\( 8 \)

\( =11-3 \)
\( =8 \)

\( 12ab \)

\( =9a^2 \div 6a \times 8b \)
\( =\dfrac{9a^2 \times 8b}{6a} \)
\( =12ab \)

\( \dfrac{3x-13y}{10} \)

\( =\dfrac{5(x-y)}{10}-\dfrac{2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5(x-y)-2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5x-5y-2x-8y}{10} \)
\( =\dfrac{3x-13y}{10} \)

\( 9-7\sqrt{14} \)

\( =7+2\sqrt{14}+2-9\sqrt{14} \)
\( =9-7\sqrt{14} \)

\( 95 \)

\( 36a^2-b^2 \) を因数分解すると，
　\( 36a^2-b^2=(6a+b)(6a-b) \)
なので，\( a=8，b=47 \) を代入すると，
　\( (6 \times 8+47)(6 \times 8-47)=(48+47)(48-47) \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \times 1 \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \)

\( x=-2，10 \)

　 \( x^2-8x-20=0 \)
\( (x+2)(x-10)=0 \)
　　　　　　　 \( x=-2，10 \)

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( O \) になります。

【条件➀からわかること】
点と辺（線分・直線）の距離とは点から辺にひいた垂線の長さのことなので，
点 \( O \) が，２辺 \( BC，AC \) から等しい距離にあるとき，
点 \( O \) から２辺 \( BC，AC \) にひいた垂線の長さが等しくなります。

\( y=\dfrac{90}{x} \)

\( y \) を \( x \) の式で表すというのは，\( y=\boxed{　　} \) の形になるよう式で表すということです。

毎分 \( x \; L \) の割合で \( y \) 分間水を入れると満水（\( 90 \; L \)）になるので，
　\( xy=90 \)
　 \( y=\dfrac{90}{x} \)

\( \dfrac{7}{16} \)

最初に袋Ａから１の玉を取り出したとき，玉の個数が４個になった袋Ｂには，１，１，２，３の玉が入っています。
これらを２，３，４の玉を取り出したときについても考えると，玉の個数が４個になった袋Ｂに入っている玉は次のようになります。

これをもとに，袋Ａ，Ｂから取り出した玉の組み合わせを樹形図に書き出すと，
袋Ａから取り出した玉に書いてある数と，袋Ｂから取り出した玉に書いてある数が
同じである組み合わせは \( 7 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{16} \)

今年の１月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 256 \; kg \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 242 \; kg \)

昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
0.8x+1.1y=498 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
0.2x-0.1y=42 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( \times 10 \) すると，
　\( 8x+11y=4980 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 40 \) すると，
　\( 8x-4y=1680 \) ･･･ ➁’
➁’\( – \) ➀’すると，
　\( 15y=3300 \)
　　\( y=220 \)
➁’に代入すると，
　\( 8x-4 \times 220=1680 \)
　　　　　　 \( 8x=2560 \)
　　　　　　　\( x=320 \)
となり，昨年の１月の二酸化炭素の排出量は \( 320 \; kg \)，
昨年の２月の二酸化炭素の排出量は \( 220 \; kg \)
なので，今年の１月の二酸化炭素の排出量は
　\( 0.8 \times 320=256 \; (kg) \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は
　\( 1.1 \times 220=242 \; (kg) \)

通常の連立方程式の問題の考え方では，
今年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，今年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) としますが，
今回は昨年の排出量の表し方がややこしくなり，間違えやすくなってしまうので，
昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とするのが
おすすめです。

今年の１月の二酸化炭素の排出量は，昨年の１月より \( 20\% \) 減少しているので，
昨年から今年の１月の二酸化炭素の排出量の減少分は，\( 0.2x \)
今年の１月の二酸化炭素の排出量は，\( 0.8x \)

今年の２月の二酸化炭素の排出量は，昨年の２月より \( 10\% \) 増加しているので，
昨年から今年の２月の二酸化炭素の排出量の増加分は，\( 0.1y \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は，\( 1.1y \)
と表すことができます。

ここから，
今年の１月と２月の，二酸化炭素の排出量の合計は \( 0.8x+1.1y \) と表すことができ，
これが \( 498 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.8x+1.1y=498 \) ･･･ ➀

次に，昨年から今年で１月と２月の二酸化炭素の排出量の合計は \( 42 \; kg \) 減少していたので，
昨年から今年の二酸化炭素の排出量の合計の減少分は \( 0.2x-0.1y \) と表すことができ，
これが \( 42 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.2x-0.1y=42 \) ･･･ ➁

となります。

１つの面を下じきと考え，２つの面（２枚の下じき）が垂直になるとき，
交わっている２つの面（２枚の下じき）が直線に見える（青の直線が点に見える）向きから見ると，
２本の直線が垂直に交わるように見えます。

四角形 \( ADEG \) を，辺 \( BE \) を軸として１回転させてできる立体は，
下の図のような円柱から円すいを取り除いた形になります。

線分 \( MN \) は斜めになっていて計算しにくそうなので，
線分 \( MN \) を通る平面上で計算しやすい形をつくることを考えます。

点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( P \)，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( Q \)
とし，この三角柱を面 \( ADLK \)，点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面 で切断すると，
下の図のような三角柱が残り，この三角柱の中に直角三角形 \( NPM \) ができます。

ここから，線分 \( MP \) と \( NP \) の長さを求めることができれば，
三平方の定理を使って線分 \( MN \) の長さを求められます。

以上より，\( △NPM \) において，三平方の定理より，
　\( MN^2=MP2+PN^2 \)
　　　　\( =2^2+(\sqrt{13})^2 \)
　　　　\( =17 \)
　 \( MN=\sqrt{17} \; (cm) \)（\( MN>0 \) より）

\( 25 \) 人

\( 120 \) 人の記録を集計しているので，中央値は，
記録の少ない方から \( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録の平均値になります。

図６に累積度数を書き込んでいくと下のようになり，
\( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録は，\( 24 \) 回以上 \( 28 \) 回未満の階級に含まれているので，
この階級の度数は，\( 25 \) 人になります。

イ，エ

ア ･･･ 図６のヒストグラムは，\( 120 \) 人の記録を集計しているので，
　　　 第１四分位数は，記録の少ない方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録の平均値になります。
　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録は，\( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれていることから，
　　　 第１四分位数も \( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれるので，正しくありません。

イ ･･･ 各組の人数は \( 30 \) 人なので，中央値は，記録の少ない方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の記録の
　　　 平均値になっています。

　　　 図７の箱ひげ図から，１組の中央値は \( 25 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

　　　 同様に，３組の中央値は \( 24 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 24 \) 回または \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

ウ ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱ひげ図の箱の長さで比較することができ，
　　　 箱の長さが長い方が四分位範囲が大きくなります。

　　　 図７より，２組の方が４組より箱の長さが長いので，
　　　 四分位範囲は，２組の方が４組より大きく，正しくありません。

エ ･･･ 図６より，記録が \( 36 \) 回以上 \( 40 \) 回未満の生徒の人数は，\( 3 \) 人であることがわかります。
　　　 図７より，２組，３組，４組の最大値は \( 36 \) 回未満なので，
　　　 記録が \( 36 \) 回以上の生徒は１組にしかいないことがわかります。
　　　 また，１組の最大値が \( 36 \) 回であることから，\( 37 \) 回，\( 38 \) 回，\( 39 \) 回の生徒はいません。

　　　 以上より，１組で上体起こしの記録が \( 36 \) 回の生徒の人数は，\( 3 \) 人であると判断できます。

\( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \)

二次関数 \( y=mx^2 \)（\( m>0，m \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，
\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 3^2=\dfrac{9}{4} \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \) になります。

\( 2a \)

点 \( A \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができます。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OA \) は原点と \( A(2，4a) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{4a-0}{2-0}=2a \) と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，\( AE=BG \) であり，
点 \( A，B，G \) の \( x \) 座標は，それぞれ \( 2，4，1 \) であることから，
点 \( E \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
　\( 2-t=4-1 \)
　　　\( t=-1 \)

点 \( D \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができる。
点 \( E \) は線分 \( DO \) の中点にあたるので，
点 \( E \) の \( y \) 座標は \( 2a \) ･･･ （あ）

点 \( C \) は，直線 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 1 \) である。
直線 \( CA \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{4a-1}{2-(-2)}=\dfrac{4a-1}{4} \)
\( y=\dfrac{4a-1}{4}x+n \) に \( x=2，y=4a \) を代入すると，
　\( 4a=\dfrac{4a-1}{4} \times 2+n \)
　 \( n=\dfrac{4a+1}{2} \)
なので，直線 \( CA \) の式は \( y=\dfrac{4a-1}{4}x+\dfrac{4a+1}{2} \)
この直線において，\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{4a-1}{4} \times (-1)+\dfrac{4a+1}{2} \)
　　\( =\dfrac{4a+3}{4} \) ･･･ （い）

（あ）と（い）の値は等しくなるので，
　\( 2a=\dfrac{4a+3}{4} \)
　 \( a=\dfrac{3}{4} \)

ここから，点 \( A \) の \( x \) 座標から点 \( E \) の \( x \) 座標を引いた値と
点 \( B \) の \( x \) 座標から点 \( G \) の \( x \) 座標を引いた値は等しくなります。

円 \( O \) の半径がわかっていることから，中心角の大きさがわかれば，弧の長さを求めることができるので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ DP } \) に対する中心角 \( ∠DOP \) を求めることを考えていきます。

弧の長さは中心角の大きさに比例するので，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ DP }=2 \pi{} \times 9 \times \dfrac{92°}{360°} \)
　　　\( =18 \pi{} \times \dfrac{23}{90} \)
　　　\( =\dfrac{23}{5}\pi{} \; (cm) \)

\( -2 \)

\( \dfrac{3}{8} \)

\( =\dfrac{5}{8}+ \left( -\dfrac{1}{4} \right) \)
\( =\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4} \)
\( =\dfrac{5}{8}-\dfrac{2}{8} \)
\( =\dfrac{3}{8} \)

\( 7 \)

\( =16-9 \)
\( =7 \)

\( 5\sqrt{2} \)

\( =\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}+\sqrt{8} \)
\( =3\sqrt{2}+\sqrt{8} \)
\( =3\sqrt{2}+2\sqrt{2} \)
\( =5\sqrt{2} \)

\( 9ab^2 \)

\( =-\dfrac{1}{5}a^2 \times 45b^3 \times \left( -\dfrac{1}{ab} \right) \)
\( =\dfrac{a^2 \times 45b^3}{5 \times ab} \)
\( =9ab^2 \)

エ　家から駅までの道のり

毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩いたときに進む道のりは \( 60x \) と表すことができます。

家を出発して 毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩き，\( 10 \) 分後に駅に着いたということは，
毎分 \( 80 \; m \) で歩いた時間は \( 10-x \) 分と表すことができるので，
毎分 \( 80 \; m \) で \( 10-x \) 分間歩いたときに進む道のりは \( 80(10-x) \) と表すことができます。

よって，これらの和である \( 60x+80(10-x) \) は，家から駅までの道のりを表しています。

線分 \( BC \) の垂直二等分線上にある点は，
すべて２点 \( B，C \) からの距離が等しい点になります。

\( y=-9 \)

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \)（\( a \) は定数）になります。

ここに，\( x=3，y=-12 \) を代入すると，
　\( -12=\dfrac{a}{3} \)
　　 \( a=-36 \)

よって，\( y=-\dfrac{36}{x} \) に \( x=4 \) を代入すると，
　\( y=-\dfrac{36}{4}=-9 \)

\( \dfrac{3}{10} \)

３本が当たりくじに「あ１，あ２，あ３」，２本のはずれくじに「は１，は２」と名前をつけ，
Ａさん，Ｂさんがひくくじの組み合わせを樹形図に書き出すと，
すべての組み合わせは２０通り，２人とも当たりくじをひく組み合わせは６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} \)

ア

箱ひげ図は，１５年分のデータを集計しているので，
第１四分位数は気温の低い方から４番目の値で，\( 17.0 \; C^\circ \) 以上 \( 17.5 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。
中央値は気温の低い方から８番目の値で，\( 17.5 \; C^\circ \) 以上 \( 18.0 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。
第３四分位数は気温の低い方から１２番目の値で，\( 18.0 \; C^\circ \) 以上 \( 18.5 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。

次に，それぞれのヒストグラムに累積度数を書き込み，
第１四分位数（４番目の値）が含まれている階級に ○，
中央値（８番目の値）が含まれている階級に ○，
第３四分位数（１２番目の値）が含まれている階級に ○
をつけると，箱ひげ図とすべてが合致しているのは ア のヒストグラムになります。

