも３辺の長さが等しく，合同なので，
　\( ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=80° \)
であり，
　\( ∠AOE=360°-80° \times 4=40° \)

\( △OAE \) も二等辺三角形なので，
　\( ∠OAE=\dfrac{180°-40°}{2}=70° \)

 

（４） 右の図のように，\( 3，4，5，6，7 \) の数字が１つずつ書かれた５個の玉が入った箱がある。この箱から玉を１個取り出し，取り出した玉に書かれている数を確認してから箱にもどすことを２回行う。
１回目に取り出した玉に書かれている数を \( a \)，２回目に取り出した玉に書かれている数を \( b \) とするとき，\( a+b \) の値が \( 24 \) の約数になる確率を求めなさい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

【解答】
\( \dfrac{7}{25} \)
【解説】

\( a \) と \( b \) の値の組み合わせとそのときの \( a+b \) の値を表に書き出し，\( 24 \) の約数になるところに 〇 を
つけてみます。

\( 24 \) の約数は，\( 1，2，3，4，6，8，12，24 \) なので，あてはまるのは \( 7 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 25 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{25} \) になります。

 

（５）　右の図のように，平行でない2本の直線 \( l，m \) が点 \( A \) で交わっており，点 \( B \) は \( l \) 上にあって \( A \) と異なる点である。\( m \) 上に点 \( P \) を，\( ∠APB=90° \) となるようにとりたい。点 \( P \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】
\( ∠APB=90° \) になればいいので，点 \( B \) から直線 \( m \) に垂線をひけばいいことになります。

手順１　点 \( B \) を中心に円弧を描く
（直線 \( m \) との交点を \( C，D \) とします）
手順２　２点 \( C，D \) を中心に円弧を描く
（交点を \( E \) とします）
手順３　２点 \( B，E \) を通る直線を描く

手順３の直線と直線 \( m \) との交点が
求める点 \( P \) になります。

 

（６） 図１のように，縦に \( n \) 段，横に４列のマス目があり，次のように各マス目に数を１つずつ記入する。

・　数は，\( 1，1，1，0，0，0 \) を繰り返し記入する。
・　１段目の１列目から右方向に数を記入し，各段
　　とも４列目まで記入したら，次の段の１列目に
　　移り，つづけて記入する。

例えば，図２は，\( n=4 \) のときのマス目に数を記入したものであり，１段目に記入した数は，１列目から４列目まで順に，\( 1，1，1，0 \) である。

１　\( n=11 \) のとき，１１段目に記入した数を，１列目から４列目まで順に書きなさい。

【解答】
\( 0，0，1，1 \)
【解説】

このマス目において，
１段目に記入する数を１～４番目の数，
２段目に記入する数を５～８番目の数，
と考え，各段の４列目に注目すると，
１段目の４列目は４ \( (=4 \times 1) \) 番目の数，
２段目の４列目は８ \( (=4 \times 2) \) 番目の数，
なので，
１０段目の４列目には，４０ \( (=4 \times 10) \) 番目の数が記入され，
１１段目には４１～４４番目の数が記入されます。

次に，【 \( 1，1，1，0，0，\color{blue}{0} \) 】 の６個の数の並びを１セットと考えると，
２セット目の【 \( 1，1，1，0，0，\color{blue}{0} \) 】 の並びは７～１２番目の数と考えることができ，
\( m \) 番目の \( m \) の値が６の倍数になるとき（５番目，１２番目，１８番目，･･･）の数は，
必ず \( \color{blue}{0} \) になります。
ここから，４２番目の数は \( \color{blue}{0} \) になることがわかります。

よって，４１番目の数は \( 0 \)，４３番目，４４番目の数は \( 1 \) になります。

 

２　１段目の１列目から \( n \) 段目の４列目まで記入したすべての数の和が \( 35 \) であるとき，\( n \) の値を求めなさい。

【解答】
\( n=17 \)
【解説】
\( n \) 段目の４列目の数は１段目の１列目から数えて \( 4n \) 番目の数になります。

【 \( 1，1，1，0，0，\color{blue}{0} \) 】 の数の並び１セットについて，
すべての数の和は \( 3 \) なので，この数の並びが１２セット集まったとき，
\( 72=(6 \times 12) \) 番目までの数の和は \( 36(=3 \times 12) \) であり，
下の表のように６８番目までの数の和が \( 35 \) になります。


　　注：１２セット目だけを書いています

つまり，\( n \) 段目の４列目の数が \( 68 \) 番目の数であればいいので，
　\( 4n=68 \)
　　\( n=17 \)

 

（７） あるタクシー会社の運賃は，タクシーに乗って移動した距離に応じて下の表のように決まっており，\( 1100 \; m \) をこえると，\( 300 \; m \) ごとに \( 100 \) 円が加算される。なお，消費税は考えないものとする。

:                                                      :

１　この会社のタクシーに乗って \( 2500 \; m \) 移動したときの運賃はいくらになるか，求めなさい。

【解答】
\( 1200 \) 円
【解説】
運賃の表をさらに追加していくと，下の表のようになり，
\( 2500 \; m \) 移動したときの運賃は \( 1200 \) 円になります。

　　　

 

２　この会社のタクシーに乗って \( x \; m \) 移動したときの運賃を \( y \) 円とする。\( 0<x≦2000 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適当なものを，下のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。ただし，グラフにおいて，端の点をふくむ場合は ● ，ふくまない場合は 〇 で表している。

【解答】
ウ
【解説】
タクシーの運賃は，一定の距離をこえると一気に料金が跳ね上がります。
（例えば，この会社の場合，運賃が \( 750 \) 円になることは絶対にありません）
このような変化のしかたを表しているグラフは ウ または エ になります。

エ のグラフは，\( 1100 \; m \) までの料金が \( 0 \) 円になっているので誤りであり，
あてはまるのは ウ のグラフになります。

 

大問３

ある高校の１年生が,ハンドボール投げの測定を行った。図１は，１組から３組のうちのある組について，\( 35 \) 人の測定結果をヒストグラムに表したものである。このヒストグラムでは，例えば，\( 4 \) ～ \( 8 \) の階級では，測定結果が \( 4 \; m \) 以上 \( 8 \; m \) 未満の人数が \( 2 \) 人であったことを表している。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，測定結果はすべて自然数である。

（１） 次は,図１のヒストグラムからいえることについて述べた文章である。　Ａ　，　Ｂ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。ただし，　Ｂ　 は小数第３位を四捨五入して答えなさい。

測定結果の最頻値は 　Ａ　 \( m \) である。また，\( 16 \; m \) 未満の人数の累積相対度数は 　Ｂ　 である。

【解答】
　Ａ　 ･･･ \( 22 \)
　Ｂ　 ･･･ \( 0.34 \)
【解説】
　Ａ　
最頻値とは，度数がもっとも大きい階級の階級値のことです。
度数がもっとも大きい階級は，\( 20 \; m \) 以上 \( 24 \; m \) 未満の階級なので，
その階級値は，\( \dfrac{20+24}{2}=22 \; (m) \) になります。

　Ｂ　
累積相対度数は，【ある階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計】で求めることができます。
\( 16 \; m \) 未満の階級の累積度数は \( 2+4+6=12 \)（人）
すべての階級の度数の合計は，その組全員の人数なので，\( 35 \) 人
よって，累積相対度数は，
\( 12 \div 35=0.3428･･･ \)
小数第３位を四捨五入すると，\( 0.34 \)

 

（２） 図２は，１組，２組，３組の，それぞれ \( 35 \) 人の測定結果を箱ひげ図に表したものである。

ここで，１組の箱ひげ図が図１のヒストグラムに対応していないことは，次のように説明できる。

図１のヒストグラムで，第１四分位数が入っている階級は \( 12 \; m \) 以上 \( 16 \; m \) 未満であるが，１組の箱ひげ図の第１四分位数はこの階級に入っていないからである。

２組と３組の箱ひげ図のうち，図１のヒストグラムに対応していないのはどちらであると考えられるか，下のア，イから１つ選び，記号で答えなさい。また，そのように考えた理由を，「図１のヒストグラムで，」につづけてかきなさい。

　　　　 ア　２組 　　イ　３組

【解答】
イ
図１のヒストグラムで，
中央値が入っている階級は \( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満であるが，
３組の箱ひげ図の中央値はこの階級に入っていないから。
【解説】
全部で \( 35 \) 人のデータを集計した結果なので，中央値は，値の小さい方から１８番目の値になります。

図１のヒストグラムで，各階級の累積度数を確認すると，\( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級の累積度数が
\( 18 \) 人になっているので，中央値は \( 16 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級に入っていることがわかります。

これに対して，３組の箱ひげ図では中央値は \( 20 \; m \) で，\( 20 \; m \) 以上 \( 24 \; m \) 未満の階級に入っているので，
図１のヒストグラムに対応していないといえます。

 

（３） 後日，図１のヒストグラムの \( 35 \) 人のデータのうちの１つが，\( 26 \; m \) ではなく \( 20 \; m \) であることがわかった。データの修正前と修正後で値が変わるものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　第１四分位数 　　イ　中央値 　　ウ　第３四分位数　　エ 四分位範囲 　　オ　平均値

【解答】
ウ，エ，オ
【解説】
ここまでの内容から，図１のヒストグラムが対応している箱ひげ図は２組のものです。
２組の箱ひげ図に注目すると，第３四分位数（大きい方から９番目の値）が \( 24 \; m \) であることから，
修正前の \( 26 \; m \) のデータは大きい方から２～８番目のどこかにあったとわかります。
また，中央値（大きい方から１８番目の値）が \( 19 \; m \) であることから，
修正後の \( 20 \; m \) のデータは大きい方から９～１７番以内のどこかになることがわかります。

ここまでを参考にア～オのそれぞれの値が変わるか確認します。

【ア　第１四分位数】と【イ　中央値】
修正前の \( 26 \; m \) のデータと修正後の \( 20 \; m \) のデータは，
どちらも中央値 \( 19 \; m \) よりも大きい値なので，第一四分位数と中央値の値は変わりません。

【ウ　第３四分位数】
箱ひげ図から，大きい方から９番目の値は \( 24 \; m \) であり，
ヒストグラムから，修正前の \( 24 \; m \) 以上の記録の人は９人なので，
大きい方から１０番目（上の図で●）のデータは \( 24 \; m \) 未満であったことがわかります。

ここから，修正後には \( 26 \; m \) のデータが１個なくなるので，
修正後の \( 24 \; m \) 以上の記録の人は８人になります。
つまり，修正前の大きい方から１０番目のデータまたは修正後の \( 20 \; m \) のデータが
第３四分位数になるので，第３四分位数の値は変わります。

【エ 四分位範囲】
四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
第３四分位数の値が変わり，第１四分位数の値は変わらないので，四分位範囲の値は変わります。

【オ　平均値】
平均値は，「すべてのデータの合計 \( \div \) データの個数」で求めることができます。
データの１つの値だけが変化するとき，すべてのデータの合計も変わります。
データの個数は変わらないので，平均値は変わります。

 

大問４

図１は，点 \( A，B，C，D，E，F，G，H \) を頂点とし，４つの側面がそれぞれ長方形である四角柱で，\( AB=5 \; cm，AD=4 \; cm，BF=6 \; cm， \)
\( FG=8 \; cm，∠ADC=∠BCD=90° \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） 辺 \( AD \) とねじれの位置にある辺を，次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　辺 \( AB \) 　　イ 辺 \( BF \) 　　ウ　辺 \( CD \) 　　エ　辺 \( EF \) 　　オ 辺 \( FG \)

【解答】
イ，エ
【解説】
ねじれの位置にある辺とは，どこまで延ばしても交わらない２辺のうち，
平行なものを除いた辺の関係のことです。

【ア　辺 \( AB \)，ウ　辺 \( CD \) 】
辺 \( AD \) と交わるのでねじれの辺ではありません。

【オ 辺 \( FG \) 】
辺 \( AD \) と平行なのでねじれの辺ではありません。

 

（２） 辺 \( GH \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( GH=3 \; cm \)
【解説】
この四角柱において，四角形 \( ABCD \) と四角形 \( EFGH \) は合同なので，
\( EF=AB=5 \; cm，EH=AD=4 \; cm \) です。

点 \( E \) から、辺 \( FG \) に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( ∠ADC=∠BCD=90° \) より，
\( EH//FG \) なので，
\( IG=EH=4 \; cm \) であり，
\( FI=FG-IG=4 \; cm \) です。

\( △EFI \) は斜辺が \( 4 \; cm \)，他の１辺が \( 4 \; cm \) の直角三角形，
つまり，３辺の比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( EI=3 \; cm \) であり，
\( EI//GH \) より，\( GH=EI=3 \; cm \)

 

（３） 図２は，２つの線分 \( EG，FH \) の交点を \( P \) とし，線分 \( BH \) 上に点 \( Q \) を，線分 \( BQ \) と線分 \( QH \) の長さの比が \( BQ：QH=2：3 \) となるようにとったものである。

１　\( △EFP \) の面積を求めなさい。

【解答】
\( △EFP=4 \; cm^2 \)
【解説】

\( △PEH \) と \( △PGF \) において，
\( EH//FG \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠PEH=∠PGF，∠PHE=∠PFG \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △PEH \) ∽ \( △PGF \)
対応する辺の比は広しいので，
　\( HP：FP=EH：FG=1：2 \)

\( △EFP \) と \( △EFH \) は高さが共通なので，
　\( △EFP：△EFH=FP：FH=2：3 \)
　\( △EFP=\dfrac{2}{3}△EFH \)

\( △EFH \) の面積は，
　\( △EFH=4 \times 3  \times \dfrac{1}{2}=6 \; (cm^2) \)
なので，
　\( △EFP=\dfrac{2}{3} \times 6=4 \; (cm^2) \)

 

２　三角すい \( QEFP \) の体積を求めなさい。

【解答】
三角すい \( QEFP=\dfrac{24}{5} \; cm^3 \)
【解説】

点 \( Q \) から面 \( EFP \) に垂線をひき，
交点を \( R \) とすると，
\( QR \) は， \( △EFP \) を底面としたときの
高さであり，
点 \( R \) は線分 \( FH \) 上の点になります。

面 \( BFHD \) に注目すると，
\( △BFH \) と \( △QRH \) において，
仮定より，
　\( ∠BFH=∠QRH=90° \)
　\( ∠BHF=∠QHR \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BFH \) ∽ \( △QRH \)

対応する辺の比は等しいので，\( BQ：QH=2：3 \) より，
　\( BF：QR=(BQ+QH)：QH=5：3 \)
　　　　\( QR=\dfrac{3}{5}BF\)
　　　　　　\( =\dfrac{3}{5} \times 6 \)
　　　　　　\( =\dfrac{18}{5} \; (cm) \)

よって，三角すい \( QEFP \) の体積は，
　\( 4 \times \dfrac{18}{5} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{24}{5} \; (cm^3) \)

 

