石川 - 数学基礎トレーニングルーム

石川県公立高校入試　令和７（2025）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Fri, 19 Dec 2025 13:00:14 +0000

大問１

（１）次のア～オの計算をしなさい。

ア　\( 7-(-2) \)

【解答】

\( 9 \)

【解説】

\( =7+2 \)
\( =9 \)

イ　\( 2^3+8 \div (-4) \)

【解答】

\( 6 \)

【解説】

\( =8+8 \div (-4) \)
\( =8+(-2) \)
\( =8-2 \)
\( =6 \)

ウ　\( (-3xy)^2 \div \dfrac{12}{5}xy^2 \)

【解答】

\( \dfrac{15}{4}x \)

【解説】

\( =9x^2y^2 \times \dfrac{5}{12xy^2} \)
\( =\dfrac{9x^2y^2 \times 5}{12xy^2} \)
\( =\dfrac{15x}{4} \)

エ　\( \dfrac{5a+b}{3}-\dfrac{a-b}{2} \)

【解答】

\( \dfrac{7a+5b}{6} \)

【解説】

\( =\dfrac{2(5a+b)}{6}-\dfrac{3(a-b)}{6} \)
\( =\dfrac{2(5a+b)-3(a-b)}{6} \)
\( =\dfrac{10a+2b-3a+3b}{6} \)
\( =\dfrac{7a+5b}{6} \)

オ　\( \sqrt{18}-8\sqrt{5} \times \dfrac{1}{\sqrt{10}} \)

【解答】

\( -\sqrt{2} \)

【解説】

\( =3\sqrt{2}-8\sqrt{5} \times \dfrac{1}{\sqrt{10}} \)
\( =3\sqrt{2}-8\sqrt{5} \times \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}} \)
\( =3\sqrt{2}-\dfrac{8}{\sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{2}-\dfrac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{2}-4\sqrt{2} \)
\( =-\sqrt{2} \)

（２）次の方程式を解きなさい。
　　　　 \( x^2-7x+2=0 \)

【解答】

\( x=\dfrac{7±\sqrt{41}}{2} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-7)±\sqrt{(-7)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{7±\sqrt{41}}{2} \)

（３） \( 8<\sqrt{n}<8.2 \) をみたす自然数 \( n \) の値をすべて求めなさい。

【解答】

\( 65，66，67 \)

【解説】

３つの数 \( a，b，c \) が \( a \( a，b，c \) それぞれを２乗しても大小の関係は変わりません。

\( 8，\sqrt{n}，8.2 \) をそれぞれ２乗すると，\( 64，n，67.24 \) なので，
\( 64

よって，これをみたす自然数 \( n \) の値は \( 65，66，67 \) になります。

（４）「＊」の記号は，２つの数 \( a，b \) について，
　　　　　 \( a*b=ab-4b+5 \)
　　　のように計算するものとする。
　　　このとき，\( 3*(2x)=4 \) となる \( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{1}{2} \)

【解説】

\( a*b=ab-4b+5 \) に \( a=3，b=2x \) を代入すると，
　\( 3*(2x)=3 \times 2x-4 \times 2x+5 \)
　　　　　\( =6x-8x+5 \)
　　　　　\( =-2x+5 \)
なので，\( 3*(2x)=4 \) の \( 3*(2x) \) を \( -2x+5 \) におきかえると，
　\( -2x+5=4 \)
　　　\( -2x=-1 \)
　　　　 \( x=\dfrac{1}{2} \)

（５）Ａ中学校の３年１組の生徒 \( 39 \) 人と２組の生徒 \( 38 \) 人に，体力テストを実施した。右の図は，体力テストの得点の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次のア～エのうち，箱ひげ図から読みとれることとして正しいものを１つ選び，その符号を書きなさい。

ア　四分位範囲は，１組のほうが２組よりも大きい。
イ　\( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満の人数は，１組のほうが２組よりも多い。
ウ　第１四分位数は，２組のほうが１組よりも大きい。
エ　\( 60 \) 点以上の人数は，２組のほうが１組よりも多い。

【解答】

エ

【解説】

ア　四分位範囲が大きいほど，箱の長さが長くなります。
　　箱の長さは２組のほうが１組よりも長いので，四分位範囲は２組の方が大きくなっています。

イ　箱ひげ図から，１組の最小値は \( 20 \) 点未満，最大値が \( 70 \) 点より大きいので，
　　\( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満の人数は，最大でも \( 37 \) 人です。
　　２組は最小値は \( 20 \) 点より大きく，最大値が \( 70 \) 点未満なので，
　　\( 38 \) 人全員が \( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満です。
　　よって，\( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満の人数は，２組のほうが１組よりも多くなっています。

ウ　箱ひげ図から，１組の第１四分位数は \( 40 \) 点より大きく，
　　２組の第１四分位数は \( 40 \) 点未満なので，
　　第１四分位数は，１組のほうが２組よりも大きくなっています。

エ　１組は \( 39 \) 人分のデータを集計しているので，第３四分位数は得点の高い方から
　　１０番目の値になります。
　　１組の第３四分位数は \( 60 \) 点未満なので，\( 60 \) 点以上の人数は，
　　多くても \( 9 \) 人になります。
　　２組は \( 38 \) 人分のデータを集計しているので，第３四分位数は得点の高い方から
　　１０番目の値になります。
　　２組の第３四分位数は \( 60 \) 点以上なので，\( 60 \) 点以上の人数は，
　　少なくても \( 10 \) 人になります。
　　よって，\( 60 \) 点以上の人数は，２組のほうが１組よりも多くなっています。

大問２

Ａさん，Ｂさん，Ｃさんの３人が，１から６までの目が出るさいころを順番に１回ずつ投げて，出た目の数だけ自分のコマを進める「すごろく」をする。
このとき，次の（１），（２）に答えなさい。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいとする。

（１）３人がさいころを順番に１回ずつ投げるとき，この３人が投げる順番は全部で何通りあるか，求めなさい。

【解答】

６通り

【解説】

３人が投げる順番を樹形図に書き出すと，次の６通りになります。

（２）図１は，３人がしている「すごろく」の一部であり，ＡさんのコマとＢさんのコマがともに \( P \) のマスにある。\( P \) のマスと \( Q \) のマスの間には，➀，➁，➂，➃の４つのマスからなる「迷宮トンネル」があり，この「迷宮トンネル」には次の規則がある。

<規則>
・ ➀ → ➁ → ➂ → ➃ → ➀ → ➁ → ･･･と時計回りにコマを進める。
・ ➂ のマスにコマが止まったときだけ，次にさいころを投げた後に，コマをQのマスを通って
　ゴールの方向に進めることができる。

また，図２のように「おたすけカードＸ」と「おたすけカードＹ」があり,カードを持っていればさいころを投げる直前に使うことができる。Ａさんは「おたすけカードＸ」を，Ｂさんは「おたすけカードＹ」を持っており，ＡさんもＢさんもそれぞれ持っているカードを使うことにした。

このとき，ＡさんとＢさんのそれぞれのコマが ➂ のマスに止まる確率について，次のア～ウから正しいものを１つ選び，その符号を書きなさい。また，選んだ理由も説明しなさい。説明においては，図や表，式などを用いてよい。

ア　Ａさんの確率のほうがＢさんより大きい。
イ　Ｂさんの確率のほうがＡさんより大きい。
ウ　ＡさんとＢさんの確率は等しい。

【解答】

ア
【Ａさんの確率】
移動先が ➂ になるのは，出た目が２または６のときなので，
あてはまる確率は \( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)

【Ｂさんの確率】
さいころを２回投げたときの出た目の組み合わせとそれぞれの場合の行き先を樹形図として書き出すと
下の図のようになります。
すべての場合の数は \( 36 \) 通り，移動先が➂になる組み合わせは \( 10 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18} \)

よって，Ａさんの確率のほうがＢさんより大きい。

【解説】

【Ａさんの確率】
さいころの目が１の場合 → 移動先は➁
さいころの目が２の場合 → 移動先は➂
さいころの目が３の場合 → 移動先は➃
さいころの目が４の場合 → 移動先は➀
さいころの目が５の場合 → 移動先は➁
さいころの目が６の場合 → 移動先は➂
なので，移動先が➂になる確率は \( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)

大問３

図１～３において，➀は関数 \( y=ax^2 \)，➁は関数 \( y=-x^2 \) のグラフである。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。

（１）図１において，➀のグラフ上の点 \( A \) の座標が \( (-3，5) \) であるとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{5}{9} \)