　　

２０１０年～２０２４年の箱ひげ図の箱の方が１９９５年～２００９年の箱ひげ図の箱より右側にあるから

箱ひげ図の箱の部分には約５０％の数のデータが含まれています。
２つの箱ひげ図の最大値と最小値がほぼ同じで，箱の位置が右側にあるということは

１９９５年～２００９年では，約半分の年で平均気温が\( 18.3 \; C^\circ \) 以上 \( 18.8 \; C^\circ \) 未満であるのに対して，
２０１０年～２０２４年では，約半分の年で平均気温が\( 18.9 \; C^\circ \) 以上 \( 20.8 \; C^\circ \) 未満になっています。

ここから，「２０１０年～２０２４年の５月の平均気温は，１９９５年～２００９年の５月の平均気温より高くなっている傾向にある」といえます。

\( x=10 \)

　 \( (x-6)(x-1)=36 \)
　　　\( x^2-7x+6=36 \)
　　\( x^2-7x-30=0 \)
　\( (x+3)(x-10)=0 \)
　　　　　　　　 \( x=10 \)（ \( x>0 \) より）

\( \dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

これらを➀に代入すると，
　\( 3 \times \dfrac{x-1}{2} \times (x-6)=\dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

イ　満水状態の電気給湯器の中のお湯の量

表から，スイッチＡを押すと電気給湯器の中から毎分 \( 12 \; L \) のお湯が出ていき（減り）ます。
つまり，スイッチＡを押してから \( x \) 分間の間には
電気給湯器の中から \( 12x \; L \) のお湯が出ていき（減り）ます。

式を \( y+12x=360 \) に書き換えると，
　\( y \) は \( x \) 分後に電気給湯器の中に残っているお湯の量，
　\( 12x \) は \( x \) 分間に電気給湯器から出ていったお湯の量
を表しているので，これらの和（\( 360 \)）は満水状態の電気給湯器の中のお湯の量になります。

\( -120 \)

「\( x \) の増加量が \( 10 \) のとき」を「\( x \) が \( 0 \) から \( 10 \) まで増加したとき」と考えると，
　\( x=0 \) の \( y \) の値は，\( y=-12 \times 0+360=360 \)
　\( x=10 \) の \( y \) の値は，\( y=-12 \times 10+360=240 \)
なので，\( y \) の増加量は，\( 240-360=-120 \)

\( 270 \; L \)

スイッチＢを押すと，毎分 \( 18 \; L \) ずつ電気給湯器の中のお湯が減っていくので，
\( 5 \) 分間に減るお湯の量は \( 18 \times 5＝90 \; (L) \) になります。
満水状態では \( 360 \; L \) なので，\( 5 \) 分後の電気給湯器の中のお湯の量は，
　\( 360-90=270 \; (L) \)

直線Ａ，直線Ｂそれぞれにおいて \( y \) 座標が \( 180 \) になる点の \( x \) 座標の差を求める。

式 ･･･ \( y=6x-90 \)
変域 ･･･ \( 25≦x≦45 \)

スイッチＡが押されていた時間を \( s \) 秒，スイッチＢが押されていた時間を \( t \) 秒とすると，
時間についての関係を方程式で表すと，\( s+20+t=55 \) ･･･ ➀
お湯の量についての関係を方程式で表すと，
スイッチＡを押して出ていったお湯の量は \( 12s \; L \)，
スイッチＢを押して出ていったお湯の量は \( 18t \; L \)，
と表すことができ，これら出ていったお湯の総量は，
満水状態の水の量 \( 360 \; L \) とスイッチＣを押してためたお湯の量 \( 6 \times 20=120 \; (L) \) の合計と等しくなるので，
　\( 12s+18t=360+120 \) ･･･ ➁

スイッチＣに切り替えてから，スイッチＢに切り替えるまでの \( x \) と \( y \) の関係を表す式を
\( y=6x+b \) として，\( x=25，y=60 \) を代入すると，
　\( 60=6 \times 25+b \)
　\( 60=150+b \)
　 \( b=-90 \)
よって，求める式は \( y=6x-90 \)

\( y=ax^2 \) に \( x=2，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=a \times 2^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{4} \)

\( y \) の値の最小値 ･･･ \( y=0 \)
\( x \) の値 ･･･ \( x=0 \)

２次関数 \( y=ax^2(a>0) \) のグラフは原点を通るので，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の値の最小値は \( 0 \) になります。

\( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) のとき，\( 0 \) を含んでいるので，
\( y \) の値の最小値は \( 0 \) で，そのときの \( x \) の値も \( 0 \) になります。

\( \dfrac{1}{25}<a<\dfrac{3}{4} \)

\( y=ax^2(a>0) \) のグラフは，\( a \) の値が小さくなるほどグラフの開き具合が大きくなります。

グラフと直角三角形 \( ABC \) の周が１点だけで交わるのは，
グラフが点 \( B \) を通るときと点 \( C \) を通るときなので，
点 \( C \) を通るときの \( a \) の値が最大で，
そこから \( a \) の値を小さくするほど
グラフは 赤 → オレンジ → 緑 → 青 と開き具合が大きくなっていき，
この間は２点で交わることになります。
そして，点 \( B \) を通るときの \( a \) の値が最小になり，１点だけでしか交わらなくなります。

グラフが点 \( C(2，3) \) を通るときの \( a \) の値は，
　\( 3=a \times 2^2 \)
　\( a=\dfrac{3}{4} \)
グラフが点 \( B(5，1) \) を通るときの \( a \) の値は，
　\( 1=a \times 5^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{25} \)
なので，\( a \) のとりうる値の範囲は，
　\( \dfrac{1}{25}<a<\dfrac{3}{4} \)

\( y=ax^2 \) のグラフは \( D \left( -\dfrac{8}{3}，3 \right) \) を通るので，
　\( 3=a \times \left( -\dfrac{8}{3} \right)^2 \)
　\( 3=\dfrac{64}{9}a \)
　\( a=\dfrac{27}{64} \)
なので，２次関数を表す式は \( y=\dfrac{27}{64}x^2 \)

点 \( E \) は，\( y=\dfrac{27}{64}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{27}{64} \times 2^2=\dfrac{27}{16} \)
よって，点 \( E \) の座標は \( E \left( 2，\dfrac{27}{16} \right) \)

　（１）　 ･･･ \( 8-x \)
　（２）　 ･･･ \( 3 \)

　（２）　 ･･･ \( 8-x \)
点 \( M \) は線分 \( AD \) の中点なので，
　\( DM=\dfrac{1}{2}AD=4 \; (cm) \)
\( △DMF \) において，三平方の定理より，
　\( DF^2+DM^2=MF^2 \)
　　　　\( x^2+4^2=(8-x)^2 \)
　　　　\( x^2+16=x^2-16x+64 \)
　　　　　　\( 16x=48 \)
　　　　　　　 \( x=3 \; (cm) \)

\( HQ//BC \) より，\( QC=HB=\dfrac{8}{3} \; cm \) なので，
　\( FQ=CF-QC \)
　　　\( =5-\dfrac{8}{3} \)
　　　\( =\dfrac{7}{3} \; (cm) \)

以上より，
　\( HP：PQ=HE：FQ \)
　　　　　　\( =\dfrac{5}{3}：\dfrac{7}{3}\)
　　　　　　\( =5：7\)

\( \dfrac{400}{9}\pi{} \; cm^3 \)

\( 9 \)

\( =7+2 \)
\( =9 \)

\( 6 \)

\( =8+8 \div (-4) \)
\( =8+(-2) \)
\( =8-2 \)
\( =6 \)

\( \dfrac{15}{4}x \)

\( =9x^2y^2 \times \dfrac{5}{12xy^2} \)
\( =\dfrac{9x^2y^2 \times 5}{12xy^2} \)
\( =\dfrac{15x}{4} \)

\( \dfrac{7a+5b}{6} \)

\( =\dfrac{2(5a+b)}{6}-\dfrac{3(a-b)}{6} \)
\( =\dfrac{2(5a+b)-3(a-b)}{6} \)
\( =\dfrac{10a+2b-3a+3b}{6} \)
\( =\dfrac{7a+5b}{6} \)

\( -\sqrt{2} \)

\( =3\sqrt{2}-8\sqrt{5} \times \dfrac{1}{\sqrt{10}} \)
\( =3\sqrt{2}-8\sqrt{5} \times \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}} \)
\( =3\sqrt{2}-\dfrac{8}{\sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{2}-\dfrac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{2}-4\sqrt{2} \)
\( =-\sqrt{2} \)

\( x=\dfrac{7±\sqrt{41}}{2} \)

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-7)±\sqrt{(-7)^2-4 \times 1 \times 2}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{7±\sqrt{41}}{2} \)

\( 65，66，67 \)

３つの数 \( a，b，c \) が \( a<b<c \) の関係にあるとき，
\( a，b，c \) それぞれを２乗しても大小の関係は変わりません。

\( 8，\sqrt{n}，8.2 \) をそれぞれ２乗すると，\( 64，n，67.24 \) なので，
\( 64<n<67.24 \) の関係になっています。

よって，これをみたす自然数 \( n \) の値は \( 65，66，67 \) になります。

\( x=\dfrac{1}{2} \)

\( a*b=ab-4b+5 \) に  \( a=3，b=2x \) を代入すると，
　\( 3*(2x)=3 \times 2x-4 \times 2x+5 \)
　　　　　\( =6x-8x+5 \)
　　　　　\( =-2x+5 \)
なので，\( 3*(2x)=4 \) の \( 3*(2x) \) を \( -2x+5 \) におきかえると，
　\( -2x+5=4 \)
　　　\( -2x=-1 \)
　　　　 \( x=\dfrac{1}{2} \)

エ

ア　四分位範囲が大きいほど，箱の長さが長くなります。
　　箱の長さは２組のほうが１組よりも長いので，四分位範囲は２組の方が大きくなっています。

イ　箱ひげ図から，１組の最小値は \( 20 \) 点未満，最大値が \( 70 \) 点より大きいので，
　　\( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満の人数は，最大でも \( 37 \) 人です。
　　２組は最小値は \( 20 \) 点より大きく，最大値が \( 70 \) 点未満なので，
　　\( 38 \) 人全員が \( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満です。
　　よって，\( 20 \) 点以上 \( 70 \) 点未満の人数は，２組のほうが１組よりも多くなっています。

ウ　箱ひげ図から，１組の第１四分位数は \( 40 \) 点より大きく，
　　２組の第１四分位数は \( 40 \) 点未満なので，
　　第１四分位数は，１組のほうが２組よりも大きくなっています。

エ　１組は \( 39 \) 人分のデータを集計しているので，第３四分位数は得点の高い方から
　　１０番目の値になります。
　　１組の第３四分位数は \( 60 \) 点未満なので，\( 60 \) 点以上の人数は，
　　多くても \( 9 \) 人になります。
　　２組は \( 38 \) 人分のデータを集計しているので，第３四分位数は得点の高い方から
　　１０番目の値になります。
　　２組の第３四分位数は \( 60 \) 点以上なので，\( 60 \) 点以上の人数は，
　　少なくても \( 10 \) 人になります。
　　よって，\( 60 \) 点以上の人数は，２組のほうが１組よりも多くなっています。

６通り

３人が投げる順番を樹形図に書き出すと，次の６通りになります。

　　

ア
【Ａさんの確率】
移動先が ➂ になるのは，出た目が２または６のときなので，
あてはまる確率は \( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)

【Ｂさんの確率】
さいころを２回投げたときの出た目の組み合わせとそれぞれの場合の行き先を樹形図として書き出すと
下の図のようになります。
すべての場合の数は \( 36 \) 通り，移動先が➂になる組み合わせは \( 10 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18} \)

よって，Ａさんの確率のほうがＢさんより大きい。

【Ａさんの確率】
さいころの目が１の場合 → 移動先は➁
さいころの目が２の場合 → 移動先は➂
さいころの目が３の場合 → 移動先は➃
さいころの目が４の場合 → 移動先は➀
さいころの目が５の場合 → 移動先は➁
さいころの目が６の場合 → 移動先は➂
なので，移動先が➂になる確率は \( \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \)

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，
点 \( F \) が，点 \( E \) から \( x \) 方向に \( 3，y \) 方向に \( \dfrac{3}{2} \) 移動した点であることから，
点 \( H \) は，点 \( G \) から \( x \) 方向に \( 3，y \) 方向に \( \dfrac{3}{2} \) 移動した点になります。
ここから，点 \( H \) の座標は，\( H \left( t+3，-t^2+\dfrac{3}{2} \right) \) と表すことができます。