大問５

右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) ( \( a \) は定数) ･･･ ➀のグラフがある。
２点 \( A，B \) は関数➀のグラフ上にあり，\( A \) の座標は \( (8，8) \)，\( B \) の \( y \) 座標は \( 2 \) で，\( B \) の \( x \) 座標は負である。また，点 \( O \) は原点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） \( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=\dfrac{1}{8} \)
【解説】
\( y=ax^2 \) に \( x=8，y=8 \) を代入すると，
　\( 9=a \times 8^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{8} \)

 

（２） 点 \( B \) の \( x \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( x=-4 \)
【解説】
点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{8}x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標が \( 2 \) なので，
　 \( 2=\dfrac{1}{8}x^2 \)
　\( x^2=16 \)
　 \( x=-4 \)（ \( x<0 \) より）

 

（３） 直線 \( AB \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=\dfrac{1}{2}x+4 \)
【解説】
直線 \( AB \) の式を \( y=mx+n \) とすると，２点 \( A(8，8)，B(-4，2) \) を通るので，
　\( m=\dfrac{8-2}{8-(-4)}=\dfrac{1}{2} \)
\( y=\dfrac{1}{2}x+n \) に \( x=8，y=8 \) を代入すると，
　\( 8=\dfrac{1}{2} \times 8+n \)
　\( n=4 \)
以上より，直線 \( AB \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+4 \)

 

（４） 関数➀のグラフ上において２点 \( O，A \) の間に点 \( P \) をとる。また，\( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と直線 \( AB \) との交点を \( Q \) とする。
\( PQ=\dfrac{5}{2} \) となるときの \( P \) の座標を求めなさい。

【解答】
\( P\left( 6，\dfrac{9}{2} \right) \)
【解説】

\( PQ=\dfrac{5}{2} \) となるときの \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
　\( P \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{8}t^2 \)，
　\( Q \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{1}{2}t+4 \)，
と表すことができます。

このとき，\( PQ \) の長さは \( \dfrac{1}{2}t+4-\dfrac{1}{8}t^2 \) と表すことができるので，
　\( \dfrac{1}{2}t+4-\dfrac{1}{8}t^2=\dfrac{5}{2} \)
　 \( 4t+32-t^2=20 \)
　　\( t^2-4t-12=0 \)
　\( (t+2)(t-6)=0 \)
　　　　　　　 \( t=6 \)（ \( 0≦t≦8 \) より）

\( P \) の \( x \) 座標は \( 6 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{8} \times 6^2=\dfrac{9}{2} \)

以上より，\( P \) の座標は \( P\left( 6，\dfrac{9}{2} \right) \)

 

大問６

次は，大輔さんと美咲さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。会話文を読んで，あとの各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは,根号のついたままで答えること。

先生：今日は，コンピュータを使って図形の勉強をします。
　　　では，次の課題について考えてみましょう。

(課題)
図１は，\( ∠ACB=90° \) の直角三角形 \( ABC \) である。点 \( D \) は辺 \( BC \) 上にあり，２点 \( E，F \) はそれぞれ辺 \( AB \) 上，辺 \( AC \) 上にあって，四角形 \( EDCF \) は長方形である。また，点 \( G \) は辺 \( AC \) 上にあって，四角形 \( EDGA \) は平行四辺形である。
このとき，\( △AEF \) と \( △GDC \) はどんな関係にあるか調べなさい。
\( \phantom{　} \)

先生：点 \( D \) が辺 \( BC \) 上のどこにあるかによって，３点 \( E，F，G \) の位置が変わり，\( △AEF \) と
　　　\( △GDC \) の大きさも変わります。\( D \) を \( BC \) 上で動かせるようにしたので，動かしてみてください。
大輔：先生，\( D \) の位置を変えてみたら，図２のように，線分 \( EF \) と線分 \( DG \) が交わりました。
美咲：\( BD>DC \) のとき，図１のように \( EF \) と \( DG \) は交わらず，\( BD<DC \) のとき，
　　　図２のように \( EF \) と \( DG \) は交わるようです。
大輔：\( BD=DC \) のときは， \( F \) と \( G \) は同じ位置になりそうです。
先生：そうですね。それでは，課題にある，\( △AEF \) と \( △GDC \) はどんな関係にありますか。
美咲：\( D \) の位置に関係なく，\( △AEF \) と \( △GDC \) は合同になりそうです。
先生：その通りです。では，合同になることを証明してみましょう。

（１） 下線部について，\( △AEF≡△GDC \) であることを証明しなさい。

【解答・解説】

\( △AEF \) と \( △GDC \) において，
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
　\( AE=GD \) ･･･ ➀
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
同位角は等しく，
　\( ∠EAF=∠DGC \) ･･･ ➁
長方形の向かい合う辺は平行なので，
同位角は等しく，
　\( ∠AFE=∠GCD=90° \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
斜辺と他の１鋭角が等しい直角三角形なので
　\( △AEF≡△GDC \)

 

（２） 図２において，\( EF \) と \( DG \) の交点を \( H \) とする。\( AC=4 \; cm，BC=8 \; cm，BD=2 \; cm \) のとき，線分 \( GH \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( GH=2\sqrt{5} \; cm \)
【解説】

\( △ABC \) と \( △GDC \) において，
　\( ∠BAC=∠DGC，∠C \) は共通
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC \) ∽ \( △GDC \)

\( BC=8 \; cm，BD=2 \; cm \) より，
　\( DC=BC-BD=6 \; (cm) \)

相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( AC：GC=BC：DC \)
　　\( 4：GC=8：6 \)
　　　 \( GC=3 \; (cm) \)

\( AC=4 \; cm \) より，
　\( AG=AC-GD=1 \; (cm) \)

（１）より，\( △AEF≡△GDC \) なので，
対応する辺は等しく，
　\( AF=GC=3 \; cm \)
であり，
　\( GF=AF-AG=2 \; (cm) \)

\( △ABC \) ∽ \( △GHF \) でもあるので，
対応する辺の比は等しく，
　\( AB：GH=AC：GF \)

三平方の定理より，
　\( AB^2=8^2+4^2=80 \)
　 \( AB=4\sqrt{5} \; (cm) \)（ \( AB>0 \) より）
なので，
　 \( AB：GH=AC：GF \)
　\( 4\sqrt{5}：GH=4：2 \)
　　　　\( GH=2\sqrt{5} \; (cm) \)

 

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]]> 大問１

（１） \( 0.8 \div 4 \)

【解答】
\( 0.2 \)

 

（２） \( 7-5 \times 4 \)

【解答】
\( -13 \)
【解説】
\( =7-20 \)
\( =-13 \)

 

（３） \( \dfrac{x+y}{4}+\dfrac{x-y}{9} \)

【解答】
\( \dfrac{13x+5y}{36} \)
【解説】
\( =\dfrac{9(x+y)+4(x-y)}{36} \)
\( =\dfrac{9x+9y+4x-4y}{36} \)
\( =\dfrac{13x+5y}{36} \)

 

（４） \( -6a^2 \times 9ab^2 \div (ab)^2 \)

【解答】
\( -54a \)
【解説】
\( =\dfrac{-6a^2 \times 9ab^2}{(ab)^2 } \)
\( =\dfrac{-54a^3b^2}{a^2b^2} \)
\( =-54a \)

 

（５） \( (3x+1)(3x-1)-5(x-7) \)

【解答】
\( 9x^2-5x+34 \)
【解説】
\( =9x^2-1-5x+35 \)
\( =9x^2-5x+34 \)

 

（６） \( \dfrac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{32} \)

【解答】
\( 7\sqrt{2} \)
【解説】
\( =\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}+4\sqrt{2} \)
\( =3\sqrt{2}+4\sqrt{2} \)
\( =7\sqrt{2} \)

 

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x+18=6-x \) を解きなさい。

【解答】
\( x=-2 \)
【解説】
\( 6x=-12 \)
　\( x=-2 \)

 

（２） 二次方程式 \( 4x^2+7x+2=0 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=\dfrac{-7±\sqrt{17}}{8} \)
【解説】
この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=4，b=7，c=2 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-7±\sqrt{7^2-4 \times 4 \times 2}}{2 \times 4} \)
　　\( =\dfrac{-7±\sqrt{17}}{8} \)

 

（３） 右の図は，\( AB // DC \) の台形 \( ABCD \) であり，\( AB⊥BC \) である。
\( AB=2 \; cm，BC=CD=3 \; cm \) であるとき，台形 \( ABCD \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。 ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】
\( 24\pi{} \; cm^3 \)

【解説】
点 \( D \) から辺 \( AB \) の延長線上に垂線をひいたときの交点を点 \( E \) とすると，
長方形 \( EBCD \) ができます。

長方形 \( EBCD \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させると，
底面の半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 3 \; cm \) の円柱ができ，その体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 3=27\pi{} \; (cm^3) \) ･･･ ➀

\( △ADE \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させると，
底面の半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 1 \; cm \) の円すいができ，その体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 1 \times \dfrac{1}{3}=3\pi{} \; (cm^3) \) ･･･ ➁
となります。

台形 \( ABCD \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させてできる立体は，
➀の円柱から➁の円すいを取り除いたものになるので，求める体積は，
　\( 27\pi{}-3\pi{}=24\pi{} \; (cm^3) \)

 

（４）　次の図のように，箱と袋が１つずつある。箱にはＡ，Ｂ，Ｃの文字が１つずつ書かれた３個の玉が，袋には \( 2，3，4，5，6 \) の数字が１つずつ書かれた５個の玉が入っている。箱と袋のそれぞれから１個ずつ玉を取り出し，取り出した２個の玉を用いて，次のようにして得点を決めることにした。

・　箱からＡと書かれた玉を取り出したときは，袋から取り出した玉に書かれた数を得点とする。
・　箱からＢと書かれた玉を取り出したときは，袋から取り出した玉に書かれた数の２倍を得点とする。
・　箱からＣと書かれた玉を取り出したときは，袋から取り出した玉に書かれた数に \( 7 \) を加えた値を
　　得点とする。

このとき，得点が \( 6 \) の倍数になる確率を求めなさい。ただし，箱と袋において，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

【解答】
\( \dfrac{4}{15} \)
【解説】
箱と袋のそれぞれから取り出す玉の組み合わせとそのときの得点を樹形図に書き出し，
得点が \( 6 \) の倍数になるところを赤の字にしてみます。
得点が \( 6 \) の倍数になるのは４通り，すべての組み合わせは１５通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{15} \)

 

（５） 右の図のように，直線 \( l \) 上の２点 \( A，B \) と，\( l \) 上にない点 \( C \) があり，線分 \( CA \) は \( l \) と垂直である。\( l \) 上に点 \( P \) を，\( ∠CPB=120° \) となるようにとりたい。点 \( P \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】

手順１　２点 \( A，C \) を中心に \( AC \) を半径
　　　　とする円弧を描く。
　　　　（交点を \( D \) とします。）
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く。
手順３　２点 \( A，D \) を中心に円弧を描く。
　　　　（交点を \( E \) とします。）
手順４　２点 \( C，E \) を通る直線を描く。

手順４の直線と直線 \( l \) の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

\( ∠CPB=120° \) より，\( ∠CPA=60° \) なので，\( △ACP \) において，\( ∠ACP=30° \) になります。

ここから，\( ∠ACP=30° \) となる直線 \( CP \) を作図すればいいことになります。

\( 30° \) の倍が \( 60° \) なので，線分 \( AC \) を１辺とする
正三角形 \( ACD \) を描くと，\( ∠ACD=60° \) ができ，
その二等分線を描くことで \( ∠ACP=30° \) となる
直線 \( CP \) が作図できます。

 

（６） 図１のように，同じ大きさの正方形のカードを階段の形に並べ，それぞれのカードには，下の規則にしたがって自然数を１つずつ記入する。段は，上から１段目，２段目，３段目 ･･･ と数える。

<規則>
\( m \) を自然数とする。\( m \) 段目には，一番左のカードに \( m \) を記入し，左から２番目以降のカードは順に，左の数に \( 2 \) ずつ加えた数を記入する。

図２は，図１から５枚のカードが十字の形になるように取り出したもので，一番上のカードに記入された数が \( n \) のとき，これを「\( n \) の十字」と呼ぶことにする。
例えば，図３は，図１から太線(－)で囲まれた部分を取り出した「\( 6 \) の十字」であり，５枚のカードに記入された数の和は \( 45 \) である。

１ 「\( n \) の十字」において，５枚のカードに記入された数の和を，\( n \) を使った式で表しなさい。

【解答】
\( 5n+15 \)

【解説】
並べられたカードの数字を左から右に見てみると，
　\( 2 \) → \( 4 \) → \( 6 \)
　\( 3 \) → \( 5 \) → \( 7 \) → \( 9 \)
と \( 2 \) ずつ大きくなっています。
また， 上から下に見てみると，
　\( 1 \) → \( 4 \) → \( 7 \) → \( 10 \)
　\( 2 \) → \( 5 \) → \( 8 \)
と \( 3 \) ずつ大きくなっています。

ここから，「\( n \) の十字」の５枚のカードに書かれた数は，
\( n，n+1，n+3，n+5，n+6 \) なので，
これらの和は，\( n+(n+1)+(n+3)+(n+5)+(n+6)=5n+15 \)

 

２ 次の 　ア　，　イ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。

ある自然数 \( a \) について 「\( a \) の十字」の５枚のカードに記入された数の和が \( 225 \) となるとき，\( a \) の値は 　ア　 である。このとき，　ア　 は図１の中に複数あり，　イ　 段目に初めて現れる。
【解答】
　ア　 ･･･ \( 42 \)
　イ　 ･･･ \( 10 \)
【解説】
　ア　
１ より，「\( a \) の十字」の５枚のカードに記入された数の和は \( 5a+15 \) と表されるので，
　\( 5a+15=225 \)
　　　　\( 5a=210 \)
　　　　 \( a=42 \)

　イ　
図１で \( p \) 段の場合を考えると，最も大きい数は \( p \) 段目の一番右にあるので，
一番右のカードの数が初めて \( 42 \) 以上になるときに初めて現れることになります。
\( p \) 段目に並ぶカードの枚数は，\( 2p-1 \) 枚で，一番左のカードの数は \( p \) なので，
一番右のカードの数は，\( p+2\{(2p-1)-1\}=5p-4 \) と表すことができ，
　\( 5p-4≧42 \)
　　　　\( p≧9.2 \)

\( p \) は自然数なので，一番右のカードの数が初めて \( 42 \) 以上になるのは，\( 10 \) 段目になります。

 

