問１ （１）～（３）の計算をしなさい。

（１） \( 9 \times (-6) \)

（２） \( -8+5 \div \dfrac{1}{3} \)

（３） \( (-\sqrt{6})^2+4 \)

問２　二次方程式 \( (x-2)(x-5)=0 \) を解きなさい。

問４　等式 \( 7x-y=4 \) を，\( y \) について解きなさい。

問５　下の表は，ある中学校の生徒 \( 76 \) 人に対し，夏休みに読んだ本の冊数を調べ，まとめたものです。表から，読んだ本の冊数の中央値を求めなさい。

大問２

箱の中に同じ大きさの赤玉と白玉がたくさん入っています。カイさんたちのクラスでは，この箱の中の玉を使って，確率や標本調査についての学習を行っています。
次の問いに答えなさい。

\( \boxed{ 　　　　　} \) に当てはまる文として最も適当なものを，ア～オ から選びなさい。
ただし，この袋の中から玉を１個取り出すとき，どの玉が出ることも同様に確からしいとします。

　　ア　多くなっても，赤玉が出る相対度数のばらつきはなく，その値は \( 1 \) で一定である
　　イ　多くなっても，赤玉が出る相対度数のばらつきはなく，その値は \( 0.6 \) で一定である
　　ウ　多くなるにつれて，赤玉が出る相対度数のばらつきは小さくなり，その値は \( 1 \) に近づく
　　エ　多くなるにつれて，赤玉が出る相対度数のばらつきは小さくなり，その値は \( 0.6 \) に近づく
　　オ　多くなっても，赤玉が出る相対度数の値は大きくなったり小さくなったりして，一定の値には
　　　　近づかない

問２　トムさんたちのグループは，箱の中にある赤玉の個数を推定するため，先生から，箱の中に赤玉と白玉が合わせて \( 500 \) 個入っていることを聞き，次の手順で実験を行いました。

次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 手順の１で取り出した玉にふくまれる赤玉の個数が \( 12 \) 個であるとき，この箱の中には，赤玉がおよそ何個入っていたと推定されますか，求めなさい。また，その求め方を説明しなさい。

（２） トムさんたちは，実験を \( 10 \) 回行いました。さらに，トムさんたちは，手順の１で取り出す玉の個数を \( 60 \)個，\( 100 \) 個に変えた実験を、それぞれ \( 10 \) 回ずつ行いました。
最後に，箱の中にある赤玉の実際の個数を数え，箱の中にある赤玉の個数の割合を計算したところ，\( 0.3 \) であることがわかりました。
図２は，この計算結果と，取り出した玉にふくまれる赤玉の個数の割合を箱ひげ図にしたものを，まとめたものです。

トムさんたちは，図２の特徴を読みとることで，箱の中にある赤玉の個数の割合と，取り出した玉にふくまれる赤玉の個数の割合の関係について，次のように説明しました。➀ の｛　　　｝に当てはまるものを，ア，イ から選び，また, 　　➁　　 に当てはまる言葉を書き入れ，説明を完成させなさい。
ただし，箱の中にある赤玉の個数の割合を「Ａの割合」，取り出した玉にふくまれる赤玉の個数の割合を「Ｂの割合」とし，　　➁　　 には，「Ａの割合」，「Ｂの割合」という言葉を用いて書くこと。

大問３

問１　泉さんたちは，表や画面１から \( y \) は \( x \) の２乗に比例すると考え，コンピュータを使って，\( x≧0 \) のときの関数 \( y=ax^2 \) (\( a \) は正の定数) のグラフが，５点 \( O，A，B，C，D \) の最も近くを通るときの \( a \) の値について調べました。その結果，画面２のように，\( a=0.5 \) のときが，５点 \( O，A，B，C，D \) の最も近くを通るグラフになると考えました。

\( x \) と \( y \) の関係を，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) として，次の(1)，（２）に答えなさい。
ただし，\( 0≦x≦20 \) とします。

