宮城 - 数学基礎トレーニングルーム

宮城県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Mon, 09 Feb 2026 13:00:32 +0000

大問１

１　\( 5-(-4) \) を計算しなさい。

【解答】

\( 9 \)

【解説】

\( =5+4 \)
\( =9 \)

２　\( 6 \div \left( -\dfrac{2}{7} \right) \) を計算しなさい。

【解答】

\( -21 \)

【解説】

\( =6 \times \left( -\dfrac{7}{2} \right) \)
\( =-\dfrac{6 \times 7}{2} \)
\( =-21 \)

３　\( (-2a)^2 \times 5b \) を計算しなさい。

【解答】

\( 20a^2b \)

【解説】

\( =4a^2 \times 5b \)
\( =20a^2b \)

４　等式 \( a+7b-3=0 \) を \( b \) について解きなさい。

【解答】

\( b=-\dfrac{1}{7}a+\dfrac{3}{7} \)

【解説】

\( b \) について解くということは，\( b=\boxed{　　　} \) の形で表すということなので，
　\( a+7b-3=0 \)
　　　　　 \( 7b=-a+3 \)
　　　　　　\( b=-\dfrac{1}{7}a+\dfrac{3}{7} \)

５　\( \dfrac{15}{\sqrt{3}}+\sqrt{27} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 8\sqrt{3} \)

【解説】

\( =\dfrac{15 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}+3\sqrt{3} \)
\( =5\sqrt{3}+3\sqrt{3} \)
\( =8\sqrt{3} \)

６　\( y \) は \( x \) の２乗に比例し，\( x=6 \) のとき \( y=-9 \) です。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

【解答】

\( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \)

【解説】

\( y \) が \( x \) の２乗に比例することを表す式は \( y=ax^2 \) になります。

\( y=ax^2 \) に \( x=6，y=-9 \) を代入すると，
　\( -9=a \times 6^2 \)
　\( 36a=-9 \)
　　\( a=-\dfrac{1}{4} \)
なので，求める式は \( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \) になります。

７　右の図のような，線分 \( AB \) を直径とする半円があり，線分 \( AB \) の中点を \( O \) とします。点 \( O \) を通って線分 \( AB \) に垂直な直線と \( AB \) との交点を \( C \) とします。\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) 上にあって，\( ∠POB=45° \) となる点 \( P \) を作図によって求めるとき，その作図の方法を説明したものとして，誤っているものを，あとのア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

　　ア　\( ∠COB \) の二等分線と \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) との交点を \( P \) とする。
　　イ　点 \( A \) と点 \( C \) を結び，\( ∠CAB \) の二等分線と \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) との交点を \( P \) とする。
　　ウ　点 \( B \) と点 \( C \) を結び，線分 \( BC \) の垂直二等分線と \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) との交点を \( P \) とする。
　　エ　線分 \( OC \) の垂直二等分線と \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) との交点を \( P \) とする。

【解答】

エ

【解説】

ア
仮定より \( ∠COB=90° \) なので，
\( ∠COB \) の二等分線と線分 \( OB \) がなす角は \( 45° \) になります。
よって，点 \( P \) が \( ∠COB \) の二等分線上の点であることから，\( ∠POB=45° \) になります。

\( \phantom{　} \)

イ
\( △OAC \) は直角二等辺三角形なので \( ∠CAB=45° \) であり，
線分 \( PA \) は \( ∠CAB \) の二等分線であることから，
　\( ∠PAB=\dfrac{1}{2}∠CAB=22.5° \)
になります。
\( ∠PAB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ PB } \) に対する円周角，\( ∠POB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ PB } \) に対する中心角なので，
　\( ∠POB=2∠PAB=45° \)
になります。

\( \phantom{　} \)

ウ
\( △OBC \) は直角二等辺三角形なので，線分 \( BC \) の垂直二等分線は \( ∠COB \) の二等分線になります。
\( ∠COB=90° \) であることから，
\( ∠POB=45° \) になります。

\( \phantom{　} \)

エ
線分 \( OC \) の垂直二等分線と線分 \( OC \) の交点を
\( Q \) とすると，点 \( Q \) は線分 \( OC \) の中点なので，
\( OQ：OP=1：2 \) であり，\( △OPQ \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。
このとき，\( ∠OPQ=30° \) であり，
\( PQ//OB \) であることから，錯角は等しいので，
\( ∠POB=∠OPQ=30° \) であり，
\( 45° \) にはなりません。

\( \phantom{　} \)

８　ある学年で，クロールで \( 25 \; m \) を泳いだときの記録をとりました。下の表は，このときの，Ａ組の生徒 \( 25 \) 人とＢ組の生徒 \( 30 \) 人の記録を，累積度数をふくめて度数分布表に整理したものです。
Ａ組とＢ組を比べたとき，\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数が大きい組と，その累積相対度数を答えなさい。

【解答】

大きい方の組･･･Ａ組
累積相対度数･･･ \( 0.64 \)

【解説】

ある階級の累積相対度数は，
　その階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

【Ａ組の累積相対度数】
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数は \( 16 \) 人
すべての階級の度数の合計（クラスの人数）は \( 25 \) 人
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数は
　\( 16 \div 25=0.64 \)

【Ｂ組の累積相対度数】
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数は \( 18 \) 人
すべての階級の度数の合計（クラスの人数）は \( 30 \) 人
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数は
　\( 18 \div 30=0.60 \)

大問２

１　下の図は，Ｐに整数を入れると，➀～➃の順に計算が行われ，Ｑの値が導き出される過程を表しています。 \( \boxed{ア} \) には➀，\( \boxed{イ} \) には➁，\( \boxed{ウ} \) には➂の計算を行った結果の値がそれぞれ入ります。
あとの（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）Ｐに入れる整数を \( 1 \) とするとき，Ｑの値を求めなさい。

【解答】

Ｑ \( =-27 \)

【解説】

Ｐに \( 1 \) を入れると，
　\( \boxed{ア}=1+2=3 \)
　\( \boxed{イ}=1-6=-5 \)
であり，
　\( \boxed{ウ}=\boxed{ア} \times \boxed{イ} \)
　　　\( =3 \times -5 \)
　　　\( =-15 \)
なので，
　Ｑ \( =\boxed{ウ}-12 \)
　　 \( =-15-12 \)
　　 \( =-27 \)

（２）Ｐにある整数を入れると，Ｑの値がＰに入れた整数と同じ値になりました。Ｐに入れた整数を \( x \) とするとき，\( x \) をすべて求めなさい。

【解答】

\( x=-3，8 \)

【解説】

Ｐ入れた整数を \( x \) とすると，
　\( \boxed{ア}=x+2 \)
　\( \boxed{イ}=x-6 \)
と表すことができるので，
　\( \boxed{ウ}=\boxed{ア} \times \boxed{イ} \)
　　　\( =(x+2)(x-6) \)
ここから，Ｑの値は，
　Ｑ \( =\boxed{ウ}-12 \)
　　 \( =(x+2)(x-6)-12 \)
と表すことができます。

Ｑの値がＰに入れた整数 \( x \) と同じ値になるとき，
　\( (x+2)(x-6)-12=x \)
　\( (x^2-4x-12)-12=x \)
　　　　 \( x^2-5x-24=0 \)
　　　　\( (x+3)(x-8)=0 \)
　　　　　　　　　　　\( x=-3，8 \)

２　右の図のように，比例 \( y=\dfrac{3}{2}x \) のグラフ上と反比例 \( y=\dfrac{a}{x} \) のグラフ上に，\( x \) 座標が \( 4 \) である点 \( A \)，点 \( B \) をそれぞれとり，点 \( A \) と点 \( B \) を結びます。また，比例 \( y=\dfrac{3}{2}x \) のグラフ上に，点 \( B \) と \( y \) 座標が等しい点 \( C \) をとり，点 \( B \) と点 \( C \) を結びます。ただし，\( a<0 \) とします。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

【解答】

\( y=6 \)

【解説】

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{3}{2}x \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times 4=6 \)

（２）線分 \( AB \) と\( x \) 軸との交点を \( D \) とします。\( AD=BC \) となるとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=-12 \)

【解説】

点 \( B \) は，\( y=\dfrac{a}{x} \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{a}{4} \)

点 \( C \) は，\( y=\dfrac{3}{2}x \) 上の点で，\( y \) 座標が \( \dfrac{a}{4} \) なので，
\( x \) 座標の値は，
　\( \dfrac{a}{4}=\dfrac{3}{2}x \)
　 \( x=\dfrac{a}{6} \)

ここから，\( BC \) の長さは，
　\( BC=4-\dfrac{a}{6} \)
と表すことができます。

\( A(4，6)，D(4，0) \) より，\( AC=6 \) なので，
\( AD=BC \) のとき，
　 \( 6=4-\dfrac{a}{6} \)
　\( \dfrac{a}{6}=-2 \)
　 \( a=-12 \)

３　図Ⅰのような，\( ∠ABC=∠ABD=∠DBC=90° \) である三角錐 \( ABCD \) があります。辺 \( AB \) 上に，点 \( E \) を \( AE：EB=3：1 \) となるようにとります。また，辺 \( AC \)，辺 \( AD \) 上に，それぞれ点 \( F \)，点 \( G \) を面 \( BCD \) と面 \( EFG \) が平行となるようにとります。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）三角錐 \( ABCD \) と三角錐 \( AEFG \) の体積の比を求めなさい。

【解答】

\( 64：27 \)

【解説】

三角すいを４つの面のうち１つの面に平行な面で切ってできる小さい三角すいは，
もとの三角すいと相似になります。
また，相似な立体の対応する辺の比はすべて等しいので，体積比は相似比の３乗の比と等しくなります。

