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埼玉県公立高校入試　令和６（2024）年度（学校選択）　解答＆解説

ハラユタカ — Thu, 09 Jan 2025 13:00:51 +0000

大問１

（１） \( (-6xy^3) \div \left( \dfrac{3}{2}x^2y \right) \times (-5x)^2 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -100xy^2 \)

【解説】

\( =\dfrac{(-6xy^3) \times 2 \times (-5x)^2}{3x^2y} \)
\( =-\dfrac{6xy^3 \times 2 \times 25x^2}{3x^2y} \)
\( =-100xy^2 \)

（２） \( x=\sqrt{2}+1，y=\sqrt{2}-1 \) のとき，\( xy-x-y+1 \) の値を求めなさい。

【解答】

\( 2-2\sqrt{2} \)

【解説】

\( xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1 \)
\( x+y=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2} \)
なので，
与式 \( =xy-(x+y)+1 \)
　　 \( =1-2\sqrt{2}+1 \)
　　 \( =2-2\sqrt{2} \)

（３）２次方程式 \( 5(x-1)^2+3(x-1)-1=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{7±\sqrt{29}}{10} \)

【解説】

\( x-1＝A \) とすると，
　\( 5A^2+3A-1=0 \)
　　　　　　　\( A=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 5 \times (-1)}}{2 \times 5} \)
　　　　　　　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{29}}{10} \)
　　　　　\( x-1=\dfrac{-3±\sqrt{29}}{10} \)
　　　　　　　\( x=\dfrac{10-3±\sqrt{29}}{10} \)
　　　　　　　　\( =\dfrac{7±\sqrt{29}}{10} \)

（４）右の表は，あるクラスの生徒 \( 20 \) 人が２学期に借りた本の冊数を，度数分布表に表したものです。この表から読みとることができる内容として正しいものを，次のア～エの中から一つ選び，その記号を書きなさい。

　ア　中央値は \( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級にある。
　イ　\( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級の相対度数は \( 4 \) である。
　ウ　最頻値は \( 8 \) である。
　エ　\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級の累積相対度数は \( 0.85 \) である。

【解答】

エ

【解説】

ア　全部で \( 20 \) 人分のデータを集計しているので，
　　中央値は少ない方から \( 10 \) 番目と \( 11 \) 番目の値の平均値になります。
　　　\( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級の累積度数は \( 2+3+4=9 \) 人
　　　\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級の累積度数は \( 2+3+4+8=17 \) 人
　　なので，\( 10 \) 番目と \( 11 \) 番目の値は，どちらも \( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級に含まれます。
　　よって，中央値は \( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級にあるので，
　　正しくありません。

イ　ある階級の相対度数は，
　　　「その階級の度数」\( \div \) 「すべての階級の度数の合計」
　　で求めることができるので，
　　\( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級の相対度数は \( 4 \div 20=0.20 \) であり，
　　正しくありません。

ウ　最頻値とは，度数が最も多い（大きい）階級の階級値のことです。
　　度数が最も多い（大きい）階級は，\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級なので，
　　最頻値は \( \dfrac{12+16}{2}=14 \) であり，
　　正しくありません。

エ　ある階級の累積相対度数は，
　　　「その階級の累積度数」\( \div \) 「すべての階級の度数の合計」
　　で求めることができます。
　　\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級の累積度数は \( 2+3+4+8=17 \) 人なので，
　　累積相対度数は \( 17 \div 20=0.85 \) であり，
　　正しい。

（５）下の図のように，直線ℓ上に１辺が \( 8 \; cm \) の正三角形を底辺が \( 4 \; cm \) ずつ重なるようにかいていきます。正三角形を \( x \) 個かいたとき，かげ（　　　）をつけた重なる部分と重ならない部分の面積の比が \( 2：5 \) になりました。このとき，\( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=9 \)

【解説】

重なる部分の三角形は底角２つがそれぞれ
１辺 \( 8 \; cm \) の正三角形と共通な角なので，
１辺 \( 4 \; cm \) の正三角形になっています。
２つの正三角形は相似なので，
右の図のように大きい正三角形を区切ると，
１辺 \( 4 \; cm \) の小さい正三角形だけで表すことができます。

ここから，重なる部分と重ならない部分の面積の比は，
かげをつけた小さい正三角形の個数と白の小さい正三角形の個数の比と等しくなるので，
１辺 \( 8 \; cm \) の正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数を考えていきます。

例として，大きい正三角形が２個のとき，３個のとき，４個のときを実際に書いてみると，
かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数は下の表のようになっています。

かげをつけた正三角形は，
大きい正三角形を１個増やすごとに１個ずつ増えるので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( x-1 \) 個になります。

白の正三角形は，左端の１個と右端の３個は同じで，
大きい正三角形を１個増やすごとに，
真ん中（赤のひし形）の部分の２個ずつが
増えていくので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( 2(x-1)+4=2x+2 \)（個）
になります。

かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数の比が \( 2：5 \) になるので，
　\( (x-1)：(2x+2)=2：5 \)
　　　　　 \( 5(x-1)=2(2x+2) \)
　　　　　　 \( 5x-5=4x+4 \)
　　　　　　　　　 \( x=9 \)

（６）右の図のような平行四辺形 \( ABCD \) があり，辺 \( AD，CD \) の中点をそれぞれ \( E，F \) とします。線分 \( AC \) と線分 \( BE \) との交点を \( G \) とするとき，\( △ABG \) の面積は \( △DEF \) の面積の何倍になるか求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{4}{3} \) 倍

【解説】

\( △DEF \) の面積を \( S \) とすると，
\( AE=ED \) より，
\( △ABE \) は，底辺が \( △DEF \) と等しく，
高さが \( △DEF \) の２倍なので，
面積は \( 2S \) と表すことができます。

\( △GAE \) ∽ \( △GCB \) なので，
　\( GE：GB=AE：CB=1：2 \)
\( △ABG \) と \( △ABE \) は高さが共通なので，
\( △ABG：△ABE=GB：BE=2：3 \)
であり，
　\( △ABG=\dfrac{2}{3}△ABE=\dfrac{2}{3} \times 2S=\dfrac{4}{3}S \)

（７）右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフと，傾きが \( \dfrac{1}{2} \) である一次関数のグラフが，２点 \( A，B \) で交わっています。点 \( A \) の \( x \) 座標が \( -2 \)，点 \( B \) の \( x \) 座標が \( 4 \) であるとき，この一次関数の式を求めなさい。

【解答】

\( y=\dfrac{1}{2}x+2 \)

【解説】

点 \( A \) の \( y \) 座標は，
　\( y=a \times (-2)^2=4a \)
点 \( B \) の \( y \) 座標は，
　\( y=a \times 4^2=16a \)
と表すことができます。

直線 \( AB \) の傾きが \( \dfrac{1}{2} \) なので，
　\( \dfrac{16a-4a}{4-(-2)}=\dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( 2a=\dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( a=\dfrac{1}{4} \)

このとき，点 \( B \) の \( y \) 座標は，\( y=16a=4 \) であり，
直線 \( AB \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，\( B(4,4) \) を通るので，
　\( 4=\dfrac{1}{2} \times 4+b \)
　\( b=2 \)

よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+2 \)

（８）右の図のような，\( AB=AC=2 \; cm，∠BAC=90° \) の \( △ABC \) があり，頂点 \( C \) を通り，辺 \( BC \) に垂直な直線ℓをひきます。このとき，\( △ABC \) を，直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

【解答】

\( 4\sqrt{2}\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

辺 \( AB \) を延長したときの直線ℓとの交点を
\( D \) とすると，
\( △BCD \) は，\( BC=CD，∠BCD=90° \) の
直角二等辺三角形であり，
これを直線ℓを軸として１回転させると，
　\( BC=CD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2} \; (cm) \)
より，底面の半径と高さが \( 2\sqrt{2} \; cm \) の円すい
になります。

この円すいの体積は，
　\( \pi{} \times (2\sqrt{2})^2 \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3} \pi{} \; (cm^3) \)

また，\( △ACD \) は，\( AC=AD，∠BCD=90° \) の直角二等辺三角形であり，
これを直線ℓを軸として１回転させると，
　\( AE=CE=DE=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \; (cm) \)
より，底面の半径と高さが \( \sqrt{2} \; cm \) の円すいを
２個くっつけた立体になります。

この立体の体積は，
　\( \pi{} \times (\sqrt{2})^2 \times \sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{4\sqrt{2}}{3} \pi{} \; (cm^3) \)

よって，求める立体の体積は，
　\( \dfrac{16\sqrt{2}}{3} \pi{}-\dfrac{4\sqrt{2}}{3} \pi{}=4\sqrt{2}\pi{} \; (cm^3) \)

（９）右の図のように，円周の長さを10等分する点 \( A \) ～ \( J \) があります。線分 \( AE \) と線分 \( BH \) との交点を \( K \) とするとき，\( ∠AKH \) の大きさ \( x \) を求めなさい。

【解答】

\( ∠x=108° \)