【解説】

点 \( A \) は \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x=-3，y=5 \) なので，
　\( 5=a \times (-3)^2 \)
　\( a=\dfrac{5}{9} \)

（２）\( a=2 \) とする。図２において，点 \( B \) は➀のグラフ上の点であり，\( x \) 座標は \( -4 \) である。また，点 \( B \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と➀のグラフとの交点のうち，\( B \) と異なる点を \( C \) とし，点 \( C \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と➁のグラフとの交点を \( D \) とする。
このとき，直線 \( BD \) の式を求めなさい。

【解答】

\( y=-6x+8 \)

【解説】

点 \( B \) は \( y=2x^2 \) 上の点で，\( x=-4 \) なので，
　\( y=2 \times (-4)^2=32 \)

点 \( B､C \) は \( y \) 座標が等しいことから，
点 \( C \) は \( y \) 軸に対して点 \( B \) と対称な点なので，\( C( 4，32) \)

点 \( D \) は \( y=-x^2 \) 上の点で，\( x=4 \) なので，
　\( y=-4^2=-16 \)

直線 \( BD \) は \( B\left( -4，32 \right)，D( 4，-16) \) を通るので，
直線 \( BD \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{-16-32}{4-(-4)} \)
　　 \( =-6 \)
\( y=-6x+n \) に \( x=4，y=-16 \) を代入すると，
　\( -16=-6 \times 4+n \)
　　 \( n=8 \)

よって，直線 \( BD \) の式は \( y=-6x+8 \)

（３） \( a=\dfrac{1}{2} \) とする。図３において，点 \( E，F \) は➀のグラフ上の点であり，\( x \) 座標はそれぞれ \( 2，-1 \) である。また，点 \( G，H \) は➁のグラフ上の点であり，四角形 \( EFGH \) は平行四辺形である。
このとき，点 \( G \) の座標を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

２点 \( E，F \) の座標はそれぞれ \( E(2，2)，F \left( -1，\dfrac{1}{2} \right) \) なので，
点 \( G \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
２点 \( G，H \) の座標はそれぞれ \( G(t，-t^2)，H \left( t+3，-t^2+\dfrac{3}{2} \right) \) と表すことができる。
点 \( H \) は，\( y=-x^2 \) 上の点であることから，
　\( -t^2+\dfrac{3}{2}=-(t+3)^2 \)
　\( -t^2+\dfrac{3}{2}=-t^2-6t-9 \)
　　　　 \( 6t=-\dfrac{21}{2} \)
　　　　　\( t=-\dfrac{7}{4} \)
よって，点 \( G \) の座標は，\( G \left( -\dfrac{7}{4}，-\dfrac{49}{16} \right) \)

【解説】

点 \( E \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x=-1 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times (-1)^2=\dfrac{1}{2} \)
点 \( F \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x=2 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 2^2=2 \)

点 \( G \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，\( y=-x^2 \) 上の点
なので，\( y \) 座標は \( -t^2 \) と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，
点 \( F \) が，点 \( E \) から \( x \) 方向に \( 3，y \) 方向に \( \dfrac{3}{2} \) 移動した点であることから，
点 \( H \) は，点 \( G \) から \( x \) 方向に \( 3，y \) 方向に \( \dfrac{3}{2} \) 移動した点になります。
ここから，点 \( H \) の座標は，\( H \left( t+3，-t^2+\dfrac{3}{2} \right) \) と表すことができます。

点 \( H \) は，\( y=-x^2 \) 上の点であることから，\( x \) に \( t+3，y \) に，\( -t^2+\dfrac{3}{2} \) を代入すると，
　\( -t^2+\dfrac{3}{2}=-(t+3)^2 \)
　\( -t^2+\dfrac{3}{2}=-t^2-6t-9 \)
　　　　 \( 6t=-\dfrac{21}{2} \)
　　　　　\( t=-\dfrac{7}{4} \)

よって，点 \( G \) の座標は，\( G \left( -\dfrac{7}{4}，-\dfrac{49}{16} \right) \)

大問４

石川さんのクラスでは，文化祭の模擬店で販売するためのからあげを \( 300 \) 個作った。このからあげ \( 300 \) 個すべてを，\( 3 \) 個入りと \( 5 \) 個入りに分けて販売することにした。\( 3 \) 個入りは１セット \( 150 \) 円，\( 5 \) 個入りは１セット \( 200 \) 円で販売したところ，模擬店終了時間 \( 30 \) 分前には，\( 5 \) 個入りは売り切れ，\( 3 \) 個入りが \( 10 \) セット残っていた。そこで，この \( 10 \) セットを最初に販売した価格の \( 20 \; % \) 引きで販売したところ，模擬店終了時間までに売り切ることができた。売上金の総額は \( 13500 \) 円であった。
このとき，販売した \( 3 \) 個入りのからあげ，\( 5 \) 個入りのからあげはそれぞれ何セットか，方程式をつくって求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( 3 \) 個入りのからあげを \( x \) セット，\( 5 \) 個入りのからあげを \( y \) セット販売したとすると，
からあげの個数の関係は \( 3x+5y=300 \)
売上金の関係は \( 150(x-10)+150 \times 0.8 \times 10+200y=13500 \)
と表すことができるので，連立方程式として解くと，
　\( \left\{ \begin{array}{}
3x+5y=300 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
150(x-10)+150 \times 0.8 \times 10+200y=13500 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➁を整理すると，
　\( 3x+4y=276 \) ･･･ ➁’
➀ \( – \) ➁’
　\( y=24 \)
➀に代入すると，
　\( 3x+5 \times 24=300 \)
　　　　　　\( 3x=180 \)
　　　　　　　\( x=60 \)
よって，販売した
\( 3 \) 個入りのからあげは \( 60 \) セット
\( 5 \) 個入りのからあげは \( 24 \) セット

大問５

右の図のように，平行四辺形 \( ABCD \) があり，\( ∠ADC=80° \) である。また，辺 \( BC \) 上に点 \( E \) がある。これを用いて，次のの中の条件➀～➂をすべて満たす点 \( P \) を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

　➀　点 \( P \) は,平行四辺形 \( ABCD \) の内部にある。
　➁　\( ∠PDC=40° \)
　➂　\( ∠BPE=90° \)

【解答】

手順１　点 \( D \) を中心に円弧を描く
（辺 \( AD，CD \) との交点を \( F，G \) とします）
手順２　２点 \( F，G \) を中心に円弧を描く
（交点を \( H \) とします）
手順３　２点 \( D，H \) を通る直線を描く
手順４　２点 \( B，E \) を中心に円弧を描く
（交点を \( I，J \) とします）
手順５　２点 \( I，J \) を通る直線を描く
（辺 \( BC \) との交点を \( K \) とします）
手順６　点 \( K \) を中心に線分 \( BK \) を半径とする
　　　　円弧を描く

手順３の直線と手順６の円弧の交点が，求める点 \( P \) になります。

【解説】

条件➁について，\( ∠ADC=80°，∠PDC=40° \) より，点 \( P \) は \( ∠ADC \) の二等分線上の点であることがわかります。

条件➂について，\( ∠BPE \) を円周角と考えると，
点 \( P \) は線分 \( BE \) を直径とする円周上の点であることがわかります。
線分 \( BE \) を直径とする円の中心は線分 \( BE \) の中点なので，線分 \( BE \) の垂直二等分線を作図することで求めることができます。

大問６

図１～３のように，円 \( O \) の周上に４点 \( A，B，C，D \) があり，\( AB=AC \) とする。また，線分 \( AC \) と \( BD \) の交点を \( E \) とする。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。

（１）図１のように，\( ∠BAC=100° \)，\( ∠EBC=13° \) のとき，\( ∠AEB \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠AEB=53° \)

【解説】

\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠ABC=\dfrac{180°－100°}{2}=40° \)
\( ∠EBC=13° \) より，
　\( ∠ABE=40°-13°=27° \)

\( △ABE \) において，\( ∠AEB=x \) とすると，
　\( x=180°-(100°+27°)=53° \)

