１　\( -9+7 \)

２　\( \dfrac{5}{8}+(-1) \div 4 \)

３　\( 4^2-(-3)^2 \)

４　\( \dfrac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{8} \)

５　\( -\dfrac{1}{5}a^2 \times 45b^3 \div (−ab) \)

大問２

１　家から毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩き，途中から毎分 \( 80 \; m \) で歩いたところ，家を出発してからちょうど \( 10 \) 分後，駅に着いた。このとき，\( 60x+80(10-x) \) が表している数量を，次のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

　　ア　家から駅まで歩いた時間
　　イ　家から駅まで歩いた平均の速さ
　　ウ　毎分 \( 60 \; m \) で歩いた道のり
　　エ　家から駅までの道のり

４　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x \) の値が \( 3 \) のとき \( y \) の値は \( -12 \) である。\( x \) の値が \( 4 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。

５　箱の中に５本のくじがあり，そのうち３本が当たりくじである。箱の中から，Ａさんが１本ひく。ひいたくじを箱の中に戻さないで，続けてＢさんが１本ひく。このとき，２人とも当たりくじをひく確率を求めなさい。
ただし，どのくじをひくことも同様に確からしいものとする。

大問３

１　ある中学校では６月１日からの２週間，衣替えの移行期間となる。Ｃさんは５月から暑さを感じたため，この移行期間が妥当であるか疑問をもった。そこで，昔と比べて５月の気温が高くなっているのではないかと予想し，中学校がある地域の５月の平均気温を調べて，その傾向をみることにした。
図１は，１９６５年から２０２４年までの６０年分の，それぞれの年の５月の平均気温を調べ，そのデータを１５年ごとのまとまりとして４つに分けて箱ひげ図で表したものである。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１） １９６５年～１９７９年の箱ひげ図と同じデータを使ってかいたヒストグラムを，次のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

（２） 「この地域の２０１０年～２０２４年の５月の平均気温は，１９９５年～２００９年の５月の平均気温より高くなっている傾向にある」と主張できる。その理由を，１９９５年～２００９年と２０１０年～２０２４年の２つの箱ひげ図の箱に着目して説明しなさい。

【解説】

箱ひげ図の箱の部分には約５０％の数のデータが含まれています。
２つの箱ひげ図の最大値と最小値がほぼ同じで，箱の位置が右側にあるということは

１９９５年～２００９年では，約半分の年で平均気温が\( 18.3 \; C^\circ \) 以上 \( 18.8 \; C^\circ \) 未満であるのに対して，
２０１０年～２０２４年では，約半分の年で平均気温が\( 18.9 \; C^\circ \) 以上 \( 20.8 \; C^\circ \) 未満になっています。

ここから，「２０１０年～２０２４年の５月の平均気温は，１９９５年～２００９年の５月の平均気温より高くなっている傾向にある」といえます。

２　横が縦より \( 5 \; cm \) 長い長方形の紙がある。この紙の縦の長さを \( x \; cm \) とする。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。ただし，紙の厚さは考えないものとする。

（２） 図３のような，ふたのある直方体の箱を作る。そのため，図４のように，図２の４すみの正方形のうち２つを長方形に変えて切り取った。
このとき，直方体の容積を表す式を求めなさい。

【解説】

直方体の底面の縦の長さを \( a \; cm \)，
横の長さを \( b \; cm \) とすると，
高さ（深さ）は \( 3 \; cm \) なので，
この直方体の容積は
　\( a \times b \times 3=3ab \) ･･･ ➀
と表すことができます

図４の展開図に各辺の長さを書き込むと
右の図のようになるので，
紙の縦の長さの関係を方程式で表すと，
　\( x=3+b+3 \)
　\( b=x-6 \)
紙の縦の長さの関係を方程式で表すと，
　\( x+5=2(3+a) \)
　\( x+5=2a+6 \)
　　 \( 2a=x-1 \)
　　　 \( a=\dfrac{x-1}{2} \)

これらを➀に代入すると，
　\( 3 \times \dfrac{x-1}{2} \times (x-6)=\dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