\( AE：EB=3：1 \) より、相似比は \( AB：AE=4：3 \) なので，
体積比は，
　\( 4^3：3^3=64：27 \)

（２）図Ⅱは，図Ⅰにおいて，点 \( B \) と点 \( F \)，点 \( B \) と点 \( G \) をそれぞれ結んだものです。
\( AB=6 \; cm，BC=BD=4 \; cm \) のとき，三角錐 \( BEFG \) の体積を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{9}{4} \; cm^3 \)

【解説】

三角すい \( ABCD \) と三角すい \( AEFG \) の相似比は \( 4：3 \) なので，
　\( EF=EG=4 \times \dfrac{3}{4}=3 \; (cm) \)

\( AE：EB=3：1 \) より，
　\( EB=6 \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2} \; (cm) \)

よって，三角すい \( BEFG \) の体積は，
　\( \left( 3 \times 3 \times \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{4} \; (cm^3) \)

４　次の図のような，円盤，マス目，コマがあります。円盤には，\( 1 \) から \( 4 \) までの数字が書いてあります。この円盤はまわすことができ，円盤とは別に針が固定されています。まわした円盤が静止すると，針が指す場所に書いてある数字が，必ず１つ決まります。マス目には，スタートの文字と，\( A \) から \( H \) までのアルファベットが書いてあり，\( C，E，F \) のマスには指示が書いてあります。

円盤を１回まわすごとに，次の ルール にしたがってコマを移動させます。

ルール
・円盤をまわして決まった数字と同じ数のマスだけ，コマがあるマスから \( H \) のマスの方向に
　向かって，コマを移動させる。
・コマを移動させて \( C，E，F \) のマスに止まったときは,それぞれそのマスに書いてある指示に
　したがってコマを移動させる。

たとえば，コマをスタートのマスに置き，円盤を１回まわして決まった数字が \( 2 \) のとき，\( B \) のマスにコマを移動させます。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。ただし，円盤をまわして決まる数字は，\( 1 \) から \( 4 \) までのどの数字に決まることも同様に確からしいものとします。

（１）コマをスタートのマスに置き，円盤を１回まわします。このとき，コマが \( D \) のマスにある確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{1}{2} \)

【解説】

円盤をまわして決まった数字とそれ折れにおけるコマの移動先は次のとおり，
数字が \( 1 \) のとき → \( A \) のマスに移動
数字が \( 2 \) のとき → \( B \) のマスに移動
数字が \( 3 \) のとき → \( C \) のマスに移動し，\( C \) のマスの指示により \( D \) のマスに移動
数字が \( 4 \) のとき → \( D \) のマスに移動

よって，すべての場合の数は４通り，コマが \( D \) のマスにあるのは２通りなので，
求める確率は \( \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \)

（２）コマをスタートのマスに置き，円盤を２回まわします。このとき，コマが \( H \) のマスにある確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{3}{8} \)

【解説】

「１回目に決まった数字とコマの移動先」と「２回目に決まった数字とコマの移動先」の
組み合わせを樹形図に書き出すと下の図のようになります。
コマが \( H \) のマスにある組み合わせは６通り，
すべての組み合わせは１６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} \)

大問３

花さんと大地さんは，図Ⅰのような，ボンべをセットして使用するカセットコンロの，ガスの消費量やボンべに残るガスの量について調べています。
次の１，２の問いに答えなさい。

１　花さんは，カセットコンロのガスの消費量をウェブサイトで調べました。下の表は，カセットコンロの用途と，それぞれの用途で１回使用したときのガスの消費量についてまとめたものです。
この表をもとにしてガスの消費量を考えるとき，あとの（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）表の ➀ の用途で \( a \) 回，➁ の用途で \( b \) 回使用するとき，ガスの消費量の合計を \( a \) と \( b \) を使った式で表しなさい。

【解答】

\( 50a+15b \)

【解説】

➀ の用途で１回使用するときのガスの消費量は \( 50 \; g \) なので，
\( a \) 回使用するときのガスの消費量は \( 50a \; g \)
➁ の用途で１回使用するときのガスの消費量は \( 15 \; g \) なので，
\( b \) 回使用するときのガスの消費量は \( 15b \; g \)
と表すことができます。

ガスの消費量の合計は，これらの和なので，\( 50a+15b \; g \) となります。

（２）花さんの自宅には，ガスが \( 240 \; g \) 入ったボンベが \( 6 \) 本あります。➁ の用途で使用する回数が ➀ の用途で使用する回数の２倍となるようにして，このボンベ \( 6 \) 本分のガスをすべて消費するとき，➀ の用途で使用できる回数は何回になりますか。

【解答】

\( 18 \) 回

【解説】

（１）と同様に ➀ の用途で \( a \) 回，➁ の用途で \( b \) 回使用すると考えると，
➁ の用途で使用する回数が ➀ の用途で使用する回数の２倍となるとき，
\( b=2a \) と表すことができます。

これを（１）の \( 50a+15b \) に代入すると，\( 50a+15 \times 2a=80a \) と表すことできます。

ガスが \( 240 \; g \) 入ったボンベ \( 6 \) 本分のガスの総量は
　\( 240 \times 6=1440 \; (g) \)
なので，
　\( 80a=1440 \)
　　\( a=18 \)（回）

２　花さんと大地さんは，図Ⅰと同じカセットコンロＡ，Ｂを準備しました。これらのカセットコンロは，図Ⅱのようなつまみをまわして火の強さを調節できます。ボンべのガスの量が \( 240 \; g \) のとき，「強火」の設定では \( 60 \) 分間，「弱火」の設定では \( 180 \) 分間使用すると，それぞれボンべのガスがすべてなくなります。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。ただし，火の強さを固定して使用するとき，火の強さに応じてガスは一定の割合で消費されるものとします。また，つまみをまわしているときの時間とガスの消費量は考えないものとします。

（１）ガスが \( 240 \; g \) 入ったボンべをセットして，カセットコンロを「強火」の設定で \( 20 \) 分間使用したあとに，ボンべに残るガスの量は何 \( g \) ですか。

【解答】

\( 160 \; g \)

【解説】

「強火」の設定のとき，\( 240 \; g \) のガスが \( 60 \) 分間でなくなるのだから，
\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 240 \div 60=4 \; (g) \) です。

つまり，「強火」の設定で \( 20 \) 分間使用したときに消費されるガスの量は，
\( 4 \times 20=80 \; (g) \) なので，ボンべに残るガスの量は
　\( 240-80=160 \; (g) \)

（２）花さんと大地さんは，カセットコンロを使用したときにボンべに残るガスの量を調べようと思いました。はじめに，２人はカセットコンロＡ，Ｂにガスが \( 240 \; g \) 入ったボンべをそれぞれセットして同時に点火しました。次の \( \color{blue}{\boxed{　　　　}} \) は，２人が点火したあと火の強さをそれぞれ設定し，カセットコンロを使用したようすを示したものです。

・　花さんは，カセットコンロＡを，「弱火」と「強火」の間に設定した。途中で火の強さを変えずに
　　使用し，点火してからちょうど \( 80 \) 分後にボンべのガスがすべてなくなった。
・　大地さんは，カセットコンロＢを，はじめに「強火」の設定で \( 40 \) 分間，そのあと，「弱火」の
　　設定に変えて使用した。使用し続けるとボンべのガスがすべてなくなった。

花さんと大地さんは，カセットコンロを使用したようすについて話し合いました。花さんと大地さんの会話の内容は次のとおりです。
あとの（ア），（イ）の問いに答えなさい。

会話
花さん　：カセットコンロＡについて，点火してからボンべのガスがすべてなくなるまでのグラフを
　　　　　かいてみるね。カセットコンロを点火してから \( x \) 分後の，ボンべに残るガスの量を \( y \; g \)
　　　　　とすると，\( x \) と \( y \) との関係を表すグラフは図Ⅲのようになるね。

大地さん：私もカセットコンロＢについて，花さんと同じようにグラフをかいてみよう。私のかいた
　　　　　グラフを図Ⅲにかき写してみると何かわかることはあるかな。
花さん　：点火してから \( 80 \) 分後までの間に，点火したときとは別に，それぞれのボンベに残るガスの
　　　　　量が等しくなるときがあるね。
大地さん：ボンべに残るガスの量が等しくなるときのガスの量を表しているのは，２つのグラフの
　　　　　　a　の値だね。計算して求めてみよう。

（ア）カセットコンロＢについて，点火してからボンべのガスがすべてなくなるまでの，\( x \) と \( y \) との関係を表すグラフを，右の図に書き入れなさい。

【解答】

【解説】

ボンベが満タン（\( x=0 \)）のときから「強火」の設定で \( 40 \) 分間使用し，
そこ（\( x=40 \)）から「弱火」の設定に変えてガスがなくなるまで使用したので，
\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線と\( 0≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線と
２つをくっつけたものになります。

【\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線】
「強火」の設定のとき，\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 4 \; g \) で，
\( 40 \) 分間使用したときに消費されるガスの量は，
\( 4 \times 40=160 \; (g) \) なので，ボンべに残るガスの量は
　\( 240-160=80 \; (g) \)
ここから，\( x=40 \) のときの \( y \) の値は \( y=80 \) になります。
また，ボンベが満タン（\( x=0 \)）のときのガスの量は \( y=240 \; (g) \) なので，
\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線は，\( (0，240) \) と \( (40，80) \) を結んだ直線になります。

【\( 40≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線】
「弱火」の設定のとき，\( 240 \; g \) のガスが \( 180 \) 分間でなくなるのだから，
\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 240 \div 180=\dfrac{4}{3} \; (g) \) です。
ここから，ボンべに残った \( 240 \; g \) のガスがなくなるまでの時間は，
\( 80 \div \dfrac{4}{3}=60 \)（分）であり，
「強火」の設定で使用した \( 40 \) 分間と合わせて，\( x=40+60=100 \) のときに
ガスがすべてなくなることになります。
つまり，\( 40≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線は，\( (40，80) \) と \( (100，0) \) を結んだ直線になります。

