（１） \( (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+1)-\dfrac{9}{\sqrt{3}} \) を計算せよ。

（２） \( 3ab^2 \times (-4a^2b) \div 2a^2b^2 \) を計算せよ。

（３） \( 2250 \) 円の商品を \( 10 \; \% \) 引きで１つ購入するとき，支払う金額はいくらか。ただし，消費税は考えないものとする。

（４） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=3 \) のとき，\( y=5 \) である。この関係を表すグラフ上にある \( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数となる点の個数は何個か。

（５） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=3 \\
\dfrac{1}{2}x-\dfrac{y+2}{6}=-\dfrac{5}{3} \\
\end{array} \right.  \) を解け。

（６） \( a^2-5a-6 \) を因数分解せよ。

（７） ２次方程式 \( (x+1)^2=3 \) を解け。

大問２

問１　図１は,Ｎ市の１９７３年８月と２０２３年８月の日ごとの最高気温をそれぞれ３１日分調べ，その分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の（１），（２）に答えよ。

（１） 次の➀～➃について，図１から読み取れることとして必ず正しいと判断できるものを１つ選び，その番号を書け。

➀　１９７３年８月は，最高気温が \( 32.0^\circ C \) の日が１日はある。
➁　１９７３年８月の四分位範囲は，\( 3.0^\circ C \) より大きい。
➂　１９７３年８月の第１四分位数は，２０２３年８月の第３四分位数より大きい。
➃　２０２３年８月は，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が８日以上ある。

【解説】

➀ ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは判断できません。

➁ ･･･ 四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
　　　 １９７３年８月の第１四分位数は，\( 30.7^\circ C \)，第３四分位数は，\( 32.3^\circ C \) なので，
　　　 四分位数は，\( 32.3-30.7=1.6 \; (^\circ C) \) になります。

➂ ･･･１９７３年８月の第１四分位数は \( 31.0^\circ C \) 未満，２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) 以上
　　　 なので，２０２３年８月の第３四分位数の方が大きくなっています。

➃ ･･･ ３１日分のデータを集計しているので，第３四分位数は気温の高い方から８番目の値になります。
　　　 ２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) より大きいので，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が
　　　 ８日以上あるといえます。

（２） Ｎ市の２０２３年８月の日ごとの最高気温を表しているヒストグラムと考えられるものを，
次のア～ウの中から１つ選び，その記号を書け。

（１） 袋Ａの中の球をよくかきまぜて１個取り出し，取り出した球に書かれている数を確認した後，袋Ａに戻す。これを２回行うとき，１回目に取り出した球に書かれている数と２回目に取り出した球に書かれている数の和が \( 5 \) となる確率を求めよ。

（２） 袋Ａと袋Ｂの中の球をそれぞれよくかきまぜて，袋Ａと袋Ｂから１個ずつ球を取り出す。取り出した２個の球に書かれている数の積が奇数となる確率が \( \dfrac{5}{12} \) であるとき，袋Ｂの中に奇数が書かれている球は何個入っていたか。

問３　「連続する４つの整数を小さい方から順に \( a，b，c，d \) とするとき，\( bc-ad \) の値はいつでも \( 2 \) になる」ことを文字 \( a \) を使って証明せよ。ただし，証明は「\( b，c，d \) をそれぞれ \( a \) を用いて表すと，」に続けて完成させること。

大問３

問２　関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。

問３　直線 \( AB \) の式を求めよ。

問４　図２，図３において，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上を動く２点を \( P，Q \) とする。点 \( P \) と点 \( Q \) は同時に出発し，点 \( P \) は点 \( A \) から点 \( B \) に向かって動き，点 \( Q \) は点 \( C(-1，1) \) から点 \( B \) に向かって動く。点 \( P \) と点 \( Q \) の \( x \) 座標の差はいつでも \( 3 \) であり，点 \( Q \) が点 \( B \) に到達したあとは動かないものとする。
点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，次の（１），（２）に答えよ。

（１） \( ∠BAQ=∠AQP \) となるとき，\( t \) の値を求めよ。

（２） 図３のように，２点 \( R，S \) を線分 \( AB \) 上に，線分 \( PR \) と線分 \( QS \) が \( y \) 軸と平行になるようにとる。
四角形 \( PQSR \) の面積が \( 18 \) となるとき，\( t \) の値をすべて求めよ。

