神奈川 - 数学基礎トレーニングルーム

神奈川県公立高校入試　令和６（2024）年度（定時制）　解答＆解説

ハラユタカ — Tue, 21 Jan 2025 13:00:28 +0000

大問１

（ア） \( 2-8 \)

　　　１． \( -10 \) 　　　　　　　２． \( -6 \) 　　　　　　　３． \( 6 \) 　　　　　　　　４． \( 10 \)

【解答】

２． \( -6 \)

（イ） \( 64 \div (-2)^2 \)

　　　１． \( -16 \) 　　　　　　　２． \( -8 \) 　　　　　　　３． \( 8 \) 　　　　　　　　４． \( 16 \)

【解答】

４． \( 16 \)

【解説】

\( =64 \div 4 \)
\( =16 \)

（ウ） \( -\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{4} \)

　　　１． \( -\dfrac{21}{20} \) 　　　　　　２． \( -\dfrac{11}{20} \) 　　　　　　３． \( \dfrac{11}{20} \) 　　　　　　　４． \( \dfrac{21}{20} \)

【解答】

２． \( -\dfrac{11}{20} \)

【解説】

\( =-\dfrac{16}{20}+\dfrac{5}{20} \)
\( =-\dfrac{11}{20} \)

（エ） \( 56a^2b \div 8ab \)

　　　１． \( 7a \) 　　　　　　　２． \( 7b \) 　　　　　　３． \( 7ab \) 　　　　　　　４． \( 7a^2b \)

【解答】

１． \( 7a \)

【解説】

\( =\dfrac{56a^2b}{8ab} \)
\( =7a \)

（オ） \( 6(2x-y)-2(x-2y) \)

　　　１． \( -10x-10y \) 　　　２． \( -10x-2y \) 　　　３． \( 10x-10y \) 　　　４． \( 10x-2y \)

【解答】

４． \( 10x-2y \)

【解説】

\( =12x-6y-2x+4y \)
\( =10x-2y \)

（カ） \( \sqrt{45}+\sqrt{5} \)

　　　１． \( 3\sqrt{5} \) 　　　　　　　２． \( 5\sqrt{2} \) 　　　　　　　３． \( 4\sqrt{5} \) 　　　　　　４． \( 10\sqrt{5} \)

【解答】

３． \( 4\sqrt{5} \)

【解説】

\( =3\sqrt{5}+\sqrt{5} \)
\( =4\sqrt{5} \)

大問２

右の図において，曲線①は関数 \( y=2x^2 \) のグラフであり，\( O \) は原点である。
点 \( A \) は曲線①上の点で，その \( x \) 座標は \( 2 \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。

（ア）点 \( A \) の \( y \) 座標となる \( a \) の値として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( a=-8 \) 　　　２． \( a=-4 \)
　　　３． \( a=4 \) 　　　　４． \( a=8 \)

【解答】

４． \( a=8 \)

【解説】

\( y=2x^2 \) に \( x=2 \) を代入すると，
　\( y=2 \times 2^2=8 \)
よって，\( a=8 \) になります。

（イ） \( x \) の値が \( -2 \) から \( -1 \) まで増加するときの変化の割合として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( -6 \) 　　　　　　　２． \( -3 \) 　　　　　　　３． \( 3 \) 　　　　　　　　４． \( 6 \)

【解答】

１． \( -6 \)

【解説】

\( y=2x^2 \) のグラフにおいて，
\( x=-2 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=2 \times (-2)^2=8 \)
\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=2 \times (-1)^2=2 \)
なので，
変化の割合は，
　\( \dfrac{2-8}{-1-(-2)}=-6 \)

大問３

（ア） \( (x-4)(x+2) \) を展開しなさい。

　　　１． \( x^2-2x-8 \) 　　２． \( x^2-2x+8 \) 　　３． \( x^2+2x-8 \) 　　４． \( x^2+2x+8 \)

【解答】

１． \( x^2-2x-8 \)

（イ） \( x^2+3x-10 \) を因数分解しなさい。

　　　１． \( (x-6)(x+3) \) 　２． \( (x-5)(x+2) \) 　３． \( (x+5)(x-2) \) 　４． \( (x+6)(x-3) \)

【解答】

３． \( (x+5)(x-2) \)

（ウ）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
x+y=7 \\
2x-3y=6 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

　　　１． \( x=-3，y=-4 \) 　　２． \( x=-2，y=-5 \)
　　　３． \( x=2，y=5 \) 　　　　４． \( x=3，y=4 \)