（２）図２において，\( \stackrel{\huge\frown}{ AD }=\stackrel{\huge\frown}{ DC } \) であり，点 \( C \) を通り，線分 \( AB \) と平行な直線と直線 \( AD \) の交点を \( F \) とする。
このとき，\( △ABE≡△CAF \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABE \) と \( △CAF \) において，
仮定より，
　\( AB=CA \) ･･･ ➀
\( AB//CF \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠BAE=∠ACF \) ･･･ ➁
\( \stackrel{\huge\frown}{ AD }=\stackrel{\huge\frown}{ DC } \) より，円周角は等しいので，
　\( ∠ABE=∠DBC \) ･･･ ➂
\( \stackrel{\huge\frown}{ DC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠DBC=∠CAF \) ･･･ ➃
➂➃より，
　\( ∠ABE=∠CAF \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABE≡△CAF \)

（３）図３において，\( AE=4 \; cm，EC=1 \; cm \)，\( CD=\dfrac{5}{3} \; cm \) とする。
このとき，線分 \( BC \) の長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( △ABC \) は二等辺三角形なので，
　\( AB=AC=AE+AC=5 \; cm \)
\( △ABE \) ∽ \( △DCE \) なので，
　\( BE：CE=AB：DC \)
　　 \( BE：1=5：\dfrac{5}{3} \)
　　　　\( BE=3 \; (cm) \)

\( BE=3 \; cm，AE=4 \; cm，AB=5 \; cm \) なので，
\( △ABE \) は直角三角形であり，\( ∠AEB=90° \)

\( △BCE \) において，三平方の定理より，
　\( BC^2=3^2+1^2=10 \)
　 \( BC=\sqrt{10} \; (cm) \)（ \( BC>0 \) より）

【解説】

大問７

図１，図３，図４の立体 \( ABCD-EFGH \) は，\( AB=2\sqrt{6} \; cm，AD=2\sqrt{3} \; cm，AE=3 \; cm \) の直方体であり，図２は，図１の展開図である。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。

（１）図２の展開図を組み立てたとき，点 \( C \) と重なる点をア～クからすべて選び，その符号を書きなさい。

【解答】

ア，キ

【解説】

図２の展開図を組み立てると右の図の同じ色にした辺がくっつくので，点 \( C \) と重なる点は，
アとキになります。

（２）図３において，辺 \( BC，FG \) の中点をそれぞれ \( K，L \) とする。
このとき，四角錐 \( E-DHLK \) の体積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( 12\sqrt{2} \; cm^3 \)

【解説】

\( △CDK \) において，\( DC=AB=2\sqrt{6} \; cm，CK=\dfrac{1}{2}BC=\sqrt{3} \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( DK^2=(2\sqrt{6})^2+(\sqrt{3})^2=27 \)
　 \( DK=3\sqrt{3} \; (cm) \)（ \( DK>0 \) より）

四角形 \( DHLK \) の面積は，
　\( 3 \times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3} \; (cm^2) \)

\( △EHL \) において，点 \( E \) から線分 \( HL \) に垂線をひいた交点を \( J \) とし，\( HJ=x \; cm \) とすると，\( EL=HL=DK=3\sqrt{3} \; cm \) なので，
　\( (2\sqrt{3})^2-x^2=(3\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3}-x)^2 \)
　　　 \( 12-x^2=27-(27-6\sqrt{3}x+x^2) \)
　　　　 \( 6\sqrt{3}x=12 \)
　　　　　　 \( x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \; (cm) \)
となり，
　\( EJ^2=(2\sqrt{3})^2-\left( \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \right)^2=\dfrac{96}{9} \)
　 \( EJ=\dfrac{4\sqrt{6}}{3} \; (cm) \)（ \( EJ>0 \) より）

四角錐 \( E-DHLK \) の体積は，
　\( 9\sqrt{3} \times \dfrac{4\sqrt{6}}{3} \times \dfrac{1}{3}=12\sqrt{2} \; (cm^3) \)

（３）図４のように，高さ \( 8 \; cm \) の円錐があり，その中に直方体 \( ABCD -EFGH \) が入っている。直方体の頂点のうち，４点 \( A，B，C，D \) は，いずれも円錐の側面上にあり，４点 \( E，F，G，H \) は，いずれも円錐の底面上にある。また，円錐の底面である円の周上に２点 \( M，N \) があり，線分 \( MN \) は円の直径である。
図５は，図４の円錐を４点 \( A，B，C，D \) を通る平面で切断してできた２つの立体のうち，線分 \( MN \) を含むほうであり，切り口の円の周上を動く点を \( P \) とする。
\( △PMN \) の面積が最大となるとき，その面積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

円すいの頂点を \( K \) ，底面の円の中心を \( O \)，
切り口の円の中心を \( O’ \) とすると，
\( △KBO’ \) ∽ \( △KMO \) であり，
切り口の円の直径は四角形 \( ABCD \) の対角線になるので，
　\( KO’：KO=O’B：OM \)
　　　　\( 5：8=3：OM \)
　　　　\( OM=\dfrac{24}{5} \; (cm) \)
ここから，
　\( MN=2OM=\dfrac{48}{5} \; (cm) \)

\( △PMN \) の面積が最大になるのは，
\( OP⊥MN \) になるときであり，
\( ∠OO’P=90° \) なので，
　\( OP^2=3^2+3^2=18 \)
　 \( OP=3\sqrt{2} \; (cm) \)（ \( OP>0 \) より）
よって，\( △PMN \) の面積は，
　\( △PMN=\dfrac{48}{5} \times 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{72\sqrt{2}}{5} \; (cm^2) \)

【解答】

●　\( △PMN \) の面積が最大になるのは，\( OP⊥MN \) になるときである理由
線分 \( MN \) を底辺とすると，点 \( P \) から線分 \( MN \) にひいた垂線の長さが高さになります。
点 \( P \) がどの位置にあっても，線分 \( MN \) は固定なので，高さ（垂線の長さ）の値が最大のとき，
\( △PMN \) の面積も最大になります。

\( OP⊥MN \) になる位置に点 \( P \) があるとき，\( O’P=3 \; cm \) になります。

これ以外の位置に点 \( P \) があるとき，
点 \( P \) から線分 \( MN \) に垂線をひいた交点を \( L \)．
点 \( L \) から切り口の面に垂線をひいた交点を \( L’ \)
とすると，線分 \( L’P \) は \( O’P \) より短くなりす。
線分 \( L’P=x \; cm \) とするとき，
　\( OP=\sqrt{3^2+3^2} cm \)
　\( LP=\sqrt{x^2+3^2} cm \)
であり，\( x<3 \) より \( OP>LP \) なので，
\( OP⊥MN \) になるときに \( △PMN \) の面積が最大になります。

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石川県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Fri, 20 Sep 2024 13:00:05 +0000

大問１

(1)　次のア～オの計算をしなさい。

ア　\( -4-7 \)

【解答】

\( -11 \)

イ　\( 5+(-3^2) \times 2 \)

【解答】

\( -13 \)

【解説】

\( =5+(-9) \times 2 \)
\( =5+(-18) \)
\( =-13 \)

ウ　\( 4ab^3 \div \dfrac{10}{7}ab^2 \)

【解答】

\( \dfrac{14}{5}b \)

【解説】

\( =\dfrac{4ab^3 \times 7}{10ab^2} \)
\( =\dfrac{14}{5}b \)

エ　\( \dfrac{x-3y}{2}-\dfrac{x-5y}{8} \)

【解答】

\( \dfrac{3x-7y}{8} \)

【解説】

\( =\dfrac{8(x-3y)-2(x-5y)}{16} \)
\( =\dfrac{8x-24y-2x+10y}{16} \)
\( =\dfrac{6x-14y}{16} \)
\( =\dfrac{3x-7y}{8} \)

オ　\( \sqrt{96} \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\sqrt{27} \)

【解答】

\( 7\sqrt{3} \)

【解説】

\( =\sqrt{48}+3\sqrt{3} \)
\( =4\sqrt{3}+3\sqrt{3} \)
\( =7\sqrt{3} \)

（２）次の方程式を解きなさい。
　　　　　\( 3x^2-5x+1=0 \)

【解答】

\( x=\dfrac{5±\sqrt{13}}{6} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=3，b=-5，c=1 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4 \times 3 \times 1}}{2 \times 3} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{13}}{6} \)

（３）右の図のように，面積が \( 10 \; cm^2 \) の平行四辺形の底辺を \( x \; cm \)，高さを \( y \; cm \) とする。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

【解答】

\( y=\dfrac{10}{x} \)

【解説】

平行四辺形の面積を求める公式より，\( xy=10 \) なので，
これを \( y \) について解くと，
　\( y=\dfrac{10}{x} \)

（４）関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，\( y \) の変域が \( 0≦y≦15 \) である。このとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=\dfrac{5}{3} \)

