愛知 - 数学基礎トレーニングルーム https://service.1escape1.net 中学数学の基礎を学ぶ部屋 Mon, 16 Dec 2024 17:03:45 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.8.13 愛知県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説 https://service.1escape1.net/kouritsu_aichi_2024/ https://service.1escape1.net/kouritsu_aichi_2024/#respond Tue, 17 Dec 2024 13:00:08 +0000 https://service.1escape1.net/?p=18846 大問１ （１） \( 4 \times (-3)-(-6) \div 3 \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。 　　　 ア　\( -14 \) 　　　　　　　イ　\( -10 […]

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]]> 大問１

（１） \( 4 \times (-3)-(-6) \div 3 \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( -14 \) 　　　　　　　イ　\( -10 \) 　　　　　　　ウ　\( -2 \) 　　　　　　　エ　\( 4 \)

【解答】
イ　\( -10 \)
【解説】
\( =-12-(-2) \)
\( =-12+2 \)
\( =-10 \)

 

（２） \( \dfrac{-2x+1}{4}-\dfrac{x-3}{3} \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( -10x+15 \) 　　　 イ　\( \dfrac{-10x-9}{12} \) 　　　 ウ　\( \dfrac{-10x+15}{12} \) 　　　 エ　\( \dfrac{-5x+5}{2} \)

【解答】
ウ　\( \dfrac{-10x+15}{12} \)
【解説】
\( =\dfrac{3(-2x+1)}{12}-\dfrac{4(x-3)}{12} \)
\( =\dfrac{3(-2x+1)-4(x-3)}{12} \)
\( =\dfrac{-6x+3-4x+12}{12} \)
\( =\dfrac{-10x+15}{12} \)

 

（３） \( (6a^2b-12ab^2) \div \dfrac{2}{3}ab \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( -9ab \) 　　　　　 イ　\( 4a-8b \) 　　　　　 ウ　\( 9a-2b \) 　　　　　 エ　\( 9a-18b \)

【解答】
エ　\( 9a-18b \)
【解説】
\( =\dfrac{3(6a^2b-12ab^2)}{2ab} \)
\( =\dfrac{18a^2b-36ab^2}{2ab} \)
\( =9a-18b \)

 

（４） \( x=\sqrt{3}+\sqrt{2}，y=\sqrt{3}-\sqrt{2} \) のとき，\( x^2+xy-y^2 \) の値として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( 1 \) 　　　　　　　　イ　\( 11 \) 　　　　　　　　ウ　\( 4\sqrt{6}+1 \) 　　　　　エ　\( 4\sqrt{6}+11 \)

【解答】
ウ　\( 4\sqrt{6}+1 \)
【解説】
与式 \( =x^2-y^2+xy \)
　　 \( =(x+y)(x-y)+xy \)

\( x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3} \)
\( x-y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2} \)
\( xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1 \)
なので，
\( (x+y)(x-y)+xy=2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2}+1 \)
　　　　　　　　　　 \( =4\sqrt{6}+1 \)

 

（５） 方程式 \( (x+3)^2-11=5(x+2) \) の解として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( x=-4，-3 \) 　　イ　\( x=-4，3 \) 　　　 ウ　\( x=-3，4 \) 　　　　エ　\( x=3，4 \)

【解答】
イ　\( x=-4，3 \)
【解説】
\( x^2+6x+9-11=5x+10 \)
　　 \( x^2+x-12=0 \)
　\( (x-3)(x+4)=0 \)
　　　　　　　　\( x=3，-4 \)

 

（６） １個 \( a \; g \) のトマト \( 3 \) 個，１本 \( b \; g \) のきゅうり \( 2 \) 本をあわせた重さが \( 900 \; g \) より軽いという関係を表している不等式を，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( 3a+2b≦900 \) 　　イ　\( 3a+2b<900 \) 　　ウ　\( 3a+2b≧900 \) 　　エ　\( 3a+2b>900 \)

【解答】
イ　\( 3a+2b<900 \)
【解説】
１個 \( a \; g \) のトマト \( 3 \) 個分の重さは \( 3a \; g \)
１本 \( b \; g \) のきゅうり \( 2 \) 本分の重さは \( 2b \; g \)
これらをあわせた重さは \( 3a+2b \; g \)
これが \( 900 \; g \) より軽いので，
求める不等式は，\( 3a+2b<900 \)

【参考】
「ＡはＢより軽い」というときは \( A<B \) ，
「Ａの重さはＢの重さ以下」というときは \( A≦B \) になります。

 

（７） \( y \) が \( x \) に反比例し，\( x=4 \) のとき \( y=3 \) である関数のグラフ上の点で，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数であり，\( x \) 座標が \( y \) 座標よりも小さい点は何個あるか，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( 1 \) 個 　　　　　　　 イ　\( 2 \) 個 　　　　　　　 ウ　\( 3 \) 個 　　　　　　　 エ　\( 6 \) 個

【解答】
エ　\( 6 \) 個
【解説】
反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \) (\( a \) は定数) であり，
\( x，y \) の値がともに整数になるとき，\( x，y \) の値は \( a \) の約数になります。

\( y=\dfrac{a}{x} \) に \( x=4，y=3 \) を代入すると，
　\( 3=\dfrac{a}{4} \)
　\( a=12 \)
なので，このグラフを表す式は \( y=\dfrac{12}{x} \)

\( x，y \) の値がともに整数になるとき，\( x，y \) の値は \( 12 \) の約数になるので，
あてはまる座標は，
　\( (x，y)=(1，12)，(2，6)，(3，4)，(4，3)，(6，2)，(12，1) \)
　　　　　 \( (-1，-12)，(-2，-6)，(-3，-4)，(-4，-3)，(-6，-2)，(-12，-1) \)
の \( 12 \) 個

この中で，\( x \) 座標が \( y \) 座標よりも小さいのは，
　\( (x，y)=(1，12)，(2，6)，(3，4)，(-4，-3)，(-6，-2)，(-12，-1) \)
の \( 6 \) 個

 

 

