秋田 - 数学基礎トレーニングルーム

秋田県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sun, 04 May 2025 13:00:28 +0000

大問１

（１） \( -2×(4-7) \) を計算しなさい。

【解答】

\( 6 \)

【解説】

\( =-2×(-3) \)
\( =6 \)

（２） \( 5a+2b-2(3a-b) \) を計算しなさい。

【解答】

\( -a+4b \)

【解説】

\( =5a+2b-6a+2b \)
\( =-a+4b \)

（３）ある数 \( x, y \) があり，\( y \) は \( x \) を２倍して \( 3 \) を加えた数より大きい。\( x \) と \( y \) の関係を不等式で表しなさい。

【解答】

\( y>2x+3 \)

【解説】

\( x \) を２倍して \( 3 \) を加えた数は，\( 2x+3 \) と表すことができるので，
\( y>2x+3 \) となります。

（４）等式 \( 4a+5b=8 \) を \( a \) について解きなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{-5b+8}{4} \) または，\( -\dfrac{5}{4}b+2 \)

【解説】

\( 4a=-5b+8 \)
\( a=\dfrac{-5b+8}{4} \) または，\( a=-\dfrac{5}{4}b+2 \)

（５） \( \sqrt{18}-\dfrac{4}{\sqrt{2}} \) を計算しなさい。

【解答】

\( \sqrt{2} \)

【解説】

\( =3\sqrt{2}-\dfrac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{2}-2\sqrt{2} \)
\( =\sqrt{2} \)

（６）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+y=5 \\
x-2y=11 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=3，y=-4 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
3x+y=5 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
x-2y=11 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 2 \) すると，
　\( 6x+2y=10 \) ･･･ ➀’
➀’\( + \) ➁ すると，
　\( 7x=21 \)
　 \( x=3 \)
➀ に代入すると，
　\( 3 \times 3+y=5 \)
　　　 \( 9+y=5 \)
　　　　　 \( y=-4 \)

（７）方程式 \( 3x^2-x-1=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{1±\sqrt{13}}{6} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-1)±\sqrt{(-1)^2-4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} \)
　　\( =\dfrac{1±\sqrt{1+12}}{6} \)
　　\( =\dfrac{1±\sqrt{13}}{6} \)

（８） \( x=1+\sqrt{5} \) のとき，\( x^2-2x-3 \) の値を求めなさい。

【解答】

\( 1 \)

【解説】

与式を因数分解すると，
　\( x^2-2x-3=(x+1)(x-3) \)
\( x=1+\sqrt{5} \) を代入すると，
　\( (x+1)(x-3)=(2+\sqrt{5})(-2+\sqrt{5}) \)
　　　　　　　　　\( =(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) \)
　　　　　　　　　\( =5-4 \)
　　　　　　　　　\( =1 \)

（９）袋の中に，白い碁石だけがたくさん入っている。白い碁石のおよその数を調べるため，この袋の中に黒い碁石を \( 100 \) 個入れ，碁石をよくかき混ぜてから \( 50 \) 個の碁石を無作為に抽出したところ，黒い碁石は \( 7 \) 個含まれていた。袋の中に，白い碁石はおよそ何個入っていたと推定できるか。四捨五入して，十の位まで求めなさい。

【解答】

およそ \( 610 \) 個

【解説】

母集団に含まれる黒い碁石の個数と標本に含まれる黒い碁石の個数の割合（比）は等しいと考えられます。

袋の中の白い碁石の個数を \( x \) 個とすると，
　母集団（袋の中）の碁石の数･･･ \( x+100 \) 個
　母集団に含まれる黒い碁石の個数･･･ \( 100 \) 個
　標本（取り出した）の碁石の数･･･ \( 50 \) 個
　標本に含まれる黒い碁石の個数･･･ \( 7 \) 個
となるので，
　\( x+100：100=50：7 \)
　　\( 7(x+100)=50 \times 100 \)
　　　\( 7x+700=5000 \)
　　　　　　 \( 7x=4300 \)
　　　　　　　 \( x=614.28･･･ \)

四捨五入して，十の位まで求めるということは，「一の位を四捨五入する」ということなので，
一の位を四捨五入すると，\( x=610 \) となり，
袋の中の白い碁石はおよそ \( 610 \) 個

（１０） \( n \) は自然数である。\( \dfrac{n}{12}，\dfrac{360}{n} \) がともに整数となる \( n \) は全部で何個あるか，求めなさい。

【解答】

８個

【解説】

\( \dfrac{n}{12} \) が整数となるのは，\( n \) が \( 12 \) の倍数のとき
\( \dfrac{360}{n} \) が整数となるのは，\( n \) が \( 360 \) の約数のとき
なので，\( \dfrac{n}{12}，\dfrac{360}{n} \) がともに整数となるのは，
\( n \) が \( 12 \) の倍数でもあり，\( 360 \) の約数でもあるときです。

\( 360=12 \times 30=12 \times (2 \times 3 \times 5) \) であることから，
\( 12 \) の倍数でもあり，\( 360 \) の約数でもある数 \( n \) を \( n=12 \times m \) と表すとき，
\( m \) は，\( 30 \) の約数になります。
\( 30 \) の約数は \( 1，2，3，5，6，10，15，30 \) なので，
あてはまる \( n \) は，
　\( n=12 \times 1=12 \)
　\( n=12 \times 2=24 \)
　\( n=12 \times 3=36 \)
　\( n=12 \times 5=60 \)
　\( n=12 \times 6=72 \)
　\( n=12 \times 10=120 \)
　\( n=12 \times 15=180 \)
　\( n=12 \times 30=360 \)
の８個になります。

（１１）右の図のように，正方形 \( ABCD \)，正三角形 \( PQR \) がある。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠x=35° \)

【解説】

辺 \( AD \) と辺 \( PQ，PR \) の交点をそれぞれ \( E，F \) とすると，
対頂角は等しいので，\( ∠PEF=∠AEQ=25° \)，
正三角形 \( PQR \) の内角なので，\( ∠EPF=60° \)
ここから，\( △PEF \) の外角なので，\( ∠EFR=∠PEF+∠EPF=25°+60°=85° \)

正方形の向かい合う辺は平行なので，錯角は等しく，
\( ∠FHC=∠EFR=85° \)

辺 \( BC \) と辺 \( QR，PR \) の交点をそれぞれ \( G，H \) とすると，
対頂角は等しいので，\( ∠RGH=∠BGQ=x \)，
正三角形 \( PQR \) の内角なので，\( ∠GRH=60° \)
ここから，\( △RGH \) の外角なので，\( ∠GHF=∠RGH+∠GRH=x+60° \)

３点 \( G，H，C \) は一直線上の点なので，
　\( ∠GHF+∠FHC=180° \)
　　\( (x+60°)+85°=180° \)
　　　　　　　　　 \( x=35° \)

（１２）右の図で，４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点であり，線分 \( AC \) は円 \( O \) の直径である。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠x=54° \)

【解説】

\( \stackrel{\huge\frown}{ AD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACD=∠ABD=x \)
直径 \( AC \) に対する円周角なので，
　\( ∠ADC=90° \) ，
線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を点 \( E \) とすると，
　\( ∠CDE=∠ADC-∠ADE \)
　　　　　\( =90°-44° \)
　　　　　\( =46° \)
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
　\( ∠ACD=180°-(∠CDE+∠CED) \)
　　　　　\( =180°-(46°+80°) \)
　　　　　\( =54° \)

（１３）右の図のように，\( △ABC \) がある。点 \( D \) は辺 \( BC \) の中点であり，点 \( E,F \) は辺 \( AC \) を３等分する点である。点 \( G \) は線分 \( AD \) と線分 \( BE \) の交点である。\( DF=5 \; cm \) のとき，線分 \( BG \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{15}{2} \; cm \)

【解説】

\( △CDF \) と \( △CBE \) に注目すると，
　\( CD：CB=CF：CE=1：2 \)
　\( ∠C \) は共通
なので，
\( △CDF \) ∽ \( △CBE \) で，相似比は \( 1：2 \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( DF：BE=1：2 \)
　　 \( 5：BE=1：2 \)
　　　　\( BE=10 \; (cm) \)

\( △AGE \) と \( △ADF \) に注目すると，
\( △CDF \) ∽ \( △CBE \) より，
\( DF // BE \) なので，
　\( ∠AGE=∠ADF，∠AEG=∠AFD \)
であり，\( △AGE \) ∽ \( △ADF \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( GE：DF=AE：AF \)
　\( GE：DF=1：2 \)
　　 \( GE：5=1：2 \)
　　　　\( GE=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)

以上より，
　\( BG=BE-GE \)
　　　\( =10-\dfrac{5}{2} \)
　　　\( =\dfrac{15}{2} \; (cm) \)

（１４）右の図は，すべての辺の長さが \( 6 \; cm \) の正四角錐の展開図である。この展開図を組み立ててできる正四角錐の体積を求めなさい。

【解答】

\( 36\sqrt{2} \; cm^3 \)

【解説】

組み立てた正四角すいを \( O-ABCD \)，底面の正方形 \( ABCD \) における対角線の交点を \( P \)
とすると，\( OP \) がこの正四角すいの高さになります。

このとき，\( △OAP \) に注目すると，
正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
　\( AP=\dfrac{1}{2}AC \)
　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2}AB \)
　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 6 \)
　　　\( =3\sqrt{2} \; (cm) \)

三平方の定理より，
　\( OP^2=OA^2-AP^2 \)
　　　　\( =6^2-(3\sqrt{2})^2 \)
　　　　\( =18 \)
　　\( OP=3\sqrt{2} \; (cm) \) (\( OP>0 \) より)

よって，この正四角すいの体積は
　\( (6 \times 6) \times 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=36\sqrt{2} \; (cm^3) \)

（１５）図１のように, 底面の半径が \( 8 \; cm \), 高さが \( 18 \; cm \) の円柱の形をした容器に,底から \( 10 \; cm \) の高さまで水を入れ, 水平な台の上に置いた。この容器に、図２のように, 半径 \( 3 \; cm \) の球の形をした穴の空いていないガラス玉４個を, 水がこぼれないように入れたところ,水面が上昇した。このとき, 容器の底から水面までの高さを求めなさい。ただし, 容器の厚みは考えないものとする。

【解答】

\( \dfrac{49}{4} \; cm \)

【解説】

ガラス玉４個を入れた後の見かけの水の体積は
　見かけの水の体積 \( = \) 水の体積 \( + \) ガラス玉４個の体積
になります。
つまり，水面が上昇した分の体積は，ガラス玉４個の体積と等しくなります。

ガラス玉４個を入れたことで上昇した水面の高さを \( x \; cm \) とすると，
水面が上昇した分の体積は，
　\( \pi{} \times 8^2 \times x \; (cm^3) \)
ガラス玉４個の体積は，
　\( \left(\dfrac{4}{3} \times \pi{} \times 3^3 \right) \times 4 \; (cm^3) \)
なので，
　\( \pi{} \times 8^2 \times x=\left(\dfrac{4}{3} \times \pi{} \times 3^3 \right) \times 4 \)
　　　　 \( 2^2x=3^2 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{9}{4} \; (cm) \)
よって，容器の底から水面までの高さは，
　\( 10+\dfrac{9}{4}=\dfrac{49}{4} \; (cm) \)

大問２

（１）ある学級でクイズ大会を行った。クイズは全部で \( 20 \) 問出題され，参加者はすべてのクイズに解答した。正解の場合は１問につき \( 10 \) 点加点され，不正解の場合は１問につき \( 5 \) 点減点される。このクイズ大会の優勝者の最終得点は \( 155 \) 点だった。
佳奈さんは，優勝者の正解数を求めるために，正解数を \( x \) 問として方程式をつくった。佳奈さんの［メモ］が正しくなるように，　　ａ　　にあてはまる式を書きなさい。

［メモ］
　・正　解･･･１問につき「\( +10 \) 点」
　・不正解･･･１間につき「\( -5 \) 点」
　・正解と不正解の数を合わせると \( 20 \) 問
　正解数を \( x \) 問とすると,
　　　　ａ　　 \( =155 \)

【解答】

　ａ　･･･ \( 10x-5(20-x) \)