【解答】

１． \( x=-3，y=-4 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=-7 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x-3y=6 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 2 \)
　\( 2x+2y=-14 \) ･･･ ➀’
➀’\( – \) ➁
　\( 5y=-20 \)
　 \( y=-4 \)
➀に代入すると，
　\( x+(-4)=-7 \)
　　　\( x-4=-7 \)
　　　　　\( x=-3 \)

（エ）２次方程式 \( x^2+3x-5=0 \) を解きなさい。

　　　１． \( x=\dfrac{-3±\sqrt{11}}{2} \) 　２． \( x=\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \) 　３． \( x=\dfrac{3±\sqrt{11}}{2} \) 　４． \( x=\dfrac{3±\sqrt{29}}{2} \)

【解答】

２． \( x=\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \)

（オ）大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，出た目の数の積が \( 6 \) になる確率を求めなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

　　　１． \( \dfrac{1}{9} \) 　　　　　　　　２． \( \dfrac{5}{36} \) 　　　　　　　３． \( \dfrac{1}{6} \) 　　　　　　　　４． \( \dfrac{5}{18} \)

【解答】

１． \( \dfrac{1}{9} \)

【解説】

２つの数の積が \( 6 \) になるのは，\( 1 \times 6，2 \times 3，3 \times 2，6 \times 1 \) の \( 4 \) 通りです。
２つのさいころの出る目のすべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通りなので，
出た目の数の積が \( 6 \) になる確率は \( \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} \)

【参考】
２つのさいころの出る目の組み合わせを表に書き出すと，
　

（カ） \( \sqrt{17}

　　　１． \( n=2 \) 　　　　　　２． \( n=3 \) 　　　　　　３． \( n=4 \) 　　　　　　４． \( n=5 \)

【解答】

４． \( n=5 \)

【解説】

\( \sqrt{16}<\sqrt{17} \( \sqrt{16}=4，\sqrt{36}=6 \) なので，
\( 4<\sqrt{17} \( n \) は \( 4 \) より大きく，\( 6 \) より小さい数になります。
よって，あてはまる \( n \) の値は \( n=5 \) になります。

（キ）右の図のような \( △ABC \) があり，２点 \( D，E \) はそれぞれ辺 \( AB，AC \) 上の点で，\( BC//DE \) である。
\( AC=9 \; cm，AD=4 \; cm，BD=2 \; cm \) のとき，線分 \( CE \) の長さを求めなさい。

　　　１． \( 2 \; cm \) 　　２． \( 3 \; cm \)
　　　３． \( 4 \; cm \) 　　４． \( 5 \; cm \)

【解答】

２． \( 3 \; cm \)

【解説】

\( BC//DE \) より，
\( △ADE \) ∽ \( △ABC \) なので，
\( AE：EC=AD：DB=2：1 \) になっています。

\( CE=x \; cm \) とすると，
\( AE=2x \; cm \) と表すことができるので，
　\( AE+CE=AC \)
　　　\( 2x+x=9 \)
　　　　　\( 3x=9 \)
　　　　　 \( x=3 \; (cm) \)

大問４

（ア）右の図１において，四角形 \( ABCD \) は正方形である。
また，点 \( E \) は辺 \( AB \) 上の点であり，点 \( F \) は線分 \( BD \) と線分 \( CE \) との交点である。
このとき，\( ∠x \) の大きさとして正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 45° \) 　　　２． \( 60° \)
　　　３． \( 75° \) 　　　４． \( 90° \)

【解答】

３． \( 75° \)

【解説】

正方形の４辺の長さは等しいので，
\( △ABD \) は \( AB=AD \) の直角二等辺三角形で，
\( ∠EBF=45° \)
対頂角は等しいので，\( ∠BFE=∠CFD=∠x \)
\( △BFE \) において，
　\( ∠x=∠BFE=180°-(∠BEF+∠EBF)=75° \)

（イ）右の図２において，線分 \( AB \) は円 \( O \) の直径であり，点 \( C \) は円 \( O \) の周上の点である。
\( OA=5\; cm，AC=8\; cm \) のとき，線分 \( BC \) の長さとして正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 3 \; cm \) 　　２． \( 4 \; cm \)
　　　３． \( 5 \; cm \) 　　４． \( 6 \; cm \)

【解答】

４． \( 6 \; cm \)

【解説】

\( ∠ACB \) は直径に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=90° \)
\( OA \) は，円 \( O \) の半径なので，
　\( AB=2OA=10 \; (cm) \)