（７） 次は，健太さんと優子さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。

先生：今日は，二元一次方程式のグラフについて
　　　グラフ作成ソフトを使って勉強しましょう。
　　　まずは，\( ax+by+c=0 \) という
　　　式を入力してください。そこで，\( a=1 \)，
　　　\( b=1，c=1 \) とすると，図１のように
　　　グラフと式が表示されます。
優子：図１の丸印 \( (\bullet) \) を左右に動かすと，\( a，b，c \)
　　　の値が変わって，グラフが変わるんですね。
先生：そうですね。では, \( a，b，c \) のうち１つだけ
　　　値を変えて，図１のグラフを \( y \) 軸の正の方向
　　　(上方)に平行移動するためには，どの値を
　　　どのように変えればよいでしょうか。
健太：いろいろと値を変えてみようかな･････。
　　　わかった。グラフが \( y \) 軸の正の方向に平行移動
　　　するには，　Ｐ　 するといいですね。

１ 　Ｐ　 に入れるのに最も適当なものを，次のア～カから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　\( a \) の値を大きく　　　　イ　\( b \) の値を大きく
ウ　\( c \) の値を大きく　　　　エ　\( a \) の値を小さく
オ　\( b \) の値を小さく　　　　カ　\( c \) の値を小さく

【解答】
カ
【解説】

グラフを \( y \) 軸の正の方向(上方)に平行移動するとき，
\( x \) の値が同じときの \( y \) の値が大きくなります。

\( ax+by+c=0 \) を \( y \) について解くと，
\( y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b} \) であり，
\( x=0 \) のときの \( y \) の値(\( y \) 切片)が \( -\dfrac{c}{b} \) なので，
\( -\dfrac{c}{b} \) の値が大きくなると，グラフは \( y \) 軸の正の
方向(上方)に平行移動します。

\( -\dfrac{c}{b} \) の値を大きくするためには，
「\( c \) の値を小さくする」，「\( b \) の値を大きくする」の２通りの方法がありますが，
\( b \) の値を大きくすると，傾き \( -\dfrac{a}{b} \) が変わってしまうので，平行移動になりません。

よって，あてはまるのは，「\( c \) の値を小さくする」になります。

 

次は，数学の授業で３人が会話をしている場面の続きである。

先生：次の問題について考えてみましょう。

(問題)
３つの二元一次方程式 \( 2x-y-1=0，x+y-3=0，ax+2y-2=0 \) のグラフがある。
３つの直線で三角形ができない \( a \) の値をすべて求めなさい。

健太：\( 2x-y-1=0，x+y-3=0，ax+2y-2=0 \) という式を入力して，\( a=1 \) とすると，図２の
　　　ようにグラフが表示され，三角形ができました。３つの直線で三角形ができないのは，３つの直線が
　　　同じ１点で交わるときだね。そのときの \( a \) の値は \( a= \) 　Ｑ　 だけど，他にも三角形ができないこと
　　　はあるのかな。
優子：３つの直線で三角形ができないのは，３つの直線のうち２つが平行となるときもありそうだよ。
　　　だから，\( a= \) 　Ｑ　 以外に \( a= \) 　Ｒ　 のときも三角形ができないようですね。

２ 　Ｑ　 に当てはまる数を求めなさい。

【解答】
\( -1 \)
【解説】
２直線の交点の座標は，連立方程式の解として求めることができます。

\( 2x-y-1=0，x+y-3=0 \) を連立方程式として解くと，
解は，\( x=\dfrac{4}{3}，y=\dfrac{5}{3} \) であり，
\( ax+2y-2=0 \) もこの座標を通るので，代入すると，
　\( a \times \dfrac{4}{3}+2 \times \dfrac{5}{3}-2=0 \)
　　　　　　　　\( \dfrac{4}{3}a=-\dfrac{4}{3} \)
　　　　　　　　　\( a=-1 \)

【連立方程式を解く】
　\( \left\{ \begin{array}{}
2x-y-1=0 \hspace{10px} ･･･ \hspace{10px} ➀ \\
x+y-3=0 \hspace{10px} ･･･ \hspace{10px} ➁ \\
\end{array} \right.  \)
　　➀ \( + \) ➁
　　　\( 3x-4=0 \)
　　　　　　\( x=\dfrac{4}{3} \)
　　➁に代入
　　　\( \dfrac{4}{3}+y-3=0 \)
　　　　　　　 \( y=\dfrac{5}{3} \)

 

３ 　Ｒ　 に当てはまる数をすべて求めなさい。

【解答】
\( -4，2 \)
【解説】
\( 2x-y-1=0，x+y-3=0，ax+2y-2=0 \) をそれぞれ \( y \) について解くと，
　\( 2x-y-1=0 \)  ⇒　\( y=2x-1 \)
　\( x+y-3=0 \) 　⇒　\( y=-x+3 \)
　\( ax+2y-2=0 \) ⇒　\( y=-\dfrac{a}{2}x+1 \)
平行な直線の傾きは等しいので平行になり得るのは，
「\( y=2x-1 \) と \( y=-\dfrac{a}{2}x+1 \)」，「\( y=-x+3 \) と \( y=-\dfrac{a}{2}x+1 \)」の２通りになります。

「\( y=2x-1 \) と \( y=-\dfrac{a}{2}x+1 \)」が平行な場合
　　\( 2=-\dfrac{a}{2} \)
　　\( a=-4 \)
「\( y=-x+3 \) と \( y=-\dfrac{a}{2}x+1 \)」が平行な場合
　　\( -1=-\dfrac{a}{2} \)
　　　\( a=2 \)

 

大問３

美咲さんは，日本の気温が年々上昇しているという記事を見て，猛暑日 (一日の最高気温が \( 35 \;  ^\circ C\) 以上の日) の日数がどのように推移しているか，１９８３年から２０２２年までの４０年間について調べた。表は，美咲さんが住んでいる地域の年ごとの猛暑日の日数を度数分布表に表したものである。また，図は，猛暑日の日数について４０年間を１０年ごとのまとまりとしてⅠ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期に分けてそれぞれ箱ひげ図に表したものである。このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） 次の 　Ａ　，　Ｂ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。

表において，年ごとの猛暑日の日数が \( 15 \) 日以上 \( 20 \) 日未満の階級の相対度数は 　Ａ　 である。また，年ごとの猛暑日の日数が \( 20 \) 日未満の累積相対度数は 　Ｂ　 である。
【解答】
ウ
【解説】
　Ａ　
ある階級の相対度数は，「その階級の度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」で求められます。
\( 15 \) 日以上 \( 20 \) 日未満の階級の度数は \( 4 \) 回，すべての階級の度数の合計は \( 40 \) 回なので，
相対度数は，\( 4 \div 40=0.10 \)

　Ｂ　
ある階級の累積相対度数は，
「その階級以下の階級の度数の合計 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」
で求められます。
\( 20 \) 日未満の階級の度数の合計は \( 9+6+11+4=30 \) 回，すべての階級の度数の合計は \( 40 \) 回
なので，累積相対度数は，\( 30 \div 40=0.75 \)

 

（２） 図において，箱ひげ図の箱に着目したとき，猛暑日の日数に関する次のア～ウのそれぞれの文について，正しいものをすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　Ⅰ期とⅡ期とでは，Ⅱ期の方が多い。
　　　　イ　Ⅱ期とⅢ期とでは，Ⅲ期の方が多い。
　　　　ウ　Ⅲ期とⅣ期とでは，Ⅳ期の方が多い。

【解答】
ア，イ
【解説】
箱の位置が右にあるほど猛暑日の日数が多かったと判断できます。
箱の位置は，箱ひげ図から，Ⅰ期よりⅡ期，Ⅱ期よりⅢ期の方が右側にあるので，
アとイは正しいといえます。

Ⅲ期とⅣ期では，Ⅳ期の方が箱が短くなっており，
Ⅲ期の箱の箱の左側の部分（第一四分位数と中央値の間）の中に納まっているので，
Ⅳ期よりⅢ期の方が多かった（間違い）といえます。

 

（３） 図において，Ⅳ期の最大値は２０１８年の \( 41 \) 日である。表および図から，Ⅳ期の最大値のデータを除くとⅣ期の範囲は \( 10 \) 日以上小さくなる。このように判断できる理由を，表および図から読み取れることをもとに説明しなさい。

【解答】
\( 40 \) 日以上 \( 45 \) 日未満であったのは，Ⅱ期とⅣ期に１回ずつであることから，
Ⅳ期の中で２番目に多かった年は \( 25 \) 日以上 \( 30 \) 日未満の階級にあり，
\( 31 \) 日より少ないため。

 

大問４

図１は，\( CD=4 \; cm，∠BDC=90° \) の直角二等辺三角形 \( BCD \) を底面とする三角すい \( ABCD \) であり，辺 \( AD \) は底面 \( BCD \) に垂直で, \( AD=4 \; cm \) である。また，点 \( E \) は辺 \( AC \) の中点である｡
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

（１） 辺 \( CD \) の中点を \( F \) とする。

１　線分 \( BF \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( 2\sqrt{5} \; cm \)

【解説】

点 \( F \) は，辺 \( CD \) の中点なので，
　\( FD=\dfrac{1}{2}CD=2 \; (cm) \)

三平方の定理より，
　\( BF^2=4^2+2^2=20 \)
　\( BF=2\sqrt{5} \; (cm) \) (\( BF>0 \) より)

 

２　三角すい \( EBCF \) の体積は，三角すい \( ABCD \) の体積の何倍であるか，求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{1}{4} \) 倍
【解説】

\( △ECF \) と \( △ACD \) において，中点連結定理より，
　\( EF=\dfrac{1}{2}AD \) ･･･ ➀
また，点 \( F \) は，辺 \( CD \) の中点，高さは共通なので，
　\( △BCF=\dfrac{1}{2}△BCD \) ･･･ ➁

➀➁より，三角すい \( EBCF \) の体積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=△BCF \times EG \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}△BCD \times \dfrac{1}{2}AD \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{4}△BCD \times AD \times \dfrac{1}{3} \)

三角すい \( ABCD \) の体積 \( V_2 \) は，
　\( V_2=△BCD \times AD \times \dfrac{1}{3} \)
なので，三角すい \( EBCF \) の体積は，
　\( V_1=\dfrac{1}{4}V_2 \)

 

（２） 辺 \( CD \) 上に点 \( P \) を，２つの線分 \( BP \) と \( PE \) の長さの和が最小となるようにとる。
図２は，三角すい \( ABCD \) の展開図の一部で，\( △BCD \) と \( △ACD \) の部分を示したものである。

１　線分 \( PD \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{4}{3} \; cm \)

【解説】

２つの線分 \( BP \) と \( PE \) の長さの和が最小となるとき，
３点 \( B，P，E \) は一直線上に並びます。

点 \( E \) から辺 \( AD \) に垂線をひき，交点を \( G \) とすると，
\( △ACD \) において，中点連結定理より，
　\( EG=\dfrac{1}{2}CD=2 \; (cm) \)

点 \( G \) は辺 \( AD \) の中点になるので，
　\( DG=\dfrac{1}{2}AD=2 \; (cm) \)

\( △BPD \) と \( △BEG \) において，
　\( PD：EG=BD：BG \)
　　 \( PD：2=4：(4+2) \)
　　　 \( 6PD=8 \)
　　　　\( PD=\dfrac{4}{3} \; (cm) \)

 

２　辺 \( BC \) 上に点 \( Q \) を，三角すい \( EQCP \) の体積が三角すい \( EABD \) の体積の \( \dfrac{1}{2} \) となるようにとる。このとき，線分 \( BQ \) と線分 \( QC \) の長さの比 \( BQ：QC \) を求めなさい。答えは最も簡単な整数比で表すこと。

【解答】
\( BQ：QC=1：3 \)
【解説】

三角すい \( ABCD \) を底面が \( △ACD \)，高さが辺 \( BD \) であると考えると，点 \( E \) は辺 \( AC \) の中点なので，
　\( △CDE=△ADE=\dfrac{1}{2}△ACD \)

さらに，高さは共通であることから，
三角すい \( EABD \) と三角すい \( EBCD \) の体積は等しいので，
三角すい \( EQCP \) の体積と三角すい \( EBCD \) の体積の比を考えます。

\( △QCP \) と \( △BCD \) は同一平面にあるので，
三角すい \( EQCP \) の体積 \( V_3 \) を
　\( V_3=△QCP \times EF \times \dfrac{1}{3} \)，
三角すい \( EBCD \) の体積 \( V_4 \) を
　\( V_4=△BCD \times EF \times \dfrac{1}{3} \)
と表すと，
三角すい \( EQCP \) の体積が三角すい \( EABD \) の体積の
\( \dfrac{1}{2} \) となるとき，\( V_3=\dfrac{1}{2}V_4 \) より，
　\( △QCP \times EF \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2} \times △BCD \times EF \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　\( △QCP=\dfrac{1}{2}△BCD \) ･･･ ➀

\( CD=4 \; cm，PD=\dfrac{4}{3} \; cm \) より，
　\( CP：CD=\left( 4-\dfrac{4}{3} \right)：4=2：3 \)
なので，
　\( △BCD=\dfrac{3}{2}△BCP \)

➀に代入すると，
　\( △QCP=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2}△BCP=\dfrac{3}{4}△BCP \)

よって，\( QC：BC=3：4 \) になるので，\( BQ：QC=1：3 \)

 

大問５

右の図のように，２つの関数
　\( y=ax^2 \) (\( a \) は定数) ･･･ ア
　\( y=\dfrac{1}{2}x+2 \) ･･･ イ
のグラフがある。
点 \( A \) は関数 ア，イ のグラフの交点で，\( x \) 座標は \( 4 \) である。点 \( B \) は関数アのグラフ上にあり，\( x \) 座標は \( 8 \) である。また，点 \( C \) は関数イのグラフと \( x \) 軸との交点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

（１） \( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=\dfrac{1}{4} \)
【解説】
点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x+2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
\( y \) 座標は
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 4+2=4 \)

\( y=ax^2 \) に \( x=4，y=4 \) を代入すると，
　\( 4=a \times 4^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{4} \)

 

（２） 直線 \( BC \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \)
【解説】
点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 8 \) なので，
\( y \) 座標は
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 8^2=16 \)

点 \( C \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x+2 \) と \( x \) 軸の交点なので，
\( x \) 座標は
　\( 0=\dfrac{1}{2}x+2 \)
　\( x=-4 \)

直線 \( BC \) は \( B(8，16)，C(-4，0) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{16-0}{8-(-4)}=\dfrac{4}{3} \)
この式を \( y=\dfrac{4}{3}x+b \) とし，\( x=-4，y=0 \) を代入すると，
　\( 0=\dfrac{4}{3} \times (-4)+b \)
　\( b=\dfrac{16}{3} \)

以上より，直線 \( BC \) の式は，\( y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3} \)

 

（３） 点 \( B \) から \( x \) 軸にひいた垂線と \( x \) 軸との交点を \( D \) とする。関数アのグラフ上において２点 \( A，B \) の間に点 \( P \) をとる。\( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，

