\( 56 \)

\( =6-2 \times (-25) \)
\( =6+50 \)
\( =56 \)

\( 2x+\dfrac{5}{2}y \)

\( =4x+2y-2x+\dfrac{1}{2}y \)
\( =2x+\dfrac{5}{2}y \)

\( -\sqrt{2} \)

\( =4\sqrt{2}-\dfrac{16 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}+3\sqrt{2} \)
\( =4\sqrt{2}-8\sqrt{2}+3\sqrt{2} \)
\( =-\sqrt{2} \)

\( 64 \)

\( A=x-y \) とすると，\( A=x-y=7-(-6)=13 \) であり，
与式 \( =A^2-10A+25 \)
　　 \( =(A-5)^2 \)
\( A=13 \) を代入すると，
　\( (A-5)^2=(13-5)^2=8^2=64 \)

\( x=0，\dfrac{11}{4} \)

　　　　　\( 4x^2=11x \)
　 \( 4x^2-11x=0 \)
　\( x(4x-11)=0 \)
　　　　　　\( x=0，\dfrac{11}{4} \)

【注意】
数学の世界では \( 0 \) で割ることはできないので，
両辺を \( 2x \) で割って
　\( 4x=11 \)
　 \( x=\dfrac{11}{4} \)
としてはいけません。

ただし，問題の条件等によって，\( x≠0 \) であることが明らかな場合は
両辺を \( x \) で割っての構いません。

\( y=-6x^2 \)

\( y \) が \( x \) の２乗に比例するとき，
\( y=ax^2 \) ( \( a \) は定数) の式で表すことができます。

\( y=ax^2 \) に \( x=3，y=-54 \) を代入すると，
　\( -54=a \times 3^2 \)
　　\( 9a=-54 \)
　　 \( a=-6 \)

よって，求める式は \( y=-6x^2 \)

時計回りに \( 270° \) だけ回転移動させるということは，
反時計回りに \( 90° \) だけ回転移動させるのと同じことです。

\( \dfrac{4}{5} \)

２個の赤玉に「赤１」，「赤２」，２個の白玉に「白１」，「白２」と名前をつけ，
取り出した２個の玉の色の組み合わせを樹形図に書き出し，
２個の玉の色が異なるところに ○ をつけてみます。
（１個ずつ２回に分けて取り出しているので，（赤１，赤２）と（赤２，赤１）はわけて考えます。）
２個の玉の色が異なる組み合わせは \( 16 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{16}{20}=\dfrac{4}{5} \)

【別解】
まず，取り出した２個の玉の色が同じになる確率を考えると，
２個の玉の色が同じになる組み合わせは
　（赤１，赤２），（赤２，赤１），（白１，白２），（白２，白１）
の \( 4 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
その確率は \( \dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5} \)
よって，取り出した２個の玉の色が異なる確率は
　\( 1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5} \)

【\( 30 \) 分以上 \( 90 \) 分未満の生徒数】
各階級の度数を合計すると，\( 8+8+9+8+9+10=52 \)（人）

【Ⅰ図に対応している箱ひげ図】
ヒストグラムから，最大値は \( 110 \) 分以上 \( 120 \) 分未満の階級に含まれているので，
あてはまるのは，（ア）と（エ）です。

全部で \( 120 \) 人分のデータを集計しているので，
第三四分位数は，学習時間が長い方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の値の平均値になります。
ヒストグラムから，
学習時間が \( 90 \) 分以上の生徒は \( 35 \) 人，\( 100 \) 分以上の生徒は \( 25 \) 人いるので，
学習時間が長い方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の値は \( 90 \) 分以上 \( 100 \) 分未満の階級に含まれています。
よって，あてはまるのは，（ア）になります。

（イ），（オ）

（ア） ･･･ Ａ組の人数は \( 30 \) 人なので，
　　　　　 中央値は，学習時間が短い方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の値の平均値になります。
　　　　　 箱ひげ図から中央値は約 \( 68 \) 分になっていますが，
　　　　　 \( 15 \) 番目の値が \( 56 \) 分，\( 16 \) 番目の値が \( 80 \) 分の場合でも
　　　　　 平均値は \( \dfrac{56+80}{2}=68 \)（分）になるので，
　　　　　 「学習時間が \( 60 \) 分以上 \( 70 \) 分未満の生徒が \( 1 \) 人以上いる」とは限りません，

（イ） ･･･ Ｂ組の箱ひげ図から，第三四分位数は \( 80 \) 分以上になっています。
　　　　　 Ｂ組の人数は \( 30 \) 人なので，第三四分位数は，学習時間が長い方から \( 8 \) 番目の値です。
　　　　　 よって，学習時間が \( 80 \) 分以上の生徒が \( 8 \) 人以上いることになります。