【解説】

この円の中心を \( O \) とし，補助線 \( AH \) をひくと，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の中心角は，
　中心角 \( ∠AOB=360° \times \dfrac{1}{10}=36° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の３倍の長さなので，
　中心角 \( ∠EOH=36° \times 3=108° \)

\( ∠AHK \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠AHK=\dfrac{1}{2}∠AOB=18° \)
\( ∠KAH \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) に対する円周角なので，
　\( ∠KAH=\dfrac{1}{2}∠EOH=54° \)

\( △AHK \) において，
　\( ∠x=180°－(∠AHK+∠KAH)=108° \)

（１０）次は，先生とＳさん，Ｔさんの会話です。これを読んで，下の問に答えなさい。

先　生「わたしたちの中学校では，校庭にある桜の開花日を生徒会の役員が毎年記録しています。
　　　　次の図は，１９６１年から２０２０年までの記録を，３月１５日を基準日としてその何日後に
　　　　開花したかを，期間 ① から期間 ④ の１５年ごとの期間に分け，箱ひげ図にそれぞれ表した
　　　　ものです。これを見て，気づいたことを話し合ってみましょう。」

Ｓさん「４つの箱ひげ図を見ると，桜の開花日は６０年間でだんだん早くなっているようだね。」

Ｔさん「だけど，期間 ①と期間 ② の箱ひげ図は，最も早い開花日と最も遅い開花日が同じ位置だよ。
　　　　それでも，開花日は早くなっているといえるのかな。」

Ｓさん「期間 ①と期間 ② の箱ひげ図を比べると，
　　　　 \( \boxed{ \phantom{　\\　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \\ \\}} \)
　　　　から，期間 ① より期間 ② の方が，開花日は早くなっているといえると思うよ。」

問　会話中の \( \boxed{ \phantom{　　　 }} \) にあてはまる, 開花日が早くなっていると考えられる理由を，第１四分位数，第３四分位数という二つの語を使って説明しなさい。

【解答】

第１四分位数と第３四分位数の値がどちらも期間 ① より期間 ② の方が小さく，基準日に近い

【解説】

箱の部分には，全体の約 \( 50 \; \% \) の値が含まれているので，
期間 ① では，１５年のうち，７～８年程度は基準日の２２～２６日後に開花していたと判断できます。
期間 ➁ では，１５年のうち，７～８年程度は基準日の１８～２２日後に開花していたと判断できます。

大問２

（１）右の図のように， \( ∠ABC=90° \) となる３点 \( A，B，C \) があります。このとき，線分 \( AC \) が対角線となり，\( AB // PC，AB：PC=2：3 \) であるような台形 \( ABCP \) の頂点 \( P \) をコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。

【解答】

手順１　点 \( C \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BC \) との交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( F \) とします。)
手順３　２点 \( C，F \) を通る直線を描く。
手順４　点 \( C \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描く。
(直線 \( CF \) との交点を \( G \) とします。)
手順５　点 \( G \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描く。
(直線 \( CF \) との交点を \( H \) とします。)
手順６　２点 \( G，H \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( I，J \) とします。)
手順７　２点 \( I，J \) を通る直線を描く。

手順３と手順７の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

\( ∠ABC=90°，AB // PC \) より，
点 \( P \) は，「点 \( C \) を通り，直線 \( BC \) と垂直な直線」上にあることがわかります。

次に，\( AB：PC=2：3 \) である点 \( P \) は，
直線 \( BC \) の上側と下側にとることができますが，
線分 \( AC \) が対角線になるという条件があるので，
直線 \( BC \) の上側に決まります。
（下側の場合，右図のとおり，線分 \( AC \) は対角線になりません）

\( AB：PC=2：3 \) である点 \( P \) は，
点 \( C \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描くことで，
\( AB=CG \) となる線分 \( CG \) を作図できます。
さらに，点 \( G \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描くことで，
\( AB=GH \) となる線分 \( GH \) を作図できます。
このとき，\( AB：CH=2：4 \) になっているので，
線分 \( GH \) の垂直二等分線を描くことで，
\( AB：PC=2：3 \) である点 \( P \) が作図できます。

（２）右の図のように，直角三角形 \( ABC \) の辺 \( AB \) を１辺とする正方形 \( ADEB \) と，辺 \( AC \) を１辺とする正方形 \( ACFG \) があります。線分 \( GB \) と，辺 \( AC \)，線分 \( CD \) との交点をそれぞれ \( H，I \) とするとき，\( ∠CIH=90° \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ACD \) と \( △AGB \) において，
正方形の辺の長さは等しいので，
　\( AD=AB \) ･･･ ➀
　\( AC=AG \) ･･･ ➁
正方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠CAD=90°+∠CAB \) ･･･ ③
　\( ∠GAB=90°+∠CAB \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠CAD=∠GAB \) ･･･ ➄
①②➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ACD≡△AGB \) ･･･ ⑥

\( △CIH \) と \( △GAH \) において，
⑥より，合同な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠ACD=∠AGB \) ･･･ ➆
対頂角は等しいので，
　\( ∠CHI=∠GHA \) ･･･ ⑧
➆⑧より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △CIH \) ∽ \( △GAH \)
相似な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠CIH=∠GAH=90° \)

\( △CIH \) と \( △GAH \)の周辺を拡大

大問３

次は，ある数学の【問題】について，先生とＦさん，Ｇさんが会話している場面です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。

先　生「次の【問題】について，考えてみましょう」

【問題】
右の図のように \( x \) 軸上を点 \( P \) が原点 \( O \) から点 \( A(5，0) \) まで動きます。点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \; (0≦t≦5) \) として，点 \( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線をℓとしたとき，直線ℓと直線 \( y=x \) との交点を \( Q \)，直線ℓと放物線 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) との交点を \( R \) とします。
\( PQ：RQ=4：1 \) になるときの点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

Ｆさん「線分 \( PQ \) と線分 \( RQ \) の長さの比ではなく，線分 \( PQ \) と線分 \( PR \) の長さの比を考えれば
　　　　わかりやすいかな。」

Ｇさん「そうだね。点 \( Q \) と点 \( R \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( t \) なので，点 \( Q \) の \( y \) 座標は　ア　，
　　　　点 \( R \) の \( y \) 座標は　イ　になるよ。これで，線分 \( PQ \) の長さと線分 \( PR \) の長さを
　　　　それぞれ \( t \) で表すことができるね。」

Ｆさん「そうすると，\( t=0，3 \) の場合は線分 \( RQ \) の長さが \( 0 \) だから，除いて考える必要があるね。
　　　　 \( 0 　　　　かな。」

Ｇさん「そうだね。でも \( 3」

Ｆさん「なるほど。すると \( 3 　　　　ことができれば，【問題】は解けそうだね。」

先　生「そのとおりです。それでは，【問題】を解いてみましょう。」

（１）　ア　，　イ　にあてはまる式を，\( t \) を使って表しなさい。

【解答】

　ア　･･･ \( t \)
　イ　･･･ \( \dfrac{1}{3}t^2 \)

（２）下線部の理由を，点 \( Q \) と点 \( R \) の \( y \) 座標にふれながら説明しなさい。

【解答】

\( 3

【解説】

点 \( R \) の \( y \) 座標は，点 \( Q \) の \( y \) 座標より大きいので，
線分 \( PQ \) より線分 \( PR \) の長さの方が長くなります。
つまり，\( PQ：RQ=4：1 \) になるとき，\( PQ：PR=4：5 \) になります。

（３） \( PQ：RQ=4：1 \) になるときの点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{9}{4}，\dfrac{15}{4} \)

【解説】

\( 0 　\( PQ：PR=4：3 \)
　　\( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：3 \)
　　　　 \( 3t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 9t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-9t=0 \)
　\( t(4t-9)=0 \)
　　　　　\( t=\dfrac{9}{4} \) ( \( t>0 \) より)

\( 3 　 \( PQ：PR=4：5 \)
　　 \( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：5 \)
　　　　　\( 5t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 15t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-15t=0 \)
　\( t(4t-15)=0 \)
　　　　　 \( t=\dfrac{15}{4} \) ( \( 3

大問４

右の図のように，正方形 \( ABCD \) の頂点 \( A \) に点 \( P \) があります。硬貨を投げ，次の【ルール】に従って，点 \( P \) を，反時計回りに正方形 \( ABCD \) の頂点上を動かす操作を行うとき，あとの各問に答えなさい。
ただし，硬貨の表と裏の出かたは,同様に確からしいものとします。

【ルール】
［１］　１枚の硬貨を投げ，表が出たら頂点２つ分，裏が出たら
　　　　頂点１つ分，点 \( P \) は進んで止まる。
［２］　［１］をくり返し，点 \( P \) が再び頂点 \( A \) に止まった
　　　　とき，操作は終了する。

（１）硬貨を２回投げたときに，操作が終了する確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{1}{4} \)

【解説】

硬貨の表と裏の組み合わせとその行先を樹形図に書き出すと，
硬貨を２回投げたときに，
頂点 \( A \) に止まる組み合わせは \( 1 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 4 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{1}{4} \)