（イ）会話の　a　にあてはまる適切な言葉を書きなさい。また，点火したときとは別に，カセットコンロＡ，Ｂのそれぞれのボンべに残るガスの量が等しくなるときの，ボンべに残るガスの量を求めなさい。

【解答】

　a　･･･交点の \( y \) 座標
ボンべに残るガスの量･･･ \( 48 \; g \)

【解説】

図Ⅲに（ア）のグラフを書き足すと，\( 40≦x≦100 \) の直線と交わります。
\( 40≦x≦100 \) の直線の式を \( y=-\dfrac{4}{3}x+b \) とすると，
\( (100，0) \) を通るので，
　\( 0=-\dfrac{4}{3} \times 100+b \)
　\( b=\dfrac{400}{3} \)
であり，この直線の式は \( y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3} \) ･･･➀ になります。

また，図Ⅲの直線は，\( (0，240) \) と \( (80，0) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{0-240}{80-0}=-3 \) であり，
この直線の式は \( y=-3x+240 \) ･･･➁ になります。

２つの直線の交点は，それぞれの直線の式を
連立方程式にしたときの解として表れます。

　\( \left\{ \begin{array}{}
y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3} \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
y=-3x+240 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
を解くと \( x=64，y=48 \) なので，
求めるガスの量は \( 48 \; g \) になります。

連立方程式を解く
\( \left\{ \begin{array}{}
y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3} \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
y=-3x+240 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
　\( -\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3}=-3x+240 \)
　　\( -4x+400=-9x+720 \)
　　　　　　\( 5x=320 \)
　　　　　　 \( x=64 \)
➁に代入すると，
　\( y=-3 \times 64+240=48 \)

大問４

長さが \( 6 \; cm \) の線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) があります。図Ⅰのように，円 \( O \) の周上に，点 \( C \) を \( BC=5 \; cm \) となるようにとり，点 \( A \) と点 \( C \)，点 \( B \) と点 \( C \) をそれぞれ結びます。また，点 \( A \) をふくまない方の \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) 上に，点 \( D \) を \( \stackrel{\huge\frown}{ AC }=\stackrel{\huge\frown}{ BD } \) となるようにとり，点 \( A \) と点 \( D \) を結びます。さらに，点 \( D \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，線分 \( AB \) との交点をEとします。
次の１～４の問いに答えなさい。

１　線分 \( AC \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( AC=\sqrt{11} \; cm \)

【解説】

\( ∠ACB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠ACB=90° \) であり，\( △ABC \) は直角三角形
になっています。

\( △ABC \) において三平方の定理より，
　\( AC^2=AB^2-BC^2 \)
　　　 \( =6^2-5^2 \)
　　　 \( =11 \)
　 \( AC=\sqrt{11} \; (cm) \)（ \( AC>0 \) より）

２　\( △ABC \) ∽ \( △DAE \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABC \) と \( △DAE \) において
\( ∠ACB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=90° \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠DEA=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠ACB=∠DEA \) ･･･ ➂
\( ∠ABC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角，
\( ∠DAE \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BD } \) に対する円周角，
なので，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC }=\stackrel{\huge\frown}{ BD } \) より，
　\( ∠ABC=∠DAE \) ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC \) ∽ \( △DAE \)

３　線分 \( AE \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( AE=\dfrac{25}{6} \; cm \)

【解説】

\( △ABC \) と \( △BAD \) において，
\( ∠ADB \) は直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠BDA=90° \) であり，\( ∠ACB=∠BDA \)

問２より \( ∠ABC=∠BAD \) でもあるので，
　\( ∠BAC=180°-(∠ACB+∠ABC) \)
　\( ∠ABD=180°-(∠BDA+∠BAD) \)
より，\( ∠BAC=∠ABD \)

以上より，１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC≡△BAD \)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，
　\( AD=BC=5 \; cm \)

問２より \( △ABC \) ∽ \( △DAE \) であり，
対応する辺の比は等しいので，
　\( AB：DA=BC：AE \)
　　　　\( 6：5=5：AE \)
　　　 \( 6AE=25 \)
　　　　\( AE=\dfrac{25}{6} \; (cm) \)

４　図Ⅱは，図Ⅰにおいて，直線 \( DO \) と円 \( O \) との交点のうち，\( D \) 以外の点を \( F \) とし，点 \( B \) と点 \( F \) を結んだものです。また，線分 \( DE \) を \( E \) の方に延長した直線と線分 \( BF \) との交点を \( G \) とします。\( △DFG \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( △DFG=\dfrac{7\sqrt{11}}{5} \; cm^2 \)

【解説】

問３と同様の考え方で \( △DFB≡△BAD \) なので，
\( △DFB \) の面積と \( FG：FB \) を求めることで
\( △DFG \) の面積を求めることができます。

【\( △DFB \) の面積を求める】
問３と同様の考え方から \( △DFB≡△BAD≡△ABC \) なので，
\( △DFB \) と \( △ABC \) の面積は等しくなります。

（１）より，
　\( BC=5 \; cm，AC=\sqrt{11} \; cm \)
なので，
　\( △ABC=5 \times \sqrt{11} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{5\sqrt{11}}{2} \; (cm^2) \)
よって，\( △DFB \) の面積は \( \dfrac{5\sqrt{11}}{2} \; cm^2 \)

【\( FB \) の長さを求める】
\( △DFB≡△BAD \) より，対応する辺の長さは等しいので，\( FB=AD=5 \; cm \) になります。

【\( FG \) の長さを求める】
\( △DAE \) ∽ \( △GBE \) であり，
\( AB=6 \; cm，AE=\dfrac{25}{6} \; cm \) より，
　\( BE=AB-AE=\dfrac{11}{6} \; cm \)
対応する辺の比は等しいので，
　\( AD：BG=AE：BE \)
　　\( 5：BG=\dfrac{25}{6}：\dfrac{11}{6} \)
　　\( 5：BG=25：11 \)
　　 \( 25BG=55 \)
　　　　\( BG=\dfrac{11}{5} \; (cm) \)

\( FB=5 \; cm \) なので，
　\( FG=FB-BG \)
　　　\( =5-\dfrac{11}{5} \)
　　　\( =\dfrac{14}{5} \; (cm) \)

\( \phantom{} \)

　　　● \( △DAE \) ∽ \( △GBE \) の証明
　　　\( △DAE \) と \( △GBE \) において，
　　　\( \stackrel{\huge\frown}{ AF } \) に対する円周角なので，
　　　　\( ∠ODA=∠GBE \) ･･･ ➀
　　　\( △ODA \) は二等辺三角形なので，
　　　　\( ∠EAD=∠ODA \) ･･･ ➁
　　　➀➁より，
　　　　\( ∠EAD=∠GBE \) ･･･ ➂
　　　\( DG⊥AB \) なので，
　　　　\( ∠DEA=∠GEB=90° \) ･･･ ➃
　　　➂➃より，
　　　２組の角がそれぞれ等しいので
　　　　\( △DAE \) ∽ \( △GBE \)

【\( △DFG \) の面積を求める】
\( △DFG \) の底辺を \( FG \)，\( △DFB \) の底辺を \( FB \) とすると，高さが共通なので，
\( △DFB \) と \( △DFG \) の面積比は
\( FG：FB \) と等しくなります。

\( FG=\dfrac{14}{5} \; cm，FB=5 \; cm \) より，
　\( FG：FB=\dfrac{14}{5}：5=14：25 \)
なので，\( △DFG \) の面積は，
　\( △DFG=\dfrac{5\sqrt{11}}{2} \times \dfrac{14}{25}=\dfrac{7\sqrt{11}}{5} \; (cm^2) \)

\( \phantom{} \)

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宮城県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Fri, 22 Nov 2024 13:00:34 +0000

大問１

１　\( 2-16 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -14 \)

２　\( \dfrac{7}{3}+\dfrac{2}{9} \times (-3) \) を計算しなさい。

【解答】

\( \dfrac{5}{3} \)

【解説】

\( =\dfrac{7}{3}-\dfrac{2}{3} \)
\( =\dfrac{5}{3} \)

３　\( (6a^2b-4ab^2) \div 2ab \) を計算しなさい。

【解答】

\( 3a-2b \)

【解説】

\( =\dfrac{6a^2b}{2ab}-\dfrac{4ab^2}{2ab} \)
\( =3a-2b \)

４　\( a=-5，b=\dfrac{1}{6} \) のとき，\( 2(a+7b)-8b \) の値を求めなさい。

【解答】

\( -9 \)

【解説】

与式 \( =2a+14b-8b=2a+6b \)
\( a=-5，b=\dfrac{1}{6} \) を代入すると，
　\( 2 \times (-5)+6 \times \dfrac{1}{6}=-10+1=-9 \)

５　\( x^2-10x+21 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x-3)(x-7) \)

６　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-2 \) のとき \( y=9 \) です。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

【解答】

\( y=-\dfrac{18}{x} \)

【解説】

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \) なので，
\( x=-2，y=9 \) を代入すると，
　\( 9=\dfrac{a}{-2} \)
　\( a=-18 \)

よって，求める式は， \( y=-\dfrac{18}{x} \)