【解説】

全部で \( 20 \) 問出題されたので，不正解だったのは \( 20-x \) 問であり，
　\( x \) 問正解して加点された得点は \( 10x \) 点･･･ ➀
　不正解により減点された得点は \( -5(20-x) \) 点･･･ ➁
と表すことができます。

このとき，最終得点(➀，➁)の合計は \( 155 \) 点だったので，
これらの関係を表す方程式は，
　\( 10x-5(20-x)=155 \)

（２）大和さんは，連続する３つの整数にはどのような性質があるか，次のように調べて予想した。大和さんの［予想］がいつでも成り立つことの［説明］が正しくなるように，　ア　，　イ　には式を，　ウ　には説明の続きを書き，完成させなさい。

[調べたこと]

　・ \( 1，2，3 \) のとき
　　　 \( 1+3=4 \)
　　　　　　 \( =2×2 \)

・ \( 2，3，4 \) のとき
　　 \( 2+4=6 \)
　　　　　 \( =3×2 \)

・ \( 3，4，5 \) のとき
　　 \( 3+5=8 \)
　　　　　 \( =4×2 \)

［予想］
　最も小さい整数と最も大きい整数の和は,真ん中の整数の２倍になる。

［説明］
\( n \) を整数とすると, 連続する３つの整数は小さいものから順に，\( n \)，　ア　，　イ　と表すことができる。このとき，最も小さい整数と最も大きい整数の和を，\( n \) を用いて表すと，
　ウ　
したがって, 最も小さい整数と最も大きい整数の和は, 真ん中の整数の２倍になる。

【解答】

　ア　･･･ \( n+1 \)
　イ　･･･ \( n+2 \)
　ウ　
　\( n+(n+2)=2n+2 \)
　　　　　　　\( =2(n+1) \)
\( n+1 \) は真ん中の整数なので，\( 2(n+1) \) は真ん中の整数の２倍である。

（３）次の図のように，\( △ABC \) がある。辺 \( BC \) 上に，\( ∠APC=90° \) となる点 \( P \) を，定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

【解答・解説】

\( ∠APC=90° \)　ということは，直線 \( AP \) と直線 \( PC \) は垂直に交わるということです。
点 \( P \) は，辺 \( BC \) 上の点なので，直線 \( AP \) と辺 \( BC \) は垂直に交わるともいえます。
つまり，直線 \( AP \) は辺 \( BC \) の垂線になります。

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（辺 \( BC \) との交点を点 \( D，E \) とします。）
手順２　２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( F \) とします。）
手順３　２点 \( A，F \) を通る直線を描く。

手順３の直線と辺 \( BC \) との交点が求める点 \( P \) になります。

（４）次の①，②の問いに答えなさい。

① 右の図のような１次関数 \( y=ax+b \) (\( a，b \) は定数) のグラフが
ある。このときの \( a，b \) について，式の値が必ず正の数となるものを，
次のア～エから１つ選んで記号を書きなさい。

　　ア　\( a+b \) 　　イ　\( a-b \) 　　ウ \( b-a \) 　　エ　\( ab \)

【解答】

ウ \( b-a \)

【解説】

\( y=ax+b \) の直線は右下がりになっているので，
傾き \( a \) は負の値になります。
また，グラフより \( y \) 切片 \( b \) は正の値になっています。

よって，
ア　\( a+b \) の値は負の数 \( + \) 正の数で求められるので，
\( a \) の絶対値の方が大きいとき，\( a+b \) の値は負の数になります。

イ　\( a-b \) の値は負の数 \( – \) 正の数で求められるので，\( a-b \) の値は必ず負の数になります。

ウ \( b-a \) の値は正の数 \( – \) 負の数で求められるので，\( b-a \) の値は必ず正の数になります。

エ　\( ab \) の値は負の数 \( \times \) 正の数で求められるので，\( ab \) の値は必ず負の数になります。

② 右の図において，アは関数 \( y=\dfrac{12}{x} \) のグラフである。点 \( A \) はア上の点で，\( x \) 座標は \( 4 \) である。点 \( B \) は \( y \) 軸上の点で，\( y \) 座標は \( 1 \) である。このとき，２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

【解答】

\( y=\dfrac{1}{2}x+1 \)

【解説】

点 \( A \) はア上の点で，\( x \) 座標は \( 4 \) なので，
\( y \) 座標は
　\( y=\dfrac{12}{4}=3 \)
であり，点 \( A \) の座標は \( A(4，3) \)

点 \( B \) は \( y \) 軸上の点で，
\( y \) 座標は \( 1 \) なので，
点 \( B \) の座標は \( B(0，1) \)

直線 \( AB \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{3-1}{4-0}=\dfrac{1}{2} \)
\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) に \( x=0，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=0+b \)
　\( b=1 \)

よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+1 \)

大問３

長方形 \( ABCD \) があり，\( AB

（１）図１のように，折り目が点 \( B \) を通り，点 \( C \) が辺 \( AD \) 上にくるように折り返す。折り目の直線と辺 \( CD \) の交点を \( E \) とする。\( ∠ABP=60° \) のとき，\( ∠BEP \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠BEP=75° \)

【解説】

長方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠PBC=∠ABC-∠ABP \)
　　　　　\( =90°-60° \)
　　　　　\( =30° \) ･･･ ➀
\( △BPE \) は \( △BCE \) を折り返したものなので，
　\( △BPE≡△BCE \)
であり，対応する角は等しいので，
　\( ∠PBE=∠CBE \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠PBE=\dfrac{1}{2}∠PBC=15° \)

よって，
　\( ∠BEP=180°-(∠PBE+∠BPE) \)
　　　　　\( =180°-(15°+90°) \)
　　　　　\( =75° \)

（２）優さんと光さんは，点 \( C \) が辺 \( AB \) 上にくるように折り返す場合について考えた。折り目の直線と辺 \( AD，BC \) との交点をそれぞれ \( F，G \) とし，点 \( D \) が移った点を \( H \) とする。

①　優さんは，図２のように，点 \( C \) が点 \( A \) に重なるように折り返す場合について考えた。［優さんの説明］が正しくなるように，　ａ　にはあてはまる角を下のア～ウから１つ選んで記号を，　ｂ　にはあてはまる言葉を書きなさい。

［優さんの説明］
図２で，\( △ABG \) と \( △AHF \) が合同であることが証明できます。

［証明］
\( △ABG \) と \( △AHF \) において
仮定から，
　\( AB=CD=AH \) ･･･ ➀
　\( ∠B=∠D=∠H \) ･･･ ➁
また，
\( ∠BAD=∠HAG=90° \) だから,
　\( ∠BAG=90°- \) 　ａ　
　\( ∠HAF=90°- \) 　ａ　
これより，
　\( ∠BAG=∠HAF \) ･･･ ➂
➀，➁，➂より，
　ｂ　から，
　\( △ABG≡△AHF \)

ア \( ∠AFG \) 　　イ \( ∠AGF \) 　　ウ \( ∠FAG \)

【解答】

　ａ　･･･ウ \( ∠FAG \)
　ｂ　･･･１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

➁　優さんの説明を聞いた光さんは，図３のように，点 \( C \) が２点 \( A，B \) を除く辺 \( AB \) 上にくるように折り返す場合について考えた。辺 \( AD \) と線分 \( PH \) の交点を \( I \) とする。［光さんの説明］が正しくなるように，［証明］の続きを書き，完成させなさい。

［光さんの説明］
図３で，\( △API \) と \( △HFI \) が相似であることが証明できます。

［証明］
\( △API \) と \( △HFI \) において
\( \phantom{　　　} \)
\( \phantom{　　　} \)
\( \phantom{　　　} \)
\( \phantom{　　　} \)

【解答】

仮定から，
　\( ∠A=∠H \) ･･･ ➀
対頂角は等しいから,
　\( ∠AIP=∠HIF \) ･･･ ➁
➀，➁より，２組の角がそれぞれ等しいから，
　\( △API \) ∽ \( △HFI \)

（３）図４のような \( AB=12 \; cm \) の長方形を，図５のように，点 \( C \) が辺 \( AB \) の中点に重なるように折り返す。折り目の直線と辺 \( AD，BC \) との交点をそれぞれ \( F，G \) とし，点 \( D \) が移った点を \( H \)，辺 \( AD \) と線分 \( PH \) の交点を \( I \) とする。\( IH=4 \; cm \) のとき，辺 \( BC \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( BC=6\sqrt{7} \; cm \)

【解説】

（２）➁ より，\( △API \) ∽ \( △HFI \) であることを参考にすると，
\( AD=BC \) より，\( AI，IF，FD \) の長さがわかれば，辺 \( BC \) の長さを求められることになります。

【\( AI \) の長さを求める】
\( HP=DC=AB=12 \; cm \) なので，
\( IH=4 \; cm \) より，\( IP=8 \; (cm) \)
\( △API \) において，三平方の定理より，
　\( AI^2=8^2-6^2=28 \)
　 \( AI=2\sqrt{7} \; (cm) \)

【\( IF \) の長さを求める】
\( △API \) ∽ \( △HFI \) より，
　\( IP：IF=AI：HI \)
　　\( 8：IF=2\sqrt{7}：4 \)
　　　 \( IF=\dfrac{16\sqrt{7}}{7} \; (cm) \)

【\( FD \) の長さを求める】
\( △API \) ∽ \( △HFI \) より，
　\( PA：FH=AI：HI \)
　　\( 6：FH=2\sqrt{7}：4 \)
　　　　\( FH=\dfrac{12\sqrt{7}}{7} \; (cm) \)
折り返す前後の同じ線分なので，
　\( FD=FH=\dfrac{12\sqrt{7}}{7} \; cm \)

以上より，
　\( BC=AD=AI+IF+FD \)
　　　　　　 \( =2\sqrt{7}+\dfrac{16\sqrt{7}}{7}+\dfrac{12\sqrt{7}}{7} \)
　　　　　　 \( =6\sqrt{7} \; (cm) \)

\( \phantom{　　　　　} \)

大問４

（１）次の図のように，数直線上の \( 0 \) の位置に点 \( P \) がある。\( 1 \) から \( 6 \) までの目が出るさいころを２回投げて，１回目に出た目を \( a \)，２回目に出た目を \( b \) とする。点 \( P \) は数直線上を正の方向に \( a \) だけ動いた後，負の方向に \( b \) だけ動いて止まる。
このとき，絶対値が \( 1 \) 以下の範囲に，点 \( P \) が止まる確率を求めなさい。ただし，さいころのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

【解答】

\( \dfrac{4}{9} \)

【解説】

止まる場所の数は \( a-b \) で求めることができます。
\( a-b \) の値の絶対値が \( 1 \) 以下の範囲になるのは \( -1≦a-b≦1 \) のときです。
（\( 1 \) 以下なので，\( -1 \) と \( 1 \) も含みます。）

\( a \) と \( b \) の組み合わせとそれぞれの場合における \( a-b \) の値を表に書き出すと，
\( -1≦a-b≦1 \) を満たす組み合わせは \( 16 \) 通り，
全ての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9} \)

（２）ある中学校の３年Ａ組と３年Ｂ組の生徒全員を対象として，１１月に図書館から借りた本の冊数を調べた。次の図は，調べた結果を学級別に分けて，箱ひげ図に表したものである。生徒数は，３年Ａ組が \( 23 \) 人，３年Ｂ組が \( 22 \) 人である。
この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを，下のア～オからすべて選んで記号を書きなさい。

　ア　３年Ａ組の中央値は，３年Ｂ組の中央値と等しい。
　イ　３年Ａ組の最大値は，３年Ｂ組の最大値と等しい。
　ウ　四分位範囲は，３年Ｂ組のほうが３年Ａ組よりも小さい。
　エ　借りた本の冊数が \( 3 \) 冊以上 \( 5 \) 冊以下の人数は，３年Ｂ組のほうが３年Ａ組よりも多い。
　オ　借りた本の冊数が \( 6 \) 冊以上の人数は，３年Ｂ組が３年Ａ組の２倍以上である。