（８） 平方根について正しく述べたものを，次のアからカまでの中から二つ選びなさい。

　　　 ア　\( 64 \) の平方根は \( ±8 \) である。
　　　 イ　\( \sqrt{16} \) は \( ±4 \) である。
　　　 ウ　\( \sqrt{(-6)^2} \) は \( -6 \) である。
　　　 エ　\( \sqrt{16}-\sqrt{9} \) は \( \sqrt{7} \) である。
　　　 オ　\(  \sqrt{3} \times 5 \) は \( \sqrt{15} \) である。
　　　 カ　\( \sqrt{21} \div \sqrt{7} \) は \( \sqrt{3} \) である。

【解答】
ア，カ
【解説】
正しく直すと･･･
イ　\( \sqrt{16}=4 \)
ウ　\( \sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6 \)
エ　\( \sqrt{16}-\sqrt{9}=4-3=1 \)
オ　\( \sqrt{3} \times 5=5\sqrt{3} \)

 

（９） 図は，小学校６年生 \( 40 \) 人のソフトボール投げの記録を整理し，ヒストグラムで表したものである。
この記録を箱ひげ図で表したとき，最も適当な図を，次のアからエまでの中から選びなさい。

【解答】
エ
【解説】
ヒストグラムより，最小値は「\( 5 \; m \) 以上 \( 10 \; m \) 未満」の階級にあるので，
イの箱ひげ図はあてはまりません。

このヒストグラムに累積度数をかき加えると，
右の図のようになります。

全部で \( 40 \) 人のデータを集計していることから，

第一四分位数は記録の短い方から
\( 10 \) 番目と \( 11 \) 番目の平均値なので，
第一四分位数が属するのは，
「\( 15 \; m \) 以上 \( 20 \; m \) 未満」の階級になります。

中央値は記録の短い方から
\( 20 \) 番目と \( 21 \) 番目の平均値なので，
中央値が属するのは，
「\( 25 \; m \) 以上 \( 30 \; m \) 未満」の階級になります。

これらがあてはまるのは，エの箱ひげ図になります。

 

（１０） 図で，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形，\( E \) は辺 \( DC \) 上の点で \( DE：EC=2：3 \) である。また，\( F \) は線分 \( AC \) と \( EB \) との交点，\( G \) は辺 \( BC \) 上の点で，\( AB // FG \) である。
\( AB=10 \; cm \) のとき，線分 \( FG \) の長さは何 \( cm \) か，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア　\( 3 \; cm \) 　　　　　　 イ　\( \dfrac{18}{5} \; cm \) 　　　　　　 ウ　\( \dfrac{15}{4} \; cm \) 　　　　　　 エ　\( 4 \; cm \)

【解答】
ウ　\( \dfrac{15}{4} \; cm \)
【解説】

平行四辺形の向かい合う辺は等しいので，
　\( DC=AB=10 \; cm \)
\( DE：EC=2：3 \) なので，
　\( EC=10 \times \dfrac{3}{5}=6 \; (cm) \)

平行四辺形の向かい合う辺は等しいので，
\( AB //DC \) であり，
　\( △ABF \) ∽  \( △CEF \)
相似比は，\( AB：CE=10：6=5：3 \) であり，
　\( BF：EF=5：3 \)

\( AB // FG \) より \( DC // FG \) でもあるので，
　\( △BFG \) ∽ \( △BEC \)

\( BF：EF=5：3 \) より \( BF：BE=5：8 \) なので，
　\( FG：EC=BF：BE \)
　　 \( FG：6=5：8 \)
　　　　\( FG=\dfrac{30}{8}=\dfrac{15}{4} \; (cm) \)

 

大問２

（１） 数字 \( 2，3，4，5，6，7 \) を書いたカードが１枚ずつある。この６枚のカードをよくきって，１枚ずつ２回続けて取り出す。１回目に取り出したカードに書かれている数を \( a \) とし，２回目に取り出したカードに書かれている数を \( b \) とする。
このとき，次の①から⑤までのことがらのうち，起こる確率が等しいことがらの組み合わせとして正しいものを，下のアからコまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ①　\( a+b \) が偶数 　　　②　\( a-b \) が正の数 　　　　➂　\( ab \) が奇数
　　　 ➃　\( a \) が \( b \) の約数 　　　➄　\( a \) と \( b \) がともに素数

　　　 ア　➀，② 　　　イ　➀，➂ 　　　ウ　➀，➃ 　　　エ　➀，➄ 　　　オ　②，➂
　　　 カ　②，➃ 　　　キ　②，➄ 　　　ク　➂，➃ 　　　ケ　➂，➄ 　　　コ　➃，➄

【解答】
エ　➀，➄
【解説】
①から⑤すべての場合において，\( a \) と \( b \) すべての組み合わせは \( 30 \) 通りなので，
①から⑤が起こる組み合わせだけを考えればいいことになります。

①　\( a+b \) が偶数になる確率
　　\( a+b \) が偶数になる組み合わせは \( 12 \) 通り

②　\( a-b \) が正の数になる確率
　　\( a-b \) が正の数になる組み合わせは \( 15 \) 通り

➂　\( ab \) が奇数になる確率
　　\( ab \) が奇数になる組み合わせは \( 6 \) 通り

➃　\( a \) が \( b \) の約数
　　\( a \) が \( b \) の約数になるということは，
　　\( \dfrac{b}{a} \) が自然数になるので，
　　\( a \) が \( b \) の約数になる組み合わせは \( 3 \) 通り

➄　\( a \) と \( b \) がともに素数になる確率
　　\( a \) と \( b \) がともに素数になる組み合わせは \( 12 \) 通り

 

（２） 図で，\( O \) は原点，\( A，B \) は関数 \( y=ax^2 \) (\( a \) は定数，\( a>0 \)) のグラフ上の点で，\( x \) 座標はそれぞれ \( 2，-3 \) である。
また，\( C \) は \( y \) 軸上の点で，\( y \) 座標は \( \dfrac{21}{2} \) であり，\( D \) は線分 \( BA \) と \( y \) 軸との交点である。
\( △CBD \) の面積が \( △DOA \) の面積の２倍であるとき，\( a \) の値として正しいものを，次のアからオまでの中から一つ選びなさい。

　　　 ア \( a=\dfrac{7}{12} \) 　　　 イ \( a=\dfrac{7}{10} \) 　　　 ウ \( a=\dfrac{3}{4} \)
　　　 エ \( a=\dfrac{7}{9} \) 　　　　オ \( a=\dfrac{7}{8} \)