（ウ） ･･･ Ｃ組の箱ひげ図から，最大値が \( 115 \) 分になっていますが，「\( 1 \) 人だけ」とはいえません。

（エ） ･･･ ４つの箱ひげ図から，Ｄ組だけが第一四分位数が，\( 40 \) 分以上になっています。
　　　　　 第一四分位数は，学習時間が短い方から \( 8 \) 番目の値になるので，
　　　　　 Ｄ組にいる学習時間が \( 0 \) 分以上 \( 40 \) 分未満の生徒数は，\( 7 \) 人以下です。
　　　　　 対して，Ａ～Ｃ組は，第一四分位数が，\( 40 \) 分未満であることから，
　　　　　 学習時間が \( 0 \) 分以上 \( 40 \) 分未満の生徒数は，\( 8 \) 人以上です。
　　　　　 よって，Ｄ組が最も多いというのは正しくありません。

（オ） ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱の長さで比較することができます。
　　　　　 また，範囲の大きさは，箱ひげ図全体の長さで比較することができます。
　　　　　 箱の長さが最も長いのはＡ組，箱ひげ図全体の長さが最も短いのもＡ組になっています。

地点Ｐから地点Ｑまでの道のり ･･･ \( 9000 \; m \)
\( 21≦x≦46 \) のときの式 ･･･ \( y=200x+5100 \)

問題の条件とグラフから，Ａさんが地点Ｑに到着したのは，スタートから \( 21 \) 分後です。

地点Ｑを表す座標は \( (21，9300) \)，
ゴール地点を表す座標は \( (46，14300) \) なので，
求める式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{14300-9300}{46-21}=200 \)
\( y=200x+b \) に \( x=21，y=9300 \) を代入すると，
　\( 9300=200 \times 21+b \)
　　　\( b=9300-4200=5100 \)
よって，求める式は \( y=200x+5100 \)

\( 12300 \; m \)

Ｂさんは，地点Ｐから地点Ｑまでの \( 9000 \; m \) を分速 \( 500 \; m \) で走ったので，
かかった時間は \( \dfrac{9000}{500}=18 \)（分）であり，
Ｂさんが地点Ｑに到着したのは，スタートから \( 28+6=24 \)（分後）になります。
ここから，Ｂさんが地点Ｑに到着した時点を表す座標は \( (24，9300) \) になります。

ＡさんがＢさんに追いつかれた時間と場所は，２本の直線の交点，
つまり，２本の直線の式を連立方程式としたときの解として表れるので，
　\( 200x+5100=250x+3300 \)
　　　　　 \( 50x=1800 \)
　　　　　　 \( x=36 \)
\( y=200x+5100 \) に代入すると，
　\( y=200 \times 36+5100 \)
　　\( =12300 \; (m) \)

\( 2\sqrt{21} \; cm \)

\( 9 \; cm^2 \)

\( △EBC \) は直角二等辺三角形なので，
　\( CE=\sqrt{2}BE=6\sqrt{2} \; (cm) \)
線分 \( FG \) は線分 \( CE \) の垂直二等分線なので，
　\( CG=\dfrac{1}{2}CE=3\sqrt{2} \; (cm) \)
\( △CFG \) は直角二等辺三角形なので，
　\( FG=CG=3\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，\( △CFG \) の面積は，
　\( △CFG=3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=9 \; (cm^2) \)

\( CI=\dfrac{24}{5} \; cm \)

\( \dfrac{13}{5} \; cm^2 \)

四角形 \( FGJI \) の面積を直接求めるのは難しいので，
（１）で求めた \( △CFG \) の面積から \( △CIJ \) の面積をひく方法で考えます。

よって，四角形 \( FGJI \) の面積は，
　四角形 \( FGJI=△CFG-△CIJ \)
　　　　　　　　\( =9-\dfrac{32}{5} \)
　　　　　　　　\( =\dfrac{13}{5} \; (cm^2) \)

\( 10 \) 本

\( 820 \) 本

\( 41 \) 個の点に \( A，B，C，･･･ ，Z，AA，･･･，AN，AO \) と名前をつけると，
　点 \( A \) から引くことができる弦は \( 40 \) 本
　点 \( B \) から引くことができる弦は \( 39 \) 本
　点 \( C \) から引くことができる弦は \( 38 \) 本
　･･･
　点 \( AN \) から引くことができる弦は \( 1 \) 本
なので，弦の本数は，
　\( 40+39+38+ \; ･･･ \; +3+2+1=41 \times 20=820 \)（本）

 

\( n=63 \)

（１），（２）より，
弦の本数が \( 1953 \) 本であるときの点の個数を \( n \) 個とすると，
\( 1953 \) は \( 1 \) から \( n-1 \) までの和になります。

\( 1 \) から \( m \) までの和は，
　\( 1+2+3+ \; ･･･ \; +m-1+m=\dfrac{m(m+1)}{2} \)
の形で表すことができるので，\( m=n-1 \) を代入すると，
\( 1 \) から \( n-1 \) までの和は，
　\( 1+2+3+ \; ･･･ \; +(n-2)+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2} \)
と表すことができます。

よって，
　\( (n-1)+(n-2)+(n-3)+ \; ･･･ \; +3+2+1=1953 \)
　　　　　\( \dfrac{n(n-1)}{2}=1953 \)
　　　　　 \( n(n-1)=3906 \)
　　 \( n^2-n-3906=0 \)
　\( (n+62)(n-63)=0 \)
　　　　　　　　　\( n=63 \) (\( n≧2 \) より)