大問４

（２） 線分 \( AD \) の長さは何 \( cm \) か。

（２） \( \stackrel{\huge\frown}{AD} \) と線分 \( AD \)，\( \stackrel{\huge\frown}{CD} \) と線分 \( BD \) および線分 \( BC \) で囲まれた２つの部分(図３の影をつけた部分)を，辺 \( AC \) を軸として１回転させてできる立体の体積は何 \( cm^3 \) か。

大問５

［場面１］
花子：似たような形の穴がたくさんあいているね。
太郎：１つ１つの穴の形は，正六角形に見えるよね。
先生：そうですね。ミツバチの巣は，複数の正六角柱の筒がすき間なく並んでいるような構造を
　　　しているのですよ。
花子：だから，１つ１つの穴の形は正六角形に見えるのですね。でも，正三角柱や正四角柱でも
　　　すき間なく並べることができそうですよね。
太郎：正五角柱でもすき間なく並べることができるのではないかな。少し考えてみようよ。
\( \phantom{　} \)
（数分後）
\( \phantom{　} \)
花子：私は，穴の形に着目して【メモ】のように考えてみました。

【メモ】
下の図のように，１種類の合同な正多角形をすき間なく重ならないように並べることができるのは，
１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるときである。
\( \phantom{　} \) \( \phantom{　} \)
正三角形，正方形，正六角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるから，すき間なく重ならないように並べることができる。正五角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になることはないので，すき間なく重ならないように並べることはできない。

先生：よく説明できましたね。実は，１種類の合同な正多角形で，すき間なく重ならないように
　　　並べることができる図形は，正三角形と正方形と正六角形しかないのですよ。

問１　　（ア）　 ～ 　（ウ）　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

［場面２］
先生：正三角柱や正四角柱でもすき間なく並べることができるのに，なぜ正六角柱なのでしょうね。
太郎：巣を作る材料が最も少なくてすむのが正六角柱なのではないかと考えます。
花子：私は，正六角柱が最も多くのハチミツを蓄えることができるからではないかと思います。
先生：それでは，先ほどの花子さんの考えと同じように穴の形に着目して平面で考えてみましょう。
　　　針金を巣の材料と見立てて考えてみてはどうですか。
太郎：私は，ミツバチが入る穴の形をできるだけ少ない材料で作ることを考えてみようかな。
　　　１匹のミツバチを円と考えて，その円をぴったり囲むことができる正三角形，正方形，正六角形を
　　　それぞれ針金で作って，その周の長さを比較してみます。
花子：私は，同じ量の材料で，できるだけ大きな穴の形を作ることを考えてみようかな。
　　　同じ長さの針金を３本用意して，それぞれ針金１本を使って，正三角形，正方形，正六角形を
　　　作って面積を比較し，どの図形で面積が最大となるかを求めてみます。
先生：２人ともよい考えですね。それでは，それぞれノートに書いてみましょう。

【太郎さんのノート】
文字 \( a \) を使って，円の半径を \( a \; cm  \) と表す。円の中心を \( O \)，円と正三角形の接点を \( H \) とすると
線分 \( OH \) の長さが \( a \; cm  \) であるから，正三角形の１辺の長さは 　（エ）　 \( a \; cm  \) となる。
このことから，正三角形の周の長さは 　（オ）　 \( a \; cm  \) となる。同じように考えると，正方形の
周の長さは 　（カ）　 \( a \; cm  \)，正六角形の周の長さは 　（キ）　 \( a \; cm  \) となる。
よって，　（オ）　 \( a \)，　（カ）　 \( a \)，　（キ）　  \( a \) の大小を比較すると，
　　（ク）　 \( a < \) 　（ケ）　 \( a < \) 　（コ）　 \( a \)
となるので，周の長さが最小となる図形は 　（サ）　 とわかる。
\( \phantom{　} \)

先生：よくできましたね。次は，この結果からミツバチの巣についてどのようなことがいえるか２人で考えてみてください。
太郎：わかりました。
花子：太郎さん，一緒に考えてみましょう。

問２　　（エ）　 ～ 　（コ）　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

問３　　（サ）　 にあてはまることばを，次の１～３の中から１つ選び，その番号を書け。
　　　１　正三角形        ２　正方形           ３　正六角形