大問４

電気を使って温度を保ったまま，お湯をためておくことができる電気給湯器がある。この電気給湯器は360Lで満水状態となる。また，表のように常に一定のお湯を出したり，ためたりすることができるスイッチがついている。なお,複数のスイッチを同時に押すことはできない。
最初にスイッチを押してから \( x \) 分後の電気給湯器の中のお湯の量を \( y \; L \) として，\( x \) と \( y \) の関係を考えることとする。
このとき，次の１～３に答えなさい。

（１） 式の定数の部分 \( 360 \) が表しているものを，次のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

　　　　 ア　電気給湯器の中のお湯がなくなるまでにかかる時間
　　　　 イ　満水状態の電気給湯器の中のお湯の量
　　　　 ウ　\( 30 \) 分後の電気給湯器の中のお湯の量
　　　　 エ　\( 1 \) 分間あたりの電気給湯器の中のお湯の増加量

（２） \( x \) の増加量が \( 10 \) のとき，\( y \) の増加量を求めなさい。

２　満水状態からスイッチＢを押し，お湯を出し続けるとき，\( 5 \) 分後の電気給湯器の中のお湯の量を求めなさい。

（１） 満水状態からスイッチＡを押した場合とスイッチＢを押した場合の電気給湯器の中のお湯が \( 180 \; L \) になるまでにかかる時間の違いを，図のグラフから求めることができる。その方法を説明しなさい。
ただし，実際に求める必要はない。

（２） 満水状態からスイッチＡを押し，しばらくお湯を出した後，\( 20 \) 分間だけスイッチＣに切り替え，電気給湯器の中にお湯をためた。その後，満水状態になる前にスイッチＢに切り替え，電気給湯器の中のお湯がなくなるまでお湯を出した。満水状態からお湯がなくなるまでに，\( 55 \) 分間かかった。このとき，スイッチＣに切り替えてから，スイッチＢに切り替えるまでの \( x \) と \( y \) の関係を表した式と，そのときの \( x \) の変域を求めなさい。

大問５

図１，２において，関数 \( y=ax^2(a>0) \) のグラフと点 \( A，B，C \) がある。点の座標は，それぞれ
\( A(2，1)，B(5，1)，C(2，3) \) である。点 \( A，B，C \) を頂点とする三角形は， \( ∠CAB \) が直角である直角三角形である。
このとき，次の１～３に答えなさい。

（２） \( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) のとき，\( y \) の値の最小値を求めなさい。また，そのときの \( x \) の値も求めなさい。

２　グラフと直角三角形 \( ABC \) の周が２点で交わっているとき，\( a \) のとりうる値の範囲を求めなさい。

大問６

ある本の中で，正方形の折り紙の１辺を３等分する点の１つを見つける方法が，次のように書かれていた。

このとき，次の１～３に答えなさい。ただし，紙の厚さは考えないものとする。

１　図１において，\( △AHM \) ∽ \( △DMF \) となることを証明しなさい。

２　この本の中で，１辺の長さが \( 8 \; cm \) の正方形の折り紙を使って，点 \( H \) が辺 \( AB \) を３等分する点の１つとなることの説明が、次のように書かれていた。
　（１）　 には \( x \) を用いた式を，　（２）　 には当てはまる数をそれぞれ書きなさい。

（２） \( △MHF \) を，直線 \( HF \) を軸として回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

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１　\( 7+(-11) \)

２　\( \dfrac{8}{3} \div (-6)-\dfrac{1}{9} \)

３　\( (-9)^2-5^2 \)

４　\( 3\sqrt{5}+\sqrt{10} \div \sqrt{2} \)

５　\( -3x^2y \times 4y^2 \div (−6xy^2) \)

６　\( \dfrac{x+y}{4}-\dfrac{x-y}{8} \)

大問２

１　２次方程式 \( x^2+4x-2=0 \) を解きなさい。

４　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-1 \) のとき \( y=-4 \) である。このとき，この関係を表すグラフ上にある \( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数となる点の個数を求めなさい。

５　箱の中に，赤球２個，青球１個，白球２個が入っている。この箱の中から球を同時に２個取り出したとき，取り出した球の中に青球が含まれる確率を求めなさい。
ただし，どの球を取り出すことも同様に確からしいものとする。

大問３

（１） 図２が表している \( x \) と \( y \) の関係は，どの多角形を引き出した場合であるか。その様子を表したものを，図１のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

（２） 図２のグラフについて，\( x \) の変域が \( 4≦x≦8 \) のとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

