エの展開図は赤の面が重なるので
立方体になりません。

点 \( P \) が直線 \( y=x \) 上の点となるのは，
\( x \) 座標と \( y \) 座標の値が等しいときなので，
　\( (a，b)=(1，1)，(2，2)，(3，3)， \)
　　　　　 \( (4，4)，(5，5)，(6，6) \)
の \( 6 \) 通りです。

また，
大きいさいころの出た目の数は \( 1～6 \) の \( 6 \) 通り，
小さいさいころの出た目の数も \( 1～6 \) の \( 6 \) 通り，
なので，
すべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通り

よって，求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

この円は \( 1<x≦4 \) の範囲では，
\( x \) 座標と \( y \) 座標の値が
ともに自然数になる点を通らないので，
あてはまる組み合わせは円周上にはありません。

点 \( P \) がこの円の内部にあるのは，
　\( (a，b)=(1，1)，(1，2)，(1，3)， \)
　　　　　 \( (2，1)，(2，2)，(2，3)， \)
　　　　　 \( (3，1)，(3，2) \)
の \( 8 \) 通りです。

すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)

\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠BAC=∠BDC=63° \)

（１）より，\( ∠BAC=∠BDC=63° \) で，
\( ∠BAC \) は \( △ACE \) の外角なので，
　\( ∠DCF=∠BAC-∠CEA=25° \)
\( ∠BFC \) は \( △DCF \) の外角なので，
　\( ∠BFC=∠BDC+∠DCF=88° \)

円すいの展開図において，
側面のおうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さは
等しくなります。

おうぎ形の半径を \( r_1 \)，底面の円の半径を \( r_2 \)，
おうぎ形の弧の長さ（底面の円の円周の長さ）をℓとすると，
おうぎ形の弧の長さは，ℓ \( =2\pi{} \times r_1 \times \dfrac{90°}{360°} \)
底面の円周の長さは，ℓ \( =2\pi{} \times r_2 \)
と表せるので，
　\( 2\pi{} \times r_1 \times \dfrac{90°}{360°}=2\pi{} \times r_2 \)
　　　　　\( \dfrac{1}{4}r_1=r_2 \)
　　　　　　\( r_1=4r_2 \)

手順１　２点 \( O’，A \) を通る直線を描く。
手順２　２点 \( O’，A \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( B，C \) とします。)
手順３　２点 \( B，C \) を通る直線を描く。
(直線 \( O’A \) との交点を \( D \) とします。)
手順４　２点 \( A，D \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( E，F \) とします。)
手順５　２点 \( E，F \) を通る直線を描く。
(直線 \( O’A \) との交点を \( G \) とします。)
手順６　点 \( A \) を中心に線分 \( GA \) を半径とする円弧を描く。

手順６の円弧と直線 \( O’A \) との交点が
求める点 \( O \) になります。

さらに，（１）より，\( O’A=4OA \) なので，
線分 \( O’A \) の垂直二等分線 \( m \) を描くことで，
\( DA=2OA \) となる点 \( D \) を作図できます。
（点 \( D \) は直線 \( m \) と直線 \( O’A \) の交点）

次に，線分 \( DA \) の垂直二等分線 \( n \) を描くことで，
\( GA=OA \) となる点 \( G \) を作図できます。
（点 \( G \) は直線 \( n \) と直線 \( O’A \) の交点）

最後に，点 \( A \) を中心に線分 \( GA \) を半径とする
円弧を描くと，直線 \( O’A \) との交点が求める点 \( O \)
になります。

点 \( Q \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
点 \( P \) と \( y \) 座標が等しいので，
\( x \) 座標は \( -3 \) であり，\( Q \left(-3，\dfrac{9}{2} \right) \)

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( PQ=RS=6 \) であり，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 6 \)
ここから，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，\( R(6，18) \)

２点 \( Q，R \) を通る直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
傾き \( a=\dfrac{18-\dfrac{9}{2}}{6-(-3)}=\dfrac{3}{2} \)
\( y=\dfrac{3}{2}x+b \) に \( x=6，y=18 \) を代入すると，
　\( 18=\dfrac{3}{2} \times 6+b \)
　 \( b=9 \)

点 \( P \) の \( x \) 座標が \( p \) のとき，
\( P，Q \) の座標は \( P \left( p，\dfrac{1}{2}p^2 \right)，Q \left( -p，\dfrac{1}{2}p^2 \right) \)
と表すことができます。

このとき，\( PQ \) の長さは \( 2p \) と表せるので，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 2p \) であり，
点 \( R \) の座標は \( R(2p，2p^2) \)
と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
点 \( S \) と点 \( R \) の \( y \) 座標は等しく，
\( S(0，2p^2) \) と表すことができ，
\( SH \) の長さは \( 2p^2-\dfrac{1}{2}p^2=\dfrac{3}{2}p^2 \)