（１） 電車がＺ駅を出発してからの道のりが \( 32 \; m \) になるのは，電車がＺ駅を出発してから何秒後ですか, 求めなさい。

（２） 電車がＺ駅を出発して，\( 4 \) 秒後から \( 8 \) 秒後までの間の平均の速さは秒速何 \( m \) ですか, 求めなさい。

泉さんたちは，コンピュータを使って，画面３のように，①と②のグラフを表しました。図２は，自転車が電車に追い越されたときの位置関係を示したものです。泉さんたちは，画面３と図２を見ながら，電車と自転車の位置関係について，話し合っています。

泉さん 「\( 20 \) 秒後に自転車は追いつかれちゃうんだね。」
岬さん 「図２のように，自転車が電車に追い越されるのは何秒後なんだろう。」
泉さん 「電車の全長がわかっているから，求めることができそうだね。」

図２のように，自転車が電車に追い越されるのは，自転車が地点 \( Q \) を通過してから何秒後ですか, 求めなさい。ただし，電車の最後尾 \( R \) と自転車の先端 \( S \) を通る直線は，線路と道路に垂直に交わるものとします。

大問４

（２） ユウコさんたちは，それぞれのノートに長方形 \( ABCD \) をかき，点 \( E，F \) や折り目の線を作図しました。

ユウコさんたちは，作図の方法について, 話し合っています。　　ア　　，　　イ　　 に当てはまる記号を，
　　ウ　　，　　エ　　 に当てはまる言葉を，それぞれ書きなさい。ただし，　　ウ　　 に当てはまる言葉は，下線部 　　　 のように，「〜の ･･･ をひく」という形で書くこと。

ユウコさん　「私はまず，頂点 　　ア　　 を中心として，辺 　　イ　　 の長さを半径とする
　　　　　　　円をかいて点 \( E \) を作図したよ。次に，点 \( F \) と折り目の線を作図するために，
　　　　　　　\( \underline{∠BCE} \) の二等分線をひくという方法で作図したよ。」
ジュンさん　「私も点 \( E \) の作図までは同じ方法だよ。そのあとに，点 \( F \) と折り目の線を作図する
　　　　　　　ために，　　ウ　　 という方法で作図したよ。」
ユウコさん　「実際に折ってみると，作図と同じ点 \( E，F \) や折り目の線になったね。作図の手順は
　　　　　　　違うけど，私たちの折り目の線が同じになったのはなぜだろう。」
ジュンさん　「折り目の線が同じになるのは，\( △BCE \) が 　　エ　　 だからだよ。
ユウコさん　「なるほど！ 　　エ　　 の性質が理由になるんだね。」

問２　ユウコさんたちは，コンピュータを使って，画面のように，線分 \( AE \) 上に点 \( G \) をとり，頂点 \( B \) と点 \( G \) が重なるように折ったときにできる折り目の線と辺 \( AB \) との交点を \( H \) とし，点 \( G \) を通り線分 \( GH \) に垂直な直線と辺 \( CD \) との交点を \( I \) としました。
次に，点 \( G \) を線分 \( AE \) 上で動かし，ユウコさんたちは，「\( △AGH \) と \( △DIG \) が相似である」と予想しました。
ユウコさんたちの予想が成り立つことを証明しなさい。
ただし，点 \( G \) は頂点 \( A \)，点 \( E \) と重ならないものとします。

大問５

（１） 点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから \( x \) 秒後の \( △ADP \) の面積を \( y \; cm^2 \) とするときの関係を表すグラフとして最も適当なものを, ア～カ から選びなさい。
ただし,点 \( O \) は原点とします。

（２） 点 \( P \) が辺 \( BC \) 上にあるとき，四角形 \( APCD \) が \( 20 \; cm^2 \) となるのは，点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから何秒後ですか, 求めなさい。

大小２つのさいころを同時に投げるとき，点 \( Q \) が辺 \( CD \) 上に止まる確率を求めなさい。

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問１　（１）～（３）の計算をしなさい。
（１） \( (-1)+(-5) \)

（２） \( 7+18 \div (-3) \)

（３） \( \sqrt{6} \times \sqrt{3}-\sqrt{2} \)

問２ \( 70 \) を素因数分解しなさい。

問３ \( 1 \; m \) あたりの重さが \( 30 \; g \) の針金があります。この針金 \( x \; m \) の重さが \( y \; g \) であるとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