【解説】

関数 \( y=ax^2 \) において，\( x \) の変域が \( 0 \) を含んでいるとき，
　\( a>0 \) であれば，\( y \) の最小値が \( 0 \)，
　\( a<0 \) であれば，\( y \) の最大値が \( 0 \)
になります。
ここから，\( a>0 \) であるとわかります。

\( a>0 \) の場合，
\( x \) の絶対値が最大になるときに \( y \) は最大値をとります。
\( -2≦x≦3 \) のうち，絶対値が最大になるのは
\( x=3 \) のときなので，このときの \( y \) の値は，
　\( y=a \times 3^2=9a \)
であり，これが最大値 \( 15 \) になるので，
　\( 9a=15 \)
　 \( a=\dfrac{5}{3} \)

（５）１から６までの目が出る大小２つのさいころを同時に１回投げて，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。このとき，\( a+2b=10 \) となる確率を求めなさい。ただし，２つのさいころはともに，どの目が出ることも同様に確からしいとする。

【解答】

\( \dfrac{1}{12} \)

【解説】

\( a \) と \( b \) の組み合わせと，それぞれの組み合わせにおける \( a+2b \) の値を表に書き出すと，
\( a+2b=10 \) となる組み合わせは３通り，すべての組み合わせは３６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} \)

大問２

Ａ中学校の３年１組の生徒 \( 40 \) 人に，\( 10 \) 点満点のテストを実施した。右の表は，テストの得点について，度数および相対度数をまとめたものである。このとき，次の（１），（２）に答えなさい。

（１）表の \( \fbox{　a　} \) にあてはまる数を求めなさい。ただし，小数第３位を四捨五入して，小数第２位まで求めること。

【解答】

\( 0.08 \)

【解説】

相対度数は，「求める階級の度数」 \( \div \) 「すべての階級の度数の合計」で求めることができるので，
　\( 3 \div 40=0.075 \)
\( 0.075 \) の小数第３位を四捨五入すると，\( 0.08 \)

（２）右の図は，テストの得点の分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，表の \( \fbox{　b　}，\fbox{　c　}，\fbox{　d　} \) にあてはまる数の組み合わせとして適当でないものを，次のア～エから１つ選び，その符号を書きなさい。また，そう判断した理由を，この箱ひげ図をもとに説明しなさい。説明においては，図や表，式などを用いてよい。

　　　　ア　\( b=5 \;\; c=4 \;\; d=1 \) 　　　　イ　 \( b=5 \;\; c=2 \;\; d=3 \)
　　　　ウ　\( b=4 \;\; c=4 \;\; d=3 \) 　　　　エ　 \( b=4 \;\; c=3 \;\; d=3 \)

【解答】

ウ
【理由】
箱ひげ図より第三四分位数は \( 7.5 \) 点なので，\( 8 \) 点の人がいることを踏まえると，
得点の低い方から３０番目の人の得点は \( 7 \) 点，３１番目の人の得点は \( 8 \) 点である。
ここから，得点が \( 9 \) 点の人の人数は，\( 8 \) 人であり，全体で \( 40 \) 人であることから，
\( b+c+d \) の値は
　\( 0+3+4+b+7+c+6+d+1+8+1=40 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( b+c+d=10 \)
ウは，\( b+c+d=4+4+3=11 \) になるので，適当ではないといえる。

【解説】

すべての階級の度数の合計が \( 40 \) 人であることから，
　第一四分位数は得点の低い方から１０番目と１１番目の人の得点の平均値，
　中央値は得点の低い方から２０番目と２１番目の人の得点の平均値，
　第三四分位数は得点の低い方から３０番目と３１番目の人の得点の平均値，
になります。

箱ひげ図より，第三四分位数は \( 7.5 \) 点なので，
得点の低い方から３０番目（得点の高い方から１１番目）の人の得点は \( 7 \) 点，
得点の低い方から３１番目（得点の高い方から１０番目）の人の得点は \( 8 \) 点
なので，得点が \( 9 \) 点の人の人数は，\( 10-(1+1)=8 \) 人となります。

このとき，度数に注目すると，
　\( 0+3+4+b+7+c+6+d+1+8+1=40 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( b+c+d=10 \)

ウは，\( b+c+d=4+4+3=11 \) になるので，適当ではないといえる。

大問３

Ａさんは，登山口から山頂までの道のりが \( 1200 \; m \) である山に登った。午前 \( 9 \) 時に登山口を出発し，山頂まで一定の速さで歩いて登った。山頂で \( 20 \) 分間休んだ後，一定の速さで歩いて下山し，登山口に戻った。
次の図は，Ａさんが移動するようすについて，Ａさんが登山口を出発してから \( x \) 分後に，登山口からの道のりが \( y \; m \) の地点にいるとして，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。

このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。なお，登山口は１つしかなく，登山口と山頂を結ぶ道も１本しかないものとする。

（１）図のグラフより，Ａさんが山頂から歩いて下山し，登山口に戻るまでにかかった時間は何分間か，求めなさい。

【解答】

\( 30 \) 分間

【解説】

グラフより，下山を開始したのは，登山口を出発してから \( 60 \) 分後，
登山口に戻ってきたのは，登山口を出発してから \( 90 \) 分後なので，
下山にかかった時間は \( 30 \) 分間。

（２）Ａさんが登山口を出発した午前 \( 9 \) 時に，Ｂさんは山頂から分速 \( 40 \; m \) で歩いて下山を開始したが，\( 200 \; m \) 歩いたところで忘れ物に気づき，同じ速さで山頂に引き返した。山頂で忘れ物を探し，見つけた後，分速 \( 20 \; m \) で歩いて再び下山を開始した。その後，登ってきたＡさんと午前 \( 9 \) 時 \( 30 \) 分にすれちがった。
Ｂさんが最初に下山を開始してから \( x \) 分後に，登山口からの道のりが y \; m の地点にいるとする。午前 \( 9 \) 時から午前 \( 9 \) 時 \( 30 \) 分までのＢさんが移動するようすについて，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフを図にかき入れ，Ｂさんが山頂に戻ってから再び下山を開始するまでの時間は何分間か，求めなさい。

【解答】

\( 5 \) 分間

【解説】

Ｂさんは山頂から分速 \( 40 \; m \) で歩いたので，\( 200 \; m \) 歩くのにかかった時間は
\( 200 \div 40=5 \)（分）
これをグラフに書き込むと，赤の直線になります。

そこから，同じ速さで山頂に戻ったので，\( 5 \) 分かけて山頂まで戻ることになり，
これをグラフに書き込むと，青の直線になります。

その後，再び下山を開始してからは，分速 \( 20 \; m \) で歩いたので，
これを表す直線は \( x \) 方向に１マス進むごとに \( y \) 方向に－１マス進む右下がりの直線になります。
ＡさんとＢさんは午前 \( 9 \) 時 \( 30 \) 分にすれちがったので，
\( x=30 \) のところの黒の直線 \( (x，y)=(30，900) \) が終点になるように右下がりの直線を書くと，
緑の直線になります。

このとき，青の直線の終点と緑の直線の始点をつないだ紫の直線が
山頂で忘れ物を探していた時間を表していることになります。
よって，忘れ物を探していた時間は \( 5 \) 分間。

（３）Ｃさんは，Ａさんより後に登山口を出発して，Ａさんが山頂まで登ったときと同じ速さで歩き，Ａさんが下山を開始した午前 \( 10 \) 時に登山口からの道のりが \( 400 \; m \) の地点にいた。Ｃさんが登山口を出発したのは，Ａさんが登山口を出発してから何分何秒後か，求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

Ａさんは，山頂まで登った速さは \( 1200 \div 40=30 \) で，分速 \( 30 \; m \) 。

グラフで，Ｃさんが歩いた状態を表す直線の式を \( y=30x+b \) とすると，
この直線は \( (60，400) \) を通るので，
　\( 400=30 \times 60+b \)
　　 \( b=-1400 \)
よって，この直線の式は \( y=30x-1400 \) と表すことができる。