\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( BC^2=AB^2-AC^2=36 \)
　 \( BC=6 \; (cm) \) ( \( BC>0 \) より)

（ウ）右の図３において，\( O \) は原点であり，点 \( A \) の座標は \( (1，5) \)，点 \( B \) の座標は \( (1，3) \)，点 \( C \) の座標は \( (5，1) \)，点 \( D \) の座標は \( (5，7) \) である。
点 \( A’ \) の座標が \( (7，6) \)，点 \( B’ \) の座標が \( (7，5) \)，点 \( C’ \) の座標が \( (9，4) \) であるとき，四角形 \( ABCD \) と相似となる四角形 \( A’B’C’D’ \) の頂点 \( D’ \) の座標として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( (8，7) \) 　　２． \( (8，8) \)
　　　３． \( (9，7) \) 　　４． \( (9，8) \)

【解答】

３． \( (9，7) \)

【解説】

相似な図形では，すべての辺において，対応する辺の長さの比は等しくなります。

図３より，\( AB \) の長さを \( 2 \) とすると，
\( A’B’ \) の長さは \( 1 \)，\( CD \) の長さは \( 6 \)
なので，
　\( CD：C’D’=AB：A’B’ \)
　　 \( 6：C’D’=2：1 \)
　　　 \( 2C’D’=6 \)
　　　　\( C’D’=3 \)

つまり，点 \( C’ \) から \( y \) 座標が \( 3 \) 大きい点が頂点 \( D’ \) になるので，
点 \( C’ \) の座標が \( (9，4) \) であることから，頂点 \( D’ \) の座標は \( (9，7) \) になります。

（エ）右の図４は，長方形 \( ABCD \) を底面とし，\( AE=BF=CG=DH \) を高さとする四角柱である。この四角柱において，ねじれの位置にある辺の組み合わせとして最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１．辺 \( AB \) と辺 \( GH \)
　　　２．辺 \( BC \) と辺 \( DH \)
　　　３．辺 \( CG \) と辺 \( FG \)
　　　４．辺 \( EF \) と辺 \( EH \)

【解答】

２．辺 \( BC \) と辺 \( DH \)

【解説】

ねじれの位置にある辺（線分）というのは，
どこまで伸ばしても交わらない辺（線分）のうち，平行でないもの
のことをいいます。

　１．辺 \( AB \) と辺 \( GH \) → 平行である
　３．辺 \( CG \) と辺 \( FG \) → 点 \( G \) で交わっている
　４．辺 \( EF \) と辺 \( EH \) → 点 \( E \) で交わっている

なので，ねじれの位置にあるとはいえません。

（オ）ＡさんとＢさんは，数学の授業で方程式の問題をつくり，その問題を解いた。次の会話文はそのときのものである。　（あ）　にあてはまる式，　（い）　にあてはまる数として正しいものを，それぞれ書きなさい。

【会話文】
Ａさん「わたしたちの身近なことから，方程式の問題をつくってみましょう。」

Ｂさん「それならば，先月一緒に行った美術館の入館料をテーマにしませんか。」

Ａさん「いいですね。それでは，中学生１人あたりの入館料を求める方程式の問題をつくりましょう。
　　　　問題をつくるためには人数や入館料についての条件が必要です。」

Ｂさん「そうですね。美術館に行った人数は，中学生が \( 8 \) 人で大人が \( 4 \) 人でした。中学生１人あたりの
　　　　入館料は大人１人あたりの入館料よりも \( 300 \) 円安く，中学生 \( 8 \) 人と大人 \( 4 \) 人の入館料を
　　　　合計したら \( 11400 \) 円でした。以上のことを条件としましょう。」

Ａさん「いいですね。この条件から中学生１人あたりの入館料を求める方程式の問題にしましょう。」

Ｂさん「そうしましょう。では，この問題を解くために, 方程式をつくってみてください。」

Ａさん「中学生１人あたりの入館料を \( x \) 円として方程式をつくると，
　　　　　（あ）　 \( =11400 \)
　　　　となります。」

Ｂさん「条件から方程式をつくることができましたね。この方程式を解くと，解は問題に適しているので，
　　　　中学生１人あたりの入館料は　（い）　円となります。」

Ａさん「中学生１人あたりの入館料を求めることができましたね。」

【解答】

　（あ）　･･･ \( 8x+4(x+300) \)
　（い）　･･･ \( 850 \)