 

\( -9 \)

\( =-27+16 \times \dfrac{9}{8} \)
\( =-27+18 \)
\( =-9 \)

\( \dfrac{3x-5}{2} \)

\( =\dfrac{2(2x-6)-(x-7)}{2} \)
\( =\dfrac{4x-12-x+7}{2} \)
\( =\dfrac{3x-5}{2} \)

\( 5x^2 \)

\( =\dfrac{2x^3y^3}{5} \times \left( -\dfrac{1}{2y} \right) \times \left( -\dfrac{25}{xy^2} \right) \)
\( =\dfrac{2x^3y^3 \times 25}{5 \times 2y \times xy^2} \)
\( =5x^2 \)

\( -2 \)

\( c=\dfrac{a-8b}{6} \)

\( 6c=a-8b \)
 \( c=\dfrac{a-8b}{6} \)

\( 11 \)

例として，\( 3.14 \) の整数部分は \( 3 \)，小数部分は \( 0.14 \) になります。

\( \sqrt{100}=10，\sqrt{121}=11，\sqrt{144}=12 \) なので，
\( 11=\sqrt{121}<\sqrt{125}<\sqrt{144}=12 \) になります。
つまり，\( \sqrt{125}=11.??? \) と表されるので，
\( \sqrt{125} \) の整数部分の値は \( 11 \) になります。

\( x=\dfrac{9±\sqrt{57}}{2} \)

\( 2x^2-18x+12=0 \)
\( x^2-9x+6=0 \)
解の公式より
　\( x=\dfrac{-(-9)±\sqrt{(-9)^2-4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{9±\sqrt{57}}{2} \)

ある階級の累積相対度数は，
その階級以下の階級の度数の合計 \(  \div  \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

\( \boxed{\phantom{　}X\phantom{　}} \)
\( 10 \) 回以上 \( 13 \) 回未満の階級の累積相対度数は，\( 1 \div 25=0.04 \)
\( 10 \) 回以上 \( 13 \) 回未満の階級と \( 13 \) 回以上 \( 16 \) 回未満の階級の
度数の合計を \( 1+X \) とすると，
\( 13 \) 回以上 \( 16 \) 回未満の階級の累積度数は，\( (1+X) \div 25=0.04 \)
と表すことができるので，
　 \( 1=1+X \)
　\( X=0 \)

\( \boxed{\phantom{　}Y\phantom{　}} \)
すべての階級の度数の合計を考えると，
　\( 1+0+2+4+3+5+Y+2+1=25 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( Y=7 \)

\( \boxed{\phantom{　}Z\phantom{　}} \)
\( 28 \) 回以上 \( 31 \) 回未満の階級の度数の合計は
　\( 1+0+2+4+3+5+7=22 \)（人）
なので，累積相対度数は，
　\( Z=22 \div 25=0.88 \)

\( \dfrac{3}{16} \)

\( 100 \) 円硬貨２枚に「１００Ａ」「１００Ｂ」，\( 50 \) 円硬貨２枚に「５０Ａ」「５０Ｂ」と名前をつけます。

「５０Ａ」「５０Ｂ」の表裏の組み合わせは
　\(  ( \)５０Ａ，５０Ｂ\( )=( \)表，表\(  ) \)，\(  ( \)表，裏\(  ) \)，\(  ( \)裏，表\(  ) \)，\(  ( \)裏，裏\(  ) \)
の \( 4 \) 通りで，
少なくとも１枚は表となる組み合わせは，
　\(  ( \)５０Ａ，５０Ｂ\( )=( \)表，表\(  ) \)，\(  ( \)表，裏\(  ) \)，\(  ( \)裏，表\(  ) \)
の \( 3 \) 通りです。
つまり，\( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が少なくとも１枚は表となる組み合わせは
　\(  ( \)１００Ａ，１００Ｂ，５０Ａ，５０Ｂ\( )=( \)表，表，表，表\(  ) \)，\(  ( \)表，表，表，裏\(  ) \)，\(  ( \)表，表，裏，表\(  ) \)
の３通りです。
すべての組み合わせは \( 2 \times 2 \times 2 \times 2=16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{16} \)

【別解】
４枚の硬貨の表裏の組み合わせを樹形図に書き出し，
\( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が１枚だけ表になる組み合わせと
\( 100 \) 円硬貨が２枚とも表で，\( 50 \) 円硬貨が２枚とも表になる組み合わせのところに ○ をつけると，
○ がつく組み合わせは \( 3 \) 通り，すべての組み合わせは \( 2 \times 2 \times 2 \times 2=16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{16} \)

\( \dfrac{5}{8} \)

４枚の硬貨の合計金額は \( 0 \) 円以上 \( 300 \) 円以下の範囲にあります。
合計金額が「\( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満」に含まれない，
つまり，「\( 0 \) 円以上 \( 100 \) 円未満または \( 250 \) 円以上」に場合を考えると，
合計金額が \( 0 \) 円，\( 50 \) 円，\( 250 \) 円，\( 300 \) 円になるときです。