\( y=0 \) を代入すると，
　\( 0=30x-1400 \)
　\( x=\dfrac{140}{3}=46\dfrac{2}{3} \)（分）

\( \dfrac{2}{3} \) 分を秒に換算すると，
　\( \dfrac{2}{3} \times 60=40 \)（秒）

以上より，求める時間は，\( 46 \) 分 \( 40 \) 秒後

大問４

あるバスケットボールの試合において，Ａチームは \( 3 \) 点シュート，\( 2 \) 点シュート，\( 1 \) 点のフリースローの合計得点が \( 68 \) 点であり，そのうち \( 1 \) 点のフリースローによる得点は \( 8 \) 点であった。Ａチームはこの試合で，\( 3 \) 点シュート，\( 2 \) 点シュート，\( 1 \) 点のフリースロー合わせて \( 80 \) 本のシュートをして，そのうち \( 45 \; \% \) のシュートを決めた。
Ａチームがこの試合で決めた \( 3 \) 点シュートと \( 2 \) 点シュートはそれぞれ何本か，方程式をつくって求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

Ａチームがこの試合で決めた \( 3 \) 点シュートの本数を \( x \) 本，\( 2 \) 点シュートの本数を \( y \) 本とすると，
　\( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y+8=68 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
x+y+8=80 \times \dfrac{45}{100} \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
　➀より，
　　\( 3x+2y=60 \) ･･･ ➀’
　➁より，
　　\( x+y=28 \) ･･･ ➁’
　➀’\( – \)➁’\( \times 2 \)
　　\( x=4 \)
　➁’に代入すると，
　　\( 4+y=28 \)
　　　　\( y=24 \)

よって，Ａチームがこの試合で決めた
　\( 3 \) 点シュートの本数は，\( 4 \) 本
　\( 2 \) 点シュートの本数は，\( 24 \) 本

大問５

右図のように，２点 \( A，B \) を通る直線 \( l \) と，\( l \) 上にない点 \( C \) がある。
これを用いて，次の　　　の中の条件①，②をともに満たす点 \( P \) を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

➀　\( PA⊥l \)
②　点 \( P \) は，２点 \( B，C \) を通る円の中心である。

【解答】

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（直線 \( l \) との交点を \( D，E \) とします。）
手順２　点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
（交点を \( F \) とします。）
手順３　２点 \( A，F \) を通る直線を描く。
手順４　点 \( B，C \) を中心に円弧を描く。
（交点を \( G，H \) とします。）
手順５　２点 \( G，H \) を通る直線を描く。

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

【解答】

円の中心は必ず任意の弦の垂直二等分線上にあるので，
２点 \( B，C \) を通る円の中心は，弦 \( BC \) の垂直二等分線上にあることになります。

円の中心は必ず任意の弦の垂直二等分線上にあるといえる理由

２点 \( A，B \) を通る円の中心を点 \( O \)，弦 \( AB \) とその垂直二等分線との交点を点 \( C \)，
垂直二等分線と円 \( O \) の交点を \( D，E \)，線分 \( DE \) 上の任意の点を点 \( O’ \) とすると，

\( △O’AC \) と \( △O’BC \) において，
　\( AC=BC \) ･･･ ➀
　\( ∠O’CA=∠O’CB=90° \) ･･･ ➁
　\( O’C \) は共通･･･ ➂
➀➁③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △O’AC≡△O’BC \)

対応する辺は等しいので，\( O’A=O’B \)

つまり，点 \( O’ \) が線分 \( DE \) 上のどの位置に
あっても \( O’A=O’B \) になります。

中心 \( O \) について，半径なので，\( OA=OB \) であることから，
線分 \( DE \) の中点が中心 \( O \) になります。

よって，円の中心は必ず任意の弦の垂直二等分線上にあるといえます。

大問６

図１～図３のように，１辺の長さが \( 4 \; cm \) の正方形 \( ABCD \) に，円 \( O \) が４点 \( E，F，G，H \) で接している。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。

（１）図１のように，点 \( F \) を含まない弧 \( EH \) 上に点 \( I \) をとる。このとき，\( ∠FIG \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 45° \)

【解説】

補助線 \( OF，OG \) をひくと，
\( OF⊥BC，OG⊥CD，∠BCD=90° \) なので，
四角形 \( OFCG \) において，
　\( ∠FOG=360°-90° \times 3=90° \)

\( ∠FIG \) は，弧 \( FG \) の円周角，
\( ∠FOG \) は，弧 \( FG \) の中心角なので，
　\( ∠FIG=\dfrac{1}{2} \times 90°=45° \)

（２）図２のように，線分 \( AC \) と円 \( O \) との交点のうち，点 \( A \) に近い方を点 \( J \)，もう一方を点 \( K \) とする。また，直線 \( DK \) と円 \( O \) との交点のうち点 \( K \) 以外の交点を \( L \)，直線 \( DK \) と辺 \( BC \) の交点を \( M \)，直線 \( JL \) と \( AD \) との交点を \( N \) とする。
このとき，\( △CDM \) ∽ \( △LND \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △CDM \) と \( △LND \) において，
正方形の内角なので，\( ∠DCM=∠CDA=90° \) ･･･ ➀
直径に対する円周角なので，\( ∠JLK=90° \)
４点 \( D，L，K，M \) は一直線上にあるので，\( ∠NLD=180°- ∠JLK=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，\( ∠DCM=∠NLD=90° \) ･･･ ➂

\( ∠DMC=180°-(∠CDM+∠DCM)=90°-∠CDM \) ･･･ ➃
\( ∠NDL=∠CDA-∠CDM=90°-∠CDM \) ･･･ ➄
➃➄より，\( ∠DMC=∠NDL \) ･･･ ⑥

➂➅より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △CDM \) ∽ \( △LND \)

（３）図３のように，点 \( F \) を中心として線分 \( FH \) を半径とする円 \( F \) と辺 \( AB \) との交点を \( P \)，円 \( F \) と半直線 \( CB \) との交点を \( Q \) とする。また，線分 \( FP \) と円 \( O \) との交点のうち，点 \( F \) 以外の交点を \( R \) とする。
このとき，弧 \( PQ \)，線分 \( QF \)，弧 \( FR \)，線分 \( RP \) で囲まれた　　　部分の面積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( FP=4 \; cm，FB=\dfrac{1}{2}BC=2 \; cm，∠PBF=90° \) より，
\( △PBF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，\( ∠BFP=60° \) なので，
おうぎ形 \( FPQ \) の面積は，
　\( \pi{} \times 4^2 \times \dfrac{60}{360}=\dfrac{8}{3}\pi{} (cm^2) \)

\( △OFR \) は，\( OF=OR=2 \; cm，∠ORF=∠OFR=30° \) の二等辺三角形なので，
　\( ∠ROF=180°-(30°+30°)=120° \)
点 \( O \) から線分 \( RF \) に垂線をひき，交点を \( S \) とすると，
\( OS=1 \; cm，FS=\sqrt{3} \; cm \) であり，
　\( △OFS=1 \times \sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \; (cm) \)
　\( △OFR=2△OFS=\sqrt{3} \; (cm) \)

おうぎ形 \( OFR \) の面積は，
　\( \pi{} \times 2^2 \times \dfrac{120}{360}=\dfrac{4}{3}\pi{} (cm^2) \)

以上より，求める面積は，
　\( \dfrac{8}{3}\pi{}- \left(\dfrac{4}{3}\pi{}-\sqrt{3} \right)=\dfrac{4}{3}\pi{}+\sqrt{3} (cm^2) \)

【解説】

　　　部分は，おうぎ形 \( FPQ \) から　　　の部分を取り除いた形になっています。

【おうぎ形 \( FPQ \) の中心角】
\( FH=CD=4 \; cm \) より，おうぎ形 \( FPQ \) は半径 \( 4 \; cm \) のおうぎ形であり，
\( FP=4 \; cm，FB=\dfrac{1}{2}BC=2 \; cm，∠PBF=90° \) より，
\( △PBF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，中心角 \( BFP \) は，\( 60° \) になっています。

【　　　部分の面積】
　　　部分は，おうぎ形 \( OFR \) から \( △OFR \) の部分を取り除いた形になっています。
\( ∠OFR=90°-∠BFP=30° \) であり，\( OR=OF \) より，\( ∠ORF=∠OFR=30° \) なので，
\( ∠ROF=180°-(30°+30°)=120° \)

\( △OFR \) において，点 \( O \) から線分 \( RF \) に垂線をひき，交点を \( S \) とすると，
\( △OFS \) と \( △ORS \) はどちらも斜辺が \( 2 \; cm \) で \( 30°，60°，90° \) の
直角三角形になっています。

大問７

図１～図３のように，底面 \( ABC \) が \( AB=4 \; cm，BC=3 \; cm，AC=5 \; cm \) の直角三角形で，高さ \( AD=10 \; cm \) の三角柱 \( ABC-DEF \) がある。
このとき，次の（１）～（３）に答えなさい。