【解説】

会話の内容から，「中学生１人あたりの入館料は大人１人あたりの入館料よりも \( 300 \) 円安い」，
つまり，「大人１人あたりの入館料は中学生１人あたりの入館料よりも \( 300 \) 円高い」ので，
中学生１人あたりの入館料を \( x \) 円とするとき，
大人１人あたりの入館料は \( x+300 \) 円と表すことができます。

このとき，
　中学生 \( 8 \) 人分の入館料は \( 8x \) 円，
　大人 \( 4 \) 人分の入館料は \( 4(x+300) \) 円
と表すことができ，これらの合計が \( 11400 \) 円だったので，
方程式にすると，\( 8x+4(x+300)=11400 \) ･･･　（あ）　になります。

これを解くと，
　\( 8x+4(x+300)=11400 \)
　 \( 8x+4x+1200=11400 \)
　　　　　　　 \( 12x=10200 \)
　　　　　　　　 \( x=850 \)（円）･･･　（い）　

大問５

次の資料は，ある地域における中学校１０校の，全校生徒の人数をそれぞれ記録したものであり，表は，資料の記録を度数分布表にまとめたものである。
この資料と表において，あとの問いに答えなさい。

（ア）表の中の \( \boxed{\phantom{　　　}} \) にあてはまる数として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 1 \) 　　　　　　　　２． \( 2 \) 　　　　　　　　３． \( 3 \) 　　　　　　　　４． \( 4 \)

【解答】

３． \( 3 \)

【解説】

ある階級の累積度数はその階級以下のすべての階級の度数の合計になるので，
\( 200 \) 人以上 \( 300 \) 人未満の階級の累積度数は，\( 2+1=3 \)（校）になります。

（イ）資料の記録を箱ひげ図に表したものとして最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　

【解答】

１

【解説】

全部で \( 10 \) 校分のデータを集計しているので，
中央値になるのは，生徒数が少ない方から \( 5 \) 番目と \( 6 \) 番目の平均値
第三四分位数になるのは，生徒数が少ない方から \( 8 \) 番目の値
になります。

資料の数値から中央値と第三四分位数を求めると，
　中央値 \( =\dfrac{310+400}{2}=355 \)（人）
　第三四分位数･･･ \( 481 \)（人）
なので，両方があてはまる箱ひげ図は１になります。

大問６

ある中学校で，合唱祭の発表と発表後の表彰式の様子を実行委員の生徒がビデオカメラで撮影した。この撮影で使用したビデオカメラには，通常モードと高画質モードの２種類の設定があり，それぞれの設定において，撮影で使用するデータ量は撮影する時間に比例する。
このビデオカメラを用いて高画質モードで撮影を開始し，発表が終わったところで通常モードに切り替え，撮影を開始してから \( 180 \) 分経過したところで撮影を終了した。次の図は，撮影した時間 \( x \)（分）と撮影で使用したデータ量 \( y \; (\mathrm{GB}) \) の関係を表したグラフであり，\( O \) は原点である。
このとき，あとの問いに答えなさい。

（ア）このビデオカメラの設定を通常モードに切り替えたのは，撮影を開始してから何分後か。最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 90 \) 分後　　　　　２． \( 120 \) 分後　　　　　３． \( 150 \) 分後　　　　　４． \( 180 \) 分後

【解答】

２． \( 120 \) 分後

【解説】

高画質モードと通常モードでは時間あたりに使用するデータ量は異なるので，
高画質モードで撮影したときの直線の傾きと通常モードで撮影したときの直線の傾きが異なります。
つまり，直線の傾きが変わる点で通常モードに切り替えたことになるので，
通常モードに切り替えたのは，撮影を開始してから \( 120 \) 分後になります。

（イ）このビデオカメラを用いて高画質モードで撮影を開始し，途中で設定を切り替えることなく \( 180 \) 分経過したところで撮影を終了したとする。
このとき，この撮影で使用したデータ量は何 \( \mathrm{GB} \) になると考えられるか。最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 12 \; \mathrm{GB} \) 　　　　　２． \( 15 \; \mathrm{GB} \) 　　　　　　３． \( 18 \; \mathrm{GB} \) 　　　　　　４． \( 21 \; \mathrm{GB} \)

【解答】

３． \( 18 \; \mathrm{GB} \)

