福島 - 数学基礎トレーニングルーム https://service.1escape1.net 中学数学の基礎を学ぶ部屋 Fri, 12 Dec 2025 13:00:36 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.8.13 福島県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説 https://service.1escape1.net/kouritsu_hukushima_2025/ https://service.1escape1.net/kouritsu_hukushima_2025/#respond Fri, 12 Dec 2025 13:00:36 +0000 https://service.1escape1.net/?p=24444 大問１ （１） 次の計算をしなさい。 １　\( (-4) \times (-7) \)   ２　\( -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3} \)   ３　\( (-2a)^3 \tim […]

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]]> 大問１

（１） 次の計算をしなさい。

１　\( (-4) \times (-7) \)

【解答】
\( 28 \)

 

２　\( -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3} \)

【解答】
\( \dfrac{1}{6} \)
【解説】
\( =-\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{6} \)
\( =\dfrac{1}{6} \)

 

３　\( (-2a)^3 \times 2b \)

【解答】
\( -16a^3b \)
【解説】
\( =-8a^3 \times 2b \)
\( =-16a^3b \)

 

４　\( \sqrt{12}+\sqrt{3} \)

【解答】
\( 3\sqrt{3} \)
【解説】
\( =2\sqrt{3}+\sqrt{3} \)
\( =3\sqrt{3} \)

 

（２） 正五角形の１つの外角の大きさを求めなさい。

【解答】
\( 72° \)
【解説】

多角形の外角の和は必ず \( 360° \) になります。

また，正五角形の内角はすべて等しいので，
外角もすべて等しくなっています。

よって，正五角形の１つの外角の大きさは，
　\( 360° \div 5=72° \)

 

大問２

（１） １本 \( 80 \) 円のえんぴつを \( a \) 本買うのに，５００円玉１枚を出した。このときのおつりを，\( a \) を使った式で表しなさい。ただし，消費税は考えないものとする。

【解答】
\( 500-80a \)
【解説】
１本 \( 80 \) 円のえんぴつを \( a \) 本の代金は \( 80a \) 円なので，
\( 500 \) 円払ったときのおつりは，\( 500-80a \)（円）と表すことができます。

 

（２） \( y \) が \( x \) の１次関数で，変化の割合が \( 2 \) で，\( x=-3 \) のとき \( y=7 \) となる１次関数の式を求めなさい。

【解答】
\( y=2x+13 \)
【解説】
１次関数を表す式は \( y=ax+b \)（\( a，b \) は定数）であり，
変化の割合が \( 2 \) のときは，\( y=2x+b \) になります。

ここに，\( x=-3，y=7 \) を代入すると，
　\( 7=2 \times (-3)+b \)
　\( 7=-6+b \)
　\( b=13 \)

よって，求める式は \( y=2x+13 \) になります。

 

（３） \( x^2-3x-10 \) を因数分解しなさい。

【解答】
\( (x+2)(x-5) \)

 

（４） 半径 \( 3 \; cm \) の球と底面の半径が \( 6 \; cm \) の円錐がある。球と円錐の体積が等しいとき，この円錐の高さを求めなさい。

【解答】
\( 3 \; cm \)
【解説】
円錐の高さを \( h \; cm \) とするとき，
底面の半径が \( 6 \; cm \) の円錐の体積は，
　\( (\pi{} \times 6^2) \times h \times \dfrac{1}{3}=12\pi{}h \; (cm^3) \)
と表すことができます。

半径 \( 3 \; cm \) の球の体積は，
　\( \dfrac{4\pi{} \times 3^3}{3}=36\pi{} \; (cm^3) \)
と表すことができます。

これらの体積が等しいとき，
　\( 12\pi{}h=36\pi{} \; (cm^3) \)
　　　\( h=3 \; (cm) \)

 

（５） ある学級の生徒 \( 33 \) 人が，６月，９月，１２月にそれぞれ１回ずつ \( 50 \) 点満点の数学のテストを受けた。
下の図は，６月，９月，１２月に受けた数学のテストの得点の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，箱ひげ図から読みとれることとして正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　範囲が最も大きいのは，９月である。
　　　　 イ　四分位範囲は，６月より１２月のほうが大きい。
　　　　 ウ　６月，９月，１２月のテストの得点の合計が \( 135 \) 点以上の生徒がかならずいる。
　　　　 エ　６月のテストの得点が \( 40 \) 点以上の生徒は \( 8 \) 人以上いる。

【解答】
エ
【解説】

ア　範囲は「最大値 \( – \) 最小値」で求められます。
　　　　６月 ･･･ \( 45-5=40 \)（点）
　　　　９月 ･･･ \( 46-10=36 \)（点）
　　　１２月 ･･･ \( 48-4=44 \)（点）
　　となるので，最も大きいのは１２月になります。

イ　四分位範囲は「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求められます。
　　　　６月 ･･･ \( 42-14=28 \)（点）
　　　１２月 ･･･ \( 39-15=24 \)（点）
　　となるので，６月の方が大きくなっています。

ウ　箱ひげ図のデータからだけでは，複数の箱ひげ図における個人のデータの合計値を特定することは
　　できません。

エ　\( 33 \) 人のデータを集計しているので，第三四分位数は大きい方から８番目と９番目の平均値に
　　なります。
　　６月の箱ひげ図の第三四分位数は \( 42 \) 点なので，得点が高い方から８番目の人の得点は
　　\( 42 \) 点以上になっています。
　　よって，得点が \( 40 \) 点以上の生徒は \( 8 \) 人以上いるとわかります。

 

大問３

（１） 右の図のように，袋の中に \( 0，1，2，3，4 \) の数字が１つずつ書かれた５枚のカードが入っている。
この袋の中からカードを１枚取り出し，そのカードに書かれた数を \( a \) とする。次に，その取り出したカードを袋の中にもどさず，残り４枚のカードから１枚取り出し，そのカードに書かれた数を \( b \) とする。
ただし，どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとする。

１　\( ab+a=3 \) となる場合は何通りあるか求めなさい。

【解答】
２通り
【解説】
選んだカードの数 \( a，b \) の組み合わせとそれぞれの場合の \( ab+a=3 \) の値を樹形図にして書き出すと，
下の図のようになり，\( ab+a=3 \) となる場合は２通りになります。

 

２　\( ab+a \) の値が偶数となる確率を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{7}{10} \)
【解説】
下の樹形図から，すべての場合は２０通り，\( ab+a \) の値が偶数となる場合は１４通りなので，
その確率は，\( \dfrac{14}{20}=\dfrac{7}{10} \)

 

（２） 次の図１，図２のように，１辺が \( 1 \; cm \) の正方形を用いて，１番目，２番目，３番目，４番目，･･･ と，規則正しく並べて図形をつくっていく。
図１は，正方形を縦に２個並べた長方形を，１番目は１個，２番目は２個，３番目は３個，４番目は４個のように，長方形の縦の辺が \( 1 \; cm \) ずつ上下を交互に重なるように並べていったものである。
図２は，正方形を，１番目は１個，２番目は３個，３番目は６個，４番目は１０個のように，２番目の図形以降では，１段増やすごとに，その段の数と同じ個数の正方形を加え，三角形の形になるようにすきまなく並べていったものである。
なお，図１，図２それぞれの太い線（ー）の長さを図形の周の長さとする。

