\( AB=2 \; cm，BC=3\sqrt{5} \; cm，∠ABC=90° \) の直角三角形を図に書いてみると右の図のようになります。

三平方の定理より，
　\( CA^2=2^2+(3\sqrt{5})^2=49 \)
　 \( CA=7 \; (cm) \) （\( CA>0 \) より）

手順１　問題の円に対し，２本の弦を描く。
（弦 \( BC \)，弦 \( DE \) とします。）
手順２　２点 \( B，C \) を中心に，円弧を描く。
（交点を点 \( F，G \) とします。）
手順３　２点 \( F，G \) をを通る直線を描く。
手順４　２点 \( D，E \) を中心に，円弧を描く。
（交点を点 \( H，I \) とします。）
手順５　２点 \( H，I \) を通る直線を描く。
（手順３と手順５の直線の交点を点 \( O \) とします）
手順６　２点 \( A，O \) を通る直線を描く。

半径が \( r \) の円 \( O \) において，
円周上に３点 \( A，O，P \) が一直線に並ぶような
点を \( P \)，\( AO=a \) とするとき，
\( AP \) の長さは，\( a+r \) となります。

また，円周上の \( P \) と異なる点を \( P’ \) とするとき，
円 \( O \) の中に \( △AOP’ \) ができます。
このとき，\( AO=a，OP’=r \) であることから，
\( AP \) の長さは，２辺の長さの和 \( a+r \) より
短くなります。

【\( ∠PAQ \) の大きさ】
円周上の点は１２等分しているので，
点１個分のおうぎ形の中心角は \( \dfrac{360}{12}=30° \) です。

\( x=4，y=5 \) のとき，おうぎ形\( POQ \) は，
点３個分の大きさなので，
　\( ∠POQ=30° \times 3＝90° \)

\( ∠POQ \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) に対する中心角，
\( ∠PAQ \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) に対する円周角なので，
　\( ∠PAQ=90° \times \dfrac{1}{2}＝45° \)

点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くとき，
点 \( P \) は点 \( A \) から \( x \; cm \) 進んだ位置にあるので，\( AB＋BP=x \; (cm) \) と表すことができます。
また，（１）より，\( AB＋BC=10 \; (cm) \) なので，
　\( PQ=(AB＋BC)-(AB＋BP) \)
　　　\( =BC-BP \)
　　　\( =10-x \; (cm) \)

よって，点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くとき，
\( △APQ \) は底辺が \( (10-x) \; cm \)、高さが \( 6 \; cm \) になるので，
　\( S=(10-x) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =3(10-x) \)
　　\( =-3x+30 \; (cm^2) \)

【\( 0≦x≦4 \) のとき】
点 \( R \) は毎秒 \( 2 \; cm \) で動くので，
\( AR \) の長さは \( 2x \; cm \) と表すことができ，
図２のグラフから，底面積 \( S=2x \; (cm) \) と
表すことができるので，
　\( V=2x \times 2x \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =\dfrac{4}{3}x^2 \; (cm^3) \)
であり，グラフは放物線になります。

【\( 4≦x≦6 \) のとき】
点 \( R \) は点 \( E \) 上で動かないので，
\( AR=AE=8 \; cm \) で一定であり，
図２のグラフから，底面積 \( S=2x \; (cm) \) と
表すことができるので，
　\( V=2x \times 8 \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =\dfrac{16}{3}x \; (cm^3) \)
であり，グラフは右上がりの直線になります。

【\( 6≦x≦10 \) のとき】
点 \( R \) は毎秒 \( 2 \; cm \) で動くので，
\( AR=AE=8 \; cm \) で一定であり，
（１）の問イから，底面積 \( S=-3x+30 \; (cm) \)
と表すことができるので，
　\( V=(-3x+30) \times 8 \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =-8x+80 \; (cm^3) \)
であり，グラフは右下がりの直線になります。

（ｂ）のグラフにおいて，
\( x=4 \) のときの \( V \) の値は，
　\( V=\dfrac{4}{3} \times 4^2=\dfrac{64}{3}(>\dfrac{63}{3}=21) \)
\( x=6 \) のときの \( V \) の値は，
　\( V=\dfrac{16}{3} \times 6=32 \)
なので，（ｂ）のグラフに \( V=5 \) と \( V=21 \) の
直線を書き加えると，右の図のようになります。