【解答】

イ，オ

【解説】

【正しくない理由】
ア･･･３年Ａ組の中央値は \( 4 \) 冊，３年Ｂ組の中央値は \( 6 \) 冊なので，等しくありません。

ウ･･･３年Ａ組の四分位範囲は \( 5-3=2 \) 冊，
　　　３年Ｂ組の四分位範囲は \( 7-3=4 \) 冊
　　　なので，等しくありません。

エ･･･３年Ａ組の第一四分位数が \( 3 \) 冊，第三四分位数が \( 5 \) 冊であり，生徒数が \( 23 \) 人なので，
　　　第一四分位数になるのは少ない方から \( 6 \) 番目，
　　　第三四分位数になるのは少ない方から \( 18 \) 番目の冊数であり，
　　　借りた本の冊数が \( 3 \) 冊以上 \( 5 \) 冊以下の人数は，少なくとも \( \color{red}{13} \) 人はいるとわかります。

　　　３年Ｂ組の第一四分位数が \( 3 \) 冊，中央値が \( 6 \) 冊であり，生徒数が \( 22 \) 人なので，
　　　中央値になるのは少ない方から \( 11 \) 番目と \( 12 \) 番目の冊数の平均値であり，
　　　借りた本の冊数が \( 3 \) 冊以上 \( 5 \) 冊以下の人数は，多くても \( \color{blue}{10} \) 人とわかります。

　　　よって，３年Ａ組のほうが３年Ｂ組よりも多いことになります。

【正しい理由】
イ･･･最大値は，両組ともに \( 9 \) 冊で等しい。

オ･･･３年Ａ組の第三四分位数が \( 5 \) 冊であり，生徒数が \( 23 \) 人なので，
　　　第三四分位数になるのは多い方から \( 6 \) 番目の冊数であり，
　　　借りた本の冊数が \( 6 \) 冊以上の人数は，多くても \( \color{red}{5} \) 人とわかります。
　　　　　
　　　３年Ｂ組の中央値が \( 6 \) 冊であり，生徒数が \( 22 \) 人なので，
　　　中央値になるのは多い方から \( 11 \) 番目と \( 12 \) 番目の冊数の平均値であり，
　　　借りた本の冊数が \( 6 \) 冊以上の人数は，少なくとも \( \color{blue}{11} \) 人はいるとわかります。
　　　　　
　　　よって，３年Ｂ組が３年Ａ組の２倍以上になっています。

大問５

Ⅰ　次の図のように，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正方形 \( ABCD \) がある。２点 \( P，Q \) は《ルール》にしたがって動く。

《ルール》
２点 \( P，Q \) は点 \( A \) を同時に出発する。点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで，辺 \( AB \) 上を \( A→B→A \) の順に動き，点 \( A \) で止まる。点 \( Q \) は毎秒 \( 2 \; cm \) の速さで，辺 \( AD，DC \) 上を \( A→D→C \) の順に動き，点 \( C \) で止まる。

２点 \( P，Q \) が点 \( A \) を出発してから \( x \) 秒後の \( △APQ \) の面積を \( y \; cm^2 \) とする。ただし，点 \( P \) が点 \( A \) にあるときは \( y=0 \) とする。次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） \( x=4 \) のとき，\( y \) の値を求めなさい。

【解答】

\( y=12 \)

【解説】

\( x=4 \) のとき，
点 \( P \) は，点 \( A \) から \( 4 \; cm \)，
点 \( Q \) は，点 \( A \) から \( 8 \; cm \)
移動していて，
右の図の位置に２点 \( P，Q \) はあるので，
　\( y=4 \times 6 \times \dfrac{1}{2}=12 \; (cm^2) \)

（２） \( x \) と \( y \) の関係を表す最も適切なグラフを，次のア～エから１つ選んで記号を書きなさい。

【解答】

ウ

【解説】

２点 \( P，Q \) が，正方形 \( ABCD \) のどの辺上にあるのかに注目して場合分けをしていきます。

【\( 0≦x≦3 \) の場合】
\( x=3 \) のとき，
点 \( P \) は \( 3 \; cm \)，点 \( Q \) は \( 6 \; cm \)
移動しているので，
\( 0≦x≦3 \) のとき，
点 \( P \) は，辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は，辺 \( AD \) 上
にあります。
この範囲のとき，\( y \) を \( x \) の式で表すと，
　\( y=x \times 2x \times \dfrac{1}{2}=x^2 \)

【\( 3≦x≦6 \) の場合】
\( x=6 \) のとき，
点 \( P \) は \( 6 \; cm \)，点 \( Q \) は \( 12 \; cm \)
移動しているので，
\( 3≦x≦6 \) のとき，
点 \( P \) は，辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は，辺 \( DC \) 上
にあります。
この範囲のとき，\( y \) を \( x \) の式で表すと，
　\( y=x \times 6 \times \dfrac{1}{2}=3x \)

ア～エのうち，\( 0≦x≦3 \) では曲線，\( 3≦x≦6 \) では右上がりの直線になっているのは
ウになります。

（３） \( 6≦x≦12 \) のとき，\( y=8 \) となる \( x \) の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

【解答】

\( 6≦x≦12 \) における \( △APQ \) の底辺を \( AP \)，
高さを \( AD \) とすると，
\( x \) 秒後は，\( AP=12-x \; (cm)，AD=6 \; (cm) \) と表すことができるので，
　\( y=(12-x) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =-3x+36 \)
\( y=8 \) を代入すると，
　 \( 8=-3x+36 \)
　\( 3x=28 \)
　 \( x=\dfrac{28}{3} \)

Ⅱ　次の図のように，\( ∠A=∠B=90° \) の台形 \( ABCD \) があり，\( AB=6 \; cm，BC=15 \; cm，DA=7 \; cm \) である。２点 \( P，Q \) は《ルール》にしたがって動く。

《ルール》
２点 \( P，Q \) は点 \( A \) を同時に出発する。点 \( P \) は毎秒 \( 3 \; cm \) の速さで，台形の辺上を反時計回りに動く。点 \( Q \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで，台形の辺上を時計回りに動く。２点 \( P，Q \) は同じ位置になったとき止まる。

２点 \( P，Q \) が点 \( A \) を出発してから \( x \) 秒後の \( △APQ \) の面積を \( y \; cm^2 \) とする。ただし,２点 \( P，Q \) が同じ位置にあるときは \( y=0 \) とする。次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） \( 0≦x≦2 \) のとき，\( y=3 \) となる \( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=\sqrt{2} \)

【解説】

\( AB=6 \; cm，DA=7 \; cm \) より，\( 0≦x≦2 \) のとき，
点 \( P \) は辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は辺 \( DA \) 上を移動しています。

\( x \) 秒後の \( AP，AQ \) の長さは，
\( AP=3x \; (cm)，AQ=x \; (cm) \) と表せるので，
　\( y=3x \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =\dfrac{3}{2}x^2 \)
\( y=3 \) を代入すると，
　 \( 3=\dfrac{3}{2}x^2 \)
　\( x^2=2 \)
　 \( x=\sqrt{2} \) (\( 0≦x≦2 \) より)

（２）点 \( P \) が辺 \( BC \) 上にあり，\( PQ=8 \; cm \) となるとき，\( x \) の値を求めなさい。求める過程も書きなさい。

【解答】

点 \( P \) が辺 \( BC \) 上にあるのは，\( 2≦x≦7 \) のときであり，
点 \( Q \) から辺 \( BC \) に垂線をひいた交点を \( E \) とすると，
\( PE=(2x-6) \; cm，QE=6 \; cm \) と表せるので，三平方の定理より，
　\( (2x-6)^2+6^2=8^2 \)
　　　　\( (x-3)^2=7 \)
　　　　　 \( x-3=±\sqrt{7} \)
　　　　　　　 \( x=3+\sqrt{7} \) (\( 2≦x≦7 \) より)

（３）２点 \( P，Q \) が辺 \( CD \) 上にあり，\( y \) の値が \( △ACD \) の面積の半分になるとき，\( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{33}{4} \)

【解説】

\( △ACD \) の底辺を \( CD \)，\( △APQ \) の底辺を \( PQ \)
と考えると，高さは共通なので，
\( y \) の値，つまり，\( △APQ \) の面積が
\( △ACD \) の面積の半分になるとき，
\( PQ \) の長さは辺 \( CD \) の長さの半分になります。

点 \( D \) から辺 \( BC \) に垂線をひいた交点を
\( F \) とすると，\( DF=6 \; cm，FC=8 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( CD^2=6^2+8^2=100 \)
　 \( CD=10 \; (cm) \) (\( CD>0 \) より)

\( y \) の値が \( △ACD \) の面積の半分になるとき，
\( PQ=5 \; cm \) なので，
　\( 3x+x+5=6+7+15+10 \)
　　　　　\( 4x=33 \)
　　　　　　\( x=\dfrac{33}{4} \)

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秋田県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Fri, 12 Jul 2024 13:00:02 +0000

大問１

（１）　\( 6-2 \times 5 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -4 \)

【解説】

\( =6-10 \)
\( =-4 \)

（２）　\( 5(x+2y)-2(4x-y) \) を計算しなさい。

【解答】

\( -3x+12y \)

【解説】

\( =5x+10y-8x+2y \)
\( =-3x+12y \)

（３）　\( 90 \) を素因数分解しなさい。

【解答】

\( 2 \times 3^2 \times 5 \)

（４）　 \( x=3，y=-2 \) のとき，\( \dfrac{1}{3}x^2y^3 \div 2xy \) の値を求めなさい。

【解答】

\( 2 \)

【解説】

\( \dfrac{1}{3}x^2y^3 \div 2xy=\dfrac{x^2y^3}{3 \times 2xy} \)
　　　　　　　\( =\dfrac{1}{6}xy^2 \)
\( x=3，y=-2 \) を代入すると，
　\( \dfrac{1}{6} \times 3 \times (-2)^2=2 \)

（５）　\( \sqrt{32}-\sqrt{50}+\sqrt{27} \) を計算しなさい。

【解答】

\( -\sqrt{2}+3\sqrt{3} \)

【解説】

\( =4\sqrt{2}-5\sqrt{2}+3\sqrt{3} \)
\( =-\sqrt{2}+3\sqrt{3} \)

（６）　方程式 \( 0.8x+4=1.5x-0.9 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=7 \)

【解説】

\( 8x+40=15x-9 \)
　　　\( 7x=49 \)
　　　 \( x=7 \)

（７）　連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x-y=7 \\
5x+3y=1 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=2，y=-3 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
2x-y=7 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
5x+3y=1 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 3+ \) ➁
　\( 11x=22 \)
　　\( x=2 \)
➀ に代入すると，
　\( 2 \times 2-y=7 \)
　　　　　\( y=4-7=-3\)

（８）　方程式 \( x^2-2x=24 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=-4，6 \)

【解説】

　\( x^2-2x-24=0 \)
\( (x+4)(x-6)=0 \)
　　　　　　　\( x=-4，6 \)

（９）　右の表は，クイズ大会に参加した９人の得点である。
表をもとにして，箱ひげ図をかくと，右の図のようになった。
\( a，b \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=9，b=16.5 \)

【解説】

箱ひげ図から，\( a \) にあたるのは第一四分位数，\( b \) にあたるのは第三四分位数になっているので，
９人の得点を低い方から順に並べたとき，
　\( a \) は２番目の人と３番目の人の得点の平均値
　\( b \) は７番目の人と８番目の人の得点の平均値
になります。

９人の得点を低い方から順に並べかえると，
　\( 5，9，9，13，14，15，16，17，20 \)
なので，
　\( a=9，b=\dfrac{16+17}{2}=16.5 \)

（１０）　\( n^2-20n+91 \) の値が素数になる自然数 \( n \) をすべて求めなさい。

【解答】

\( n=6，14 \)

【解説】

素数とは，２以上の自然数のうち，\( 1 \) とその数自身以外に約数を持たない数のことです。
つまり，素数 \( m \) は，因数分解すると \( 1 \times m \) と表すことができます。

\( n^2-20n+91 \) を因数分解すると，\( (n-13)(n-7) \) と表せるので，
\( n-13=±1 \) または \( n-7=±1 \) のどちらかが成り立つとき，
\( n^2-20n+91 \) の値は素数になる可能性があります。

\( n-13=1 \) が成り立つ場合，\( n=14 \) であり，
\( (n-13)(n-7)=1 \times 7=7 \) となり，あてはまる。

\( n-13=-1 \) が成り立つ場合，\( n=12 \) であり，
\( (n-13)(n-7)=-1 \times 5=-5 \) となり，負の数なので素数ではない。