よって，\( SH=2PQ \) となるとき，
　　　　\( \dfrac{3}{2}p^2=2 \times 2p \)
　　　　\( 3p^2=8p \)
　\( p(3p-8)=0 \)
　　　　　 \( p=\dfrac{8}{3} \) (\( p>0 \) より)

\( △EBF \) と \( △ECA \) において，
仮定より，\( ∠BEF=∠CEA=90° \) ･･･ ➀
\( △EBC \) は直角二等辺三角形なので，
　\( EB=EC \) ･･･ ②
\( △ABD \) は直角三角形なので，
　\( ∠EBF=90°-∠EAC \) ･･･ ③
\( △ECA \) は直角三角形なので，
　\( ∠ECA=90°-∠EAC \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠EBF=∠ECA \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EBF≡△ECA \)

（２）より，\( △EBF≡△ECA \) なので，
　\( BF=CA=15 \; cm \)
\( DF=x \; cm \) とすると，
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　　　　\( BD：CD=DA：DF \)
　　　\( (15+x)：6=9：x \)
　　　　 \( x^2+15x=54 \)
　　\( x^2+15x-54=0 \)
　\( (x-3)(x+18)=0 \)
　　　　　　　　\( x=3 \; (cm) \) ( \( x>0 \) より)

\( ∠FBE=∠FCD，∠FEB=∠FDC=90° \)
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EBF \) ∽ \( △DCF \)
相似比は，
　\( FB：FC=15：3\sqrt{5}=\sqrt{5}：1 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しく，
　\( △EBF：△DCF=(\sqrt{5})^2：1^2=5：1 \)

よって，
　\( △EBF=5△DCF \)
　　　　　\( =5 \times \left(3 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　\( =45 \; (cm^2) \)

 \( △OAM \) と \( △OPN \) において，
\( ∠AMO=∠PNO=90°，∠O \) 共通より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △OAM \) ∽ \( △OPN \)

\( OM=MN \) より，\( OM：ON=1：2 \) なので，
\( OA：OP=OM：ON=1：2 \)

\( △OAB \) ∽ \( △OPQ \) なので，
\( AB：PQ=OA：OP=1：2 \)

\( △OAB \) ∽ \( △OPQ \) より，
\( AB：PQ=1：4 \) のとき，
\( OM：ON=1：4 \) なので，
　\( OM：MN=OM：(ON-OM) \)
　　　　　　 \( =1：(4-1) \)
　　　　　　 \( =1：3 \)

　（ａ）　
直線 \( O’H \) の式を \( y=ax+n \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{1-n}{6-0}=\dfrac{1-n}{6} \)
なので，\( y=\dfrac{1-n}{6}x+n \)
\( x=10，y=p \) を代入すると，
　\( p=\dfrac{1-n}{6} \times 10+n \)
　　\( =\dfrac{5(1-n)}{3}+n \)
　　\( =-\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3} \)

　（ｂ）　
直線 \( O’F \) の式を \( y=bx+n \) とすると，
　傾き \( b=\dfrac{-1-n}{4-0}=\dfrac{-1-n}{4} \)
なので，\( y=\dfrac{-1-n}{4}x+n \)
\( x=10，y=q \) を代入すると，
　\( q=\dfrac{-1-n}{4} \times 10+n \)
　　\( =\dfrac{5(-1-n)}{2}+n \)
　　\( =-\dfrac{3}{2}n-\dfrac{5}{2} \)

手順１　２点 \( O，A \) を通る直線を描く。
手順２　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
（直線 \( OA \) との交点を点 \( C，D \) とします）
手順３　点 \( C，D \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( E \) とします）
手順４　２点 \( A，E \) を通る直線を描く。
手順５　２点 \( B，O \) を結ぶ線分を描く。
手順６　点 \( B，O \) を中心に円弧を描く。
（交点を点 \( F，G \) とします）
手順７　２点 \( F，G \) を通る直線を描く。
（線分 \( BO \) との交点を点 \( H \) とします）
手順８　点 \( H \) を中心に点 \( O \) を通る円弧を描く。
（円 \( O \) との交点を点 \( I，J \) とします）
手順９　２点 \( B，I \) を通る直線を描く。
手順１０　２点 \( B，J \) を通る直線を描く。

正方形の対角線はそれぞれの中点で交わるので，
点 \( A \) の \( x \) 座標を \( 13-t \)，
点 \( C \) の \( x \) 座標を \( 13+t \) とすると，
点 \( A \) は \( y=4x \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=4(13-t) \)
点 \( C \) は \( y=\dfrac{1}{2}x \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=\dfrac{1}{2}(13+t) \)
と表すことができます。