\( V=\dfrac{4}{3}x^2 \) と \( V=5 \) の交点の \( x \) 座標は，
　 \( 5=\dfrac{4}{3}x^2 \)
　\( x^2=\dfrac{15}{4} \)
　 \( x=\sqrt{\dfrac{15}{4}} \)（\( x>0 \) より）

\( V=\dfrac{4}{3}x^2 \) と \( V=21 \) の交点の \( x \) 座標は，
　\( 21=\dfrac{4}{3}x^2 \)
　\( x^2=\dfrac{63}{4} \)
　 \( x=\sqrt{\dfrac{63}{4}} \)（\( x>0 \) より）

\( V=-8x+80 \) と \( V=21 \) の交点の \( x \) 座標は，
　\( 21=-8x+80 \)
　\( 8x=59 \)
　 \( x=\dfrac{59}{8} \)

\( V=-8x+80 \) と \( V=5 \) の交点の \( x \) 座標は，
　 \( 5=-8x+80 \)
　\( 8x=75 \)
　 \( x=\dfrac{75}{8} \)

\( △ABC \) と \( △DCE \) において，
\( \stackrel{\huge\frown}{ CE } \) に対する円周角なので，
　\( ∠BAC=∠CDE \) ･･･ ➀
\( AD // BC \) より錯角は等しいので，
　\( ∠BCA=∠CAD \) ･･･ ➁
\( \stackrel{\huge\frown}{ CD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠CED=∠CAD \) ･･･ ➂
➁➂より，\( ∠BCA=∠CED \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC \) ∽ \( △DCE \)

\( △ABC \) と \( △AEF \) において，
\( AD//BC//EG \) より同位角は等しいので，
　\( ∠ABC=∠AEF \) ･･･ ➀
共通な角なので，
　\( ∠BAC=∠EAF \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC \) ∽ \( △AEF \)
対応する辺の比は等しいので，
　\( AC：AF=AB：AE=2：1 \)
であり，点 \( F \) は辺 \( AC \) の中点である。

\( △ABC \) において，点 \( E \) が辺 \( AB \) の中点なので，
\( △EBC \) の面積は \( △ABC \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) であり，
\( \dfrac{1}{2}S \) と表すことができます。

同様に，点 \( G \) は辺 \( DC \) の中点なので，
\( △CEG \) の面積は \( △CEG=△DEG=\dfrac{49}{128}S \)
と表すことができます。

\( AB=2 \; cm，BC=3\sqrt{5} \; cm，∠ABC=90° \) の直角三角形を図に書いてみると右の図のようになります。

三平方の定理より，
　\( CA^2=2^2+(3\sqrt{5})^2=49 \)
　 \( CA=7 \; (cm) \) （\( CA>0 \) より）

手順１　問題の円に対し，２本の弦を描く。
（弦 \( BC \)，弦 \( DE \) とします。）
手順２　２点 \( B，C \) を中心に，円弧を描く。
（交点を点 \( F，G \) とします。）
手順３　２点 \( F，G \) をを通る直線を描く。
手順４　２点 \( D，E \) を中心に，円弧を描く。
（交点を点 \( H，I \) とします。）
手順５　２点 \( H，I \) を通る直線を描く。
（手順３と手順５の直線の交点を点 \( O \) とします）
手順６　２点 \( A，O \) を通る直線を描く。

半径が \( r \) の円 \( O \) において，
円周上に３点 \( A，O，P \) が一直線に並ぶような
点を \( P \)，\( AO=a \) とするとき，
\( AP \) の長さは，\( a+r \) となります。

また，円周上の \( P \) と異なる点を \( P’ \) とするとき，
円 \( O \) の中に \( △AOP’ \) ができます。
このとき，\( AO=a，OP’=r \) であることから，
\( AP \) の長さは，２辺の長さの和 \( a+r \) より
短くなります。

【参考】
ウ は，直角をなす２辺が対角線２マス分と４マス分
なので，長さの比は \( 1：2 \) になっています。
また，対角線同士がなす角は \( 45°+45°=90° \) に
なっています。