\( n-7=1 \) の場合の\( n \) の値は，\( n=8 \) であり，
\( (n-13)(n-7)=-5 \times 1=-5 \) となり，負の数なので素数ではない。

\( n-7=-1 \) の場合の\( n \) の値は，\( n=6 \)
\( (n-13)(n-7)=-7 \times -1=7 \) となり，あてはまる。

以上より，\( n^2-20n+91 \) の値が素数になる自然数 \( n \) の値は，\( n=6，14 \)

（１１）　右の図で，２直線 ℓ，\( m \) は平行である。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠x=43° \)

【解説】

平行線の同位角は等しいことから，
下の三角形の外角が \( 68° \) になるので，
　\( ∠x+25°=68° \)
　　　　 \( ∠x=43° \)

（１２）　右の図で，４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点であり，線分 \( BD \) は円 \( O \) の直径である。\( ∠CAD=28°， ∠ACD=53° \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠x=115° \)

【解説】

補助線 \( AB \) をひくと，
弧 \( AD \) の円周角なので，\( ∠ABD=∠ACD=53° \)
直径に対する円周角なので，\( ∠BAD=90° \)
　\( ∠BAC=∠BAD-∠DAC \) なので，\( ∠BAC=90°-28°=62° \)

線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を点 \( E \) とすると，
\( ∠x \) は \( △ABE \) の外角なので，
　\( ∠x=53°+62°=115° \)

（１３）　右の図のように，\( △ABC \) と \( △ECD \) は合同な正三角形であり，点 \( B，C，D \) は一直線上にある。点 \( P \) は辺 \( DE \) 上の点であり，点 \( Q \) は線分 \( BP \) と辺 \( CE \) の交点である。\( AB=7 \; cm \)，\( EP=3 \; cm \) のとき，線分 \( CQ \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{14}{5} \; cm \)

【解説】

線分 \( BP \) と辺 \( AC \) の交点を点 \( R \) とすると，
\( △BCR \) ∽ \( △BDP \) であり，
　\( CR：DF=BC：BD \)
　　 \( CR：4=7：14 \)
　　　　\( CR=2 \; (cm) \)

また，\( △QCR \) ∽ \( △QEP \) であり，
\( CR：EP=2：3 \) なので，\( CQ：EQ=2：3 \)
よって，
　\( CQ=\dfrac{2}{5}CE=\dfrac{14}{5} \; (cm) \)

（１４）　右の図のように, おうぎ形 \( AOB \) と直角三角形 \( BOC \) が同平面上にあり，\( OB=6 \; cm，BC=10 \; cm，∠AOB=90° \)，
\( ∠BOC=90° \) である。おうぎ形 \( AOB \) と直角三角形 \( BOC \) を合わせた図形を，直線 \( AC \) を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。ただし，円周率を \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 240\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

\( OB=6 \; cm，BC=10 \; cm \) より，
直角三角形 \( BOC \) は，３辺の長さが \( 3：4：5 \) になっているので，\( OC=8 \; cm \) です。

ここから，回転させてできる立体は，
半径 \( 6 \; cm \) の半球と底面の半径 \( 6 \; cm \)，高さ \( 8 \; cm \) の円すい
をくっつけたものになります。

半径 \( 6 \; cm \) の半球の体積は，
　\( \dfrac{4}{3}\pi{} \times 6^3 \times \dfrac{1}{2}=144\pi{} \; (cm^3) \)

底面の半径 \( 6 \; cm \)，高さ \( 8 \; cm \) の円すいの体積は，
　\( \pi{} \times 6^2 \times 8 \times \dfrac{1}{3}=96\pi{} \; (cm^3) \)

よって，求める立体の体積は，
　\( 144\pi{}+96\pi{}=240\pi{} \; (cm^3) \)

（１５）　右の図のように，三角錐 \( OABC \) がある。\( △ABC \) は直角二等辺三角形で， \( AB=BC=6 \; cm，∠ABC=90° \) である。
また，\( OA =OB=OC=9 \; cm \) である。点 \( A \) から辺 \( OB \) を通り，点 \( C \) まで最も短くなるようにひいた線と辺 \( OB \) の交点を \( P \) とする。このとき，三角錐 \( PABC \) の体積を求めなさい。

【解答】

\( 4\sqrt{7} \; cm^3 \)

【解説】

面 \( OAB \) と面 \( OBC \) を展開すると，
　３点 \( A，P，C \) は一直線上に並び，
　点 \( P \) は，線分 \( AC \) の中点，
　\( AC⊥OB \)
になります。

ここで，\( BP=x \; cm \) とすると，
　\( 9^2-(9-x)^2=6^2-x^2 \)
　　　\( 18x-x^2=36-x^2 \)
　　　　　　　\( x=2 \; (cm) \)

このとき，線分 \( AP \) の長さは，
　\( AP^2=6^2-2^2=32 \)
　 \( AP=4\sqrt{2} \; (cm) \)

三角錐 \( PABC \) の底面を \( △APC \) とすると，
\( △APC \) は，\( AP=AC=4\sqrt{2} \; cm \)，\( AC=6\sqrt{2} \; cm \) の二等辺三角形になっています。

点 \( P \) から辺 \( AC \) に垂線をひき，
交点を点 \( Q \) とすると，
\( AP=4\sqrt{2} \; cm，AQ=3\sqrt{2} \; cm \) なので，
　\( PQ^2=(4\sqrt{2})^2-(3\sqrt{2})^2=14 \)
　 \( PQ=\sqrt{14} \; (cm) \)

以上より，三角錐 \( PABC \) の体積は，
　\( \left( 6\sqrt{2} \times \sqrt{14} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 2 \times \dfrac{1}{3}=4\sqrt{7} \; (cm^3) \)

大問２

（１）　バスケットボールの試合で，Ａ選手は２点シュートと３点シュートを合わせて１０本決めた。この試合で，Ａ選手の得点の合計は２３点だった。健司さんと美咲さんは，Ａ選手が２点シュートと３点シュートをそれぞれ何本決めたか求めるために，健司さんは１つの文字，美咲さんは２つの文字を用いて，方程式をつくった。２人のメモが正しくなるように，\( \fbox{ ア }，\fbox{ イ } \) にあてはまる式を書きなさい。

【健司さんのメモ】
２点シュートを \( x \) 本決めたとすると，３点シュートは \( \fbox{ ア } \) 本決めたことになるから，
次の１次方程式ができる。
　\( 2x+3(\;\fbox{ ア }\;)=23 \)

【美咲さんのメモ】
２点シュートを \( x \) 本，３点シュートを \( y \) 本決めたとすると，
次の連立方程式ができる。
　\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=10 \\
\fbox{ イ }=23 \\
\end{array} \right. \)

【解答】

\( \fbox{ ア } \) ･･･ \( 10-x \)
\( \fbox{ イ } \) ･･･ \( 2x+3y \)

（２）　次の①，②の問いに答えなさい。

①　関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦a \) のとき，\( y \) の変域は \( b≦y≦18 \) である。このとき，\( a，b \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=6，b=0 \)

【解説】

まず，\( y \) の値が最大値をとるときの \( x \) の値を考えます。
\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) に \( y=18 \) を代入すると，
　\( 18=\dfrac{1}{2}x^2 \)
　 \( x=±6 \)
であり，\( x \) の変域が \( -2≦x≦a \) であることから，
あてはまるのは \( x=6 \) のときなので，\( a=6 \)

\( x \) の変域が \( -2≦x≦6 \) のとき，\( x=0 \) を含んでいるので，
\( y \) の値の最小値は \( y=0 \) になります。
よって，\( b=0 \)

②　次の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ上に，\( x \) 座標が \( -4 \) である点 \( A \) をとる。点 \( A \) を通り，傾きが \( -1 \) である直線と \( y \) 軸の交点を \( B \) とするとき，\( △AOB \) の面積を求めなさい。ただし，原点 \( O \) から \( (0，1)，(1，0) \) までの距離を，それぞれ \( 1 \; cm \) とする。

【解答】

\( 8 \; cm^2 \)

【解説】

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
\( x=-4 \) 座標の値は \( -4 \) なので，\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times (-4)^2=8 \)
ここから，点 \( A \) の座標は \( A(-4，8) \)

直線 \( AB \) の傾きは \( -1 \) であり，
点 \( B \) は，点 \( A \) から \( x \) 座標の値が \( 4 \) 増えた座標なので，点 \( B \) の \( y \) 座標の値は，
点 \( A \) から \( 4 \) 減った座標になります。
よって，点 \( B \) の座標は \( B(0，4) \)

以上より，\( △AOB \) の面積は，
　\( 4 \times 4 \times \dfrac{1}{2}=8 \; (cm^2) \)

(3)　次の表は，ある学級２０人のハンドボール投げの記録を度数分布表にまとめたものである。

➀　\( \fbox{ イ } \) にあてはまる数が \( 0.70 \) 以下のとき，\( \fbox{ ア } \) にあてはまる数をすべて求めなさい。

【解答】

\( 0，1，2 \)

【解説】

\( 20 \; m \) 以上 \( 25 \; m \) 未満の階級の相対度数を \( x \) とすると，
\( \fbox{ イ } \) にあてはまる数が \( 0.70 \) 以下のとき，\( x \) の取り得る値は，
　\( 0.60≦0.60+x≦0.70 \)
　\( 0≦x≦0.10 \)

すべての階級の度数の合計は \( 20 \) なので，\( x=0.10 \) になる場合の度数は
　\( 20 \times 0.10=2 \)

よって，\( \fbox{ ア } \) にあてはまる数は \( 0，1，2 \)

➁　この学級の記録の最頻値は，\( \fbox{ ア } \) と \( \fbox{ ウ } \) に入る数にかかわらず，\( 15 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級の階級値 \( 17.5 \; m \) であることがわかる。その理由を，「度数」の語句を用いて書きなさい。

【解答】

\( \fbox{ ア } \) と \( \fbox{ ウ } \) の度数の合計は \( 6 \) 人なので，
\( \fbox{ ア } \) と \( \fbox{ ウ } \) の取り得る値は \( 6 \) 以下である。
よって，\( 15 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満の階級の度数 \( 7 \) 人以上にならないから。

（４）　図のような正方形 \( ABCD \) がある。辺 \( AD \) 上に，
\( ∠ABP=30° \) となる点 \( P \) を定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

【解答】

手順１　点 \( B，C \) を中心に辺 \( BC \) を半径とする
　　　　円弧を描く
　　　　（交点を点 \( E \) とします）
手順２　２点 \( B，E \) を通る直線を描く

手順２の直線と辺 \( AD \) 交点が
求める点 \( P \) になります。

【解説】

\( ∠ABP=30° \) のとき，\( ∠CBP=60° \) になります。
正三角形の内角は \( 60° \) なので，
辺 \( BC \) を１辺とする正三角形 \( BCE \) を描くと，
\( 60° \) の角ができます。
この辺 \( BE \) を辺 \( AD \) まで延長すると，
求める点 \( P \) になります。

大問３

守さんと香さんは，新聞記事をきっかけに，トラックが走る距離と燃料の量に関心をもち，その関係を調べることにした。[メモ]は，３台のトラック（Ａ車，Ｂ車，Ｃ車）それぞれについて，走る距離と燃料の量の関係をまとめたものである。ただし，３台のトラックは，それぞれ \( 1 \; L \) あたり一定の距離を走り、燃料タンクの燃料をすべて使いきることができるものとする。

［メモ］
Ａ車
・ \( 1 \; L \) あたり \( 10 \; km \) 走る。
・燃料タンクの容量は \( 70 \; L \) である。

Ｂ車
・ \( 1 \; L \) あたり \( 4 \; km \) 走る。
・燃料タンクいっぱいに燃料を入れて出発すると， \( 400 \; km \) 走ったときの燃料タンクに残っている
　燃料の量は \( 0 \; L \) になる。

Ｃ車
・燃料タンクの容量は \( 230 \; L \) である。
・燃料タンクいっぱいに燃料を入れて出発すると，\( 150 \; km \) 走ったときの燃料タンクに残っている
　燃料の量は \( 170 \; L \) になる。