問４　［場面２］の下線部をもとに， 　（シ）　 にあてはまる式と 　（ス）　 にあてはまる説明を書き入れて【花子さんのノート】を完成させよ。

大問A

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大問１

（１） \( 1+2 \times (-3)^2 \) を計算せよ。

（２） \( 2250 \) 円の商品を \( 10 \; \% \) 引きで１つ購入するとき，支払う金額はいくらか。ただし，消費税は考えないものとする。

（３） \( \sqrt{18}-\sqrt{8} \) を計算せよ。

（４） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=3 \) のとき，\( y=5 \) である。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表せ。

（５） 連立方程式  \( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=4 \\
3x-2y=-1 \\
\end{array} \right.  \) を解け。

（６） \( a^2-5a+6 \) を因数分解せよ。

（７） ２次方程式 \( x^2+3x+1=0 \) を解け。

（１０） 図３において，線分 \( AB \) の垂直二等分線を定規とコンパスを用いて作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】

大問２

問１　図１は,Ｎ市の１９７３年８月と２０２３年８月の日ごとの最高気温をそれぞれ３１日分調べ，その分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の（１），（２）に答えよ。

（１） 次の➀～➃について，図１から読み取れることとして必ず正しいと判断できるものを１つ選び，その番号を書け。

➀　１９７３年８月は，最高気温が \( 32.0^\circ C \) の日が１日はある。
➁　１９７３年８月の四分位範囲は，\( 3.0^\circ C \) より大きい。
➂　１９７３年８月の第１四分位数は，２０２３年８月の第３四分位数より大きい。
➃　２０２３年８月は，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が８日以上ある。

【解説】

➀ ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは判断できません。

➁ ･･･ 四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
　　　 １９７３年８月の第１四分位数は，\( 30.7^\circ C \)，第３四分位数は，\( 32.3^\circ C \) なので，
　　　 四分位数は，\( 32.3-30.7=1.6 \; (^\circ C) \) になります。

➂ ･･･１９７３年８月の第１四分位数は \( 31.0^\circ C \) 未満，２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) 以上
　　　 なので，２０２３年８月の第３四分位数の方が大きくなっています。

➃ ･･･ ３１日分のデータを集計しているので，第３四分位数は気温の高い方から８番目の値になります。
　　　 ２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) より大きいので，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が
　　　 ８日以上あるといえます。

（２） Ｎ市の２０２３年８月の日ごとの最高気温を表しているヒストグラムと考えられるものを，
次のア～ウの中から１つ選び，その記号を書け。

（１） 球の取り出し方は全部で何通りあるか。

（２） \( x+y=5 \) となる確率を求めよ。

（３） \( x \) と \( y \) の積 \( xy \) の値が奇数となる確率を求めよ。

問３　「連続する４つの整数を小さい方から順に \( a，b，c，d \) とするとき，\( bc-ad \) の値はいつでも \( 2 \) になる」ことを文字 \( a \) を使って証明せよ。ただし，証明は「\( b，c，d \) をそれぞれ \( a \) を用いて表すと，」に続けて完成させること。

大問３

問２　関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。

問３　直線 \( AB \) の式を求めよ。

（２） \( x \) 軸上に点 \( P \) をとる。\( △ABC \) の面積と \( △ABP \) の面積が等しくなるとき，点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めよ。

大問４

（２） おうぎ形 \( AOD \) の面積は何 \( cm^2 \) か。

（２） 線分 \( AD \) の長さは何 \( cm \) か。

（３） \( △ADC \) を，辺 \( AC \) を軸として１回転させてできる立体の体積は何 \( cm^3 \) か。

大問５

［場面１］
花子：似たような形の穴がたくさんあいているね。
太郎：１つ１つの穴の形は，正六角形に見えるよね。
先生：そうですね。ミツバチの巣は，複数の正六角柱の筒がすき間なく並んでいるような構造を
　　　しているのですよ。
花子：だから，１つ１つの穴の形は正六角形に見えるのですね。でも，正三角柱や正四角柱でも
　　　すき間なく並べることができそうですよね。
太郎：正五角柱でもすき間なく並べることができるのではないかな。少し考えてみようよ。
\( \phantom{　} \)
（数分後）
\( \phantom{　} \)
花子：私は，穴の形に着目して【メモ】のように考えてみました。