１ \( △BCP \) の面積を，\( t \) を使った式で表しなさい。

【解答】
\( -\dfrac{3}{2}t^2+8t+32 \)
【解説】

\( △BCP \) の面積は， \( △BCD-(△PCD+△PBD) \) で求めることができます。
　\( △BCD=12 \times 16 \times \dfrac{1}{2}=96 \)
　\( △PCD=12 \times \dfrac{1}{4}t^2 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}t^2 \)
　\( △PBD=16 \times (8-t) \times \dfrac{1}{2}=8(8-t) \)
なので，
　\( △BCP=96-\left\{ \dfrac{3}{2}t^2+8(8-t) \right\} \)
　　　　　\( =-\dfrac{3}{2}t^2+8t+32 \)

 

２ \( △BCP \) の面積が，\( △PCD \) の面積の \( \dfrac{1}{3} \) となるような \( t \) の値を求めなさい。

【解答】
\( t=2+2\sqrt{5} \)
【解説】
１ より，
　　　　　\( △BCP=\dfrac{1}{3}△PCD \)
　\( -\dfrac{3}{2}t^2+8t+32=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{2}t^2 \)
　\( -\dfrac{3}{2}t^2+8t+32=\dfrac{1}{2}t^2 \)
　 \( -2t^2+8t+32=0 \)
　　　\( t^2-4t-16=0 \)
　　　　　　　　 \( t=\dfrac{-(-4)±\sqrt{(-4)^2-4 \times 1 \times (-16)}}{2 \times 1} \)
　　　　　　　　　 \( =\dfrac{4±4\sqrt{5}}{2} \)
　　　　　　　　　 \( =2±2\sqrt{5} \)
\( 4<t<8 \) より，あてはまるのは \( t=2+2\sqrt{5} \)

 

大問６

右の図は，\( ∠ACB=90° \) の直角三角形 \( ABC \) である。線分 \( AC \) を直径とする円の中心を \( O \) とし，円 \( O \) と辺 \( AB \) との交点を \( D \) とする。点 \( E \) は線分 \( DC \) 上にあって \( OE⊥DC \) である。点 \( F \) は \( OE \) の延長と辺 \( BC \) との交点である。また，点 \( G \) は線分 \( BE \) 上にあって，\( GF⊥BE \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

（１） \( △ABC \) ∽ \( △ODE \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABC \) と \( △ODE \) において
仮定より，\( ∠ACB=∠OED=90° \) ･･･ ➀
\( ∠BAC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) の円周角，
\( ∠DOC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) の中心角なので，
　\( ∠BAC=\dfrac{1}{2}∠DOC \) ･･･ ➁
\( △ODC \) は \( OC=OD \) の二等辺三角形であり，
仮定より \( OE⊥DC \) なので，
　\( ∠DOE=\dfrac{1}{2}∠DOC \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠BAC=∠DOE \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC \) ∽ \( △ODE \)

 

（２） \( AB=6 \; cm, AC=4 \; cm \) のとき，

１ 線分 \( DE \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{2\sqrt{5}}{3} \; cm \)
【解説】

\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( BC^2=6^2-4^2=20 \)
　 \( BC=2\sqrt{5} \; (cm) \)

\( △ABC \) ∽ \( △ACD \) なので，
　\( AB：AC=BC：CD \)
　　　 \( 6：4=2\sqrt{5}：CD \)
　　　　\( CD=\dfrac{4\sqrt{5}}{3} \; (cm) \)

\( △ODC \) は \( OC=OD \) の二等辺三角形であり，
\( OE⊥DC \) より，点 \( E \) は線分 \( CD \) の中点なので，
　\( DE=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{2\sqrt{5}}{3} \; (cm) \)

 

２ 線分 \( GF \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{5\sqrt{6}}{18} \; cm \)
【解説】

\( △BCD \) において，三平方の定理より，
　\( BD^2=\left( 2\sqrt{5} \right)^2-\left( \dfrac{4\sqrt{5}}{3} \right)^2=\dfrac{100}{9} \)
　 \( BD=\dfrac{10}{3} \; (cm) \)

\( △BED \) において，三平方の定理より，
　\( BE^2=\left( \dfrac{10}{3} \right)^2+\left( \dfrac{2\sqrt{5}}{3} \right)^2=\dfrac{120}{9} \)
　 \( BE=\dfrac{2\sqrt{30}}{3} \; (cm) \)

\( ∠ADC=∠OED=90° \) より，\( AB//OF \) であり，
点 \( E \) は線分 \( CD \) の中点なので，
中点連結定理より，\( FE=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)

\( △EFG \) ∽ \( △BED \) より，
　 \( EF：BE=GF：DE \)
　\( \dfrac{5}{3}：\dfrac{2\sqrt{30}}{3}=GF：\dfrac{2\sqrt{5}}{3} \)
　 \( 5：2\sqrt{30}=3GF：2\sqrt{5} \)
　 \( 6\sqrt{30}GF=10\sqrt{5} \)
　　　　 \( GF=\dfrac{5\sqrt{6}}{18} \; (cm) \)

【\( △EFG \) ∽ \( △BED \) の証明】
　\( △EFG \) と \( △BED \) において，
　　\( ∠ADC=∠OED=90°\) より，
　　\( AB//OF \) なので，
　　\( ∠GEF=∠DBE \) ･･･ ➀
　　仮定より
　　\( ∠FGE=∠EDB=90° \) ･･･ ➁
　➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EFG \) ∽ \( △BED \)

 

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]]> 大問１

（１） \( 0.8 \div 4 \)

【解答】
\( 0.2 \)

 

（２） \( 7-5 \times 4 \)

【解答】
\( -13 \)
【解説】
\( =7-20 \)
\( =-13 \)

 

（３） \( \dfrac{x+y}{4}+\dfrac{x-y}{9} \)

【解答】
\( \dfrac{13x+5y}{36} \)
【解説】
\( =\dfrac{9(x+y)+4(x-y)}{36} \)
\( =\dfrac{9x+9y+4x-4y}{36} \)
\( =\dfrac{13x+5y}{36} \)

 

（４） \( -6a^2 \times 9ab^2 \div (ab)^2 \)

【解答】
\( -54a \)
【解説】
\( =\dfrac{-6a^2 \times 9ab^2}{(ab)^2 } \)
\( =\dfrac{-54a^3b^2}{a^2b^2} \)
\( =-54a \)

 

（５） \( (3x+1)(3x-1)-5(x-7) \)

【解答】
\( 9x^2-5x+34 \)
【解説】
\( =9x^2-1-5x+35 \)
\( =9x^2-5x+34 \)

 

（６） \( \dfrac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{32} \)

【解答】
\( 7\sqrt{2} \)
【解説】
\( =\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}+4\sqrt{2} \)
\( =3\sqrt{2}+4\sqrt{2} \)
\( =7\sqrt{2} \)

 

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x+18=6-x \) を解きなさい。

【解答】
\( x=-2 \)
【解説】
\( 6x=-12 \)
　\( x=-2 \)

 

（２） 二次方程式 \( 4x^2+7x+2=0 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=\dfrac{-7±\sqrt{17}}{8} \)
【解説】
この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=4，b=7，c=2 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-7±\sqrt{7^2-4 \times 4 \times 2}}{2 \times 4} \)
　　\( =\dfrac{-7±\sqrt{17}}{8} \)

 

（３） 右の図は，\( AB // DC \) の台形 \( ABCD \) であり，\( AB⊥BC \) である。
\( AB=2 \; cm，BC=CD=3 \; cm \) であるとき，台形 \( ABCD \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。 ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】
\( 24\pi{} \; cm^3 \)

【解説】
点 \( D \) から辺 \( AB \) の延長線上に垂線をひいたときの交点を点 \( E \) とすると，
長方形 \( EBCD \) ができます。

長方形 \( EBCD \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させると，
底面の半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 3 \; cm \) の円柱ができ，その体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 3=27\pi{} \; (cm^3) \) ･･･ ➀

\( △ADE \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させると，
底面の半径 \( 3 \; cm \)，高さ \( 1 \; cm \) の円すいができ，その体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 1 \times \dfrac{1}{3}=3\pi{} \; (cm^3) \) ･･･ ➁
となります。

台形 \( ABCD \) を辺 \( AB \) を軸として１回転させてできる立体は，
➀の円柱から➁の円すいを取り除いたものになるので，求める体積は，
　\( 27\pi{}-3\pi{}=24\pi{} \; (cm^3) \)

 

（４）　次の図のように，箱と袋が１つずつある。箱にはＡ，Ｂ，Ｃの文字が１つずつ書かれた３個の玉が，袋には \( 2，3，4，5，6 \) の数字が１つずつ書かれた５個の玉が入っている。箱と袋のそれぞれから１個ずつ玉を取り出し，取り出した２個の玉を用いて，次のようにして得点を決めることにした。

・　箱からＡと書かれた玉を取り出したときは，袋から取り出した玉に書かれた数を得点とする。
・　箱からＢと書かれた玉を取り出したときは，袋から取り出した玉に書かれた数の２倍を得点とする。
・　箱からＣと書かれた玉を取り出したときは，袋から取り出した玉に書かれた数に \( 7 \) を加えた値を
　　得点とする。

このとき，得点が \( 6 \) の倍数になる確率を求めなさい。ただし，箱と袋において，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

【解答】
\( \dfrac{4}{15} \)
【解説】
箱と袋のそれぞれから取り出す玉の組み合わせとそのときの得点を樹形図に書き出し，
得点が \( 6 \) の倍数になるところを赤の字にしてみます。
得点が \( 6 \) の倍数になるのは４通り，すべての組み合わせは１５通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{15} \)

 

（５） 右の図のように，直線 \( l \) 上の点 \( A \) と，\( l \) 上にない点 \( B \) がある。\( l \) 上に点 \( P \) を，２点 \( A，B \) からの距離が等しくなるようにとりたい。点 \( P \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。 なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
　　　　(交点を \( C，D \) とします。)
手順２　２点 \( C，D \) を通る直線を描く。

手順２の直線と直線 \( l \) の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】
２点 \( A，B \) からの距離が等しくなる点は必ず２点 \( A，B \) の垂直二等分線上の点になります。
垂直二等分線上の点である理由

２点 \( A，B \) からの距離が等しい点を２つとり，
点 \( P，Q \) とすると，
\( △APQ \) と \( △BPQ \) において，
\( AP=BP，AQ=BQ，PQ \) は共通
より，３組の辺がそれぞれ等しいので，
\( △APQ≡△BPQ \)
対応する角は等しいので，\( ∠APQ=∠BPQ \)

\( △ABP \) は二等辺三角形なので，
底角は等しく，\( ∠PAB=∠PBA \)

直線 \( AB \) と直線 \( PQ \) の交点を点 \( M \) とすると，
\( △APM \) と \( △BPM \) において，
\( AP=BP，∠APM=∠BPM，∠PAM=∠PBM \)
より，１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △APM≡△BPM \)
対応する辺は等しいので，\( AM=BM \) ･･･ ➀
対応する角は等しいので，\( ∠AMP=∠BMP \)

３点 \( A，M，B \) は一直線上の点なので，
\( ∠AMP=\dfrac{1}{2}∠AMB=90° \) ･･･ ➁

➀➁より，
直線 \( PQ \) は２点 \( A，B \) の垂直二等分線なので，
２点 \( A，B \) からの距離が等しくなる点は
必ず２点 \( A，B \) の垂直二等分線上の点であるといえます。

 

（６） 図１のように，同じ大きさの正方形のカードを階段の形に並べ，それぞれのカードには，下の規則にしたがって自然数を１つずつ記入する。段は，上から１段目，２段目，３段目 ･･･ と数える。

<規則>
\( m \) を自然数とする。\( m \) 段目には，一番左のカードに \( m \) を記入し，左から２番目以降のカードは順に，左の数に \( 2 \) ずつ加えた数を記入する。

図２は，図１から５枚のカードが十字の形になるように取り出したもので，一番上のカードに記入された数が \( n \) のとき，これを「\( n \) の十字」と呼ぶことにする。
例えば，図３は，図１から太線(－)で囲まれた部分を取り出した「\( 6 \) の十字」であり，５枚のカードに記入された数の和は \( 45 \) である。

１ 「\( 10 \) の十字」において，５枚のカードに記入された数の和を求めなさい。

【解答】
\( 65 \)

【解説】
５枚のカードに記入された数は，\( 10，11，13，15，16 \) なので，
これらの和は，\( 10+11+13+15+16=65 \)

 

２ 「\( n \) の十字」において，５枚のカードに記入された数の和を，\( n \) を使った式で表しなさい。

【解答】
\( 5n+15 \)
【解説】
並べられたカードの数字を左から右に見てみると，
　\( 2 \) → \( 4 \) → \( 6 \)
　\( 3 \) → \( 5 \) → \( 7 \) → \( 9 \)
と \( 2 \) ずつ大きくなっています。
また， 上から下に見てみると，
　\( 1 \) → \( 4 \) → \( 7 \) → \( 10 \)
　\( 2 \) → \( 5 \) → \( 8 \)
と \( 3 \) ずつ大きくなっています。

ここから，「\( n \) の十字」の５枚のカードに書かれた数は，
\( n，n+1，n+3，n+5，n+6 \) なので，
これらの和は，\( n+(n+1)+(n+3)+(n+5)+(n+6)=5n+15 \)

 

（７） 次は，健太さんと優子さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。

先生：今日は，一次関数のグラフについてグラフ作成
　　　ソフトを使って勉強しましょう。まずは，
　　　\( y=ax+b \) という式を入力してください。
　　　そこで，\( a=1，b=1 \) とすると，図１のよう
　　　にグラフと式が表示されます。
優子：図１の丸印 \( (\bullet) \) を左右に動かすと，\( a \) や \( b \) の
　　　値が変わって，グラフが変わるんですね。
先生：そうですね。では，\( a，b \) のどちらか１つだけを
　　　変えて，図１のグラフを \( y \) 軸の正の方向
　　　 (上方)に平行移動するためには，どの値をどの
　　　ように変えればよいでしょうか。
健太：いろいろと値を変えてみようかな ･････ 。
　　　わかった。グラフが \( y \) 軸の正の方向に平行移動
　　　するには，　Ｐ　 するといいですね。

１　　Ｐ　 に入れるのに最も適当なものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。
　　　ア　\( a \) の値を大きく　　　　イ　\( a \) の値を小さく
　　　ウ　\( b \) の値を大きく　　　　エ　\( b \) の値を小さく

【解答】
ウ
【解説】

グラフを \( y \) 軸の正の方向(上方)に平行移動するとき，
\( x \) の値が同じときの \( y \) の値が大きくなります。
\( y=ax+b \) における，
\( x=0 \) のときの \( y \) の値(\( y \) 切片)が \( b \) なので，
\( b \) の値を大きくすると，グラフは \( y \) 軸の正の方向
(上方)に平行移動します。

 

次は，数学の授業で３人が会話をしている場面の続きである。

先生：次の問題について考えてみましょう。

（問題） ３つの一次関数 \( y=3x+1，y=-x+3，y=x+b \) のグラフがある。３つの直線が同じ
　　　　 １点で交わるとき，\( b \) の値を求めなさい。