点 \( H \) は，\( y=-x^2 \) 上の点であることから，\( x \) に \( t+3，y \) に，\( -t^2+\dfrac{3}{2} \) を代入すると，
　\( -t^2+\dfrac{3}{2}=-(t+3)^2 \)
　\( -t^2+\dfrac{3}{2}=-t^2-6t-9 \)
　　　　 \( 6t=-\dfrac{21}{2} \)
　　　　　\( t=-\dfrac{7}{4} \)

よって，点 \( G \) の座標は，\( G \left( -\dfrac{7}{4}，-\dfrac{49}{16} \right) \)

\( 3 \) 個入りのからあげを \( x \) セット，\( 5 \) 個入りのからあげを \( y \) セット販売したとすると，
からあげの個数の関係は \( 3x+5y=300 \)
売上金の関係は \( 150(x-10)+150 \times 0.8 \times 10+200y=13500 \)
と表すことができるので，連立方程式として解くと，
　\( \left\{ \begin{array}{}
3x+5y=300 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
150(x-10)+150 \times 0.8 \times 10+200y=13500 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁を整理すると，
　\( 3x+4y=276 \) ･･･ ➁’
➀ \( – \) ➁’
　\( y=24 \)
➀に代入すると，
　\( 3x+5 \times 24=300 \)
　　　　　　\( 3x=180 \)
　　　　　　　\( x=60 \)
よって，販売した
\( 3 \) 個入りのからあげは \( 60 \) セット
\( 5 \) 個入りのからあげは \( 24 \) セット

手順３の直線と手順６の円弧の交点が，求める点 \( P \) になります。

四角錐 \( E-DHLK \) の体積は，
　\( 9\sqrt{3} \times \dfrac{4\sqrt{6}}{3} \times \dfrac{1}{3}=12\sqrt{2} \; (cm^3) \)

●　\( △PMN \) の面積が最大になるのは，\( OP⊥MN \) になるときである理由
線分 \( MN \) を底辺とすると，点 \( P \) から線分 \( MN \) にひいた垂線の長さが高さになります。
点 \( P \) がどの位置にあっても，線分 \( MN \) は固定なので，高さ（垂線の長さ）の値が最大のとき，
\( △PMN \) の面積も最大になります。

\( OP⊥MN \) になる位置に点 \( P \) があるとき，\( O’P=3 \; cm \) になります。

\( -9 \)

\( 7a-6b \)

\( =15a-10b-8a+4b \)
\( =7a-6b \)

\( 18b^2 \)

\( =\dfrac{24ab \times (-3b)}{-4a} \)
\( =18b^2 \)

\( 15-10\sqrt{2} \)

\( =(\sqrt{10})^2-2 \times \sqrt{10} \times \sqrt{5}+(\sqrt{5})^2 \)
\( =10-2\sqrt{50}+5 \)
\( =15-10\sqrt{2} \)

\( x=-2±\sqrt{5} \)

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-4±\sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2} \)
　　\( =\dfrac{-4±\sqrt{20}}{2} \)
　　\( =\dfrac{-4±2\sqrt{5}}{2} \)
　　\( =-2±\sqrt{5} \)

\( \dfrac{7}{15} \)

２個の赤玉に「赤１」，「赤２」，２個の白玉に「白１」，「白２」，「白３」，「白４」と名前をつけます。
取り出した２個の玉の組み合わせを樹形図に書き出し，同じ色になっている組み合わせに 〇 をつけると，
同じ色の組み合わせは \( 7 \) 通り，すべての組み合わせは \( 15 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{15} \)

➀　〇
➁　〇
➂　×
➃　×

➀　最頻値とは，度数の値が最も大きい階級の階級値のことです。
　　Ａ中学校で度数の値が最も大きい階級は，\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級なので，
　　最頻値は \( \dfrac{60+90}{2}=75 \)（分）
　　Ｂ中学校で度数の値が最も大きい階級は，\( 90 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級なので，
　　最頻値は \( \dfrac{90+120}{2}=105 \)（分）
　　なので，最頻値は，Ｂ中学校の方が大きい。

➁　Ａ中学校は全部で \( 80 \) 人のデータを扱っているので，
　　中央値は，小さい方から \( 40 \) 番目と \( 41 \) 番目の値の平均値になります。
　　表に累積度数を書き足すと，\( 40 \) 番目と \( 41 \) 番目の値は，
　　\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級に含まれています。
　　よって，Ａ中学校の中央値は \( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級に含まれています。
　　Ｂ中学校は全部で \( 200 \) 人のデータを扱っているので，
　　中央値は，小さい方から \( 100 \) 番目と \( 101 \) 番目の値の平均値になります。
　　表に累積度数を書き足すと，\( 100 \) 番目と \( 101 \) 番目の値は，
　　\( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級に含まれています。
　　よって，Ｂ中学校の中央値は \( 60 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の階級に含まれています。
　　以上より，Ａ中学校とＢ中学校の中央値は，どちらも同じ階級に含まれています。

➂　四分位範囲は，第３四分位数 \( – \) 第１四分位数で求めることができます。
　　Ａ中学校の第１四分位数は，小さい方から \( 20 \) 番目と \( 21 \) 番目の値の平均値なので，
　　\( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級に含まれています。
　　第３四分位数は，小さい方から \( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の値の平均値なので，
　　\( 90 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級に含まれています。
　　Ｂ中学校の第１四分位数は，小さい方から \( 50 \) 番目と \( 51 \) 番目の値の平均値なので，
　　\( 30 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級に含まれています。
　　第３四分位数は，小さい方から \( 150 \) 番目と \( 151 \) 番目の値の平均値なので，
　　\( 120 \) 分以上 \( 150 \) 分未満の階級に含まれています。
　　以上より，Ａ中学校とＢ中学校の第１四分位数は，同じ階級に含まれているのに対し，
　　Ａ中学校の第３四分位数は，Ｂ中学校の第３四分位数よりも小さい階級に含まれているので，
　　四分位範囲は，Ａ中学校の方が大きいとはいえません。

➃　Ａ中学校で家庭学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の生徒の人数は，\( 22+13=35 \)（人）なので，
　　全体に占める割合は \( \dfrac{35}{80}=0,4375 \)
　　Ｂ中学校で家庭学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の生徒の人数は，\( 34+38=72 \)（人）なので，
　　全体に占める割合は \( \dfrac{72}{200}=0,36 \)
　　よって， 調べた生徒の人数に対する，家庭学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 120 \) 分未満であった生徒の人数の
　　割合は，Ａ中学校の方が大きくなっています。

\( \dfrac{5}{9} \)

手順５の直線と \( \stackrel{\huge\frown}{ AP } \) の交点が求める点 \( Q \) になります。

点 \( Q \) は，点 \( P \) を時計回りの方向に \( 30° \) 回転移動させた点なので，
点 \( O \) を中心として，線分 \( OP \) を半径とする円周上の点で，
おうぎ形 \( POQ \) の中心角は \( 30° \) であることがわかります。

\( 30° \) は \( 60° \) の半分の大きさであることに注目すると，\( ∠AOP=60° \) となるような点 \( A \) を作図し，\( ∠AOP \) の二等分線を作図すればいいことになります。

\( 12 \; cm^3 \)

\( DQ=6\sqrt{3} \; cm \)

\( CR=6 \; cm \)

\( 162 \; cm^3 \)

求める立体は下の図の赤の部分のような形になります。
この立体を３点 \( B，D，Q \) を通る面で切断すると，
四角すい \( D-APQB \) と四角すい \( D-BQRC \) の２つに分けることができます。

【四角すい \( D-APQB \) の体積】
台形 \( APQB \) を底面とすると，
　\( \left\{ (3+9) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \right\} \times 6 \times \dfrac{1}{3}=72 \; (cm^3) \)

【四角すい \( D-BQRC \) の体積】
台形 \( BQRC \) を底面とすると，
　\( \left\{ (6+9) \times 6 \times \dfrac{1}{2} \right\} \times 6 \times \dfrac{1}{3}=90 \; (cm^3) \)

よって，求める立体の体積は
　\( 72+90=162 \; (cm^3) \)

家族の人数 ･･･ \( 5 \) 人
クッキーの個数 ･･･ \( 28 \) 個

アオイさんの家族の人数を \( x \) 人として，買ってきたクッキーの個数を \( x \) を使った文字式で表すと，
　\( 1 \) 人 \( 5 \) 個ずつ分けたときは \( 5x+3 \) 個，
　\( 1 \) 人 \( 6 \) 個ずつ分けたときは \( 6x-2 \) 個，
と表すことができるので，
　\( 5x+3=6x-2 \)
　　　　\( x=5 \)（人）
であり，\( 5x+3 \) に \( x=5 \) を代入すると，
　\( 5 \times 5+3=28 \)（個）

　ア　 ･･･ \( 20x+50y \)

\( 1 \) 個 \( 20 \) 円のクッキーを \( x \) 個買うのに必要な金額は \( 20x \) 円，
\( 1 \) 個 \( 50 \) 円のドーナツを \( y \) 個買うのに必要な金額は \( 50y \) 円
これらの合計が \( 1000 \) 円ちょうどなので，方程式は
　\( 20x+50y=1000 \)

　イ　 ･･･ \( -\dfrac{2}{5} \)
　ウ　 ･･･ \( 20 \)

\( 20x+50y=1000 \) を \( y= \) の形に変形すると，
　\( 20x+50y=1000 \)
　\( 50y=-20x+1000 \)
　\( y=-\dfrac{2}{5}x+20 \)

　エ　 ･･･ \( 5 \)

\( -\dfrac{2}{5}x+20 \) の値が整数になるのは，\( -\dfrac{2}{5}x \) の部分が整数になるときです。
つまり，約分して分母の \( 5 \) が消えればいいので，あてはまるのは，\( x \) の値が \( 5 \) の倍数のときです。

クッキーの個数 ･･･ \( 15 \) 個
ドーナツの個数 ･･･ \( 14 \) 個

➂より，\( x \) の値が \( 5 \) の倍数になることがわかっているので，
\( x \) に \( 5，10，15，･･･ \) と順番に代入すると，
　\( x=5 \) のとき ･･･ \( y=-\dfrac{2}{5} \times 5+20=18 \) →  \( x \) と \( y \) の差は \( 13 \) 個
　\( x=10 \) のとき ･･･ \( y=-\dfrac{2}{5} \times 10+20=16 \) →  \( x \) と \( y \) の差は \( 6 \) 個
　\( x=15 \) のとき ･･･ \( y=-\dfrac{2}{5} \times 15+20=14 \) →  \( x \) と \( y \) の差は \( 1 \) 個
　\( x=20 \) のとき ･･･ \( y=-\dfrac{2}{5} \times 20+20=12 \) →  \( x \) と \( y \) の差は \( 8 \) 個
となり，以後，\( x \) の値はより大きく，\( y \) の値はより小さくなるので，
\( x \) と \( y \) の差は大きくなっていきます。

よって，求める答えは，クッキーが \( 15 \) 個，ドーナツが \( 14 \) 個になります。

\( 70 \) 円

リオさんの計算の式は
　\( \dfrac{原価}{売価} \times 100=原価の割合 \; (\%) \)
になっているので，ドーナツ \( 1 \) 個の値段（売価）を \( x \) 円とすると，
　\( \dfrac{28}{x} \times 100=40 \; (\%) \)
　　　　 \( \dfrac{28}{x}=0.4 \)
　　　　\( 0.4x=28 \)
　　　　　 \( x=70 \)（円）

クッキーの個数 ･･･ \( 750 \) 個
ドーナツの個数 ･･･ \( 250 \) 個

作るクッキーの個数を \( x \) 個，ドーナツの個数を \( y \) 個とし，
個数の関係を方程式で表すと，
　\( x+y=1000 \) ･･･ ➀
利益の関係について，
クッキー \( 1 \) 個の原価の割合が \( 40 \; \% \) になるクッキーの値段を \( n \) 円とすると
　\( \dfrac{12}{n} \times 100=40 \; (\%) \)
　　　　 \( \dfrac{12}{n}=0.4 \)
　　　　　 \( n=30 \)（円）
であり，クッキー \( 1 \) 個を売って得られる利益は \( (30-12) \) 円なので，
\( x \) 個のクッキーを売って得られる利益を \( x \) を使った文字式で表すと，
　\( (30-12)x \)（円）
ドーナツ \( 1 \) 個を売って得られる利益は \( (70-28) \) 円なので，
\( y \) 個のドーナツを売って得られる利益を \( y \) を使った文字式で表すと，
　\( (70-28)y \)（円）
で，これらの合計が \( 24000 \) 円になるので，方程式で表すと，
　\( (30-12)x+(70-28)y=24000 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式にして解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=1000 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
(30-12)x+(70-28)y=24000 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁を整理すると，
　\( 3x+7y=4000 \) ･･･ ➁’
➀ \( \times 3 \) すると，
　\( 3x+3y=3000 \) ･･･ ➀’
➁’\( – \) ➀’すると，
　\( 4y=1000 \)
　 \( y=250 \)（個）
➀に代入すると，
　\( x+250=1000 \)
　　　　 \( x=750 \)（個）