７　３つの数 \( \sqrt{10}，\dfrac{7}{\sqrt{7}}，3 \) の大小を，不等号を使って表したものとして正しいものを，次のア～カから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　 \( \sqrt{10}<\dfrac{7}{\sqrt{7}}<3 \) 　　　イ　 \( \sqrt{10}<3<\dfrac{7}{\sqrt{7}} \)
　　　ウ　 \( \dfrac{7}{\sqrt{7}}<\sqrt{10}<3 \) 　　　エ　 \( \dfrac{7}{\sqrt{7}}<3<\sqrt{10} \)
　　　オ　 \( 3<\sqrt{10}<\dfrac{7}{\sqrt{7}} \) 　　　カ　 \( 3<\dfrac{7}{\sqrt{7}}<\sqrt{10} \)

【解答】

エ　 \( \dfrac{7}{\sqrt{7}}<3<\sqrt{10} \)

【解説】

\( \dfrac{7}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\sqrt{7} \) なので，
\( \sqrt{10}，\sqrt{7}，3 \) の大小を比べればいいことになります。

３つの数 \( a，b，c \) において，\( a0) \) のとき，\( \sqrt{a}<\sqrt{b}<\sqrt{c} \) となります。

\( 3=\sqrt{9} \) より，\( \sqrt{7}<\sqrt{9}<\sqrt{10} \) なので，
３つの数の大小は，\( \dfrac{7}{\sqrt{7}}<3<\sqrt{10} \) となります。

８　右の図のような，\( AB=6 \; cm，BC =4 \; cm \) の長方形 \( ABCD \) があります。辺 \( AD \) 上に \( ED =3 \; cm \) となる点 \( E \) をとり，辺 \( DC \) 上に \( DF=5 \; cm \) となる点 \( F \) をとります。また，点 \( E \) を通って辺 \( AD \) に垂直な直線と点 \( F \) を通って辺 \( DC \) に垂直な直線との交点を \( G \) とします。
２辺 \( AB，BC \) と４つの線分 \( CF，FG，GE，EA \) とで囲まれた図の斜線部分を，直線 \( DC \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率を \( \pi{} \) とします。

【解答】

\( 51\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

長方形の内角はすべて \( 90° \) なので，\( ∠ADC=90° \) です。
四角形 \( EGFD \) の内角のうち３つが \( 90° \) なので，残りの１つも \( 90° \) であり，
長方形とわかります。
斜線部分は，長方形 \( ABCD \) から長方形 \( EGFD \) を取り除いた形になっています。

長方形を１辺を軸に回転させると円柱になるので，
求める立体は，長方形 \( ABCD \) を回転させた円柱
から長方形 \( EGFD \) を回転させた円柱を
くりぬいた形になります。

長方形 \( ABCD \) を回転させた円柱は，
底面の半径が \( 4 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) なので，
体積は，
　\( \pi{} \times 4^2 \times 6=96\pi{} \; (cm^3) \)

長方形 \( EGFD \) を回転させた円柱は，
底面の半径が \( 3 \; cm \)，高さが \( 5 \; cm \) なので，
体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 5=45\pi{} \; (cm^3) \)

よって，求める体積は，\( 96\pi{}-45\pi{}=51\pi{} \; (cm^3) \)

大問２

１　\( 1 \) から \( 6 \) までの目が出るさいころが１つあります。
このさいころを２回投げて，１回目に出た目の数を \( a \)，２回目に出た目の数を \( b \) とするとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。ただし，さいころは，どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

（１） \( a+b=6 \) が成り立つ確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{5}{36} \)

【解説】

\( a \) と \( b \) の組み合わせとそのときの \( a+b \) の値を
表に書き出し，\( 6 \) になるところに ○ をつけてみます。
\( a+b=6 \) となる組み合わせは５通り，
すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{5}{36} \)

（２） \( \dfrac{b+1}{a} \) の値が整数になる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{7}{18} \)

【解説】

\( a \) と \( b \) の組み合わせとそのときの \( \dfrac{b+1}{a} \) の値を
表に書き出し，整数になるところに ○ をつけてみます。
整数となる組み合わせは１４通り，
すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18} \)

２　線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) があります。右の図のように，円 \( O \) の周上に，\( ∠ABC=28° \) となる点 \( C \) をとり，点 \( C \) をふくまない方の \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上に， \( ∠OCD=37° \) となる点 \( D \) をとります。また，線分 \( AB \) と線分 \( CD \) との交点を \( E \) とします。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） \( ∠AEC \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠AEC=93° \)

【解説】

線分 \(OB，OC\) は，ともに半径なので，
\( △OBC \) は二等辺三角形であり，
　\( ∠OCB=∠OBC=28° \)

また，\( ∠AEC \) は，\( △BCE \) の外角なので，
　\( ∠AEC=∠EBC+∠ECB \)
　　　　　\( =28°+(37°+28°) \)
　　　　　\( =93° \)

（２） \( AB=6 \; cm \) のとき，図の太い線で示している小さい方の \( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) の長さを求めなさい。ただし，円周率を \( \pi{} \) とします。

【解答】

\( \dfrac{13}{6}\pi{} \; cm \)

【解説】

弧の長さは中心角の大きさに比例するので，
中心角の大きさがわかれば，弧の長さを求めることができます。

\( ∠DCB=37°+28°=65° \) で，
\( ∠DCB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) に対する円周角，
\( ∠DOB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) に対する中心角なので，
　\( ∠BOD=2 \times 65°=130° \)

よって，\( \stackrel{\huge\frown}{ DB } \) の長さは，
　\( \pi{} \times 6 \times \dfrac{130°}{360°}=\dfrac{13}{6}\pi{} \; (cm) \)

３　右の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフと関数 \( y=ax^2 \) のグラフが，\( x \) 軸に平行な直線 \( l \) とそれぞれ２点で交わっています。関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフと直線 \( l \) との交点のうち，\( x \) 座標が正である点を \( A \)，負である点を \( B \) とし，関数 \( y=ax^2 \) のグラフと直線 \( l \) との交点のうち，\( x \) 座標が正である点を \( C \)，負である点を \( D \) とします。ただし，\( a>\dfrac{1}{2} \) とします。
点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 4 \) であるとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）点 \( B \) の座標を求めなさい。

【解答】

\( B(-4，8) \)

【解説】

２点 \( A，B \) は，どちらも直線 \( l \) 上の点なので，\( y \) 座標の値は等しくなります。
また，\( y=mx^2 \) のグラフは，\( y \) 軸について対称な形であり，
\( y \) 座標の値が等しい２点の \( x \) 座標は絶対値が等しくなります。

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 4^2=8 \)
よって，点 \( A \) の座標は，\( A(4，8) \)

点 \( B \) の座標は，点 \( A \) と \( y \) 座標の値が等しく，
\( x \) 座標の絶対値は等しいので，\( B(-4，8) \)

（２） \( DC=CA \) となるとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{9}{2} \)

【解説】

点 \( C \) は \( y=ax^2 \) 上の点なので，点 \( C \) の座標がわかれば， \( a \) の値を求められます。
２点 \( A，B，C，D \) は，すべて直線 \( l \) 上の点なので，\( y \) 座標の値は \( 8 \) です。
点 \( C \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすることで，\( DC=CA \) から点 \( C \) の座標が求められます。

点 \( C \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，
\( y=ax^2 \) は，\( y \) 軸について対称な形なので，
点 \( D \) の \( x \) 座標の値は \( -t \) と表せます。

このとき，\( DC=t-(-t)=2t，CA=4-t \) と表すことができるので，
　\( DC=CA \)
　　\( 2t=4-t \)
　　 \( t=\dfrac{4}{3} \)

４点 \( A，B，C，D \) は，\( y \) 座標の値がすべて等しいことから，
点 \( C \) の座標は，\( C\left( \dfrac{4}{3}，8 \right) \) となります。
点 \( C \) は \( y=ax^2 \) 上の点なので，
　　 \( 8=a \times \left( \dfrac{4}{3} \right)^2 \)
　\( \dfrac{16}{9}a=8 \)
　　 \( a=\dfrac{9}{2} \)

４　平面上にマス目があり，その中の１つのマスに白い基石が \( 1 \) 個置いてあります。この状態から，黒い碁石と白い碁石を使って，次の【操作】をくり返し行います。

【操作】
碁石が置いてあるマスの，上，右上，右，右下，下，左下，左，左上でとなり合うすべてのマスのうち，まだ碁石が置かれていないマスに新たに碁石を置く。

奇数回目の【操作】では黒い碁石を，偶数回目の【操作】では白い碁石を新たに置くこととします。
次の図は，１つのマスに白い碁石が \( 1 \) 個置いてある状態から，１回目の【操作】で新たに碁石を置いたあとのようすと，２回目の【操作】で新たに碁石を置いたあとのようすを示したものです。
あとの（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）４回目の【操作】で，新たに置く碁石は，何個ですか。

【解答】

\( 32 \) 個

【解説】

１回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( 3 \times 3=9 \)（個）
２回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( 5 \times 5=25 \)（個）
３回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( 7 \times 7=49 \)（個）
４回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( 9 \times 9=81 \)（個）
よって，４回目の【操作】で，新たに置く碁石の数は，
　\( 81-49=32 \)（個）

（２）何回目かの【操作】で，新たに置いた碁石は，\( 88 \) 個でした。
次の（ア），（イ）の問いに答えなさい。

（ア）　この【操作】は，何回目の【操作】ですか。

【解答】

\( 11 \) 回目

【解説】

１回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( (2 \times 1+1) \times (2 \times 1+1)=9 \)（個）
２回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( (2 \times 2+1) \times (2 \times 2+1)=25 \)（個）
３回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( (2 \times 3+1) \times (2 \times 3+1)=49 \)（個）
４回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で \( (2 \times 4+1) \times (2 \times 4+1)=81 \)（個）
･･･

なので，
\( n-1 \) 回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で
　\( \{2(n-1)+1\} \times \{2(n-1)+1\}=(2n-1)^2 \)（個）
\( n \) 回目の【操作】で，置く碁石の数は，全部で
　\( (2n+1) \times (2n+1)=(2n+1)^2 \)（個）

