（１） \( 8-17 \) を計算しなさい。

（２） \( 5(3a-2b)- (8a-4b) \) を計算しなさい。

（３） \( 24ab \div (-4a) \times (-3b) \) を計算しなさい。

（４） \( (\sqrt{10}-\sqrt{5})^2 \) を計算しなさい。

（５） ２次方程式 \( x^2+4x-1=0 \) を解きなさい。

（６） 赤玉２個，白玉４個が入っている袋がある。この袋から同時に２個の玉を取り出すとき，取り出した２個の玉の色が同じである確率を答えなさい。

➃　調べた生徒の人数に対する，家庭学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満であった生徒の人数の割合は，
　　Ｂ中学校の方が大きい。

大問２

（１） ２つの関数 \( y=x+3 \) と \( y=ax^2 \) があり，\( x \) の変域が \( -3≦x≦2 \) のとき，この２つの関数の \( y \) の変域が一致する。このとき，\( a \) の値を求めなさい。

大問３

（１） 点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから \( 1 \) 秒後の，立体 \( P-ABCD \) の体積を答えなさい。

（２） 点 \( Q \) が頂点 \( B \) を出発してから \( 2 \) 秒後の，線分 \( DQ \) の長さを答えなさい。

（３） 点 \( R \) が頂点 \( C \) を出発してから \( 3 \) 秒後の，線分 \( CR \) の長さを答えなさい。

（４） ３つの点 \( P,Q,R \) が同時に出発してからの \( 3 \) 秒間に,四角形 \( DPQR \) が動いてできる立体の体積を求めなさい。

大問４

（１） Ｂ町のイベントを訪れたアオイさんは，クッキーを何個か買って家に持ち帰り，家族全員で同じ数ずつ分けることにした。\( 1 \) 人 \( 5 \) 個ずつ分けると \( 3 \) 個余り，\( 1 \) 人 \( 6 \) 個ずつ分けると \( 2 \) 個足りない。アオイさんの家族の人数と買ってきたクッキーの個数を，それぞれ求めなさい。

（２） 次の文は，Ｂ町のイベントを訪れたヒナさんが，クッキーとドーナツを買おうとして，レオさんと相談している会話の一部である。この文を読んで，下の➀～➃の問いに答えなさい。

ヒナ：今日のイベントでは，Ａ高校の調理クラブが作ったお菓子を買いたいんだ。
レオ：いくら分買おうと思っているの。
ヒナ：\( 1000 \) 円だよ。_Ⅰ\( 1000 \) 円でおつりがなく，クッキーの個数とドーナツの個数に，できるだけ差が
　　　ないように買うとすると，それぞれの個数は何個かな。
レオ：じゃあ，クッキーを \( x \) 個，ドーナツを \( y \) 個買うことにして方程式をつくると，
　　　　　 　ア　 \( =1000 \)
　　　となるね。
ヒナ：そうだね。レオさんがつくった方程式の，\( x \) も \( y \) も自然数になるような解を求めればいいね。
　　　でも，１つの方程式に２つの文字が含まれているから，これだけで解を求められるのかな。
レオ：さっきつくった方程式 　ア　 \( =1000 \) を
　　　　　\( y= \) 　イ　 \( x+ \) 　ウ　
　　　に変形してみたよ。これで，何かわかるかな。
ヒナ：あ，そうか。\( x \) が 　エ　 の倍数であれば，\( y \) は整数になるね。

➀ 　ア　 に当てはまる式を，\( x \) と \( y \) を用いて表しなさい。

➁ 　イ　，　ウ　 に当てはまる値を，それぞれ答えなさい。

➂ 　エ　 に当てはまる最も小さい自然数を答えなさい。

➃　下線部分Ⅰのとき，クッキーとドーナツの個数はそれぞれ何個か，答えなさい。

（３） Ａ高校の調理クラブでは，イベントで出た利益を使って，調理クラブの電子レンジを購入したいと考えている。次の文は，調理クラブのリオさん，サエさん，ユウさんが，次回のＣ市のイベントに向けて，打ち合わせを行っている会話の一部である。この文を読んで，あとの➀，➁の問いに答えなさい。ただし，原価とは，お菓子を作るのに必要な費用のことである。