【\( ∠PAQ \) の大きさ】
円周上の点は１２等分しているので，
点１個分のおうぎ形の中心角は \( \dfrac{360}{12}=30° \) です。

\( x=4，y=5 \) のとき，おうぎ形\( POQ \) は，
点３個分の大きさなので，
　\( ∠POQ=30° \times 3＝90° \)

\( ∠POQ \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) に対する中心角，
\( ∠PAQ \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) に対する円周角なので，
　\( ∠PAQ=90° \times \dfrac{1}{2}＝45° \)

点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くとき，
点 \( P \) は点 \( A \) から \( x \; cm \) 進んだ位置にあるので，\( AB＋BP=x \; (cm) \) と表すことができます。
また，（１）より，\( AB＋BC=10 \; (cm) \) なので，
　\( PQ=(AB＋BC)-(AB＋BP) \)
　　　\( =BC-BP \)
　　　\( =10-x \; (cm) \)

よって，点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くとき，
\( △APQ \) は底辺が \( (10-x) \; cm \)、高さが \( 6 \; cm \) になるので，
　\( S=(10-x) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( =3(10-x) \)
　　\( =-3x+30 \; (cm^2) \)

【\( 0≦x≦4 \) のとき】
点 \( R \) は毎秒 \( 2 \; cm \) で動くので，
\( AR \) の長さは \( 2x \; cm \) と表すことができ，
図２のグラフから，底面積 \( S=2x \; (cm) \) と
表すことができるので，
　\( V=2x \times 2x \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =\dfrac{4}{3}x^2 \; (cm^3) \)
であり，グラフは放物線になります。

【\( 4≦x≦6 \) のとき】
点 \( R \) は点 \( E \) 上で動かないので，
\( AR=AE=8 \; cm \) で一定であり，
図２のグラフから，底面積 \( S=2x \; (cm) \) と
表すことができるので，
　\( V=2x \times 8 \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =\dfrac{16}{3}x \; (cm^3) \)
であり，グラフは右上がりの直線になります。

【\( 6≦x≦10 \) のとき】
点 \( R \) は毎秒 \( 2 \; cm \) で動くので，
\( AR=AE=8 \; cm \) で一定であり，
（１）の問イから，底面積 \( S=-3x+30 \; (cm) \)
と表すことができるので，
　\( V=(-3x+30) \times 8 \times \dfrac{1}{3} \)
　　\( =-8x+80 \; (cm^3) \)
であり，グラフは右下がりの直線になります。

（ｂ）のグラフにおいて，
\( x=4 \) のときの \( V \) の値は，
　\( V=\dfrac{4}{3} \times 4^2=\dfrac{64}{3}(>\dfrac{63}{3}=21) \)
\( x=6 \) のときの \( V \) の値は，
　\( V=\dfrac{16}{3} \times 6=32 \)
なので，（ｂ）のグラフに \( V=5 \) と \( V=21 \) の
直線を書き加えると，右の図のようになります。

\( V=\dfrac{4}{3}x^2 \) と \( V=5 \) の交点の \( x \) 座標は，
　 \( 5=\dfrac{4}{3}x^2 \)
　\( x^2=\dfrac{15}{4} \)
　 \( x=\sqrt{\dfrac{15}{4}} \)（\( x>0 \) より）

\( V=\dfrac{4}{3}x^2 \) と \( V=21 \) の交点の \( x \) 座標は，
　\( 21=\dfrac{4}{3}x^2 \)
　\( x^2=\dfrac{63}{4} \)
　 \( x=\sqrt{\dfrac{63}{4}} \)（\( x>0 \) より）

\( V=-8x+80 \) と \( V=21 \) の交点の \( x \) 座標は，
　\( 21=-8x+80 \)
　\( 8x=59 \)
　 \( x=\dfrac{59}{8} \)

\( V=-8x+80 \) と \( V=5 \) の交点の \( x \) 座標は，
　 \( 5=-8x+80 \)
　\( 8x=75 \)
　 \( x=\dfrac{75}{8} \)

三平方の定理より，
　\( CA^2=AB^2+BC^2 \)
　　　 \( =2^2+6^2 \)
　　　 \( =40 \)
　 \( CA=2\sqrt{10} \; (cm) \) (\( CA>0 \) より)