【解答】
ウ \( a=\dfrac{3}{4} \)
【解説】

\( A，B \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( 2，-3 \) なので，
　\( △DOA=OD \times 2 \times \dfrac{1}{2}=OD \)
　\( △CBD=CD \times 3 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}CD \)

\( △CBD \) の面積が \( △DOA \) の面積の２倍のとき，
　\( △CBD=2△DOA \)
　　\( \dfrac{3}{2}CD=2OD \)
　　 \( 3CD=4OD \)
であり，\( CD：OD=4：3 \)

\( OC=\dfrac{21}{2} \) なので，
\( OD=\dfrac{21}{2} \times \dfrac{3}{7}=\dfrac{9}{2} \)
であり，\( D \) の \( y \) 座標は \( \dfrac{9}{2} \)

\( A，B \) は \( y=ax^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標はそれぞれ \( 2，-3 \) なので，
\( A \) の \( y \) 座標は \( y=a \times 2^2=4a \)
\( B \) の \( y \) 座標は \( y=a \times (-3)^2=9a \)
と表すことができます。

\( D \) は線分 \( BA \) 上の点なので，
\( BD \) の傾きと \( AD \) の傾きは等しく，
　　 \( \dfrac{\dfrac{9}{2}-9a}{0-(-3)}=\dfrac{4a-\dfrac{9}{2}}{2-0} \)
　\( 2 \left( \dfrac{9}{2}-9a \right)=3 \left( 4a-\dfrac{9}{2} \right) \)
　　　 \( 9-18a=12a-\dfrac{27}{2} \)
　　　　　 \( 30a=\dfrac{45}{2} \)
　　　　　　　\( a=\dfrac{3}{4} \)

 

（３） Ａ地点からＢ地点までは直線の道で結ばれており，その距離は \( 600 \; m \) である。
弟は，Ａ地点を出発し，Ａ地点とＢ地点の間を毎分 \( 120 \; m \) の速さで２往復走った。兄は，弟がＡ地点を出発した \( 1 \) 分後にＡ地点を出発し，Ａ地点とＢ地点の間を一定の速さで３往復走ったところ，弟が走り終える１分前に走り終えた。
このとき，次の①，②の問いに答えなさい。
なお，下の図を必要に応じて使ってもよい。

➀　弟がＡ地点を出発してから \( x \) 分後の，Ａ地点と弟の間の距離を \( y \; m \) とするとき，\( x=6 \) のときの \( y \) の値として正しいものを，次のアからカまでの中から一つ選びなさい。

　　ア　\( y=0 \) 　　イ　\( y=120 \) 　 ウ　\( y=240 \) 　 エ　\( y=360 \) 　 オ　\( y=480 \) 　 カ　\( y=600 \)

【解答】
オ　\( y=480 \)
【解説】
弟は，Ａ地点からＢ地点までの \( 600 \; m \) を毎分 \( 120 \; m \) の速さで走ったので，
Ｂ地点に到着したのは \( x=\dfrac{600}{120}=5 \)（分後）になります 。
さらに，Ｂ地点を出発して１分間（\( 120 \; m \)），Ａ地点に向かって走ったので，
\( x=6 \) のときの \( y \) の値は，\( y=600-120=480 \; (m) \)

 

➁　兄がＡ地点を出発してから走り終えるまでに，兄と弟がすれ違うのは何回か、次のアからカまでの中から一つ選びなさい。ただし，兄が弟を追い抜く場合は含めないものとする。

　　ア ３回 　　　　イ ４回 　　　　ウ ５回 　　　　エ ６回 　　　　オ ７回 　　　　カ ８回

【解答】
イ ４回
【解説】
弟は，Ａ地点からＢ地点まで走るのに \( 5 \) 分かかったので，
２往復するのにかかった時間は \( 20 \) 分になります。
これをグラフにしたものが下の赤の直線になります。

兄は，弟が出発してから \( 1 \) 分後 \( (x=1) \) にＡ地点を出発し，
弟が走り終える \( 1 \) 分前 \( (x=19) \) に３往復を走り終えたので，
兄がＡ地点からＢ地点まで走るのにかかった時間は \( \dfrac{19-1}{6}=3 \)（分）になります。
これをグラフにしたものが下の青の直線になります。

この２直線の交点のうち，右上がりの直線と右下がりの直線の交点が，
兄と弟がすれ違う時間と場所になります。
（残りの２点は，兄が弟を追い抜く時間と場所になります。）

 

大問３

（１） 図で，\( △ABC \) は \( AB=AC \) の二等辺三角形，\( D \) は辺 \( AC \) 上の点で，\( AC⊥DB \) である。また，\( E \) は直線 \( DB \) 上の点，\( F \) は点 \( E \) を通り，直線 \( BC \) に平行な直線と辺 \( AB \) との交点である。
\( ∠FEB=21° \) のとき，\( ∠ABD \) の大きさは 　　　　 度である。

【解答】
\( 48° \)

【解説】

\( ∠ADB=90° \) は，\( △BCD \) の外角なので，
　\( ∠BCD=∠ADB-∠DBC \)

\( BC//FE \) なので，錯角は等しく，
　\( ∠DBC=∠FEB=21° \)
であり，
　\( ∠BCD=90°-21°=69° \)

二等辺三角形の底角は等しいので，
　\( ∠ABC=∠BCD=69° \)

よって，
　\( ∠ABD=∠ABC-∠DBC \)
　　　　　\( =69°-21°=48° \)

 

（２） 図で，四角形 \( ABCD \) は正方形，\( E \) は辺 \( DC \) の中点，\( F \) は線分 \( EB \) の中点，\( G \) は辺 \( AD \) 上の点で，\( ∠GAF=∠GFE \) である。また，\( H \) は線分 \( EB \) 上の点で，\( ∠GHE=90° \) である。
\( AB=4 \; cm \) のとき，

➀　線分 \( EF \) の長さは 　　　　 \( cm \) である。

【解答】
\( \sqrt{5} \; cm \)