（１）　図１において，辺 \( AB \) とねじれの位置にある辺をすべて書きなさい。

【解答】

辺 \( CF \)，辺 \( DF \)，辺 \( EF \)

【解説】

ねじれの位置にある辺とは，どこまで行っても交わらない辺のうち，
平行ではない辺になります。
　　　　

（２）　図２において，辺 \( BE，DE \) の中点をそれぞれ \( G，H \) とする。また，辺 \( EF \) 上に点 \( I \) を，\( EI=IF=2:1 \) となるようにとる。
このとき，\( △GHI \) の面積を求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( EH=EI=2 \; cm，EG=5 \; cm \) なので，
　\( HI=\sqrt{2}EH=2\sqrt{2} \; (cm) \)
　\( GH^2=5^2+2^2=29 \)
　 \( GH=\sqrt{29} \; (cm) \) (\( GH>0 \) より)
\( △GEH≡△GEI \) なので，\( GI=GH=\sqrt{29} \; (cm) \)

\( △GHI \) の高さを \( GJ \) とすると，
　\( GJ^2=(\sqrt{29})^2-(\sqrt{2})^2=27 \)
　 \( GJ=3\sqrt{3} \; (cm) \) (\( GJ>0 \) より)

よって，\( △GHI \) の面積は，
　\( 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}=3\sqrt{6} \; (cm^2) \)

（３）　図３において，辺 \( AD \) 上に点 \( J \) を，辺 \( BE \) 上に点 \( K \) を，辺 \( CF \) 上に点 \( L \) を，平面 \( JKL \) が平面 \( DEF \) と平行になるようにとる。線分 \( BD \) と \( JK \) の交点を \( M \) とするとき，三角錐 \( CKLM \) の体積が \( 10 \; cm^3 \) であった。
このとき，線分 \( CL \) の長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( CL=x \; cm \) とすると，\( BK=CL=x \; cm \) であり，
\( MK//DE \) より，\( △BMK \) ∽ \( △BDE \) なので，
　\( MK：DE=BK：BE \)
　　 \( MK：4=x：10 \)
　　　　\( MK=\dfrac{2}{5}x \; (cm) \)
三角錐 \( CKLM \) の体積が \( 10 \; cm^3 \) なので，
　\( \left( \dfrac{2}{5}x \times 3 \times \dfrac{1}{2} \right) \times x \times \dfrac{1}{3}=10 \)
　　　　　　　　　\( x^2=50 \)
　　　　　　　　　　\( x=5\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，\( CL=5\sqrt{2} \; cm \)

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石川県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Fri, 08 Dec 2023 16:07:13 +0000

大問１

下の(1)～(5)に答えなさい。

(1)　次のア～オの計算をしなさい。

ア　\( 5-(-4) \)

【解答＆解説】

\( =5+4 \)
\( =9 \)

イ　\( (-3)^2 \times 2-8 \)

【解答＆解説】

\( =9 \times 2-8 \)
\( =18-8 \)
\( =10 \)

ウ　\( \dfrac{15}{2}x^3y^2 \div \dfrac{5}{8}xy^2 \)

【解答＆解説】

\( =\dfrac{15x^3y^2}{2} \times \dfrac{8}{5xy^2} \)
\( =\dfrac{15x^3y^2 \times 8}{2 \times 5xy^2} \)
\( =12x^2 \)

エ　 \( \dfrac{4a-2b}{3}-\dfrac{3a+b}{4} \)

【解答＆解説】

\( =\dfrac{4(4a-2b)}{12}-\dfrac{3(3a+b)}{12} \)
\( =\dfrac{4(4a-2b)-3(3a+b)}{12} \)
\( =\dfrac{16a-8b-9a-3b}{12} \)
\( =\dfrac{7a-11b}{12} \)

オ　 \( \sqrt{54}-2\sqrt{3} \div \sqrt{2} \)

【解答＆解説】

\( =3\sqrt{6}-\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{6}-\sqrt{6} \)
\( =2\sqrt{6} \)

(2)　右の図は，反比例のグラフである。\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

【解答】

\( y=-\dfrac{12}{x} \)

【解説】

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \) （\( a \) は定数）です。
ここに，\( x=2，y=-6 \) を代入すると，
　\( -6=\dfrac{a}{2} \)
　　\( a=-12 \)
よって，求める式は，\( y=-\dfrac{12}{x} \)

(3)　\( \sqrt{60n} \) が自然数になるような自然数 \( n \) のうちで，最も小さい値を求めなさい。

【解答】

\( 15 \)

【解説】

\( \sqrt{60n} \) が自然数になるということは， \( 60n \) が平方数になるということです。
\( 60n \) を因数分解すると，
　\( 60n=2^2 \times 3 \times 5 \times n \)
平方数は素因数分解すると，すべての素因数が偶数乗になります。
つまり，今回の場合だと，\( 3 \) と \( 5 \) をもっとも小さい偶数乗（２乗）に
すればよいので，\( n=3 \times 5=15 \)

(4)　\( a \; mL \) のジュースを７人に \( b mL \) ずつ分けたら，残り \( 200 mL \) より少なくなった。このときの数量の間の関係を，不等式で表しなさい。

【解答＆解説】

ジュースを７人に \( b mL \) ずつ分けるとき必要な量　→　\( 7b \)
残ったジュースの量を文字式で表すと，\( a-7b \)
これが，\( 200 \; mL \) より少なかったので，
\( a-7b<200 \)

(5)　Ａ中学校の３年１組と２組の生徒それぞれ３１人について，ある期間に読んだ本の冊数を調べた。右の図は，その分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次のア～オのうち，箱ひげ図から読みとれることとして正しいものを２つ選び，その符号を書きなさい。

　ア　１組と２組の平均値は等しい。
　イ　２組の第３四分位数のほうが，１組の第３四分位数より大きい。
　ウ　どちらの組もデータの四分位範囲は９冊である。
　エ　どちらの組にも，読んだ本が７冊以上の生徒は８人以上いる。
　オ　どちらの組にも，読んだ本が１０冊の生徒が必ずいる。

【解答】

イ，エ

【解説】

　ア　箱ひげ図だけから平均値はわかりません。
　イ　１組の第３四分位数は \( 7 \) 冊，２組の第３四分位数は \( 8 \) 冊
　ウ　１組の第３四分位数 \( ＝7-3=4 \)冊，２組の第３四分位数 \( ＝8-3=5 \)冊
　エ　１組，２組ともに生徒数は３１人なので，第３四分位数になるのは，多い方から８番目の人の冊数。
　　　１組の第３四分位数は \( 7 \) 冊，２組の第３四分位数は \( 8 \) 冊なので，
　　　７冊以上の生徒はどちらにも８人以上います。
　オ　２組は，最大値が１０冊なので，読んだ本が１０冊の生徒が必ずいるとわかります。
　　　１組は，第３四分位数となる７冊。最大値となる１１冊の生徒がいることはわかりますが，
　　　８～１０冊については，この箱ひげ図からは判断できません。

大問２

図1のように，箱の中に１，２，３の数字が１つずつ書かれた３個の赤玉と，１，２の数字が１つずつ書かれた２個の白玉が入っている。
このとき，次の (1) ，(2) に答えなさい。

(1)　箱から玉を２個同時に取り出すとき，玉に書かれた数の和が４になる玉の取り出し方は，全部で何通りあるか，求めなさい。

【解答】

３通り

【解説】

樹形図を書いてみると，３通りになるとわかります。

(2)　図２のように，座標軸と原点 \( O \) がある。
箱から玉を１個ずつ，もとにもどさずに続けて2回取り出す。１回目に取り出した玉の色と数字によって，点 \( P \) を　　　の中の規則にしたがって座標軸上にとる。また，２回目に取り出した玉の色と数字によって，点 \( Q \) を　　　の中の規則にしたがって座標軸上にとる。

<規則>
・赤玉を取り出したときは，玉に書かれた数を \( x \) 座標として \( x \) 軸上に点をとる。
・白玉を取り出したときは，玉に書かれた数を \( y \) 座標として \( y \) 軸上に点をとる。

このとき，\( O，P，Q \) を線分で結んだ図形が三角形になる確率を求めなさい。また，その考え方を説明しなさい。説明においては，図や表，式などを用いてよい。ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいとする。

【解答】

\( \dfrac{3}{5} \)