（２）次の１，２に答えなさい。

１　点 \( P \) が正方形 \( ABCD \) をちょうど１周したところで，操作が終了する場合の数は何通りあるか求めなさい。

【解答】

\( 5 \) 通り

【解説】

硬貨の表と裏の出かたの組み合わせとその行先を樹形図に書き出すと下の図のようになります。

２　点 \( P \) が正方形 \( ABCD \) をちょうど２周したところで，操作が終了する場合の数は何通りあるか求めなさい。

【解答】

\( 9 \) 通り

【解説】

硬貨の表と裏の出かたの組み合わせとその行先を樹形図に書き出すと下の図のようになります。

大問５

図１のような，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正方形を底面とし，高さが \( 12 \; cm \) の透明でふたのない直方体の容器 \( ABCD-EFGH \) を水で満たし，水平な床の上に置きました。このとき，次の各問に答えなさい。
ただし，容器の厚さは考えないものとします。

（１）辺 \( FG \) を床につけたまま，図２のように，線分 \( AF \) が床と垂直になるように容器を傾けて，水をこぼしました。
このとき，容器に残っている水の体積を求めなさい。

【解答】

\( 378 \; cm^3 \)

【解説】

\( ∠AEF=∠BIA=90°，∠AFE=∠BAI \)
より，\( △AEF \) ∽ \( △BIA \) になっています。

\( △AEF \) において，三平方の定理より，
　\( AF^2=12^2+6^2=180 \)
　 \( AF=6\sqrt{5} \; (cm) \)
なので，
　\( EF：IA=AF：BA \)
　　\( 6：IA=6\sqrt{5}：6 \)
　 \( 6\sqrt{5}IA=36 \)
　　　 \( IA=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

\( ∠BAJ=∠AEF=90°，∠ABJ=∠EAF \)
より，\( △BAJ \) ∽ \( △AEF \)
なので，
　 \( BJ：AF=BA：AE \)
　\( BJ：6\sqrt{5}=6：12 \)
　　　\( 12BJ=36\sqrt{5} \)
　　　　\( BJ=3\sqrt{5} \; (cm) \)

容器 \( ABCD－EFGH \) の容積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=6 \times 6 \times 12=432 \; (cm^3) \)

三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積は，
　\( V_2=\left( 3\sqrt{5} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6=54 \; (cm^3) \)

よって，容器に残っている水の体積は，
　\( V_1-V_2=432-54=378 \; (cm^3) \)

（２）辺 \( FG \) を床につけたまま，図３のように，線分 \( AF \) が床と \( 45° \) になるように容器をさらに傾けて，水をこぼしました。点 \( A \) から床に垂線をひき，床との交点を \( P \)，水面と線分 \( AP \) との交点を \( Q \) とするとき，床から水面までの高さ \( PQ \) を求めなさい。

【解答】

\( PQ=\dfrac{6\sqrt{10}}{5} \; cm \)

【解説】

\( ∠APF=90°，∠AFP=45° \) より，\( △AFP \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AP=\dfrac{1}{\sqrt{2}}AF=3\sqrt{10} \; (cm) \)

\( F \) から水面に垂線をひき，交点を \( R \) とすると，
\( ∠BRF=∠AQB=90°，∠FBR=∠BAQ \)
より，
\( △BFR \) ∽ \( △ABQ \) になっています。

\( PQ=x \; cm \) とすると，\( FR=x \; cm \) なので，
　\( FR：BQ=BF：AB \)
　　\( x：BQ=12：6 \)
　　　 \( BQ=\dfrac{x}{2} \; (cm) \)

\( △ABQ \) において，三平方の定理より，
　　　\( \left( \dfrac{x}{2} \right)^2+(3\sqrt{10}-x)^2=6^2 \)
　\( \dfrac{x^2}{4}+(x^2-6\sqrt{10}x+90)=36 \)
　　　　\( \dfrac{5}{4}x^2-6\sqrt{10}x+54=0 \)
　　　\( 5x^2-24\sqrt{10}x+216=0 \)
　\( x=\dfrac{-(-24\sqrt{10})±\sqrt{(-24\sqrt{10})^2-4 \times 5 \times 216}}{2 \times 5} \)
　\( =\dfrac{24\sqrt{10}±\sqrt{1440}}{10} \)
　\( =\dfrac{12\sqrt{10}±6\sqrt{10}}{5} \)
　\( =\dfrac{6\sqrt{10}}{5} \; (cm) \) (\( 0

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埼玉県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Wed, 08 Jan 2025 13:00:28 +0000

大問１

（１） \( 5x-3x \) を計算しなさい。

【解答】

\( 2x \)

（２） \( 2 \times (-4)-1 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -9 \)

【解説】

\( =-8-1 \)
\( =-9 \)

（３） \( 6x^2y \times 12y \div 4x \) を計算しなさい。

【解答】

\( 18xy^2 \)

【解説】

\( =\dfrac{6x^2y \times 12y}{4x} \)
\( =18xy^2 \)

（４）方程式 \( 5x-7=6x-3 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=-4 \)

【解説】

\( -x=4 \)
　\( x=-4 \)

（５） \( \sqrt{12}+\sqrt{3} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 3\sqrt{3} \)

【解説】

\( =2\sqrt{3}+\sqrt{3} \)
\( =3\sqrt{3} \)

（６） \( x^2-x-72 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x+8)(x-9) \)

（７）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
6x-y=10 \\
4x+3y=-8 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=1，y=-4 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
6x-y=10 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
4x+3y=-8 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 3+ \) ➁
　\( 22x=22 \)
　　\( x=1 \)
①に代入
　\( 6 \times 1-y=10 \)
　　　　 \( -y=4 \)
　　　　　 \( y=-4 \)

（８）２次方程式 \( 2x^2+7x+1=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{-7±\sqrt{41}}{4} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-7±\sqrt{7^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{-7±\sqrt{41}}{4} \)

（９） \( y \) が \( x \) の一次関数で，そのグラフの傾きが \( 2 \) で，点 \( (-3，-2) \) を通るとき，この一次関数の式を求めなさい。

【解答】

\( y=2x+4 \)

【解説】

一次関数の式は \( y=ax+b \) の形で表すことができます。
傾きが \( 2 \) なので，\( y=2x+b \) とし，\( x=-3，y=-2 \) を代入すると，
　\( -2=2 \times (-3)+b \)
　\( -2=-6+b \)
　　\( b=4 \)

よって，求める式は，\( y=2x+4 \)

（１０）右の図のように，円周の長さを１０等分する点 \( A \) ～ \( J \) があります。\( △AEH \) と \( △BEH \) をつくり，辺 \( AE \) と辺 \( BH \) との交点を \( K \) とするとき，\( ∠AKH \) の大きさ \( x \) を求めなさい。

【解答】

\( 108° \)

【解説】

中心角の大きさは弧の長さに比例します。
この円の中心を \( O \) とすると，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) は，円周を１０等分した１つなので，
　中心角 \( ∠AOB=360° \times \dfrac{1}{10}=36° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の３倍の長さなので，
　中心角 \( ∠EOH=36° \times 3=108° \)

\( △AHK \) において，
　\( ∠x=180°－(∠AHK+∠KAH)=108° \)

（１１）右の図のような平行四辺形 \( ABCD \) があり，辺 \( AD，CD \) の中点をそれぞれ \( E，F \) とします。このとき，\( △EBF \) の面積は \( △DEF \) の面積の何倍になるか求めなさい。

【解答】

\( 3 \) 倍

【解説】

平行四辺形を対角線で分けてできた三角形の面積は平行四辺形の面積の半分になります。

辺 \( BC，AB \) の中点を \( G，H \)，
線分 \( EG \) と線分 \( FH \) の交点を \( I \) とし，
平行四辺形 \( ABCD \) の面積を \( S \) とすると，
　\( △DEF=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( EIFD \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{8}S \)

ここから，\( △DEF \) の面積を【１】とするとき，
平行四辺形 \( ABCD \) の面積は【８】 \( (S=8) \) になります。

　\( △ABE=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( ABGE \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{4}S \)

　\( △BCF=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( HBCF \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{4}S \)

なので，\( S=8 \) のとき，\( △ABE，△BCF \) の面積は【２】になります。

以上より，
　\( △EBF= \) 平行四辺形 \( ABCD-(△DEF+△ABE+△BCF) \)
　　　　　\( = \)【８】\( -( \)【１】\( + \)【２】\( + \)【２】\( ) \)
　　　　　\( = \)【３】

よって，\( △EBF \) の面積は \( △DEF \) の面積の３倍になります。

（１２）右の表は，あるクラスの生徒 \( 20 \) 人が２学期に借りた本の冊数を，度数分布表に表したものです。この表から読みとることができる内容として正しいものを，次のア～エの中から一つ選び，その記号を書きなさい。

【解答】

エ

【解説】

（１３） \( 1 \) から \( 6 \) までの目が出る大小２つのさいころを１回投げて，大きいさいころの出た目の数を \( x \)，小さいさいころの出た目の数を \( y \) とします。このとき， \( 10x+y \) が７の倍数になる確率を求めなさい。
ただし，大小２つのさいころは，どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

【解答】

\( \dfrac{1}{6} \)