【合計金額が \( 0 \) 円になる場合】
４枚の硬貨がすべて裏のとき \( 1 \) 通りだけです。

【合計金額が \( 50 \) 円になる場合】
４枚のうち \( 50 \) 円硬貨１枚だけが表になるときなので，
あてはまる組み合わせは。\(  ( \)裏，裏，表，裏\(  ) \)，\(  ( \)裏，裏，裏，表\(  ) \) の \( 2 \) 通りです。

【合計金額が \( 250 \) 円になる場合】
４枚のうち \( 50 \) 円硬貨１枚だけが裏になるときなので，
あてはまる組み合わせは。\(  ( \)表，表，表，裏\(  ) \)，\(  ( \)表，表，裏，表\(  ) \) の \( 2 \) 通りです。

【合計金額が \( 300 \) 円になる場合】
４枚の硬貨がすべて表のとき \( 1 \) 通りだけです。

以上より，合計金額が「\( 0 \) 円以上 \( 100 \) 円未満または \( 250 \) 円以上」になる組み合わせは，
合計 \( 1+2+2+1=6 \) 通りで，その確率は \( \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} \)

よって，合計金額が \( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満になる確率は，
　\( 1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8} \)

【別解】
４枚の硬貨の表裏の組み合わせとそれぞれの場合の合計金額を樹形図に書き出し，
合計金額が \( 100 \) 円以上 \( 250 \) 円未満になるところに ○ をつけると，
○ がつく組み合わせは \( 10 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8} \)

\( y=\dfrac{1}{2}x+12 \)

よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+12 \)

\( C \left( 3，\dfrac{3}{2} \right) \)

\( △AOB \) と \( △ACB \) は辺 \( AB \) が共通なので，
等積変形の考え方から，\( OC//AB \) となるとき，\( △AOB \) と \( △ACB \) の面積が等しくなります。
つまり，「点 \( O \) を通り，直線 \( AB \) と平行な直線」と「点 \( A \) を通り，傾きが \( -\dfrac{5}{6} \) である直線」の交点
が求める点 \( C \) になります。

点 \( C \) は２本の直線 \( y=\dfrac{1}{2}x \) と \( y=-\dfrac{5}{6}x+4 \) の交点なので，
　\( \dfrac{1}{2}x=-\dfrac{5}{6}x+4 \)
　 \( 3x=-5x+24 \)
　 \( 8x=24 \)
　　\( x=3 \)
\( y=\dfrac{1}{2}x \)  に代入すると，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 3=\dfrac{3}{2} \)

よって，点 \( C \) の座標は \( C \left( 3，\dfrac{3}{2} \right) \)

\( BD=3 \; cm \)
\( EG=\dfrac{3}{4} \; cm \)

 

\( 156\sqrt{3} \; cm^3 \)

四角形 \( ABFE \) は長方形なので，\( BF=AE=4 \; cm \) であり，
立体 \( IJKL-BCGF \) の体積は
　立体 \( IJKL-BCGF= \)台形 \( IBCJ \times BF=39\sqrt{3} \times 4=156\sqrt{3} \; (cm^3) \)

\( 5\sqrt{3} \; cm \)

この容器の容積は
　\( \left\{ (8+16) \times 4\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \right\} \times 4=192\sqrt{3} \; (cm^3) \)
なので，水が入っていない部分の体積は，
　\( 192\sqrt{3}-156\sqrt{3}=36\sqrt{3} \; (cm^3) \)
になります。

（２）と同様に，水が入っていない部分を立体として考え，\( AE=4 \; cm \) を高さとすると，
底面の面積は
　\( 36\sqrt{3} \div 4=9\sqrt{3} \; (cm^2) \)
になります。

このとき，\( BS=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 6=3\sqrt{3} \; (cm) \) で，
容器全体の高さは \( \dfrac{\sqrt{3}}{2}BC=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 16=8\sqrt{3} \; (cm) \) なので，
容器の底から水面までの高さは \( 8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=5\sqrt{3} \; (cm) \)

\( 20 \) 音目 ･･･ （オ） ソ
ホールＣを閉じた回数 ･･･ \( 16 \) 回

Ⅱ図と表をくっつけた別表をかくと下のようになります。

【\( 20 \) 音目の音】
\( 1 \) 音目から順に，
　ド→レ→ミ→ファ→ソ→ド→レ→ミ→ファ→ソ→ ･･･
と５音ずつ繰り返され，５の倍数のときの音が「ソ」になるので，
\( 20 \) 音目を吹いたときの音は「ソ」になります。

【ホールＣを閉じた回数】
ホールＣが開いている回数の方が少ないので，そちらに注目すると，
上の表から，ホールＣが開いているのは「ミ」の音のときだけで，
　\( 3 \) 音目 → \( 8 \) 音目 → \( 13 \) 音目 → \( 18 \) 音目 → ･･･
と４回が開いていると判断できるので，
\( 20 \) 音目までに閉じた回数は \( 20-4=16 \)（回）になります。

