（１） \( (-3) \times 4+5 \) を計算しなさい。

（２） \( 3x-y=4 \) を \( y \) について解きなさい。

（３） \( (\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2) \) を計算しなさい。

（４） \( y \) が \( x \) に反比例するものを，ア～エから１つ選び，符号で書きなさい。

　　　ア　１辺が \( x \; cm \) の正方形の面積が \( y \; cm^2 \)
　　　イ　長さが \( 60 \; cm \) のリボンを \( x \; cm \) 使ったとき，残りの長さが \( y \; cm \)
　　　ウ　分速 \( 130 \; m \) で \( x \) 分間走ったとき，進んだ道のりが \( y \; m \)
　　　エ　\( 10 \; L \) 入る空の容器に毎分 \( x \; L \) ずつ水を入れたとき，満水になるまでにかかる時間が \( y \) 分

（５） Ａ賞，Ｂ賞，Ｃ賞のくじが１本ずつ合計３本のくじが入っている箱がある。この中から１本引き，それを箱に戻してよくかき混ぜてから，もう１本引く。このとき，Ａ賞とＢ賞のくじを１本ずつ引く確率を求めなさい。

大問２

連続する３つの自然数について，最も小さい自然数を \( x \) とする。次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） 連続する３つの自然数のうち，最も大きい自然数を \( x \) を使った式で表しなさい。

（２） 連続する３つの自然数のそれぞれの２乗の和を，\( ax^2+bx+c \) の形で表しなさい。

（３） 連続する３つの自然数のそれぞれの２乗の和が \( 245 \) であるとき，\( x \) の値を求めなさい。

大問３

下の表は，Ａ中学校の生徒 \( 50 \) 人とＢ中学校の生徒 \( 20 \) 人について, ある日の家庭学習時間の相対度数を表したものである。

次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） Ａ中学校の家庭学習時間の最頻値を求めなさい。

（２） Ｂ中学校で, 家庭学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の生徒の人数を求めなさい。

（３） Ａ中学校とＢ中学校の家庭学習時間について述べた文として正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。

　　　ア　Ａ中学校は，Ｂ中学校より，最頻値が大きい。
　　　イ　Ａ中学校は，Ｂ中学校より，中央値が小さい。
　　　ウ　Ａ中学校は，Ｂ中学校より，\( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の生徒の人数が多い。
　　　エ　Ａ中学校は，Ｂ中学校より，\( 60 \) 分未満の生徒の人数が少ない。

大問４

ある作業場では, 大小２種類の電気器具Ａ，Ｂを蓄電池につないで使う。蓄電池は \( 1600 \; Wh \) まで充電でき，Ａ，Ｂを使うと蓄電池の残量は，それぞれ毎時間一定の割合で減少する。Ａのみを使うとき，蓄電池の残量は \( 8 \) 時間で \( 1600 \; Wh \) から \( 0 \; Wh \) になる。
作業初日，\( 1600 \; Wh \) まで充電した蓄電池に，Ａをつないで使い始め，\( 5 \) 時間後にＡをＢに切り換えると，Ａを使い始めてから \( 13 \) 時間後に蓄電池の残量は \( 0 \; Wh \) になった。
Ａを使い始めてから \( x \) 時間後の蓄電池の残量を \( y \; Wh \) とすると，\( x \) と \( y \) の関係は下の表のようになった。

次の（１）～（４）の問いに答えなさい。

（１） 表中の ア ,  イ に当てはまる数を求めなさい。

（２） \( x \) の変域を次の（ア），（イ）とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
（ア） \( 0≦x≦5 \) のとき

（イ） \( 5≦x≦13 \) のとき

（３） \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかきなさい。(\( 0≦x≦13 \))

【解答】

（２）より，このグラフは \( (0，1600)，(5，600)，(13，0) \) の３点を通るので，
　　

（４） この作業場では,毎日，Ａ，Ｂを合計 \( 11 \) 時間は使う必要がある。作業初日に，Ａを使う時間をできる限り長くするためには，Ａを使い始めてから何時間何分後に，ＡをＢに切り換えるとよかったかを求めなさい。

大問５

（１） \( △ABD≡△BCE \) であることを証明しなさい。

（２） \( AB=5 \; cm，BD=3 \; cm \) のとき,
（ア） \( △BDC \) の面積を求めなさい。

（イ） \( △ACE \) の面積を求めなさい。

大問６

図１のように，白色の面に１から６までの自然数が１つずつ書かれた６枚のカードがある。これらのカードの反対側の面は灰色で，白色の面と同じ自然数が書かれている。また，図２のように，袋の中に赤玉，青玉，黄玉がそれぞれ１個ずつ入っている。
全てのカードの白色の面を上にしてから，次の操作を繰り返し行う。