（１） 表の 　　　 に当てはまる数量を，\( n \) を使った式で表しなさい。

（２） 「塩こうじ」が \( 27 \; g \) ある。これを使って「野菜の塩こうじ漬け」を表のとおり作る。\( 240 \; g \) の野菜をすべて漬けようとするとき，「塩こうじ」はこの分量で足りるか。次のア，イから正しいものを１つ選び，その記号を書きなさい。また，それが正しいことの理由を表の式をもとに根拠を示して説明しなさい。

ア 「塩こうじ」は \( 27 \; g \) で足りる。
イ 「塩こうじ」は \( 27 \; g \) では足りない。

（３） Ａさんが，「野菜の塩こうじ漬け」を作るために野菜を用意したところ，にんじんと白菜の分量の比が \( 1：10 \) であった。そこで，にんじんを \( 15 \; g \) 増やし，にんじんと白菜の分量の比が \( 1：7 \) になるよう調整した。このとき，必要な「塩こうじ」の分量を求めなさい。

大問４

（１） 中央値が含まれる階級を求めなさい。

（２） １分間あたりの文字入力数が４０文字以上の生徒の人数の割合は，全体の何%か求めなさい。

（１） ２つの分布の傾向を比べるために，相対度数を用いることについて，次のように理由を示した。　Ｘ　 に当てはまるものを下のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。

（２） 図２は度数分布表をもとに，横軸を文字入力数，縦軸を相対度数として度数分布多角形(度数折れ線)に表したものである。図２から「１日あたりのＩＣＴ機器を学習に用いた時間が \( 60 \) 分以上（ ② ）の生徒は，\( 60 \) 分未満（ ① ）の生徒より，１分間あたりの文字入力数が多い傾向にある」と主張することができる。そのように主張することができる根拠を，２つの度数分布多角形の特徴を比較して説明しなさい。

大問５

２ ① の関数 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) において，\( x \) の変域が \( -3≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。

３ 図２において，直線 \( AB \) と \( y \) 軸との交点を点 \( C \) とする。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（２） \( x \) 軸上にある点 \( Q \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，\( △AQB \) の面積が \( △AOB \) の面積の２倍となるような \( t \) の値をすべて求めなさい。

大問６

（１） \( △ABC≡△EDC \) となることを証明しなさい。

（２） \( AB=8 \; cm, ∠ABC=18° \) のとき，点 \( A \) を含まない弧 \( EB \) の長さを求めなさい。

（１） 辺 \( OA \) の長さを求めなさい。

（２） \( △PQH \) を，直線 \( OH \) を軸として回転させてできる立体の体積を求めなさい。

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１　\( 6-(-7) \)

２　\( 14 \div \left( -\dfrac{7}{2} \right) \)

３　\( -2^2+(-5)^2 \)

４　\( \sqrt{8}-3\sqrt{6} \times \sqrt{3} \)

５　\( 9x^2y \times 4x \div (-8xy) \)

６　 \( x(3x+4)-3(x^2+9) \)

大問２

１　２次方程式 \( x^2-9x-36=0 \) を解きなさい。

３　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=4 \) のとき \( y=-5 \) である。このときの比例定数を求めなさい。

５　あるクラスで生徒の家にある本の冊数を調べた。１５人ずつＡ班とＢ班に分け，それぞれの班のデータを集計した。図は，Ａ班のデータの分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の(1) ，(2)に答えなさい。

(1)　図において，A班の箱ひげ図から四分位範囲を求めなさい。

(2)　下のデータは，Ｂ班のデータを小さい方から順に整理したものである。このデータをもとに，Ｂ班のデータの分布のようすを表す箱ひげ図をかき入れなさい。

【解答】

【解説】

Ｂ班の人数は１５人なので，
第一四分位数：少ない方から４番目，中央値：少ない方から８番目，第三四分位数：多い方から４番目
になります。
よって，最小値：２０冊，第一四分位数：１００冊，中央値：１３０冊，第三四分位数：１６０冊，
最大値：１８０冊 になります。

大問３

ある中学校では，芸術鑑賞会を体育館で行うことになり，生徒会役員のＡさんは，そのための準備をしている。このことに関する次の問題に答えなさい。

１列目に並べる椅子の数と通路の横幅の関係については，次の式で表すことができ，Ａさんは，その式を用いて
１列目に並べる椅子の数と通路の横幅を検討することにした。

Ａさんが検討に用いた式
１列目に並べる椅子の数を \( x \) 脚，通路の横幅を \( y \; m \) としたとき
　\( 0.5x+1.5(x-1)+2y=29 \)