リオ：Ｂ町のイベントでは，クッキーを \( 650 \) 個，ドーナツを \( 200 \) 個作って，すべて売り切れたよ。
　　　どれくらい利益が出たのだろう。
サエ：クッキーとドーナツ，それぞれ \( 1 \) 個あたりの原価を下の表２にまとめたよ。
　　　　　　　
ユウ：Ｂ町のイベントでの，クッキーとドーナツの売上総額から原価の合計を引いて，利益を計算したら，
　　　\( 9600 \) 円だったよ。
リオ：Ｂ町のイベントで出た利益だけでは，目標金額に \( 24000 \) 円足りないね。
サエ：それなら，Ｃ市のイベントでは，Ｂ町のイベントのときよりも作る個数を増やそうよ。
ユウ：それもいいけれど，\( 1 \) 個あたりの値段を上げることも考えられるね。
リオ：Ｂ町のイベントでの，クッキー \( 1 \) 個の値段に対する原価の割合を計算したら，\( 60 \; \% \) だったよ。

ユウ：じゃあ，利益が目標金額に達するために，Ｃ市のイベントでは，_Ⅱクッキーもドーナツも値段に対する
　　　原価の割合を \( 40 \; \% \) にして，値段を決めてみたらどうかな。

➀　下線部分Ⅱのとき，ドーナツ \( 1 \) 個の値段を答えなさい。

➁　Ｃ市のイベントでは，クッキーとドーナツを合わせて \( 1000 \) 個作り，値段に対する原価の割合を \( 40 \; \% \) にして販売することにした。作ったクッキーとドーナツをすべて売り切って，Ｃ市のイベントで \( 24000 \) 円の利益を出すとすると，クッキーとドーナツは，それぞれ何個作ればよいか，求めなさい。

大問５

道路上に２つの地点 \( P，Q \) があり，\( P，Q \) 間の道のりは \( 4000 \; m  \) である。ある日，ケンタさんが，午後２時に地点 \( P \) を出発して，地点 \( Q \) に向かって一定の速さで歩き続け，午後２時５０分に地点 \( Q \) に到着した。また，同じ日に，サクラさんが，午後２時９分に地点 \( P \) を出発して，一定の速さで自転車で地点 \( Q \) に向かい，午後２時２９分に地点 \( Q \) に到着した。

（１） ケンタさんの歩いた速さは毎分何 \( m \) か，答えなさい。

（２） サクラさんについて，\( 9≦x≦29 \) のとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

（３） サクラさんがケンタさんに追いついたのは，午後２時何分か，求めなさい。

（４） 同じ日に，ハルキさんが，午後２時に地点 \( P \) を出発し，地点 \( Q \) に向かって走った。ハルキさんが，休憩するために，地点 \( P \) と地点 \( Q \) の間にある地点 \( R \) で立ち止まったところ，その６分後に，サクラさんが自転車で地点 \( R \) を通過した。ハルキさんは，地点 \( R \) で１０分間休憩した後，再び地点 \( Q \) に向かって走り，午後２時３４分に地点 \( Q \) に到着した。ハルキさんが地点 \( R \) で休憩したのは，午後２時何分からか,求めなさい。ただし,ハルキさんは，サクラさんと同じ道を，休憩した時間以外は一定の速さで走ったものとする。

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（１） \( 3-12+7 \) を計算しなさい。

（２） \( 3(2a-b)-5(-a+2b) \) を計算しなさい。

（３） \( 18xy^2 \div (-3y)^2 \) を計算しなさい。

（４） ３つの数 \( \dfrac{3}{10}，\dfrac{\sqrt{2}}{5}，\dfrac{1}{\sqrt{10}} \) の大小を，不等号を使って表しなさい。

（５） ２次方程式 \( (x+5)^2=13 \) を解きなさい。

（６） 電子レンジで食品が温まるまでの時間は，電子レンジの出力に反比例する。ある食品の適切な加熱時間が  \( 500 \; W \) の出力で \( 3 \) 分のとき，\( 600 \; W \) の出力での適切な加熱時間は何分何秒か，答えなさい。

（８） 箱の中に同じ大きさの白玉がたくさん入っている。標本調査を行い，この箱の中にある白玉の個数を推定することにした。この箱の中に，白玉と同じ大きさの赤玉 \( 300 \) 個を入れ，よくかき混ぜた後，箱の中から \( 100 \) 個の玉を取り出したところ，その中に赤玉が \( 10 \) 個あった。この箱の中には，およそ何個の白玉が入っていると推定されるか，答えなさい。