手順１　２点 \( A，B \) を中心に辺 \( AB \) を半径とする
　　　　円弧を描く。
　　　　(交点を \( P \) とします。)
手順２　２点 \( A，P \) を通る直線を描く。
手順３　２点 \( B，P \) を中心に円弧を描く。
　　　　(交点を \( Q \) とします。)
手順４　２点 \( A，Q \) を通る直線を描く。

\( 60° \) の半分が \( 30° \) であることに注目すると，
正三角形 \( PAB \) を描き，\( ∠PAB \) の二等分線を作図すると，\( ∠DAB=30° \) を作図することができます。

この直線は，\( A(-3，9)，E(0，21) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{21-9}{0-(-3)}=4 \)

切片は点 \( E \) の \( y \) 座標になるので，\( 21 \)

よって，直線 \( AE \) の式は，\( y=4x+21 \)

点 \( P \) は，\( y=4x+21 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -4 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=4 \times (-4)+21=5 \)

点 \( P \) は，\( y=ax^2 \) 上の点でもあるので，
\( y=ax^2 \) に \( x=-4，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=a \times (-4)^2 \)
　\( a=\dfrac{5}{16} \)

\( a=\dfrac{3}{4} \) のとき，➁のグラフの式は \( y=\dfrac{3}{4}x^2 \) で，
点 \( P \) の \( x \) 座標が \( -4 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{3}{4} \times (-4)^2=12 \)
よって，点 \( P \) の座標は \( P(-4，12) \)
また，点 \( Q \) は \( y \) 軸に対して点 \( P \) と対称な点なので，
点 \( Q \) の座標は \( Q(-4，12) \)

辺 \( PQ \) と 辺 \( AD \) の交点を \( E \)，
辺 \( PQ \) と 辺 \( BC \) の交点を \( F \)，
辺 \( EP \) と 辺 \( AD \) の交点を \( G \)，
辺 \( EP \) と 辺 \( CD \) の交点を \( H \)，
辺 \( EQ \) と 辺 \( BC \) の交点を \( I \)，
辺 \( EQ \) と 辺 \( CD \) の交点を \( J \)，
とすると，
直線 \( EP \) の式は
　傾き \( =\dfrac{21-12}{0-(-4)}=\dfrac{9}{4} \)
より，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \)

点 \( G \) は，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -3 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{9}{4} \times (-3)+21=\dfrac{57}{4} \)

点 \( H \) は，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( 15 \) なので，\( x \) 座標は，
　\( 15=\dfrac{9}{4}x+21 \)
　 \( x=-\dfrac{8}{3} \)

正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) が重なっている図形
　　　 部分は，
正方形 \( ABCD \) から長方形 \( ABFE \) と
\( △GDH，△ICJ \) をひいたものなので，

　長方形 \( ABFE=3 \times 6=18 \)

　\( △GDH=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}  \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} \)

正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) は，
どちらも \( y \) 軸に対して対称な図形なので，
\( △GDH≡△ICJ \)

正方形 \( ABCD \) の１辺の長さは \( 6 \) なので，
　\( T=36-18-\dfrac{1}{8} \times 2=\dfrac{71}{4} \)

\( △ABE \) と \( △ACF \) において，
仮定より，
　\( ∠ABE=∠ACF=60° \) ･･･ ➀
　\( AB=AC \) ･･･ ➁
４点 \( A，E，C，F \) は同じ円周上にあることから，
弧 \( AE \) に対する円周角なので，
　\( ∠AFE=∠ACE \)
仮定より，\( ∠ACE=60° \) なので，
　\( ∠AFE=60° \)
\( ∠AEF=∠AFE=60° \) より，
\( △AEF \) は正三角形なので，\( ∠EAF=60° \)
　\( ∠BAE=∠BAC-∠EAC \)
　　　　　\( =60°-∠EAC \) ･･･ ➂
　\( ∠CAF=∠EAF-∠EAC \)
　　　　　\( =60°-∠EAC \) ･･･ ➃
➂➃より，\( ∠BAE=∠CAF \) ･･･ ➄

線分 \( AC \) と線分 \( EF \) の交点を \( G \) とし，
\( △ABC \) と \( △AFG \) に注目すると，
　\( ∠BAE=∠FAG，∠ABE=∠AFG=60° \)
より，\( △ABC \) ∽ \( △AFG \)