【メモ】
下の図のように，１種類の合同な正多角形をすき間なく重ならないように並べることができるのは，
１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるときである。
\( \phantom{　} \) \( \phantom{　} \)
正三角形，正方形，正六角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるから，すき間なく重ならないように並べることができる。正五角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になることはないので，すき間なく重ならないように並べることはできない。

先生：よく説明できましたね。実は，１種類の合同な正多角形で，すき間なく重ならないように
　　　並べることができる図形は，正三角形と正方形と正六角形しかないのですよ。

問１　　（ア）　 ～ 　（ウ）　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

［場面２］
先生：正三角柱や正四角柱でもすき間なく並べることができるのに，なぜ正六角柱なのでしょうね。
花子：正六角柱が最も多くのハチミツを蓄えることができるからではないでしょうか。
太郎：私は，巣を作る材料が最も少なくてすむのが正六角柱なのではないかと考えます。
先生：それでは，先ほどの花子さんの考えと同じように穴の形に着目して平面で考えてみましょう。
　　　針金を巣の材料と見立てて考えてみてはどうですか。
花子：私は，同じ量の材料で，できるだけ大きな穴の形を作ることを考えてみようかな。
　　　同じ長さの針金を３本用意して，それぞれ針金１本を使って，正三角形，正方形，正六角形を作って
　　　面積を比較してみます。
太郎：それでは，私は，ミツバチが入る穴の形をできるだけ少ない材料で作ることを考えてみようかな。
　　　１匹のミツバチを円と考えて，その円をぴったり囲むことができる正三角形，正方形，正六角形を
　　　それぞれ針金で作って，その周の長さを比較してみます。
先生：よい考えですね。まずは，花子さんの考えについて，針金の長さを \( 6 \; cm \) として，
　　　花子さんのノートに書いてみてください。

先生：よくできましたね。それでは次に，針金の長さに関わらずいつでも同じことがいえるのかを
　　　調べるために，文字 \( a \) を使って針金の長さを表して，【花子さんのノート１】と同じように
　　　計算して比較することで，面積が最大となる図形を調べましょう。
　　　そのとき，針金の長さは正三角形，正方形，正六角形のいずれの図形でも，折り曲げたときの
　　　１辺の長さが（整数）\( \times a \; cm^2 \) となるように工夫して表しましょう。

（数分後）

先生：よくできましたね。次は，この結果からミツバチの巣についてどのようなことがいえるか
　　　考えてみてください。
花子：わかりました。
太郎：先生，私も自分の考えについてノートに書いてみます。周の長さを計算すると，どのような結果に
　　　なるか楽しみです。

問２　　（エ）　 ～ 　（コ）　 にあてはまる数を答えよ。

問３　　（サ）　 にあてはまることばを，次の１～３の中から１つ選び，その番号を書け。
　　　１　正三角形        ２　正方形           ３　正六角形

問４　［場面２］の下線部をもとに， 　（シ）　 にあてはまる数と 　（ス）　 にあてはまる説明を書き入れて【花子さんのノート２】を完成させよ。

The post 長崎県公立高校入試　令和７（2025）年度　Ａ問題　解答＆解説 first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

（１） \( 3-2 \times \left(-\dfrac{1}{2} \right) \) を計算せよ。

（２） \( \sqrt{48}+\dfrac{3}{\sqrt{3}} \) を計算せよ。

（３） 家から学校までの通学路の距離は \( 5 \; km \) ある。通学路の途中に本屋があり，家から本屋まで時速 \( 3 \; km \) で歩くと \( a \) 時間かかる。このとき，本屋から学校までの距離を \( a \) を用いて表せ。

（４） 連立方程式  \( \left\{ \begin{array}{}
2x-y=5 \\
3x+2y=-3 \\
\end{array} \right.  \) を解け。

（５） ２次方程式 \( x^2-3x-4=0 \) を解け。

（６） ある高校の１クラスの生徒 \( 40 \) 人で，当たりくじつきのアイスを \( 1 \) 人 \( 1 \) 本ずつ食べたところ，その中の \( 2 \) 本が当たりだった。全校生徒 \( 600 \) 人で，このアイスを \( 1 \) 人 \( 1 \) 本ずつ食べたとき，およそ何本が当たりであると考えられるか。