【解説】

大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の
組み合わせとそれぞれの組み合わせにおける
\( 10x+y \) の値を表にして書き出し，
７の倍数になるところに ○ をつけてみます。

７の倍数になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通り
なので，求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

（１４）右の図のような， \( AB=6 \; cm \)，\( BC=4 \; cm \) の長方形 \( ABCD \) と直線ℓがあり，辺 \( DC \) と直線ℓの距離は \( 2 \; cm \) です。このとき，長方形 \( ABCD \) を，直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

【解答】

\( 192\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

長方形 \( ABCD \) を，１回転させてできる立体は，
右の図のようなドーナツ（バウムクーヘン）型で，
底面の半径が \( 6 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) の円柱から
底面の半径が \( 2 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) の円柱を
取り除いたものになっています。

大きい方の円柱の体積を \( V_1 \)，
小さい方の円柱の体積を \( V_2 \) とすると，
　\( V_1=\pi{} \times 6^2 \times 6=216\pi{} \; (cm^3) \)
　\( V_2=\pi{} \times 2^2 \times 6=24\pi{} \; (cm^3) \)
なので，求める立体の体積は，
　\( V_1-V_2=216\pi{}-24 \pi{}=192\pi{} \; (cm^3) \)

（１５）下の図のように，直線ℓ上に１辺が \( 8 \; cm \) の正三角形を底辺が \( 4 \; cm \) ずつ重なるようにかいていきます。正三角形を \( x \) 個かいたとき，かげ（　　　）をつけた重なる部分と重ならない部分の面積の比が \( 2：5 \) になりました。このとき，\( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=9 \)

【解説】

（１６）次は，先生とＳさん，Ｔさんの会話です。これを読んで，下の問に答えなさい。

Ｓさん「４つの箱ひげ図を見ると，桜の開花日は６０年間でだんだん早くなっているようだね。」

【解答】

第１四分位数と第３四分位数の値がどちらも期間 ① より期間 ② の方が小さく，基準日に近い

【解説】

大問２

（１）右の図のように，\( ∠ABC=90° \) となる３点 \( A，B，C \) があります。このとき，線分 \( AC \) が対角線となり，\( AB // PC，AB：PC=2：1 \) であるような台形 \( ABCP \) の頂点 \( P \) をコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。

【解答】

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を通る直線を描く。
手順３　点 \( C \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BC \) との交点を \( F，G \) とします。)
手順４　２点 \( F，G \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( H \) とします。)
手順５　２点 \( C，H \) を通る直線を描く。

手順２と手順５の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

\( ∠ABC=90°，AB // PC \) より，
点 \( P \) は，「点 \( C \) を通り，直線 \( BC \) と垂直な直線」上にあることがわかります。

次に，\( AB：PC=2：1 \) である点 \( P \) は，
直線 \( BC \) の上側と下側にとることができますが，
線分 \( AC \) が対角線になるという条件があるので，
直線 \( BC \) の上側に決まります。
（下側の場合，右図のとおり，線分 \( AC \) は対角線になりません）

さらに，点 \( P \) から，線分 \( AB \) に垂線をひき，
交点を \( Q \) とすると，
四角形 \( QBCP \) は長方形になるので，\( BQ=PC \) であり，
\( AB：PC=2：1 \)より，点 \( Q \) は，線分 \( AB \) の中点になります。
よって，線分 \( AB \) の垂線 \( PQ \) は，\( AB \) の中点を通っているので，「線分 \( AB \) の垂直二等分線」になっています。

以上より，点 \( P \) は，
「点 \( C \) を通り，直線 \( BC \) と垂直な直線」と「線分 \( AB \) の垂直二等分線」の交点になります。

（２）右の図のように，直角三角形 \( ABC \) の辺 \( AB \) を１辺とする正方形 \( ADEB \) と，辺 \( AC \) を１辺とする正方形 \( ACFG \) があります。
このとき，\( △ACD≡△AGB \) であることを証明しなさい。

【解答】

大問３

次は，ある数学の【問題】について，先生とＦさん，Ｇさんが会話している場面です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。

先　生「次の【問題】について，考えてみましょう」

Ｆさん「線分 \( PQ \) と線分 \( RQ \) の長さの比ではなく，線分 \( PQ \) と線分 \( PR \) の長さの比を考えれば
　　　　わかりやすいかな。」

Ｆさん「そうすると，\( t=0，3 \) の場合は線分 \( RQ \) の長さが \( 0 \) だから，除いて考える必要があるね。
　　　　 \( 0 　　　　かな。」

Ｇさん「そうだね。でも \( 3」

Ｆさん「なるほど。すると \( 3 　　　　ことができれば，【問題】は解けそうだね。」

先　生「そのとおりです。それでは，【問題】を解いてみましょう。」

（１）　ア　，　イ　にあてはまる式を，\( t \) を使って表しなさい。

【解答】

　ア　･･･ \( t \)
　イ　･･･ \( \dfrac{1}{3}t^2 \)

（２）下線部の理由を，点 \( Q \) と点 \( R \) の \( y \) 座標にふれながら説明しなさい。

【解答】

\( 3

【解説】

（３） \( PQ：RQ=4：1 \) になるときの点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{9}{4}，\dfrac{15}{4} \)

【解説】

大問４

図１のような，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正方形を底面とし，高さが \( 12 \; cm \) の透明でふたのない直方体の容器 \( ABCD－EFGH \) を水で満たし，水平な床の上に置きました。
辺 \( FG \) を床につけたまま，図２のように，線分 \( AF \) が床と垂直になるように容器を傾けて，水をこぼしました。水面と線分 \( AF \) との交点を \( I \) とするとき，次の各問に答えなさい。
ただし，容器の厚さは考えないものとします。

（１）容器に残っている水の体積を求めなさい。

【解答】

\( 378 \; cm^3 \)

【解説】

図２で水面を表す線分と \( AE，DH \) との交点を
\( J，K \) とすると，
こぼした水の体積は，三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積と等しくなります。

つまり，容器 \( ABCD－EFGH- \) の容積から
三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積をひくことで，
容器に残っている水の体積を求められます。

\( ∠AEF=∠BIA=90°，∠AFE=∠BAI \)
より，\( △AEF \) ∽ \( △BIA \) になっています。

容器 \( ABCD－EFGH \) の容積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=6 \times 6 \times 12=432 \; (cm^3) \)

三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積は，
　\( V_2=\left( 3\sqrt{5} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6=54 \; (cm^3) \)

よって，容器に残っている水の体積は，
　\( V_1-V_2=432-54=378 \; (cm^3) \)

（２）床から水面までの高さ \( FI \) を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{24\sqrt{5}}{5} \; cm \)

【解説】

\( FI=AF-AI \)
　 \( =6\sqrt{5}-\dfrac{6}{\sqrt{5}} \)
　 \( =6\sqrt{5}-\dfrac{6\sqrt{5}}{5} \)
　 \( =\dfrac{24\sqrt{5}}{5} \; (cm) \)

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埼玉県公立高校入試　令和５（2023）年度（学校選択）　解答＆解説

ハラユタカ — Tue, 28 May 2024 13:54:40 +0000

大問１

（１） \( 10xy^2 \times (-\dfrac{2}{3}xy)^2 \div (-5y^2) \) を計算しなさい。

【解答】

\( -\dfrac{8}{9}x^3y^2 \)

【解説】

\( =10xy^2 \times \dfrac{4}{9}x^2y^2 \div (-5y^2) \)
\( =\dfrac{10xy^2 \times 4x^2y^2}{9 \times (-5y^2)} \)
\( =-\dfrac{8}{9}x^3y^2 \)

（２） \( x=3+\sqrt{7}，y=3-\sqrt{7} \) のとき，\( x^3y-xy^3 \) の値を求めなさい。

【解答】

\( 24\sqrt{7} \)

【解説】

\( x^3y-xy^3=xy(x^2-y^2) \)
　　　　　 \( =xy(x+y)(x-y) \)
\( x=3+\sqrt{7}，y=3-\sqrt{7} \) より，
　\( xy=(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})=9-7=2 \)
　\( x+y=(3+\sqrt{7})+(3-\sqrt{7})=6 \)
　\( x-y=(3+\sqrt{7})-(3-\sqrt{7})=2\sqrt{7} \)
を代入すると，
　\( xy(x+y)(x-y)=2 \times 6 \times 2\sqrt{7}=24\sqrt{7} \)

（３）２次方程式 \( (5x-2)^2-2(5x-2)-3=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{1}{5}，1 \)

【解説】

\( 5x-2=A \) とすると，
　\( (5x-2)^2-2(5x-2)-3=0 \)
　　　　　　　　\( A^2-2A-3=0 \)
　　　　　　 \( (A+1)(A-3)=0 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( A=-1，3 \)

\( A=-1 \) のとき，
　\( 5x-2=-1 \)
　　　\( 5x=1 \)
　　　 \( x=\dfrac{1}{5} \)

\( A=3 \) のとき，
　\( 5x-2=3 \)
　　　\( 5x=5 \)
　　　 \( x=1 \)