\( BE：EC=3：2 \) より，\( BE= \)➂ とすると，
\( EC= \)➁，\( BC= \)➄と表すことができ，
\( △ABC \) は正三角形なので，\( AB=BC= \)➄
\( AE=x \) とすると，
\( △AEF \) は正三角形なので，\( AF=AE=x \)
ここから，
　\( AB：AF=AE：AG \)
　　　 \( 5：x=x：AG \)
　　　　\( x^2=5AG \)
　　　　 \( x=\sqrt{5AG} \) ･･･ (ア)
なので，\( AG \) の長さを求めます。

\( △AEC \) と \( △FGC \) に注目すると，
　\( ∠ACE=∠FCG=60°，∠CAE=∠CFG \)
より，\( △ABC \) ∽ \( △AFG \)

\( CF=BE= \)➂，\( CA=BC= \)➄
なので，
　\( CA：CF=EC：GC \)
　　　 \( 5：3=2：GC \)
　　　　\( GC=\dfrac{6}{5} \)
ここから，\( AG=CA-GC=\dfrac{19}{5} \)

三平方の定理より，
　\( CA^2=AB^2+BC^2 \)
　　　 \( =2^2+6^2 \)
　　　 \( =40 \)
　 \( CA=2\sqrt{10} \; (cm) \) (\( CA>0 \) より)

手順１　２点 \( A，B \) を中心に辺 \( AB \) を半径とする
　　　　円弧を描く。
　　　　(交点を \( P \) とします。)
手順２　２点 \( A，P \) を通る直線を描く。
手順３　２点 \( B，P \) を中心に円弧を描く。
　　　　(交点を \( Q \) とします。)
手順４　２点 \( A，Q \) を通る直線を描く。

\( 60° \) の半分が \( 30° \) であることに注目すると，
正三角形 \( PAB \) を描き，\( ∠PAB \) の二等分線を作図すると，\( ∠DAB=30° \) を作図することができます。

ともに \( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠x=∠ADC=48° \)

\( △ABC \) において，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
　\( ∠y=180°-(90°+48°)=42° \)

この直線は，\( A(-3，9)，E(0，21) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{21-9}{0-(-3)}=4 \)

切片は点 \( E \) の \( y \) 座標になるので，\( 21 \)

よって，直線 \( AE \) の式は，\( y=4x+21 \)

点 \( P \) は，\( y=4x+21 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -4 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=4 \times (-4)+21=5 \)

点 \( P \) は，\( y=ax^2 \) 上の点でもあるので，
\( y=ax^2 \) に \( x=-4，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=a \times (-4)^2 \)
　\( a=\dfrac{5}{16} \)

\( a=\dfrac{3}{4} \) のとき，➁のグラフの式は \( y=\dfrac{3}{4}x^2 \) で，
点 \( P \) の \( x \) 座標が \( -4 \) なので，
\( y \) 座標は，\( y=\dfrac{3}{4} \times (-4)^2=12 \)
よって，点 \( P \) の座標は \( P(-4，12) \)
また，点 \( Q \) は \( y \) 軸に対して点 \( P \) と対称な点なので，
点 \( Q \) の座標は \( Q(-4，12) \)

辺 \( PQ \) と 辺 \( AD \) の交点を \( E \)，
辺 \( PQ \) と 辺 \( BC \) の交点を \( F \)，
辺 \( EP \) と 辺 \( AD \) の交点を \( G \)，
辺 \( EP \) と 辺 \( CD \) の交点を \( H \)，
辺 \( EQ \) と 辺 \( BC \) の交点を \( I \)，
辺 \( EQ \) と 辺 \( CD \) の交点を \( J \)，
とすると，
直線 \( EP \) の式は
　傾き \( =\dfrac{21-12}{0-(-4)}=\dfrac{9}{4} \)
より，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \)

点 \( G \) は，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -3 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{9}{4} \times (-3)+21=\dfrac{57}{4} \)

点 \( H \) は，\( y=\dfrac{9}{4}x+21 \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( 15 \) なので，\( x \) 座標は，
　\( 15=\dfrac{9}{4}x+21 \)
　 \( x=-\dfrac{8}{3} \)