毎分 \( 80 \; m \)

ケンタさんは，午後２時から午後２時５０分までの５０分間で \( 4000 \; m  \) を歩いたので，
その速さは，
　\( \dfrac{4000}{50}=80 \)
より，毎分 \( 80 \; m \)

\( y=200x-1800 \)

求める直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{4000-0}{29-9}=200 \)
\( y=200x+b \) に \( x=9，y=0 \) を代入すると，
　\( 0=200 \times 9+b \)
　\( b=-1800 \)
よって，求める直線の式は \( y=200x-1800 \)

午後２時１５分

ケンタさんが歩いた状態を関数で表すと \( y=80x \) になるので，
サクラさんがケンタさんに追いついた時間と場所は
２つの関数 \( y=200x-1800 \) と \( y=80x \) を連立方程式にして解いた解として求めることができます。
連立方程式を解くと，\( x=15 \) なので，
サクラさんがケンタさんに追いついたのは，午後２時１５分になります。

午後２時１８分から

ハルキさんは，地点 \( P \) から地点 \( Q \) までの \( 4000 \; m  \) を
休憩時間１０分を除く２４分間で走ったので，ハルキさんが走った速さは，
毎分 \( \dfrac{4000}{24}=\dfrac{500}{3} \; (m) \) であったとわかります。

ここから，ハルキさんが地点 \( P \) から地点 \( R \) まで走った状態を
表す直線の式は \( y=\dfrac{500}{3}x \) になります。

\( -10 \)

\( =8-18 \)
\( =-10 \)

\( \dfrac{a^2}{8} \)

\( =\dfrac{a^2b}{12} \times \dfrac{3}{ab} \times \dfrac{a}{2} \)
\( =\dfrac{a^2b \times 3 \times a}{12 \times ab \times 2} \)
\( =\dfrac{a^2}{8} \)

\( -\sqrt{7} \)

\( =2\sqrt{7}-\dfrac{21 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} \)
\( =2\sqrt{7}-3\sqrt{7} \)
\( =-\sqrt{7} \)

\( (a-b)(x+y) \)

\( x=4，y=-3 \)

\( \left\{ \begin{array}{}
x+2y=-2 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x-y=11 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 2 \) すると，
　\( 2x+4y=-4 \) ･･･ ➀’
➀’\( – \) ➁ すると，
　\( 5y=-15 \)
　 \( y=-3 \)
➀に代入すると，
　\( x+2 \times (-3)=-2 \)
　　　　　\( x-6=-2 \)
　　　　　　　\( x=4 \)

\( CA=7 \; cm \)

【最頻値】 ･･･ \( 55 \)（分）
【範囲】 ･･･ \( 46 \)（分）

【最頻値】
最頻値とは，度数が最も大きい階級の階級値のことです。
ヒストグラムから，度数が最も大きい階級は \( 50 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級なので，
階級値は \( \dfrac{50+60}{2}=55 \)（分）

【範囲】
範囲は，「最大値 \( – \) 最小値」で求めることができます。
箱ひげ図から，最大値は \( 58 \) 分，最小値は \( 12 \) 分なので，
範囲は \( 58-12=46 \)（分）

\( 4 \)
\( n \) を整数とすると，連続する３つの偶数は \( 2n-2，2n，2n+2 \) と表すことができる。
また，，　　　　 にあてはまる数を \( 4 \) とすると，
連続する３つの偶数の２乗の和に \( 4 \) を加えた数は
　　\( (2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2+4 \)
　\( =(4n^2-8n+4)+4n^2+(4n^2+8n+4)+4 \)
　\( =12n^2+12 \)
　\( =12(n^2+1) \)
となり，\( n \) が整数であるとき，\( n^2+1 \) も整数なので，
\( 12(n^2+1) \) は１２の倍数である。

よって，連続する３つの偶数の２乗の和に \( 4 \) を加えた数は１２の倍数になる。

このとき，手順６の直線と円の交点のうち，\( A \) から遠い方の点が求める点 \( P \) になります。

よって，\( AP \) の長さが最大となるのは，３点 \( A，O，P \) が一直線に並ぶときになります。

確率 ･･･ \( \dfrac{1}{30} \)
\( ∠PAQ=45° \)

【\( x=4，y=5 \) となる確率】
選んだカードの組み合わせを樹形図に書き出すと，\( x=4，y=5 \) になる組み合わせは１通り，
全ての組み合わせは３０通りなので，求める確率は \( \dfrac{1}{30} \)

\( \dfrac{2}{15} \)

１２個の点にそれぞれ \( A～L \) の名前をつけます。
このとき，点 \( P \) が動く範囲は \( G～L \)，点 \( Q \) が動く範囲は \( B～G \) になります。

\( ∠PAQ=60° \) になるとき，\( ∠POQ=120° \) になるので，おうぎ形 \( POQ \) が点４個分の大きさになります。
ここから，\( x=1～6 \) それぞれの場合において，点 \( Q \) がどの点に移動すれば \( ∠POQ=120° \) になるかを考えていきます。
ただし，以下の点に注意が必要です。

注１ ･･･ 手順［１］で選んだカードは戻さないので，\( (x，y)=(1，1)，(2，2) \) など
　　　　 \( x \) と \( y \) の値が同じになることはありません。
注２ ･･･ 点 \( A \) が \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) 上（短い方）にあるときはあてはまりません。
　　　　 （\( ∠PAQ=120° \) になるため）

【 点 \( P \) が点 \( L \) に移動する（\( x=1 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( L \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( D \) または \( H \) に移動するときです。
ただし，点 \( A \) が \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) 上（短い方）にあるので，
\( (x，y)=(1，3) \) のときには \( ∠PAQ=60° \) になりません。
また，点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，\( H \) に移動することはありません。
よって，\( ∠PAQ=60° \) になることはありません。

【 点 \( P \) が点 \( K \) に移動する（\( x=2 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( K \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( C \) または \( G \) に移動するときなので，
両方があてはまり，\( (x，y)=(2，2)，(2，6) \) の２通りです。
ただし，手順［１］で選んだカードは戻さないので，\( (x，y)=(2，2) \) が起こることはありません。
よって，あてはまるのは，\( (x，y)=(2，6) \) の１通りです。

【 点 \( P \) が点 \( J \) に移動する（\( x=3 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( J \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( B \) または \( F \) に移動するときなので，
両方があてはまり，\( (x，y)=(3，1)，(3，5) \)）の２通りです。
ただし，点 \( A \) が \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) 上（短い方）にあるので，
\( (x，y)=(3，1) \) のときには \( ∠PAQ=60° \) になりません。
よって，あてはまるのは，\( (x，y)=(3，5) \) の１通りです。

【 点 \( P \) が点 \( I \) に移動する（\( x=4 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( I \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( A \) または \( E \) に移動するときです。
点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，
あてはまるのは点 \( E \) に移動する（\( (x，y)=(4，4) \)）場合の１通りだけです。
ただし，手順［１］で選んだカードは戻さないので，\( (x，y)=(4，4) \) が起こることはありません。
よって，あてはまる組み合わせはありません。

【 点 \( P \) が点 \( H \) に移動する（\( x=5 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( H \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( D \) または \( L \) に移動するときです。
点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，
あてはまるのは点 \( D \) に移動する（\( (x，y)=(5，3) \)）場合の１通りだけです。

【 点 \( P \) が点 \( G \) に移動する（\( x=6 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( G \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( C \) または \( K \) に移動するときです。
点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，
あてはまるのは点 \( C \) に移動する（\( (x，y)=(6，2) \)）場合の１通りだけです。

以上をまとめると，\( ∠PAQ=60° \) になる組み合わせは，
\( (x，y)=(2，6)，(3，5)，(5，3)，(6，2) \)
の４通りになります。

よって，\( ∠PAQ=60° \) になる組み合わせは４通り，
全ての組み合わせは３０通りなので，
求める確率は \( \dfrac{4}{30}=\dfrac{2}{15} \)

紙Ａ ･･･ \( 16 \) 枚
紙Ｂ ･･･ \( 36 \) 枚

\( 4 \) 番目の正方形は，下の図のようになります。

\( 8x+4 \) 枚

紙Ａは，\( 1 \) 番目から \( 3 \) 番目までの図から，
　\( 1 \)番目 ･･･  \( 1=1 \times 1 \)（枚）
　\( 2 \)番目 ･･･  \( 4=2 \times 2 \)（枚）
　\( 3 \)番目 ･･･  \( 9=3 \times 3 \)（枚）
と並んでいるので，\( x \) 番目の正方形は,紙Ａがたてよこ \( x \) 枚ずつ並びます。

次に，紙Ｂを下の図のように４辺に均等な数になるよう分けて考えると，
\( 1 \) 番目から \( 3 \) 番目までの図から，１辺に並ぶ枚数は
　\( 1 \)番目 ･･･  \( 3=2 \times 1+1 \)（枚）
　\( 2 \)番目 ･･･  \( 5=2 \times 2+1 \)（枚）
　\( 3 \)番目 ･･･  \( 7=2 \times 3+1 \)（枚）
となっているので，\( x \) 番目の正方形は，紙Ｂが各辺に \( 2x+1 \) 枚ずつ並びます。

よって，紙Ｂは全部で
　\( 4 \times (2x+1)=8x+4 \)（枚）
並びます。

\( 12 \) 番目

（２）より，\( x \) 番目の正方形は，紙Ａが \( x^2 \) 枚，紙Ｂが \( 8x+4 \) 枚並ぶので，
あわせて \( x^2+8x+4 \) 枚並ぶことになります。

よって，
　　　 \( x^2+8x+4=244 \)
　　 \( x^2+8x-240=0 \)
　\( (x-12)(x+20)=0 \)
　　　　　　　　　\( x=12 \)（\( x>0 \) より）

となり，\( 12 \) 番目になります。

\( AB=6 \; cm \)
\( BC=4 \; cm \)

底辺を \( PQ \)，高さを \( AP \) と考えると，
点 \( P \) が辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) が辺 \( DC \) 上を動くとき，
底辺の長さは一定で，高さが大きくなっていくので，
\( △APQ \) の面積は徐々に大きくなっていきます。
点 \( P \) が点 \( B \)，点 \( Q \) が点 \( C \) につくとき，底辺も高さも最大になっているので，
\( △APQ \) の面積は最大になります。

また，グラフから，\( 6 \) 秒後に面積が最大になっていることから，
点 \( P \) は \( 6 \) 秒後に点 \( B \) につくことがわかります。
点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動くので，
辺 \( AB \) の長さは \( 6 \; cm \) ということになります。

また，\( 6 \) 秒後の \( △APQ \) の面積は \( 12 \; cm^2 \) であることから，
　\( BC \times 6 \times \dfrac{1}{2}=12 \)
　　　　 \( BC=4 \; (cm) \)
となります。

\( S=-3x+30 \)（\( 6≦x≦10 \)）

まず，点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くのは，点 \( B \) についてから，点 \( C \) につくまでの間です。
点 \( P \) が点 \( B \) につくのは，\( AB=6 \; cm \) より，\( 6 \) 秒後，
点 \( P \) が点 \( C \) につくのは，\( BC=4 \; cm \) より，さらに \( 4 \) 秒後なので \( 10 \) 秒後，
なので，\( x \) の変域は \( 6≦x≦10 \)

（ｂ）

点 \( R \) は \( 8 \; cm \) の辺 \( AE \) 上を毎秒 \( 2 \; cm \) で動くので，
点 \( R \) が点 \( E \) につくのは，\( 4 \) 秒後になります。
ここから，
　点 \( P \) は辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は辺 \( DC \) 上，点 \( R \) は辺 \( AE \) 上を動く（\( 0≦x≦4 \)）
　点 \( P \) は辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は辺 \( DC \) 上を動き，点 \( R \) は点 \( E \) 上で動かない（\( 4≦x≦6 \)）
　点 \( P \) は辺 \( BC \) 上を動き，点 \( Q \) は点 \( C \) 上，点 \( R \) は点 \( E \) 上で動かない（\( 6≦x≦10 \)）
となるので，それぞれの変域について \( V \) を \( x \) を用いて表していきます。