（１）　守さんは，Ａ車とＢ車それぞれについて，\( x \; L \) の燃料を使用したときの走った距離を \( y \; km \) とし，\( y \) は \( x \) に比例するとみなして図１のグラフをかいた。点 \( P \) はＡ車のグラフ上の点であり，点 \( Q，R \) はＢ車のグラフ上の点である。点 \( P，Q \) の \( x \) 座標は等しく，点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 6 \) である。

①　点 \( R \) の \( y \) 座標を求めなさい。

【解答】

\( 24 \)

➁　図１で，線分 \( PQ \) の長さが表すこととして正しいものを，次のア～エから１つ選んで記号を書きなさい。
　　ア　同じ距離を走ったときの，Ａ車とＢ車それぞれが使用した燃料の量の和
　　イ　同じ距離を走ったときの，Ａ車とＢ車それぞれが使用した燃料の量の差
　　ウ　同じ量の燃料を使用したときの，Ａ車とＢ車それぞれが走った距離の和
　　エ　同じ量の燃料を使用したときの，Ａ車とＢ車それぞれが走った距離の差

【解答】

エ

【解説】

点 \( P，Q \) の \( x \) 座標は等しくなっています。
このグラフでは，\( x \) 軸は使用した燃料の量を表しているので，
同じ量の燃料を使用したときの状態を表しているとわかります。

また，\( y \) 軸は走った距離を表しているので，
点 \( P \) の \( y \) 座標は，Ａ車が走った距離，
点 \( Q \) の \( y \) 座標は，Ｂ車が走った距離
を表しています。

線分 \( PQ \) の長さは，
「点 \( P \) の \( y \) 座標の値」 \( – \) 「点 \( Q \) の \( y \) 座標の値」
で求められるので，
Ａ車とＢ車それぞれが走った距離の差を表していることになります。

（２）　香さんは，燃料タンクいっぱいに燃料を入れて出発したＡ車とＢ車それぞれが，途中で燃料を追加せずに，\( x \; km \) 走ったときの燃料タンクに残っている燃料の量を \( y \; L \) として考えた。香さんは，\( y \) は \( x \) の１次関数であるとみなして図２のグラフをかいた。点 \( S \) は，Ａ車のグラフとＢ車のグラフの交点である。

香さんは，交点 \( S \) からわかることを，次のように説明した。【香さんの説明】が正しくなるように，　ア　にはあてはまる式を，　イ　〜　エ　にはあてはまる数を書きなさい。

【香さんの説明】
[メモ]から，\( 1 \; km \) 走るごとにＡ車は \( \dfrac{1}{10} \; L \)，Ｂ車は \( \dfrac{1}{4} \; L \) の燃料を使います。
Ａ車とＢ車それぞれについて，\( y \) を \( x \) の式で表すと，
　Ａ車の式は　　 \( y=-\dfrac{1}{10}x+70 \) ･･･ ➀
　Ｂ車の式は　　 \( y = \) 　　　ア　　･･･ ➁ 　　となります。
➀，➁を連立方程式として解くと，交点 \( S \) の座標は \( ( \) 　イ　，　ウ　 \( ) \) となります。
このことから，Ａ車とＢ車それぞれが，　イ　 \( km \) 走ったときの燃料タンクに残っている燃料の量は
どちらも　ウ　 \( L \) であることがわかります。
また，Ａ車は　イ　 \( km \) 走ったとき，燃料を　エ　 \( L \) 使ったことがわかります。

【解答】

　ア　･･･ \( y=-\dfrac{1}{4}x+100 \)
　イ　･･･ \( 200 \)
　ウ　･･･ \( 50 \)
　エ　･･･ \( 20 \)

（３）　燃料タンクいっぱいに燃料を入れて出発したＡ車とＣ車それぞれが，途中で燃料を追加せずに \( 550 \; km \) 走った。このとき，燃料タンクに残っている燃料の量は，どちらの車のほうが何 \( L \) 多いか，求めなさい。求める過程も書きなさい。ただし，次の【考え方】のどちらかを ○ で囲み，その考え方に沿って書くこと。

【考え方】
守さんの考え方
Ａ車とＣ車それぞれについて，\( x \; L \) の燃料を使用したときの走った距離を \( y \; km \) とし，
\( y \) は \( x \) に比例するとみなす。

香さんの考え方
Ａ車とＣ車それぞれについて，\( x \; km \) 走ったときの燃料タンクに残っている燃料の量を \( y \; L \) とし，
\( y \) は \( x \) の１次関数であるとみなす。

【解答】

【守さんの考え方を使った場合の解答例】
Ａ車について，\( x \) と \( y \) の関係式は \( y=10x \) と表せるので，
\( y=550 \) となるとき，\( x \) の値は，\( x=55 \)
つまり，使用する燃料の量が \( 55 \; L \) なので，
燃料タンクに残っている燃料の量は，\( 70-55=15 \; (L) \) ･･･（ア）

Ｃ車について，\( 150 \; km \) 走るのに使用する燃料の量は \( 60 \; L \) なので，
\( x \) と \( y \) の関係式は \( y=\dfrac{5}{2}x \) と表せる。
\( y=550 \) となるとき，\( x \) の値は，\( x=220 \)
つまり，使用する燃料の量が \( 220 \; L \) なので，
燃料タンクに残っている燃料の量は，\( 230-220=10 \; (L) \) ･･･（イ）

（ア）（イ）より，\( 15-10=5 \; (L) \) なので，
Ａ車のほうが \( 5 \; L \) 多い

【香さんの考え方を使った場合の解答例】
Ａ車について，\( x \) と \( y \) の関係式は \( y=-\dfrac{1}{10}x+70 \) と表せるので，
\( x=550 \) のとき，\( y \) の値は，\( y=15 \)
よって，燃料タンクに残っている燃料の量は，\( 15 \; L \) ･･･（ア）

Ｃ車について，\( 150 \; km \) 走ると，燃料タンクに残っている燃料の量は \( 60 \; L \) 減るので，
\( x \) と \( y \) の関係を表す直線の傾きは \( \dfrac{-60}{150}=-\dfrac{2}{5} \) となる。
ここから，この直線の式は \( y=-\dfrac{2}{5}x+230 \) と表せるので，
\( x=550 \) のとき，\( y \) の値は，\( y=10 \)
よって，燃料タンクに残っている燃料の量は，\( 10 \; L \) ･･･（イ）

（ア）（イ）より，\( 15-10=5 \; (L) \) なので，
Ａ車のほうが \( 5 \; L \) 多い

大問４

（１）　図１のように, 縦, 横それぞれ３マスずつのマス目と矢印が印刷されているたくさんの用紙と，１から順に自然数が１つずつ書かれているカードがある。図２のように，用紙の向きを変えずに，１枚目の用紙には \( \fbox{1} \) から順に中央のマスから矢印に沿ってカードを並べていく。２枚目の用紙には \( \fbox{10} \) から順に，３枚目の用紙には \( \fbox{19} \) から順に，同様にカードを並べていく。４枚目以降の用紙にも同様にカードを並べていくものとする。

➀　５枚目の用紙で，中央のマスにあるカードに書かれている数を求めなさい。

【解答】

３７

【解説】

１枚の用紙に９枚のカードが並ぶので，４枚の用紙では合計３６枚のカードが並びます。
つまり，４枚目の用紙で最も大きい数字は３６になるので，
５枚目の用紙で，中央のマスにあるカードの数は３７

➁　\( n \) 枚目の用紙で，中央のマスの左上のマスにあるカードに書かれている数を，\( n \) を用いた式で表しなさい。

【解答】

\( 9n-4 \)

【解説】

すべての用紙の右下のマスの数が９の倍数になることに注目すると，
　１枚目の用紙の右下のマスの数･･･ \( 9=9 \times 1 \)
　２枚目の用紙の右下のマスの数･･･ \( 18=9 \times 2 \)
　３枚目の用紙の右下のマスの数･･･ \( 27=9 \times 3 \)
　　　　・・・
　\( n \) 枚目の用紙の右下のマスの数･･･ \( 9n=9 \times n \)

各用紙の左上のマスの数は，右下のマスの数より４だけ小さい数が書かれているので，
\( n \) 枚目の用紙の左上のマスの数は，\( 9n-4 \)

（２）　１から６までの目が出るさいころを投げる。ただし，さいころのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

①　このさいころを１回投げて出た目を \( a \) とする。\( a+3 \) の値が４の倍数になる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{1}{3} \)

【解説】

\( a=1 \) のとき，\( a+3=4 \) →４の倍数
\( a=2 \) のとき，\( a+3=5 \) →４の倍数ではない
\( a=3 \) のとき，\( a+3=6 \) →４の倍数ではない
\( a=4 \) のとき，\( a+3=7 \) →４の倍数ではない
\( a=5 \) のとき，\( a+3=8 \) →４の倍数
\( a=6 \) のとき，\( a+3=9 \) →４の倍数ではない

となるので，４の倍数になるのは２通り，すべての場合の数は６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)

➁　このさいころを２回投げたとき，１回目に出た目を \( b \)，２回目に出た目を \( c \) とする。
\( \dfrac{c}{b} \) の値が整数になる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{7}{18} \)

【解説】

１回目と２回目のさいころの出た目の組み合わせと，\( \dfrac{c}{b} \) の値が整数になるところに値を書いていくと，
整数になる組み合わせは１４通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18} \)

大問５

Ⅰ　図１において，四角形 \( ABCD \) は長方形である。点 \( E \) は辺 \( AD \) 上の点であり，点 \( F \) は線分 \( BD \) と線分 \( CE \) の交点である。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　\( △FBC \) ∽ \( △FDE \) となることを証明しなさい。

【解答】

\( △FBC \) と \( △FDE \) において，
長方形の向かい合う辺は平行なので，
\( AD//BC \) であり，
錯角は等しいので，
　\( ∠FBC=∠FDE \) ･･･ ➀
　\( ∠FCB=∠FED \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △FBC \) ∽ \( △FDE \)

（２）　図２は，図１に点 \( E \) を通り線分 \( BD \) に平行な直線をかき加え，辺 \( AB \) との交点を \( G \) としたものである。\( AB=3 \; cm， AE=2 \; cm，ED=4 \; cm \) とする。

①　線分 \( EG \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \sqrt{5} \; cm \)

【解説】

\( △AGE \) ∽ \( △ABD \) なので，
　\( EG：DB=AE：AD=1：3 \)

\( △ABD \) において，三平方の定理より，
　\( DB^2=3^2+6^2=45 \)
　 \( DB=3\sqrt{5} \; (cm) \)

よって，
　\( EG：3\sqrt{5}=1：3 \)
　　　　 \( EG=\sqrt{5} \; (cm) \)

➁　四角形 \( GBFE \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{28}{5} \; cm^2 \)

【解説】

四角形 \( GBFE \) の面積を直接求めるのは手間がかかるので，
\( △ABD-△AGE-△FDE \) で求めます。

問➀より，\( △AGE \) と \( △ABD \) の相似比は
\( 1：3 \) なので，面積比は \( 1^2：3^2=1：9 \) であり，
　\( △AGE=\dfrac{1}{9}△ABD \)

\( △ABD \) の面積は
　\( 6 \times 3 \times \dfrac{1}{2}=9 \; (cm^2) \) ･･･（ア）

\( △AGE \) の面積は
　\( \dfrac{1}{9}△ABD=1 \; (cm^2) \) ･･･（イ）

\( △FDE \) と \( △FBC \) において，
点 \( F \) から辺 \( AD，BC \) に垂線をひき，
交点をそれぞれ点 \( H，I \) とすると，
\( △FDE \) ∽ \( △FBC \) なので，
　\( FH：FI=DE：BC=2：3 \)

\( HI=AB=3 \; cm \) なので，
　\( FH=\dfrac{2}{5}HI=\dfrac{6}{5} \; (cm) \)

\( △FDE \) の面積は
　\( 4 \times \dfrac{6}{5} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{12}{5} \; (cm^2) \) ･･･（ウ）

（ア）（イ）（ウ）より，四角形 \( GBFE \) の面積は，
　\( △ABD-△AGE-△FDE=9-1-\dfrac{12}{5}=\dfrac{28}{5} \; (cm^2) \)