【解説】

\( O，P，Q \) を線分で結んだ図形が三角形にならない場合を考えると，
\( P，Q \) がどちらも \( x \) 軸上にあるとき，または， \( y \) 軸上にあるときです。
これは，２回とも同じ色の玉を取り出したときに成立します。
つまり，\( O，P，Q \) を線分で結んだ図形が三角形になるのは，
２回で異なる色の玉を取り出したときになります。
樹形図を書いてみると，すべての場合の数は２０通り，異なる色になるのは１２通りなので，
求める確率は \( \dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5} \)

大問３

図１のように，針金の３か所を直角に折り曲げて長方形の枠を作る。その長方形の周の長さを \( x \; cm \) とし，面積を \( y \; cm^2 \) とする。ただし，針金の太さは考えないものとする。
このとき，次の (1)～(3) に答えなさい。

(1)　\( x=22 \) とする。横が縦より \( 3 \; cm \) 長い長方形となるとき，縦の長さを求めなさい。

【解答】

\( 4 \; cm \)

【解説】

縦の長さを \( t \; cm \) とすると，横の長さは \( t+3 \; cm \) と表すことができます。
このとき，長方形の周の長さは \( 2 \times \{t+(t+3)\} \; cm \) と表すことができるので，
　\( 2 \times \{t+(t+3)\}=22 \)
　　　　　\( 2(2t+3)=22 \)
　　　　　　\( 2t+3=11 \)
　　　　　　　　　\( t=4 \; (cm) \)

(2)　図２は，針金を折り曲げて正方形の枠を作るときの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。このグラフで表された関数について，\( x \) の値が８から２０まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{7}{4} \)

【解説】

\( x=8 \) のとき，縦と横の長さの和は \( 4 \; cm \) になるので，
正方形の１辺の長さは \( 2 \; cm \) で，\( y=4 \)
\( x=20 \) のとき，縦と横の長さの和は \( 10 \; cm \) になるので，
正方形の１辺の長さは \( 5 \; cm \) で，\( y=25 \)

変化の割合 \( =\dfrac{yの増加量}{xの増加量} \)　　なので，
　変化の割合 \( =\dfrac{25-4}{20-8} \)
　　　　　　 \( =\dfrac{21}{12} \)
　　　　　　 \( =\dfrac{7}{4} \)

(3)　２つの針金をそれぞれ折り曲げて，縦と横の長さの比が１：４の長方形の枠と，縦が \( a \; cm \) で，横が縦より長い長方形の枠を作る。
図３は，この２通りの方法でできる長方形それぞれについて，\( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものである。これらのグラフから，２通りの方法でできるそれぞれの長方形の周の長さがともに \( 50 \; cm \) であるとき，面積の差が \( 14 \; cm^2 \) であることが読みとれる。
このとき，\( a \) の値を求めなさい。ただし，\( a<25/2 \) とする。なお，途中の計算も書くこと。

【解答＆解説】

まず，縦と横の長さの比が１：４の長方形において，
縦の長さを \( t \; cm \) とすると，横の長さは \( 4t \; cm \)。
周の長さが \( 50 \; cm \) のとき，縦と横の長さの和は \( 25 \; cm \) なので，
　\( t+4t=25 \)
　　　\( 5t=25 \)
　　　　\( t=5 \)
よって，縦 \( 5 \; cm \)，横 \( 20 \; cm \) なので，面積は，\( 5 \times 20=100 \; (cm^2) \)

このとき，縦が \( a \; cm \) の長方形の面積は，\( 100+14=114 \; (cm^2) \)
縦が \( a \; cm \) のとき，横の長さは，\( (25-a) \; cm \) と表すことができるので，
　　　　\( a(25-a)=114 \)
　\( a^2-25a+114=0 \)
　\( (a-6)(a-19)=0 \)
　　　　　　　　\( a=6，19 \)
\( a<25/2 \) より，\( a=6 \)

大問４

ある店では，とり肉とぶた肉をそれぞれパック詰めして販売している。右の表は，この店で販売しているとり肉，ぶた肉それぞれ１００ｇあたりの価格を示したものである。

太郎さんは，この店でとり肉１パックと，ぶた肉２パックを購入した。太郎さんが購入したぶた肉２パックの内容量は等しく，とり肉とぶた肉の内容量はあわせて７２０ｇ，合計金額は１０２０円であった。
このとき，太郎さんが購入したとり肉１パックとぶた肉１パックの内容量はそれぞれ何ｇか，方程式をつくって求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。ただし，消費税は考えないものとする。

【解答＆解説】

とり肉１パックの内容量を \( x \; g \) とぶた肉１パックの内容量を \( y \; g \) とすると，
とり肉とぶた肉の内容量の関係を表す方程式は，\( x+2y=720 \)
金額の関係を表す方程式は，\( \dfrac{x}{100} \times 120+\dfrac{y}{100} \times 150 \times 2=1020 \)

\( \left\{
\begin{array}{}
x+2y=720 \; ･･･ ① \; \\
\dfrac{x}{100} \times 120+\dfrac{y}{100} \times 150 \times 2=1020 \; ･･･ ➁\; \\
\end{array}
\right. \)
➁より
　\( 2x+5y=1700 \) ･･･ ➁’
①\( \times 2 \)
　\( 2x+4y=1440 \) ･･･ ①’
➁’\( – \)①’
　\( y=260 \)
①に代入すると
　\( x+520=720 \)
　\( x=200 \)
よって，とり肉が２００ｇ，ぶた肉が２６０ｇ

大問５

右の図のように，\( △ABC \) と，点 \( A \) を通る直線 \( l \) がある。また，辺 \( BC \) と直線 \( l \) の交点を \( D \) とする。これを用いて，次の　　　の中の条件 ①～③ をすべて満たす点 \( P \) を作図しなさい。ただし，作図に用いた線は消さないこと。

➀　点 \( P \) は，直線 \( l \) に対して点 \( B \) と同じ側にある。
➁　\( ∠ABP=∠CBP \)
➂　\( ∠DAP=∠DAC \)

【解答＆解説】

➁より，点 \( P \) は \( ∠ABC \) の二等分線上にあります。
また，➂より，直線 \( l \) は \( ∠CAP \) の二等分線になります。
なので，直線 \( l \) を対象の軸として点 \( C’ \) を描いたとき，
直線 \( AC’ \) と \( ∠ABC \) の二等分線の交点が作図する点 \( P \) になります。

手順１　点 \( C \) を中心に弧を描く
　　　　（交点を \( E，F \) とします）
手順２　点 \( E，F \) を中心に同じ半径の弧を描く
　　　　（交点を \( G \) とします）
手順３　点 \( C，G \) を通る直線を描く
手順４　点 \( D \) を中心に線分 \( CD \) を半径とする
　　　　弧を描く
　　　　（手順３の直線との交点を \( C’ \) とします）
手順５　点 \( A，C’ \) を通る直線を描く
手順６　点 \( B \) を中心に弧を描く
　　　　（線分 \( AB，BC \) との交点を \( H，I \) とします）
手順７　点 \( H，I \) を中心に同じ半径の弧を描く
　　　　（交点を \( J \) とします）
手順８　点 \( B，J \) を通る直線を描く

以上で，手順５と手順８の直線の交点が作図する点 \( P \) になります。

大問６

図１～図３のように，底面 \( GHIJKL \) が１辺 \( 4cm \) の正六角形で，\( AG=8cm \) の正六角柱 \( ABCDEF－GHIJKL \) がある。
このとき，次の (1)～(3) に答えなさい。

(1)　図１において，辺 \( AF \) に平行な辺をすべて書きなさい。

【解答＆解説】

辺 \( CD \)，辺 \( IJ \)，辺 \( GL \)

(2)　図２において，線分 \( AI \) の長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

点 \( H \) から線分 \( GI \) に垂線を引き，交点を点 \( P \) とすると，
\( △GHP \) において，\( GH：GP=2： \sqrt{3} \) なので，
\( GP=\dfrac{\sqrt{3}}{2}GH=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 4=2\sqrt{3} \; (cm) \)
\( GI=2GP=4\sqrt{3} \; (cm) \)
\( △AGI \) において，三平方の定理より，
\( AI^2=AG^2+GI^2=8^2+(4\sqrt{3})^2=112 \)
\( AI=4\sqrt{7} \; (cm) \)　（\(AI>0\)より）