よって，これらをすべて満たしているグラフは（ｂ）になります。

\( 2，3，8，9 \)

なので，\( 5≦V≦21 \) となる \( x \) の変域は \( \sqrt{\dfrac{15}{4}}≦x≦\sqrt{\dfrac{63}{4}}，\dfrac{59}{8}≦x≦\dfrac{75}{8} \) となります。

\( (1=)\sqrt{\dfrac{4}{4}}<\sqrt{\dfrac{15}{4}}<\sqrt{\dfrac{16}{4}}(=2) \) なので，\( \sqrt{\dfrac{15}{4}}=1. \)○○，
\( (3=)\sqrt{\dfrac{36}{4}}<\sqrt{\dfrac{63}{4}}<\sqrt{\dfrac{64}{4}}(=4) \) なので，\( \sqrt{\dfrac{63}{4}}=3. \)○○，
であり，\( \sqrt{\dfrac{15}{4}}≦x≦\sqrt{\dfrac{63}{4}} \) を満たす \( x \) の値のうち，整数は \( 2，3 \)。

\( (7=)\dfrac{56}{8}<\dfrac{59}{8}<\dfrac{64}{8}(=8) \) なので，\( \dfrac{59}{8}=7. \)○○，
\( (9=)\dfrac{72}{8}<\dfrac{75}{8}<\dfrac{80}{8}(=10) \) なので，\( \dfrac{75}{8}=9. \)○○，
であり，\( \dfrac{59}{8}≦x≦\dfrac{75}{8} \) を満たす \( x \) の値のうち，整数は \( 8，9 \)。

以上より，\( 5≦V≦21 \) となる \( x \) の値のうち，整数であるものは \( 2，3，8，9 \)

（１）より，\( △ABC \) ∽ \( △DCE \) であり，
\( AB：DC=8：7 \) より，面積比は \( 64：49 \) である。
ここから，\( △DCE \) の面積は
　\( △ABC：△DCE=64：49 \)
　　　　\( S：△DCE=64：49 \)
　　　　　　 \( △DCE=\dfrac{49}{64}S \)

また，\( AD//BC//EG \)，
点 \( E \) が辺 \( AB \) の中点であることから，点 \( G \) は辺 \( DC \) の中点なので，
\( △DEG \) の面積は \( △DCE \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) である。
よって，\( △DEG \) の面積は
　\( △DEG=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{49}{64}S=\dfrac{49}{128}S \)

【相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しい】
底辺が \( 8a \)，高さが \( 8h \) の \( △PQR \) において，
\( △PQR \) ∽ \( △P’Q’R’ \) で相似比が \( 8：7 \) のとき，
\( △P’Q’R’ \) の底辺は \( 7a \)，高さは \( 7h \) と表すことができます。

このとき，\( △PQR，△P’Q’R’ \) の面積は，
　　\( △PQR=8a \times 8h \times \dfrac{1}{2} \)
　\( △P’Q’R’=7a \times 7h \times \dfrac{1}{2} \)
で求められるので，
　\( △PQR：△P’Q’R’=8a \times 8h \times \dfrac{1}{2}：7a \times 7h \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　　　　　\( =8 \times 8：7 \times 7 \)
　　　　　　　　　　　　\( =8^2：7^2 \)

　

 

【点 \( E \) が辺 \( AB \) の中点のとき，点 \( G \) は辺 \( DC \) の中点である】

同様の考え方から，\( △CDA \) ∽ \( △CGF \) でもあるので，
点 \( G \) は辺 \( DC \) の中点である。

\( AD：BC=17：32 \)

\( △EBC \) の底辺を \( BC \)，\( △CEG \) の底辺を \( EG \) とすると，
高さが共通なので，\( BC：EG \) の比は，\( △EBC \) と \( △CEG \) の面積比と等しくなります。
ここから，
　\( BC：EG=\dfrac{1}{2}S：\dfrac{49}{128}S \)
　　　　　　\( =64：49 \)

また，\( AD//BC//EG \)，点 \( E \) が辺 \( AB \) の中点，
点 \( G \) が辺 \( DC \) の中点であることから，
\( AD：EG：BC=x：49：64 \) とすると．
　\( \dfrac{x+64}{2}=49 \)
　 \( x+64=98 \)
　　　　\( x=34 \)（注１）

よって，\( AD：BC=34：64=17：32 \)

\( -10 \)

\( =8-18 \)
\( =-10 \)

\( \dfrac{a^2}{8} \)

\( =\dfrac{a^2b}{12} \times \dfrac{3}{ab} \times \dfrac{a}{2} \)
\( =\dfrac{a^2b \times 3 \times a}{12 \times ab \times 2} \)
\( =\dfrac{a^2}{8} \)

\( -\sqrt{7} \)

\( =2\sqrt{7}-\dfrac{21 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} \)
\( =2\sqrt{7}-3\sqrt{7} \)
\( =-\sqrt{7} \)

\( (a-b)(x+y) \)

\( x=4，y=-3 \)

\( \left\{ \begin{array}{}
x+2y=-2 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x-y=11 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 2 \) すると，
　\( 2x+4y=-4 \) ･･･ ➀’
➀’\( – \) ➁ すると，
　\( 5y=-15 \)
　 \( y=-3 \)
➀に代入すると，
　\( x+2 \times (-3)=-2 \)
　　　　　\( x-6=-2 \)
　　　　　　　\( x=4 \)

\( CA=7 \; cm \)

【最頻値】 ･･･ \( 55 \)（分）
【範囲】 ･･･ \( 46 \)（分）

【最頻値】
最頻値とは，度数が最も大きい階級の階級値のことです。
ヒストグラムから，度数が最も大きい階級は \( 50 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級なので，
階級値は \( \dfrac{50+60}{2}=55 \)（分）

【範囲】
範囲は，「最大値 \( – \) 最小値」で求めることができます。
箱ひげ図から，最大値は \( 58 \) 分，最小値は \( 12 \) 分なので，
範囲は \( 58-12=46 \)（分）

\( 4 \)
\( n \) を整数とすると，連続する３つの偶数は \( 2n-2，2n，2n+2 \) と表すことができる。
また，，　　　　 にあてはまる数を \( 4 \) とすると，
連続する３つの偶数の２乗の和に \( 4 \) を加えた数は
　　\( (2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2+4 \)
　\( =(4n^2-8n+4)+4n^2+(4n^2+8n+4)+4 \)
　\( =12n^2+12 \)
　\( =12(n^2+1) \)
となり，\( n \) が整数であるとき，\( n^2+1 \) も整数なので，
\( 12(n^2+1) \) は１２の倍数である。

よって，連続する３つの偶数の２乗の和に \( 4 \) を加えた数は１２の倍数になる。

このとき，手順６の直線と円の交点のうち，\( A \) から遠い方の点が求める点 \( P \) になります。

よって，\( AP \) の長さが最大となるのは，３点 \( A，O，P \) が一直線に並ぶときになります。

ア ， ウ

\( △ABC \) は，直角をなす２辺の比が \( 1：2 \) である直角三角形になっています。
これを満たしているのは ア と ウ になります。

（ｂ） 同位角

\( 2 \)

（ｃ） ２組の辺の比とその間の角

イ　直線 \( DE \) とねじれの位置にある直線は２本である。

ねじれの位置とは，どこまで行っても交わらない２辺のうち，平行ではない２辺のことです。

直線 \( DE \) とねじれの位置にあるのは，直線 \( AC，BC，CF \) の３本になります。
　直線 \( AD，BE，DF，EF \) ･･･ 直線 \( DE \) と交わる
　直線 \( AB \) ･･･ 直線 \( DE \) と平行

確率 ･･･ \( \dfrac{1}{30} \)
\( ∠PAQ=45° \)

【\( x=4，y=5 \) となる確率】
選んだカードの組み合わせを樹形図に書き出すと，\( x=4，y=5 \) になる組み合わせは１通り，
全ての組み合わせは３０通りなので，求める確率は \( \dfrac{1}{30} \)

\( \dfrac{2}{15} \)

１２個の点にそれぞれ \( A～L \) の名前をつけます。
このとき，点 \( P \) が動く範囲は \( G～L \)，点 \( Q \) が動く範囲は \( B～G \) になります。

\( ∠PAQ=60° \) になるとき，\( ∠POQ=120° \) になるので，おうぎ形 \( POQ \) が点４個分の大きさになります。
ここから，\( x=1～6 \) それぞれの場合において，点 \( Q \) がどの点に移動すれば \( ∠POQ=120° \) になるかを考えていきます。
ただし，以下の点に注意が必要です。

注１ ･･･ 手順［１］で選んだカードは戻さないので，\( (x，y)=(1，1)，(2，2) \) など
　　　　 \( x \) と \( y \) の値が同じになることはありません。
注２ ･･･ 点 \( A \) が \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) 上（短い方）にあるときはあてはまりません。
　　　　 （\( ∠PAQ=120° \) になるため）

【 点 \( P \) が点 \( L \) に移動する（\( x=1 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( L \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( D \) または \( H \) に移動するときです。
ただし，点 \( A \) が \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) 上（短い方）にあるので，
\( (x，y)=(1，3) \) のときには \( ∠PAQ=60° \) になりません。
また，点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，\( H \) に移動することはありません。
よって，\( ∠PAQ=60° \) になることはありません。

【 点 \( P \) が点 \( K \) に移動する（\( x=2 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( K \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( C \) または \( G \) に移動するときなので，
両方があてはまり，\( (x，y)=(2，2)，(2，6) \) の２通りです。
ただし，手順［１］で選んだカードは戻さないので，\( (x，y)=(2，2) \) が起こることはありません。
よって，あてはまるのは，\( (x，y)=(2，6) \) の１通りです。

【 点 \( P \) が点 \( J \) に移動する（\( x=3 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( J \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( B \) または \( F \) に移動するときなので，
両方があてはまり，\( (x，y)=(3，1)，(3，5) \)）の２通りです。
ただし，点 \( A \) が \( \stackrel{\huge\frown}{ PQ } \) 上（短い方）にあるので，
\( (x，y)=(3，1) \) のときには \( ∠PAQ=60° \) になりません。
よって，あてはまるのは，\( (x，y)=(3，5) \) の１通りです。

【 点 \( P \) が点 \( I \) に移動する（\( x=4 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( I \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( A \) または \( E \) に移動するときです。
点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，
あてはまるのは点 \( E \) に移動する（\( (x，y)=(4，4) \)）場合の１通りだけです。
ただし，手順［１］で選んだカードは戻さないので，\( (x，y)=(4，4) \) が起こることはありません。
よって，あてはまる組み合わせはありません。

【 点 \( P \) が点 \( H \) に移動する（\( x=5 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( H \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( D \) または \( L \) に移動するときです。
点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，
あてはまるのは点 \( D \) に移動する（\( (x，y)=(5，3) \)）場合の１通りだけです。

【 点 \( P \) が点 \( G \) に移動する（\( x=6 \)）場合】
点 \( P \) が点 \( G \) に移動するとき，
\( ∠POQ=120° \) になるのは，
点 \( Q \) が点 \( C \) または \( K \) に移動するときです。
点 \( Q \) は \( B～G \) のどこかにしか動けないので，
あてはまるのは点 \( C \) に移動する（\( (x，y)=(6，2) \)）場合の１通りだけです。

以上をまとめると，\( ∠PAQ=60° \) になる組み合わせは，
\( (x，y)=(2，6)，(3，5)，(5，3)，(6，2) \)
の４通りになります。

よって，\( ∠PAQ=60° \) になる組み合わせは４通り，
全ての組み合わせは３０通りなので，
求める確率は \( \dfrac{4}{30}=\dfrac{2}{15} \)

紙Ａ ･･･ \( 16 \) 枚
紙Ｂ ･･･ \( 36 \) 枚

\( 4 \) 番目の正方形は，下の図のようになります。

\( 8x+4 \) 枚

紙Ａは，\( 1 \) 番目から \( 3 \) 番目までの図から，
　\( 1 \)番目 ･･･  \( 1=1 \times 1 \)（枚）
　\( 2 \)番目 ･･･  \( 4=2 \times 2 \)（枚）
　\( 3 \)番目 ･･･  \( 9=3 \times 3 \)（枚）
と並んでいるので，\( x \) 番目の正方形は,紙Ａがたてよこ \( x \) 枚ずつ並びます。