\( n \) 回目の【操作】で，新たに置いた碁石が \( 88 \) 個であったとすると，
　　　　　　　　　　　　 \( (2n+1)^2-(2n-1)^2=88 \)
　\( \{ (2n+1)+(2n-1) \}\{ (2n+1)-(2n-1) \}=88 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( 4n \times 2=88 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( n=11 \)

（イ）　このとき，黒い碁石は，平面上に全部で何個置いてありますか。

【解答】

\( 288 \) 個

【解説】

１回目の【操作】では黒の碁石，２回目の【操作】では白の碁石，３回目の【操作】では黒の碁石，
を置くので，奇数回目の操作で黒の碁石を置くことがわかります。

１回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
　\( 2 \times 4=8 \)（個）
３回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
　\( (2+6) \times 4=32 \)（個）
５回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
　\( (2+6+10) \times 4=72 \)（個）
となるので，
（　　　）の中に入る項の数が１個ずつ増え，
その項の値は \( 4 \) ずつ増えていることがわかります。

ここから，
１１回目の操作で置くすべての黒の碁石の数は
\( (2+6+10+14+18+22) \times 4=288 \)（個）

大問３

洋平さんと明さんの学校では，毎年，\( 1200 \; m \) を走る長距離走大会が行われています。
次の１，２の問いに答えなさい。

１　数学の授業で，昨年度の長距離走大会の記録をもとにかかれた箱ひげ図から読みとれることについて，話し合いをすることになりました。図Ⅰは，昨年度のＡ組，Ｂ組，Ｃ組，Ｄ組に在籍していたそれぞれ \( 40 \) 人全員の，記録の分布のようすを箱ひげ図に表したものです。洋平さんと明さんは，図Ⅰを見ながら会話をしています。
あとの（１），（２）の問いに答えなさい。

洋平さん：数値が小さい方が速い記録ということになるから，４つの組の中で最も記録が速かった生徒が
　　　　　いるのは　　　組だね。ほかにわかることはないかな。

明さん：各組の人数は \( 40 \) 人だから，中央値に注目すると，【４つの組全体で少なくとも \( 80 \) 人は \( 340 \) 秒
　　　　以内の記録だった】ことがわかるよ。

洋平さん：なるほど。昨年度の長距離走大会の記録について，箱ひげ図から，いろいろなことが読みとれるね。

明さん：今年度の長距離走大会の目標設定の参考になるね。

（１）会話の　　　にあてはまる正しいものを，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの中から１つ答えなさい。

【解答】

Ｃ

【解説】

最小値がもっとも小さい組を探せはいいので，Ｃ組になります。

（２）明さんが，図Ⅰから会話の【　　　】のように判断した理由を，中央値という語句を用いて，根拠となる人数を示しながら，説明しなさい。

【解答】

Ａ～Ｄすべての組で中央値が \( 340 \) 秒未満になっていることから，
Ａ～Ｄすべての組に \( 340 \) 秒以内の記録の生徒が \( 20 \) 人以上いるとわかるため。

【解説】

各組の生徒数は \( 40 \) 人なので，中央値は記録の短い方から \( 20 \) 番目と \( 21 \) 番目の値の平均値になります。
つまり，中央値が \( 340 \) 秒未満ということは，\( 20 \) 番目の値も \( 340 \) 秒未満ということになります。

ＸとＹの平均値をとるとき，少なくともどちらか一方の値は平均値以下になる

２つの値 \( X \) と \( Y \) の平均値を \( n \) とします。
このとき，\( n=\dfrac{X+Y}{2} \) より，\( X+Y=2n \) になります。

【\( X=n \) の場合】
\( X+Y=2n \) より，
　\( n+Y=2n \)
　　　\( Y=n \)
となり，
どちらか一方の値が平均値と同じ値の場合は，もう一方も平均値と同じ値になります。

【\( X=n-a \; (a>0) \) の場合】
\( X+Y=2n \) より，
　\( (n-a)+Y=2n \)
　　　　　　\( Y=n+a \)
となり，
どちらか一方の値が平均値より小さい値の場合は，もう一方は平均値より大きい値になります。

【\( X=n+a \; (a>0) \) の場合】
\( X+Y=2n \) より，
　\( (n+a)+Y=2n \)
　　　　　　\( Y=n-a \)
となり，
どちらか一方の値が平均値より大きい値の場合は，もう一方は平均値より小さい値になります。

以上より，
\( X=Y \) であれば，\( X \) と \( Y \) の値はどちらも平均値と等しくなります。
\( X≠Y \) であれば，小さい方の値は必ず平均値未満の値になります。

２　図Ⅱのような，\( P \) 地点から \( Q \) 地点を通って \( R \) 地点まで１本のまっすぐな道路で結ばれたコースがあります。地点を基準とし，\( P \) 地点から \( Q \) 地点までの距離は \( 900 \; m \)，\( P \) 地点から \( R \) 地点までの距離は \( 1200 \; m \) です。洋平さんと明さんは，長距離走大会に向けての練習として，このコースを使って，下の　　　の計画でそれぞれ走ることにしました。
あとの（１），（２）の問いに答えなさい。

【洋平さんの計画】
\( P \) 地点から \( R \) 地点に向かって止まることなく走る。
\( P \) 地点から \( Q \) 地点までは分速 \( 200 \; m \) の一定の速さで走り，\( Q \) 地点から \( R \) 地点までは分速 \( 300 \; m \) の一定の速さで走る。

【明さんの計画】
\( R \) 地点から \( P \) 地点に向かって止まることなく走る。
\( R \) 地点から \( P \) 地点まで分速 \( 250 \; m \) の一定の速さで走る。

（１）洋平さんが計画どおりに走るとき，\( P \) 地点を出発してから \( R \) 地点に着くまでの，時間と \( P \) 地点から洋平さんまでの距離との関係を表すグラフを，下の図にかき入れなさい。

【解答】

【解説】

\( P \) 地点から \( Q \) 地点までの \( 900 \; m \) は，分速 \( 200 \; m \) の一定の速さで走るので，
かかる時間は \( \dfrac{900}{200}=\dfrac{9}{2} \)（分）
\( Q \) 地点から \( R \) 地点までの \( 1200-900=300 \; (m) \) は，分速 \( 300 \; m \) の一定の速さで走るので，
かかる時間は \( \dfrac{300}{300}=1 \)（分）
ここから，\( R \) 地点に到着するのは，スタートしてから \( \dfrac{9}{2}+1=\dfrac{11}{2} \) 分後です。

よって，原点と \( \left( \dfrac{9}{2}，900 \right)，\left( \dfrac{11}{2}，1200 \right) \) を通る直線をかけばいいことになります。

（２）洋平さんが \( P \) 地点を出発し，遅れて明さんが \( R \) 地点を出発しました。２人はそれぞれ計画どおりに走り，途中ですれちがって，洋平さんが \( R \) 地点に到着してから \( 30 \) 秒後に明さんが \( P \) 地点に到着しました。
次の（ア），（イ）の問いに答えなさい。

（ア）２人がすれちがったのは，洋平さんが \( P \) 地点を出発してから何分何秒後ですか。
なお，図Ⅲを利用してもかまいません。

【解答】

\( 3 \) 分 \( 20 \) 秒後

【解説】

（１）で書いた図に明さんが走った状態を表す直線をかき足します。
洋平さんが \( R \) 地点に到着するのは出発から \( \dfrac{9}{2} \) 分後なので，
明さんが \( P \) 地点に到着するのは洋平さんが出発から \( 6 \) 分後になります。
このとき，切片の値は \( 1500 \) になるので，
この直線の式は，\( y=-250x+1500 \) になっています。

また，洋平さんが走った状態を表す直線の式は，\( y=200x \; \left( 0≦x≦\dfrac{9}{2} \right) \) になっています。
２人がすれちがった時間と場所はこの２直線の交点として表れ，
交点の座標は，２つの方程式を連立方程式として解いた解になります。

　\( \left\{ \begin{array}{}
y=-250x+1500 \\
y=200x \\
\end{array} \right. \)
　　\( 200x=-250x+1500 \)
　　\( 450x=1500 \)
　　　　\( x=\dfrac{10}{3} \)

となり，２人がすれちがったのは，洋平さんが出発してから \( \dfrac{10}{3}=3\dfrac{1}{3} \) 分後になります。
\( \dfrac{1}{3} \) 分 \( =60 \times \dfrac{1}{3}=20 \) 秒なので，
２人がすれちがったのは，\( 3 \) 分 \( 20 \) 秒後になります。

（イ） \( P \) 地点から明さんまでの距離が \( 300 \; m \) であるとき，\( P \) 地点から洋平さんまでの距離は何 \( m \) ですか。

【解答】

\( 990 \; m \)

【解説】

まず，\( P \) 地点から明さんまでの距離が \( 300 \; m \) になるのが，
洋平さんが出発してから何分後になるか求めます。

\( y=-250x+1500 \) に \( y=300 \) を代入すると，
　 \( 300=-250x+1500 \)
　\( 250x=1200 \)
　　　\( x=\dfrac{24}{5} \)
なので，洋平さんが出発してから \( \dfrac{24}{5} \) 分後になります。

洋平さんが走った状態を表す直線のうち，\( \dfrac{9}{2}≦x≦6 \) の範囲を表す式を
\( y=300x+b \) とすると， \( \left( \dfrac{9}{2}，900 \right) \) を通るので，
　\( 900=300 \times \dfrac{9}{2}+b \)
　　 \( b=-450 \)
であり，この直線の式は，\( y=300x-450 \)

ここに \( x=\dfrac{24}{5} \) を代入すると，
　\( y=300 \times \dfrac{24}{5}-450=990 \; (m) \)