このとき，次の(1) ，(2) に答えなさい。

(1)　Ａさんが検討に用いた式の \( (x-1) \) が表しているものを次のア～エから１つ選び，その記号を書きなさい。
　　 ア　１列目に並べる椅子の数
　　 イ　椅子と椅子の間の長さ
　　 ウ　椅子と椅子の間の数
　　 エ　椅子と椅子の間の長さの和

(2)　Ａさんが１列目に椅子を１２脚並べようとしていたところに，「演出の都合上，左右の通路の横幅をそれぞれ \( 3.5 \; m \) は確保してほしい」という連絡があった。１列目に椅子を１２脚並べたとき，通路の横幅を \( 3.5 \; m \) とることができるか。次のア，イから正しいものを１つ選び，その記号を書きなさい。また，それが正しいことの理由をＡさんが検討に用いた式をもとに根拠を示して説明しなさい。

　　ア　通路の横幅を \( 3.5 \; m \) とることができる。　　イ　通路の横幅を \( 3.5 \; m \) とることができない。

２　生徒会役員Ａさん，Ｂさん，Ｃさん，Ｄさん，Ｅさん，Ｆさんの６人の中から，芸術鑑賞会当日に花束贈呈を担当する人を２人選ぶことになった。花束贈呈を担当する２人については，次の方法で選ぶ。

(1)　６人の中から花束贈呈を担当する２人を選ぶときの選び方は，全部で何通りあるか求めなさい。

【解説】

２人の選び方の組み合わせを樹形図に書いてみると，下の図のようになり，１５通り

(2)　Ａさん，Ｂさんのどちらも花束贈呈の担当に選ばれない確率を求めなさい。

【解説】

(1) の樹形図において，Ａ，Ｂどちらも選ばれない組み合わせに ○ ，Ａ，Ｂどちらか，または両方が
選ばれる組み合わせに ✕ をつけます。
Ａ，Ｂどちらも選ばれない組み合わせは６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5} \)

大問４

姉と弟は，母の誕生日パーティーの準備をしている。２人は \( 10 \) 時に自宅を出発し，姉は自転車で花屋とケーキ屋へ，弟は徒歩で雑貨屋へ買い物をするために出かけた。姉は雑貨屋の前とケーキ屋の前を通過し，花屋で買い物をしてから，帰りにケーキ屋で買い物をした。次の資料は，各地点の間の道のりと２人の移動のようすを示したものである。ただし，２人は同じ道を往復することとし，どの区間でも移動する速さは，それぞれ一定であるものとする。

１　２人が出発してから \( 5 \) 分経過したとき，姉のいる地点と弟のいる地点の道のりの差を図のグラフから求めることができる。その方法を説明しなさい。ただし，実際に道のりの差を求める必要はない。

２　図の ➁ について，\( x \) の変域が \( 0≦x≦10 \) のとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

３　姉が花屋とケーキ屋に滞在していた時間をそれぞれ求めなさい。

４　弟は，雑貨屋から自宅まで帰る途中で姉に追い越された。追い越された地点から自宅までの道のりを求めなさい。

大問５

(1)　\( a=\dfrac{1}{4} \) のとき，直線 \( AB \) の式を求めなさい。

(2)　\( △AOB \) の面積が \( 20 \) になるときの \( a \) の値を求めなさい。

(1)　\( △ABD \) ∽ \( △BCD \) となることを証明しなさい。

ア　\( ∠ABD \) 　　　イ　\( ∠BCE \) 　　　ウ　\( ∠DAB \) 　　　エ　\( ∠DBE \)
オ　２つの辺が等しい三角形は２つの角が等しくなる
カ　２つの角が等しい三角形は二等辺三角形になる

【解説】

(3)　図３において，\( AB=3 \; cm，BC=4 \; cm \) であるとき，線分 \( BE \) の長さを求めなさい。

大問６

(1)　四角形 \( APCQ \) と四角形 \( LIJK \) の面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)　３点 \( A，I，M \) を頂点とする \( △AIM \) の面積を求めなさい。

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