次に，紙Ｂを下の図のように４辺に均等な数になるよう分けて考えると，
\( 1 \) 番目から \( 3 \) 番目までの図から，１辺に並ぶ枚数は
　\( 1 \)番目 ･･･  \( 3=2 \times 1+1 \)（枚）
　\( 2 \)番目 ･･･  \( 5=2 \times 2+1 \)（枚）
　\( 3 \)番目 ･･･  \( 7=2 \times 3+1 \)（枚）
となっているので，\( x \) 番目の正方形は，紙Ｂが各辺に \( 2x+1 \) 枚ずつ並びます。

よって，紙Ｂは全部で
　\( 4 \times (2x+1)=8x+4 \)（枚）
並びます。

\( 12 \) 番目

（２）より，\( x \) 番目の正方形は，紙Ａが \( x^2 \) 枚，紙Ｂが \( 8x+4 \) 枚並ぶので，
あわせて \( x^2+8x+4 \) 枚並ぶことになります。

よって，
　　　 \( x^2+8x+4=244 \)
　　 \( x^2+8x-240=0 \)
　\( (x-12)(x+20)=0 \)
　　　　　　　　　\( x=12 \)（\( x>0 \) より）

となり，\( 12 \) 番目になります。

\( AB=6 \; cm \)
\( BC=4 \; cm \)

底辺を \( PQ \)，高さを \( AP \) と考えると，
点 \( P \) が辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) が辺 \( DC \) 上を動くとき，
底辺の長さは一定で，高さが大きくなっていくので，
\( △APQ \) の面積は徐々に大きくなっていきます。
点 \( P \) が点 \( B \)，点 \( Q \) が点 \( C \) につくとき，底辺も高さも最大になっているので，
\( △APQ \) の面積は最大になります。

また，グラフから，\( 6 \) 秒後に面積が最大になっていることから，
点 \( P \) は \( 6 \) 秒後に点 \( B \) につくことがわかります。
点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動くので，
辺 \( AB \) の長さは \( 6 \; cm \) ということになります。

また，\( 6 \) 秒後の \( △APQ \) の面積は \( 12 \; cm^2 \) であることから，
　\( BC \times 6 \times \dfrac{1}{2}=12 \)
　　　　 \( BC=4 \; (cm) \)
となります。

\( S=-3x+30 \)（\( 6≦x≦10 \)）

まず，点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くのは，点 \( B \) についてから，点 \( C \) につくまでの間です。
点 \( P \) が点 \( B \) につくのは，\( AB=6 \; cm \) より，\( 6 \) 秒後，
点 \( P \) が点 \( C \) につくのは，\( BC=4 \; cm \) より，さらに \( 4 \) 秒後なので \( 10 \) 秒後，
なので，\( x \) の変域は \( 6≦x≦10 \)

（ｂ）

点 \( R \) は \( 8 \; cm \) の辺 \( AE \) 上を毎秒 \( 2 \; cm \) で動くので，
点 \( R \) が点 \( E \) につくのは，\( 4 \) 秒後になります。
ここから，
　点 \( P \) は辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は辺 \( DC \) 上，点 \( R \) は辺 \( AE \) 上を動く（\( 0≦x≦4 \)）
　点 \( P \) は辺 \( AB \) 上，点 \( Q \) は辺 \( DC \) 上を動き，点 \( R \) は点 \( E \) 上で動かない（\( 4≦x≦6 \)）
　点 \( P \) は辺 \( BC \) 上を動き，点 \( Q \) は点 \( C \) 上，点 \( R \) は点 \( E \) 上で動かない（\( 6≦x≦10 \)）
となるので，それぞれの変域について \( V \) を \( x \) を用いて表していきます。

よって，これらをすべて満たしているグラフは（ｂ）になります。

\( 2，3，8，9 \)

なので，\( 5≦V≦21 \) となる \( x \) の変域は \( \sqrt{\dfrac{15}{4}}≦x≦\sqrt{\dfrac{63}{4}}，\dfrac{59}{8}≦x≦\dfrac{75}{8} \) となります。

\( (1=)\sqrt{\dfrac{4}{4}}<\sqrt{\dfrac{15}{4}}<\sqrt{\dfrac{16}{4}}(=2) \) なので，\( \sqrt{\dfrac{15}{4}}=1. \)○○，
\( (3=)\sqrt{\dfrac{36}{4}}<\sqrt{\dfrac{63}{4}}<\sqrt{\dfrac{64}{4}}(=4) \) なので，\( \sqrt{\dfrac{63}{4}}=3. \)○○，
であり，\( \sqrt{\dfrac{15}{4}}≦x≦\sqrt{\dfrac{63}{4}} \) を満たす \( x \) の値のうち，整数は \( 2，3 \)。

\( (7=)\dfrac{56}{8}<\dfrac{59}{8}<\dfrac{64}{8}(=8) \) なので，\( \dfrac{59}{8}=7. \)○○，
\( (9=)\dfrac{72}{8}<\dfrac{75}{8}<\dfrac{80}{8}(=10) \) なので，\( \dfrac{75}{8}=9. \)○○，
であり，\( \dfrac{59}{8}≦x≦\dfrac{75}{8} \) を満たす \( x \) の値のうち，整数は \( 8，9 \)。

以上より，\( 5≦V≦21 \) となる \( x \) の値のうち，整数であるものは \( 2，3，8，9 \)

\( 1 \)

\( =5-4 \)
\( =1 \)

\( 8x+5 \)

\( =2x+3+6x+2 \)
\( =8x+5 \)

\( x=-2，y=2 \)

\( \left\{ \begin{array}{} 3x+7y=8 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\ x+2y=2 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\ \end{array} \right. \)
➁ \(  \times 3 \) すると，
　\( 3x+6y=6 \) ･･･ ➁’
➀ \( – \) ➁’すると，
　\( y=2 \)
➁ に代入すると，
　\( x+2 \times 2=2 \)
　　　\( x+4=2 \)
　　　　　\( x=-2 \)

\( a=5，8 \)

\( \sqrt{n} \) の値が自然数となるのは，\( n=m^2 \)（ \( m \) は自然数）と表せるときなので，
\( 9-a=m^2 \)（ \( m \) は自然数）と表せるような自然数 \( a \) を求めればいいことになります。

\( \sqrt{9-a} \) の値が自然数になることから，\( \sqrt{　} \) の中の数は \( 0 \) より大きい数になるので，\( 0<9-a \)
（ \( 0 \) は自然数ではないので，\( \sqrt{0}=0 \) より \( 9-a=0 \) にはなりません。）
また，\( a \) が自然数であることから，\( 9-a<9 \)
ここから，\( 9-a \) が取り得る値の範囲は \( 0<9-a<9 \) となります。

\( 0≦9-a<9 \) 中で \( 9-a=m^2 \)（ \( m \) は自然数）の形で表せるのは，
　\( 9-a=1 \; (=1^2) \)
　\( 9-a=4 \; (=2^2) \)
の２通りなので，
　\( 9-a=1 \)となるときの \( a \) の値は，\( a=8 \)
　\( 9-a=4 \)となるときの \( a \) の値は，\( a=5 \)

\( x=\dfrac{-3±\sqrt{17}}{4} \)

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{17}}{4} \)

イ　\( a=7b+c \)

わり算の結果は，「割られる数 \( = \) 割る数 \( \times \) 商 \( + \) 余り」で表すことができるので，
　\( a=7 \times b+c \)
　\( a=7b+c \)

\( -12≦y≦0 \)

エ

ア～オ のグラフのうち，反比例を表しているグラフは ウ と エ です。
この中で，座標 \( (x，y)=(2，-2) \) を通っているのは エ になります。

手順１の円弧 \( AP \) と手順４の直線の交点が求める点 \( Q \) になります。

点 \( Q \) は，「点 \( O \) を回転の中心として，点 \( P \) を時計まわりに \( 30° \) だけ回転移動させた点」なので，
線分 \( OP \) を半径とする円 \( O \) の円周上の点であることがわかります。

また，\( 30° \) という角は，\( 60° \) の半分の大きさなので，
\( 60° \) の角の二等分線を描くことで \( 30° \) の角を作図できます。
\( 60° \) の角は正三角形を描くことで作図できます。

以上から，線分 \( OP \) を１辺とする正三角形を描き，
その内角の二等分線を作図することで点 \( Q \) を作図できます。

\( \dfrac{1}{9} \)

\( 12 \) 人

また，ある階級の相対度数は
　ある階級の相対度数 \( = \) その階級の度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求められます。
１年生全員の生徒数を \( y \) 人とし，１回の階級に注目すると，
　\( \dfrac{24}{y}=0,40 \)
　　\( y=\dfrac{24}{0,40}=60 \)（人）

３回の階級の生徒数を \( z \) 人とすると，
　\( \dfrac{z}{60}=0,20 \)
　　\( z=12 \)（人）

\( 340 \)

範囲は
　範囲 \( = \) 最大値 \( – \) 最小値
で求められるので，
Ｂの最小値を \( x \; cm \) とすると，
　\( 800-x=460 \)
　　　　 \( x=340 \; (cm) \)

エ　　い　 ･･･ 小さい 　　　う　 ･･･ 小さい

　え　 ･･･ イ　Ａの第３四分位数
　お　 ･･･ エ　\( 6 \)

２つの紙飛行機は，どちらも \( 25 \) 回ずつ飛距離を測定したので，
中央値になるのは，大きい（小さい）方から \( 13 \) 番目の値になります。

第３四分位数は，大きい方から \( 6 \) 番目と \( 7 \) 番目の値の平均値になります。
このとき，\( 7 \) 番目の値は，第３四分位数の値以下になっています。
Ａの箱ひげ図では，第３四分位数は，\( 683 \; cm \) より小さい値なので，
大きい方から \( 7 \) 番目の値は \( 683 \; cm \) より小さい値であることがわかります。
つまり，\( 683 \; cm  \) 以上の値になる可能性があるのは，大きい方から \( 6 \) 番目の値までになります。

　か　 ･･･ \( 11 \)
　き　 ･･･ \( 503 \)

　\( 1000a+100a+10b+b \)
\( =1100a+11b \)
\( =11(100a+b) \)
\( a，b \) はどちらも整数なので，\( 100a+b \) も整数であり，
\( 11(100a+b) \) は， \( 11 \) の倍数である。

　か　 ･･･ 低い
　き　 ･･･ 垂直

立方体の体積は，底面積 \(  \times  \) 高さ
四角すいの体積は，底面積 \( \times \) 高さ \( \times \dfrac{1}{3} \)
で求めることができます。
ＰとＱの底面はどちらも１辺 \( 12 \; cm \) の正方形で面積は等しいので，
Ｑの高さがＰと等しい \( 12 \; cm \) のとき，Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) になります。

正四角錐Ｑの各頂点に名前を付けて，\( O-ABCD \) とします。
正四角錐Ｑの断面 \( △OAC \) について考えると，\( OA=12 \; cm \) であり，
点 \( A \) から垂直に伸ばした \( 12 \; cm \) の線分を \( O’A \) とするとき，
線分 \( OA \) は線分 \( O’A \) を点 \( A \) を中心に回転移動させたものになっています。
Ｑの高さを \( h \) とするとき，\( h<12 \) になるので，
Ｑの体積は，Ｐの体積の \( \dfrac{1}{3} \) より小さくなります。

\( 6\sqrt{6} \; cm \)

正四角錐Ｒを \( O-EFGH \)，底面の対角線の交点を \( I \) とすると，
線分 \( OI \) が高さであり，\( OI=12 \; cm \) になります。
また，断面 \( △OEG \) について考えると，
\( EG \) は１辺 \( 12 \; cm  \) の正方形の対角線なので，\( EG=12\sqrt{2} \; cm \)
正方形の対角線は中点で交わるので，\( EI=6\sqrt{2} \; cm \)
になっています。

\( △OEG \) において，三平方の定理より，
　\( OE^2=(6\sqrt{2})^2+12^2=216 \)
　 \( OE=6\sqrt{6} \; (cm) \)

　あ　 ･･･ 一直線

表から，\( x \) の値が \( 1 \) 増えるごとに \( y \) の値はおよそ \( 4 \) ずつ減っているので，
図１の５つの点は，ほぼ一直線上に並んでいるといえます。

　　　

　い　 ･･･ \( -4 \)
　う　 ･･･ \( y=-4x+90 \)
　え　 ･･･ \( 66 \)

　い　 ･･･ 傾き \( =\dfrac{74-90}{4-0}=-4 \)

　う　 ･･･ 傾きは \( -4 \) で，切片の値は \( 90 \) なので，
　　　　　 求める直線の式は \( y=-4x+90 \)