大問４

図Ⅰのような，\( BC=10 \; cm，AC 次の１～３の問いに答えなさい。

１　線分 \( DE \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 5 \; cm \)

【解説】

点 \( D，E \) は，２辺 \( AB，AC \) の中点なので，
中点連結定理より，\( DE=\dfrac{1}{2}BC=5 \; (cm) \)

２　\( △ADF≡△DBE \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ADF \) と \( △DBE \) において，
点 \( D \) は辺 \( AB \) の中点なので，
　\( AD=DB \) ･･･ ➀
仮定より，
　\( AF=DE \) ･･･ ➁
\( AF//DE \) より，同位角は等しいので，
　\( ∠FAD=∠EDB \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ADF≡△DBE \)

３　図Ⅱは，図Ⅰにおいて，点 \( C \) と点 \( F \) を結び，辺 \( BC \) 上に，点 \( G \) を \( ∠CGE=∠ACF \) となるようにとったものです。
\( AB=12 \; cm，AC=8 \; cm \) のとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）線分 \( CG \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{32}{5} \; cm \)

【解説】

\( △ECG \) と \( △FAC \) において，
中点連結定理より，\( BC//DE \)
仮定より，\( AF//DE \)
ここから，\( BC//AF \)
錯角は等しいので，\( ∠ECG=∠FAC \) ･･･ ➀
仮定より，\( ∠CGE=∠ACF \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ECG \) ∽ \( △FAC \)

\( EC=\dfrac{1}{2}AC=4 \; (cm) \)
\( AF=DE=\dfrac{1}{2}BC=5 \; (cm) \)
なので，
　\( CG：CA=EC：FA \)
　　\( CG：8=4：5 \)
　　　 \( CG=\dfrac{32}{5} \; (cm) \)

（２）点 \( A \) と点 \( G \) を結びます。\( △AGE \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{24\sqrt{7}}{5} \; cm^2 \)

【解説】

\( △ABC \) は，高さがわかれば面積を求められるので，
\( △AGE \) と \( △ABC \) の面積比から \( △AGE \) の面積を求めることにします。

【\( △AGE \) と \( △ABC \) の面積比】
\( △AGE \) の底辺を線分 \( AE \)，
\( △CGE \) の底辺を線分 \( EC \)
と考えると，２つの三角形は高さが共通なので，
\( AE=EC \) より，\( △AGE=△CGE \) であり，
\( △AGE \) の面積を「８」とすると，
\( △CGE \) の面積も「８」になります。

\( △ABG \) の底辺を線分 \( BG \)，
\( △ACG \) の底辺を線分 \( GC \)
と考えると２つの三角形は高さが共通なので，
　\( △ABG：△ACG=BG：GC \)
　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{18}{5}：\dfrac{32}{5} \)
　　　　　　　　　　 \( =9：16 \)
になっています。

このとき，\( △ACG=△AGE+△CGE \) なので，\( △ACG \) の面積は「１６」であり，
\( △ABG \) の面積は「９」になります。

また，\( △ABC=△ABG+△ACG \) なので，\( △ABC \) の面積は「２５」になります。

よって，\( △AGE \) と \( △ABC \) の面積比は \( △AGE：△ABC=8：25 \)
つまり，
　\( △AGE=\dfrac{8}{25}△ABC \)
になります。

【\( △ABC \) の面積】
点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，
交点を \( H \) とします。
\( CH=x \; cm \) とすると，
\( BH=10-x \; cm \) と表せます。

\( △ABH \) と \( △ACH \) は，\( AH \) が共通なので，
三平方の定理より，
　　　\( AB^2-BH^2=AC^2-CH^2 \)
　\( 12^2-(10-x)^2=8^2-x^2 \)
　\( -x^2+20x+44=64-x^2 \)
　　　　　　　 \( 20x=20 \)
　　　　　　　　 \( x=1 \; (cm) \)
ここから，
　\( AH^2=AC^2-CH^2 \)
　　　　\( =8^2-1^2 \)
　　　　\( =63 \)
　 \( AH=3\sqrt{7} \; (cm) \) (\( AH>0 \) より)
よって，
　\( △ABC=10 \times 3\sqrt{7} \times \dfrac{1}{2}=15\sqrt{7} \; (cm^2) \)

以上より，
　\( △AGE=\dfrac{8}{25}△ABC=\dfrac{8}{25} \times 15\sqrt{7}=\dfrac{24\sqrt{7}}{5} \; (cm^2) \)

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宮城県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Tue, 09 Apr 2024 13:00:29 +0000

大問１

１　\( -9+2 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -7 \)

２　\( -15 \div \left( -\dfrac{5}{3} \right) \) を計算しなさい。

【解答】

\( 9 \)

【解説】

\( =-15 \times \left( -\dfrac{3}{5} \right) \)
\( =9 \)

３　\( 110 \) を素因数分解しなさい。

【解答】

\( 2 \times 5 \times 11 \)

４　等式 \( 4a-9b+3=0 \) を \( a \) について解きなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{9b-3}{4} \)

【解説】

　\( 4a=9b-3 \)
　 \( a=\dfrac{9b-3}{4} \)

５　連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x-y=17 \\
2x-3y=30 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( (x，y)=(3，-8) \)

【解説】

\( 3x-y=17 \) ･･･ ➀
\( 2x-3y=30 \) ･･･ ➁
➀ より，
　\( y=3x-17 \) ･･･ ➀’
➀’を ➁ に代入すると，
　\( 2x-3(3x-17)=30 \)
　　　　　　　\( -7x=-21 \)
　　　　　　　　 \( x=3 \)
➀ に代入すると，
　\( 3 \times 3-y=17 \)
　　　　　\( y=-8 \)

６　\( \sqrt{54}+\dfrac{12}{\sqrt{6}} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 5\sqrt{6} \)

【解説】

\( =3\sqrt{6}+\dfrac{12 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} \)
\( =3\sqrt{6}+2\sqrt{6} \)
\( =5\sqrt{6} \)

７　下の図のように，比例 \( y=\dfrac{2}{3}x \) のグラフと反比例 \( y=\dfrac{a}{x} \) のグラフとの交点のうち，\( x \) 座標が正である点を \( A \) とします。点 \( A \) の \( x \) 座標が \( 6 \) のとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=24 \)

【解説】

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{2}{3}x \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 6 \) なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=\dfrac{2}{3} \times 6=4 \)

また，点 \( A(6，4) \) は，\( y=\dfrac{a}{x} \) 上の点でもあるので，
　\( 4=\dfrac{a}{6} \)
　\( a=24 \)

８　ある学年のＡ組，Ｂ組，Ｃ組は，どの組にも３５人の生徒が在籍しています。これら３つの組の各生徒を対象に，１か月間に図書室から借りた本の冊数を調べました。下の図は，組ごとに，各生徒が借りた本の冊数の分布のようすを箱ひげ図に表したものです。この箱ひげ図から必ずいえることを，あとのア～エから1つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　第１四分位数は，Ａ組とＢ組で同じである。
　　　イ　四分位範囲がもっとも小さいのは，Ａ組である。
　　　ウ　借りた本の冊数が６冊以上である人数は，Ｂ組がもっとも多い。
　　　エ　借りた本の冊数が２冊以上８冊以下である人数は，Ｃ組がもっとも多い。

【解答】

ウ

【解説】

ア　第１四分位数は，Ａ組の第一四分位数は３冊，Ｂ組の第一四分位数は４冊になっています。

イ　各組の四分位範囲は，Ａ組が４冊，Ｂ組が３冊，Ｃ組が６冊になっています。

ウ　各組の中央値は，Ａ組が４冊，Ｂ組が６冊，Ｃ組が５冊。
　　各組のデータの総数は３５（人）なので，中央値は，少ない方から１８番目の人の値になります。
　　よって，６冊以上なのは，Ａ組・Ｃ組が１７人以下，Ｂ組が１８人以上になっています。

エ　箱ひげ図から，Ｃ組の最小値は１冊，最大値は９冊なので，
　　２冊以上８冊以下である人数は，多くても３３人です。
　　対して，Ａ組は３５人全員が２冊以上８冊以下になっています。

大問２

１　右の図のような，半径が \( 4 \; cm \) ，中心角が \( 120° \) のおうぎ形 \( OAB \) があります。点 \( A \) を通って線分 \( OA \) に垂直な直線と，点 \( B \) を通って線分 \( OB \) に垂直な直線をひき，その交点を \( C \) とします。
次の (1)，(2) の問いに答えなさい。ただし，円周率を \( \pi{} \) とします。

(1)　弧 \( AB \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{8}{3}\pi{} \; cm \)

【解説】

\( 2\pi{} \times 4 \times \dfrac{120°}{360°}=\dfrac{8}{3}\pi{} \; (cm) \)

(2)　弧 \( AB \) と線分 \( AC \)，線分 \( BC \) とで囲まれた斜線部分の面積を求めなさい。

【解答】

\( 16\sqrt{3}-\dfrac{16}{3}\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

円の半径と２本の接線で囲まれる四角形を，２接線の交点と円の中心を通る直線で分けてできる２つの三角形は合同になります。
（詳細は別途解説します）

\( △AOC≡△BOC，∠AOB=120° \) より，
\( ∠AOC=60° \) なので，
　\( AC=\sqrt{3}OA=4\sqrt{3} \; (cm) \)

四角形 \( OACB=2 \times OA \times AC \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =2 \times 4 \times 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =16\sqrt{3} \; (cm^2) \)

おうぎ形 \( OAB=\pi{} \times OA^2 \times \dfrac{∠AOB}{360°} \)
　　　　　　　 \( =\pi{} \times 4^2 \times \dfrac{120°}{360°} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{16}{3}\pi{} \; (cm^2) \)