１　図１の４番目の図形の周の長さから図２の４番目の図形の周の長さをひいたときの差を求めなさい。

【解答】
\( 2 \; cm \)
【解説】
図１の４番目の図形の周の長さは \( 18 \; cm \)，
図２の４番目の図形の周の長さは \( 16 \; cm \)，
なので，差は \( 2 \; cm \) になっています。

 

２　図１の \( n \) 番目の図形の周の長さを \( K \; cm \)，図２の \( n \) 番目の図形の周の長さを \( L \; cm \) とする。\( K \) から \( L \) をひいたときの差について，どのようなことがいえるか。次のア～ウの中から正しいものを１つ選び，記号で答えなさい。また，\( K，L \) を，それぞれ \( n \) を使った式で表し，選んだものが正しい理由を説明しなさい。ただし，\( n \) は自然数とする。

　　　ア　正の数になることも，負の数になることもある。
　　　イ　一定である。
　　　ウ　\( 10 \) より大きくなることもある。

【解答】
イ　一定である。
【正しい理由】
図１の \( n \) 番目の図形の周の長さ \( K \; cm \) を \( n \) を使った式で表すと，
　\( K=4n+2 \; (cm) \)
図２の \( n \) 番目の図形の周の長さ \( L \; cm \) を \( n \) を使った式で表すと，
　\( L=4n \; (cm) \)
と表すことができるので，
　\( K-L=(4n+2)-4n=2 \; (cm) \)
であり，\( K \) から \( L \) をひいたときの差は一定である。
【解説】
【\( K \; cm \) を \( n \) を使った式で表す】
図１の４番目までの周の長さを数えていくと，
　\( 6 \; cm \) → \( 10 \; cm \) →\( 14 \; cm \) →\( 18 \; cm \) ･･･
と \( 4 \; cm \) ずつ増えていて，それぞれの長さを
　\( 6+4 \times 0 \; cm \) → \( 6+4 \times 1 \; cm \) →\( 6+4 \times 2 \; cm \) →\( 6+4 \times 3 \; cm \) ･･･
と考えると，\( n \) 番目の図形の周の長さ \( K \; cm \) は
　\( K=6+4(n-1)=4n+2 \; (cm) \)
と表すことができます。

【\( L \; cm \) を \( n \) を使った式で表す】
図２の４番目までの周の長さを数えていくと，
　\( 4 \; cm \) → \( 8 \; cm \) →\( 12 \; cm \) →\( 16 \; cm \) ･･･
と \( 4 \; cm \) ずつ増えていて，それぞれの長さを
　\( 4+4 \times 0 \; cm \) → \( 4+4 \times 1 \; cm \) →\( 4+4 \times 2 \; cm \) →\( 4+4 \times 3 \; cm \) ･･･
と考えると，\( n \) 番目の図形の周の長さ \( L \; cm \) は
　\( L=4+4(n-1)=4n \; (cm) \)
と表すことができます。

 

大問４

ひろとさんは,家族旅行の計画を立てるために，自家用車で自宅から目的地に着くまでの時間と道のりについて調べ，次の＜メモ＞にまとめた。
ただし，＜メモ＞は高速道路を時速 \( 90 \; km \)，ふつうの道路を時速 \( 40 \; km \) で走ると仮定したときのものである。

＜メモ＞
・ 自宅から目的地に着くまでの時間は，全体で \( 3.5 \) 時間である。
・ 自宅から目的地に着くまでの道のりは，全部で \( 280 \; km \) である。

このとき，高速道路を走る時間とふつうの道路を走る時間は，それぞれ何時間か，求めなさい。
また，求める過程も書きなさい。

【解答】
高速道路を走る時間 ･･･ \( 2.8 \) 時間
ふつうの道路を走る時間 ･･･ \( 0.7 \) 時間
【解説】
高速道路を走る時間を \( x \) 時間，ふつうの道路を走る時間を \( y \) 時間とすると，
時間の関係を表す式は \( x+y=3.5 \) ･･･ ➀
道のりの関係を表す式は \( 90x+40y=280 \) ･･･ ➁
と表すことができる。

➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=3.5 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
90x+40y=280 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
より
\( x=2.8，y=0.7 \)

よって，
高速道路を走る時間は \( 2.8 \) 時間
ふつうの道路を走る時間は \( 0.7 \) 時間

【途中式】
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=3.5 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
90x+40y=280 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁を整理すると，
　\( 9x+4y=28 \) ･･･ ➁’
➀ \( \times 4 \) すると，
　\( 4x+4y=14 \) ･･･ ➀’
➁’\( – \)➀’
　\( 5x=14 \)
　 \( x=2.8 \)
➀に代入すると，
　\( 2.8+y=3.5 \)
　　　　\( y=0.7 \)

 

大問５

右の図において，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形であり，点 \( O \) は対角線 \( BD \) の中点である。辺 \( AD \) 上に点 \( E \) をとり，直線 \( EO \) と辺 \( BC \) との交点を \( F \) とする。
次の［証明］は，\( △ABE≡△CDF \) となることを証明したものである。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

［証明］
\( △OBF \) と \( △ODE \) において
仮定から \( OB=OD \) ･･･ ➀
対頂角は等しいから \( ∠BOF=∠DOE \) ･･･ ➁
\( AD//BC \) より，平行線の 　Ⅰ　 は等しいから
\( ∠OBF=∠ODE \) ･･･ ➂
➀，➁，➂ より，　Ⅱ　 がそれぞれ等しいから
\( △OBF≡△ODE \)
合同な図形の対応する辺は等しいから
\( BF=DE \) ･･･ ➃
　　　Ⅲ　　　

（１） 　Ⅰ　，　Ⅱ　 にあてはまることばの組み合わせとして正しいものを，次のア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　　Ⅰ　 同位角　　　　Ⅱ　 １組の辺とその両端の角
　　　　 イ　　Ⅰ　 同位角　　　　Ⅱ　 ２組の辺とその間の角
　　　　 ウ　　Ⅰ　 錯角　　　　　Ⅱ　 １組の辺とその両端の角
　　　　 エ　　Ⅰ　 錯角　　　　　Ⅱ　 ２組の辺とその間の角

【解答】
ウ　　Ⅰ　 錯角　　　　　Ⅱ　 １組の辺とその両端の角
【解説】
➀，➁，➂を図中に書き込むと次のようになります。


 

（２） 　　　Ⅲ　　　 に証明の続きを書き，［証明］を完成させなさい。
ただし，［証明］の中の➀～➃に示されている関係を使う場合は，番号の➀～➃を用いてもよい。また，新たな関係に番号をつける場合は，➄以降の番号を用いなさい。

【解答】
\( △ABE \) と \( △CDF \) において
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
　\( AD=CB \) ･･･ ➄
　\( AB=CD \) ･･･ ⑥
また，
　\( AE=AD-DE \) ･･･ ➆
　\( CF=CB-BF \) ･･･ ⑧
➃➄➆➇より，
　\( AE=CF \) ･･･ ➈
平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいので，
　\( ∠BAE=∠DCF \) ･･･ ➉
⑥➈➉より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABE≡△CDF \)
【解説】
➄～➉を図中に書き込むと次のようになります。