　え　 ･･･ \( y=-4x+90 \) に \( x=6 \) を代入すると，
　　　　　　 \( y=-4 \times 6+90=66 \)

　　　　　　　お　　　　　　　
この直線と \( y \) 軸の交点の \( y \) 座標の値を求める。

　　　　　　　か　　　　　　　
\( x=5，y=50 \) を代入したときの \( b \) の値を求める。

エ　\( 4 \) 倍，\( 9 \) 倍，\( 16 \) 倍，･･･

点 \( R \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点なので，
点 \( R \) の \( x \) 座標の値を変えたときの \( y \) 座標の値を表すと，
　\( x=s \) のとき，\( y=\dfrac{1}{2}s^2 \)
　\( x=2s \) のとき，\( y=\dfrac{1}{2} \times (2s)^2=4 \times \dfrac{1}{2}s^2 \)
　\( x=3s \) のとき，\( y=\dfrac{1}{2} \times (3s)^2=9 \times \dfrac{1}{2}s^2 \)
　\( x=4s \) のとき，\( y=\dfrac{1}{2} \times (4s)^2=16 \times \dfrac{1}{2}s^2 \)
となるので，\( y \) 座標の値は，\( 4 \) 倍，\( 9 \) 倍，\( 16 \) 倍 になっています。

\( QR=6 \; cm \)

以上より，\( QR \) の長さは \( 18-12=6 \; (cm) \)

\( 8 \)

\( R(-12，72) \)

２点 \( A，P \) を通る直線の傾きが \( \dfrac{1}{2} \) となるとき，
点 \( P \) は，点 \( A \) を通り，傾き \( \dfrac{1}{2} \) の直線と \( x \) 軸の交点になります。
点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
点 \( A \) は，点 \( P \) から \( x \) 方向に \( 4-t \)，\( y \) 方向に \( 8 \) 移動した点なので，
　\( \dfrac{8}{4-t}=\dfrac{1}{2} \)
　 \( 4-t=16 \)
　　　 \( t=-12 \)

点 \( P \) と点 \( R \) の \( x \) 座標は等しいので，
\( x \) 座標の値が \( -12 \) のときの点 \( R \) の \( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times (-12)^2=72 \)

よって，求める点 \( R \) の座標は，\( R(-12，72) \) になります。

２組の向かい合う辺

\( 16\sqrt{2} \; cm^2 \)

四角形 \( ABCD \) の底辺を \( BC \) とすると，高さはリボンの幅 \( 4 \; cm \) になります。

➃➉より，\( △ABC \) は正三角形なので，
\( △ABE≡△ACE \) より \( ∠BAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=30° \)

\( PD=\dfrac{16\sqrt{3}}{3} \; cm \)

\( 2 \)

\( =9+(-7) \)
\( =2 \)

\( -50 \)

\( =-25 \times 2 \)
\( =-50 \)

\( 2\sqrt{2} \)

\( =2\sqrt{6} \times \sqrt{5} \div \sqrt{15} \)
\( =\dfrac{2\sqrt{6} \times \sqrt{5}}{\sqrt{15}} \)
\( =\dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{3}} \)
\( =2\sqrt{2} \)

\( a+8 \)

\( =3a+4-2a+4 \)
\( =a+8 \)

\( x=6，y=4 \)

\( \left\{ \begin{array}{}
\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}y=4 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
5x-3y=18 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \(  \times 6 \)
　\( 2x+3y=24 \) ･･･ ➀’
➀’\( + \) ➁
　\( 7x=42 \)
　 \( x=6 \)
➀’に代入すると，
　\( 2 \times 6+3y=24 \)
　　　　　\( 3y=12 \)
　　　　　　\( y=4 \)

\( x=\dfrac{7±\sqrt{17}}{4} \)

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-7)±\sqrt{(-7)^2-4 \times 2 \times 4}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{7±\sqrt{49-32}}{4} \)
　　\( =\dfrac{7±\sqrt{17}}{4} \)

\( y=-\dfrac{16}{x} \)

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \) ( \( a \) は定数) になります。
\( y=\dfrac{a}{x} \) に \( x=-2，y=8 \) を代入すると，
　\( 8=\dfrac{a}{-2} \)
　\( a=-16 \)
よって，求める式は \( y=-\dfrac{16}{x} \)

例として，\( n=2，n=3，n=4，n=5 \) それぞれの場合について，
各色の個数が等しくなるように４色に色分けして考えると，次のようになります。

これらを参考に，１辺に \( n \) 個ずつ並べた場合を考えると，下の図のようになるので，
必要な碁石の個数は，\( 4 \times (n-1)=4n-4 \)（個）

　　

\( \dfrac{5}{12} \)

\( D\left(4，-\dfrac{3}{2}\right) \)

四角形 \( ACDB \) について考えると，\( AB=CD，AC=BD \) より，
向かい合う２組の辺の長さがそれぞれ等しいことから，平行四辺形になっています。

\( p=-\dfrac{7}{2} \)

\( 20 \) 回

範囲 \( = \) 最大値 \( – \) 最小値 で求められるので，
表１のデータの範囲は，\( 62-42=20 \)（回）

\( 49 \) 回

表２のデータは３２人分のデータを集計したものなので，
第１四分位数は回数の少ない方から８番目と９番目の値の平均値になります。

表２から，８番目の値は \( 48 \) 回，９番目の値は \( 50 \) 回なので，
第１四分位数は，\( \dfrac{48+50}{2}=49 \)（回）

\( 53 \)，\( 54 \)，\( 55 \)

表２のデータ（訂正前）と訂正後の箱ひげ図において，最小値，第１四分位数，中央値，第３四分位数，最大値を書き出すと次のようになります。

まず，中央値が \( 53.5 \) 回→ \( 53 \) 回 に変わっていることに注目します。
Ｂ組は，全部で３２人なので，中央値は回数の少ない方から１６番目と１７番目の値の平均値になります。
訂正されたデータは１個だけなので，表２で１６番目にあたる \( 53 \) 回，１７番目にあたる \( 54 \) 回のどちらかは訂正後に１６番目または１７番目の値になります。
\( 53 \) または \( 54 \) のどちらかを含み，平均値が \( 53 \) になる組み合わせは，
「\( 53 \) と \( 53 \)」，「\( 52 \) と \( 54 \)」の２通りになります。

【１６番目の値と１７番目の値がどちらも \( 53 \) 回になる場合】
１７番目の値が \( 53 \) 回になるということは，「\( 54 \) 回」は１８番目の値になります。
このとき，訂正された値は「\( \color{red}{54} \) 回」以上のどれかであることがわかります。
次に，第３四分位数の値に変化がなかったことに注目すると，
２４番目と２５番目の「\( \color{red}{56} \) 回」という値は変わらないことになります。
これらを整理すると，訂正された（まちがっていた）値は「\( \color{red}{54} \) 回」または「\( \color{red}{55} \) 回」である
ということになります。

【１６番目の値が \( 52 \) 回，１７番目の値が \( 54 \) 回になる場合】
１６番目の値が \( 52 \) 回，１７番目の値が \( 54 \) 回になるということは，
「\( 53 \) 回」という値がなくなっています。
つまり，訂正された値は「\( \color{red}{53} \) 回」であることがわかります。

以上より，まちがっていたデータとして考えられる値は，
\( 53 \)，\( 54 \)，\( 55 \)
の３つになります。

\( 21 \)

\( A，B \) を \( a，b \) を使って表すと，\( A=2a+5b，B=5a+2b \) と表すことができます。
また，\( C=A^2-B^2=(A+B)(A-B) \) なので，ここに代入すると，
　\( C=(A+B)(A-B) \)
　　\( =\{(2a+5b)+(5a+2b)\}\{(2a+5b)-(5a+2b)\} \)
　　\( =(7a+7b)(-3a+3b) \)
　　\( =7(a+b) \times 3(-a+b) \)
　　\( =7(b+a) \times 3(b-a) \)
　　\( =21(b+a)(b-a) \)
\( a，b \) は自然数，\( b>a \) であることから，\( b+a，b-a \) はどちらも自然数であり，
\( (b+a)(b-a) \) も自然数になります。

よって，\( 21(b+a)(b-a) \) は，\( 21 \) に自然数をかけた数なので，\( 21 \) の倍数になります。

\( b=5 \)

\( \sqrt{C} \) の値が整数となるのは，\( C \) がある整数の２乗になるときです。

（１）より，\( C=21(b+a)(b-a)=3 \times 7 \times (b+a)(b-a) \) なので，
\( C \) がある整数の２乗になり，もっとも小さい値になるのは，
　\( (b+a)(b-a)=21＝3 \times 7 \)（→ \( C=3 \times 7 \times 3 \times 7=21^2 \) ）
のときです。

\( b+a \) は，自然数 \( b \) に自然数 \( a \) を足した数，
\( b-a \) は，自然数 \( b \) から自然数 \( a \) を引いた数
なので，\( b+a>b-a \) になります。
つまり，\( (b+a)(b-a)=3 \times 7 \) のとき，
\( b+a=7，b-a＝3 \) になります。

この２つの式を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
b+a=7 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
b-a＝3 \;\; ･･･ \;\; ② \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( + \) ②
　\( 2b=10 \)
　 \( b=5 \)

\( a=11，b=12 \)

（１）より，\( C=21(b+a)(b-a) \) なので，
　　　　　　　　 \( C=483 \)
　\( 21(b+a)(b-a)=483 \)
　　 \( (b+a)(b-a)=23 \)
\( 23 \) を自然数の積として表すと，\( 23 \) は素数なので，\( 23 \times 1 \) となります。

このとき，\( b+a>b-a \) になることから，\( b+a=23，b-a＝1 \) なので，
連立方程式として解くと，\( a=11，b=12 \)

【参考：\( b+a=23，b-a＝1 \) を満たす \( a，b \) の値を連立方程式を使わずに求める】
　まず，\( b-a＝1 \) より，\( a，b \) は連続する自然数であることがわかります。
　次に，\( b+a=23 \) より，連続する自然数の和が \( 23 \) なので，
　\( a，b \) は \( 23 \) の半分に近い値であることがわかります。
　\( 23 \div 2=11.5 \) であることから，一方の自然数が \( 11 \) であると仮定すると，
　\( 23-11=12 \) となり，連続する自然数は \( 11 \) と \( 12 \) であり，
　\( b>a \) より，\( a=11，b=12 \) となります。

\( ∠QPR，∠PQR \) についても同じことがいえるので，\( △PQR \) は正三角形になっています。

よって，\( △PQR \) の面積は，
　\( △PQR=6\sqrt{3} \times (6+3) \times \dfrac{1}{2}=27\sqrt{3} \; (cm^2) \)

\( 54+54\sqrt{3} \; cm^3 \)

【方針】
求める三角すいの高さは，図１の円すいの高さと等しいので三平方の定理から簡単に求められます。
つまり，\( △PQR \) の面積を求められればいいことになります。
\( △PQR \) の面積を求めるためには，底辺と高さを求める必要がありますが，
この問題では，長さは \( OP=OQ=OR=6 \; cm \) しか長さの情報がないので，
長さが計算しやすくなるような特徴的な角度を見つけることがポイントになります。

また，\( △OPQ，△OQR，△ORP \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠OPQ=∠OQP=\dfrac{180°-90°}{2}=45° \)
　\( ∠OQR=∠ORQ=\dfrac{180°-120°}{2}=30° \)
　\( ∠ORP=∠OPR=\dfrac{180°-150°}{2}=15° \)

\( y=\dfrac{9}{2} \)

\( y=4x \)

まず，点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くとき，点 \( Q \) はどこを動いているのかを確認します。

\( x \) の値によって，２点 \( P，Q \) がどこを動いているのかを場合分けして考えていきます。

【\( 8≦x≦12 \) の場合】
点 \( P \) が辺 \( BC \) 上を動くときなので，（２）の結果より，\( x \) と \( y \) の関係は \( y=4x \) で表されます。
よって，\( x=12 \) のときの \( y \) の値は，\( y=4 \times 12=48 \)
であり，\( (8，32) \) と \( (12，48) \) をつなぐ直線になります。

【\( 12≦x≦16 \) の場合】
点 \( P \) は辺 \( CD \) 上，点 \( Q \) は辺 \( FE \) 上を動きます。
辺 \( BC \) と辺 \( FE \) を延長した交点を \( G \) とすると，
　\( △APQ= \) 長方形 \( ABGF-(△AFQ+ \) 台形 \( ABCP+ \) 台形 \( QGCP) \)
となっています。