問５ 下の①～④のヒストグラムは，それぞれア～エのいずれかの箱ひげ図と同じデータを
使ってまとめたものです。①，②のヒストグラムは，どの箱ひげ図と同じデータを使って
まとめたものですか。最も適当なものを，それぞれア～エから選びなさい。

【解説】

箱ひげ図の特徴として，
　・　左側の棒の部分（最小値と第一四分位数の間）
　・　箱の左側（第一四分位数と中央値の間）
　・　箱の右側（中央値と第三四分位数の間）
　・　右側の棒の部分（第三四分位数と最小値の間）
にはそれぞれ約２５％の個数のデータが含まれます。
（例：データの総数が２０個であれば，５個ずつのデータが含まれます）

ここから，棒の長さや箱の長さが短いほど，その中に含まれる階級の度数が大きいことになります。

左側の棒の部分を「Ａ」，箱の左側の部分の部分を「Ｂ」，箱の右側の部分の部分を「Ｃ」，
右側の棒の部分を「Ｄ」とすると，
イの箱ひげ図は，Ｃ，Ｄの部分と比べて，Ａ，Ｂの部分の長さが短くなっていて，
全体の左半分に箱が含まれているので，
ヒストグラムでは半分より左側に山ができ（度数が大きくなり）ます。
ここから，あてはまるヒストグラムは➁であるとわかります。

アの箱ひげ図は，Ａ，Ｂ，Ｄの部分と比べて，Ｃの部分の長さが短くなっていて，
全体の右半分に箱のほとんどの部分が含まれているので，
ヒストグラムでは半分より右側に山ができます。
ここから，あてはまるヒストグラムは➁であるとわかります。

ウの箱ひげ図は，Ａ，Ｄの部分と比べて，Ｂ，Ｃの部分の長さが短くなっていて，
箱ひげ図はほぼ左右対称なので，
ヒストグラムでは中央付近に山ができます。
ここから，あてはまるヒストグラムは➃であるとわかります。

エの箱ひげ図は，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの部分がほぼ均等（ややＢ，Ｃが短い）になっているので，
ヒストグラムでは全体の高さがほぼ平らになります。
ここから，あてはまるヒストグラムは➀であるとわかります。

大問２

問１　勇太さんは，白色のチューリップの本数の求め方について，ノートにまとめました。
次の（１），（２）に答えなさい。

(勇太さんのノート)

（１） 白色のチューリップの縦の本数が \( 6 \) 本のとき，白色のチューリップの本数を求めなさい。

【解答】

\( (a-2) \times 2+2a \times 2 \)

問２ 勇太さんが,条件にしたがってチューリップを植えたところ，チューリップは全部で \( 242 \) 本になりました。 このときの赤色のチューリップの本数を求めなさい。

大問３

ユキさんたちのクラスでは，数学の授業で，関数のグラフについてコンピュータを使って学習をしています。
次の問いに答えなさい。

問１ 先生が提示した画面１には，関数 \( y=x^2 \) のグラフと，このグラフ上の２点 \( A，B \) を通る直線が表示されています。点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 3 \)，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( -2 \) です。点 \( O \) は原点とします。

ユキさんは，画面１を見て，２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めたいと考え，求め方について，次のような見通しを立てています。

（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

（２） ユキさんの見通しを用いて，２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

問２ 先生が提示した画面２には，２つの関数 \( y=2x^2 \) ･･･ ①，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) ･･･ ② のグラフが表示されています。① のグラフ上に点 \( P \) があり，点 \( P \) の \( x \) 座標は \( t \) です。点 \( Q \) は，点 \( P \) と \( y \) 軸について対称な点です。また，点 \( R \) は，点 \( P \) を通り，\( y \) 軸に平行な直線と ② のグラフとの交点です。点 \( O \) は原点とし，\( t>0 \) とします。

ユキさんたちは，点 \( P \) を ① のグラフ上で動かすことで，\( △PQR \) がどのように変化するかについて，話し合っています。

大問４

問１ 亜季さんは，４点 \( P，Q，R，S \) を各辺の中点としたまま，四角形 \( ABCD \) がいろいろな
ひし形となるように，コンピュータを使って四角形 \( ABCD \) の形を変え，四角形 \( PQRS \)
の形を調べたところ，次のことがらに気づき，ノートにまとめました。