（４）次のア～エの調査は，全数調査と標本調査のどちらでおこなわれますか。標本調査でおこなわれるものを二つ選び，その記号を書きなさい。

　　　　ア　ある河川の水質調査
　　　　イ　ある学校でおこなう健康診断
　　　　ウ　テレビ番組の視聴率調査
　　　　エ　日本の人口を調べる国勢調査

【解答】

ア，ウ

【解説】

全数調査では，対象となるものをもれなく「すべて」調査し，
標本調査では，対象となるものから「一部」を抜き出し調査します。

ア　ある河川の水質調査･･･「一部」の水を取り出して調査するので，標本調査

イ　ある学校でおこなう健康診断･･･全員が受けるので，全数検査

ウ　テレビ番組の視聴率調査･･･一部の人だけを調査しているので，標本調査

エ　日本の人口を調べる国勢調査･･･全員が調査されるので，全数調査

（５）１００円硬貨１枚と，５０円硬貨２枚を同時に投げるとき，表が出た硬貨の合計金額が１００円以上になる確率を求めなさい。
ただし，硬貨の表と裏の出かたは，同様に確からしいものとします。

【解答】

\( \dfrac{5}{8} \)

【解説】

５０円硬貨２枚に「５０円Ａ」，「５０円Ｂ」と名前をつけ，
それぞれの表裏の組み合わせを樹形図で書き出すと，
表が出た硬貨の合計金額が１００円以上になる組み合わせは５通り，
すべての組み合わせは８通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{8} \)

（６）半径 \( 7 \; cm \) の球を，中心から \( 4 \; cm \) の距離にある平面で切ったとき，切り口の円の面積を求めなさい。

【解答】

\( 33\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

できる立体をさらに中心を通り垂直な平面で切った図を考えると，
右の図のようになります。
線分 \( OA \) は球の半径なので，\( OA=7 \; cm \)
仮定より，\( OB=4 \; cm \)

\( △OAB \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=OA^2-OB^2 \)
　　　　\( =7^2-4^2 \)
　　　　\( =33 \)
　 \( AB=\sqrt{33} \; (cm) \)

よって，切り口の円は半径 \( \sqrt{33} \; cm \) なので，その面積は，
　\( \pi{} \times \sqrt{33}^2=33\pi{} \; (cm^2) \)

（７）右の図はある立体の展開図で，これを組み立ててつくった立体は，３つの合同な台形と２つの相似な正三角形が面になります。
この立体を \( V \) とするとき，立体 \( V \) の頂点と辺の数をそれぞれ求めなさい。また，立体 \( V \) の辺のうち，辺 \( AB \) とねじれの位置になる辺の数を求めなさい。

【解答】

頂点の数･･･ \( 6 \) 個
辺の数･･･ \( 9 \) 本
ねじれの辺の数･･･ \( 2 \) 本

【解説】

組み立ててできる立体は，右の図のような三角すいの上側を
切り取った形になります。
よって，頂点の数は６個，辺の数は９本になります。
また，辺 \( AB \) とねじれの位置になる辺は赤の辺２本になります。

（８）ある３桁の自然数 \( X \) があり，各位の数の和は \( 15 \) です。また，\( X \) の百の位の数と一の位の数を入れかえてつくった数を \( Y \) とすると，\( X \) から \( Y \) を引いた値は \( 396 \) でした。十の位の数が \( 7 \) のとき，\( X \) を求めなさい。

【解答】

\( 672 \)

【解説】

\( X \) の百の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) （\( a，b \) は整数）とすると，
各位の数の和は \( 15 \) なので，\( a+7+b=15 \)，つまり，\( a+b=8 \) ･･･ ➀ と表すことができます。
また，\( X=100a+70+b，Y=100b+70+a \) と表すことができるので，
　\( X-Y=(100a+70+b)-(100b+70+a) \)
　　 \( 396=99a-99b \)
　　\( a-b=4 \) ･･･ ➁
となります。

➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
a+b=8 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
a-b=4 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀＋➁
　\( 2a=12 \)
　　\( a=6 \)
➀に代入
　\( 6+b=8 \)
　　　\( b=2 \)

よって，\( X \) は \( 672 \) になります。

（９）関数 \( y=2x^2 \) について， \( x \) の変域が \( a≦x≦a+4 \) のとき，\( y \) の変域は \( 0≦y≦18 \) となりました。このとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=-3，-1 \)

【解説】

二次関数 \( y=ax^2 \; (a>0) \) において，
\( y \) の最小値が \( 0 \) であるとき，\( x \) の変域は \( 0 \) を含むので，\( -4≦a≦0 \) とわかります。

\( x=a \) のとき，\( y \) が最大値 \( 18 \) になるとすると，
　　\( y=2x^2 \)
　 \( 18=2 \times a^2 \)
　\( 2a^2=18 \)
　 \( a^2=9 \)
　　\( a=±3 \)
\( -4≦a≦0 \) より，あてはまるのは \( a=-3 \)

\( x=a+4 \) のとき，\( y \) が最大値 \( 18 \) になるとすると，
　　\( y=2x^2 \)
　 \( 18=2 \times (a+4)^2 \)
　\( (a+4)^2=9 \)
　 \( a+4=±3 \)
　　\( a=-1，-7 \)
\( -4≦a≦0 \) より，あてはまるのは \( a=-1 \)

以上より，\( a=-3，-1 \)

（１０）次の図は，１８人の生徒の通学時間をヒストグラムに表したものです。このヒストグラムでは，通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の生徒の人数は２人であることを表しています。
下の箱ひげ図は，このヒストグラムに対応するものではないと判断できます。その理由を，ヒストグラムの階級にふれながら説明しなさい。

【解答】

ヒストグラムでは，第３四分位数は \( 40 \) 分以上 \( 50 \) 分未満の階級に含まれているが，
箱ひげ図では，第３四分位数は \( 50 \) 分以上 \( 60 \) 分未満となっており，異なっている。

【解説】

全体で１８人なので，
第１四分位数になるのは通学時間が短い方から５番目の人の値
第３四分位数になるのは通学時間が長い方から５番目の人の値
になります。

大問２

（１）下の図の点 \( A \) は，北の夜空にみえる，ある星の位置を表しています。２時間後に観察すると，その星は点 \( B \) の位置にありました。北の夜空の星は北極星を回転の中心として１時間に \( 15° \) だけ反時計回りに回転移動するものとしたときの北極星の位置を点 \( P \) とします。このとき，点 \( P \) をコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。

【解答】

手順１　点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( C，D \) とします。）
手順２　直線 \( CD \) を描く
手順３　点 \( A \) を中心に半径 \( AB \) となる円弧を描く
（直線 \( CD \) との交点を点 \( O \) とします。）
手順４　点 \( O \) を中心に半径 \( OB \) となる円弧を描く

直線 \( CD \) と手順４の円弧の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

点 \( B \) は，点 \( P \) を中心に点 \( A \) が回転移動した
ものなので，\( AP=BP \) になります。
ここから，\( △ABP \) は二等辺三角形なので，
点 \( P \) は，「線分 \( AB \) の垂直二等分線上の点」
になります。

また，
\( 1 \) 時間に \( 15° \) だけ回転移動するということは，
\( 2 \) 時間では \( 30° \) 回転移動するので，\( ∠APB=30° \) になります。

ここで，線分 \( AB \) を１辺とする正三角形 \( OAB \) を考えると，
点 \( O \) も「線分 \( AB \) の垂直二等分線上の点」に
なります。

\( △ABP \) と \( △OAB \) は，線分 \( AB \) が共通で，
　\( ∠APB=30°，∠AOB=60° \)
なので，\( ∠AOB=2∠APB \) であり，
　\( ∠APB \) は円 \( O \) の円周角，
　\( ∠AOB \) は円 \( O \) の中心角
となります。
ここから，\( OP=OB \) になります。

よって，点 \( P \) は「線分 \( AB \) の垂直二等分線上の点」かつ「\( OP=OB \) となる点」になります。

（２）下の図のように，平行四辺形 \( ABCD \) の辺 \( AB，BC，CD，DA \) 上に４点 \( E，F，G，H \) をそれぞれとり，線分 \( EG \) と \( BH \)，\( DF \) との交点をそれぞれ \( I，J \) とします。
\( AE=BF=CG=DH \) のとき，\( △BEI≡△DGJ \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △BEI \) と \( △DGJ \) において，
\( BE=AB-AE \)
\( DG=CD-CG \)
平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( AB=CD \)
仮定より，\( AE=CG \)
ここから，\( BE=DG \) ･･･ ➀

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，\( AB//CD \)
錯角は等しいので，\( ∠BEI=∠DGJ \) ･･･ ➁

\( ∠EBI=∠ABC-∠FBH \) ･･･ ➂
\( ∠GDJ=∠CDA-∠HDF \) ･･･ ➃
平行四辺形の向かい合う角は等しいので，
\( ∠ABC=∠CDA \) ･･･ ➄
平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，\( BC//AD \)
仮定より，\( BF=DH \)
ここから，向かい合う辺が平行で長さが等しいので，
四角形 \( BFDH \) は平行四辺形である。
平行四辺形の向かい合う角は等しいので，
\( ∠FBH=∠HDF \) ･･･ ⑥
➂➃➄➅より，\( ∠EBI=∠GDJ \) ･･･ ➆