健太：\( y=3x+1，y=-x+3，y=x+b \)
　　　という式を入力して，\( b=1 \) とすると，図２の
　　　ようにグラフが表示されました。
優子：\( y=3x+1 \) と \( y=-x+3 \) のグラフの交点
　　　を \( y=x+b \) のグラフも通ればいいから，
　　　\( b= \) 　Ｑ　
　　　のとき，３つの直線は同じ１点で交わりますね。

２　　Ｑ　 に当てはまる数を求めなさい。

【解答】
\( 2 \)
【解説】
\( y=3x+1 \) と \( y=-x+3 \) のグラフの交点は，
この２つの方程式の連立方程式の解になるので，
　\( 3x+1=-x+3 \)
　　　\( 4x=2 \)
　　　 \( x=\dfrac{1}{2} \)
\( y=3x+1 \) に代入すると，
　\( y=3 \times \dfrac{1}{2}+1=\dfrac{5}{2} \)

ここから，\( y=x+b \) のグラフは，\( (x，y)=\left( \dfrac{1}{2}，\dfrac{5}{2} \right) \) を通るので，
　\( \dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}+b \)
　 \( b=2 \)

 

大問３

美咲さんは，日本の気温が年々上昇しているという記事を見て，猛暑日 (一日の最高気温が \( 35 \;  ^\circ C\) 以上の日) の日数がどのように推移しているか，１９８３年から２０２２年までの４０年間について調べた。表は，美咲さんが住んでいる地域の年ごとの猛暑日の日数を度数分布表に表したものである。また，図は，猛暑日の日数について４０年間を１０年ごとのまとまりとしてⅠ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期に分けてそれぞれ箱ひげ図に表したものである。このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） 次の 　Ａ　，　Ｂ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。

表において，年ごとの猛暑日の日数が \( 15 \) 日以上 \( 20 \) 日未満の階級の相対度数は 　Ａ　 である。また，年ごとの猛暑日の日数が \( 20 \) 日未満の累積相対度数は 　Ｂ　 である。
【解答】
ウ
【解説】
　Ａ　
ある階級の相対度数は，「その階級の度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」で求められます。
\( 15 \) 日以上 \( 20 \) 日未満の階級の度数は \( 4 \) 回，すべての階級の度数の合計は \( 40 \) 回なので，
相対度数は，\( 4 \div 40=0.10 \)

　Ｂ　
ある階級の累積相対度数は，
「その階級以下の階級の度数の合計 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」
で求められます。
\( 20 \) 日未満の階級の度数の合計は \( 9+6+11+4=30 \) 回，すべての階級の度数の合計は \( 40 \) 回
なので，累積相対度数は，\( 30 \div 40=0.75 \)

 

（２） 図において，箱ひげ図の箱に着目したとき，猛暑日の日数に関する次のア～ウのそれぞれの文について，正しいものをすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　ア　Ⅰ期とⅡ期とでは，Ⅱ期の方が多い。
　　　　イ　Ⅱ期とⅢ期とでは，Ⅲ期の方が多い。
　　　　ウ　Ⅲ期とⅣ期とでは，Ⅳ期の方が多い。

【解答】
ア，イ
【解説】
箱の位置が右にあるほど猛暑日の日数が多かったと判断できます。
箱の位置は，箱ひげ図から，Ⅰ期よりⅡ期，Ⅱ期よりⅢ期の方が右側にあるので，
アとイは正しいといえます。

Ⅲ期とⅣ期では，Ⅳ期の方が箱が短くなっており，
Ⅲ期の箱の箱の左側の部分（第一四分位数と中央値の間）の中に納まっているので，
Ⅳ期よりⅢ期の方が多かった（間違い）といえます。

 

（３） 図において，Ⅳ期の最大値は２０１８年の \( 41 \) 日である。表および図から，Ⅳ期の最大値のデータを除くとⅣ期の範囲は \( 10 \) 日以上小さくなる。このように判断できる理由を，表および図から読み取れることをもとに説明しなさい。

【解答】
\( 40 \) 日以上 \( 45 \) 日未満であったのは，Ⅱ期とⅣ期に１回ずつであることから，
Ⅳ期の中で２番目に多かった年は \( 25 \) 日以上 \( 30 \) 日未満の階級にあり，
\( 31 \) 日より少ないため。

 

大問４

図１は，\( CD=4 \; cm，∠BDC=90° \) の直角二等辺三角形 \( BCD \) を底面とする三角すい \( ABCD \) であり，辺 \( AD \) は底面 \( BCD \) に垂直で, \( AD=4 \; cm \) である。また，点 \( E \) は辺 \( AC \) の中点である｡
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

（１） 辺 \( CD \) の中点を \( F \) とする。

１　線分 \( BF \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( 2\sqrt{5} \; cm \)

【解説】

点 \( F \) は，辺 \( CD \) の中点なので，
　\( FD=\dfrac{1}{2}CD=2 \; (cm) \)

三平方の定理より，
　\( BF^2=4^2+2^2=20 \)
　\( BF=2\sqrt{5} \; (cm) \) (\( BF>0 \) より)

 

２　三角すい \( EBCF \) の体積は，三角すい \( ABCD \) の体積の何倍であるか，求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{1}{4} \) 倍
【解説】

\( △ECF \) と \( △ACD \) において，中点連結定理より，
　\( EF=\dfrac{1}{2}AD \) ･･･ ➀
また，点 \( F \) は，辺 \( CD \) の中点，高さは共通なので，
　\( △BCF=\dfrac{1}{2}△BCD \) ･･･ ➁

➀➁より，三角すい \( EBCF \) の体積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=△BCF \times EG \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}△BCD \times \dfrac{1}{2}AD \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{4}△BCD \times AD \times \dfrac{1}{3} \)

三角すい \( ABCD \) の体積 \( V_2 \) は，
　\( V_2=△BCD \times AD \times \dfrac{1}{3} \)
なので，三角すい \( EBCF \) の体積は，
　\( V_1=\dfrac{1}{4}V_2 \)

 

（２） 辺 \( CD \) 上に点 \( P \) を，２つの線分 \( BP \) と \( PE \) の長さの和が最小となるようにとる。
図２は，三角すい \( ABCD \) の展開図の一部で，\( △BCD \) と \( △ACD \) の部分を示したものである。

１　線分 \( PD \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{4}{3} \; cm \)

【解説】

２つの線分 \( BP \) と \( PE \) の長さの和が最小となるとき，
３点 \( B，P，E \) は一直線上に並びます。

点 \( E \) から辺 \( AD \) に垂線をひき，交点を \( G \) とすると，
\( △ACD \) において，中点連結定理より，
　\( EG=\dfrac{1}{2}CD=2 \; (cm) \)

点 \( G \) は辺 \( AD \) の中点になるので，
　\( DG=\dfrac{1}{2}AD=2 \; (cm) \)

\( △BPD \) と \( △BEG \) において，
　\( PD：EG=BD：BG \)
　　 \( PD：2=4：(4+2) \)
　　　 \( 6PD=8 \)
　　　　\( PD=\dfrac{4}{3} \; (cm) \)

 

２　辺 \( BC \) 上に点 \( Q \) を，三角すい \( EQCP \) の体積が三角すい \( EABD \) の体積の \( \dfrac{1}{2} \) となるようにとる。このとき，線分 \( BQ \) と線分 \( QC \) の長さの比 \( BQ：QC \) を求めなさい。答えは最も簡単な整数比で表すこと。

【解答】
\( BQ：QC=1：3 \)
【解説】

三角すい \( ABCD \) を底面が \( △ACD \)，高さが辺 \( BD \) であると考えると，点 \( E \) は辺 \( AC \) の中点なので，
　\( △CDE=△ADE=\dfrac{1}{2}△ACD \)

さらに，高さは共通であることから，
三角すい \( EABD \) と三角すい \( EBCD \) の体積は等しいので，
三角すい \( EQCP \) の体積と三角すい \( EBCD \) の体積の比を考えます。

\( △QCP \) と \( △BCD \) は同一平面にあるので，
三角すい \( EQCP \) の体積 \( V_3 \) を
　\( V_3=△QCP \times EF \times \dfrac{1}{3} \)，
三角すい \( EBCD \) の体積 \( V_4 \) を
　\( V_4=△BCD \times EF \times \dfrac{1}{3} \)
と表すと，
三角すい \( EQCP \) の体積が三角すい \( EABD \) の体積の
\( \dfrac{1}{2} \) となるとき，\( V_3=\dfrac{1}{2}V_4 \) より，
　\( △QCP \times EF \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2} \times △BCD \times EF \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　\( △QCP=\dfrac{1}{2}△BCD \) ･･･ ➀

\( CD=4 \; cm，PD=\dfrac{4}{3} \; cm \) より，
　\( CP：CD=\left( 4-\dfrac{4}{3} \right)：4=2：3 \)
なので，
　\( △BCD=\dfrac{3}{2}△BCP \)

➀に代入すると，
　\( △QCP=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{2}△BCP=\dfrac{3}{4}△BCP \)

よって，\( QC：BC=3：4 \) になるので，\( BQ：QC=1：3 \)

 

大問５

右の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) ･･･ ① のグラフ上に２点 \( A，B \) がある。\( A \) の \( x \) 座標は \( 4 \)，\( B \) の \( y \) 座標は \( 9 \) で，\( B \) の \( x \) 座標は負である。また，点 \( O \) は原点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( 4 \)
【解説】
点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 4^2=4 \)

 

（２） 点 \( B \) の \( x \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( -6 \)
【解説】
点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標は \( 9 \) なので，
　 \( 9=\dfrac{1}{4}x^2 \)
　\( x^2=36 \)
　 \( x=-6 \) ( \( x<0 \) より)

 

（３） 直線 \( AB \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=-\dfrac{1}{2}x+6 \)
【解説】
直線 \( AB \) は，２点 \( A(4，4)，B(-6，9) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{4-9}{4-(-6)}=-\dfrac{1}{2} \)
求める式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とし，
\( x=4，y=4 \) を代入すると，
　\( 4=-\dfrac{1}{2} \times 4+b \)
　\( b=6 \)

以上より，直線 \( AB \) の式は \( y=-\dfrac{1}{2}x+6 \)

 

（４） 関数 ① のグラフ上において２点 \( O，A \) の間に点 \( P \) をとる。線分 \( AB \) 上において点 \( Q \) を，直線 \( PQ \) が \( y \) 軸と平行になるようにとる。また，直線 \( PQ \) と \( x \) 軸との交点を \( R \) とする。
\( QP=PR \) となるときの \( P \) の座標を求めなさい。

【解答】
\( P \left( 3，\dfrac{9}{4} \right) \)
【解説】

\( QP=PR \) となる \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
３点 \( P，Q，R \) の座標は，
　\( P \left( t，\dfrac{1}{4}t^2 \right)，Q \left(t，-\dfrac{1}{2}t+6 \right)，R(t，0) \)
と表すことができるので，
　　　　　　　　　\( QP=PR \)
　\( \left( -\dfrac{1}{2}t+6 \right)-\dfrac{1}{4}t^2=\dfrac{1}{4}t^2-0 \)
　　　 \( \dfrac{1}{2}t^2+\dfrac{1}{2}t-6=0 \)
　　　　　\( t^2+t-12=0 \)
　　　 \( (t-3)(t+4)=0 \)
　　　　　　　　　　 \( t=3 \) ( \( 0<t<4 \) より)

\( P \) の \( x \) 座標が \( 3 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 3^2=\dfrac{9}{4} \)

よって，求める \( P \) の座標は，\( P \left( 3，\dfrac{9}{4} \right) \)

 

大問６

右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，
４点 \( A，B，C，D \) はこの順に円 \( O \) の周上にあり，\( AC⊥DB \) である。点 \( E \) は線分 \( AC \) と線分 \( DB \) との交点であり，点 \( F \) は線分 \( AB \) 上にあって \( EF⊥AB \) である。また，点 \( G \) は \( FE \) の延長と線分 \( DC \) との交点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） \( △EFB \) ∽ \( △DEC \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △EFB \) と \( △DEC \) において，
仮定より，
　\( ∠EFB=∠DEC=90° \) ･･･ ➀
弧 \( AD \) に対する円周角なので，
　\( ∠EBF=∠DCE \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EFB \) ∽ \( △DEC \)

 

（２） \( DE=4 \; cm，EB=6 \; cm，EC=3 \; cm \) のとき,

１　線分 \( EF \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{24}{5} \; cm \)
【解説】

\( △DEC \) において，
\( DE=4 \; cm，EC=3 \; cm \) より，
３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，
\( DC=5 \; cm \)

（１）より \( △EFB \) ∽ \( △DEC \) なので，
　\( EF：DE=EB：DC \)
　　 \( EF：4=6：5 \)
　　　　\( EF=\dfrac{24}{5} \; (cm) \)

 

２　線分 \( GE \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{5}{2} \; cm \)
【解説】

\( △GDE \) において，
（１）より \( △EFB \) ∽ \( △DEC \) なので，
　\( ∠FEB=∠EDG \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，
　\( ∠FEB=∠DEG \) ･･･ ➁
➀➁より，底角が等しいので，
\( △GDE \) は二等辺三角形になっています。

点 \( G \) から線分 \( DE \) に垂線をひき，
交点を \( H \) とすると，
　\( ∠GEH=∠CDE \)
　\( ∠GHE=∠CED=90° \)
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EHG \) ∽ \( △DEC \)

\( △GDE \) は二等辺三角形なので，
点 \( H \) は辺 \( DE \) の中点であり，\( EH=2 \; cm \)
また，\( DE=4 \; cm，CD=5 \; cm \) でもあるので，
　\( GE：CD=EH：DE \)
　　 \( GE：5=2：4 \)
　　　　\( GE=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)

 

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]]> 大問１

(1)　\( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{2} \)

【解答】
\( \dfrac{9}{14} \)
【解説】
\( =\dfrac{2}{7 \times 2}+\dfrac{7}{2 \times 7} \)
\( =\dfrac{9}{14} \)

 

(2)　\( 6+4 \times (-3) \)

【解答】
\( -6 \)
【解説】
\( =6+(-12) \)
\( =-6 \)

 

(3)　\( 8x+9y+7(x-y) \)

【解答】
\( 15x+2y \)
【解説】
\( =8x+9y+7x-7y \)
\( =15x+2y \)

 

(4)　\( 8a^3b \div (-6ab)^2 \times 9b \)

【解答】
\( 2a \)
【解説】
\( =\dfrac{8a^3b \times 9b}{(-6ab)^2} \)
\( =\dfrac{8a^3b \times 9b}{36a^2b^2} \)
\( =2a \)

 

(5)　\( (x+1)(x-5)+(x+2)^2 \)

【解答】
\( 2x^2-1 \)
【解説】
\( =(x^2-4x-5)+(x^2+4x+4) \)
\( =2x^2-1 \)

 

(6)　\( \sqrt{30} \div \sqrt{5}+\sqrt{54} \)