 

大問６

右の図のように，関数 \( y=-x^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) がある。\( A \) の \( x \) 座標は \( -2 \) であり，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。また，２点 \( O，B \) を通る直線を \( l \) とする。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( -4 \)
【解説】
点 \( A \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，
　\( y=-(-2)^2=-4 \)

 

（２） 関数 \( y=-x^2 \) のグラフ上に点 \( C \) をとり，\( C \) の \( x \) 座標を \( t \) とする。ただし，\( t<-2 \) とする。
また，\( C \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と \( l \) との交点を \( D \) とする。

１　\( t=-3 \) のとき，点 \( D \) の \( x \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{9}{2} \)
【解説】

\( t=-3 \) のとき，点 \( C \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -3 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=-(-3)^2=-9 \)

また，（１）より点 \( B \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( -4 \) なので，\( x \) 座標は，
　\( -4=-x^2 \)
　　\( x=2 \)（\( x>0 \) より）
ここから，直線 \( l \) は原点と \( B(2，-4) \) を通るので，直線 \( l \) の式は，\( y=-2x \) です。

点 \( D \) は \( y=-2x \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( -9 \) なので，\( x \) 座標は，
　\( -9=-2x \)
　　\( x=\dfrac{9}{2} \)

 

２　線分 \( OD \) 上に \( DE=\sqrt{5} \) となる点 \( E \) をとる。\( △CDE \) の面積が \( △OAB \) の面積と等しくなるときの \( t \) の値を求めなさい。

【解答】
\( t=1-\sqrt{17} \)
【解説】

点 \( C \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，
\( y \) 座標は \( -t^2 \) と表すことができます。
このとき，点 \( D \) は \( y=-2x \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( -t^2 \) なので，\( x \) 座標は，
　\( -t^2=-2x \)
　　\( x=\dfrac{t^2}{2} \)
と表すことができます。

また，\( DE=\sqrt{5} \) となるとき，\( DE \) を斜辺とする
直角三角形を考えると，直角をなす２辺の長さは
\( 1 \) と \( 2 \) になります。
点 \( D，E \) が \( y=-2x \) 上の点であることから，
点 \( E \) は \( x \) 座標が点 \( D \) より \( 1 \) 小さく，
\( y \) 座標が点 \( D \) より \( 2 \) 大きい点になります。

　　　

以上より，\( △CDE \) の底辺を \( CD \) とすると，\( △CDE \) の面積は，
　\( △CDE=\left( \dfrac{t^2}{2}-t \right) \times 2 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( =\dfrac{t^2}{2}-t \)
と表すことができ，
\( △OAB \) の面積は，
　\( △OAB=4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=8 \)
になります。

以上より，\( △CDE \) の面積が \( △OAB \) の面積と等しくなるとき，
　　　　\( \dfrac{t^2}{2}-t=8 \)
　　　　\( t^2-2t=16 \)
　\( t^2-2t-16=0 \)
　　　　　　　\( t=\dfrac{-(-2)±\sqrt{(-2)^2-4 \times 1 \times (-16)}}{2 \times 1} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{2±\sqrt{68}}{2} \)
　　　　　　　 \( =1-\sqrt{17} \) （\( t<-2 \) より）

 

大問７

右の図のような，底面が \( AB=DE=2\sqrt{7} \; cm \)，
\( BC=EF=6 \; cm，AC=DF=4 \; cm \) の
三角形で，高さが \( 8 \; cm \) の三角柱がある。
なお，\( △DEF \) の３つの角はすべて鋭角である。
辺 \( BE \) 上に \( AD=AP \) となる点 \( P \) をとる。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） 線分 \( BP \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( BP=6 \; cm \)
【解説】
\( AP=AD=8 \; cm，AB=DE=2\sqrt{7} \; cm \) なので，
\( △ABP \) において，三平方の定理より，
　\( BP^2=8^2-(2\sqrt{7})^2=36 \)
　 \( BP=6 \; (cm) \)（ \( BP>0 \) より）

 

（２） 線分 \( CP \) 上に \( QC=QF \) となる点 \( Q \) をとる。

１　\( △QEF \) の面積を求めなさい。

【解答】
\( △QEF=12 \; cm^2 \)
【解説】

面 \( BEFC \) に注目すると，\( QC=QF \) より
\( △QCF \) は二等辺三角形になっています。

点 \( Q \) から線分 \( CF \) に垂線をひいた交点を \( G \) と
すると，点 \( G \) は線分 \( CF \) の中点なので，
\( CF=AD=8 \; cm \) より \( GF=4 \; cm \) になっています。

\( △QEF \) の底辺を \( EF \) とすると，
高さは \( GF \) と等しいので，
\( △QEF \) の面積は，
　\( △QEF=6 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=12 \; (cm^2) \)

 

２　\( D \) を頂点とし，四角形 \( EFQP \) を底面とする四角錐の体積を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{28\sqrt{3}}{3} \; cm^3 \)
【解説】
底面の四角形 \( EFQP \) を \( △QEF \) と \( △QEP \) に分けて考えます。

点 \( Q \) から線分 \( BE \) に垂線をひいた交点を \( H \) と
すると，\( BH=CG=4 \; cm \) であり，\( BP=6 \; cm \) であることから，
　\( PH=6-4=2 \; (cm) \)

\( △QPH \) ∽ \( △QCG \) であり，
対応する辺の比は等しいので，
　\( HQ：QG=PH：CG=1：2 \)
\( HG=EF=6 \; cm \) なので，
　\( HQ=\dfrac{1}{3}HG=2 \; (cm) \)

また，\( BE=AD=8 \; cm，BP=6 \; cm \) より \( PE=2 \; cm \) なので，
\( △QEP \) の面積は，
　\( △QEP=2 \times 2 \times \dfrac{1}{2}=2 \; (cm^2) \)

よって，底面の四角形 \( EFQP \) の面積は，
　\( △QEF+△QEP=12+2=14 \; (cm^2) \)

次に，四角すいの高さを求めます。

 \( △DEF \) で，点 \( D \) から線分 \( EF \) に垂線を
ひいた交点を \( J \) とし，\( EJ=x \; cm \) とすると，
\( △DEJ \) と \( △DFJ \) において，
三平方の定理より，
　\( DE^2-EJ^2=DF^2-FJ^2 \)
　\( (2\sqrt{7})^2-x^2=4^2-(6-x)^2 \)
　　　 \( 28-x^2=16-(36-12x+x^2) \)
　　　　　　　\( x=4 \)
なので，
　\( DJ^2=(2\sqrt{7})^2-4^2=12 \)
　 \( DJ=2\sqrt{3} \; (cm) \)（ \( EJ>0 \) より）

以上より，求める四角すいの体積は，
　\( 14 \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{28\sqrt{3}}{3} \; (cm^3) \)

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]]> 大問１

（１） 次の計算をしなさい。

➀　\( -5+9 \)

【解答】
\( 4 \)

 

➁　\( \dfrac{2}{5} \div \left( -\dfrac{8}{15} \right) \)