大問２

（１） ７人の生徒 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ の中から，２人の代表をくじで選ぶとき，生徒Ａが代表に選ばれる確率を求めなさい。

【解説】

２人を同時に選ぶときは「Ａ・Ｂ」と「Ｂ・Ａ」の組み合わせはまとめて１通りと考えることに注意して，
２人の選び方を樹形図で表し，Ａを含むところに ○ をつけると，
Ａを含む組み合わせは６通り，すべての組み合わせは２１通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7} \)

（２） 関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の値が \( 1 \) から \( 4 \) まで増加するときの変化の割合が \( 2a^2 \) である。
このとき，\( a \) の値を求めなさい。ただし，\( a≠0 \) とする。

大問３

下の図１，２のように，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正三角形 \( ABC \) と，１辺の長さが \( 5 \; cm \) の正三角形 \( DEF \) がある。このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） 正三角形 \( ABC \) と正三角形 \( DEF \) の面積の比を答えなさい。

➀ \( △AGL \) ∽ \( △DGH \) であることを証明しなさい。

② 辺 \( BC \) と辺 \( DF \) が平行であるとき，六角形 \( GHIJKL \) の周の長さを求めなさい。

大問４

図３の状態から，左の引き戸だけを右向きに動かす。図４～６は，左の引き戸を右向きに動かしたときのようすを順に表したものであり，２枚の引き戸を正面から見たときに見える「奥の面」を，Ａ～Ｄのように分類する。
左の引き戸を，図３の位置から右向きに動かした長さを \( x \; cm \) とするとき，あとの（１）～（５）の問いに答えなさい。 ただし，\( 0≦x≦70 \) とする。

（１） \( x=15 \) のとき，Ａの面積を答えなさい。

（２） 次の文は，左の引き戸を，図３の位置から右向きに動かした長さと，２枚の引き戸を正面から見たときに見える「奥の面」の面積の関係について述べたものの一部である。このとき，文中の 　ア　 に当てはまるものを，Ａ～Ｄからすべて選び，その符号を書きなさい。

左の引き戸を，図３の位置から右向きに動かした長さと，　ア　 の面積の関係をグラフに表すと，
下の図７のようになる。

（３） \( 10≦x≦70 \) のとき，Ｄの面積を \( x \) を用いて表しなさい。

（４） ３つの部分Ｂ，Ｃ，Ｄの面積の和を \( y \; cm^2 \) とするとき，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかきなさい。

【解答】

（５） Ａの面積と，３つの部分Ｂ，Ｃ，Ｄの面積の和が等しいとき，\( x \) の値を求めなさい。

大問５

下の図のように，\( AB=3 \; cm，AD=5 \; cm，BF=4 \; cm \) の直方体 \( ABCD-EFGH \) がある。辺 \( BC \) 上を点 \( B \) から点 \( C \) まで移動する点を \( P \) とし，点 \( P \) を通り線分 \( AH \) に平行な直線と辺 \( CG \) との交点を \( Q \) とする。このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） 線分 \( BE \) の長さを答えなさい。

（２） 四角形 \( BCHE \) の面積を答えなさい。

（３） \( AP+PH \) の長さが最も短くなるとき，次の①，②の問いに答えなさい。

　　① 線分 \( BP \) の長さを求めなさい。

　　➁ ６点 \( P，Q，C，A，H，D \) を結んでできる立体の体積を求めなさい。

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次の(1)～(8)の問いに答えなさい。

(1)　\( 7-(-3)-3 \) を計算しなさい。

(2)　\( 2(3a-2b)-4(2a-3b) \) を計算しなさい。

(3)　\( (-6ab)^2÷4ab^2 \) を計算しなさい。

(4)　連立方程式 \( \left\{
\begin{array}{}
x+3y=21 \\
2x-y=7
\end{array}
\right. \) を解きなさい。

(5)　\( \sqrt{45}-\sqrt{5}+\dfrac{10}{\sqrt{5}} \) を計算しなさい。

(6)　１３０人の生徒が１人 \( a \) 円ずつ出して、1つ \( b \) 円の花束を５つと、１本１５０円のボールペンを５本買って代金を払うと，おつりがあった。このとき，数量の関係を不等式で表しなさい。