【解答】
\( 4\sqrt{6} \)
【解説】
\( =\sqrt{30} \div \sqrt{5}+\sqrt{54} \)
\( =\dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{5}}+3\sqrt{6} \)
\( =\sqrt{6}+3\sqrt{6} \)
\( =4\sqrt{6} \)

 

大問２

(1)　一次方程式 \( 5x+8=3x-4 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=-6 \)
【解説】
\( 5x-3x=-4-8 \)
　　　\( 2x=-12 \)
　　　 \( x=-6 \)

 

(2)　二次方程式 \( 2x^2+5x-1=0 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=\dfrac{-5±\sqrt{33}}{4} \)
【解説】
\( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=2，b=5，c=-1 \) なので，
解の公式 \( \dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に代入すると，
　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{25+8}}{4} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{33}}{4} \)

 

(3)　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=3 \) である。\( x=5 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。

【解答】
\( y=\dfrac{6}{5} \)
【解説】
反比例の式は \( y=\dfrac{a}{x} \) （\( a \) は定数）で表されるので，
\( x=2，y=3 \) を代入すると，
　\( 3=\dfrac{a}{2} \)
　\( a=6 \)
よって，\( y=\dfrac{6}{x} \) に \( x=5 \)  を代入すると，
　\( y=\dfrac{6}{5} \)

 

(4)　右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，2点 \( A，B \) は円 \( O \) の周上にある。点 \( C \) は円 \( O \) の外部にあり，\( AC=BC \) である。線分 \( BC \) と円 \( O \) との交点のうち，\( B \) と異なる点を \( D \) とする。\( ∠ACB=54°，∠AOB=140° \) であるとき，\( ∠OAD \) の大きさを求めなさい。

【解答】
\( 27° \)

【解説】

\( ∠ADB \) は弧 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADB=\dfrac{1}{2}∠AOB=70° \)
\( ∠ADB \) は \( △ACD \) の外角なので，
　\( ∠CAD=∠ADB-∠ACD=70-54=16° \)

\( △OAB \) は \( OA=OB \) の二等辺三角形なので，
　\( ∠OAB=\dfrac{1}{2}(180-∠AOB)=20° \)

仮定より，\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠CAB=\dfrac{1}{2}(180-∠ACB)=63° \)

以上より，
　\( ∠CAD+∠OAD+∠OAB=∠CAB \)
　　　　　　\( 16+∠OAD+20=63 \)
　　　　　　　　　　　 \( ∠OAD=27° \)

 

(5)　右の図のように，四角形 \( ABCD \) があり，辺 \( AB \) 上に点 \( E \) がある。点 \( E \) で辺 \( AB \) に接し，辺 \( CD \) にも接する円の中心 \( O \) を，定規とコンバスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答・解説】
・　円の半径と接線は接点において垂直に交わる
・　２本の接線の交点と円の中心を通る直線は，２本の接線が作る角の二等分線になる
の２つの性質を利用して作図します。

手順１　点 \( E \) を中心に弧を描く
　　　（辺 \( AB \) との交点を点 \( F，G \) とします ）
手順２　点 \( F，G \) を中心に同じ半径の弧を描く
　　　（交点を点 \( H \) とします ）
手順３　点 \( E，H \) を通る直線を描く
手順４　辺 \( AB，CD \) を交わるように延長する
　　　（交点を点 \( I \) とします ）
手順５　点 \( I \) を中心に弧を描く
　　　（線分 \( BI，CI \) との交点を点 \( J，K \) とします ）
手順６　点 \( J，K \) を中心に同じ半径の弧を描く
　　　（交点を点 \( L \) とします ）
手順７　点 \( I，L \) を通る直線を描く

手順３と７の直線の交点が円の中心 \( O \) になります。

 

(6)　下の図のように，箱Ａ，箱Ｂの２つの箱がある。箱Ａには \( 2，4 \) の数字が１つずつ書かれた２枚の赤いカードと \( 2 \) の数字が書かれた１枚の白いカードが，箱Ｂには \( 3，6 \) の数字が１つずつ書かれた２枚の赤いカードと \( 3，4，6 \) の数字が１つずつ書かれた３枚の白いカードが入っている。箱Ａと箱Ｂからそれぞれ１枚ずつカードを取り出し，取り出した２枚のカードを用いて次のように得点を決めることにした。

・取り出した２枚のカードの色が同じときは，その２枚のカードに書かれた数の積を得点とする。
・取り出した２枚のカードの色が異なるときは，その２枚のカードに書かれた数の和を得点とする。

➀　得点の最大値を求めなさい。

【解答】
\( 24 \) 点
【解説】
取り出した２枚のカードの組み合わせを樹形図で表し，得点を計算します。

 

➁　次の 　ア　 ， 　イ　 に当てはまる数を入れて，文を完成しなさい。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

得点が 　ア　 点となる確率が最も高く，その確率は 　イ　 である。
【解答】
　ア　 ･･･ \( 8 \)
　イ　 ･･･ \( \dfrac{4}{15} \)
【解説】
取り出した２枚のカードの組み合わせを樹形図で表し，得点を計算します。
得点が \( 8 \) 点になるときが４通りで最も多く，すべての組み合わせは１５通りなので，確率は \( \dfrac{4}{15} \)

 

(7)　健太さんと直樹さんは，航平さんと，運動公園にある１周 \( 2400 \; m \) のジョギングコースを走った。
健太さんと直樹さんはスタート地点から１周ずつ，健太さんから直樹さんの順にそれぞれ一定の速さで走った。健太さんは走り始めてから \( 12 \) 分後に１周を走り終え，直樹さんへ引き継いだ。直樹さんは引き継ぎと同時に健太さんと同じ方向に走り始め，引き継ぎから \( 15 \) 分後に１周を走り終えた。
一方，航平さんは一人で２周を走ることとし，健太さんが走り始めて \( a \) 分後に，毎分 \( 240 \; m \) の速さで健太さんと同じスタート地点から健太さんと同じ方向に走り始めた。健太さんが走り終えたとき，航平さんは１周目の途中を走っており，健太さんと \( 240 \; m \) 離れていた。航平さんは２周目の途中で直樹さんを追いこし，その後も毎分 \( 240 \; m \) の速さで \( 2 \) 分以上走ったが，ある地点で \( b \) 分間立ち止まった。航平さんは，直樹さんが航平さんに並ぶと同時に直樹さんと同じ速さで一緒に走り，２周を走り終えた。

右の図は，健太さんが走り始めてから \( x \) 分後の，健太さんと直樹さんが走った距離の合計を \( y \; m \) として，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。

 

➀　\( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=3 \)
【解説】

健太さんが走り終えたとき，
つまり，\( x=12 \) （分）のときまでに
航平さんが走った距離は，
\( y=2400-240=2160 \; (m) \) なので，
航平さんが走った速さは，
毎分 \( \dfrac{2160}{12-a} \; m \) と表すことができます。
よって，
　\( \dfrac{2160}{12-a}=240 \)
　　\( 2160=240(12-a) \)
　　\( 240a=720 \)
　　　　\( a=3 \)

 

➁　航平さんが直樹さんと最初に並んだのは，健太さんが走り始めてから何分後か，求めなさい。

【解答】
\( 15 \) 分後
【解説】

航平さんが走った状態を表す直線の式を \( y=240x+c \) とすると，この直線は，\( (3，0) \) を通っているので，これを代入すると，
　\( 0=240 \times 3+c \)
　\( c=-720 \)
よって，航平さんが走った状態を表す直線の式は
　\( y=240x-720 \) ･･･ ➀

直樹さんは \( 15 \) 分で \( 2400 \; m \) を走ったので，
直樹さんが走った速さ（傾き）は，
　\( \dfrac{2400}{15}=160 \; (m) \)
直樹さんが走った状態を表す直線の式を
\( y=160x+d \) とすると，
この直線は，\( (12，2400) \) を通っているので，
これを代入すると，
　\( 2400=160 \times 12+d \)
　　　\( d=480 \)
よって，直樹さんが走った状態を表す直線の式は
　\( y=160x+480 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として解くと，
\( x=15，y=2880 \)

よって，答えは，\( 15 \) 分後

 

➂　\( b \) の値の範囲を求めなさい。

【解答】
\( 1≦b<4 \)
【解説】

(2) より，航平さんが直樹さんと最初に並んだのは，\( x=15 \) 分のとき
直樹さんを追いこした後も \( 2 \) 分以上走ったので，
少なくとも \( x=17 \) 分までは走ったことになります。
このとき，航平さんが走った距離は，
　\( y=240 \times 17-720=3360 \; (m) \)
健太さんと直樹さんが走った距離の合計が \( 3360 \; m \) になる時間を \( x=s \) とすると，
　\( 3360=160 \times s+480 \)
　\( 160s=2880 \)
　　　\( s=18 \) （分）
なので，航平さんが立ち止まる時間は，
　\( b=18-17=1 \) （分）

また，航平さんが２周目を走り終わるときの時間を \( x=t \) とすると，
　\( 4800=240 \times t-720 \)
　\( 240t=5520=23 \)
　　　\( t=23 \) (分)
健太さんと直樹さんが走った距離の合計が \( 4800 \; m \) になるのは，\( x=27 \) 分のときなので，
このとき，航平さんが立ち止まる時間は，
　\( b=27-23=4 \) （分）

２周目を走り終わる前に立ち止まる必要があるので，
\( b \) の値の範囲は，\( 1≦b<4 \)

 

大問３

次の図は，美咲さんが通う高校の，１年１組３９人と１年２組３９人の反復横とびの回数の測定結果を，体育委員である美咲さんが箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。

(1)　次の 　ア　 ， 　イ　 に当てはまる数を入れて，文を完成しなさい。

図の１組の箱ひげ図から，回数の範囲は 　ア　 回，四分位範囲は 　イ　 回であることがわかる。
【解答】
　ア　 ･･･ \( 28 \)
　イ　 ･･･ \( 9 \)
【解説】
　ア　 ･･･ 範囲 \( = \) 最大値 \( – \) 最小値 \( =71-43=28 \) （回）
　イ　 ･･･ 四分位範囲 \( = \) 第三四分位数 \( – \) 第一四分位数 \( =60-51=9 \) （回）

 

さらに美咲さんは，その測定結果をヒストグラムに表した。

(2)　次のア〜エのヒストグラムのうち，１組と２組を表しているものはどれか。それぞれ記号で答えなさい。
なお，ヒストグラムの階級は，４０回以上４４回未満，４４回以上４８回未満などのように，階級の幅を４回として分けている。

【解答】
１組 ･･･ ア
２組 ･･･ エ
【解説】
箱ひげ図から，１組は４０回以上４４回未満の階級の生徒がいるが，２組にはいないので，
１組のヒストグラムは，アまたはウ，２組のヒストグラムは，イまたはエ であるとわかります。

１組 ･･･ １組は６８回以上７２回未満の階級の生徒がいるので，あてはまるのはア

２組 ･･･ クラス全体の人数が３９人なので，第三四分位数（６５回）にあたるのは，
　　　　 回数が多い方から１０番目の生徒の結果なので，
　　　　 ６４回以上６８回未満，６８回以上７２回未満の階級の度数が合計１０人以上になります。
　　　　 よって，あてはまるのはエ

 

(3)　美咲さんと同じ体育委員の大輔さん，由衣さん，雄太さん，恵子さんは，箱ひげ図やヒストグラムから読みとれることについて，それぞれ次のように考えた。

大輔さん：回数の範囲は，１組よりも２組の方が大きい。
由衣さん：回数の四分位範囲は，１組よりも２組の方が大きい。
雄太さん：回数が６４回以上である人数は，１組よりも２組の方が多い。
恵子さん：１組の回数の平均値は，６０回である。

４人のうち，正しい読みとりをしているのは誰か。次のア〜エからすべて選び，記号で答えなさい。
ア　大輔さん      イ　由衣さん      ウ　雄太さん      エ　恵子さん

【解答】
イ，ウ
【解説】
大輔さん：箱ひげ図から，１組の範囲 \( =71-43=28 \) （回），２組の範囲 \( =68-47=21 \) （回）
由衣さん：箱ひげ図から，
　　　　　１組の四分位範囲 \( =60-51=9 \) （回）
　　　　　２組の四分位範囲 \( =65-51=14 \) （回）
雄太さん：(2)から，１組のヒストグラムはア，２組のヒストグラムはエなので，
　　　　　回数が６４回以上である人数は，１組が５人，２組が１０人
恵子さん：ヒストグラムから，６０回以上の階級の度数の合計が１１人であるのに対して，
　　　　　５２回以上５６回未満の階級だけでも１４人いるので，平均値は明らかに６０回未満になる。

 

大問４

図1は，底面の半径が \( 3 \; cm \) ，母線の長さが \( 6 \; cm \) の円すいの形をした容器Ａである。底面の円の中心を \( O \) ，頂点を \( P \) とすると，底面と線分 \( OP \) は垂直に交わっている。図１の容器Ａに球Ｂを，容器Ａの内側の面にぴったりつくように入れたところ，図２のように球Ｂの中心が \( O \) と重なった。図３は，図２の立面図である。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とし，容器Ａの厚さは考えないものとする。また，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

(1)　容器Ａの容積を求めなさい。

【解答】
\( 9\sqrt{3}\pi{} \; cm^3 \)
【解説】

容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形が
短辺と斜辺の比が \( 1：2 \) の直角三角形になっているので，
高さ \( OP \) の比は \( \sqrt{3} \) になります。
　\( OP：3=\sqrt{3}：1 \)
　　 \( OP=3\sqrt{3} \; (cm) \)

よって，容器Ａの容積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 9\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=9\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)

 

(2)　容器Ａの側面積を求めなさい。

【解答】
\( 18\pi{} \; cm^2 \)
【解説】

容器Ａの展開図を考えると，
円 \( O \) の周と側面を展開したおうぎ形の弧はぴったり重なっていたので，長さは等しくなっています。
おうぎ形の中心角を \( x° \) とすると，
　\( 2\pi{} \times 3=2\pi{} \times 6 \times \dfrac{x}{360} \)
　　　\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{360} \)
　　　 \( x=180 \)
なので，このおうぎ形は半円になっています。
よって，側面席は，
　\( \pi{} \times 6^2 \times \dfrac{180}{360}=18\pi{} \; (cm^2) \)

 

(3)　球Ｂの半径を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
【解説】

図３における容器Ａと球Ｂの接点を点 \( Q \) とすると，
\( OQ \) が球Ｂの半径になります。
(1) より，容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形は \( 1：2： \sqrt{3} \) の直角三角形なので， \( ∠OPQ=30° \)
また，\( △OPQ \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( OQ=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)

 

(4)　図４のように，容器Ａと球Ｂの間にちょうど入るような球Ｃを入れた。図５は，図４の立面図である。球Ｃの体積を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi{} \; cm^3 \)
【解説】