（７） \( 2024=\dfrac{22 \times 23 \times 24}{□} \) と表せる。□に入る自然数を答えよ。

大問２

（２） ５月の小テストの得点と６月の小テストの得点の散らばりの程度(散らばりのぐあい)はどちらが大きいか，５月の小テストのヒストグラムと６月の小テストのヒストグラムから読み取れる数値を比較して説明せよ。

（３）　次の①～④について，図１から読み取れることとして，必ず正しいと判断できるものを１つ選び，その番号を書け。

　　　　　➀　最頻値(モード) は，５月の小テストよりも６月の小テストの方が大きい。
　　　　　➁　中央値 (メジアン)は，５月の小テストよりも６月の小テストの方が大きい。
　　　　　➂　５月の小テストの得点が７点以上の生徒のうち，６人が６月の小テストで得点を伸ばした。
　　　　　④　５月の小テストの得点よりも６月の小テストの得点が低い生徒が７人以上いる。

問２　図２のように，箱の中に \( 1 \) から \( 6 \) までの数字が１つずつ書かれたカードが６枚入っており，この箱の中からカードを取り出す。このとき，次の（１），（２）に答えよ。ただし，どのカードが取り出されることも同様に確からしいとする。

（１）　カードを１枚取り出し，取り出したカードに書かれた数字を確認してもとに戻す操作を行う。次の①～④について，正しいものを１つ選び，その番号を書け。

　　　　　①　この操作を５回行い，\( 1 \) の数字が書かれたカードを１回も取り出さなかったとき，もう１回
　　　　　　　この操作を行うと，必ず \( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出す。
　　　　　➁　この操作を６０回行う。５０回目までに \( 1 \) の数字が書かれたカードを１回も取り出さなかった
　　　　　　　とき，その後の１０回の操作では，\( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出しやすくなる。
　　　　　➂　この操作を６０００回行うと，\( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出す回数はおよそ１０００回
　　　　　　　である。
　　　　　④　この操作の回数にかかわらず，\( 1 \) の数字が書かれたカードを取り出した回数を操作した回数
　　　　　　　で割ると，つねに \( \dfrac{1}{6} \) になる。

（２）　カードを同時に２枚取り出す操作を１回行うとき，次の文中の 　ア　，　イ　 に適当な数を入れ、文を完成させよ。

大問３

問２ 関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。

問３ 直線 \( AB \) の式を求めよ。

（１） 線分 \( QR \) の長さを \( t \) を用いて表せ。

（２） 線分 \( PR \) の長さが線分 \( QR \) の長さの２倍となるとき，\( t \) の値を求めよ。

大問４

図１～図３のように，\( AD=BD=CD=4 \; cm，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90° \) である三角錐 \( ABCD \) がある。辺 \( AC \) の中点を \( E \) とし，辺 \( CD \) 上を動く点を \( F \) とする。このとき，次の問いに答えなさい。

（２） 三角錐 \( EBCF \) の体積は何 \( cm^3 \) か。

大問５

図１～図３のように，\( ∠ABC=∠ACB \) である鈍角三角形 \( ABC \) がある。辺 \( BC \) 上に \( ∠BAC=∠ADB \) となる点 \( D \) をとると，\( △ABC \) ∽ \( △DBA \) となる。\( BD=3 \; cm，CD=5 \; cm \) とするとき，次の問いに答えなさい。

問２ 辺 \( AB \) の長さは何 \( cm \) か。

（１） \( △CAD \) ∽ \( △BDE \) であることを次のように証明した。　ア　 ～ 　ウ　 にあてはまる内容を書き入れて，証明を完成させよ。ただし，同じ記号には同じ内容が入る。

(証明)
\( △CAD \) と \( △BDE \) において
　仮定より \( ∠ABC=∠ACB \) であるので，\( ∠DCA=∠EBD \) ･･･ ①
　仮定より \( ∠ADB=∠DEA \) ･･･ ②
　また \( ∠CDA= \) 　ア　° \( -∠ADB \) ･･･ ③
　また \( ∠ \) 　イ　 \( = \) 　ア　° \( -∠DEA \) ･･･ ④
➁，③，④より，\( ∠CDA=∠ \) 　イ　 ･･･ ⑤
①，⑤より，　　　ウ　　　 がそれぞれ等しいから
　\( △CAD \) ∽ \( △BDE \)