【解説】
正方形の４辺は等しいので，\( DC=BC=AB=4 \; cm \)
\( E \) は辺 \( DC \) の中点なので，\( EC=2 \; cm \)
\( △BCE \) において，三平方の定理より
　\( EB^2=4^2+2^2=20 \)
　 \( EB=2\sqrt{5} \; (cm) \) (\( EB>0 \) より)

\( F \) は線分 \( EB \) の中点なので，\( EF=\sqrt{5} \; cm \)

 

➁　線分 \( HF \) の長さは線分 \( EB \) の長さの 　　　　 倍である。

【解答】
\(\dfrac{3}{8} \) 倍
【解説】

点 \( F \) を通り，辺 \( AB \) と平行な直線と
辺 \( BC，AD \) との交点を \( I，J \) とすると，
\( △BFI \) ∽ \( △BEC \)，相似比は \( 1：2 \) なので，
\( BI=2 \; cm，FI=1 \; cm \)
ここから，
\( AJ=BI=2 \; cm，FJ=3 \; cm \) なので，
\( △AFJ \) において，三平方の定理より，
　\( AF^2=2^2+3^2=13 \)
　 \( AF=\sqrt{13} \; (cm) \)

また，
\( ∠GAF=∠GFE，∠FJA=∠GHF \) であり，
\( △AFJ \) ∽ \( △FGH \) なので，
\( △FGH \) の３辺の比も \( 2：3：\sqrt{13} \) になっています。

辺 \( AD \) と線分 \( BE \) を延長した交点を \( K \) とすると，
\( △KFG \) ∽ \( △KAF \) であり，\( AF=\sqrt{13} \; cm \) なので，
相似比がわかれば，\( FG \) の長さを求めることができます。

\( △KDE≡△BCE \) なので，\( KD=BC=4 \; cm \)
また，\( △KDE \) ∽ \( △KJF \) なので，
　\( KD：KJ=DE：JF \)
　　 \( 4：KJ=2：3 \)
　　　　\( KJ=6 \; (cm) \)

\( △KDE≡△BCE \) より，\( KE=EB=2\sqrt{5} \; cm \) であり，
\( △KFG \) ∽ \( △KAF \) なので，
　 \( FG：AF=KF：KA \)
　\( FG：\sqrt{13}=(2\sqrt{5}+\sqrt{5})：(6+2) \)
　\( FG：\sqrt{13}=3\sqrt{5}：8 \)
　　　　 \( FG=\dfrac{3\sqrt{65}}{8} \; (cm) \)

\( △FGH \) の３辺の比は \( 2：3：\sqrt{13} \) なので，
　　 \( FG：FH=\sqrt{13}：2 \)
　\( \dfrac{3\sqrt{65}}{8}：FH=\sqrt{13}：2 \)
　　　\( \sqrt{13}FH=\dfrac{3\sqrt{65}}{4} \)
　　　　　 \( FH=\dfrac{3\sqrt{5}}{4} \; (cm) \)

よって，
　\( FH：EB=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}：2\sqrt{5} \)
　 \( 2\sqrt{5}FH=\dfrac{3\sqrt{5}}{4}EB \)
　　　　\( FH=\dfrac{3}{8}EB \)

 

（３） 図で，\( C \) は \( AB \) を直径とする半円 \( O \) の周上の点で，\( CA=CB \) であり，\( D \) は弧 \( CB \) 上の点で，\( DA：DB=3：1 \) である。また，\( E \) は線分 \( CB \) と \( DA \) との交点である。
\( CA=6 \; cm \) のとき，

➀　\( △DAB \) の面積は 　　　　 \( cm^2 \) である。

【解答】
\( \dfrac{54}{5} \; cm^2 \)
【解説】

\( ∠ACB \) は，直径 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠ACB=90° \) であり，\( CA=CB \) でもあるので，
\( △CAB \) は直角二等辺三角形です。
ここから，
　\( AB=\sqrt{2}CA=6\sqrt{2} \; (cm) \)

\( ∠ADB \) は，直径 \( AB \) に対する円周角なので，
\( ∠ADB=90° \) であり，三平方の定理より，
　\( AB^2=1^2+3^2=10 \)
　 \( AB=\sqrt{10} \) ( \( AB>0 \) より)
なので，
　\( DA：DB：AB=3：1：\sqrt{10} \)

　 \( DA：AB=3：\sqrt{10} \)
　\( DA：6\sqrt{2}=3：\sqrt{10} \)
　　\( \sqrt{10}DA=18\sqrt{2} \)
　　　　\( DA=\dfrac{18}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

　 \( DB：AB=1：\sqrt{10} \)
　\( DB：6\sqrt{2}=1：\sqrt{10} \)
　　\( \sqrt{10}DB=6\sqrt{2} \)
　　　　\( DB=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

　\( △DAB=DA \times DB \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{18}{\sqrt{5}} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =\dfrac{54}{5} \; (cm^2) \)

 

➁　\( △EAB \) を，線分 \( AB \) を回転の軸として１回転させてできる立体の体積は 　　　　 \( cm^3 \) である。
ただし，\( \pi{} \) は円周率である。

【解答】
\( 9\sqrt{2}\pi{} \; cm^3 \)
【解説】

点 \( E \) から \( AB \) に垂線をひき，
交点を \( F \) とすると，
\( △FAE \) ∽ \( △DAB \) であり，
　\( FA：FE=DA：DB=3：1 \)

\( △CAB \) は直角二等辺三角形であることから，
\( △BEF \) も直角二等辺三角形であり，
　\( FE=FB \)
ここから，\( FA：FB=3：1 \) なので，
　\( FE=FB=\dfrac{1}{4}AB=\dfrac{3\sqrt{2}}{2} \; (cm) \)

求める立体は，
底面の半径が \( EF \)，高さが \( AF \) の円すいと
底面の半径が \( EF \)，高さが \( BF \) の円すい
をくっつけたものなので，
求める立体の体積を \( V \) とすると，
　\( V= \left\{ \pi{} \times \left( \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 \times AF \times \dfrac{1}{3} \right\} + \left\{ \pi{} \times \left( \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 \times BF \times \dfrac{1}{3} \right\} \)
　　 \( = \dfrac{3}{2}\pi{} \times AF+\dfrac{3}{2}\pi{} \times BF \)
　　 \( = \dfrac{3}{2}\pi{} \times (AF+BF) \)
　　 \( = \dfrac{3}{2}\pi{} \times 6\sqrt{2} \)
　　 \( =9\sqrt{2}\pi{} \; (cm^3) \)