球Ｃの中心を \( O’ \)，容器Ａと球Ｃの接点を点 \( R \)，
球Ｃの半径を \( r \; cm \) とすると，
\( △O’PR \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( O’P=2r \; cm \) となります。
また，球Ｂと球Ｃの接点を点 \( S \) とすると，
\( OS \) は球Ｂの半径になっているので，\( OS=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
\( O’S \) は球Ｃの半径になっているので，\( O’S=r \; cm \)

(1) より，\( OP=3\sqrt{3} cm \) なので，
　 \( OP=OS+O’S＋O’P \)
　\( 3\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+r＋2r \)
　　\( 3r=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)
　　 \( r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)

よって，球Ｃの体積は，
　\( \dfrac{4\pi{}}{3} \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi{} \; (cm^3) \)

 

大問５

右の図のように，２つの関数 \( y=2x^2 \) ･･･ ア，\( y=ax^2 \) (\( a \) は定数) ･･･ イ のグラフがある。
点 \( A \) は関数 ア のグラフ上にあり，\( x \) 座標は \( 1 \) である。点 \( B \) は関数 イ のグラフ上にあり，\( x \) 座標が \( 4 \) で，直線 \( AB \) は原点 \( O \) を通る。また，点 \( C \) は関数 ア のグラフ上にあり，\( x \) 座標は \( -1 \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

(1)　\( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=\dfrac{1}{2} \)

【解説】
点 \( A \) は，\( y=2x^2 \) 上の点なので，
\( x=1 \) を代入すると，\( y=2 \times 1^2=2 \)
よって， \( A \) の座標は，\( A(1，2) \)

直線 \( AB \) は原点 \( O \) と \( A(1，2) \) を通るので，この直線の式は \( y=2x \)
ここに \( x=4 \) を代入すると，\( y=2 \times 4=8 \)
よって， \( B \) の座標は，\( B(4，8) \)

\( y=ax^2 \) に \( x=4，y=8 \) を代入すると，
　\( 8=a \times 4^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{2} \)

 

(2)　直線 \( BC \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=\dfrac{6}{5}x+\dfrac{16}{5} \)
【解説】
点 \( C \) は，\( y=2x^2 \) 上の点なので，
\( x=-1 \) を代入すると，\( y=2 \times (-1)^2=2 \)
よって， \( C \) の座標は，\( C(-1，2) \)

直線 \( BC \) は \( C(-1，2) \) と \( B(4，8) \) を通るので，
傾き \( =\dfrac{8-2}{4-(-1)}=\dfrac{6}{5} \)
求める式を \( y=\dfrac{6}{5}x+b \) とし，\( x=-1，y=2 \) を代入すると，
　\( 2=\dfrac{6}{5} \times (-1)+b \)
　\( b=\dfrac{16}{5} \)

よって，直線 \( BC \) の式は，\( y=\dfrac{6}{5}x+\dfrac{16}{5} \)

 

(3)　点 \( B \) から \( x \) 軸にひいた垂線と \( x \) 軸との交点を \( D \) ，直線 \( BC \) と \( y \) 軸との交点を \( E \) とする。関数 イ のグラフ上において２点 \( O，B \) の間に点 \( P \) をとり，点 \( P \) から \( x \) 軸にひいた垂線と \( x \) 軸との交点を \( Q \) とする。また，直線 \( PQ \) と関数 ア のグラフとの交点を \( R \) とする。
\( PR=QD \) のとき，

①　点 \( P \) の \( x \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{4}{3} \)
【解説】

点 \( P \) の \( x \) 座標を \( s \) とすると，
\( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{2}s^2 \) と表すことができます。
また，点 \( Q，R \) の \( x \) 座標も \( s \) になるので，
点 \( R \) の \( y \) 座標は，\( 2s^2 \) と表すことができます。

このとき，\( PR \) の長さは，\( PR=2s^2-\dfrac{1}{2}s^2=\dfrac{3}{2}s^2 \)
\( QD \) の長さは，\( QD=4-s \) と表すことができるので，
　　　　　　　\( PR=QD \)
　　　　　　 \( \dfrac{3}{2}s^2=4-s \)
　　　　　　　\( 3s^2=8-2s \)
　　\( 3s^2+2s-8=0 \)
　\( (3s-4)(s+2)=0 \)
　　　　　　　　 \( s=\dfrac{4}{3} \) (\( s>0 \)より)

 

➁　線分 \( CE \) 上に点 \( S \) をとる。\( △SPR \) の面積が，\( △SQD \) の面積の \( \dfrac{5}{6} \) 倍となるときの \( S \) の座標を求めなさい。

【解答】
\( S\left( -\dfrac{2}{3}，\dfrac{12}{5} \right) \)
【解説】
問題の条件より，\( PR=QD \) なので，
\( △SPR \) の底辺を \( PR \)，\( △SQD \) の底辺を \( QD \) とすると，
\( △SPR \) の高さが \( △SQD \) の高さの \( \dfrac{5}{6} \) 倍 になるとき，
\( △SPR \) の面積が，\( △SQD \) の面積の \( \dfrac{5}{6} \) 倍となります。

点 \( S \) は直線 \( BC \) 上の点なので，\( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( y \) 座標は \( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \) と表すことができます。

このとき，
\( △SPR \) の高さは，\( \dfrac{4}{3}-t \)，
\( △SQD \) の高さは，\( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \)
と表すことができます。

よって，
　\( \dfrac{4}{3}-t=\dfrac{5}{6} \left( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \right) \)
　\( \dfrac{4}{3}-t=t+\dfrac{8}{3} \)
　　　\( 2t=-\dfrac{4}{3} \)
　　　 \( t=-\dfrac{2}{3} \)

\( \dfrac{6}{5}t+\dfrac{16}{5} \) に代入すると，
　\( \dfrac{6}{5} \times \left( -\dfrac{2}{3} \right) +\dfrac{16}{5}=\dfrac{12}{5} \)

 

 

大問６

右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，線分 \( AB \) は円の直径である。弧 \( AB \) 上に点 \( C \) を，\( AC>BC \) となるようにとる。点 \( D \) は線分 \( OB \) 上にあり，点 \( E \) は \( CD \) の延長と \( C \) を含まない弧 \( AB \) との交点である。また，点 \( F \) は線分 \( AC \) 上にあって，\( FD//AE \) である。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

(1)　\( △ADF \) ∽ \( △ECB \) であることを証明しなさい。

【解説】

\( △ADF \) と \( △ECB \) において，
弧 \( BC \) に対する円周角なので，\( ∠FAD=∠BEC \) ･･･ ➀
\( FD//AE \) より，錯角は等しいので，\( ∠FDA=∠DAE \) ･･･ ➁
弧 \( BE \) に対する円周角なので，\( ∠DAE=∠BCE \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠FDA=∠BCE \) ･･･ ④
➀④より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADF \) ∽ \( △ECB \)

 

(2)　\( AB=6 \; cm，BC=2 \; cm，AE=CE \) のとき，
➀　線分 \( AE \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( 2\sqrt{6} \; cm \)
【解説】
点 \( E \) から線分 \( AC \) に垂線をひき，交点を点 \( G \) とすると，
直角三角形 \(AEG\) ができるので，三平方の定理を使って線分 \( AE \) の長さを求めます。

\( △ABC \) は直角三角形，\( AB=6 \; cm，BC=2 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( AC^2=AB^2-BC^2 \)
　　　 \( =6^2-2^2 \)
　　　 \( =32 \)
　 \( AC=4\sqrt{2} \; (cm) \) (\( AC>0 \)より)

また，\( △AOG \) ∽ \( △ABC \) なので，
　\( AO：AB=OG：BC \)
　　　 \( 3：6=OG：2 \)
　　　　\( OG=1 \; (cm) \)

\( AE=CE，AC⊥EG \) より，\( AG=\dfrac{1}{2}AC \) なので，
　\( AG=\dfrac{1}{2} \times 4\sqrt{2}=2\sqrt{2} \; (cm) \)
また，\( EG=EO+OG=3+1=4 \; (cm) \)

よって，三平方の定理より，
　\( AE^2=AG^2+EG^2 \)
　　　 \( =(2\sqrt{2})^2+4^2 \)
　　　 \( =24 \)
　 \( AE=2\sqrt{6} \; (cm) \) (\( AE>0 \)より)

 

➁　\( △ADF \) の面積は，\( △ECB \) の面積の何倍であるか，求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{24}{25} \) 倍
【解説】
(1) より，\( △ADF \) ∽ \( △ECB \) であることがわかっているので，
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比になることを利用して解いていきます。
今回は，\( AE=CE，AE=2\sqrt{6} \; cm \) であることから，
\( AD \) の長さを求めることで解くことができます。

\( EG⊥AC，BC⊥AC \) より，\( EG//BC \)
錯角が等しいので，\( ∠OED=∠BCD \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，\( ∠ODE=∠BDC \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，\( △ODE \) ∽ \( △BDC \)

\( OE=3 \; cm，BC=2 \; cm \) より，
\( OD：BD=OE：BC=3：2 \)

\( OB=3 \; cm \) より，
　\( OD=\dfrac{3}{5}OB \)
　　　\( =\dfrac{3}{5} \times 3 \)
　　　\( =\dfrac{9}{5} \; (cm) \)

\( OA=3 \; cm \) なので，
　\( AD=OA+OD=3+\dfrac{9}{5}=\dfrac{24}{5} \; (cm) \)
\( AE=CE \) より，
　\( EC=AE=2\sqrt{6} \; (cm) \)

(1) より，\( △ADF \) ∽ \( △ECB \) なので，相似比は，
　\( AD：EC=\dfrac{24}{5}：2\sqrt{6} \)
　　　　　　\( =24：10\sqrt{6} \)
　　　　　　\( =12：5\sqrt{6} \)

相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
　\( △ADF：△ECB=12^2：(5\sqrt{6})^2 \)
　　　　　　　　　　 \( =24：25 \)

よって，\( △ADF \) の面積は，\( △ECB \) の面積の \( \dfrac{24}{25} \) 倍

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]]> 大問１

(1)　\( \dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{2} \)

【解答】
\( \dfrac{9}{14} \)
【解説】
\( =\dfrac{2}{7 \times 2}+\dfrac{7}{2 \times 7} \)
\( =\dfrac{9}{14} \)

 

(2)　\( 6+4 \times (-3) \)

【解答】
\( -6 \)
【解説】
\( =6+(-12) \)
\( =-6 \)

 

(3)　\( 8x+9y+7(x-y) \)

【解答】
\( 15x+2y \)
【解説】
\( =8x+9y+7x-7y \)
\( =15x+2y \)

 

(4)　\( 8a^3b \div (-6ab)^2 \times 9b \)

【解答】
\( 2a \)
【解説】
\( =\dfrac{8a^3b \times 9b}{(-6ab)^2} \)
\( =\dfrac{8a^3b \times 9b}{36a^2b^2} \)
\( =2a \)

 

(5)　\( (x+1)(x-5)+(x+2)^2 \)

【解答】
\( 2x^2-1 \)
【解説】
\( =(x^2-4x-5)+(x^2+4x+4) \)
\( =2x^2-1 \)

 

(6)　\( \sqrt{30} \div \sqrt{5}+\sqrt{54} \)

【解答】
\( 4\sqrt{6} \)
【解説】
\( =\sqrt{30} \div \sqrt{5}+\sqrt{54} \)
\( =\dfrac{\sqrt{5} \times \sqrt{6}}{\sqrt{5}}+3\sqrt{6} \)
\( =\sqrt{6}+3\sqrt{6} \)
\( =4\sqrt{6} \)

 

大問２

(1)　一次方程式 \( 5x+8=3x-4 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=-6 \)
【解説】
\( 5x-3x=-4-8 \)
　　　\( 2x=-12 \)
　　　 \( x=-6 \)

 

(2)　二次方程式 \( 2x^2+5x-1=0 \) を解きなさい。

【解答】
\( x=\dfrac{-5±\sqrt{33}}{4} \)
【解説】
\( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=2，b=5，c=-1 \) なので，
解の公式 \( \dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) に代入すると，
　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{25+8}}{4} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{33}}{4} \)

 

(3)　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=2 \) のとき \( y=3 \) である。\( x=5 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。

【解答】
\( y=\dfrac{6}{5} \)
【解説】
反比例の式は \( y=\dfrac{a}{x} \) （\( a \) は定数）で表されるので，
\( x=2，y=3 \) を代入すると，
　\( 3=\dfrac{a}{2} \)
　\( a=6 \)
よって，\( y=\dfrac{6}{x} \) に \( x=5 \)  を代入すると，
　\( y=\dfrac{6}{5} \)

 

(4)　右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，2点 \( A，B \) は円 \( O \) の周上にある。点 \( C \) は円 \( O \) の外部にあり，\( AC=BC \) である。線分 \( BC \) と円 \( O \) との交点のうち，\( B \) と異なる点を \( D \) とする。\( ∠ACB=54°，∠AOB=140° \) であるとき，\( ∠OAD \) の大きさを求めなさい。

【解答】
\( 27° \)

【解説】

\( ∠ADB \) は弧 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADB=\dfrac{1}{2}∠AOB=70° \)
\( ∠ADB \) は \( △ACD \) の外角なので，
　\( ∠CAD=∠ADB-∠ACD=70-54=16° \)

\( △OAB \) は \( OA=OB \) の二等辺三角形なので，
　\( ∠OAB=\dfrac{1}{2}(180-∠AOB)=20° \)

仮定より，\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠CAB=\dfrac{1}{2}(180-∠ACB)=63° \)

以上より，
　\( ∠CAD+∠OAD+∠OAB=∠CAB \)
　　　　　　\( 16+∠OAD+20=63 \)
　　　　　　　　　　　 \( ∠OAD=27° \)

 

(5)　右の図のように，平行でない２本の直線 \( l，m \) があり，\( l \) 上に点 \( A， m \) 上に点 \( B \) がある。線分 \( AB \) 上に， \( l \) と \( m \) の両方に接する円の中心 \( O \) をとりたい。点 \( O \) を，定規とコンパスを使って作図しなさい。なお，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答・解説】

\( l \) と \( m \) の交点を \( P \) とすると，点 \( O \) は，\( ∠APB \) の二等分線上にあります。

手順１　\( P \) を中心に円弧を描く。
　　　　（ \( l，m \) との交点を \( C，D \) とします ）
手順２　\( C，D \) を中心に円弧を描く。
　　　　（ 交点を \( E \) とします ）
手順３　直線 \( EP \) を描く。

直線 \( EP \) と線分 \( AB \) の交点が点 \( O \) になります。

なぜ二等分線になるの？

円の中心，接線の交点，接点の３点でできる三角形が合同になるからです。

\( △OPS \) と \( △OPT \) において，
円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( ∠OSP=∠OTP=90° \) ･･･ ➀
円 \( O \) の半径なので，\( OS=OT \) ･･･ ➁
\( OP \) は共通 ･･･ ➂
①➁➂より，直角三角形の斜辺と他の１辺が等しいので，
\( △OPS≡△OPT \)
合同な三角形の対応する角の大きさは等しいので，
\( ∠OPS=∠OPT \)