ホールＡを閉じた回数 ･･･ \( 91 \) 回
ホールＤを閉じた回数 ･･･ \( 23 \) 回

【ホールＡを閉じた回数】
ホールＡが開いている回数の方が少ないので，そちらに注目すると，
上の表から，
　\( 5 \) 音目 → \( 10 \) 音目 → \( 15 \) 音目 → ･･･
と５の倍数（ソの音）のときだけ開いていると判断できます。

ド→レ→ミ→ファ→ソの５音を１セットと考えると，
\( 113=5 \times 22+3 \) 音目は \( 23 \) セット目の３番目の音になります。
\( 113 \) 以下の数で最も大きい５の倍数は \( 110=5 \times 22 \) なので，
ホールＡが開いている（「ソ」の音を吹く）のは \( 22 \) 回であり，
\( 113 \) 音目までに閉じた回数は \( 113-22=91 \)（回）になります。

【ホールＤを閉じた回数】
上の表から，
　\( 1 \) 音目 → \( 6 \) 音目 → \( 11 \) 音目 → ･･･
と各セットの最初（「ド」の音）のときだけ閉じていると判断できます。

ド→レ→ミ→ファ→ソの５音を１セットと考えると，
\( 113=5 \times 22+3 \) 音目は \( 23 \) セット目の３番目の音になります。
よって，
ホールＤが閉じている（「ド」の音を吹く）のは \( 23 \) 回になります。

\( n=35 \)

まず，\( (5n^2+5n-7) \) 音目が何の音になるかを考えます。
ド→レ→ミ→ファ→ソの５音を１セット，つまり，５の倍数に注目すると，
　\( 5n^2+5n-7=5n^2+5n-5-2 \)
　　　　　　　　\( =5(n^2+n-1)-2 \)
と表すことができ，５の倍数番目の音（「ソ」の音）の２つ前
つまり，「ミ」の音になります。

次に，ホールＡとホールＢを閉じた回数とその差を表にすると下のようになります。

ここから，
　１セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 0 \) 回
　２セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 1 \) 回
　３セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 2 \) 回
　･･･
　１２５９セット目の「ミ」の音のとき，ＡとＢの差は \( 1258 \) 回
になります。

１２５９セット目の「ミ」の音は，
\( 5 \times 1258+3=6293 \)（音目）または，\( 5 \times 1259-2=6293 \)（音目）
になるので，
　　　\( 5n^2+5n-7=6293 \)
　\( 5n^2+5n-6300=0 \)
　　\( n^2+n-1260=0 \)
　\( (n-35)(n+36)=0 \)
　　　　　　　　　\( n=35 \) (\( n>0 \) より)

\( -42 \)

\( =-36+4 \times \left( -\dfrac{3}{2} \right) \)
\( =-36-6 \)
\( =-42 \)

\( 2b^2 \)

\( =\dfrac{4ab^2 \times 3ab}{6a^2b} \)
\( =2b^2 \)

\( -8\sqrt{3} \)

\( =4\sqrt{3}-3\sqrt{2} \times 2\sqrt{6} \)
\( =4\sqrt{3}-6\sqrt{12} \)
\( =4\sqrt{3}-12\sqrt{3} \)
\( =-8\sqrt{3} \)

\( x=2，y=-5 \)

\( \left\{ \begin{array}{}
4x+3y=-7 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x+4y=-14 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀\(  \times 4- \)➁ \(  \times 3 \)
　\( 7x=14 \)
　　\( x=2 \)
➀ に代入すると，
　\( 4 \times 2+3y=-7 \)
　　　　　\( 3y=-15 \)
　　　　　　\( y=-5 \)

\( 24 \)

\( xy^2-x^2y=xy(y-x) \)

\( x=\sqrt{5}+3，y=\sqrt{5}-3 \) より，
　\( xy=(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)=5-9=-4 \)
　\( y-x=(\sqrt{5}-3)-(\sqrt{5}+3)=-6 \)
なので，
\( xy(y-x)=-4 \times (-6)=24 \)

１０個

よって，\( DE=FD+FG+EG=4+6+6=16 \; (cm) \)

３年生のクラスごとの最高記録を回数の少ない方から順に並べ替えると，
　\( 24，28，28，31，33，35，39，40 \)

全部で８クラスなので，
第一四分位数は少ない方から２番目と３番目の記録の平均値であり，\( \dfrac{28+28}{2}=28 \)（回）
中央値は少ない方から４番目と５番目の記録の平均値であり，\( \dfrac{31+33}{2}=32 \)（回）
第三四分位数は少ない方から６番目と７番目の記録の平均値であり，\( \dfrac{35+39}{2}=37 \)（回）

\( 91\pi{} \; cm^3 \)

円柱の体積 \( =\pi{} \times 5^2 \times 3=75\pi{} \; (cm^3) \)
円すいの体積 \( =\pi{} \times 4^2 \times 3 \times \dfrac{1}{3}=16\pi{} \; (cm^3) \)
なので，
立体 \( X \) の体積 \( =75\pi{}+16\pi{}=91\pi{} \; (cm^3) \)

\( 84\pi{} \; cm^2 \)