【解答】
\( -\dfrac{3}{4} \)
【解説】
\( =\dfrac{2}{5} \times \left( -\dfrac{15}{8} \right) \)
\( =-\dfrac{3}{4} \)

 

➂　\( 7x-3y+2x+y \)

【解答】
\( 9x-2y \)

 

➃　\( 3\sqrt{6} \times \sqrt{3} \)

【解答】
\( 9\sqrt{2} \)
【解説】
\( =(3\sqrt{2} \times \sqrt{3}) \times \sqrt{3} \)
\( =3\sqrt{2} \times 3 \)
\( =9\sqrt{2} \)

 

（２） \( (x+y-1)(x+y+1) \) を展開しなさい。

【解答】
\( x^2+2xy+y^2-1 \)
【解説】
\( x+y=A \) とすると，
　与式 \( =(A-1)(A+1) \)
　　　 \( =A^2-1 \)
　　　 \( =(x+y)^2-1 \)
　　　 \( =x^2+2xy+y^2-1 \)

 

大問２

（１） \( a \) 円の黒ペン \( 5 \) 本と \( b \) 円の赤ペン \( 2 \) 本を買うと，代金は \( 1020 \) 円になる。このときの数量の間の関係を，等式で表しなさい。

【解答】
\( 5a+2b=1020 \)
【解説】
\( a \) 円の黒ペンを \( 5 \) 本買うときの代金は，\( 5a \)（円）
\( b \) 円の赤ペンを \( 2 \) 本買うときの代金は，\( 2b \)（円）
と表すことができ，これらの合計が \( 1020 \) 円なので，
　\( 5a+2b=1020 \)

 

（２） １次関数 \( y=5x+2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 4 \) まで増加するときの \( y \) の増加量を求めなさい。

【解答】
\( 15 \)
【解説】
\( y=5x+2 \) について，
　\( x=1 \) のときの \( y \) の値は，\( y=5 \times 1+2=7 \)
　\( x=4 \) のときの \( y \) の値は，\( y=5 \times 4+2=22 \)
なので，\( y \) の増加量は，\( 22-7=15 \)

 

（３） 右の図で，３点 \( A，B，C \) は円 \( O \) の周上の点である。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】
\( ∠x=42° \)

【解説】

\( △OBC \) は \( OB=OC \) の二等辺三角形なので，
\( ∠OCB=∠OBC=48° \) であり，
　\( ∠BOC=180°-48° \times 2=84° \)

\( ∠BOC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する中心角，
\( ∠BAC \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角
なので，
　\( ∠BAC=\dfrac{1}{2}∠BOC=42° \)

 

（４） 次のデータは，ある店の１日のケーキの販売数を９日間調べ，左から少ない順に整理したものである。このデー夕について，第３四分位数を求めなさい。

　　　　　　\( \fbox{76，85，88，98，102，114，118，122，143} \)（単位：個）

【解答】
\( 120 \) 個
【解説】
全部で９個のデータなので，第３四分位数は値の小さい方から７番目と８番目の値の平均値になるので，
　\( \dfrac{118+122}{2}=120 \)（個）

 

（５） 右の図に，円 \( O \) の周上の点 \( P \) を通る接線を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。

【解答】

手順１　２点 \( O，P \) を通る直線を描く。
手順２　点 \( P \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( OP \) との交点を \( A，B \) とします。)
手順３　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( C \) とします。)

２点 \( C，P \) を通る直線が求める接線になります。

【解説】
円の接線と円の中心を通る直線は，接点において垂直に交わります。
ここから，直線 \( OP \) の垂線を描けばいいことになります。

 

大問３

（１） 右の図のように，正六角形があり，１つの頂点を \( A \) とする。\( 1 \) から \( 6 \) までの目がある大小２つのさいころを同時に１回投げて，次の ＜操作＞ を行う。
ただし，それぞれのさいころについて，どの目が出ることも同様に確からしいものとする。

<操作>
・　\( A \) を出発して，大きいさいころの出た目の数だけ反時計回りに頂点を移動し，とまった位置を \( P \) と
　　する。
・　\( A \) を出発して，小さいさいころの出た目の数だけ時計回りに頂点を移動し，とまった位置を \( Q \) と
　　する。
例えば，大きいさいころの出た目の数が \( 2 \) で，小さいさいころの出た目の数が \( 3 \) であるとき，例のようになる。

➀　\( P \) と \( Q \) が同じ位置になる確率を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{1}{6} \)
【解説】
頂点 \( A \) から反時計回りにそれぞれの頂点に \( B，C，D，E，F \) と名前をつけ，
大きいさいころ，小さいさいころの出た目によって，\( P \) と \( Q \) がどの頂点に移動するかを
書き出したものが下の図になります。

この図をもとに，大きいさいころ，小さいさいころの出た目の組み合わせを樹形図に書き出し，
同じ頂点に移動する組み合わせに ○ をつけてみます。
同じ頂点に移動するのは６通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

 

➁　３点 \( A，P，Q \) を結んだ図形が二等辺三角形になる確率を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{2}{9} \)
【解説】
正六角形 \( ABCDEF \) において，点 \( A \) を固定したときに二等辺三角形ができるのは，
\( △ABC，△ABF，△ACE，△AEF \) の４通りになります。

\( △ABC \) ができるのは，
\( P=B，Q=C \) または \( P=C，Q=B \)
の２通りになります。

\( △ABF，△ACE，△AEF \) ができる場合も，同様に２通りずつあるので，
全部で８通りになります。

よって，求める確率は， \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)

 

（２） 下の図のように，垂直に交わる半直線 \( OA，OB \) の間に，次の <作業> にしたがい，同じ大きさの正方形のタイルをしく。

<作業>
・　点 \( O \) と半直線 \( OA，OB \) に辺が重なるように１枚のタイルをしいたものを，１番目の図形とする。
・　次に，１番目の図形を囲むように新たなタイルをしき，全部で \( 4 \) 枚のタイルをしいたものを２番目の
　　図形とする。 続けて，２番目の図形を囲むように新たなタイルをしき，全部で \( 9 \) 枚のタイルを
　　しいたものを３番目の図形とする。
・　１番目，２番目，３番目 ･･･ のように，規則的にタイルをしいて \( n \) 番目の図形をつくる。

下の図はこの ＜作業> にしたがい，タイルをしいたときの図である。ただし，タイル１枚を □ で表している。

➀　２３番目の図形は，全部で何枚のタイルがあるか求めなさい。

【解答】
\( 529 \) 枚
【解説】
１番目の図形 ･･･ \( 1 \times 1=1 \)（枚）
２番目の図形 ･･･ \( 2 \times 2=4 \)（枚）
３番目の図形 ･･･ \( 3 \times 3=9 \)（枚）
となっているので，
２３番目の図形 ･･･ \( 23 \times 23=529 \)（枚）

 

➁　\( (n-1) \) 番目の図形を囲むように新たなタイルをしき，\( n \) 番目の図形をつくる。このとき，新たに必要なタイルの枚数は奇数である。
この理由を，\( n \) を使った式で表し，説明しなさい。ただし，\( n \) は \( 2 \) 以上の整数とする。