図３は，１回目の操作で赤玉，２回目の操作で青玉を取り出したときの，カードの上になっている面を表している。
次の（１）～（４）の問いに答えなさい。

（１） １０回の操作で，赤玉を５回，青玉を３回，黄玉を２回取り出すとき，２が書かれたカードを裏返す回数を求めなさい。

（２） 次の文章は，１０回の操作で各カードを裏返す回数について，太郎さんが考えたことをまとめたものである。ア，イには，\( a，b \) を使った式を，ウには \( b \) を使った式を，エには数を，それぞれ当てはまるように書きなさい。

　１０回の操作で, 赤玉を取り出す回数を \( a \) 回，青玉を取り出す回数を \( b \) 回とすると，黄玉を取り出す
　回数は \( ( \)　ア　\( ) \) 回と表すことができる。このとき，各カードを裏返す回数は下の表のようになる。

（３） １０回の操作を行った後，白色の面が上になっているカードが２枚であるとき，その２枚のカードに書かれている自然数を両方とも書きなさい。

（４） １０回の操作を行った後，各カードの上になっている面の色を下の表に記録する。この記録によってできる表は，全部で何通りあるかを求めなさい。

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（１） \( 8+(-4) \div 2 \) を計算しなさい。

（２） \( 3x+y-2(x-3y) \) を計算しなさい。

（３） \( \sqrt{3}+\dfrac{9}{\sqrt{3}} \) を計算しなさい。

（４） \( y \) が \( x \) に反比例し，\( x=-6 \) のとき \( y=10 \) である。\( x=-3 \) のときの \( y \) の値を求めなさい。

（５） ある店で，８月の３１日間，毎日ケーキとプリンが売られていた。下の図は，ケーキとプリンが８月の各日に売れた個数について，それぞれのデータの分布の様子を箱ひげ図に表したものである。この図から読み取れることとして正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
　　

　　　　　ア　ケーキとプリンでは，最大値が同じである。
　　　　　イ　ケーキとプリンでは，中央値が同じである。
　　　　　ウ　ケーキとプリンでは，プリンのほうが四分位範囲は大きい。
　　　　　エ　ケーキとプリンでは，ケーキのほうが１９個以上売れた日は多い。

【解説】

イ ･･･ 中央値は，どちらも \( 15 \) 個。
ウ ･･･ 全部で３１日分のデータなので，第三四分位数は売れた数の少ない方から \( 24 \) 番目
　　　 （多い方から \( 8 \) 番目）の値になります。
　　　 第三四分位数は，ケーキが \( 20 \) 個，プリンが\( 18 \) 個であることから，
　　　 ケーキが \( 19 \) 個以上売れたのは８日以上，プリンが \( 19 \) 個以上売れたのは７日以下なので，
　　　 ケーキのほうが１９個以上売れた日は多い。

【正しくない理由】
ア ･･･ 最大値は，ケーキが \( 21 \) 個，プリンが \( 22 \) 個なので，同じではない。
ウ ･･･ 四分位範囲は，ケーキが \( 20-12=8 \) 個，プリンが\( 18-11=7 \) 個なので，
　　　 ケーキのほうが大きい。

大問２

あるパーティー会場にテーブルが何台かある。これらを全て使い，パーティーの全ての参加者をテーブルごとに分けて座らせたい。いま，参加者をテーブルごとに \( 6 \) 人ずつ分けると，テーブルが不足し，\( 8 \) 人が座れない。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） パーティー会場にあるテーブルの台数を \( x \) 台とするとき，参加者の人数を \( x \) を使った式で表しなさい。

【解説】

テーブル \( x \) 台のところに座ることができる人は \( 6x \) 人，
プラス，座れない人が \( 8 \) 人いるので，
参加者の人数は，\( 6x+8 \) 人になります。

（２） 参加者をテーブルごとに \( 7 \) 人ずつ分けると，テーブルは \( 2 \) 台余るが，全ての参加者が \( 7 \) 人ずつ座れる。

（ア） パーティー会場にあるテーブルは全部で何台かを求めなさい。

（イ） パーティー会場にあるテーブルを全て使い，全ての参加者をテーブルごとに \( 6 \) 人か \( 7 \) 人のどちらかに分けるとすると，\( 6 \) 人のテーブルは全部で何台になるかを求めなさい。