Ⅱ 図１において，四角形 \( ABCD \) は \( AD//BC \) の台形である。点 \( E \) は辺 \( AD \) 上の点であり，点 \( F \) は線分 \( BD \) と線分 \( CE \) の交点である。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　\( △FBC \) ∽ \( △FDE \) となることを証明しなさい。

【解答】

\( △FBC \) と \( △FDE \) において，
\( AD//BC \) より，
錯角は等しいので，
　\( ∠FBC=∠FDE \) ･･･ ➀
　\( ∠FCB=∠FED \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △FBC \) ∽ \( △FDE \)

（２）　図２は，図１の辺 \( BC \) 上に点 \( G \) を \( AE=CG \) となるようにとり，線分 \( AG \) と線分 \( BE \) をかき加えたものである。点 \( H \) は線分 \( AG \) と線分 \( BE \) の交点であり，点 \( I \) は線分 \( AG \) と線分 \( BD \) の交点である。

➀　\( ∠ABG=60°，∠BAH=a° \) のとき，\( ∠DEF \) の大きさを，\( a \) を用いて表しなさい。

【解答】

\( (120-a)° \)

【解説】

\( △ABG \) において，
　\( ∠AGB=180°-(∠ABG+∠BAH) \)
　　　　　\( =180°-(60°+a°) \)
　　　　　\( =(120-a)° \)

\( AD//BC \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠EAG=∠AGB=(120-a)° \)

\( AD//BC，AE=CG \) より，
四角形 \( AGCE \) は平行四辺形なので，
\( AG//EC \) であり，同位角は等しいので，
　\( ∠DEF=∠EAG=(120-a)° \)

➁　\( AE：ED=2：3，BG：GC=3：1 \) のとき，四角形 \( EHIF \) の面積は，四角形 \( ABCD \) の面積の何倍か，求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{21}{286} \) 倍

【解説】

\( AE：ED=2：3，BG：GC=3：1，AE=CG \) より，
　\( AE：ED：BG：GC=2：3：6：2 \)

【四角形 \( ABCD \) の面積は？】

\( △FDE \) ∽ \( △FBC \) なので，
\( ED：BC=3：8 \) より，面積比は，
　\( △FDE：△FBC=3^2：8^2=9：64 \)

\( △FDE \) と \( △FBE \) は，高さが共通なので，
面積比は，
　\( △FDE：△FBE=FD：FB=9：24 \)
同様に，
　\( △FDE：△FDC=FE：FC=9：24 \)

\( △ABE \) と \( △DBE \) は，高さが共通なので，
面積比は，
　\( △ABE：△DBE=AE：ED=22：33 \)

以上より，\( △FDE \) の面積を \( 9 \) とすると，
四角形 \( ABCD \) の面積は，\( 143 \) と表すことができます。･･･（ア）

【\( AH：HI：GI \) を求める】

\( △IDA \) ∽ \( △IBG \) なので，
　\( AI：GI=AD：GB=5：6 \)

\( △HEA \) ∽ \( △HBG \) なので，
　\( AH：GH=AD：GB=1：3 \)

\( AI：GI=5：6=20：24 \)
\( AH：GH=1：3=11：33 \)
より，
\( AH：HI：GI=AH：(AI-AH)：GI \)
\( =11：(20-11)：24 \)
\( =11：9：24 \)

【四角形 \( EHIF \) の面積は？】

\( △ABG \) と \( △DBC \) は，高さが共通なので，
面積比は，
　\( △ABG：△DBC=BG：GC=3：4 \)

\( △FDE \) の面積を \( 9 \) とすると，
\( △DBC \) の面積は，\( 64+24=88 \) と表せるので，
\( △ABG \) の面積は，\( 88 \times \dfrac{3}{4}=66 \)

このとき，\( △IBH \) の面積は，\( 66 \times \dfrac{9}{44}=\dfrac{27}{2} \) と表すことができます。

四角形 \( EHIF=△FBE-△IBH \) より，
四角形 \( EHIF \) の面積は，\( 24-\dfrac{27}{2}=\dfrac{21}{2} \) と表すことができます。･･･（イ）

結論
（ア）（イ）より，四角形 \( EHIF： \) 四角形 \( ABCD=\dfrac{21}{2}：143=21：286 \) となるので，
四角形 \( EHIF \) の面積は，四角形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{21}{286} \) 倍になります。

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秋田県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 02 Mar 2024 15:28:22 +0000

大問１

(1)　\( 8+12 \div (-4) \) を計算しなさい。

【解答】

\( 5 \)

【解説】

\( =8-3 \)
\( =5 \)

(2)　\( 12ab \div 6a^2 \times 2b \) を計算しなさい。

【解答】

\( \dfrac{4b^2}{a} \)

【解説】

\( =\dfrac{12ab \times 2b}{6a^2} \)
\( =\dfrac{4b^2}{a} \)

(3)　次の数の大小を，不等号を使って表しなさい。
　　　\( 4，\sqrt{10} \)

【解答】

\( 4>\sqrt{10} \)

【解説】

\( 4 \) を \( \sqrt{} \) を使って表すと，\( \sqrt{16} \) になります。
よって，\( \sqrt{16}>\sqrt{10} \) なので，\( 4>\sqrt{10} \) となります。

(4)　\( x=\dfrac{1}{2}，y=-3 \) のとき，\( 2(x-5y)+5(2x+3y) \) の値を求めなさい。

【解答】

\( -9 \)

【解説】

\( 2(x-5y)+5(2x+3y)=12x+5y \) なので，
\( x=\dfrac{1}{2}，y=-3 \) を代入すると，
\( 12 \times \dfrac{1}{2}+5 \times (-3) \)
\( =6-15 \)
\( =-9 \)

(5)　\( \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{3\sqrt{2}} \) を計算しなさい。

【解答】

\( \dfrac{\sqrt{2}}{3} \)

【解説】

\( =\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =\dfrac{3\sqrt{2}}{6}-\dfrac{\sqrt{2}}{6} \)
\( =\dfrac{\sqrt{2}}{3} \)

(6)　方程式 \( \dfrac{5x-2}{4}=7 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=6 \)

【解説】

\( 5x-2=28 \)
　　\( 5x=30 \)
　　　\( x=6 \)

(7)　連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=5 \\
x-4y=7 \\ \end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=3，y=-1 \)

【解説】

\( 2x+y=5 \) ･･･ ➀
\( x-4y=7 \) ･･･ ➁
➁\( \times 2\)すると，
　\( 2x-8y=14 \) ･･･ ➁’
➀\( – \)➁’すると，
　\( 9y=-9 \)
　　\( y=-1 \)
➁に代入すると，
　\( x-4 \times (-1)=7 \)
　　　　　\( x+4=7 \)
　　　　　　　\( x=3 \)

(8)　方程式 \( x^2+5x+2=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{-5±\sqrt{17}}{2} \)

【解説】

\( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=1，b=5，c=2 \) なので，
解の公式から，
　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{17}}{2} \)

(9)　右の図のように，１辺の長さが \( 5 \; cm \) の正三角形の紙を，その一部が重なるように，横一列に３枚並べて図形をつくる。このとき，重なる部分はすべて１辺の長さが \( a \; cm \) の正三角形となるようにする。図の太線は，図形の周囲を表している。太線で表した図形の周囲の長さを， \( a \) を用いた式で表しなさい。

【解答】

\( 45-6a \)

【解説】

この図形の周囲の長さを右の図のように分けて考えると，
　緑･･･ \( 5 \; cm \times 2 \)本
　青･･･ \( (5-a) \; cm \times 4 \)本
　赤･･･ \( 5 \; cm \times 1 \)本 \( +(5-a) \; cm \times 2 \)本
となっています。

よって，周の長さは，
　　\( 5 \times 2+(5-a)\times 4+{5 \times 1+(5-a)\times 2} \)
　\( =10+(20-4a)+{5+(10-2a)} \)
　\( =45-6a \; (cm) \)

(10)　\( n \) は \( 100 \) より小さい素数である。 \( \dfrac{231}{n+2} \) が整数となる \( n \) の値をすべて求めなさい。

【解答】

\( 5，19，31 \)

【解説】

\( \dfrac{231}{n+2} \) が整数となるのは，\( n+2 \) が \( 231 \) の約数になるときです。
\( 231 \) を素因数分解すると \( 3 \times 7 \times 11 \) なので，
約数は，\( 3 \) と \( 7 \) と \( 11 \) のすべての組み合わせになります。
よって，\( 231 \) のすべての約数は，\( 1，3，7，11，21，33，77，231 \) です。

　\( n+2=1 \) のとき，\( n=-1 \) → 素数ではない
　\( n+2=3 \) のとき，\( n=1 \) → 素数ではない
　\( n+2=7 \) のとき，\( n=5 \) → ○
　\( n+2=11 \) のとき，\( n=9 \) → 素数ではない
　\( n+2=21 \) のとき，\( n=19 \) → ○
　\( n+2=33 \) のとき，\( n=31 \) → ○
　\( n+2=77 \) のとき，\( n=75 \) → 素数ではない
　\( n+2=231 \) のとき，\( n=229 \) → \( 100 \) より大きい

(11)　右の図のように，正方形 \( ABCD \)，正方形 \( EFCG \) がある。正方形 \( ABCD \) を，点 \( C \) を中心として，時計まわりに \( 45° \) だけ回転移動させると，正方形 \( EFCG \) に重ね合わせることができる。このとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 135° \)

【解説】

正方形 \( ABCD \) を \( 45° \) 回転移動させると
正方形 \( EFCG \) に重なるということは，
辺 \( BC \) を \( 45° \) 回転させたものが辺 \( FC \) になるので，\( ∠BCF=45° \)

正方形のすべての内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠DCF=∠BCD-∠BCF \)
　　　　　\( =90°-45°=45° \)
　　　　　\( =45° \)

よって，\( AD \) と \( EF \) の交点を \( H \) とすると，
四角形 \( CDHF \) において，
　\( ∠x=360°-∠CFH-∠CDH-∠DCF \)
　　　\( =360°-90°-90°-45° \)
　　　\( =135° \)

(12)　右の図で，６点 \( A，B，C，D，E，F \) は，円 \( O \) の周上の点であり，線分 \( AE \) と線分 \( BF \) は円 \( O \) の直径である。点 \( C \)，点 \( D \) は弧 \( BE \) を３等分する点である。\( ∠AOB=42° \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 23° \)

【解説】

線分 \( AE \) は直径なので，\( ∠BOE=180°-42°=138° \)

弧 \( BC= \) 弧 \( CD= \) 弧 \( DE \) より，
　\( ∠BOC=\dfrac{1}{3}∠BOE=46° \)

\( ∠BOC \) は，弧 \( BC \) の中心角，\( ∠x \) は，弧 \( BC \) の円周角なので，
　\( ∠x=\dfrac{1}{2}∠BOC=23° \)

(13)　右の図のように，\( △ABC \) があり，点 \( D \) は辺 \( BC \) 上にある。
\( AB=12 \; cm，AC=8 \; cm，CD=6 \; cm，∠ABC=∠DAC \)
のとき，線分 \( AD \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 9 \; cm \)

【解説】

\( △ABC \) と \( △DAC \) において，\( ∠ABC=∠DAC，∠C \)は共通より，
２組の角がそれぞれ等しいので，\( △ABC \) ∽ \( △DAC \)

対応する辺の比は等しいので，
　\( AB：AD=AC：CD \)
　 \( 12：AD=8：6 \)
　　　\( 8AD=72 \)
　　　　\( AD=9 \; (cm) \)

(14)　図１のように，三角柱 \( ABC-DEF \) の形をした透明な容器に水を入れて密閉した。この容器の側面はすべて長方形で，\( AB=6 \; cm，BC=8 \; cm，CF=12 \; cm，∠ABC=90° \) である。この容器を，\( △DEF \) が容器の底になるように，水平な台の上に置いた。このとき，容器の底から水面までの高さは \( 8 \; cm \) である。この容器を図２のように，四角形 \( FEBC \) が容器の底になるように，水平な台の上に置きかえたとき，容器の底から水面までの高さを求めなさい。ただし，容器の厚みは考えないものとする。

【解答】

\( 6-2\sqrt{3} \; cm \)