【解答】

\( ∠x=180°-(∠ADB+∠DBF) \) として求めます。
\( A \) ～ \( I \) の各点から中心 \( O \) に補助線を引くと，\( A \) ～ \( I \) は円周を９等分した点なので，
それぞれのおうぎ形の中心角は， \( 360° \div 9=40° \) になります。
弧 \( AB \) の中心角 \( ∠AOB=40° \) なので，円周角 \( ∠ADB=20° \)
弧 \( DF \) の中心角 \( ∠DOF=80° \) なので，円周角 \( ∠DBF=40° \)
よって，
\( ∠x=180°-(∠ADB+∠DBF) \)
　　\( =180°-(20°+40°)=120° \)

大問２

次の(1)～(3)の問いに答えなさい。

(1)　１から６までの目のついた１つのさいころを２回投げるとき，１回目に出る目の数を \( a \) ，２回目に出る目の数を \( b \) とする。このとき， \( \dfrac{24}{a+b} \) が整数になる確率を求めなさい。

大問３

(1)　\( x=2 \) のとき，\( y \) の値を答えなさい。

(2)　次の①，②について，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
①　\( 0≦x≦3 \) のとき

②　\( 3≦x≦6 \) のとき

(4)　 \( y=20 \) となる \( x \) の値をすべて求めなさい。

大問４

箱の中に、数字を書いた １０枚のカード， \( \fbox{0}，\fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{4}，\fbox{5}，\fbox{6}，\fbox{7}，\fbox{8}，\fbox{9} \) が入っている。これらのカードを使い、次の手順Ⅰ～Ⅲ に従って，下のような記録用紙に数を記入していく。このとき，あとの (1)，(2) の問いに答えなさい。

手順
I　箱の中から１枚のカードを取り出して、そのカードに書かれている数字を，記録用紙の１番目の欄に記入し，カードを箱の中に戻す。

Ⅱ　箱の中からもう一度１枚のカードを取り出して，そのカードに書かれている数字を，記録用紙の２番目の欄に記入し，カードを箱の中に戻す。

Ⅲ　次に，記録用紙の \( (n-2) \) 番目の欄の数と \( (n-1) \) 番目の欄の数の和を求め，その一の位の数を \( n \) 番目の欄に記入する。ただし， \( n \) は３以上１８以下の自然数とする。

(1)　次の文は，手順Ⅰ～Ⅲに従って，記録用紙に数を記入するときの例について述べたものである。このとき，文中の 　ア　 ～ 　ウ　 に当てはまる数を，それぞれ答えなさい。

例えば、手順Ⅰで２のカード，手順Ⅱで３のカードを取り出したときには，下のように，記録用紙の１番目の欄には２，２番目の欄には３を記入する。このとき，１６番目の欄に記入する数は 　ア　，１７番目の欄に記入する数は 　イ　，１８番目の欄に記入する数は 　ウ　 となる。

(2)　手順 I，Ⅱで取り出したカードに書かれている数字と，手順Ⅲで記録用紙に記入する数に，どのような関係があるかを調べるために，次の表１，２を作った。
表１は，手順Ⅰで \( \fbox{0} \) ～ \( \fbox{9} \) のいずれか１枚のカードを取り出し，手順Ⅱで \( \fbox{5} \) のカードを取り出したときのそれぞれの場合について，１番目の欄の数を小さい順に並べ替えてまとめたものである。また，表２は，手順Ⅰで \( \fbox{0} \) ～ \( \fbox{9} \) のいずれか１枚のカードを取り出し，手順Ⅱで \( \fbox{6} \) のカードを取り出したときのそれぞれの場合について，１番目の欄の数を小さい順に並べ替えてまとめたものである。このとき，あとの①，②の問いに答えなさい。

①　手順Ⅱで \( \fbox{5} \) ， \( \fbox{6} \) 以外のカードを取り出しても，１７番目の欄の数は，１番目の欄の数に関係なく，２番目の欄の数によって決まる。このことを証明しなさい。

②　手順Ⅰで \( \fbox{x} \) のカード，手順Ⅱで \( \fbox{4} \) のカードを取り出したとき，１８番目の欄の数が１になった。このとき，\( x \) の値を求めなさい。

大問５

(1)　線分 \( CP \) の長さを答えなさい。

(2)　５点 \( C，A，B，E，D \) を結んでできる四角すいの体積を求めなさい。

(3)　４点 \( A，B，C，F \) を結んでできる三角すいの体積を求めなさい。

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