【解説】

\( 120 \) 分経過した後も高画質モードで撮影を続けた場合の直線をかき加えたものが
下の図の赤の直線になります。

グラフから，高画質モードで \( 120 \) 分間撮影したとき，\( 12 \; \mathrm{GB} \) を使用したので，
\( 60 \) 分間では \( 6 \; \mathrm{GB} \) のデータを消費したことになります。
つまり，\( 120 \) 分後から \( 180 \) 分後までの \( 60 \) 分間にも \( 6 \; \mathrm{GB} \) のデータを
使用することになるので，使用するデータ量の合計は，\( 12+6=18 \; (\mathrm{GB}) \) になります。

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神奈川県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 18 Jan 2025 13:00:37 +0000

大問１

（ア） \( 2-8 \)

　　　１． \( -10 \) 　　　　　　　２． \( -6 \) 　　　　　　　３． \( 6 \) 　　　　　　　　４． \( 10 \)

【解答】

２． \( -6 \)

（イ） \( -\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{4} \)

　　　１． \( -\dfrac{21}{20} \) 　　　　　　２． \( -\dfrac{11}{20} \) 　　　　　　３． \( \dfrac{11}{20} \) 　　　　　　　４． \( \dfrac{21}{20} \)

【解答】

２． \( -\dfrac{11}{20} \)

【解説】

\( =-\dfrac{16}{20}+\dfrac{5}{20} \)
\( =-\dfrac{11}{20} \)

（ウ） \( \dfrac{3x-y}{4}-\dfrac{5x+2y}{9} \)

　　　１． \( \dfrac{7x-17y}{36} \) 　　　　２． \( \dfrac{7x-y}{36} \) 　　　　　３． \( \dfrac{7x+y}{36} \) 　　　　　４． \( \dfrac{7x+17y}{36} \)

【解答】

１． \( \dfrac{7x-17y}{36} \)

【解説】

\( =\dfrac{9(3x-y)}{36}-\dfrac{4(5x+2y)}{36} \)
\( =\dfrac{9(3x-y)-4(5x+2y)}{36} \)
\( =\dfrac{27x-9y-20x-8y}{36} \)
\( =\dfrac{7x-17y}{36} \)

（エ） \( \dfrac{10}{\sqrt{5}}+\sqrt{80} \)

　　　１． \( 4\sqrt{5} \) 　　　　　　　２． \( 4\sqrt{10} \) 　　　　　　３． \( 6\sqrt{5} \) 　　　　　　４． \( 6\sqrt{10} \)

【解答】

３． \( 6\sqrt{5} \)

【解説】

\( =\dfrac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}+4\sqrt{5} \)
\( =2\sqrt{5}+4\sqrt{5} \)
\( =6\sqrt{5} \)

（オ） \( (x-2)^2-(x+3)(x-8) \)

　　　１． \( -x+20 \) 　　　　　２． \( -x+28 \) 　　　　３． \( x+20 \) 　　　　　４． \( x+28 \)

【解答】

４． \( x+28 \)

【解説】

\( =(x^2-4x+4)-(x^2-5x-24) \)
\( =x^2-4x+4-x^2+5x+24 \)
\( =x+28 \)

大問２

（ア）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{} ax-by=-10 \\ bx+ay=-11 \\\end{array} \right. \) の解が \( x=3，y=2 \) であるとき，\( a，b \) の値を求めなさい。

　　　１． \( a=-8，b=-1 \) 　　　　２． \( a=-4，b=-1 \)
　　　３． \( a=2，b=-5 \) 　　　　　４． \( a=4，b=-5 \)

【解答】

２． \( a=-4，b=-1 \)

【解説】

与式に \( x=3，y=2 \) を代入すると，
\( \left\{ \begin{array}{}
3a-2b=-10 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3b+2a=-11 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 3 \)
　\( 9a-6b=-30 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 2 \)
　\( 6b+4a=-22 \) ･･･ ➁’
➀’\( + \) ➁’
　\( 13a=-52 \)
　　\( a=-4 \)
➁に代入すると，
　\( 3b+2 \times (-4)=-11 \)
　　　　　\( 3b-8=-11 \)
　　　　　　　\( 3b=-3 \)
　　　　　　　 \( b=-1 \)

（イ）２次方程式 \( 3x^2-5x-1=0 \) を解きなさい。

　　　１． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{13}}{6} \) 　　２． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{37}}{6} \)
　　　３． \( x=\dfrac{5±\sqrt{13}}{6} \) 　　　４． \( x=\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

【解答】

４． \( x=\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{25+12}}{6} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

（ウ）関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の変域が \( -3≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域は \( 0≦y≦6 \) であった。このときの \( a \) の値を求めなさい。