【解説】

容器の置き方を変えても入っている水の量は同じであることを利用します。

図１の状態で容器に入っている水の体積を求めると，
\( \left(6 \times 8 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 8=192 \; (cm^3) \)

図２の状態での容器の底から水面までの高さを \( x \; cm \) とし，
水面の四すみの点をそれぞれ \( P，Q，R，S \) とすると，
このときの水の形状は，台形 \( BCQP \) を底面とした四角柱と考えることができます。

水面と面 \( FEBC \) は平行になるので，\( PQ//BC \) になっており，
\( △APQ \) ∽ \( △ABC \) となるので，
　\( AP：AB=PQ：BC \)
　\( 6-x：6=PQ：8 \)
　　　 \( PQ=\dfrac{4}{3}(6-x) \; (cm) \)

よって，台形 \( BCQP \)の面積は，
　　\( (PQ+BC) \times PB \times \dfrac{1}{2} \)
　\( =\left\{\dfrac{4}{3}(6-x)+8 \right\} \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　\( =\left( 16-\dfrac{4}{3}x \right) \times x \times \dfrac{1}{2} \)
　\( =-\dfrac{2}{3}x^2+8x \)

\( CF=12 \; cm \) なので，水の体積（\( =192 \; cm^3 \)）は，
　\( \left( -\dfrac{2}{3}x^2+8x \right) \times 12=192 \)
　　　　　\( -8x^2+96x=192 \)
　　　\( 8x^2-96x+192=0 \)
　　　　\( x^2-12x+24=0 \)
　　　　　　　　　　　\( x=\dfrac{-(-12)±\sqrt{(-12)^2-4 \times 1 \times 24}}{2 \times 1} \)
　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{12±\sqrt{48}}{2} \)
　　　　　　　　　　　　\( =6±2\sqrt{3} \)
\( 0

(15)　右の図のように，底面の半径が \( 4 \; cm \) の円錐を平面上に置き，頂点 \( O \) を中心としてすべらないように転がした。このとき，点線で表した円 \( O \) の上を１周し，もとの場所にもどるまでに３回半だけ回転した。この円錐の表面積を求めなさい。ただし，円周率を \( \pi \) とする。

【解答】

\( 72\pi \; cm^2 \)

【解説】

円すいを転がしたとき，円 \( O \) の上を１周したということは，
円 \( O \) の１周の長さと円すいの底面３周半の長さが等しくなるので，
円 \( O \) の周の長さは，
　\( 2\pi \times 4 \times \left(3+\dfrac{1}{2} \right)=28\pi \; (cm) \)

このとき，円 \( O \) の半径を \( r \; cm \) とすると，
　\( 2\pi \times r=28\pi \)
　　　　\( r=14 \; (cm) \)

円すいを展開したとき，おうぎ形の半径は円すいの母線の長さになり，
円すいの母線の長さと円 \( O \) の半径が等しいので，\( 14 \; cm \)

また，おうぎ形の弧の長さは，底面の円周の長さと等しくなるので，
　\( 2\pi \times 4=8\pi \; (cm) \)
このおうぎ形は，半径 \( 14 \; cm \) の円（周の長さ \( 28\pi \; cm \) ）から
弧の長さ \( 8\pi \; cm \) 分を切り取ったものと考えられるので，
おうぎ形の面積は，半径 \( 14 \; cm \) の円の面積の \( \dfrac{8\pi}{28\pi}=\dfrac{2}{7} \) 倍

以上より，円すいの表面積は，
　　\( \pi \times 4^2+\pi \times 14^2 \times \dfrac{2}{7} \)
　\( =16\pi+56\pi \)
　\( =72\pi \; (cm^2) \)

大問２

(1)　駅から \( 3600 \; m \) 離れた図書館まで，まっすぐで平らな道がある。健司さんは，午前 \( 10 \) 時に駅を出発し，毎分 \( 60 \; m \) の速さで図書館に歩いて向かった。駅から \( 1800 \; m \) 離れた地点で立ち止まって休憩し，休憩後は毎分 \( 120 \; m \) の速さで図書館に走って向かい，午前 \( 10 \) 時 \( 50 \) 分に図書館に着いた。次の図は，健司さんが駅を出発してから \( x \) 分後に駅から \( y \; m \) 離れた地点にいるとして，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフの一部である。

➀　健司さんが駅から \( 1800 \; m \) 離れた地点で休憩を始めてから，図書館に着くまでの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフを図にかき加えなさい。

【解答・解説】

残りの \( 1800 \; m \) を毎分 \( 120 \; m \) の速さで走ったので，
かかった時間は，\( \dfrac{1800}{120}=15 \)（分）
よって，再出発した時間（休憩を終わった時間）は \( 50-15=35 \)（分後）

以上より，グラフは次のとおり

➁　健司さんの姉の美咲さんは，健司さんが駅を出発した時刻と同じ時刻に，自転車に乗って図書館を出発し，毎分 \( 240 \; m \) の速さで駅に向かっていたところ，歩いて図書館に向かう健司さんと出会った。美咲さんと健司さんが出会ったときの時刻を求めなさい。

【解答】

午前 \( 10 \) 時 \( 12 \) 分

【解説】

美咲さんが，\( 3600 \; m \) の道のりを毎分 \( 240 \; m \) の速さで移動するのにかかる時間は，
\( \dfrac{3600}{240}=15 \)（分）なので，
これをグラフ中に書きたしてみると下のようになります。

このグラフで黒の直線と青の直線の交点が２人が出会った時間と場所になります。
黒の直線の式は，\( y=60x \)，青の直線の式は，\( y=-240x+3600 \) なので，
この２つの式を連立方程式として解くと，
　　\( 60x=-240x+3600 \)
　\( 300x=3600 \)
　　　\( x=12 \)

よって，出会った時刻は，午前 \( 10 \) 時 \( 12 \) 分

(2)　次の図のように，袋Ａには整数 \( 1，2，3 \) が1つずつ書かれた３枚のカードが，袋Ｂには整数 \( 4，5，6 \) が１つずつ書かれた３枚のカードが入っている。このとき，下の ➀，➁ の問いに答えなさい。

➀　袋Ａ，袋Ｂからそれぞれカードを１枚ずつ取り出し，取り出されたカードに書かれている数の積を求める。このとき，積が奇数になる確率を求めなさい。ただし，袋Ａからどのカードが取り出されることも，袋Ｂからどのカードが取り出されることも，それぞれ同様に確からしいものとする。

【解答】

\( \dfrac{2}{9} \)

【解説】

偶数と奇数の組み合わせによって積が偶数，奇数どちらになるかを考えると，
　偶数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数
　偶数 \( \times \) 奇数 \( = \) 偶数
　奇数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数
　奇数 \( \times \) 奇数 \( = \) 奇数
となるので，積が奇数になるのは，袋Ａ，袋Ｂ両方から奇数のカードを取り出したときです。
よって，積が奇数になる組み合わせは，\( (1，5)，(3，5) \) の２通り
すべての場合の数は９通りなので，求める確率は，\( \dfrac{2}{9} \)

➁　袋Ａ，袋Ｂに入っているカードとは別に，整数 \( 7 \) が書かれているカードが６枚ある。袋Ｂに整数 \( 7 \) が書かれているカードを何枚か追加し，袋Ａ，追加したカードが入っている袋Ｂからそれぞれカードを１枚ずつ取り出し，取り出されたカードに書かれている数の積を求める。積が奇数になる確率と積が偶数になる確率が等しいとき，追加したカードは何枚か，求めなさい。ただし，袋Ａからどのカードが取り出されることも，追加したカードが入っている袋Ｂからどのカードが取り出されることも，それぞれ同様に確からしいものとする。

【解答】

５枚

【解説】

積が奇数になる確率と積が偶数になる確率が等しいとき，積が奇数になる場合の数と積が偶数になる場合の数は等しくなるので，何枚のカードを追加したときにこれらの場合の数が等しくなるかを考えます。

追加したカードに \( 7A，7B，･･･ \) と名前をつけて樹形図に表すと，次のようになります。

１枚追加したときは，積が奇数になる場合の数は２通り，積が偶数になる場合の数は１通り増えています。
２枚追加したときは，積が奇数になる場合の数は４通り，積が偶数になる場合の数は２通り増えています。

ここから，\( n \) 枚追加したときには，積が奇数になる場合の数の方が \( n \) 通り多く増えているとわかります。

追加前には，積が奇数になる場合の数が２通り，積が偶数になる場合の数は７通りで，
偶数になる場合の方が５通り多かったので，５枚追加したときに奇数になる場合の数と偶数になる場合の数が等しくなります。
次のような表を書いてみるとわかりやすくなります。

(3)　次の図のように，点 \( O \) を中心とする円の周上に点 \( A \) がある。このとき，点 \( A \) を接点とする円 \( O \) の接線を定規とコンパスを用いて作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

【解答・解説】

円の接線は，接点と中心を通る直線と垂直に交わるので，
点 \( A \) を通り，直線 \( OA \) と垂直な直線が作図する接線になります。

手順１　直線 \( OA \) を描く
手順２　点 \( A \) を中心に円弧を描く
　　　　（直線 \( OA \) との交点を点 \( B，C \) とします）
手順３　点 \( B，C \) を中心に円弧を描く
　　　　（交点を点 \( D \) とします）

直線 \( AD \) が点 \( A \) を接点とする円 \( O \) の接線になります。

大問３

Ａ中学校の図書委員会は，全校生徒を対象として，ある日曜日の読書時間を調査した。
次の (1)～(3) の問いに答えなさい。

(1)　図１のア～エは，３年１組を含む４つの学級の読書時間のデータを，ヒストグラムに表したものである。
例えば，アの１０～２０の階級では、読書時間が１０分以上２０分未満の生徒が１人いることを表している。４つの学級の生徒数は，すべて３１人である。
３年１組のヒストグラムは，最頻値が中央値よりも小さくなる。３年１組のヒストグラムとして最も適切なものを、図１のア～エから1つ選んで記号を書きなさい。

【解答】

イ

【解説】

最頻値･･･度数が最も大きいところの階級値
中央値･･･データを順番に並べたとき，中央の位置にあたる値
（この問題では，１６番目の値）

ア～エのヒストグラムで最頻値と中央値は次のとおりとなっています。
最頻値が中央値よりも小さくなっているのはイ

	最頻値	中央値
ア	６５	５５
イ	２５	４５
ウ	６５	５５
エ	６５	４５

(2)　次の表は，３年２組３０人の読書時間のデータを，小さい順に並べたものである。このデータの範囲と第１四分位数をそれぞれ求めなさい。

【解答】

範囲･･･１０５（分）
第１四分位数･･･３０（分）

【解説】

範囲は，最大値 \( – \) 最小値で求めることができます。
最大値は１１０（分），最小値５（分）なので，１１０－５＝１０５（分）

第１四分位数は，前半分のデータの中央値になります。
この問題では，データの総数は３０個なので，前半分は１５個です。
この１５個のデータに対する中央値は８番目の値になるので，３０（分）

(3)　３年１組，２組，３組で運動部に所属している生徒は，１６人ずついる。図２は，３年１組の運動部の生徒をグループ１，３年２組の運動部の生徒をグループ２，３年３組の運動部の生徒をグループ３とし，それぞれの読書時間のデータを，箱ひげ図に表したものである。

１　図２から読み取れることとして正しいものを，次のア～エからすべて選んで記号を書きなさい。

ア　読書時間が５５分以下の生徒数が最も少ないグループは，グループ２である。
イ　読書時間が５５分以上の生徒数が最も多いグループは，グループ３である。
ウ　どのグループにも，読書時間が８０分以上１００分未満の生徒は必ずいる。
エ　どのグループにも，読書時間が１００分以上の生徒は必ずいる。

【解答】

ア，エ

【解説】

アは正しい
　グループ１･･･中央値が４５分以上５０分未満なので，５５分以下の生徒数は少なくとも８人はいる。
　グループ２･･･第１四分位数が５５分以上６０分未満なので，５５分以下の生徒数は５人未満。
　グループ３･･･中央値が５０分以上５５分未満なので，５５分以下の生徒数は少なくとも８人はいる。