よって，立体 \( X \) の表面積は，
　\( 25\pi{}+30\pi{}+20\pi{}+9\pi{}=84\pi{} \; (cm^2) \)

\( \dfrac{5}{9} \)

真人さんが出すカードと有里さんが出すカードの組み合わせを樹形図として書き，
真人さんが勝つ組み合わせのところに ○ をつけてみます。
真人さんが勝つ組み合わせは５通り，すべての組み合わせは９通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{9} \)

（イ），（ウ），（エ）

まず，\( 4 \) と書かれたカードを袋 \( X \) に追加したとき，
真人さんが勝つ組み合わせと有里さんが勝つ組み合わせはそれぞれ６通りずつなので，
それぞれの勝つ確率は等しくなります。

ここから，袋 \( Y \) にカードを追加するとき，
真人さんと有里さんそれぞれの勝つ確率が等しくなるためには，
真人さんが勝つ組み合わせと有里さんが勝つ組み合わせが同じ数だけ増えればいいことになります。
\( 2，5，7，8，10，13 \) のカードを追加したときの出すカードの組み合わせを樹形図に書いてみると，
\( 5，7，8 \) のカードを追加したときに，真人さんが勝つ組み合わせと有里さんが勝つ組み合わせが
２通りずつ増えることになります。

\( y=\dfrac{1}{2} \)
（ウ）

\( 0≦x≦6 \) の範囲では，\( AP=DQ=x \; cm \) なので，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \)
\( x=1 \) のとき，\( y=\dfrac{1}{2} \times 1^2=\dfrac{1}{2} \)
\( 6≦x≦12 \) の範囲では，底辺，高さともに \( 6 \; cm \) で一定なので，\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
\( 12≦x≦18 \) の範囲では，\( AP=6 \; cm \) で一定，\( AQ=18-x \; cm \) なので，\( y=-3x+54 \)
よって，あてはまるグラフは（ウ）

\( x=3，16 \)

\( 8-4\sqrt{3} \; cm \)

\( △ABE \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形であり，\( AE=4 \; cm \) より，
　\( AB=\sqrt{3}AE=4\sqrt{3} \; (cm) \)
なので，
　\( BA=BF=4\sqrt{3} \; cm \)

よって，
　\( EF=BE-BF=8-4\sqrt{3} \; (cm) \)

\( 8\sqrt{3}-12 \; cm^2 \)

\( △OBG \) と \( △EAF \) において，
　\( ∠OBG=∠EAF，∠AEF=∠BOG，BO=AE=4 \; cm \)
より，\( △OBG≡△EAF \)

対応する辺の長さは等しいので，（２）より，
　\( OG=EF=8-4\sqrt{3} \; cm \)

よって，\( △OBG \) の面積は，
　\( △OBG=OG \times BH \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =(8-4\sqrt{3}) \times 2\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =8\sqrt{3}-12 \; (cm^2) \)

\( 25 \) 枚

１番目の図形 ･･･ \( 1 \times 1=1 \)（枚）
２番目の図形 ･･･ \( 2 \times 2=4 \)（枚）
３番目の図形 ･･･ \( 3 \times 3=9 \)（枚）
４番目の図形 ･･･ \( 4 \times 4=16 \)（枚）
５番目の図形 ･･･ \( 5 \times 5=25 \)（枚）

\( 312 \) 枚

縦１列の並び，横１列の並び（下の図のだ円１つ）をそれぞれ１グループと考えると，
　１番目の図形 ･･･ \( 1 \)枚 \( \times \;\; 2 \)グループ \( \times \;\; 2 \)色 \( =4 \)（枚）
　２番目の図形 ･･･ \( 2 \)枚 \( \times \;\; 3 \)グループ \( \times \;\; 2 \)色 \( =12 \)（枚）
　３番目の図形 ･･･ \( 3 \)枚 \( \times \;\; 4 \)グループ \( \times \;\; 2 \)色 \( =24 \)（枚）

となるので，
　１２番目の図形 ･･･ \( 12 \)枚 \( \times \;\; 13 \)グループ \( \times \;\; 2 \)色 \( =312 \)（枚）

\( n=18 \)

（１）より，\( n \) 番目の図形のタイルＡの枚数は，\( n^2 \) 枚
（２）より，\( n \) 番目の図形のタイルＢの枚数は，\( 2n(n+1) \) 枚
と表すことができるので，
タイルＡの枚数とタイルＢの枚数の差が \( 360 \) 枚であるとき，
　　\( 2n(n+1)-n^2=360 \)
　　 \( n^2+2n-360=0 \)
　\( (n-18)(n+20)=0 \)
　　　　　　　　　\( n=18，-20 \)
\( n>0 \) より，あてはまるのは \( n=18 \)

\( 81 \)

\( =-9 \times (7-16) \)
\( =-9 \times (-9) \)
\( =81 \)

\( -\dfrac{5}{24}y \)

\( =\dfrac{4(3x-2y)-3(4x-y)}{24} \)
\( =\dfrac{12x-8y-12x+3y}{24} \)
\( =-\dfrac{5}{24}y \)