①➁➆より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △BEI≡△DGJ \)

大問３

次は，先生とＡさん，Ｂさんの会話です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。

先生　　「次の表は，\( 2 \) 以上の自然数 \( n \) について，その逆数 \( \dfrac{1}{n} \) の値を小数で表したものです。
　　　　　これをみて，気づいたことを話し合ってみましょう。」

Ａさん　「\( n \) の値によって，割り切れずに限りなく続く無限小数になるときと，割り切れて終わりのある
　　　　　有限小数になるときがあるね。」
Ｂさん　「なにか法則はあるのかな。」
Ａさん　「この表では，\( n \) が偶数のときは，有限小数になることが多いね。」
Ｂさん　「だけど，この表の中の偶数でも，\( n= \) 　ア　のときは無限小数になっているよ。」
Ａさん　「それでは，\( n \) が奇数のときは，無限小数になるのかな。」
Ｂさん　「\( n \) が \( 5 \) のときは，有限小数になっているね。\( n \) が２桁の奇数のときは，\( \dfrac{1}{n} \) は無限小数に
　　　　　なるんじゃないかな。」
Ａさん　「それにも，\( n= \) 　イ　という反例があるよ。」
Ｂさん　「有限小数になるのは， \( 2，4，5，8，10，16，20 \)，　イ　， \( 32 \)，･･･」
Ａさん　「それぞれ素因数分解してみると，なにか法則がみつかりそうだね。」
先生　　「いいところに気づきましたね。他にも，有理数を小数で表すと，有限小数か循環小数になることを
　　　　　学習しましたね。」
Ｂさん　「循環小数とは，同じ数字が繰り返しあらわれる無限小数のことですね。」
Ａさん　「その性質を利用すれば，循環小数の小数第３０位の数なども求めることができますね。」

（１）　ア　，　イ　にあてはまる数を求めなさい。

【解答】

　ア　･･･ \( 6 \)
　イ　･･･ \( 25 \)

（２） \( \dfrac{1}{7} \) の値を小数で表したときの小数第３０位の数を求めなさい。また，小数第１位から小数第３０位までの各位の数の和を求めなさい。

【解答】

小数第３０位の数･･･ \( 7 \)
小数第３０位までの各位の数の和･･･ \( 135 \)

【解説】

表から，小数第１位以降，「\( 142857 \)」が順番に繰り返されているので，
小数第○位の ○ の値が \( 6 \) の倍数になるところの数字は \( 7 \) になります。
よって，小数第３０位の数字は \( 7 \) になります。

小数第３０位までに「\( 142857 \)」を５回繰り返すので，その和は，
\( (1+4+2+8+5+7) \times 5=27 \times 5=135 \)

大問４

次の図は，コンピュータソフトを使って，座標平面上に関数 \( y=ax^2 \) のグラフと，一次関数 \( y=bx+c \) のグラフを表示したものです。\( a，b，c \) の数値を変化させたときの様子について，下の各問に答えなさい。

（１）グラフが右の図１のようになるとき，\( a，b，c \) の大小関係を，不等号を使って表しなさい。

【解答】

\( b

【解説】

図１より，
\( y=ax^2 \) の曲線は下に凸なので，\( a>0 \)
\( y=y=bx+c \) の直線は右下がりなので，\( b<0 \)
また，原点 \( O \) を通っているので，\( c=0 \)
よって，\( b

（２）右の図２は，\( a，b，c \) がすべて正のときの，関数 \( y=ax^2 \) と \( y=-ax^2 \) のグラフと，一次関数 \( y=bx+c \) と \( y=-bx-c \) のグラフを表示したものです。
図２のように，\( y=ax^2 \) と \( y=bx+c \) とのグラフの交点を \( P，Q \) とし，\( y=-ax^2 \) と \( y=-bx-c \) とのグラフの交点を \( S，R \) とすると，四角形 \( PQRS \) は台形になります。
このとき，次の ➀，➁ に答えなさい。

➀　\( a，b \) の値を変えないまま，\( c \) の値を大きくすると，台形 \( PQRS \) の面積はどのように変化するか，
　　次のア～ウの中から一つ選び，その記号を書きなさい。また，その理由を説明しなさい。
　　　ア　大きくなる　　　　イ　一定である　　　　ウ　小さくなる

【解答】

ア

\( c \) の値を大きくすると，\( PS，QR \) の長さはともに長くなる。
また，線分 \( PS，QR \) と \( x \) 軸の交点をそれぞれ \( T，U \) とすると，
\( TU \) の長さも長くなる。
台形 \( PQRS \) の面積は，\( (PS+QR) \times TU \times \dfrac{1}{2} \) で求められるので，
\( PS，QR，TU \) がすべて長くなると，面積は大きくなる。

➁　点 \( P，Q \) の \( x \) 座標がそれぞれ \( -1，2 \) で，直線 \( QS \) の傾きが \( 1 \) のとき，\( a，b，c \) の値を求めなさい。また，そのときの台形 \( PQRS \) を \( x \) 軸を軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，座標軸の単位の長さを \( 1 \; cm \) とします。

【解答】

\( a=\dfrac{3}{5} \)，\( b=\dfrac{3}{5} \)，\( c=\dfrac{6}{5} \)

【解説】

【\( a，b，c \) の値】
\( P，Q，R，S \) の座標は，それぞれ
\( P(-1，a)，Q(2，4a)，R(2，-4a)，S(-1，-a) \) と表せるので，直線 \( QS \) の傾きは，
　\( \dfrac{4a-(-a)}{2-(-1)}=1 \)
　　　　　\( \dfrac{5}{3}a=1 \)
　　　　　　\( a=\dfrac{3}{5} \)

\( a=\dfrac{3}{5} \) のとき，
\( P \left(-1，\dfrac{3}{5} \right)，Q \left(2，\dfrac{12}{5} \right) \) なので，
直線 \( PQ \) の傾きは，
　傾き \( b=\dfrac{\dfrac{12}{5}-\dfrac{3}{5}}{2-(-1)}=\dfrac{3}{5} \)
\( y=\dfrac{3}{5}x+c \) に \( x=-1，y=\dfrac{3}{5} \) を代入すると，
　\( \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{5} \times (-1)+c \)
　 \( c=\dfrac{6}{5} \)

【立体の体積】
直線 \( PQ \) と \( x \) 軸の交点を点 \( V \) とすると，
直線 \( PQ \) の式は \( y=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{6}{5} \) なので，
点 \( V \) の \( x \) 座標は，
　\( 0=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{6}{5} \)
　\( x=−2 \)

よって，
求める立体は，
底面の半径 \( \dfrac{12}{5} \)，高さ \( 4 \) の大きい円すいから，
底面の半径 \( \dfrac{3}{5} \)，高さ \( 1 \) の小さい円すいを
切り取ったものになります。

大きい円すいの体積 \( =\pi{} \times \left( \dfrac{12}{5} \right)^2 \times 4 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　 \( =\dfrac{192}{25}\pi{} \; (cm^3) \)

小さい円すいの体積 \( =\pi{} \times \left( \dfrac{3}{5} \right)^2 \times 1 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　　 \( =\dfrac{3}{25}\pi{} \; (cm^3) \)

求める円すいの体積 \( =\dfrac{192}{25}\pi{}-\dfrac{3}{25}\pi{}=\dfrac{189}{25}\pi{} \; (cm^3) \)

大問５

右の図のような，１辺の長さが \( 4 \; cm \) の正方形を底面とし，高さが \( 6 \; cm \) の直方体 \( ABCD-EFGH \) があり，辺 \( AE \) 上に \( AI=4 \; cm \) となる点 \( I \) をとります。
点 \( P \) が頂点 \( B \) を出発して毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで辺 \( BF \) 上を頂点 \( F \) まで，点 \( Q \) は頂点 \( D \) を出発して毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで辺 \( DH \) 上を頂点 \( H \) まで動きます。
点 \( P，Q \) がそれぞれ頂点 \( B，D \) を同時に出発するとき，次の各問に答えなさい。

（１） \( IP+PG \) の長さが最も短くなるのは，点 \( P \) が頂点 \( B \) を出発してから何秒後か求めなさい。

【解答】

\( 5 \) 秒後

【解説】

面 \( ABFE \) と面 \( BCGF \) に注目し，展開すると，
\( IP+PG \) の長さが最も短くなるとき，
３点 \( I，P，G \) が一直線上に並びます。

このとき，\( △GPF \) ∽ \( △GIE \) で，
点 \( F \) は線分 \( GE \) の中点なので，
　\( PF：IE=GF：GE \)
　　\( PF：2=1：2 \)
　　　 \( PF=1 \; (cm) \)

よって，\( BP=6-1=5 \; (cm) \) であり，
点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動くので，求める時間は \( 5 \) 秒後になります。