 

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]]> 大問１

（１） \( 6-(-4) \div 2 \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
　　　　ア　\( 1 \)　　　　イ　\( 4 \)　　　　ウ　 \( 5 \) 　　　　エ　 \( 8 \)

【解答】
エ　\( 8 \)
【解説】
\( =6-(-2)=8 \)

 

（２） \( \dfrac{3x-2}{6}-\dfrac{2x-3}{9} \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選び
　　　 なさい。
　　　　ア　\( \dfrac{5x-12}{18} \)　　　　イ　\( \dfrac{13x-12}{18} \)　　　　ウ　 \( \dfrac{5}{18}x \) 　　　　エ　 \( -\dfrac{2}{3} \)

【解答】
ウ　 \( \dfrac{5}{18}x \)
【解説】
\( \dfrac{3x-2}{6}-\dfrac{2x-3}{9}=\dfrac{3(3x-2)-2(2x-3)}{18} \)
　　　　　　　　　 \( =\dfrac{9x-6-4x+6}{18} \)
　　　　　　　　　 \( =\dfrac{5x}{18} \)

 

（３） \( 6x^2 \div (-3xy)^2 \times 27xy^2 \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から
　　　 一つ選びなさい。
　　　　ア　\( -54x^2y \)　　　　イ　\( -18xy \)　　　　ウ　\( 18x \) 　　　　エ　\( 54x^2y^2 \)

【解答】
ウ　\( 18x \)
【解説】
\( 6x^2 \div (-3xy)^2 \times 27xy^2=\dfrac{6x^2 \times 27xy^2}{(-3xy)^2} \)
　　　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{6x^2 \times 27xy^2}{9x^2y^2} \)
　　　　　　　　　　　　 \( =18x \)

 

（４） \( (\sqrt{5}-\sqrt{2})( \sqrt{20}+\sqrt{8}) \) を計算した結果として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ
　　　 選びなさい。
　　　　ア　\( 6 \)　　　　イ　\( 4\sqrt{5} \)　　　　ウ　\( 2\sqrt{21} \) 　　　　エ　\( 14 \)

【解答】
ア　\( 6 \)
【解説】
\( (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{20}+\sqrt{8})=(\sqrt{5}-\sqrt{2})(2\sqrt{5}+2\sqrt{2}) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =2(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =2(5-2) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =2 \times 3 \)
　　　　　　　　　　　　 \( =6 \)

 

（５） 方程式 \( (x-3)^2=-x+15 \) の解として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
　　　　ア　\( x=-6，1 \)　　　　イ　\( x=-3，-2 \)　　　　ウ　\( x=-1，6 \) 　　　　エ　\( x=2，3 \)

【解答】
ウ　\( x=-1，6 \)
【解説】
　 \( x^2-6x+9=-x+15 \)
　 \( x^2-5x-6=0 \)
\( (x+1)(x-6)=0 \)
　　　　　　　\( x=-1，6 \)

 

（６） 次のアからエまでの中から，\( y \) が \( x \) の一次関数となるものを一つ選びなさい。

　　　　ア　面積が \( 100 \; cm^2 \) で、たての長さが \( x \; cm \) である長方形の横の長さ \( y \; cm \)
　　　　イ　１辺の長さが \( x \; cm \) である正三角形の周の長さ \( y \; cm \)
　　　　ウ　半径が \( x \; cm \) である円の面積 \( y \; cm^2 \)
　　　　エ　１辺の長さが \( x \; cm \) である立方体の体積 \( y \; cm^3 \)

【解答】
イ
【解説】
\( y \) が \( x \) の一次関数であるとき，\( x \) と \( y \) の関係式は \( y=ax+b \) の形になります。
アからエについて \( x \) と \( y \) の関係式は次のようになります。
　　　ア　\( xy=100 \; cm^2 \) ⇒ \( y=\dfrac{100}{x} \)　（反比例の式）
　　　イ　\( y=3x \)
　　　ウ　\( y=\pi{}x^2 \)　（二次関数の式）
　　　エ　\( y=x^3 \)　（三次関数の式）

 

（７） \( 1 \) が書かれているカードが２枚，\( 2 \) が書かれているカードが１枚，\( 3 \) が書かれているカードが１枚
　　　 入っている箱から，１枚ずつ続けて3枚のカードを取り出す。
　　　 １枚目を百の位，２枚目を十の位，３枚目を一の位として，３けたの整数をつくるとき，この
　　　 整数が \( 213 \) 以上となる確率として正しいものを，次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
　　　　ア　\( \dfrac{7}{24} \)　　　　イ　\( \dfrac{1}{3} \)　　　　ウ　 \( \dfrac{5}{12} \) 　　　　エ　 \( \dfrac{1}{2} \)

【解答】
ウ　 \( \dfrac{5}{12} \)
【解説】
\( 1 \) が書かれているカード２枚に \( 1a，1b \) と名前をつけて選んだカードの組み合わせと
それによりできる整数を樹形図に書いてみます。
できた整数が \( 213 \) 以上となる組み合わせは１０通り，すべての組み合わせは２４通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{24}=\dfrac{5}{12} \)

 

（８） \( n \) がどんな整数であっても，式の値が必ず奇数となるものを，次のアからエまでの中から一つ選び
　　　 なさい。
　　　　ア　\( n-2 \)　　　　イ　\( 4n+5 \)　　　　ウ　 \( 3n \) 　　　　エ　 \( n^2-1 \)

【解答】
イ　\( 4n+5 \)
【解説】
偶数，奇数の和について、
偶数 \( + \) 偶数 \( = \) 偶数，偶数 \( + \) 奇数 \( = \) 奇数，奇数 \( + \) 偶数 \( = \) 奇数，奇数 \( + \) 奇数 \( = \) 偶数
偶数，奇数の積について、
偶数 \(  \times  \) 偶数 \( = \) 偶数，偶数 \( \times \) 奇数 \( = \) 偶数，奇数 \( \times \) 偶数 \( = \) 偶数，奇数 \( \times \) 奇数 \( = \) 奇数
の関係が成り立ちます