　　　１． \( a=\dfrac{2}{3} \) 　　　　２． \( a=\dfrac{3}{2} \) 　　　　３． \( a=2 \) 　　　　４． \( a=3 \)

【解答】

１． \( a=\dfrac{2}{3} \)

【解説】

\( y=ax^2 \) のグラフにおいて，
\( a>0 \) で，\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) は最大値をとります。

条件より，\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいて，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になっているので，
\( a>0 \) であることがわかります。
また，\( x \) の変域 \( -3≦x≦2 \) において，
\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=-3 \) のときなので，
\( x=-3 \) のときの \( y \) の値が \( 6 \) になります。

\( y=ax^2 \) に \( x=-3，y=6 \) を代入すると，
　 \( 6=a \times (-3)^2 \)
　\( 9a=6 \)
　 \( a=\dfrac{2}{3} \)

（エ）１本 \( 150 \) 円のペンを \( x \) 本と１冊 \( 200 \) 円のノートを \( y \) 冊購入したところ，代金の合計は \( 3000 \) 円以下であった。このときの数量の関係を不等式で表しなさい。

　　　１． \( 150x+200y≧3000 \) 　２． \( 150x+200y>3000 \)
　　　３． \( 150x+200y≦3000 \) 　４． \( 150x+200y<3000 \)

【解答】

３． \( 150x+200y≦3000 \)

【解説】

１本 \( 150 \) 円のペンを \( x \) 本購入するときの代金は \( 150x \) 円
１冊 \( 200 \) 円のノートを \( y \) 冊購入するときの代金は \( 200y \) 円
なので，合計の代金は，\( 150x+200y \) 円
これが \( 3000 \) 円以下だったので，不等式で表すと，\( 150x+200y≦3000 \)

【参考】
ＡはＢ以下である･･･Ａ \( ≦ \) Ｂ
ＡはＢ より小さい ･･･Ａ \( < \) Ｂ

（オ）半径が \( 6 \; cm \) の球の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

　　　１． \( 36\pi{} \; cm^3 \) 　　　２． \( 144\pi{} \; cm^3 \) 　　３． \( 162\pi{} \; cm^3 \) 　　４． \( 288\pi{} \; cm^3 \)

【解答】

４． \( 288\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

球の体積を求める公式より，
　\( \dfrac{4}{3}\pi{} \times 6^3=288\pi{} \; (cm^3) \)

（カ） \( x=143，y= 47 \) のとき，\( x^2-9y^2 \) の値を求めなさい。

　　　１． \( 284 \) 　　　　　２． \( 384 \) 　　　　　３． \( 568 \) 　　　　　４． \( 668 \)

【解答】

３． \( 568 \)

【解説】

与式を因数分解し，\( x=143，y= 47 \) を代入すると，
与式 \( =(x+3y)(x-3y) \)
　　 \( =(143+3 \times 47)(143-3 \times 47) \)
　　 \( =(143+141)(143-141) \)
　　 \( =284 \times 2 \)
　　 \( =568 \)

大問３

（ア）右の図１のように，円 \( O \) の周上に，異なる３点 \( A，B，C \) を \( AB=AC \) となるようにとる。
また，点 \( A \) を含まない \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) 上に２点 \( B，C \) とは異なる点 \( D \) を \( BD>CD \) となるようにとり，線分 \( AD \) と線分 \( BC \) との交点を \( E \) とする。
さらに，\( ∠CAD \) の二等分線と円 \( O \) との交点のうち，点 \( A \) とは異なる点を \( F \) とし，線分 \( AF \) と線分 \( BC \) との交点を \( G \)，線分 \( AF \) と線分 \( CD \) との交点を \( H \) とする。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ）三角形 \( ACG \) と三角形 \( ADH \) が相似であることを次のように証明した。　(a)　，　(b)　に最も適するものを，それぞれ選択肢の１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

［証明］
\( △ACG \) と \( △ADH \) において，
まず，線分 \( AF \) は \( ∠CAD \) の二等分線であるから，
　\( ∠CAF=∠DAF \)
　よって，\( ∠CAG=∠DAH \) ･･･ ①
次に，\( AB=AC \) より，\( △ABC \) は二等辺三角形
であり，その２つの底角は等しいから，
　　(a)　･･･ ➁
また，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角は等しいから，
　\( ∠ABC=∠ADC \) ･･･ ③
②，③より，\( ∠ACB=∠ADC \)
よって， \( ∠ACG=∠ADH \) ･･･ ➃
➀，④より, 　(b)　から，
\( △ACG \) ∽ \( △ADH \)