【解説】

\( △GHP \)≡\( △IHP \)，正六角形の１つの内角は \( 120° \) なので，
\( △GHP \) は， \( 30°，60°，90° \) の直角三角形です。

(3)　図３のように，辺 \( DJ \) 上に点 \( M \) を，辺 \( EK \) 上に点 \( N \) を，\( DE // MN \) となるようにとる。立体 \( MN－IJKL \) の体積が正六角柱 \( ABCDEF－GHIJKL \) の体積の \( \dfrac{1}{12} \) 倍になるとき，\( DM：MJ \) を最も簡単な整数の比で表しなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

立体 \( MN－IJKL \) を面 \( NIK \) と面 \( MIK \) で切断すると，
三角すい \( N－IKL \) ，三角すい \( M－IJK \) ，三角すい \( I－MNK \) の３つの立体に分けられる。
３つの立体の体積比は，
三角すい \( N－IKL ： \) 三角すい \( M－IJK ： \) 三角すい \( I－MNK=2：1：1 \)
なので，
立体 \( MN－IJKL=4 \) 三角すい \( M－IJK \) ･･･ ①

\( MJ=x \; cm \) とすると，三角すい \( M－IJK \) の体積は
　\( 4 \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \times x \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}x \; (cm^3) \)
①より，立体 \( MN－IJKL \) の体積は
　\( 4 \times \dfrac{4\sqrt{3}}{3}x=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}x \; (cm^3) \)

正六角柱 \( ABCDEF－GHIJKL \) の体積は，底面 \( GHIJKL \) の面積が \( △IJK \) の６倍なので，
　\( 4 \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \times 6 \times 8=192\sqrt{3} \; (cm^3) \)

立体 \( MN－IJKL \) の体積が正六角柱 \( ABCDEF－GHIJKL \) の体積の \( \dfrac{1}{12} \) 倍になるとき，
　\( \dfrac{16\sqrt{3}}{3}x=\dfrac{1}{12} \times 192\sqrt{3} \)
　 \( 64\sqrt{3}x=192\sqrt{3} \; (cm) \)
　　　　\( x=3 \)
より，\( MJ=3 \; cm \)
このとき，\( DM=8-3=5 \; (cm) \)

よって，\( DM：MJ=5：3 \)

【解説】

●　立体 \( MN－IJKL \) を面 \( NIK \) と面 \( MIK \) で切断する
まず，立体 \( MN－IJKL \) を面 \( NIK \) で切断すると，
三角すい \( N－IKL \) と四角すい \( I－MNKJ \) に分けられます。
さらに，四角すい \( I－MNKJ \) を面 \( MIK \) で切断すると，
三角すい \( N－IKL \) と三角すい \( M－IJK \) に分けられます。

●　三角すい \( N－IKL \) と三角すい \( M－IJK \) の底面積の比
三角すい \( N－IKL \) の底面を \( △IKL \) ，
三角すい \( M－IJK \) の底面を \( △IJK \) と考えると，
底辺の長さが２倍で，高さは共通なので，
　\( △IKL=IL \times h \times \dfrac{1}{2}=4h \)
　\( △IJK=JK \times h \times \dfrac{1}{2}=2h \)
底面積の比は \( △IKL：△IJK=4h：2h=2：1 \)

●　三角すい \( M－IJK \) ，三角すい \( I－MNK \) の底面積の比
三角すい \( M－IJK \) の底面を \( △MJK \) ，
三角すい \( I－MNK \) の底面を \( △MNK \) と考えると，
面\( MNKJ \) は長方形で，線分 \( MK \) は対角線にあたります。
長方形の面積は，対角線によって二等分されるので，\( △MJK=△MNK \)

●　底面 \( GHIJKL \) の面積が \( △IJK \) の６倍
底面 \( GHIJKL \) は正六角形なので，\( JK//IL \) です。
底面 \( GHIJKL \) の対角線の交点を点 \( O \) とすると，
等積変形より，\( △OJK=△IJK \) 。
よって，底面 \( GHIJKL=6△OJK=6△IJK \)

大問７

図１～図３のように，円 \( O \) の周上に4点 \( A，B，C，D \) があり，線分 \( AC \) と \( BD \) の交点を \( E \) とする。
このとき，次の (1)～(3) に答えなさい。

(1)　図１のように，\( BD \) は円 \( O \) の直径，\( ∠ABD=24°，∠BOC=82° \) のとき，\( ∠AED \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 65° \)

【解説】

\( ∠BAC \) は弧 \(BC\) の円周角なので，
　\( ∠BAC=\dfrac{1}{2}∠BOC=41° \)
\( ∠AED \) は \( △ABE \) の外角なので，
　\( ∠AED=∠ABE+∠BAE=24°+41°=65° \)

(2)　図２のように，\( BC \) は円 \( O \) の直径，\( ∠ACB=45° \) とする。また，点 \( A \) を含まない弧 \( BC \) 上に点 \( F \) を，弧 \( AD= \) 弧 \( CF \) となるようにとる。
このとき，\( △ABD≡△CAF \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABD \) と \( △CAF \) において，
弧 \( AD= \) 弧 \( CF \) より，\( ∠ABD=∠CAF \) ･･･ ①
直径 \( BC \) に対する円周角なので，\( ∠BAC=90° \) ･･･ ➁
\( ∠BAC=90°，∠ACB=45° \) より，
\( ∠ABC=180°-(∠BAC+∠ACB)=45° \) なので，
\( ∠ABC=∠ACB=45° \) ･･･ ➂
➁➂より，\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，
\( AB=CA \) ･･･ ④
弧 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠ADB=∠ACB \) ･･･ ➄
弧 \( AC \) に対する円周角なので，\( ∠CFA=∠ABC \) ･･･ ⑥
➂➄⑥より，\( ∠CFA=∠ADB \) ･･･ ➆
\( ∠BAD=180°-(∠ABD+∠ADB) \)，
\( ∠ACF=180°-(∠CAF+∠CFA) \) なので，
①➆より，\( ∠BAD=∠ACF \) ･･･ ⑧
①④⑧より，１組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しいので，
\( △ABD≡△CAF \)

【解説】

●　弧の長さが等しいとき，円周角も等しい
\( ∠ACB=x，∠DFE=y \) ，円周の長さを \( l \)，
弧\( AB= \)弧\( DE=a \) とすると，
中心角 \( ∠AOB=2x，∠DOE=2y \) となります。
中心角 \( ∠AOB，∠DOE \) は，
\( ∠AOB=360 \times \dfrac{a}{l}=\dfrac{360a}{l} \)
\( ∠DOE=360 \times \dfrac{a}{l}=\dfrac{360a}{l} \)
と表すことができるので，
\( 2x=\dfrac{360a}{l} \)
\( 2y=\dfrac{360a}{l} \)
よって，\( x=y \)

(3)　図３において， \( AC \) は \( ∠BCD \) の二等分線である。
また，点 \( G \) を線分 \( AB \) 上に \( GE // BC \) となるようにとり，直線 \( GE \) と線分 \( CD \) の交点を \( H \) とする。
\( AG=1 cm，GB=2 cm，CD=4cm \) のとき，線分 \( BC \) の長さを求めなさい。なお，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( △AGE \) ∽ \( △AEB \) より，
　\( AG：AE=AE：AB \)
　　\( 1：AE=AE：3 \)
　　　 \( AE=\sqrt{3} \; (cm) \) (\( AE>0 \) より)

\( △AGE \) ∽ \( △ABC \)，\( AG=1 cm，GB=2 cm \) より，
　\( AG：GB=AE：EC \)
　　　\( 1：2= \sqrt{3}：EC \)
　　　　\( EC=2\sqrt{3} \; (cm) \)
\( △AEB \) ∽ \( △DEC \)，\( AB=3 cm，CD=4 cm \) より，
　\( AB：DC=AE：DE \)
　　　\( 3：4= \sqrt{3}：DE \)
　　　\( DE=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} \; (cm) \)

\( △ABC \) ∽ \( △DEC \)，\( AB=3 cm，DE=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} cm \) より，
　\( AB：DE=BC：EC \)
　\( 3：\dfrac{4\sqrt{3}}{3}=BC：2\sqrt{3} \)
　\( \dfrac{4\sqrt{3}}{3}BC=6\sqrt{3} \)
　 \( 4\sqrt{3}BC=18\sqrt{3} \)
　　　 \( BC=\dfrac{9}{2} \; (cm) \)

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石川県公立高校入試 令和７（2025）年度 解答＆解説

大問１

大問２

大問３

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大問６

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