（２） 線分 \( AE \) の長さと線分 \( EB \) の長さの比を最も簡単な整数の比で表せ。

大問６

学さんと学さんのお姉さんは，車のナンバープレートを見て数遊びをしている。２人の会話を読んで，あとの問いに答えなさい。

問１ 　ア　 ～ 　ウ　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

問２ 下線部で示した内容が正しいことを説明せよ。ただし，説明は解答用紙の「奇数を○，偶数を×とすると，４段目が○ (奇数)となるためには，３段目は、○×か，×○でなければならない。」 に続けて完成させよ。

The post 長崎県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説 first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

(1)　\( 3+2 \times (-3)^2 \) を計算せよ。

(2)　\( 2(x+3y)-(x-2y) \) を計算せよ。

(3)　\( \dfrac{\sqrt{2}+1}{3}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \) を計算せよ。

(4)　\( x^2+5x-6 \) を因数分解せよ。

(5)　２次方程式 \( 2x^2+3x-4=0 \) を解け。

(6)　1次関数 \( y=-2x+1 \) について，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域を求めよ。

(7)　\( 2023=7×17×17 \) である。\( 2023 \) を割り切ることができる自然数の中で，\( 2023 \) の次に大きな自然数を求めよ。

大問２

問１　次のデータは，ある書店における月刊誌Ａの１２か月間の月ごとの販売冊数を少ない順に並べたものである。このデータについて，次の(1)~(3)に答えよ。

(1)　中央値（メジアン）を求めよ。

(2)　次の➀～➃の文の中から正しいものを１つ選び，その番号を書け。
➀　第１四分位数は，１１冊である。
➁　最頻値 (モード) は，２１冊である。
➂　四分位範囲は，５．５冊である。
➃　平均値は，１４冊である。

(3) このデータの箱ひげ図として正しいものを，次の➀～➃の中から1つ選び，その番号を書け。

(2)　２回続けて取り出すとき，２回目に４の数字が書かれている球を取り出す確率を求めよ。

(3)　３回続けて取り出した後，次のルールにしたがって得点を定めるとき，得点が４点となる確率を求めよ。

ルール
・　２回目に取り出した球に書かれている数が１回目に取り出した球に書かれている数より大きければ，
　　２回目に取り出した球に書かれている数を得点とする。
・　２回目に取り出した球に書かれている数が１回目に取り出した球に書かれている数より小さければ，
　　３回目に取り出した球に書かれている数を得点とする。

例えば，１回目に１，２回目に２，３回目に３の数字が書かれている球を取り出したとき，得点は２点となり，１回目に４，２回目に３，３回目に１の数字が書かれている球を取り出したとき，得点は１点となる。

【解説】

球を３回取り出したときの組み合わせを樹形図にし，得点が４点となるところに ○ をつけてみます。
すべての組み合わせは２４通り，得点が４点になるのは９通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{9}{24}=\dfrac{3}{8} \)

問３　２つの続いた偶数 \( 4，6 \) について，\( 4 \times 6+1 \) を計算すると \( 25 \) になり，\( 5 \) の２乗となる。このように，「２つの続いた偶数の積に１を加えると，その２つの偶数の間の奇数の２乗となる。」ことを文字 \( n \) を使って証明せよ。ただし，証明は解答用紙の「 \( n \) を整数とし，２つの続いた偶数のうち，小さいほうの偶数を \( 2n \) とすると，」に続けて完成させよ。

大問３

図１～図３のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，\( x \) 座標はそれぞれ \( -4，2 \) である。原点を \( O \) として，次の問いに答えなさい。
　　　　

問１　点 \( A \) の \( y \) 座標を求めよ。

問２　直線 \( AB \) の傾きを求めよ。

問３　図２，図３のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフ上に点 \( C \)，\( y \) 軸上に点 \( D \) をそれぞれ四角形 \( ABCD \) が平行四辺形となるようにとる。このとき，次の (1)～(3) に答えよ。

(1)　点 \( C \) の \( x \) 座標を求めよ。

(2)　点 \( D \) の \( y \) 座標を求めよ。

(3)　図３のように，さらに \( y \) 軸上に点 \( E \) をとる。 \( △ADE \) の面積と \( △BCE \) の面積が等しくなるとき，点 \( E \) の \( y \) 座標を求めよ。