　　　ア　\( n \) が偶数のとき，\( n-2 \) は 「偶数 \( + \) 偶数」なので，偶数　（\( -2 \) は偶数）
　　　　　\( n \) が奇数のとき，\( n-2 \) は 「奇数 \( + \) 偶数」なので，奇数
　　　イ　\( n \) が偶数のとき，\( 4n+5 \) は 「偶数 \(  \times  \) 偶数 \( + \) 奇数」なので，奇数
　　　　　\( n \) が奇数のとき，\( 4n+5 \) は 「偶数 \(  \times  \) 奇数 \( + \) 奇数」なので，奇数
　　　ウ　\( n \) が偶数のとき，\( 3n \) は 「奇数 \(  \times  \) 偶数」なので，偶数
　　　　　\( n \) が奇数のとき，\( 3n \) は 「奇数 \(  \times  \) 奇数」なので，奇数
　　　エ　\( n \) が偶数のとき，\( n^2-1 \) は 「偶数 \(  \times  \) 偶数 \( + \) 奇数」なので，奇数　（\( -1 \) は奇数）
　　　　　\( n \) が奇数のとき，\( n^2-1 \) は 「奇数 \(  \times  \) 奇数 \( + \) 奇数」なので，偶数

別解
整数 \( n \) は，偶数 \( 2m \) と奇数 \( 2m+1 \) （\( m \) は整数）に分けることができます。
アからエの式に \( n=2m \) と \( n=2m+1 \) を代入したときに
\( 2k \) の形に変形できれば偶数，\( 2k+1 \) の形に変形できれば奇数になります。
つまり，\( n=2m \) と \( n=2m+1 \) を代入したときに，
どちらも \( 2k+1 \) の形に変形できるものを選べばよいことになります。

　　ア　\( n=2m \) のとき，\( 2m-2=2(m-1) \) なので，偶数
　　　　\( n=2m+1 \) のとき，\( (2m+1)-2=2(m-1)+1 \) なので，奇数
　　イ　\( n=2m \) のとき，\( 4 \times 2m+5=8m+5=2(4m+2)+1 \) なので，奇数
　　　　\( n=2m+1 \) のとき，\( 4 \times (2m+1)+5=8m+9=2(4m+4)+1 \) なので，奇数
　　ウ　\( n=2m \) のとき，\( 3 \times 2m=2 \times 3m \) なので，偶数
　　　　\( n=2m+1 \) のとき，\( 3 \times (2m+1)=6m+3=2(3m+1)+1 \) なので，奇数
　　エ　\( n=2m \) のとき，\( (2m)^2-1=4m^2-1=2(2m^2-1)+1 \) なので，奇数
　　　　\( n=2m+1 \) のとき，\( (2m+1)^2-1=4m^2+4m=2(2m^2+2m) \) なので，偶数

 

（９） \( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの変化の割合が，関数 \( y=2x^2 \) と同じ関数を，
　　　 次のアからエまでの中から一つ選びなさい。
　　　　ア　\( y=2x+1 \)　　　　イ　\( y=3x-1 \)　　　　ウ　 \( y=5x-4 \) 　　　　エ　 \( y=8x+6 \)

【解答】
エ　 \( y=8x+6 \)
【解説】
\( y=2x^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 3 \) まで増加するときの変化の割合は，
　\( \dfrac{2 \times 3^2-2 \times 1^2}{3-1}=\dfrac{16}{2}=8 \)

よって，変化の割合が等しいのは エ になります。

 

（１０） 空間内の平面について正しく述べたものを，次のアからエまでの中から全て選びなさい。

　　　　ア　異なる２点をふくむ平面は１つしかない。
　　　　イ　交わる２直線をふくむ平面は１つしかない。
　　　　ウ　平行な２直線をふくむ平面は１つしかない。
　　　　エ　同じ線上にある３点をふくむ平面は１つしかない。

【解答】
イ，ウ
【解説】
直線１本に対しては，無限に平面をとることができます。
異なる２直線が同一平面にある場合は，その面以外の平面をとることはできません。

　　　　ア　異なる２点を通る直線は１本しかないので，平面は無限にとることができます。
　　　　　　反例
　　　　　　

　　　　エ　３点が同じ線上にある場合も直線は１本しかないので，平面は無限にとることができます。
　　　　　　反例
　　　　　　

 

大問２

（１） 図は，ある中学校のＡ組３２人とＢ組３２人のハンドボール投げの記録を，箱ひげ図で表したものである。
この箱ひげ図から分かることについて，正しく述べたものを次のアからオまでの中から二つ選びなさい。

　　　　ア　Ａ組とＢ組は、範囲がともに同じ値である。
　　　　イ　Ａ組とＢ組は、 四分位範囲がともに同じ値である。
　　　　ウ　Ａ組とＢ組は、中央値がともに同じ値である。
　　　　エ　\( 35 \; m \) 以上の記録を出した人数はＢ組よりＡ組の方が多い。
　　　　オ　\( 25 \; m \) 以上の記録を出した人数は，Ａ組，Ｂ組ともに同じである。

【解答】
イ，ウ
【解説】
　　　　ア　箱ひげ図で範囲は下の図のところです。
　　　　　　問題の箱ひげ図では，明らかにＡ組の範囲の方が小さくなっています。

　　　　イ　 四分位範囲は「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求められます。
　　　　　　Ａ組 ･･･ \( 30-15=15 \; (m) \)
　　　　　　Ｂ組 ･･･ \( 35-20=15 \; (m) \)

　　　　ウ　Ａ組とＢ組は、中央値がともに同じ値である。
　　　　　　中央値は，Ａ組とＢ組どちらも \( 25 \; m \) になっています。

　　　　エ　\( 35 \; m \) 以上の記録を出した人数は，
　　　　　　Ｂ組：第三四分位数が \( 35 \; m \) なので，８人以上います。
　　　　　　Ａ組：第三四分位数が \( 30 \; m \) なので，８人以上になります。
　　　　　　よって，Ａ組の人数は，Ｂ組と同じまたはＢ組より少なくなっています。