正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) が重なっている図形
　　　 部分は，
正方形 \( ABCD \) から長方形 \( ABFE \) と
\( △GDH，△ICJ \) をひいたものなので，

　長方形 \( ABFE=3 \times 6=18 \)

　\( △GDH=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{4}  \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} \)

正方形 \( ABCD \) と \( △EPQ \) は，
どちらも \( y \) 軸に対して対称な図形なので，
\( △GDH≡△ICJ \)

正方形 \( ABCD \) の１辺の長さは \( 6 \) なので，
　\( T=36-18-\dfrac{1}{8} \times 2=\dfrac{71}{4} \)

イの結果より，①の関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) の \( y \) の変域が
\( 0≦y≦18 \) になるということです。
\( y=18 \) になるときの \( x \) の値は，
　\( \dfrac{1}{2}x^2=18 \)
　　\( x^2=36 \)
　　 \( x=±6 \)
\( x \) の変域は \( -3≦x≦b \) なので，
あてはまるのは，\( x=6 \) のみ。
よって， \( b=6 \)

\( x=0，1，2，3 \) のそれぞれについて，
\( y \) 座標の値の取り得る範囲を求め，
その中に，整数になる値がいくつあるかを数えていきます。

● \( x=0 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 0^2=0 \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 0^2=0 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の値は \( 0 \) のみ
　 よって，あてはまるのは１個

● \( x=1 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 1^2=\dfrac{1}{2} \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 1^2=3 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の範囲は
　　 \( \dfrac{1}{2}≦y≦3 \)
　 よって，この範囲にある整数は３個

● \( x=2 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 2^2=2 \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 2^2=12 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の範囲は
　　 \( 2≦y≦12 \)
　 よって，この範囲にある整数は１１個

● \( x=3 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 3^2=\dfrac{9}{2} \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 3^2=27 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の範囲は
　　 \( \dfrac{9}{2}≦y≦27 \)
　 よって，この範囲にある整数は２３個

以上より，あてはまる点の個数は，
\( 1+3+11+23=38 \) （個）

問アより，\( AD：BE=5：3 \) なので，
　\( AD：EC=5：2 \)
\( △HAD \) ∽ \( △HEC \) なので，
　\( AH：CH=5：2=10：4 \) ･･･ ①
平行四辺形の対角線はそれぞれの中心で交わるので，\( AG=GC \) であり，
　\( AG：GC=1：1=7：7 \) ･･･ ➁
①➁より，\( AG：GH：CH=7：3：4 \)
よって，
　\( AG：CH=7：4 \)
　　\( 3：CH=7：4 \)
　　　\( 7CH=12 \)
　　　 \( CH=\dfrac{12}{7} \; (cm) \)

イの結果より，①の関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) の \( y \) の変域が
\( 0≦y≦18 \) になるということです。
\( y=18 \) になるときの \( x \) の値は，
　\( \dfrac{1}{2}x^2=18 \)
　　\( x^2=36 \)
　　 \( x=±6 \)
\( x \) の変域は \( -3≦x≦b \) なので，
あてはまるのは，\( x=6 \) のみ。
よって， \( b=6 \)

\( x=0，1，2，3 \) のそれぞれについて，
\( y \) 座標の値の取り得る範囲を求め，
その中に，整数になる値がいくつあるかを数えていきます。

● \( x=0 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 0^2=0 \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 0^2=0 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の値は \( 0 \) のみ
　 よって，あてはまるのは１個

● \( x=1 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 1^2=\dfrac{1}{2} \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 1^2=3 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の範囲は
　　 \( \dfrac{1}{2}≦y≦3 \)
　 よって，この範囲にある整数は３個

● \( x=2 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 2^2=2 \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 2^2=12 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の範囲は
　　 \( 2≦y≦12 \)
　 よって，この範囲にある整数は１１個

● \( x=3 \) のとき
　 ➀の関数 ･･･ \( y=\dfrac{1}{2} \times 3^2=\dfrac{9}{2} \)
　 ➁の関数 ･･･ \( y=3 \times 3^2=27 \)
　 なので，取り得る \( y \) 座標の範囲は
　　 \( \dfrac{9}{2}≦y≦27 \)
　 よって，この範囲にある整数は２３個

以上より，あてはまる点の個数は，
\( 1+3+11+23=38 \) （個）