　(a)　の選択肢
１． \( ∠ABC=∠ACB \)
２． \( ∠ACB =∠ADB \)
３． \( ∠AGB =∠CGF \)
４． \( ∠BAD=∠BCD \)

　(b)　の選択肢
１．１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
２．２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
３．３組の辺の比がすべて等しい
４．２組の角がそれぞれ等しい

【解答・解説】

　(a)　･･･１． \( ∠ABC=∠ACB \)
　(b)　･･･４．２組の角がそれぞれ等しい

（ⅱ）次の　　　の中の「あ」「い」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

線分 \( AC \) の延長と線分 \( DF \) の延長との交点を \( I \) とする。\( ∠AID=73°，∠DHF=61° \) のとき，\( ∠AEB \) の大きさは \( \boxed{ あ \; い } \; ^\circ \) である。

【解答】

\( \boxed{ あ \; い } \; ^\circ=84° \)

【解説】

\( ∠DHF= 61° \) より，
　\( ∠AHD=180°-∠DHF=119° \)
（ⅰ）より，\( △ACG \) ∽ \( △ADH \) なので，
　\( ∠AGC=∠AHD=119° \)
ここから，\( ∠AGE=180°-∠AGC=61° \)
\( ∠AEB \) は \( △AEG \) の外角なので，
\( ∠AEB=x，∠DAH=y \) とすると，
　\( ∠x=∠y+61° \) ･･･ ➀

線分 \( AF \) は \( ∠CAD \) の二等分線なので，
　\( ∠FAI=∠DAH=y \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ CF } \) に対する円周角なので，
　\( ∠FDH=∠FAI=y \)
\( ∠HFI \) は \( △FDH \) の外角なので，
　\( ∠HFI=∠FDH+∠DHF=y+61° \)
\( ∠HFD \) は \( △AFI \) の外角なので，
　\( ∠HFD=∠FAI+∠AID=y+73° \)
３点 \( D，F，I \) は１直線上にあるので，
　　　 \( ∠HFI+∠HFD=180° \)
　\( (y+61°)+(y+73°)=180° \)
　　　　　　　\( 2y+134°=180° \)
　　　　　　　　　　　 \( y=23° \)

よって，\( ∠x=∠y+61°=84° \)

（イ）ある地域における，３つの中学校の１学年の生徒を対象に，家から学校までの通学時間を調べることにした。右の図２は，Ａ中学校に通う生徒 \( 50 \) 人，Ｂ中学校に通う生徒 \( 50 \) 人，Ｃ中学校に通う生徒 \( 60 \) 人の，それぞれの通学時間を調べて中学校ごとにヒストグラムに表したものである。なお，階級はいずれも，\( 5 \) 分以上 \( 10 \) 分未満，\( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満などのように，階級の幅を \( 5 \) 分にとって分けている。
また，調べた通学時間を中学校ごとに箱ひげ図に表したところ，右の図３のようになった。箱ひげ図Ｘ～Ｚは, Ａ中学校，Ｂ中学校，Ｃ中学校のいずれかに対応している。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ）箱ひげ図Ｘ～Ｚと, Ａ中学校，Ｂ中学校，Ｃ中学校の組み合わせとして最も適するものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１．Ｘ：Ａ中学校　Ｙ：Ｂ中学校　Ｚ：Ｃ中学校
　　　２．Ｘ：Ａ中学校　Ｙ：Ｃ中学校　Ｚ：Ｂ中学校
　　　３．Ｘ：Ｂ中学校　Ｙ：Ａ中学校　Ｚ：Ｃ中学校
　　　４．Ｘ：Ｂ中学校　Ｙ：Ｃ中学校　Ｚ：Ａ中学校
　　　５．Ｘ：Ｃ中学校　Ｙ：Ａ中学校　Ｚ：Ｂ中学校
　　　６．Ｘ：Ｃ中学校　Ｙ：Ｂ中学校　Ｚ：Ａ中学校

【解答】

４．Ｘ：Ｂ中学校　Ｙ：Ｃ中学校　Ｚ：Ａ中学校

【解説】

３つのヒストグラムに各階級の累積度数をかき足すと
右の図のようになります。

Ａ・Ｂ・Ｃ各中学校の中央値と第三四分位数は
【Ａ中学校，Ｂ中学校】
中央値･･･時間の短い方から
　　　　　 \( 25 \) 番目と \( 26 \) 番目の平均値
第三四分位数･･･時間の短い方から \( 38 \) 番目の値
【Ｃ中学校】
中央値･･･時間の短い方から
　　　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の平均値
第三四分位数･･･時間の短い方から
　　　　　　　　 \( 45 \) 番目と \( 46 \) 番目の平均値
になります。