　　　　オ　Ａ組，Ｂ組とも全部で３２人ずつなので，
　　　　　　中央値は記録の小さい方から１６番目の人と１７番目の人の記録の平均値になります。
　　　　　　例えば，Ａ組の１６番目，１７番目の人の記録がともに \( 25 \; m \) だとすると，
　　　　　　中央値は \( 25 \; m \) ですし，
　　　　　　Ｂ組の１６番目の人の記録が \( 24 \; m \)，１７番目の人の記録が \( 26 \; m \) だとしても，
　　　　　　中央値は \( 25 \; m \) になります。

 

（２） 図で，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形であり，\( E \) は \( BC \) 上の点で，\( AB=AE \) である。
このとき \( △ABC \) と \( △EAD \) が合同であることを，次のようにしたい。
（　Ⅰ　），（　Ⅱ　）にあてはまる最も適当なものを，下のアからコまでの中からそれぞれ選びなさい。
なお，２か所の（　Ⅰ　），（　Ⅱ　）には、それぞれ同じものがあてはまる。

(証明)
\( △ABC \) と \( △EAD \) で，
仮定より，　　　　　　　　　　　　　　　　　\( AB=EA \) 　　 ･･･ ➀
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，　　　\( BC=AD \) 　　 ･･･ ➁
二等辺三角形の底角は等しいから，　　　　\( ∠ABC= \)（　Ⅰ　） ･･･ ➂
平行線の錯角は等しいから，　　　　　　（　Ⅰ　）\( = \)（　Ⅱ　） ･･･ ➃
➂，➃より，　　　　　　　　　　　　　　\( ∠ABC= \)（　Ⅱ　） ･･･ ➄
➀，➁，➄ から２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，
\( △ABC≡△EAD \)

ア　\( ∠ACD \)　　　　イ　\( ∠ACE \)　　　　ウ　\( ∠ADC \)　　　　エ　\( ∠ADE \)　　　　オ　\( ∠AEB \)
カ　\( ∠AEC \)　　　　キ　\( ∠EAC \)　　　　ク　\( ∠EAD \)　　　　ケ　\( ∠ECD \)　　　　コ　\( ∠EDC \)

【解答】
（　Ⅰ　）･･･ オ
（　Ⅱ　）･･･ ク

 

（３） 図で，四角形 \( ABCD \) は \( AD//BC, ∠ABC=90° \)，
\( AD=4 \; cm, BC=6 \; cm \) の台形である。点 \( P，Q \) はそれぞれ頂点 \( A，C \) を同時に出発し，点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで辺 \( AD \) 上を，点 \( Q \) は毎秒 \( 2 \; cm \) の速さで辺 \( CB \) 上をくり返し往復する。
点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから \( x \) 秒後の \( AP \) の長さを \( y \; cm \) とするとき，次の ➀，➁ の問いに答えなさい。
ただし，点 \( P \) が頂点 \( A \) と一致するときは \( y=0 \) とする。
なお，下の図を必要に応じて使ってもよい。

➀　\( x=6 \) のときの \( y \) の値として正しいものを，次のアからオまでの中から一つ選びなさい。

ア　\( y=0 \)　　　　イ　\( y=1 \)　　　　ウ　\( y=2 \)　　　　エ　\( y=3 \)　　　　オ　\( y=4 \)

【解答】
ウ　\( y=2 \)
【解説】
点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで辺 \( AD \) 上を動くので，
\( 4 \) 秒かけて \( A \) から \( D \) まで移動し，
さらに，\( 2 \) 秒かけて \( 2 \; cm \) だけ \( A \) に向けて戻ってくるので，
\( 6 \) 秒後の \( AP \) の長さは \( 4-2=2 \; (cm) \) になります。

 

➁　点 \( P，Q \) が頂点 \( A，C \) を同時に出発してから \( 12 \) 秒後までに，\( AB//PQ \) となるときは何回あるか，次のアからオまでの中から一つ選びなさい。

ア　１回　　　　イ　２回　　　　ウ　３回　　　　エ　４回

【解答】
エ　４回
【解説】
点 \( P \) の場合と同じように
点 \( Q \) が頂点 \( C \) を出発してから \( x \) 秒後の \( BQ \) の長さを \( y \; cm \) として，
\( AP，BQ \) の長さの関係を表す直線をそれぞれ書き込みます。
\( AB//PQ \) となるのは，\( AP=BQ \) となるとき，
つまり，２本の直線の \( y \) の値が等しくなるときなので，
グラフ中では２本の直線の交点になります。
よって，\( AB//PQ \) となるのは４回になります。

 

大問３

（１） 図で，\( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点で，\( AO//BC \) である。
\( ∠AOB=48° \) のとき，\( ∠ADC \) の大きさは 　　　　 度である。

【解答】
\( 66 \)

【解説】

\( ∠ADC \) を線分 \( BD \) で２つに分けると，
\( ∠AOB \) は弧 \( AB \) の中心角，\( ∠ADB \) は弧 \( AB \) の円周角なので，
\( ∠ADB=\dfrac{1}{2}∠AOB=24° \)

線分 \( BO \) を延長したときの円 \( O \) との交点を点 \( E \) とすると，線分 \( BE \) は直径になるので，\( ∠BCE=90° \)
また，\( AO//BC \) より，錯角は等しいので，\( ∠CBE=∠AOB=48° \)
ここから，\( ∠BEC=180°-(∠BCE+∠CBE)=42° \)

\( ∠BDC \) と \( ∠BEC \) はともに弧 \( AB \) の円周角なので，
\( ∠BDC=∠BEC=42° \)

よって，\( ∠ADC=∠ADB+∠BDC=66° \)

 

（２） 図で，四角形 \( ABCD \) は長方形で，\( E \) は辺 \( AB \) の中点である。また，\( F \) は辺 \( AD \) 上の点で，\( FE//DB \) であり，\( G，H \) はそれぞれ線分 \( FC \) と \( DE，DB \) との交点である。
\( AB=6 \; cm，AD=10 \; cm \) のとき、

➀　線分 \( FE \) の長さは，　　　　 \( cm \) である。

【解答】
\( \sqrt{34} \)
【解説】

\( FE//DB \) より，同位角は等しいので，
　\( ∠AEF=∠ABD \)
　\( ∠A \) は共通
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AEF \) ∽ \( △ABD \)
対応する辺の比は等しいので，
　\( EF：BD=AE：AB=1：2 \)
　\( EF=\dfrac{1}{2}BD \)