大問３

例えば，１回目に \( \fbox{2} \) のカードを，２回目に \( \fbox{0} \) のカードを取り出したとき，１回目の操作後に \( P \) は頂点 \( C \) にあり，２回目の操作後も \( P \) は頂点 \( C \) にある。
次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） １回目の操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にある確率を求めなさい。

（２） １回目の操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にあり，２回目の操作後も \( P \) が頂点 \( A \) にある確率を求めなさい。

（３） ２回目の操作後に \( P \) が頂点 \( A \) にある確率を求めなさい。

大問４

（１） \( a \) の値を求めなさい。

（２） 表中のア，イに当てはまる数を求めなさい。

（３） \( x \) の変域を \( 20≦x≦40 \) とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

（４） 右の図に，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかきなさい。 \( (0≦x≦40) \)

【解答】

（５） 線路と平行な道路がある。太郎さんは，はじめ，道路上で，電車の先頭部分と並ぶ位置にいた。電車が \( P \) 駅を出発すると同時に太郎さんも走り始め，この道路を東に向かって一定の速さで走った。太郎さんは，走り始めた直後は電車より前方を走っていたが，走り始めてから \( 10 \) 秒後に電車の先頭部分に追いつかれた。その後，太郎さんの横を電車が通り過ぎていき，やがて太郎さんは電車に完全に追い越された。太郎さんが電車に完全に追い越されたのは，電車が \( P \) 駅を出発してから何秒後であったかを求めなさい。

大問５

（１） \( △ABG≡△FBE \) であることを証明しなさい。

（２） \( AB=5 \; cm，BC=4 \; cm \) のとき，
（ア） \( AE \) の長さは，\( EF \) の長さの何倍であるかを求めなさい。

（イ） 平行四辺形 \( ABCD \) の面積は，\( △BEG \) の面積の何倍であるかを求めなさい。

大問６

【解説】

下の図のとおり，\( (1，1) \) から \( (10，8) \) まで \( 10 \times 8=80 \) 通り選ぶことができます。

（２） 次の文章は，\( △OAP \) が直角三角形となる \( P \) のとり方について，花子さんが考えたことをまとめたものである。　ア　 ～ 　エ　 にそれぞれ当てはまる数を書きなさい。

（３） \( △OAP \) の内角が全て鋭角となる \( P \) のとり方は，全部で何通りあるかを求めなさい。

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(1)　\( 2 \times (-3)+3 \) を計算しなさい。

(2)　\( 2ab \div \dfrac{b}{2} \) を計算しなさい。

(3)　\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2 \) を計算しなさい。

(4)　２個のさいころを同時に投げるとき，出る目の数の和が６の倍数にならない確率を求めなさい。

【解説】

２個のさいころの出る目の数の和は，２～１２のどれかであり，この中で６の倍数は６と１２です。
２個のさいころの出る目の数の組み合わせと和を表に表し，６の倍数のところに ○ をつけてみます。

この中で，和が６または１２になるのは６通り，すべての場合の数は３６通りなので，
和が６の倍数になる確率は，\( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)
よって，和が６の倍数にならない確率は，\( 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} \)

(5)　関数 \( y=-2x^2 \) について述べた文として正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
　　　 ア　\( x \) の値が \( 1 \) ずつ増加すると，\( y \) の値は \( 2 \) ずつ減少する。
　　　 イ　\( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) のときと \( -1≦x≦4 \) のときの，\( y \) の変域は同じである。
　　　 ウ　グラフは \( x \) 軸について対称である。
　　　 エ　グラフは下に開いている。

大問２

(2)　\( B \) の底面の長方形の１辺の長さを \( x \; cm \) としたとき，\( B \) の底面の面積を \( x \) を使った式で表しなさい。

(3)　\( B \) に水をいっぱいになるまで入れ，その水を全て空の \( A \) に移したところ，水面の高さが \( 30 \; cm \) になった。\( B \) の底面の長方形において，短いほうの辺の長さを求めなさい。