　　　 に言葉を当てはめるとき，このことがらが成り立たないものを，ア〜ウからすべて選びなさい。
　　　　ア　正方形 　　　イ　長方形 　　　ウ　ひし形

（１） 大地さんの予想が成り立つことを証明しなさい。

（２） 四角形 \( ABCD \) の対角線 \( BD \) と，線分 \( PQ，RS \) との交点をそれぞれ \( M，N \) とします。\( △APS \) の面積が \( 3 \; cm^2 \) であるとき，四角形 \( PMNS \) の面積を求めなさい。
ただし，四角形 \( PQRS \) は平行四辺形であることがわかっています。

大問５

問１ 図２のように，円 \( O \) の円周を６等分する点 \( A，B，C，D，E，F \) があり，図１と合同な二等辺三角形 ①〜⑫ を，それぞれの三角形の最も長い辺が円 \( O \) の半径となるように並べます。
次の（１），（２）に答えなさい。

（１） ① を，点 \( O \) を中心として時計回りに回転移動して，⑨ に初めてぴったり重なったのは，何度回転移動したときですか。その角度を求めなさい。

（２） 種類の異なる３枚の硬貨 \( X，Y，Z \) があります。硬貨 \( X，Y，Z \) を同時に投げ，表と裏の出かたに応じて，① に，次の１～３の操作を順に行い，最後に ①～⑫ のどの三角形に重なるかを調べます。

　　１　硬貨 \( X \) が表のときは線分 \( AD \) を対称の軸として対称移動させ，裏のときは移動させない。
　　２　硬貨 \( Y \) が表のときは点 \( O \) を回転の中心として \( 180° \) 回転移動させ，裏のときは移動
　　　　させない。
　　３　硬貨 \( Z \) が表のときは平行移動してぴったりと重なる三角形に移動させ，裏のときは移動させない。

３枚の硬貨 \( X，Y，Z \) を同時に投げるとき，① が最後に重なる三角形が ⑦ となる確率を求めなさい。

【解説】

３枚の硬貨の表裏の組み合わせとそれぞれの場合の行き先を樹形図に表すと，
行き先が ➆ になるのは２通り，すべての組み合わせは８通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} \)

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問１　(1)～(3)の計算をしなさい。

(1)　\( 9-(-5) \)

(2)　\( (-3)^2 \div \dfrac{1}{6} \)

(3)　\( \sqrt{2} \times \sqrt{14} \)

問３　下の表は，ある一次関数について，\( x \) の値と \( y \) の値の関係を示したものです。
表の \( \fbox{　　} \) に当てはまる数を書きなさい。

問５　\( x^2- \)　　\( x+14 \) が \( (x-a)(x-b) \) の形に因数分解できるとき，　　　 に当てはまる自然数を２つ書きなさい。ただし，\( a，b \) はいずれも自然数とします。

大問２

優さんは，\( 45=5×9，55=5×11 \) となることから，次のように予想しました。

（予想Ⅰ）
縦横に隣り合う４つの数の和は，\( 5 \) の倍数である。

次の問いに答えなさい。

問１　予想Ⅰが正しいとはいえないことを，次のように説明するとき，　ア　 ～ 　オ　 に当てはまる数を，それぞれ書きなさい。

（説明）
縦横に隣り合う４つの数が，
\( a= \) 　ア　 ，\( b= \) 　イ　 ，\( c= \) 　ウ　 ，\( d= \) 　エ　 のとき，
４つの数の和 \( a+b+c+d \) は，　オ　 となり，\( 5 \) の倍数ではない。
したがって,縦横に隣り合う４つの数の和は，\( 5 \) の倍数であるとは限らない。

問２　優さんは，予想Ｉがいつでも成り立つとは限らないことに気づき，縦横に隣り合う４つの数それぞれの，かけられる数とかける数に注目して，あらためて調べ，予想をノートにまとめました。