\( 11\sqrt{2} \)

\( =3 \times 5\sqrt{2}-\sqrt{2}-3\sqrt{6} \div \sqrt{3} \)
\( =15\sqrt{2}-\sqrt{2}-3\sqrt{2} \)
\( =11\sqrt{2} \)

\( x=3，y=\dfrac{1}{3} \)

\( \left\{ \begin{array}{}
2x-3y=5 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x-(4x-6y)=-1 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁より，
\( -x+6y=-1 \) ･･･ ➁’
➀\( \times 2 \)\( + \) ➁’
　\( 3x=9 \)
　 \( x=3 \)
➁’に代入すると，
　\( -3+6y=-1 \)
　　　　\( 6y=2 \)
　　　　 \( y=\dfrac{1}{3} \)

\( a=9 \)

\( y=-2x^2 \) において，
　\( x=a \) のとき，\( y=-2a^2 \)
　\( x=a+2 \) のとき，\( y=-2(a+2)^2 \)
なので，変化の割合を \( a \) を使って表すと，
　\( \dfrac{\{-2(a+2)^2 \}-(-2a^2)}{(a+2)-a}=\dfrac{-2\{(a+2)^2-a^2 \}}{2} \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =-4a-4 \)
よって，変化の割合の関係は，
　\( -4a-4=-40 \)
　　　\( -4a=-36 \)
　　　　 \( a=9 \)

\( 4x^2+4xy+y^2-25 \)

\( 2x+y=A \) とすると，
与式 \( =(A+5)(A-5) \)
　　 \( =A^2-25 \)
　　 \( =(2x+y)^2-25 \)
　　 \( =4x^2+4xy+y^2-25 \)

\( x=\dfrac{-1±\sqrt{7}}{6} \)

この２次方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) とすると，\( a=6，b=2，c=-1 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-2±\sqrt{2^2-4 \times 6 \times (-1)}}{2 \times 6} \)
　　\( =\dfrac{-2±\sqrt{28}}{12} \)
　　\( =\dfrac{-2±2\sqrt{7}}{12} \)
　　\( =\dfrac{-1±\sqrt{7}}{6} \)

\( \dfrac{1}{6} \)

２本のあたりくじに「あ１，あ２」，２本のはずれくじに「は１，は２」と名前をつけ，
３人がひいたくじの組み合わせを樹形図に書いてみると，
花子さんだけがあたりくじをひく組み合わせは４通り，すべての組み合わせは２４通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6} \)

\( a=2，b=14 \)

平均値は，「すべてのデータの合計値 \( \div \) データの個数」で求められるので，
「すべてのデータの合計値 \( = \) 平均値 \(  \times  \) データの個数」で求めることができます。

拾ったペットボトルの本数の平均値は８本なので，
生徒９人が拾ったペットボトルの本数の合計は，\( 8 \times 9=72 \)（本）であり，
　\( 3+9+15+6+11+8+4+a+b=72 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( a+b=16 \)

\( a+b=16 \) を満たす \( (a，b) \; (0<a<b) \) の組み合わせは，
\( (a，b)=(1，\fbox{15})，(2，14)，(\fbox{3}，13)，(\fbox{4}，12)，(5，\fbox{11})，(\fbox{6}，10)，(7，\fbox{9}) \)
であり，
\( 3，9，15，6，11，8，4 \) をどれも使わない組み合わせは，\( a=2，b=14 \)

\( 13 \) 本

四分位範囲は，「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求められます。
先生を含めて合計１０人のデータを集めたので，
第一四分位数は少ない方から３番目の人の本数，
第三四分位数は少ない方から８番目（多い方から３番目）の人の本数
になります。

生徒９人がそれぞれ拾ったペットボトルの本数を少ない順に並べると，
　\( 2，3，4，6，8，9，11，14，15 \) 
となるので。
少ない方から３番目の人の本数が \( 4 \) 本，多い方から３番目人の本数が \( 11 \) 本であると仮定して
四分位範囲を求めると，\( 11-4=7 \)（本）となり，あてはまりません。
ここから，第一四分位数の \( 4 \) 本，第三四分位数の \( 11 \) 本のどちらかは間違っているとわかります。

ここで，第一四分位数の \( 4 \) 本が正しいと仮定すると，
第三四分位数は \( 4+9=13 \)（本）になるので，
先生が拾ったペットボトルの本数を \( 13 \) 本として，拾った本数の順番に書き加えると，
　\( 2，3，4，6，8，9，11，\fbox{13}，14，15 \) 
となり，多い方から３番目になっているのであてはまります。

次に，第三四分位数の \( 11 \) 本が正しいと仮定すると，
第一四分位数は \( 11-9=2 \)（本）になります。
先生が拾ったペットボトルの本数を \( 2 \) 本として，拾った本数の順番に書き加えると，
　\( 2，\fbox{2}，3，4，6，8，9，11，14，15 \)
先生が拾ったペットボトルの本数を \( 1 \) 本として，拾った本数の順番に書き加えると，
　\( 1，\fbox{2}，3，4，6，8，9，11，14，15 \) 
となり，どちらにしても少ない方から３番目にならないのであてはまりません。