【解答】
\( (n-1) \) 番目の図形で並べられているタイルの枚数は，\( (n-1)^2 \) 枚，
\( n \) 番目の図形で並べられるタイルの枚数は，\( n^2 \) 枚，
と表すことができるので，
\( n \) 番目の図形をつくるために新たに必要なタイルの枚数は
　\( n^2-(n-1)^2=n^2-(n^2-2n+1) \)
　　　　　　　　 \( =2n-1 \)
と表すことができる。
\( n \) は \( 2 \) 以上の整数なので，\( 2n-1 \) は奇数である。
よって，新たに必要なタイルの枚数は奇数である。

 

大問４

３つの容器Ａ，Ｂ，Ｃがある。Ａ，Ｂには合わせて \( 820 \; mL \) の水が入っており，Ｃは空である。容器に入っている水の量について，Ａの \( \dfrac{1}{4} \) とＢの \( \dfrac{1}{3} \) をＣに移す。水を移した後のＣの水の量は，水を移した後のＡの水の量より \( 60 \; mL \) 少なかった。
移した水はすべてＣに入るものとし，水を移す前のＡとＢの水の量をそれぞれ求めなさい。
求める過程も書きなさい。

【解答】
水を移す前のＡの水の量を \( x \; mL \)，Ｂの水の量を \( y \; mL \) とし，
３つの容器の水の量の関係を連立方程式として解くと，
　\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=820 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{3}=\dfrac{3}{4}x-60 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
　➁ \(  \times 12 \) し，整理すると，
　　\( 3x+4y=9x-720 \)
　　\( 6x-4y=720 \)
　　\( 3x-2y=360 \) ･･･ ➁’
　➀ \(  \times 2 \) すると，
　　\( 2x+2y=1640 \) ･･･ ➀’
　➁’\( + \)➀’
　　\( 5x=2000 \)
　　 \( x=400 \)
　➀に代入すると，
　　\( 400+y=820 \)
　　　　　 \( y=420 \)

よって，
水を移す前のＡの水の量は，\( 400 \; mL \)
水を移す前のＢの水の量は，\( 420 \; mL \)

 

大問５

コンピュータの画面に，画面１のような，２つの合同な長方形 \( ABCD \) と \( EFGH \) があり，点 \( B \) と点 \( E \) が，点 \( C \) と点 \( H \) がそれぞれ重なっている。
画面２は点 \( C(H) \) を固定し，\( H \) を中心として長方形 \( EFGH \) を時計回りに回転させている途中である。また，辺 \( AB \) と辺 \( EF \) との交点を \( I \) とする。
画面３は長方形 \( EFGH \) を回転させ続け，対角線 \( AC \) 上に点 \( E \) が，対角線 \( HF \) 上に点 \( B \) が同時に重なった場面である。
画面３のとき，\( EI=BI \) となることを証明しなさい。

【解答】

補助線 \( CI \) をひくと，
\( △CEI \) と \( △CBI \) において，
　\( CI \) は共通 ･･･ ➀
長方形の内角なので，
　\( ∠CEI=∠CBI \) ･･･ ➁
合同な長方形の重なり合う辺であったので，
　\( EC=BC \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
斜辺と他の１組の辺が等しい直角三角形なので，
　\( △CEI≡△CBI \)
合同な三角形の対応する辺は等しいので，\( EI=BI \)

 

大問６

右の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフと直線 \( l \) があり，２点 \( A，B \) で交わっている。\( A，B \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( -2，6 \) である。
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( 1 \)
【解説】
点 \( A \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -2 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-2)^2=1 \)

 

（２） ２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

【解答】
\( y=x+3 \)
【解説】

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 6^2=9 \)
直線 \( AB \) は，２点 \( A(-2，1)，B(6，9) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{9-1}{6-(-2)}=1 \)
直線 \( AB \) の式を \( y=x+b \) とし，
\( x=6，y=9 \) を代入すると，
　\( 9=6+b \)
　\( b=3 \)

よって，直線 \( AB \) の式は，\( y=x+3 \)

 

（３） 関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフ上に点 \( P \) をとり，\( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とする。ただし，\( 0<t<6 \) とする。
また，\( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線を \( m \) とする。\( m \) と \( l \) との交点を \( Q \)，\( m \) と \( x \) 軸との交点を \( R \) とする。
\( QP=PR \) となる \( t \) の値を求めなさい。

【解答】
\( t=1+\sqrt{7} \)
【解説】

３点 \( P，Q，R \) の座標は，それぞれ
　\( P \left( t，\dfrac{1}{4}t^2 \right)，Q(t，t+3)，R(t，0) \)
と表すことができるので，
　\( QP=(t+3)-\dfrac{1}{4}t^2，PR=\dfrac{1}{4}t^2 \)
と表すことができます。

\( QP=PR \) であるとき，
　\( (t+3)-\dfrac{1}{4}t^2=\dfrac{1}{4}t^2 \)
　 \( 4(t+3)-t^2=t^2 \)
　 \( 2t^2ー4t-12=0 \)
　　　\( t^2ー2t-6=0 \)
　　　　　　　 \( t=\dfrac{2±\sqrt{4+24}}{2} \)
　　　　　　　　 \( =1+\sqrt{7} \) ( \( 0<t<6 \) より)

 

大問７

右の図のような，底面が \( AB=DE=10 \; cm，AC=DF=8 \; cm \) の直角三角形で，高さが \( 3\sqrt{2} \; cm \) の三角柱がある。
辺 \( AB \) 上に \( AP：PB=1：2 \) となる点 \( P \) をとり，辺 \( DE \) 上に \( DQ：QE=1：2 \) となる点 \( Q \) をとる。
このとき,次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） 辺 \( EF \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( 6 \; cm \)
【解説】
\( △DEF \) において，三平方の定理より，
　\( EF^2=10^2-8^2=36 \)
　 \( EF=6 \; (cm) \) (\( EF>0 \) より)

 

（２） 点 \( P \) を通り辺 \( AC \) に平行な直線と辺 \( BC \) との交点を \( R \)，点 \( Q \) を通り辺 \( DF \) に平行な直線と辺 \( EF \) との交点を \( S \) とする。

①　四角形 \( PRSQ \) の面積を求めなさい。

【解答】
\( 16\sqrt{2} \; cm^2 \)
【解説】

\( △QES \) と \( △DEF \) において，\( QS//DF \) より，
\( △QES \) ∽ \( △DEF \) なので，
　\( QS：DF=QE：DE \)
　　 \( QS：8=2：(2+1) \)
　　　 \( QS=\dfrac{16}{3} \; (cm) \)
\( △QES \) と \( △DEF \) についても同様なので，
　\( PR=\dfrac{16}{3} \; (cm) \)

\( AB=DE，AP：PB=1：2，DQ：QE=1：2 \) より，\( AP=DQ \)
さらに，\( AB//DE \) でもあるので，
１組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので，
四角形 \( APQD \) は平行四辺形であり。
　\( PQ=AD=3\sqrt{2} \; cm \)

四角形 \( PRSQ \) は長方形なので，面積は，
　\( \dfrac{16}{3} \times 3\sqrt{2}=16\sqrt{2} \; (cm^2) \)

 

➁　線分 \( AS \) と線分 \( CQ \) の交点を \( T \) とするとき，５点 \( T，P，R，S，Q \) を結んでできる四角錐の体積を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{64\sqrt{2}}{15} \; cm^3 \)
【解説】