よって，
斜線部分の面積 \( =16\sqrt{3}-\dfrac{16}{3}\pi{} \; (cm^2) \)

なぜ２接線の交点と円の中心を通る直線でできる三角形は合同になるのか？

円の半径と接線は接点において垂直に交わるので，
\( OA⊥AC，OB⊥BC \) であり，
\( △OAC，△OBC \) は直角三角形になります。
\( △OAC \) と \( △OBC \) において，
円 \( O \) の半径なので，\( OA=OB \) ･･･ ➀
\( OC \) は共通･･･ ➁
➀➁より，
直角三角形において，斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので，
\( △OAC≡△OBC \)

２　哲也さんと舞さんは，坂の途中にある \( A \) 地点からボールを転がしたときの，ボールの転がる時間と距離の関係を調べました。その結果，ボールが転がり始めてから \( x \) 秒間に転がる距離を \( y \; m \) としたとき，\( x \) と \( y \) の関係は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) であることがわかりました。右の図は，そのときの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフです。
次の (1)，(2) の問いに答えなさい。

(1)　関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) について，\( x \) の値が \( 0 \) から \( 6 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{3}{2} \)

【解説】

\( x=6 \) のときの \( y \) の値は，\( y=\dfrac{1}{4} \times 6^2=9 \) なので，

　変化の割合 \( =\dfrac{y \; の増加量}{x \; の増加量} \)
　　　　　　 \( =\dfrac{9-0}{6-0} \)
　　　　　　 \( =\dfrac{3}{2} \)

(2)　舞さんは，一定の速さで坂を下っています。舞さんが \( A \) 地点を通過するのと同時に，哲也さんは，\( A \) 地点からボールを転がしました。ボールが転がり始めてから \( 6 \) 秒後にボールは舞さんに追いつき，ボールが舞さんを追いこしてからは，舞さんとボールの間の距離はしだいに大きくなりました。
ボールが舞さんを追いこしてから，舞さんとボールの間の距離が \( 18 \; m \) になったのは，ボールが転がり始めてから何秒後ですか。

【解答】

\( 12 \) 秒後

【解説】

(1) より，\( 6 \) 秒間にボールが進む距離は \( 9 \; m \) で，そこで，ボールは舞さんに追いつくので，
舞さんが歩く状態を表す式は，\( y=\dfrac{3}{2}x \) となります。

舞さんとボールの間の距離が \( 18 \; m \) になるのが \( t \) 秒後とすると，
\( t \) 秒間にボールが進む距離は，\( y=\dfrac{1}{4}t^2 \; (m) \)
\( t \) 秒間に舞さんが進む距離は，\( y=\dfrac{3}{2}t \; (m) \)
なので，
　　　 \( \dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{3}{2}t=18 \)
　　\( t^2-6t-72=0 \)
　\( (t+6)(t-12)=0 \)
　　　　　　　　\( t=-6，12 \)
\( t>6 \) より，あてはまるのは，\( t=12 \)

３　赤球と白球がたくさん入っている箱の中に，赤球が何個あるかを推定します。最初に箱の中にあった赤球と白球の個数の比は \( 4：1 \) であったことがわかっています。この箱に白球を３００個追加し，箱の中の球をよくかき混ぜました。そのあと，１２０個の球を無作為に抽出したところ，赤球が８０個ありました。
この結果から，最初に箱の中にあった赤球は，およそ何個と考えられますか。

【解答】

およそ１２００個

【解説】

最初に箱の中にあった白球の個数を \( x \) 個とすると，赤球の個数は \( 4x \) 個と表すことができます。
ここに，白球を３００個追加したので，追加した後は，赤球が \( 4x \) 個，白球が \( x+300 \) 個になります。

また，１２０個の球を抽出したとき，赤球が８０個あったということは，白球は４０個なので，
箱の中の赤球と白球の個数の比は \( 80：40=2：1 \) であったと考えられます。

よって，
　\( 4x：(x+300)=2：1 \)
　　　　　　　\( 4x=2(x+300) \)
　　　　　　　\( 2x=600 \)
　　　　　　　 \( x=300 \)
より，赤球の個数は，\( 4x=4 \times 300=1200 \)（個）

４　下の図のように，１００行３列のマス目がある表に，次の【規則】にしたがって，１から３００までの自然数が１から順に，１つのマスに１つずつ入っています。ただし，表の中の・は，マスに入る自然数を省略して表したものです。

【規則】
➀　１行目は，１列目に１，２列目に２，３列目に３を入れる。
➁　２行目以降は，１つ前の行に入れたもっとも大きい自然数より
　　１大きい数から順に，次のとおり入れる。
　　偶数行目は，３列目，２列目，１列目の順で数を入れる。
　　奇数行目は，１列目，２列目，３列目の順で数を入れる。

たとえば，８は，３行目の２列目のマスに入っています。
次の (1)，(2) の問いに答えなさい。

(1)　４５は，何行目の何列目のマスに入っていますか。

【解答】

１５行目の３列目

【解説】

それぞれの行のもっとも大きい自然数に注目すると，
１行目は３＝３×１，２行目は６＝３×２，３行目は９＝３×３，･･･
と，３の倍数になっています。
よって，４５＝３×１５より，１５行目の最も大きい自然数であるとわかります。

また，奇数（１，３，５，･･･）行目は左から右へ，偶数（２，４，６，･･･）行目は右から左へと
数が大きくなっていきます。
１５行目は奇数行目なので，もっとも大きい自然数になるのは３列目になります。

(2)　\( n \) 行目のマスに入っている３つの自然数のうち，もっとも小さいものを \( P \) とします。
次の (ア)，(イ) の問いに答えなさい。ただし，\( n \) は１以上１００以下とします。

(ア)　自然数 \( P \) を \( n \) を使った式で表しなさい。

【解答】

\( 3n-2 \)

【解説】

\( n \) 行目の自然数のうち，もっとも大きい自然数は \( 3n \) と表すことができます。
それぞれの行には３つずつ数が並ぶので，
もっとも小さい自然数はもっとも大きい自然数より \( 2 \) 小さい数になります。
よって，\( P=3n-2 \) となります。

(イ)　\( n \) が２以上のとき，\( n \) 行目の１つ前の行を \( (n-1) \) 行目とします。\( (n-1) \) 行目のマスに入っている３つの自然数のうち，もっとも大きいものを \( Q \) とします。\( P+Q=349 \) のとき，\( n \) 行目の３列目のマスに入っている自然数を求めなさい。

【解答】

１７７

【解説】

(1) と (ア) から，\( (n-1) \) 行目の自然数のうち，もっとも大きいものを \( Q \) とするとき，
\( Q=3(n-1) \) と表すことができます。
よって，
　　　　　　　\( P+Q=349 \)
　\( 3n-2+3(n-1)=349 \)
　　　　　　　\( 6n-5=349 \)
　　　　　　　　　\( 6n=354 \)
　　　　　　　　　 \( n=59 \)
より，求める自然数は，５９行目の３列目のマスになります。

５９行目は奇数行目なので，３列目の自然数はもっとも大きい数なので \( 59 \times 3=177 \)

大問３

数学の授業で，生徒たちが，直線 \( y=x \) と三角形を素材にした応用問題を考えることになりました。
次の１，２の問いに答えなさい。

１　京子さんと和真さんは，確率を求める問題をつくろうとしています。２人は，図Ⅰのような， \( 1，2，3，4 \) の数字が１つずつ書かれた４枚のカードが入った袋を使い，次の【操作】をすることを考え，それをもとに会話をしています。
あとの(1) ，(2)の問いに答えなさい。

【操作】
・袋の中のカードをよくかき混ぜて，カードを１枚取り出し，
　カードに書かれた数を確認してからもとにもどす。この作業を
　２回行う。
・１回目に取り出したカードに書かれた数を \( a \) として，
　直線 \( y=x \) 上に \( (a，a) \) となる点 \( P \) をとる。
・２回目に取り出したカードに書かれた数を \( b \) として，
　\( x \) 軸上に \( (b，0) \) となる点 \( Q \) をとる。
・原点 \( O \)，点 \( P \)，点 \( Q \) をそれぞれ結んで \( △OPQ \) をつくる。

京子さん：この【操作】をすると，取り出すカードによって，
　　　　　さまざまな形の \( △OPQ \) ができるね。
和真さん：たとえば，取り出したカードに書かれた数が，
　　　　　１回目が \( 2 \) で，２回目が \( 3 \) のときの \( △OPQ \) は
　　　　　図Ⅱのようになるよ。他の場合もやってみよう。
京子さん：すべての場合をかいたけれど，この中に，合同な
　　　　　三角形の組はないようだね。つまり，【操作】に
　　　　　したがって \( △OPQ \) をつくるとき，\( △OPQ \) は
　　　　　全部で　①　通りあるね。
和真さん：\( △OPQ \) が直角三角形になる場合があったよ。
　　　　　この確率を求める問題にしよう。

(1)　　①　にあてはまる正しい数を答えなさい。

【解答】

\( 16 \)

【解説】

２回のカードの取り出し方の組み合わせの数だけ \( △OPQ \) ができるので，１６通りになります。

(2) 【操作】にしたがって \( △OPQ \) をつくるとき，\( △OPQ \) が直角三角形になる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{3}{8} \)

【解説】

\( y=x \) の直線と \( x \) 軸の間の角は \( 45° \) なので，\( △OPQ \) が直角三角形になるとき，
必ず，直角二等辺三角形になります。

１回目にひいたカードを１から４まで順番に固定して，
２回目にどのカードをひいたら \( △OPQ \) が直角二等辺三角形になるのかをグラフから考えると，
全部で次の６通りがあります。
よって，求める確率は，\( \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} \)