（２）点 \( P，Q \) が頂点 \( B，D \) を同時に出発してから２秒後の３点 \( I，P，Q \) を通る平面で，直方体を切ります。このときにできる２つの立体のうち，頂点 \( A \) を含む立体の体積を，途中の説明も書いて求めなさい。

【解答】

出発してから２秒後の３点 \( I，P，Q \) を通る平面は頂点 \( C \) を通る。
２点 \( P，Q \) を通り，面 \( ABCD \) と平行な面と
辺 \( AE \) の交点を点 \( R \)，辺 \( CG \) の交点を点 \( S \) とすると，
三角すい \( I-PQR \) と三角すい \( C-PQS \) は，
どちらも底面が正方形 \( PSQR \) の半分，高さが \( 2 \; cm \) なので，体積は等しい。
よって，求める立体の体積は直方体 \( ABCD-PSQR \) の体積と等しいので，
　\( 4 \times 4 \times 2=32 \; (cm^3) \)

【解説】

出発してから２秒後の線分 \( BP，DQ \) の長さは，
\( BP=DQ=2 \; cm\) なので，
面 \( AEGC \) を正面になるようこの直方体を見ると
下の図のようになります。

点 \( I \) から辺 \( BF \) に垂線をひいた交点を \( T \)，
点 \( P \) から辺 \( CG \) に垂線をひいた交点を \( S \)
とすると，\( △PIT≡△CPS \) となるので，
３点 \( I，P，Q \) を通る平面は，点 \( C \) を通ります。

頂点 \( A \) を含む方の立体について，
辺 \( AE \) 上に \( AR=2 \; cm \) となる点 \( R \) をとると，
面 \( PSQR \) に対して
突き出ている部分（三角すい \( I-PQR \) ）と
欠けている部分（三角すい \( C-PQS \) ）は，
どちらも底面が正方形 \( PSQR \) の半分，高さが \( 2 \; cm \) なので，体積は等しくなります。

（３）右の図のように，底面 \( EFGH \) に接するように半径 \( 2 \; cm \) の球を直方体の内部に置きます。
点 \( P，Q \) が頂点 \( B，D \) を同時に出発してから \( x \) 秒後の \( △IPQ \) は，球とちょうど１点で接しました。このときの \( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=4-2\sqrt{2} \)

【解説】

面 \( AEGC \) を正面になるようこの直方体を見ると，
出発してから \( x \) 秒後には右の図のようになります。

ここで，
\( △IPQ \) と球の接点を点 \( U \)，
球の中心を点 \( O \)
とすると，
\( OU：IO=2：2\sqrt{2}=1：\sqrt{2} \)
\( ∠OUI=90° \)
より，
\( △IOU \) は直角二等辺三角形になっています。

球は，底面 \( EFGH \) に接していることから，
線分 \( OF=2 \; cm \)，\( IO//EG \) なので，
\( △IOP \) も直角二等辺三角形になります。

ここから，
\( OP=IO=2\sqrt{2} \; cm \) であり，
\( BP=4-2\sqrt{2} \; cm \) となります。

点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動くので，
\( BP=4-2\sqrt{2} \; cm \) となるのは，\( x=4-2\sqrt{2} \) 秒後になります。

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埼玉県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Fri, 24 May 2024 13:00:16 +0000

大問１

（１）\( 7x-3x \) を計算しなさい。

【解答】

\( 4x \)

（２）\( 4 \times (-7)+20 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -8 \)

【解説】

\( =-28+20 \)
\( =-8 \)

（３）\( 30xy^2 \div 5x \div 3y \) を計算しなさい。

【解答】

\( 2y \)

【解説】

\( =\dfrac{30xy^2}{5x \times 3y} \)
\( =\dfrac{30xy^2}{15xy} \)
\( =2y \)

（４）方程式 \( 1.3x+0.6=0.5x+3 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=3 \)

【解説】

\( 13x+6=5x+30 \)
　　　\( 8x=24 \)
　　　 \( x=3 \)

（５）\( \dfrac{8}{\sqrt{2}}-3\sqrt{2} \) を計算しなさい。

【解答】

\( \sqrt{2} \)

【解説】

\( =\dfrac{8}{\sqrt{2}}-3\sqrt{2} \)
\( =\dfrac{8 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}-3\sqrt{2} \)
\( =4\sqrt{2}-3\sqrt{2} \)
\( =\sqrt{2} \)

（６）\( x^2-11x+30 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x-5)(x-6) \)

（７）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+5y=2 \\
-2x+9y=11 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=-1，y=1 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
3x+5y=2 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
-2x+9y=11 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀\( \times 2 \)
　\( 6x+10y=4 \) ･･･ ➀’
➁\( \times 2 \)
　\( -6x+27y=33 \) ･･･ ➁’
➀’ \( + \) ➁’
　\( 37y=37 \)
　　\( y=1 \)
➀に代入すると，
　\( 3x+5 \times 1=2 \)
　　　　　\( 3x=-3 \)
　　　　　 \( x=-1 \)

（８）２次方程式 \( 3x^2-5x-1=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) とすると，\( a=3，b=-5，c=-1 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

（９）次のア～エの調査は，全数調査と標本調査のどちらでおこなわれますか。標本調査でおこなわれるものを二つ選び，その記号を書きなさい。

【解答】

ア，ウ

【解説】

全数調査では，対象となるものをもれなく「すべて」調査し，
標本調査では，対象となるものから「一部」を抜き出し調査します。

ア　ある河川の水質調査･･･「一部」の水を取り出して調査するので，標本調査

イ　ある学校でおこなう健康診断･･･全員が受けるので，全数検査

ウ　テレビ番組の視聴率調査･･･一部の人だけを調査しているので，標本調査

エ　日本の人口を調べる国勢調査･･･全員が調査されるので，全数調査

（１０）右の図において，曲線は関数 \( y=\dfrac{6}{x} \) のグラフで，曲線上の２点 \( A，B \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( -6，2 \) です。
２点 \( A，B \) を通る直線の式を求めなさい。

【解答】

\( y=\dfrac{1}{2}x+2 \)

【解説】

点 \( A \) の \( x \) 座標は \( -6 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{6}{-6}=-1 \)
であり，点 \( A \) の座標は \( (-6，-1) \)
点 \( A \) の \( x \) 座標は \( 2 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{6}{2}=3 \)
であり，点 \( B \) の座標は \( (2，3) \)

求める直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
　\( a=\dfrac{3-(-1)}{2-(-6)}=\dfrac{1}{2} \)
\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) に \( x=2，y=3 \) を代入すると，
　\( 3=\dfrac{1}{2} \times 2+b \)
　\( b=2 \)

よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+2 \)

（１１）関数 \( y=2x^2 \) について， \( x \) の変域が \( a≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域は \( 0≦y≦18 \) となりました。このとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=-3 \)

【解説】

二次関数 \( y=ax^2 \; (a>0) \) において，
\( y \) の最小値が \( 0 \) であるとき，\( x \) の変域は \( 0 \) を含むので，\( a≦0 \) とわかります。
\( x=1 \) のとき， \( y=2 \times 1^2=2 \) なので，
\( x=a \) のとき，\( y \) が最大値 \( 18 \) になるとわかります。
よって，
　　\( y=2x^2 \)
　 \( 18=2 \times a^2 \)
　\( 2a^2=18 \)
　 \( a^2=9 \)
　　\( a=±3 \)
\( a≦0 \) より，あてはまるのは \( a=-3 \)

（１２）右の図のような，\( AD=5 \; cm，BC=8 \; cm，AD//BC \) である台形 \( ABCD \) があります。辺 \( AB \) の中点を \( E \) とし，\( E \) から辺 \( BC \) に平行な直線をひき，辺 \( CD \) との交点を \( F \) とするとき，線分 \( EF \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{13}{2} \; cm \)

【解説】

点 \( A \) を通り，辺 \( CD \) と平行な直線をひき，
線分 \( EF \)，辺 \( BC \) との交点をそれぞれ点 \( G，H \) とすると，
\( AH//CD，AH=CD \) より，
四角形 \( AHCD \) は平行四辺形なので，
　\( HC=GF=AD=5 \; cm \)
\( BC=8 \; cm \) より，\( BH=BC-HC=3 \; (cm) \)

\( EF//BC \) より，\( △AEG \) ∽ \( △ABH \)
点 \( E \) は辺 \( AB \) の中点なので，
相似比は，\( AE：AB=1：2 \)
よって，
　\( EG：BH=AE：AB \)
　　 \( EG：3=1：2 \)
　　　　\( EG=\dfrac{3}{2} \; (cm) \)

　\( EF=EG+GF=\dfrac{3}{2}+5=\dfrac{13}{2} \; (cm) \)

（１３）１００円硬貨１枚と，５０円硬貨２枚を同時に投げるとき，表が出た硬貨の合計金額が１００円以上になる確率を求めなさい。
ただし，硬貨の表と裏の出かたは，同様に確からしいものとします。

【解答】

\( \dfrac{5}{8} \)

【解説】

（１４）半径 \( 7 \; cm \) の球を，中心から \( 4 \; cm \) の距離にある平面で切ったとき，切り口の円の面積を求めなさい。

【解答】

エ

【解説】

\( △OAB \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=OA^2-OB^2 \)
　　　　\( =7^2-4^2 \)
　　　　\( =33 \)
　 \( AB=\sqrt{33} \; (cm) \)