四角すい \( T-PRSQ \) は，
➀で底面 \( PRSQ \) の面積がわかっているので，
高さがわかれば体積を求めることができます。

\( T \) から面 \( BEFC \) に垂線をひき，
交点を \( U \) とすると，
四角すい \( T-PRSQ \) と四角すい \( U-PRSQ \) の
体積が等しくなります。

\( U \) から面 \( PRSQ \) に垂線をひき，
交点を \( V \) とすると，\( UV \) が高さとなるので，
\( UV \) を求めればいいことになります。

\( T \) は面 \( ACSQ \) 上の点なので，面 \( ACSQ \) に注目すると，
\( AC//QS \) より，\( △TAC \) ∽ \( △TSQ \) であり，
　\( TA：TS=AC：SQ=8：\dfrac{16}{3}=3：2 \)

\( T \) から線分 \( CS \) に垂線をひき，交点を \( U \) とすると，
\( CU \) は \( △TAC \) の高さ，\( SU \) は \( △TSQ \) の高さ
と考えることができ．
相似な三角形は高さの比も相似比と等しいので，
　\( CU：SU=3：2 \)

次に，\( △CRS \) に注目すると，
\( U \) から線分 \( RS \) に垂線をひき，交点を \( V \) とすると，
\( UV \) は，四角すい \( U-PRSQ \) の高さになります。

\( △SUV \) と \( △SCR \) において，
\( CR//UV \) なので，\( △SUV \) ∽ \( △SCR \) であり，
　\( UV：CR=SU：SC \)
　　 \( UV：2=2：(2+3) \)
　　　　\( UV=\dfrac{4}{5} \; (cm) \)

 

四角すい \( T-PRSQ \) と四角すい \( U-PRSQ \) の体積は等しいので，
その体積は，
　\( 16\sqrt{2} \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{64\sqrt{2}}{15} \; (cm^3) \)

 

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]]> 大問１

(1)　次の計算をしなさい。
➀　\( (-21) \div 7 \)

【解答】
\( -3 \)

 

➁　\( -\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{6} \)

【解答】
\( \dfrac{1}{12} \)
【解説】
\( =\dfrac{-3 \times 3+5 \times 2}{12} \)
\( =\dfrac{1}{12} \)

 

➂　\( (-3a) \times (-2b)^3 \)

【解答】
\( 24ab^3 \)
【解説】
\( =-3a \times (-8b^3) \)
\( =24ab^3 \)

 

➃　\( \sqrt{8}-\sqrt{18} \)

【解答】
\( -\sqrt{2} \)
【解説】
\( =2\sqrt{2}-3\sqrt{2} \)
\( =-\sqrt{2} \)

 

(2)　ある球の半径を２倍にすると，体積はもとの球の体積の何倍になるか，求めなさい。

【解答】
８倍
【解説】
もとの球の半径を \( r \) とすると，体積は \( \dfrac{4}{3}\pi{}r^3 \) と表すことができます。
ここで，半径を２倍 \( 2r \) にすると，体積は
　\( \dfrac{4}{3}\pi{} \times (2r)^3=\dfrac{4}{3}\pi{} \times 8r^3 \)
　　　　　　　\( =8 \times \dfrac{4}{3}\pi{}r^3 \)
と表すことができます。
よって，体積は８倍になります。

 

大問２

(1)　桃の果汁が \( 31 \; \% \) の割合で含まれている飲み物がある。この飲み物 \( a \; mL \) に含まれている桃の果汁の量は何 \( mL \) か，\( a \) を使った式で表しなさい。

【解答】
\( \dfrac{31}{100}a \; mL \)

 

(2)　等式 \( 3x+2y-4=0 \) を \( y \) について解きなさい。

【解答】
\( y=-\dfrac{3}{2}x+2 \)
【解説】
　\( 3x+2y-4=0 \)
　　　　　　\( 2y=-3x+4 \)
　　　　　　 \( y=-\dfrac{3}{2}x+2 \)

 

(3)　右の図のような，\( △ABC \) がある。
辺 \( AC \) 上にあって，辺 \( AB，BC \) までの距離が等しい点 \( P \) を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，\( P \) の位置を示す文字 \( P \) も書きなさい。
ただし， 作図に用いた線は消さずに残しておきなさい。

【解答】

手順１　点 \( P \) を中心に円弧を描く。
　　　　（線分 \( AB，BC \) との交点を点 \( D，E \) とします。）
手順２　点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
　　　　（交点を点 \( F \) とします。）
手順３　２点 \( B，F \) を通る直線を描く。

手順３の直線と線分 \( AC \) の交点が，求める点 \( P \) になります。

【解説】

「点 \( P \) から線分までの距離」というのは，点 \( P \) から線分に垂線をひいたときの垂線の長さになります。
（右の図で線分 \( PQ \) の長さ）

また，右の図のように点 \( P \) と二直線までの距離が等しいとき，
斜辺と他の１辺の長さが等しいので，\( △BPQ≡△BPR \) です。
合同な三角形の対応する角は等しいので，\( ∠PBQ=∠PBR \)
ここから，線分 \( BP \) は \( ∠B \) の二等分線になります。

 

(4)　関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

【解答】
\( 5 \)
【解説】

変化の割合は \( \dfrac{y \; の増加量}{x \; の増加量} \;\;\;\; \) で求めることができます。
\( x=1 \) のとき，\( y \) の値は \( y=1^2=1 \)
\( x=4 \) のとき，\( y \) の値は \( y=4^2=16 \)
よって，
変化の割合 \( =\dfrac{16-1}{4-1}=5 \)

 

(5)　図１は，ある学級の生徒３０人について，先月の図書館の利用回数を調べ，その分布のようすをヒストグラムに表したものである。例えば，利用回数が２回以上４回未満の生徒は３人であることがわかる。また，図２のア～エのいずれかは，この利用回数の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。その箱ひげ図をア～エの中から１つ選び，記号で答えなさい。
　　

【解答】
エ
【解説】

学級の生徒３０人が３０人なので，
第一四分位数は少ない方から８番目の人の値，
中央値は１５番目と１６番目の人の値の平均値，
第三四分位数は多い方から８番目の人の値です。

図１のヒストグラムから
第一四分位数が含まれる階級は６回以上８回未満，
中央値が含まれる階級は８回以上１０回未満，
第三四分位数が含まれる階級は１２回以上１４回未満
なので，
これらをすべて満たしている箱ひげ図は エ です。

 

大問３

(1)　右の図のように，袋の中に \( 1，2，3 \) の数字が１つずつ書かれた３個の玉が入っている。Ａ，Ｂの２人が，この袋の中から，<取り出し方のルール> の (ア) ，(イ) のいずれかにしたがって，１個ずつ玉を取り出し，書かれた数が大きいほうの玉を取り出した人が景品をもらえるゲームを考える。書かれた数が等しい場合には２人とも景品はもらえない。ただし，どの玉を取り出すことも同様に確からしいものとする。

<取り出し方のルール>
(ア)　はじめにＡが玉を取り出す。次に，その取り出した玉を袋の中にもどし，よくかき混ぜてからＢが玉を取り出す。
(イ)　はじめにＡが玉を取り出す。次に，その取り出した玉を袋の中にもどさず，続けてＢが玉を取り出す。