２　優矢さんと志保さんは，三角形の面積を２等分する問題をつくろうとしています。２人は，直線 \( y=x \) 上の２点 \( (4，4)，(1，1) \) をそれぞれ \( A，B，x \) 軸上の点 \( (4，0) \) を \( C \) とし，３点 \( A，B，C \) をそれぞれ結んで，\( △ABC \) をつくりました。図Ⅲは，直線 \( y=x \) と \( △ABC \) をかいたものです。２人は，図Ⅲを見ながら，次の会話をしています。
あとの (1)～(3) の問いに答えなさい。

優矢さん：頂点 \( A \) を通り，\( △ABC \) の面積を２等分する直線は，
　　　　　\( △ABC \) が二等辺三角形ではないようだから，
　　　　　　➁　だね。
志保さん：頂点を通らない直線で \( △ABC \) の面積を２等分する
　　　　　場合も考えてみようよ。
優矢さん：直線 \( y=x \) 上の点 \( (3，3) \) を \( D \) として，点 \( D \) を通り，
　　　　　\( △ABC \) の面積を２等分する直線だとどうなるかな。
志保さん：その直線は辺 \( BC \) と交わりそうだよ。その直線と辺 \( BC \)
　　　　　との交点の座標を求める問題にしよう。

(1)　　➁　にあてはまるものとして正しいものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　\( ∠BAC \) の二等分線
　　　イ　辺 \( BC \) の垂直二等分線
　　　ウ　頂点 \( A \) から辺 \( BC \) への垂線
　　　エ　頂点 \( A \) と辺 \( BC \) の中点を通る直線

【解答】

エ

(2)　２点 \( B，C \) を通る直線の式を求めなさい。

【解答】

\( y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3} \)

【解説】

\( B(1，1)，C(4，0) \) なので，
傾き \( =\dfrac{0-1}{4-1}=-\dfrac{1}{3} \)
直線 \( BC \) の式を \( y=-\dfrac{1}{3}x+b \) とすると，\( (4，0) \) を通るので，
\( 0=-\dfrac{1}{3} \times 4+b \)
\( b=\dfrac{4}{3} \)

よって，直線 \( BC \) の式は \( y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3} \)

(3)　図Ⅳは，優矢さんと志保さんが，図Ⅲにおいて，点 \( D \) を通り，\( △ABC \) の面積を２等分する直線をかき，その直線と辺 \( BC \) との交点を \( E \) としたものです。点 \( E \) の座標を求めなさい。

【解答】

\( \left( \dfrac{13}{4}，\dfrac{1}{4} \right) \)

【解説】

点 \( A，D \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，交点を点 \( F，G \) とすると，
\( ∠B \) は共通，\( ∠DGB=∠AFB=90° \) より，
２組の角がそれぞれ等しいので，\( △DBG \) ∽ \( △ABF \) であり，
相似比は，\( DB：AB=2：3 \)
よって，\( DG：AF=2：3 \) であり，\( DG=\dfrac{2}{3}AF \)

このとき，線分 \( DG，AF \) は，
それぞれ \( △DBE，△ABC \) の高さになっています。

　\( △DBE=BE \times DG \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =BE \times \dfrac{2}{3}AF \times \dfrac{1}{2} \)
　\( △ABC=BC \times AF \times \dfrac{1}{2} \)
なので，
　\( △DBE：△ABC=\left( BE \times \dfrac{2}{3}AF \times \dfrac{1}{2} \right)：\left( BC \times AF \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{2}{3}BE：BC \)
　　　　　　　　　　 \( =2BE：3BC \)

\( △DBE：△ABC=1：2 \) のとき，
　\( △DBE：△ABC=1：2 \)
　　　　 \( 2BE：3BC=1：2 \)
　　　　　　　　\( 4BE=3BC \)
　　　　　　　　 \( BE=\dfrac{3}{4}BC \)

\( B(1，1)，C(4，0) \) なので，\( BE=\dfrac{3}{4}BC \) のとき，
点 \( E \) の \( x \) 座標は，
点 \( B \) の \( x \) 座標より \( 3 \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4} \) 大きい値であり，
\( 1+\dfrac{9}{4}=\dfrac{13}{4} \)

点 \( E \) の \( y \) 座標は，
点 \( B \) の \( y \) 座標より \( 1 \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} \) 小さい値であり，
\( 1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4} \)
になります。

よって，\( E \left( \dfrac{13}{4}，\dfrac{1}{4} \right) \)

大問４

図Ⅰのような，\( AB=DC=7 \; cm，AD=5 \; cm，BC=9 \; cm \)，\( AD//BC \) の台形 \( ABCD \) があります。辺 \( BC \) 上に，\( BE=3 \; cm \) となる点 \( E \) をとります。また，直線 \( DE \) 上に，\( DE：EF=2：1 \) となる点 \( F \) を，直線 \( BC \) に対して点 \( D \) と反対側にとり，点 \( B \) と点 \( F \) を結びます。
次の１～３の問いに答えなさい。

１　\( △CDE \) ∽ \( △BFE \) であることを証明しなさい。

【解答・解説】

\( △CDE \) と \( △BFE \) において，
仮定より，
　\( CE：BE=(BC-BE)：BE=(9-3)：3=2：1 \) ･･･ ➀
　\( DE：EF=2：1 \) ･･･ ➁
対頂角は等しいので，
　\( ∠CED=∠BEF \) ･･･ ➂
➀➁➂より，２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △CDE \) ∽ \( △BFE \)

２　線分 \( BF \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{7}{2} \; cm \)

【解説】

\( △CDE \) ∽ \( △BFE \) で，相似比は \( 2：1 \) なので，
　\( DC：BF=2：1 \)
　　 \( 7：BF=2：1 \)
　　　　\( BF=\dfrac{7}{2} \; (cm) \)

３　図Ⅱは，図Ⅰにおいて，点 \( D \) から辺 \( BC \) に垂線をひき，辺 \( BC \) との交点を \( G \) としたものです。また，直線 \( AG \) と直線 \( DC \) との交点を \( H \) とし，点 \( F \) と点 \( H \) を結びます。
次の (1)，(2) の問いに答えなさい。

(1)　線分 \( DG \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 3\sqrt{5} \; cm \)

【解説】

台形 \( ABCD \) は等脚台形なので，
　\( CG=\dfrac{BC-AD}{2}=\dfrac{9-5}{2}=2 \; (cm) \)

\( △CDG \) において，三平方の定理より，
　\( DG^2=7^2-2^2=45 \)
　 \( DG=3\sqrt{5} \; (cm) \) (\( DG>0 \)より)

等脚台形ＡＢＣＤにおける線分ＣＧの長さの求め方

点 \( A \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，交点を点 \( J \) とします。
\( △CDG \) と \( △BAJ \) において，
仮定より，
　　\( AB=DC \) ･･･ ➀
　　\( DG⊥BC \) ･･･ ➁
　　\( AJ⊥BC \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠DGC=∠AJB=90° \) ･･･ ➃
\( AD//BC，DG⊥BC，AJ⊥BC \) より，四角形 \( AJGD \) は長方形なので，
　　\( DG=AJ \) ･･･ ➄
➀④➄より，
直角三角形において，斜辺と他の１辺がそれぞれ等しいので，
\( △CDG≡△BAJ \)

対応する辺の長さは等しいので，\( CG=BJ \)

よって，
　　\( BC=BJ+GJ+CG=2CG+AD \)
　\( 2CG=BC-AD \)
　　\( CG=\dfrac{BC-AD}{2} \)

(2)　四角形 \( BFHC \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{63\sqrt{5}}{4} \; cm^2 \)

【解説】

四角形 \( BFHC \) の面積を直接求めるのは難しいので，
四角形 \( BFHC=△BCF+△FCH \) として求めます。

【\( △BCF \) の面積】

点 \( F \) から線分 \( BC \) に垂線をひき，
交点を点 \( K \) とします。
\( △CDE \) ∽ \( △BFE \) で，相似比は \( 2：1 \) なので，
　\( DG：FK=2：1 \)
　\( 3\sqrt{5}：FK=2：1 \)
　　　　\( FK=\dfrac{3\sqrt{5}}{2} \; (cm) \)

よって，
　\( △BCF=BC \times FK \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =9 \times \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{27\sqrt{5}}{4} \; (cm^2) \)

【\( △FCH \) の面積】

相似な三角形の対応する角は等しいので，\( ∠EBF=∠ECD \) で，
錯角が等しく，\( BF//CD \)

等積変形の考え方から，\( △BCD=△FCD \) なので，
　\( △FCD=△BCD=BC \times DG \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　　　　\( =9 \times 3\sqrt{5} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{27\sqrt{5}}{2} \; (cm^2) \)

\( △HGC \) と \( △HAD \) において，
\( AD//BC \) より，\( ∠HGC=∠HAD \)
\( ∠H \) は共通
なので，\( △HGC \) ∽ \( △HAD \) であり，
相似比は，\( GC：AD=2：5 \)

よって，\( HC：HD=2：5 \) なので，
　\( HC：CD=HC：(HD-HC)=2：(5-2)=2：3 \)
　　　　　　 \( =2：(5-2) \)
　　　　　　 \( =2：3 \)

\( △FCD \) と \( △FCH \) の底辺をそれぞれ \( CD，HC \) とすると，
高さが共通であり，底辺の比が面積比になるので，
　\( △FCD：△FCH=HC：CD \)
　 \( \dfrac{27\sqrt{5}}{2}：△FCH=3：2 \)
　　　　　　 \( △FCH=9\sqrt{5} \; (cm^2) \)

以上より，
四角形 \( BFHC=△BCF+△FCH \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{27\sqrt{5}}{4}+9\sqrt{5} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{63\sqrt{5}}{4} \; (cm^2) \)

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