よって，円の中心と接線の交点を通る直線は二等分線になるといえます。

 

(6)　次の図のように，箱Ａと箱Ｂの２つの箱がある。箱Ａには \( 1，2，3，4 \) の数字が１つずつ書かれた４枚のカードが，箱Ｂには \( 1，2，3，4，5 \) の数字が１つずつ書かれた５枚のカードが入っている。箱Ａ，箱Ｂの順に，それぞれの箱から１枚ずつカードを取り出し，取り出した順に左から右にカードを並べて２けたの整数をつくる。

➀　つくることができる２けたの整数のうち，６の倍数は何個できるか，求めなさい。

【解答】
３個
【解説】
２つの箱から取り出した数字の組み合わせを表し，６の倍数になるところに○をつけます。

 

➁　つくることができる２けたの整数が３の倍数になる確率を求めなさい。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとする。

【解答】
\( \dfrac{7}{20} \)
【解説】
２つの箱から取り出した数字の組み合わせを表し，３の倍数になるところに○をつけます。
すべての組み合わせは２０通り，３の倍数になるのは７通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{7}{20} \)

 

(7)　健太さんと直樹さんは，航平さんと，運動公園にある１周 \( 2400m \) のジョギングコースを走った。３人ともスタート地点から同じ方向に一定の速さで走り，健太さんと直樹さんは，健太さんから直樹さんの順にそれぞれ１周ずつ，航平さんは一人で２周走った。
また、健太さんと直樹さんは次のように走った。

・ 健太さんは走り始めてから \( 12 \) 分後に１周を走り終え，直樹さんへ引き継いだ。
・ 直樹さんは引き継ぎと同時に走り始め，引き継ぎから \( 15 \) 分後に１周を走り終えた。

一方，航平さんは次のように走った。

・ 航平さんは，健太さんが走り始めてから \( 4 \) 分後に走り始めた。
・ 健太さんが１周を走り終えたとき，航平さんは１周目の途中を走っており，
　 健太さんと \( 640 \; m \) 離れていた。
・ 航平さんは２周目の途中で直樹さんを追いこし，２周を走り終えた。

右の図は，健太さんが走り始めてから \( x \) 分後の，健太さんと直樹さんが走った距離の合計を \( y \; m \) として， \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものに，航平さんが走ったようすをかき入れたものである。

➀　航平さんの走る速さは毎分何 \( m \) か，求めなさい。

【解答】
毎分 \( 220 \; m \)
【解説】
\( 1760 \; m \) を \( 4 \) 分から \( 12 \) 分までの \( 8 \) 分かけて走ったので，
\( 1760 \div 8=220 \; m \)

 

➁　航平さんが直樹さんと並んだのは，健太さんが走り始めてから何分何秒後か，求めなさい。

【解答】
\( 22 \) 分 \( 40 \) 秒後
【解説】
航平さんが直樹さんと並んだ時間と場所は，２本の直線の交点として表れます。

➀より，航平さんは毎分 \( 220 \; m \) で走ったので，
直線の式を \( y=220x+b \) とし，
\( x=4，y=0 \) を代入すると，
　\( 0=220 \times 4+b \)
　\( b=-880 \)
よって，航平さんが走った状態を表す式は，
　\( y=220x-880 \) ･･･ ➀

直樹さんは，\( 2400 \; m \) を \( 15 \) 分かけて走ったので，走った速さ（傾き）は，
　\( 2400 \div 15=160 \; m \)
直線の式を \( y=160x+b \) とし，
\( x=12，y=2400 \) を代入すると，
　\( 2400=160 \times 12+b \)
　　　\( b=480 \)
よって，航平さんが走った状態を表す式は，
　\( y=160x+480 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として解くと，
\( x=\dfrac{68}{3} \) （分）

\( \dfrac{68}{3} \) 分 \( =22\dfrac{2}{3} \) 分 \( =22 \) 分 \( 40 \) 秒

連立方程式の途中式
\( \left\{ \begin{array}{}
y=220x-880 ･･･ ➀ \\
y=160x+480 ･･･ ➁
\end{array} \right. \)
\( 220x-880=160x+480 \)
　　　　\( 60x=1360 \)
　\( x=\dfrac{68}{3} \)

 

大問３

次の図は，美咲さんが通う高校の，１年１組３９人と１年２組３９人の反復横とびの回数の測定結果を，体育委員である美咲さんが箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の各問いに答えなさい。

(1)　次の 　ア　 ， 　イ　 に当てはまる数を入れて，文を完成しなさい。

図の１組の箱ひげ図から，回数の範囲は 　ア　 回，四分位範囲は 　イ　 回であることがわかる。
【解答】
　ア　 ･･･ \( 28 \)
　イ　 ･･･ \( 9 \)
【解説】
　ア　 ･･･ 範囲 \( = \) 最大値 \( – \) 最小値 \( =71-43=28 \) （回）
　イ　 ･･･ 四分位範囲 \( = \) 第三四分位数 \( – \) 第一四分位数 \( =60-51=9 \) （回）

 

さらに美咲さんは，その測定結果をヒストグラムに表した。

(2)　次のア〜エのヒストグラムのうち，１組と２組を表しているものはどれか。それぞれ記号で答えなさい。
なお，ヒストグラムの階級は，４０回以上４４回未満，４４回以上４８回未満などのように，階級の幅を４回として分けている。

【解答】
１組 ･･･ ア
２組 ･･･ エ
【解説】
箱ひげ図から，１組は４０回以上４４回未満の階級の生徒がいるが，２組にはいないので，
１組のヒストグラムは，アまたはウ，２組のヒストグラムは，イまたはエ であるとわかります。

１組 ･･･ １組は６８回以上７２回未満の階級の生徒がいるので，あてはまるのはア

２組 ･･･ クラス全体の人数が３９人なので，第三四分位数（６５回）にあたるのは，
　　　　 回数が多い方から１０番目の生徒の結果なので，
　　　　 ６４回以上６８回未満，６８回以上７２回未満の階級の度数が合計１０人以上になります。
　　　　 よって，あてはまるのはエ

 

(3)　美咲さんと同じ体育委員の大輔さん，由衣さん，雄太さん，恵子さんは，箱ひげ図やヒストグラムから読みとれることについて，それぞれ次のように考えた。

大輔さん：回数の範囲は，１組よりも２組の方が大きい。
由衣さん：回数の四分位範囲は，１組よりも２組の方が大きい。
雄太さん：回数が６４回以上である人数は，１組よりも２組の方が多い。
恵子さん：１組の回数の平均値は，６０回である。

４人のうち，正しい読みとりをしているのは誰か。次のア〜エからすべて選び，記号で答えなさい。
ア　大輔さん      イ　由衣さん      ウ　雄太さん      エ　恵子さん

【解答】
イ，ウ
【解説】
大輔さん：箱ひげ図から，１組の範囲 \( =71-43=28 \) （回），２組の範囲 \( =68-47=21 \) （回）
由衣さん：箱ひげ図から，
　　　　　１組の四分位範囲 \( =60-51=9 \) （回）
　　　　　２組の四分位範囲 \( =65-51=14 \) （回）
雄太さん：(2)から，１組のヒストグラムはア，２組のヒストグラムはエなので，
　　　　　回数が６４回以上である人数は，１組が５人，２組が１０人
恵子さん：ヒストグラムから，６０回以上の階級の度数の合計が１１人であるのに対して，
　　　　　５２回以上５６回未満の階級だけでも１４人いるので，平均値は明らかに６０回未満になる。

 

大問４

図1は，底面の半径が \( 3 \; cm \) ，母線の長さが \( 6 \; cm \) の円すいの形をした容器Ａである。底面の円の中心を \( O \) ，頂点を \( P \) とすると，底面と線分 \( OP \) は垂直に交わっている。図１の容器Ａに球Ｂを，容器Ａの内側の面にぴったりつくように入れたところ，図２のように球Ｂの中心が \( O \) と重なった。図３は，図２の立面図である。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とし，容器Ａの厚さは考えないものとする。また，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

(1)　容器Ａの容積を求めなさい。

【解答】
\( 9\sqrt{3}\pi{} \; cm^3 \)
【解説】

容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形が
短辺と斜辺の比が \( 1：2 \) の直角三角形になっているので，
高さ \( OP \) の比は \( \sqrt{3} \) になります。
　\( OP：3=\sqrt{3}：1 \)
　　 \( OP=3\sqrt{3} \; (cm) \)

よって，容器Ａの容積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 9\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=9\sqrt{3}\pi{} \; (cm^3) \)

 

(2)　容器Ａの側面積を求めなさい。

【解答】
\( 18\pi{} \; cm^2 \)
【解説】

容器Ａの展開図を考えると，
円 \( O \) の周と側面を展開したおうぎ形の弧はぴったり重なっていたので，長さは等しくなっています。
おうぎ形の中心角を \( x° \) とすると，
　\( 2\pi{} \times 3=2\pi{} \times 6 \times \dfrac{x}{360} \)
　　　\( \dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{360} \)
　　　 \( x=180 \)
なので，このおうぎ形は半円になっています。
よって，側面席は，
　\( \pi{} \times 6^2 \times \dfrac{180}{360}=18\pi{} \; (cm^2) \)

 

(3)　球Ｂの半径を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
【解説】

図３における容器Ａと球Ｂの接点を点 \( Q \) とすると，
\( OQ \) が球Ｂの半径になります。
(1) より，容器Ａを正面から見たとき，半分の三角形は \( 1：2： \sqrt{3} \) の直角三角形なので， \( ∠OPQ=30° \)
また，\( △OPQ \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( OQ=\dfrac{1}{2}OP=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)

 

(4)　図４のように，容器Ａと球Ｂの間にちょうど入るような球Ｃを入れた。図５は，図４の立面図である。球Ｃの体積を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi{} \; cm^3 \)
【解説】

球Ｃの中心を \( O’ \)，容器Ａと球Ｃの接点を点 \( R \)，
球Ｃの半径を \( r \; cm \) とすると，
\( △O’PR \) も \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( O’P=2r \; cm \) となります。
また，球Ｂと球Ｃの接点を点 \( S \) とすると，
\( OS \) は球Ｂの半径になっているので，\( OS=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \; cm \)
\( O’S \) は球Ｃの半径になっているので，\( O’S=r \; cm \)

(1) より，\( OP=3\sqrt{3} cm \) なので，
　 \( OP=OS+O’S＋O’P \)
　\( 3\sqrt{3}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+r＋2r \)
　　\( 3r=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \)
　　 \( r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)

よって，球Ｃの体積は，
　\( \dfrac{4\pi{}}{3} \times \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^3=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\pi{} \; (cm^3) \)

 

大問５

右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) ( \( a \) は定数) ･･･ ① のグラフ上に２点 \( A，B \) がある。\( A \) の座標は \( (-1， 2) \)， \( B \) の \( y \) 座標は \( 8 \) で，\( B \) の \( x \) 座標は正である。また，点 \( C \) は直線 \( AB \) と \( y \) 軸との交点であり，点 \( O \) は原点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

(1)　\( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=2 \)
【解説】
\( y=ax^2 \) に \( x=-1，y=2 \) を代入すると，
　\( 2=a \times (-1)^2 \)
　\( a=2 \)

 

(2)　点 \( B \) の \( x \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( 2 \)
【解説】
\( y=2x^2 \) に \( y=8 \) を代入すると，
　 \( 8=2x^2 \)
　\( x^2=4 \)
　 \( x=2 \) （\( x>0 \) より）

 

(3)　直線 \( AB \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=2x+4 \)
【解説】
直線 \( AB \) は，２点 \( A(-1，2)，B(2，8) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{8-2}{2-(-1)}=2 \)
直線の式を \( y=2x+b \) とし，\( x=2，y=8 \) を代入すると，
　\( 8=2 \times 2+b \)
　\( b=4 \)
よって，求める式は，\( y=2x+4 \)

 

(4)　線分 \( BC \) 上に２点 \( B，C \) とは異なる点 \( P \) をとる。
\( △OPC \) の面積が，\( △AOB \) の面積の \( \dfrac{1}{4} \) 倍となるときの \( P \) の座標を求めなさい。

【解答】
\( P\left(\dfrac{3}{4}，\dfrac{11}{2} \right) \)
【解説】

(2) より，直線 \( AB \) の式は \( y=2x+4 \) なので，\( OC=4 \)
点 \( P \) の \( x \) 座標の値を \( s \) とすると，
　　　　　　\( △OPC=\dfrac{1}{4}△AOB \)
　　　　　\( 4△OPC=△AOB \)
　　　　　\( 4△OPC=△AOC+△BOC \)
　\( 4 \times \left(4 \times s \times \dfrac{1}{2} \right)=\left(4 \times 1 \times \dfrac{1}{2} \right)+\left(4 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　　　　　\( 8s=6 \)
　　　　　　　　　 \( s=\dfrac{3}{4} \)

点 \( P \) は直線 \( AB \) 上の点であり，
(3) より，直線 \( AB \) の式は \( y=2x+4 \) なので，\( x=\dfrac{3}{4} \) を代入すると，
　\( y=2 \times \dfrac{3}{4}+4=\dfrac{11}{2} \)

よって， \( P \) の座標は，\( P\left(\dfrac{3}{4}，\dfrac{11}{2} \right) \)

 

大問６

右の図は，点 \( O \) を中心とする円で，線分 \( AB \) は円の直径である。点 \( C \) は弧 \( AB \) 上にあり，点 \( D \) は線分 \( BC \) 上にあって，\( OD//AC \) である。また，点 \( E \) は \( OD \) の延長と \( B \) における円の接線との交点である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

(1)　\( △ABC \) ∽ \( △OEB \) であることを証明しなさい。

【解説】

\( △ABC \) と \( △OEB \) において，
直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \) ･･･ ➀
円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( ∠OBE=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠ACB=∠OBE \) ･･･ ➂
\( OD//AC \) より，同位角は等しいので，
\( ∠CAB=∠BOE \) ･･･ ④
➂④より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC \) ∽ \( △OEB \)

 

(2)　\( AB=10 \; cm，BC=8 \; cm \) のとき，
①　線分 \( AC \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( 6 \; cm \)
【解説】
\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( AC^2=AB^2-BC^2 \)
　　　 \( =10^2-8^2 \)
　　　 \( =36 \)
　 \( AC=6 \; (cm) \) (\( AC>0 \) より)

 

②　線分 \( BE \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{20}{3} \; cm \)
【解説】

(1) より，\( △ABC \) ∽ \( △OEB \) であり，
直径 \( AB=10 \; cm \) より，半径 \( OB=5 \; cm \)
仮定より，\( BC=8 \; cm \)
(2)➀ より，\( AC=6 \; cm \)
なので，
　\( AC：OB=CB：BE \)
　　　 \( 6：5=8：BE \)
　　　\( 6BE=40 \)
　　　　\( BE=\dfrac{20}{3} \; (cm) \)

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