　\( BD^2=AB^2+AD^2 \)
　　　　\( =6^2+10^2 \)
　　　　\( =134 \)
　 \( BD=2\sqrt{34} \; (cm) \)

よって，
　\( EF=\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{34}=\sqrt{34} \; (cm) \)

 

➁　\( △DGH \) の面積は 　　　　 \( cm^2 \) である。

【解答】
\( 2 \)
【解説】
\( △DGH \) の面積を直接求めるのは難しいので，
\( △DGH \) と \( △CDF \) の面積比から求めることにします。
\( △DGH \) と \( △CDF \) は底辺をそれぞれ \( GH，CF \) とすると，高さが共通なので，
\( △DGH：△CDF=GH：CF \) となります。

\( △DFH \) と \( △BCH \) において，
長方形の向かい合う辺は平行なので，\( AD//BC \)
錯角は等しいので，
　\( ∠HDF=∠HBC，∠HFD=∠HCB \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △DFH \) ∽ \( △BCH \)

問➀より
\( △AEF \) ∽ \( △ABD \)，相似比 \( 1：2 \) なので，
\( F \) は \( AD \) の中点であり，
　\( FH：CH=DF：BC=1：2 \)

線分 \( DE，BC \) をそれぞれ延長したときの交点を点 \( I \) とすると，
\( △ADE \) と \( △BIE \) において，
長方形のすべての角は \( 90° \) なので，\( ∠DAE=∠IBE \)
対頂角は等しいので，\( ∠AED=∠BEI \)
\( E \) は辺 \( AB \) の中点なので，\( AE=BE \)
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，\( △ADE≡△BIE \)
対応する辺の長さは等しいので，\( AD=BI \)

\( △DFG \) と \( △ICG \) において，
錯角は等しいので，
　\( ∠GDF=∠GIC，∠GFD=∠GCI \)
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △DFG \) ∽ \( △ICG \)
\( FD：AD=1：2，AD=BC=BI \) より，\( FD：CI=1：4 \)
対応する辺の比は等しいので，\( GF：GC=FD：CI=1：4 \)

以上より，
　\( FH：CH=1：2=5：10 \)
　\( GF：GC=1：4=3：12 \)
であり，
　\( FG：GH：HC=3：2：10 \)
　\( GH：CF=2：15 \)

問➀で \( △AEF \) ∽ \( △ABD \)，相似比 \( 1：2 \) であることがわかっているので，
　\( △CDF=DF \times CD \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( =5 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( =15 \; (cm^2) \)

よって，
　\( △DGH：△CDF=GH：CF \)
　　　　 \( △DGH：15=2：15 \)
　　　　　　 \( △DGH=2 \; (cm^2) \)

 

（３） 図で，立体 \( ABCDEFGH \) は底面が台形の四角柱で，\( AB//DC \) である。
\( AB=3 \; cm，AE=7 \; cm，CB=DA=5 \; cm，DC=9 \; cm \) のとき。

➀　台形 \( ABCD \) の面積は 　　　　 \( cm^2 \) である。

【解答】
\( 24 \)
【解説】

点 \( A，B \) から辺 \( CD \) に垂線をひき，
交点を点 \( I，J \) とすると，
台形 \( ABCD \) は等脚台形なので，\( ID=JC=3 \; cm \)
（詳細は別途解説あります）

\( △AID \) において，三平方の定理より，
　\( AI^2=AD^2-ID^2 \)
　　　 \( =5^2-3^2 \)
　　　 \( =16 \)
　 \( AI=4 \; (cm) \) （ \( AI>0 \) より）

よって，
　台形 \( ABCD=(AB+CD) \times AI \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =(3+9) \times 4 \times \dfrac{1}{2}=24 \; (cm^2) \)

ＩＤ＝ＪＣ＝３ｃｍ の求め方

\( △AID \) と \( △BCJ \) において，
仮定より，\( AD=BC=5cm \)
四角形 \( ABJI \) は長方形で，
長方形の向かい合う辺は等しいので，\( AI=BJ \)，
\( AI⊥CD，BJ⊥CD \) より，\( ∠AID=∠BIC=90° \)

直角三角形の斜辺と他の１辺の長さが等しいので，
\( △AID≡△BCJ \)
対応する辺の長さは等しいので，\( ID=JC \)

よって，\( ID=\dfrac{CD-IJ}{2}=3 \; (cm) \)

 

➁　立体 \( ABEFGH \) の体積は 　　　　 \( cm^3 \) である。

【解答】
\( 70 \)
【解説】
点 \( E，F \) から辺 \( GH \) に垂線をひき，交点を点 \( K，L \) とします。

立体 \( ABEFGH \) を面 \( AEK，BFL \) で切断すると，
三角すい \( A-EHK \)，三角柱 \( AEK-BFL \)，
三角すい \( B-FGL \) の３つに分かれます。

四角形 \( ABCD \) と四角形 \( EFGH \) は合同なので，
問➀より，
　\( HK=GL=3 \; cm，EK=FL=4 \; cm \)
であり，

三角すい \( A-EHK \) の体積は，
　\( \left( HK \times EK \times \dfrac{1}{2} \right) \times AE \times \dfrac{1}{3} =\left( 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 7 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =14 \; (cm^3) \)

三角柱 \( AEK-BFL \) の体積は，
　\( \left( AE \times EK \times \dfrac{1}{2} \right) \times AB=\left( 7 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 3 \)
　　　　　　　　　　　　　　 \( =42 \; (cm^3) \)

三角すい \( B-FGL \) の体積は，
　\( \left( GL \times FL \times \dfrac{1}{2} \right) \times BF \times \dfrac{1}{3} =\left( 3 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 7 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　 \( =14 \; (cm^3) \)

よって，
立体 \( ABEFGH= \) 三角すい \( A-EHK+ \) 三角柱 \( AEK-BFL+ \) 三角すい \( B-FGL \)
　　　　　　　　 \( =14+42+14 \)
　　　　　　　　 \( =70 \; (cm^3) \)

 

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