　台形 \( QGCP=\{ (20-x)+(x-12) \} \times 8 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　 \( =32 \; (cm^2) \)
となり，
　\( y=96-\{ (6x-72)+(2x-8)+32 \} \)
　　\( =-8x+144 \)
と表すことができます。
よって，\( x=16 \) のときの \( y \) の値は，\( y=-8 \times 16+144=16 \)
であり，\( (12，48) \) と \( (16，16) \) をつなぐ直線になります。

【\( 16≦x≦24 \) の場合】
点 \( P \) は辺 \( DE \) 上を動き，点 \( Q \) は点 \( E \) から動きません。

よって，\( x=24 \) のときの \( y \) の値は，\( y=-2 \times 24+48=0 \)
であり，\( (16，16) \) と \( (24，0) \) をつなぐ直線になります。

\( x=6，\dfrac{63}{4} \)

（３）のグラフは，\( x \) 秒後の \( △APQ \) の面積を \( y \; cm^2 \) として表したものなので，
（３）のグラフにおいて，\( y=18 \) となるときの \( x \) の値を求めればいいことになります。

（３）のグラフに \( y=18 \) の直線をかき加えると，
\( 0≦x≦8 \) の曲線及び \( 12≦x≦16 \) の直線の２本と交わります。

\( 0≦x≦8 \) の曲線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) なので，\( y=18 \) を代入すると，
　\( 18=\dfrac{1}{2}x^2 \)
　\( x^2=36 \)
　 \( x=6 \) (\( x>0 \) より)

\( 12≦x≦16 \) の直線の式は \( y=-8x+144 \) なので，\( y=18 \) を代入すると，
　\( 18=-8x+144 \)
　\( 8x=126 \)
　 \( x=\dfrac{63}{4} \)

　　　　

また，直径に対する円周角だから
　\( ∠ACE=90° \) ･･･ ➃
三角形の内角の和は \( 180° \) であることと，①，➃から
　\( ∠AEC=180°-∠ACE-∠CAE \)
　　　　　\( =90°-∠a \)
対頂角は等しいから
　\( ∠BEF=∠ACE=90°-∠a \) ･･･ ➄
➂，➄から
　\( ∠BFE=∠BEF \)
よって，２つの角が等しいから，
\( △BEF \) は二等辺三角形である。

中心角の大きさは弧の長さに比例するので，\( \dfrac{45°}{360°}=\dfrac{1}{8} \) より，
\( \stackrel{\huge\frown}{ BG } \) の長さは，円 \( O \) の円周の長さの \( \dfrac{1}{8} \) になります。

よって，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ BG }=\pi{} \times 4 \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{\pi{}}{2} \)

\( 6-2\sqrt{2} \; cm^2 \)

計算しにくい形の面積を求めるときは，計算しやすい形に変形（移動）できないか考えていきます。

補助線 \( BG，CG，OC，OG \) をひくと，斜線部分の面積は，ピンク \( + \) 紫 \( + \) 黄緑 と考えることができます。

以上のことから，ピンク \( + \) 紫 \( + \) 黄緑 の面積は，
　台形 \( OBDC-(△OBG+△OCG) \)
で求めることができます。

【ピンク \( + \) 紫 \( + \) 黄緑 の面積を求める】
ピンク \( + \) 紫 \( + \) 黄緑 の面積を \( S \) とすると，
　\( S= \) 台形 \( OBDC-(△OBG+△OCG) \)
　　\( =6-(\sqrt{2}+\sqrt{2}) \)
　　\( =6-2\sqrt{2} \; (cm^2) \)

\( -7 \)

\( =-12+5 \)
\( =-7 \)

\( y=3x-4 \)

\( -y=-3x+4 \)
　\( y=3x-4 \)

\( 2 \)

\( =(\sqrt{6})^2-2^2 \)
\( =6-4 \)
\( =2 \)

エ

反比例の関係を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \)（\( a \) は定数）になります。
ア～エのことがらを式で表すと次のようになります。
　ア　\( y=x^2 \; (cm^2) \)
　イ　\( y=60-x \; (cm) \)
　ウ　\( y=130x \; (m) \)
　エ　\( y=\dfrac{10}{x} \) (分)
よって，反比例の関係を表す式は，エ になります。

\( \dfrac{2}{9} \)

１回目にひいたくじを箱に戻してから２回目を引いているので，
１回目も２回目もそれぞれ３通りのくじの引き方があります。

\( x+2 \)

連続する３つの自然数において，
　真ん中の自然数は最も小さい自然数より \( 1 \) 大きい数
　最も大きい自然数は最も小さい自然数より \( 2 \) 大きい数
なので，最も小さい自然数を \( x \) とするとき，
最も大きい自然数は \( x+2 \) と表すことができます。

\( 3x^2+6x+5 \)

最も小さい自然数の２乗は \( x^2 \)
真ん中の自然数の２乗は \( (x+1)^2 \)
最も大きい自然数の２乗は \( (x+2)^2 \)
と表すことができるので， 連続する３つの自然数のそれぞれの２乗の和は，
　\( x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=x^2+(x^2+2x+1)+(x^2+4x+4) \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =3x^2+6x+5 \)

\( x=8 \)

　　\( 3x^2+6x+5=245 \)
　\( 3x^2+6x-240=0 \)
　　\( x^2+2x-80=0 \)
　\( (x-8)(x+10)=0 \)
　　　　　　　　 \( x=8 \) (\( x>0 \) より)

\( 130 \) 分

最頻値とは，最も度数が大きい階級の階級値のことです。
相対度数は，「ある階級の度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」で求められることから，
相対度数が最も大きい階級が最も度数が大きい階級になります，

表から，Ａ中学校で最も相対度数が大きい階級は \( 120 \) 分以上 \( 140 \) 分未満の階級です。
\( 120 \) 分以上 \( 140 \) 分未満の階級の階級値は \( \dfrac{120+140}{2}=130 \)（分）

\( 4 \) 人

相対度数は，「ある階級の度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」で求められます。
Ｂ中学校の \( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の生徒の人数を \( x \) 人とすると，
　\( x \div 20=0.20 \)
　　　 \( x=4 \)（人）

ア、ウ

ア ･･･ Ａ中学校の最頻値は（１）より \( 130 \) 分，Ｂ中学校の最頻値は \( 110 \) 分なので，正しい。

イ ･･･ 中央値は累積相対度数が \( 0,50 \) を含む階級に属しています。
　　　 Ａ中学校の累積相対度数は，
　　　　 \( 80 \) 分以上 \( 100 \) 分未満の階級では \( 0.48 \)
　　　　 \( 100 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級では \( 0.64 \)
　　　 なので，中央値は \( 100 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級に属しています。

　　　 Ｂ中学校の累積相対度数は，
　　　　 \( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の階級では \( 0.45 \)
　　　　 \( 80 \) 分以上 \( 100 \) 分未満の階級では \( 0.60 \)
　　　 なので，中央値は \( 80 \) 分以上 \( 100 \) 分未満の階級に属しています。

　　　 よって，Ａ中学校の方が中央値が大きいので，正しくない。

ウ ･･･ Ａ中学校の \( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の階級の度数を \( a \) 人とすると，
　　　　 \( a \div 50=0.14 \)
　　　　　　　\( a=7 \)（人）

　　　 Ｂ中学校の \( 60 \) 分以上 \( 80 \) 分未満の階級の度数を \( b \) 人とすると，
　　　　 \( b \div 20=0.20 \)
　　　　　　　\( b=4 \)（人）

　　　 よって，Ａ中学校の方が多いので，正しい。

エ ･･･ \( 60 \) 分未満の生徒の人数は，\( 40 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の累積度数として表れます。
　　　 （累積度数とは，その階級以下のすべての階級の度数の合計のことです。）
　　　 累積相対度数は，「ある階級の累積度数 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計」で求められます。

　　　 Ａ中学校の \( 40 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の累積相対度数は，
　　　　 \( 0.02+0.06+0.10=0.18 \)
　　　 なので，累積度数を \( c \) 人とすると，
　　　　 \( c \div 50=0.18 \)
　　　　　　　\( c=9 \)（人）

　　　 Ｂ中学校の \( 40 \) 分以上 \( 60 \) 分未満の階級の累積相対度数は，
　　　　 \( 0.00+0.10+0.15=0.25 \)
　　　 なので，累積度数を \( d \) 人とすると，
　　　　 \( d \div 20=0.25 \)
　　　　　　　\( d=5 \)（人）

　　　 よって，Ａ中学校の方が多いので，正しくない。

ア ･･･ \( 600 \)
イ ･･･ \( 300 \)

【Ａのみを使うとき( \( 0≦x≦5 \) )】
「Ａのみを使うとき，蓄電池の残量は \( 8 \) 時間で \( 1600 \; Wh \) から \( 0 \; Wh \) になる」のだから，
Ａは，\( 1 \) 時間あたり \( \dfrac{1600}{8}=200 \; (Wh) \) ずつ消費することがわかります。

ア ･･･ Ａのみをつないで，\( 5 \) 時間使うと，\( 200 \times 5=1000 \; (Wh) \) 消費するので，
　　　 残量は，\( 1600-1000=600 \; (Wh) \)

【Ｂのみを使うとき( \( 5≦x≦13 \) )】
\( 5 \) 時間後にＢに切り換えてから \( 13 \) 時間後までの \( 8 \) 時間で \( 600 \; Wh \) を
使い切っているので，Ｂは，\( 1 \) 時間あたり \( \dfrac{600}{8}=75 \; (Wh) \) ずつ消費することがわかります。

イ ･･･ Ｂのみをつないで，\( 4 \) 時間使うと，\( 75 \times 4=300 \; (Wh) \) 消費するので，
　　　 残量は，\( 600-300=300 \; (Wh) \)

\( y=-200x+1600 \)

Ａのみを使うとき，電池の残量は \( 1 \) 時間あたり \( 200 \; Wh \) ずつ減るので，
\( 0≦x≦5 \) の範囲におけるグラフは直線になります。

電池の残量（\( y \) の値）は \( 1 \) 時間あたり \( 200 \; Wh \) ずつ減るので，
傾きは \( -200 \) であり，\( (0，1600) \) を通ることから，切片の値は \( 1600 \) になります。
よって，この範囲における直線の式は \( y=-200x+1600 \)

\( y=-75x+975 \)

Ｂのみを使うとき，電池の残量は \( 1 \) 時間あたり \( 75 \; Wh \) ずつ減るので，
\( 5≦x≦13 \) の範囲におけるグラフも直線になります。

電池の残量（\( y \) の値）は \( 1 \) 時間あたり \( 75 \; Wh \) ずつ減るので，
傾きは \( -75 \) になります。
この直線の式を \( y=-75x+b \) とすると，\( (5，600) \) を通ることから，
\( x=5，y=600 \) を代入すると，
　\( 600=-75 \times 5+b \)
　\( 600=-375+b \)
　　 \( b=975 \)
よって，この範囲における直線の式は \( y=-75x+975 \)

（２）より，このグラフは \( (0，1600)，(5，600)，(13，0) \) の３点を通るので，
　　

\( 6 \) 時間 \( 12 \) 分後

Ａを使うと \( 1 \) 時間あたり \( 200 \; Wh \)，Ｂを使うと \( 1 \) 時間あたり \( 75 \; Wh \) ずつ
電池の残量が減ることから，Ａを使う時間を長くするほど電池を使い切るまでの時間は短くなります。
（参考として，最初からＢを使った場合と３時間後にＡからＢに切り換えた場合の直線を書いてみました）
つまり，Ａを使う時間を最も長くできるのは \( 11 \) 時間後にちょうど電池を使い切るときになります。

\( 11 \) 時間後にちょうど電池を使い切る場合に，ＡからＢに切り換える時間を \( t \) 時間後とし，
\( t≦x≦11 \) の範囲における直線の式を \( y=-75x+n \) とすると，\( (11，0) \) を通るので，
　\( 0=-75 \times 11+n \)
　\( n=825 \)
ここから，\( t \) 時間後の電池の残量を表す点は
\( y=-200x+1600 \) と \( y=-75x+825 \) の直線の交点になるので，
　\( -200t+1600=-75t+825 \)
　　　　　　\( 125t=775 \)
　　　　　　　 \( t=\dfrac{31}{5} \)（時間）

\( \dfrac{31}{5} \) 時間後を \( 6+\dfrac{1}{5} \) 時間後と考えると，
　\( \dfrac{1}{5} \) 時間 \( =\dfrac{1}{5} \times 60=12 \) 分
なので，求める時間は \( 6 \) 時間 \( 12 \) 分後