よって，切り口の円は半径 \( \sqrt{33} \; cm \) なので，その面積は，
　\( \pi{} \times \sqrt{33}^2=33\pi{} \; (cm^2) \)

（１５）次のア～エは，関数 \( y=ax^2 \) のグラフと，一次関数 \( y=bx+c \) のグラフをコンピュータソフトを用いて表示したものです。ア～エのうち，\( a，b，c \) がすべて同符号であるものを一つ選び，その記号を書きなさい。

【解答】

\( 33\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

ア～エについて，
直線 \( y=bx+c \) の \( b \) は傾き，\( c \) は切片の値を表しているので，
それぞれの正負は
　ア･･･ \( b \)は正，\( c \)は負
　イ･･･ \( b \)は負，\( c \)は正
　ウ･･･ \( b \)は正，\( c \)は正
　エ･･･ \( b \)は負，\( c \)は負
なので，同符号になっているのは，ウとエ

ウとエについて，曲線は上に凸の形であることから，\( a \)は負なので，
すべてが同符号になるのは，エ

（１６）次は，ある数学の【問題】について，ＡさんとＢさんが会話している場面です。これを読んで，下の問に答えなさい。

【問題】

右の図は，１８人の生徒の通学時間をヒストグラムに表したものです。このヒストグラムでは，通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の生徒の人数は２人であることを表しています。ア～ウの箱ひげ図の中から，このヒストグラムに対応するものを一つ選びなさい。

Ａさん　「ヒストグラムから読みとることができる第１四分位数は，\( 20 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級に
　　　　　含まれているけれど，アの第１四分位数は \( 10 \) 分以上 \( 20 \) 分未満で，異なっているから，
　　　　　アは対応していないね。」
Ｂさん　「同じように，
　　　　　　　　Ⅰ　　　
　　　　　から，イも対応していないよ」
Ａさん　「ということは，ヒストグラムに対応しているものはウだね。」

問　会話中の　　Ⅰ　　にあてはまる，イが対応していない理由を，ヒストグラムの階級にふれながら説明しなさい。

【解答】

ヒストグラムから読みとることができる第３四分位数は，\( 40 \) 分以上 \( 50 \) 分未満の階級に含まれているが，
イの第３四分位数は \( 50 \) 分以上 \( 60 \) 分未満で，異なっている

【解説】

大問２

（１）右の図の点 \( A \) は，北の夜空にみえる，ある星の位置を表しています。\( 4 \) 時間後に観察すると，その星は点 \( B \) の位置にありました。北の夜空の星は北極星を回転の中心として \( 1 \) 時間に \( 15° \) だけ反時計回りに回転移動するものとしたときの北極星の位置を点 \( P \) とします。このとき，点 \( P \) をコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。

【解答】

手順１　点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
（交点を点 \( C，D \) とします。）
手順２　点 \( C，D \) を通る直線を描く
手順３　点 \( A \) を中心に半径 \( AB \) となる円弧を描く

手順２の直線と手順３の円弧の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

点 \( B \) は，点 \( P \) を中心に点 \( A \) が回転移動したものなので，
\( AP=BP \) になります。

また，\( 1 \) 時間に \( 15° \) だけ回転移動するということは，
\( 4 \) 時間では \( 60° \) 回転移動するので，\( ∠APB=60° \) になります。

ここから，\( △ABP \) は正三角形になっています。

よって，点 \( P \) は「線分 \( AB \) の垂直二等分線上の点」かつ「\( AP=AB \) となる点」になります。

（２）２桁の自然数 \( X \) と，\( X \) の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる数 \( Y \) について，\( X \) と \( Y \) の和は \( 11 \) の倍数になります。その理由を，文字式を使って説明しなさい。

【解答】

\( X \) の十の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) （\( a，b \) は整数）とすると，
\( X=10a+b，Y=10b+a \) と表すことができるので，
　\( X+Y=(10a+b)+(10b+a) \)
　　　　　\( =11a+11b \)
　　　　　\( =11(a+b) \)
\( a，b \) は整数なので，\( a+b \) も整数である。
よって，\( X+Y \) は \( 11 \) の倍数である。

大問３

次は，先生とＡさん，Ｂさんの会話です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。

Ａさん　「\( n \) の値によって，割り切れずに限りなく続く無限小数になるときと，割り切れて終わりのある
　　　　　有限小数になるときがあるね。」
Ｂさん　「なにか法則はあるのかな。」
Ａさん　「この表では，\( n \) が偶数のときは，有限小数になることが多いね。」
Ｂさん　「だけど，この表の中の偶数でも，\( n= \) 　ア　のときは無限小数になっているよ。」
Ａさん　「それでは，\( n \) が奇数のときは，無限小数になるのかな。」
Ｂさん　「\( n \) が \( 5 \) のときは，有限小数になっているね。\( n \) が２桁の奇数のときは，\( \dfrac{1}{n} \) は無限小数に
　　　　　なるんじゃないかな。」
Ａさん　「それにも，\( n= \) 　イ　という反例があるよ。」
Ｂさん　「有限小数になるのは， \( 2，4，5，8，10，16，20 \)，　イ　， \( 32 \)，･･･」
Ａさん　「それぞれ素因数分解してみると，なにか法則がみつかりそうだね。」
先生　　「いいところに気づきましたね。他にも，有理数を小数で表すと，有限小数か循環小数になることを
　　　　　学習しましたね。」
Ｂさん　「循環小数とは，同じ数字が繰り返しあらわれる無限小数のことですね。」
Ａさん　「その性質を利用すれば，循環小数の小数第５０位の数なども求めることができますね。」

（１）　ア　，　イ　にあてはまる数を求めなさい。

【解答】

　ア　･･･ \( 6 \)
　イ　･･･ \( 25 \)

（２） \( \dfrac{1}{7} \) の値を小数で表したときの小数第５０位の数を求めなさい。

【解答】

\( 4 \)

【解説】

表から，小数第１位以降，「\( 142857 \)」が順番に繰り返されているので，
小数第○位の ○ の値が \( 6 \) の倍数になるところの数字は \( 7 \) になります。

よって，小数第４８位の数字が \( 7 \) になるので，
小数第５０位は，その２つ後で \( 4 \) になります。

大問４

（１） \( IP+PG \) の長さが最も短くなるのは，点 \( P \) が頂点 \( B \) を出発してから何秒後か求めなさい。

【解答】

\( 5 \) 秒後

【解説】

面 \( ABFE \) と面 \( BCGF \) に注目し，展開すると，
\( IP+PG \) の長さが最も短くなるとき，
３点 \( I，P，G \) が一直線上に並びます。

このとき，\( △GPF \) ∽ \( △GIE \) で，
点 \( F \) は線分 \( GE \) の中点なので，
　\( PF：IE=GF：GE \)
　　\( PF：2=1：2 \)
　　　 \( PF=1 \; (cm) \)

よって，\( BP=6-1=5 \; (cm) \) であり，
点 \( P \) は毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動くので，求める時間は \( 5 \) 秒後になります。

（２）頂点 \( B \) を出発した後の点 \( P \) について，\( △APC \) は二等辺三角形になることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABP \) と \( △CBP \) において，
　線分 \( BP \) は共通･･･ ➀
仮定より，
　\( AB=CB \) ･･･ ➁
　\( ∠ABP=∠CBP \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABP≡△CBP \)
対応する辺の長さは等しいので，
\( AP=CP \) であり，
\( △APC \) は二等辺三角形である。

（３）頂点 \( B \) を出発してから \( 4 \) 秒後の点 \( P \) について，３点 \( I，P，C \) を通る平面で直方体を切ったときにできる２つの立体のうち，体積が大きい方の立体の表面積を求めなさい。

【解答】

\( 80+16\sqrt{2} \; cm^2 \)

【解説】

立体をある平面で切ったとき，向かい合う面に表れる切り口となる線は平行になります。

面 \( ABFE \) における切り口の線は線分 \( IP \) なので，
面 \( CDHG \) における切り口の線は，
\( IP//AB//DC \) より線分 \( DC \) になります。

ここから，切り口は面 \( CDIP \) になります。

よって，直方体を面 \( CDIP \) で切ったときにできる
立体のうち，大きい方の表面積は，

　面 \( CDIP=4 \times 4\sqrt{2}=16\sqrt{2} \; (cm^2) \)

　面 \( CGFP=(2+6) \times 4 \times \dfrac{1}{2}=16 \; (cm^2) \)
　（面 \( DHEI \) も同じ）

　面 \( CDHG=6 \times 4=24 \; (cm^2) \)

　面 \( EFGH=4 \times 4=16 \; (cm^2) \)

　面 \( EFPI=2 \times 4=8 \; (cm^2) \)

の和で，
　\( 16\sqrt{2}+16 \times 2+24+16+8=80+16\sqrt{2} \; (cm^2) \)

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埼玉県公立高校入試 令和６（2024）年度（学校選択） 解答＆解説

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