ここで，\( AB=BC \) より，
　　　　　　　　　　　\( AB=BC \)
\( \{ 4(13-t)-\dfrac{1}{2}(13+t) \}=\{ (13+t)-(13-t) \} \)
　　\( 8(13-t)-(13+t)=4t \)
　　　　　　　　\( -9t+91=4t \)
　　　　　　　　　　　\( 13t=91 \)
　　　　　　　　　　　　\( t=7 \)

\( △ABE \) と \( △ADC \) において，
\( △BEC \) の外角なので，
　\( ∠ABE=∠BEC+∠BCE \)
　　　　　\( =90°+∠BCE \) ･･･ ➀
また，
　\( ∠ADC=∠BDC+∠EDB \)
　　　　　\( =90°+∠EDB \) ･･･ ➁
弧 \( BE \) に対する円周角なので，
　\( ∠BCE=∠EDB \) ･･･ ➂
➀➁➂より，\( ∠ABE=∠ADC \) ･･･ ➃
　\( ∠A \) は共通 ･･･ ➄
➃➄より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABE \) ∽ \( △ADC \)

仮定より，\( ∠AEF=90° \) なので，
　\( ∠BEF=∠AEF-∠AEB \)
　　　　　\( =90°-∠AEB \) ･･･ ➀
\( △BDC \) において，\( ∠BDC=90° \) なので，
　\( ∠GBF=180°-∠BDC-∠BCD \)
　　　　　\( =90°-∠BCD \) ･･･ ➁
（２）より，\( △ABE \) ∽ \( △ADC \) なので，
　\( ∠AEB=∠BCD \) ･･･ ➂
①➁➂より，\( ∠BEF=∠GBF \)

\( ∠BEF=∠GBF，∠BFE \) は共通 より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △BEF \) ∽ \( △FBG \)

対応する辺の比は等しいので，
　　 \( EF：BF=BF：GF \)
　\( (2+1)：BF=BF：2 \)
　　　　　\( BF^2=6 \)
　　　　　 \( BF=\sqrt{6} \; (cm) \)

点 \( B \) から線分 \( DE \) に垂線をひき，交点を 点 \( G \) とすると，\( △ABC \) ∽  \( △BGA \) なので，
　\( AB：AC=BG：BE \)
　　　 \( 3：5=BG：4 \)
　　　　\( BG=\dfrac{12}{5} \; (cm) \)

\( △BDG \) において，三平方の定理より，
　\( DG^2=BD^2-BG^2 \)
　　　　\( =9-\dfrac{144}{25}=\dfrac{81}{25} \)
　 \( DG=\dfrac{9}{5} \; (cm) \)

\( DE=5 \; cm，DG=AG \) より，
　\( AE=DE-2DG \)
　　　 \( =5-2 \times \dfrac{9}{5} \)
　　　 \( =\dfrac{7}{5} \; (cm) \)

\( △ABD+△AEF+△ABF=△DBE \)，
\( △BCF+△ABF=△ABC，△DBE=△ABC \) なので，
　\( △ABD+△AEF+△ABF=△BCF+△ABF \)
　　　　　 \( △ABD+△AEF=△BCF \)
となっています。

また，
\( ∠AEF=∠BCF，∠AFE=∠BFC \) より，
\( △AEF \) ∽ \( △BCF \) であり，
相似比は，
　\( AE：BC=\dfrac{7}{5}：4=7：20 \)
となっています。

【方針】
直線 \( l \) と \( y \) 軸の交点を点 \( F \)，
直線 \( m \) と \( y \) 軸の交点を点 \( G \) とし，
さらに，点 \( F \) から直線 \( m \) に垂線をひき，
交点を点 \( H \) とします。

赤の三角形と緑の三角形は相似であり，
線分 \( FH \) は \( △ADB \) の高さと等しいので，
\( △ADB \) の高さを求めると，
辺の比を用いて \( FG \) を求めることができます。

ここから，\( FG \) の長さを使って，点 \( G \) の \( y \) 座標を求めることで，直線 \( m \) の式を求めることができます。

【解答】
点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( -4 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-4)^2=4 \)
点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 2 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 2^2=1 \)
よって，
　\( AB^2=6^2+3^2=45 \)
　 \( AB=3\sqrt{5} \; (cm) \)

右の図において，
　　\( FH：FG=2：\sqrt{5} \)
　\( \dfrac{2}{7\sqrt{5}}：FG=2：\sqrt{5} \)
　　　　　\( FG=\dfrac{1}{7} \; (cm) \)

直線 \( l \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とし，
\( x=2，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=-\dfrac{1}{2} \times 2+b \)
　\( b=2 \)
なので，直線 \( l \) の式は， \( y=-\dfrac{1}{2}x+2 \)
ここから，点 \( F \) の座標は，\( F(0，2) \)