大問３

下の図は，ある中学校の３年Ａ組の生徒３５人と３年Ｂ組の生徒３５人が１学期に読んだ本の冊数について，クラスごとのデータの分布の様子を箱ひげ図に表したものである。

次の (1)～(3) の問いに答えなさい。

(1)　３年Ａ組の第１四分位数を求めなさい。

【解説】

(2)　３年Ａ組の四分位範囲を求めなさい。

【解説】

四分位範囲は，第３四分位数 \( – \) 第１四分位数で求められるので，
\( 9-5=4 \) （冊）

(3)　図から読み取れることとして正しいものを，ア～エから全て選び，符号で書きなさい。
　　 ア　３年Ａ組と３年Ｂ組は，生徒が１学期に読んだ本の冊数のデータの範囲が同じである。
　　 イ　３年Ａ組は，３年Ｂ組より，生徒が１学期に読んだ本の冊数のデータの中央値が小さい。
　　 ウ　３年Ａ組は，３年Ｂ組より，１学期に読んだ本が９冊以下である生徒が多い。
　　 エ　３年Ａ組と３年Ｂ組の両方に，１学期に読んだ本が１０冊である生徒が必ずいる。

大問４

(2)　\( x \) の変域を次の (ア) ，(イ) とするとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
　　 (ア)　\( 0≦x≦8 \) のとき
　　 (イ)　\( 16≦x≦24 \) のとき

(3)　花子さんは \( 13 \) 時にＢ駅を出発し，モノレールの線路沿いにある歩道をＡ駅に向かって一定の速さで歩いた。花子さんはＢ駅を出発してから \( 56 \) 分後に，モノレールと同時にＡ駅に到着した。

(ア)　花子さんが初めてモノレールとすれ違ったのは，モノレールが \( 13 \) 時にＡ駅を出発してから，何分後であったかを求めなさい。

(イ)　花子さんは，初めてモノレールとすれ違った後，Ａ駅に向かう途中で，Ｂ駅から戻ってくるモノレールに追い越された。花子さんが初めてモノレールとすれ違ってから途中で追い越されるまでに，歩いた道のりは何 \( m \) であったかを求めなさい。

大問５

(1)　\( △AEC \) ∽ \( △BGC \) であることを証明しなさい。

(2)　\( AB=4 \; cm，BC=5 \; cm，CA=6 \; cm \) のとき,
(ア)　\( CE \) の長さを求めなさい。

【解説】

線分 \( AD \) は \( ∠BAC \) の二等分線なので，
\( BE：CE=AB；CA \) となります。
\( CE=x \; cm \) とすると，
　\( AB：CA=BE：CE \)
　\( AB：CA=(BC-CE)：CE \)
　　　 \( 4：6=(5-x)：x \)
　　　　 \( 4x=6(5-x) \)
　　　　\( 10x=30 \)
　　　　　\( x=3 \; (cm) \)

角の二等分線の性質

\( a：b=c：d\)

(イ)　\( △BEF \) の面積は，\( △AFG \) の面積の何倍であるかを求めなさい。

大問６

\( 10 \) 以上の自然数について，次の作業を何回か行い，１けたの自然数になったときに作業を終了する。

例えば，\( 99 \) の場合は，<例> のように自然数が変化し，２回目の作業で終了する。
　　　　<例>　 \( 99 \) → \( 18 \) → \( 9 \)

次の (1)～(5) の問いに答えなさい。

(1)　\( 1999 \) の場合は，作業を終了するまでに自然数がどのように変化するか。 <例>にならって書きなさい。

(2)　\( 10 \) 以上 \( 30 \) 以下の自然数のうち，２回目の作業で終了するものを全て書きなさい。

(3)　次の文章は，３けたの自然数の場合に何回目の作業で終了するかについて，太郎さんが考えたことをまとめたものである。　ア　 には \( a，b，c \) を使った式を，　イ　，　ウ　 には数を，それぞれ当てはまるように書きなさい。

３けたの自然数の百の位の数を \( a \) ，十の位の数を \( b \) ，一の位の数を \( c \) とすると，１回目の作業
でできる自然数は，　ア　 と表すことができる。　ア　 の最小値は \( 1 \) で，最大値は 　イ　 である。
➀　　ア　 が１けたの自然数のとき
　　１回目の作業で終了する。
➁　　ア　 が２けたの自然数のとき
　　１回目の作業では終了しない。 作業を終了するためには，　ア　 が 　ウ　 のときはあと２回，
　　他のときはあと１回の作業を行う必要がある。
　　したがって，３けたの自然数のうち，３回目の作業で終了するものでは，　ア　 \( = \) 　ウ　 が成り立つ。

(4)　百の位の数が \( 1 \) である３けたの自然数のうち，３回目の作業で終了するものを求めなさい。

(5)　３けたの自然数のうち，３回目の作業で終了するものは，全部で何個あるかを求めなさい。

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