➀　ルール (ア) にしたがったとき，Ａが景品をもらえる確率を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{1}{3} \)
【解説】
ＡとＢが取り出した玉の数字の組み合わせを樹形図で表し，Ａが景品がもらえる場合に ○ をつけてみます。
Ａが景品がもらえる組み合わせは３通り，すべての組み合わせは９通りなので，
確率は，\( \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} \)

 

➁　Ａが景品をもらえない確率が大きいのは，ルール (ア)，(イ) のどちらのルールにしたがったときか。ア，イの記号で答え，その確率も書きなさい。

【解答】
ルール (ア) にしたがったとき
確率 ･･･ \( \dfrac{2}{3} \)
【解説】
【ルール (ア) の場合】
➀ より，Ａが景品をもらえる確率は \( \dfrac{1}{3} \) なので，もらえない確率は，\( 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \)

【ルール (イ) の場合】
➀ の場合と同様に樹形図に表すと，
Ａが景品がもらえない組み合わせは３通り，すべての組み合わせは６通りなので，
確率は，\( \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} \)

以上より，Ａが景品をもらえない確率が大きいのは，ルール (ア) の場合になります。

 

(2)　図１のように，整数を \( 1 \) から順に１段に７つずつ並べたものを考え，縦，横に２つずつ並んでいる４つの整数を四角形で囲む。ただし，◦は整数を省略したものであり，囲んだ位置は例である。
このとき，囲んだ４つの整数を
　　
とすると， \( ad-bc \) はつねに同じ値になる。

➀　\( ad-bc \) の値を求めなさい。

【解答】
\( -7 \)
【解説】
４つの数字 \( 1，2，8，9 \) を囲んだとすると，\( a=1，b=2，c=8，d=9 \) となるので，
　\( ad-bc=1 \times 9-2 \times 8=-7 \)

 

➁　図２のように，１段に並べる整数の個数を \( n \) に変えたものを考える。ただし，\( n \) は \( 2 \) 以上の整数とする。
このとき，\( ad-bc \) はつねに \( n \) を使って表された同じ式になる。その式を解答用紙の(　　　)の中に書きなさい。また，それがつねに成り立つ理由を説明しなさい。

【解答】
左上の数を \( a \) とすると，\( b，c，d \) はそれぞれ，
\( b=a+1，c=a+n，d=a+n+1 \) と表すことができます。

このとき，
　\( ad-bc=a(a+n+1)-(a+1)(a+n) \)
　　　　　\( =(a^2+an+a)-(a^2+an+a+n) \)
　　　　　\( =-n \)

よって，\( a \) の値にかかわらず，\( ad-bc \) の値は \( -n \) で一定になります。

 

大問４

ある中学校で地域の清掃活動を行うために，生徒２００人が４人１組または５人１組のグループに分かれた。ごみ袋を配るとき，１人１枚ずつに加え，グループごとの予備として４人のグループには２枚ずつ，５人のグループには３枚ずつ配ったところ，配ったごみ袋は全部で３１４枚であった。
このとき，４人のグループの数と５人のグループの数をそれぞれ求めなさい。求める過程も書きなさい。

【解答】
４人１組のグループ数を \( a \) 組，５人１組のグループ数を \( b \) 組とすると，
生徒数の関係を表す方程式は，
　\( 4a+5b=200 \) ･･･ ➀
配ったごみ袋の枚数を表す方程式は，
　\( 2a+3b+200=314 \) ･･･ ➁
これらを連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
4a+5b=200 ･･･ ➀ \\
2a+3b+200=314 ･･･ ➁ \\
\end{array} \right. \)
➁ より，
　\( 2a+3b=114 \) ･･･ ➁’
➁’\( \times 2-\) ➀
　\( b=28 \)
➀ に代入すると，
　\( 4a+5 \times 28=200 \)
　　 \( 4a+140=200 \)
　　　　　　\( 4a=60 \)
　　　　　　 \( a=15 \)

よって，４人１組のグループ数は１５組，５人１組のグループ数は２８組になります。

 

大問５

下の図のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) の周上に，直線 \( AB \) に対して反対側にある２点 \( C，D \) を \( AC//DO \) となるようにとる。また，線分 \( AB \) と線分 \( CD \) との交点を \( E \) とする。
このとき，次の (1)，(2) の問いに答えなさい。

(1)　\( △EDO \) ∽ \( △EBD \) となることを証明しなさい。

【解答】

\( △EDO \) と \( △EBD \) において，
\( AC//DO \) より，錯角が等しいので，\( ∠ACD=∠EDO \) ･･･ ➀
弧 \( AD \) の円周角なので，\( ∠ACD=∠EBD \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠EDO=∠EBD \) ･･･ ➂
\( ∠E \) は共通 ･･･ ➃
➂➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，\( △EDO \) ∽ \( △EBD \)

 

(2)　\( AC：DO=7：9 \) であるとき，\( △EDO \) と \( △EBD \) の相似比を求めなさい。

【解答】
\( 3：5 \)
【解説】

\( △ACE \) と \( △EDO \) において，
\( AC//DO \) より，錯角が等しいので，
　\( ∠ACE=∠ODE \) ･･･ ➀
　\( ∠CAE=∠DOE \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ACE \) ∽ \( △EDO \)
\( AC：DO=7：9 \) より，相似比は \( 7：9 \)
よって，\( EA：EO=7：9 \)

\( BO，OA \) は円 \( O \) の半径なので，\( BO=OA=EA+EO \) より，
\( EO：BO=EO：EA+EO=9：(7+9)=9：16 \)
ここから，
\( EO：EB=EO：EO+BO=9：(16+9)=9：25 \)

\( △EDO \) の底辺を線分 \( EO \)，\( △EBD \) の底辺を線分 \( EB \) とすると，
高さが共通になっているので，底辺の長さの比が面積比になります。
ここから，\( △EDO \) と \( △EBD \) の面積比は，
　\( △EDO：△EBD=EO：EB=9：25=3^2：5^2 \)

相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しいので，
\( △EDO \) と \( △EBD \) の相似比は，\( 3：5 \)

 

大問６

図１のように，反比例 \( y=\dfrac{a}{x} \;\; (x>0) \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，\( A \) の \( y \) 座標は \( 6 \)，\( B \) の \( x \) 座標は \( 2 \) である。また，比例 \( y=ax \) のグラフ上に点 \( C \)，\( x \) 軸上に点 \( D \) があり，\( A \) と \( D \) の \( x \) 座標，\( B \) と \( C \) の \( x \) 座標はそれぞれ等しい。ただし，\( 0<a<12 \) とする。

次の[会話]は，花子さんと太郎さんが四角形 \( ADBC \) について考察し，話し合った内容である。

 

[会話]

花子さん：\( a \) の値を１つとると，２つのグラフが定まり，４つの辺と面積も定まるね。
　　　　　点 \( A \) の座標は，反比例の関係 \( xy=a \) から求めることができそうだよ。
太郎さん：例えば，\( a=1 \) のときの四角形について調べてみようか。
　　　　　　　・・・・・
太郎さん：形を見ると，いつでも台形だね。平行四辺形になるときはあるのかな?
花子さん：私は，面積についても調べてみたよ。そうしたら，\( \underline{a=1} \) のときと面積が等しくなる四角形が
　　　　　他にもう１つあることがわかったよ。

このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。

(1)　図２は，図１において，\( a=1 \) とした場合を表している。このとき，線分 \( BC \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{3}{2} \)
【解説】
\( a=1 \)，点 \( B \) の \( x \) 座標は \( 2 \) なので，
反比例の関係 \( xy=a \) より，
　\( 2 \times y=1 \)
　　　 \( y=\dfrac{1}{2} \)

点 \( C \) は直線 \( y=x \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 2 \) なので，\( y=2 \)

よって，線分 \( BC \) の長さは，\( BC=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \)

 

(2)　四角形 \( ADBC \) が平行四辺形になるときの \( a \) の値を求めなさい。

【解答】
\( a=4 \)
【解説】

平行四辺形の条件の１つ「向かい合う１組の辺が平行で長さが等しい」から，
\( AD=BC \) であるとき，つまり，\( BC=6 \) であるとき，四角形 \( ADBC \) が平行四辺形になります。
点 \( B \) は \( y=\dfrac{a}{x} \) 上の点なので，\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{a}{2} \)
点 \( C \) は \( y=ax \) 上の点なので，\( y \) 座標は，\( y=2a \)
と表すことができます。

よって，\( BC=6 \) であるとき，
　\( 2a-\dfrac{a}{2}=6 \)
　　　 \( \dfrac{3}{2}a=6 \)
　　　　\( 3a=12 \)
　　　　 \( a=4 \)

 

(3)　[会話]の下線部について，四角形 \( ADBC \) の面積が \( a=1 \) のときの面積と等しくなるような \( a \) の値を，\( a=1 \) の他に求めなさい。

【解答】
\( a=7 \)
【解説】
まず，\( a=1 \) のときの四角形 \( ADBC \) の面積を求めます。

点 \( A \) の \( y \) 座標は \( 6 \) なので，
反比例の関係 \( xy=a \) より，
　\( x \times 6=1 \)
　　　\( x=\dfrac{1}{6} \)
ここから，四角形 \( ADBC \) の高さは，
\( 2-\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{6} \) になります。

よって，\( BC=\dfrac{3}{2}，AD=6 \)，高さ \( =\dfrac{11}{6} \) より，
四角形 \( ADBC=\left( \dfrac{3}{2}+6 \right) \times \dfrac{11}{6} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{55}{8} \)

次に，\( a=1 \) 以外のときの四角形 \( ADBC \) の面積を \( a \) を使って表します。

点 \( A \) の \( y \) 座標は \( 6 \) なので，
反比例の関係 \( xy=a \) より，
　\( x \times 6=a \)
　　　\( x=\dfrac{a}{6} \)
ここから，四角形 \( ADBC \) の高さは，\( 2-\dfrac{a}{6} \) と表せます。

また，(2) より，\( BC \) の長さは，\( 2a-\dfrac{a}{2}=\dfrac{3}{2}a \) と表せるので，
四角形 \( ADBC=\left( \dfrac{3}{2}a+6 \right) \times \left( 2-\dfrac{a}{6} \right) \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{(3a+12)(12-a)}{24} \)
　　　　　　　 \( =\dfrac{(a+4)(12-a)}{8} \)

四角形 \( ADBC \) の面積が等しくなるとき，
　\( \dfrac{(a+4)(12-a)}{8}=\dfrac{55}{8} \)
　 \( (a+4)(12-a)=55 \)
　　\( -a^2+8a+48=55 \)
　　　 \( a^2-8a+7=0 \)
　　\( (a-1)(a-7)=0 \)
　　　　　　　　　\( a=1，7 \)

\( a=1 \) の他を求めるので，あてはまるのは，\( a=7 \)

 

大問７

下の図のように，底面が１辺 \( 2 \; cm \) の正方形で，高さが \( \sqrt{15} \; cm \) の正四角柱と，正方形 \( EFGH \) のすべての辺に接する円 \( O \) を底面とする円錐があり，それらの高さは等しい。また，線分 \( EF \) と円 \( O \) との接点 \( I \) から円錐の側面にそって１周して \( I \) にもどるひもが，最も短くなるようにかけられている。ただし，円錐において，頂点と点 \( O \) を結ぶ線分は底面に垂直である。
このとき，次の (1)～(3) の問いに答えなさい。

(1)　円錐の母線の長さを求めなさい。

【解答】
\( 4 \; cm \)
【解説】

この正四角柱と円錐を面 \( BFGC \) が正面になるように見ると，右の図のようになります。
円錐の頂点と正四角柱の接点を \( Q \) とすると，線分 \( QF(QI) \) が母線になります。
\( △OQF \) において，三平方の定理より，
　\( QF^2=OQ^2+OF^2=( \sqrt{15})^2+1^2=16 \)
　 \( QF=4 \; (cm) \) （ \( QF>0 \)より ）

 

(2)　ひもの長さを求めなさい。ただし，ひもの太さや伸び縮みは考えないものとする。

【解答】
\( 4\sqrt{2} \; cm \)
【解説】

円錐の側面を線分 \( QI \) で切って展開すると，
半径 \( 4 \; cm \) のおうぎ形になります。
このおうぎ形の弧の長さは底面である
直径 \( 2 \; cm \) の円周の長さと等しいので，
\( 2\pi{} \; cm \)

半径 \( 4 \; cm \) の円周の長さは \( 8\pi{} \; cm \) なので，
おうぎ形の中心角の大きさは \( 360° \times \dfrac{2\pi{}}{8\pi{}}=90° \)

ここで， \( △QII \) は直角二等辺三角形なので，
ひもの長さは，\( 4\sqrt{2} \; cm \)

 

(3)　ひもの通る線上に点 \( P \) をとる。\( P \) を頂点とし，四角形 \( ABCD \) を底面とする四角錐の体積が最も小さくなるとき，その体積を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{2\sqrt{30}}{3} \; cm^3 \)
【解説】

四角錐の体積が最も小さくなるのは，点 \( P \) と四角形 \( ABCD \) の距離が最も小さくなるときなので，線分 \( PQ \) の長さが最も短くなるときであるともいえます。

線分 \( PQ \) の長さが最も短くなるのは，円錐の側面の展開図において，線分 \( PQ \) とひもが垂直に交わるときなので，
\( △PQI \) は斜辺が \( 4 \; cm \) の直角二等辺三角形になります。
よって，\( PQ=\dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} \; (cm) \)

ここで，点 \( P \) から線分 \( QO \) に垂線をひき，交点を \( R \) とすると，\( △QPR \) ∽ \( △QGO \) なので，
　\( QP：QG=QR：QO \)
　　\( 2\sqrt{2}：4=QR：\sqrt{15} \)
　　　 \( 4QR=2\sqrt{30} \)
　　　　\( QR=\dfrac{\sqrt{30}}{2} \; (cm) \)

以上より，四角錐の体積は，
　\( 2 \times 2 \times \dfrac{\sqrt{30}}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2\sqrt{30}}{3} \; (cm^3) \)

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