（優さんのノート）

予想Ⅱがいつでも成り立つことを，次のように説明するとき，　ア　 ～ 　キ　 に当てはまる式を，それぞれ書きなさい。

(説明)
\( a \) を，かけられる数 \( m \) ，かける数 \( n \) の積として \( a=mn \) とすると，
\( b，c，d \) は，それぞれ \( m，n \) を使って，
\( b= \) 　ア　 ，\( c= \) 　イ　 ，\( d= \) 　ウ　 と表すことができる。
このとき，４つの数の和 \( a+b+c+d \) は，
　\( a+b+c+d=mn+ \) ア \( + \) イ \( + \) ウ
　　　　　　　　\( =4mn+2m+2n+1 \)
　　　　　　　　\( =(2m+1)(2n+1) \)
　　　　　　　　\( =\{ \) 　エ　 \( +( \) 　オ　 \( )\}\{ \) 　カ　 \( +( \)　キ　 \( )\} \) となる。
したがって，縦横に隣り合う４つの数の和は，
（かけられる数の和）\( \times \)（かける数の和）である。

大問３

問２　➀について \( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの変化の割合が，一次関数 \( y=x+2 \) について \( x \) の値が \( -1 \) から \( 2 \) まで増加するときの変化の割合に等しいとき， \( a \) の値を求めなさい。

問３　\( a=\dfrac{1}{3} \) とします。点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 3 \) とします。➁のグラフ上に点 \( C \) を，\( x \) 座標が \( 1 \) となるようにとります。点 \( C \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と➁のグラフとの交点を \( D \) とします。線分 \( AB，CD \) 上にそれぞれ点 \( P，Q \) をとり，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とします。ただし，\( 0<t≦1 \) とします。
陸さんは，コンピュータを使って直線 \( PQ \) を動かしたところ，直線 \( PQ \) が原点 \( O \) を通るとき，台形 \( ABDC \) の面積を２等分することに気づきました。
直線 \( PQ \) が原点 \( O \) を通るとき，次の(1) ，(2)に答えなさい。

(1)　点 \( Q \) の座標を，\( t \) を使って表しなさい。

(2)　直線 \( PQ \) が台形 \( ABDC \) の面積を２等分することを説明しなさい。

大問４

次の (1) ，(2) に答えなさい。

(1)　ア～ウには，それぞれ共通する言葉が入ります。ア～ウに当てはまる言葉をそれぞれ書き入れ，証明を完成させなさい。

(2)　\( AB=AD \) のとき，\( △ABE≡△ADC \) を証明しなさい。なお，悠斗さんや由美さんが証明したことを用いてもよいものとします。

大問５

Ａ市に住む中学生の翼さんは，ニュースで聞いたことをもとに，先生と話し合っています。

次の問いに答えなさい。

問１　翼さんは，今から５０年前と２０２１年の夏日の日数を比べてみることにしました。翼さんは，Ａ市の１９７２年と２０２１年における，７月と８月の日ごとの最高気温を調べ，その結果をノートにまとめました。次のア～ウ に当てはまる数を，それぞれ書きなさい。

問２　翼さんは，ノート１を見せながら，先生と話し合っています。

翼さんは，Ａ市の夏日の年間日数について，１９６２年から１９８１年までの２０年間 (以下，「Ｘ期間」とします。) と，２０１２年から２０２１年までの１０年間 (以下，「Ｙ期間」とします。) をそれぞれ調べ，その結果をノートにまとめることにしました。

(翼さんのノート２)

【まとめ】
Ａ市の夏日の年間日数について，Ｘ期間とＹ期間を比較した結果，５０年くらい前は，今と比べて 　　　 といえる。

次の (1)～(3) に答えなさい。

(1)　ノート２の度数分布表をもとに，Y期間の相対度数の度数折れ線(度数分布多角形)を，解答用紙にかき入れなさい。

(2)　ノート２において，翼さんが「度数」ではなく「相対度数」をもとに比較している理由を説明しなさい。

(3)　　　　 に当てはまる言葉として最も適当なものを，次のア～ウから選びなさい。また，選んだ理由を，Ｘ期間とＹ期間の２つの相対度数の度数折れ線 (度数分布多角形)の特徴と，その特徴から読み取れる傾向をもとに説明しなさい。

ア　暑かった　　　　イ　変わらなかった　　　　ウ　涼しかった

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