よって，先生が拾ったペットボトルの本数は \( 13 \) 本であったとわかります。

\( 2\sqrt{2} \; cm \)

正八面体は，すべての辺の長さが等しく，
合同な四角すいを上下ひっくり返してくっつけた形になっているので，
線分 \( BD \) と \( CE \) の交点を点 \( H \) とすると，
\( AH=\dfrac{1}{2}AF=2 \; cm \)
になっています。

\( \dfrac{4}{3} \; cm^3 \)

四角形 \( BCDE \) は正方形で，１辺の長さは \( 2\sqrt{2} \; cm \) なので，
　\( BD=\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}=4 \; (cm)，BH=\dfrac{1}{2}BD=2 \; (cm) \)
正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，\( EH=BH=2 \; cm \)
また，\( FH=\dfrac{1}{2}AF=2 \; (cm) \) なので，
三角すい \( HBFE \) の体積は，
　\( \left( 2 \times 2 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 2 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3} \; (cm^3) \)

\( \dfrac{4\sqrt{3}}{3} \; cm \)

以上より，三角すい \( ABCF \) の高さを \( h \; cm \) すると，体積を表す関係式は，
　三角すい \( ABCF=2\sqrt{3} \times h \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　\( \dfrac{8}{3}=2\sqrt{3} \times h \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　 \( 8=2\sqrt{3}h \)
　　　　　　　　 \( h=\dfrac{4\sqrt{3}}{3} \; (cm) \)

\( a \) の値 ･･･ \( a=12 \)
\( △BDC \) の面積 ･･･ \( 36 \)

よって，点 \( B，C \) の座標は，\( B(4，3)，C(-4，-3) \)
点 \( B，C \) は，原点 \( O \) について対称な点なので，辺 \( BC \) は原点を通ります。

また，直線 \( AB \) は \( A(2，6)，B(4，3) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{3-6}{4-2}=-\dfrac{3}{2} \)
直線 \( AB \) の式を \( y=-\dfrac{3}{2}x+b \) とし，\( x=2，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=-\dfrac{3}{2} \times 2+b \)
　\( b=9 \)
よって，点 \( D \) の座標は，\( D(0，9) \)

以上より，
　\( △BDC=△BOD+△COD \)
　　　　　\( =9 \times 4 \times \dfrac{1}{2}+9 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( =36 \)

\( \dfrac{8}{5} \)

ここで，線分 \( OE \) をひくと，
四角形 \( COFE \) を \( △OEC \) と \( △OFE \) に分けることができます。

点 \( E \) は線分 \( CD \) の中点なので，\( x \) 座標の値は \( -2 \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標は，
　\( -2+\dfrac{18}{5}=\dfrac{8}{5} \)

\( \dfrac{7}{4} \; cm \)

\( \dfrac{200}{39} \; cm \)

\( AB=6 \; cm，AD=8 \; cm \) より，
　\( BD^2=6^2+8^2=100 \)
　 \( BD=10 \; (cm) \) (\( BD>0 \) より)
点 \( G \) は線分 \( BD \) の中点なので，\( BG=5 \; cm \)

\( BC=8 \; cm，CF=EF=\dfrac{7}{4} \; cm \) より，\( BF=\dfrac{25}{4} \; cm \) なので，
　　\( BF=BI+FI \)
　　\( \dfrac{25}{4}=x+\dfrac{7}{20} \left( 5-\dfrac{7}{20}x \right) \)
　　\( \dfrac{25}{4}=x+\dfrac{7}{4}-\dfrac{49}{400}x \)
　\( \dfrac{351}{400}x=\dfrac{18}{4} \)
　　　 \( x=\dfrac{200}{39} \; (cm) \)

 

\( 72 \) 個

数値ボックスに \( 4 \) を入力したとき，表示される矢印の個数は，
　右矢印の個数 \( =1+3+5+7=16 \)（個）
　上矢印の個数 \( =1+3+5+7=16 \)（個）
　左矢印の個数 \( =2+4+6+8=20 \)（個）
　下矢印の個数 \( =2+4+6+8=20 \)（個）
よって，４種類の矢印の個数の合計は，
　\( 16+16+20+20=72 \)（個）

\( 420 \) 個

入力した自然数を \( n \) とするとき，
表示される左矢印の個数は，\( n(n+1) \) と表すことができるので，
\( 20 \) を入力したときは，\( 20 \times 21=420 \)（個）

\( 55 \)

入力した自然数を \( n \) とするとき，表示される左矢印の個数は，
右矢印と上矢印がそれぞれ \( n^2 \) ，左矢印と下矢印がそれぞれ \( n(n+1) \) と表すことができるので，
　　　　　　　上 \( + \) 左 \( + \) 下 \( – \) 右 \( =6160 \)
　\( n^2+n(n+1)+n(n+1)-n^2=6160 \)
　　　　　　　　　　　　\( 2n(n+1)=6160 \)
　　　　　　　　　　　　 \( n(n+1)=3080=55 \times 56 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　 \( n=55 \)