大問４

図１，図２，図４のように，1辺が \( 4 \; cm \) の立方体 \( ABCDEFGH \) がある。また，辺 \( EF，EH \) の中点をそれぞれ \( P，Q \) とする。このとき，次の問いに答えなさい。

問１　図１において，三角錐 \( AEPQ \) の体積は何 \( cm^3 \) か。

問２　図２において，線分 \( PQ \)，線分 \( BP \) の長さはそれぞれ何 \( cm \) か。

問３　図２において，四角形 \( BDQP \) は，\( BP=DQ \) の台形である。図３は台形 \( BDQP \) を平面に表したものであり，２点 \( P，Q \) から辺 \( BD \) にひいた垂線と辺 \( BD \) との交点をそれぞれ \( R，S \) とする。このとき，次の (1)～(3) に答えよ。

(1)　線分 \( BR \) の長さは何 \( cm \) か。

(2)　台形 \( BDQP \) の面積は何 \( cm^2 \) か。

(3)　立体 \( ABDEPQ \) の体積は何 \( cm^3 \) か。

問4　図４のように，点 \( A \) から台形 \( BDQP \) にひいた垂線と台形 \( BDQP \) との交点を \( T \) とする。このとき，線分 \( AT \) の長さは何 \( cm \) か。

大問５

図１，図２のような四角形 \( ABCD \) があり，\( BC=6 \; cm，CD=4 \; cm，DA=3 \; cm \) ，
\( ∠BCD=∠CDA=90° \) である。また，辺 \( BC \) 上に，点 \( E \) を四角形 \( AECD \) が長方形となるようにとる。このとき，次の問いに答えなさい。
 　　

問１　\( △ABE \) の面積は何 \( cm^2 \) か。

問２　図２のように，線分 \( AE \) と線分 \( BD \) との交点を \( F \) とする。このとき，\( △DAF≡△BEF \) であることを次のように証明した。　(ア)　，　(イ)　 にあてはまることばを書き入れて，証明を完成させよ。

(証明)
\( △DAF \) と \( △BEF \) において
四角形 \( AECD \) は長方形であるから
\( BE=BC-EC=3 \; cm \) となり
　\( DA=BE \)  ･･･ ➀
また，\( AD//BC \) であり，平行線の 　(ア)　 は等しいので
　\( ∠ADF=∠EBF \)  ･･･ ➁
　\( ∠DAF=∠BEF \)  ･･･ ➂
➀，➁，➂ より，
　(イ)　 がそれぞれ等しいから
\( △DAF≡△BEF \)

問３　図３のように，図２の四角形 \( ABCD \) を頂点 \( B \) が頂点 \( D \) に重なるように折り返すと，折り目は，辺 \( AB \) 上の点 \( P \) と辺 \( BC \) 上の点 \( Q \) とを結ぶ線分 \( PQ \) となった。
図４は，この折り返しをもとにもどした図である。このとき，次の (1)～(3) に答えよ。
 　　

(1)　\( △DAF \) と相似な三角形を，次の ➀～➃ の中から１つ選び，その番号を書け。
　　 ➀　\( △FPA \)　　　　➁　\( △FEQ \)　　　　➂　\( △AEB \)　　　　➃　\( △BFP \)

(2)　線分 \( EQ \) の長さは何 \( cm \) か。

(3)　線分 \( AP \) の長さと線分 \( PB \) の長さの比を，最も簡単な整数の比で表せ。

大問６

問１　 \( \fbox{　(ア)　} \)，\( \fbox{　(イ)　} \)，\( \fbox{　(ウ)　} \)，\( \fbox{　(エ)　} \) にあてはまる自然数を答えよ。

問２　\( \fbox{　(オ)　} \)，\( \fbox{　(カ)　} \)，\( \fbox{　(キ)　} \) にあてはまる段の組を答えよ。

問３　\( \fbox{　(ク)　} \)，\( \fbox{　(ケ)　} \) にあてはまる１けたの自然数を答えよ。

【解説】

図４のとき，各段７＋１個ずつ並べた段が７段でき，平行四辺形の形になっています。
ただし，これは，求めたい三角形状に並んだ個数の２倍（点線の三角形２個分）を数えているので，
２で割る必要があります。

問４　\( \fbox{　(コ)　} \) にあてはまる自然数を答えよ。

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