イは誤り
　グループ１･･･中央値が４５分以上５０分未満なので，５５分以上の生徒は８人未満。
　グループ２･･･第１四分位数が５５分以上６０分未満なので，５５分以上の生徒は少なくとも１２人いる。
　グループ３･･･中央値が５０分以上５５分未満なので，５５分以上の生徒は８人未満。

ウは誤り
　グループ１と３では，８０分以上１００分未満の範囲全体がひげの中に含まれています。
　ひげにあたる範囲の中でどこにデータがあるかは箱ひげ図だけでは判断できません。

エは正しい
　グループ１と３の最大値は１１０分，グループ２の最大値は１０５分なので，
　１００分以上の生徒は必ずいます。

２　図２において，読書時間のデータの散らばりぐあいが最も大きいグループを，次のア～ウから1つ選んで記号を書きなさい。
また，そのように判断した理由を，「範囲」と「四分位範囲」という両方の語句を用いて書きなさい。

ア　グループ１　　　　イ　グループ２　　　　ウ　グループ３

【解答】

ア
範囲，四分位数がどちらもグループ１が最も大きい

【解説】

左右のひげと箱の左側と右側には同じ数のデータが含まれます。
この問題の場合，データの総数が１６個なので，各部分に４個ずつのデータが含まれます。
例として各部分に含まれるデータを○で表すと下の図のようになり，
ひげや箱の長さが短いときはデータが密集し，長いときはデータが散らばっていることがわかります。

大問４

(1)　図のように，正三角形 \( ABC \) がある。点 \( D \) は辺 \( BC \) を \( C \) の方向に延長した直線上にある。点 \( E \) は線分 \( AD \) 上にあり，\( AB//EC \) である。点 \( F \) は辺 \( AC \) 上にあり，\( CE=CF \) である。このとき，\( △ACE≡△BCF \) となることを証明しなさい。

【解答】

\( △ACE \) と \( △BCF \) において，
\( AB//EC \) より，\( ∠BAC=∠ACE \) ･･･ ➀
\( △ABC \) は正三角形なので，
\( ∠BAC=∠BCF \) ･･･ ➁
\( AC=BC \) ･･･ ➂
➀➁より，\( ∠ACE=∠BCF \) ･･･ ➃
仮定より，\( CE=CF \) ･･･ ➄
➂➃➄より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACE≡△BCF \)

(2)　詩織さんは，次のことがらの逆について考えたことをまとめた。〔詩織さんのメモ〕が正しくなるように，アには記述の続きを，イには反例を書きなさい。

2つの自然数 \( a，b \) において，\( a=3，b=6 \) ならば，\( a+b=9 \)

〔詩織さんのメモ〕
逆は，次のようにいえる。
2つの自然数a，b において，　ア
逆は，正しくない。(反例) 　イ

【解答】

ア･･･ \( a+b=9 \) ならば，\( a=3，b=6 \)
イ･･･ \( a=4，b=5 \)

【解説】

　　Ａ　　ならば　　Ｂ　　ということがらにおいて，　　Ａ　　を仮定，　　Ｂ　　を結論といいます。
そして，仮定と結論を入れ替えたものを「逆」といいます。
この例でいうと，　　Ｂ　　ならば　　Ａ　　になります。

また，　　Ａ　　ならば　　Ｂ　　ということがらにおいて，
仮定は成り立つが，結論は成り立たない実例のことを反例といいます。
例えば，「ほ乳類であるならば，人間である」ということがらに対して，
犬，猫，馬などは，ほ乳類ではあるが人間ではないので，これらが反例になります。

この問題では，\( a=3，b=6 \) が仮定，\( a+b=9 \) が結論になるので，
その逆は，\( a+b=9 \) ならば，\( a=3，b=6 \) になり，
\( a+b=9 \) になるのは，\( a=4，b=5 \)，\( a=2，b=7 \) などの場合もあるので，
これらが反例になります。

(3)　直角三角形 \( ABC \) で，辺 \( AB \) の長さは，辺 \( BC \) の長さより \( 2 \; cm \) 長く，辺 \( BC \) の長さは辺 \( CA \) の長さより \( 7 \; cm \) 長い。このとき，直角三角形 \( ABC \) の斜辺の長さを求めなさい。

【解答】

\( 17 \; cm \)

【解説】

辺 \( AB \) の長さは，辺 \( BC \) の長さより \( 2 \; cm \) 長いので，\( AB=BC+2 \) ･･･ ➀
辺 \( BC \) の長さは辺 \( CA \) の長さより \( 7 \; cm \) 長いので，\( BC=CA+7 \) ･･･ ➁
➀➁より，３辺の長さの関係は，\( AB>BC>CA \) になっています。

直角三角形において，一番長い辺が斜辺になるので，
辺 \( AB \) が斜辺になります。
辺 \( AB \) の長さを \( x \; cm \) とすると，
➀より，\( BC=x-2 \; cm \)
➁より，\( CA=x-2-7=x-9 \; cm \)

よって，三平方の定理より，
　　　　　　\( (x-2)^2+(x-9)^2=x^2 \)
　\( x^2-4x+4+x^2-18x+81=x^2 \)
　　　　　　　　　\( x^2-22x+85=0 \)
　　　　　　　　\( (x-5)(x-17)=0 \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( x=5，17 \)
\( x-9>0 \) より \( x>9 \) なので，あてはまるのは，\( x=17 \; (cm) \)

大問５

Ⅰ　次の図において，アは関数 \( y=x^2 \)，イは関数 \( y=ax^2 \; (0

(1)　２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。求める過程も書きなさい。

【解答】

\( A(-1，1)，B(2，4) \) を通るので，直線 \( AB \) の傾きは，
　\( \dfrac{4-1}{2-(-1)}=1 \)

直線 \( AB \) の式を \( y=x+b \) とすると，\( (2, 4) \) を通るので，
　\( 4=2+b \)
　\( b=2 \)

よって，直線 \( AB \) の式は \( y=x+2 \)

(2)　 \( a=\dfrac{2}{3} \) のとき，イ上に，\( x \) 座標が \( 3 \) である点 \( C \) をとる。このとき，線分 \( BC \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \sqrt{5} \; cm \)

【解説】

点 \( C \) は，\( y=\dfrac{2}{3}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
点 \( C \) の \( y \) 座標は，\( y=\dfrac{2}{3} \times 3^2=6 \)

よって，三平方の定理より，
　\( BC^2=(3-2)^2+(6-4)^2=5 \)
　 \( BC=\sqrt{5} \; (cm) \) （\( BC>0 \)より）

(3)　ア上に，\( x \) 座標が正で，\( y \) 座標が \( 1 \) である点 \( P \) をとる。イ上に，\( x \) 座標が \( -1 \) より小さく，\( y \) 座標が \( 4 \) である点 \( Q \) をとる。四角形 \( APBQ \) の面積が \( 12 \; cm^2 \) になるとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{1}{4} \)

【解説】

点 \( P \) は，\( y=x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標が \( 1 \) なので，
点 \( P \) の \( x \) 座標は，
　\( 1=x^2 \)
　\( x=1 \) （\( x>0 \)より）

点 \( Q \) は，\( y=ax^2 \) 上の点で，\( y \) 座標が \( 4 \) なので，
点 \( Q \) の \( x \) 座標は，
　\( 4=ax^2 \)
　\( x=-\sqrt{\dfrac{4}{a}} \) （\( x<-1，0

このとき，
　\( AP=1-(-1)=2 \)，
　\( BQ=2-\left(-\sqrt{\dfrac{4}{a}} \right)=2+\sqrt{\dfrac{4}{a}} \)
であり，四角形 \( APBQ \) は台形なので，
　\( \left(2+2+\sqrt{\dfrac{4}{a}} \right) \times 3 \times \dfrac{1}{2}=12 \)
　　　　　　　　　 \( 4+\sqrt{\dfrac{4}{a}}=8 \)
　　　　　　　　　　　 \( \sqrt{\dfrac{4}{a}}=4 \)
　　　　　　　　　　　　　\( \dfrac{4}{a}=16 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( a=\dfrac{1}{4} \)

Ⅱ　次の図において，アは関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \)，イは関数 \( y=-x+4 \) のグラフであり，点 \( A \) の座標は \( (-4，8) \)，点 \( B \) の座標は \( (2，2) \) である。ア上に，\( x \) 座標が \( t \) である点 \( P \) をとり，イ上に，点 \( P \) と \( x \) 座標が等しい点 \( Q \) をとる。原点 \( O \) から \( (0，1)，(1，0) \) までの距離を，それぞれ \( 1 \; cm \) とする。次の (1)，(2) の問いに答えなさい。

(1)　\( t=-2 \) のとき，２点 \( A，P \) を通る直線の式を求めなさい。求める過程も書きなさい。

【解答】

点 \( P \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{1}{2} \times (-2)^2=2 \)
よって，直線 \( AP \) は，\( A(-4，8)，P(-2，2) \) を通るので，
傾きは，\( \dfrac{2-8}{-2-(-4)}=-3 \)

直線 \( AP \) の式を \( y=-3x+b \) とすると，\( (-2，2) \) を通るので，
　\( 2=-3 \times (-2)+b \)
　\( b=-4 \)

よって，直線 \( AP \) の式は \( y=-3x-4 \)

(2)　\( -4 1　\( AQ=5\sqrt{2} \; cm \) になるとき，\( t \) の値を求めなさい。

【解答】

\( t=1 \)

【解説】

点 \( A \) を通り，\( y \) 軸と平行な直線と，点 \( Q \) を通り，
\( x \) 軸と平行な直線の交点を点 \( T \) とすると，
イの直線の式が \( y=-x+4 \) であることから，
\( △AQT \) は \( AQ \) を斜辺とする直角二等辺三角形になっています。

よって，\( QT=\dfrac{1}{\sqrt{2}}AQ=5 \; (cm) \)

点 \( T \) の \( x \) 座標は \( -4 \)で，
点 \( Q \) の \( x \) 座標は \( -4 \) より大きいので，
\( t=-4+5=1 \)

2　イ上に，\( x \) 座標が \( 2 \) より大きい点 \( R \) を，線分 \( BR \) の長さと線分 \( BQ \) の長さが等しくなるようにとる。ア上に，点 \( R \) と \( x \) 座標が等しい点 \( S \) をとる。四角形 \( PQSR \) の面積が \( 30 \; cm^2 \) になるとき，\( t \) の値を求めなさい。

【解答】

\( t=2-\sqrt{5} \)

【解説】

点 \( P，Q \) の \( x \) 座標が \( t \) であることから，
点 \( P \) の \( y \) 座標は，\( y=\dfrac{1}{2}t^2 \)
点 \( Q \) の \( y \) 座標は，\( y=-t+4 \)
と表せるので，
　\( PQ=(-t+4)-\dfrac{1}{2}t^2=-\dfrac{1}{2}t^2-t+4 \; (cm) \)

点 \( R \) は \( BQ=BR \) となる点で，
点 \( B \) の \( x \) 座標が点 \( Q \) の \( x \) 座標より
\( 2-t \) だけ大きいことから，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 2+(2-t)=4-t \)

点 \( R，S \) の \( x \) 座標が \( 4-t \) であることから，
点 \( R \) の \( y \) 座標は，\( y=-(4-t)+4=t \)
点 \( S \) の \( y \) 座標は，\( y=\dfrac{1}{2}(4-t)^2 \)
と表せるので，
　\( RS=\dfrac{1}{2}(4-t)^2-t=\dfrac{1}{2}t^2-5t+8 \; (cm) \)

\( PQ//RS \) であることから，四角形 \( PQSR \) は台形であり，高さは \( 2(2-t)=4-2t \; (cm) \) なので，
四角形 \( PQSR \) の面積を表す方程式は，
\( \left\{\left(-\dfrac{1}{2}t^2-t+4\right)+\left(\dfrac{1}{2}t^2-5t+8\right)\right\} \times (4-2t) \times \dfrac{1}{2}=30 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( (-6t+12)(2-t)=30 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( 6(t-2)^2=30 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( (t-2)^2=5 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( t-2=±\sqrt{5} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( t=2±\sqrt{5} \)
\( -4

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秋田 - 数学基礎トレーニングルーム

秋田県公立高校入試 令和７（2025）年度 解答＆解説

大問１

大問２

大問３

大問４

大問５

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大問１

大問２

大問３

大問４

大問５

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大問１

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