まず，中央値に注目すると，Ａ中学校だけ
\( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級に属しているので，
あてはまる箱ひげ図は「Ｚ」になります。

次に，第三四分位数に注目すると，
Ｂ中学校は \( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級
Ｃ中学校は \( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級
に属しているので，
あてはまる箱ひげ図は，
Ｂ中学校が「Ｘ」
Ｃ中学校が「Ｙ」
になります。

（ⅱ）調べた通学時間について正しく述べたものを次のⅠ～Ⅳの中からすべて選ぶとき, 最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び, その番号を答えなさい。

　　 Ⅰ．３つの中学校のうち，通学時間が \( 30 \) 分以上の生徒の人数は，Ａ中学校が最も多い。
　　 Ⅱ．３つの中学校のうち，通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の生徒の割合は，Ｂ中学校が最も大きい。
　　 Ⅲ．３つの中学校において，通学時間が \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の生徒の割合はすべて等しい。
　　 Ⅳ．３つの中学校において，通学時間の平均値はすべて \( 25 \) 分未満である。

　　　１．Ⅰ 　　　　２． Ⅱ 　　　　３． Ⅲ 　　　　４． Ⅳ
　　　５． Ⅰ, Ⅱ 　６． Ⅲ, Ⅳ

【解答】

６． Ⅲ, Ⅳ

【解説】

Ⅰ．３つの中学校の通学時間が \( 30 \) 分以上の生徒の人数は，
　　　Ａ中学校･･･ \( 7+2+1=10 \)（人）
　　　Ｂ中学校･･･ \( 1+7+4=12 \)（人）
　　　Ｃ中学校･･･ \( 5+1+1=7 \)（人）
　　であり，最も多いのはＢ中学校なので，正しくありません。

Ⅱ．通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の生徒の割合というのは，相対度数のことです。
　　３つの中学校の \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の階級の相対度数は，
　　　Ａ中学校･･･ \( 5 \div 50=0.10 \)
　　　Ｂ中学校･･･ \( 7 \div 50=0.14 \)
　　　Ｃ中学校･･･ \( 9 \div 60=0.15 \)
　　であり，割合が最も大きいのはＣ中学校なので，正しくありません。

Ⅲ．３つの中学校の \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の階級の相対度数は，
　　　Ａ中学校･･･ \( 10 \div 50=0.20 \)
　　　Ｂ中学校･･･ \( 10 \div 50=0.20 \)
　　　Ｃ中学校･･･ \( 12 \div 60=0.20 \)
　　であり，割合はすべて等しいので，正しい。

Ⅳ．ヒストグラムから，通学時間が \( 25 \) 分未満である人数と \( 25 \) 分以上である人数に注目すると，
　　　Ａ中学校･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 32 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 18 \) 人
　　　Ｂ中学校･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 27 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 23 \) 人
　　　Ｃ中学校･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 46 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 14 \) 人
　　であり，Ａ中学校とＣ中学校は圧倒的に多くなっています。
　　基準とする値より小さい値の人数と大きい値の人数に大きな差があり，
　　はずれ値（極端に大きい値，小さい値）がないとき，平均値は，人数が多い方に寄った値になるので，
　　Ａ中学校とＣ中学校の平均値は \( 25 \) 分未満になると推定できます。

　　ただし，Ｂ中学校の場合は，\( 25 \) 分未満である人数と\( 25 \) 分以上である人数に大きな差がないので，
　　計算して求める必要があります。
　　平均値は，「すべてのデータの合計値 \( \div \) データの総数」で求めることができます。
　　ヒストグラムにおけるすべてのデータの合計値は，各階級の「階級値 \( \times \) 度数」の合計になります。

　　Ｂ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 9+12.5 \times 7+17.5 \times 10+22.5 \times 1+27.5 \times 11+32.5 \times 1+37.5 \times 7+42.5 \times 4}{50}=22.4 \)
　　なので，３つの中学校において，通学時間の平均値はすべて \( 25 \) 分未満になっています。
　　

　　【参考】
　　Ａ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 4+12.5 \times 5+17.5 \times 10+22.5 \times 13+27.5 \times 8+32.5 \times 7+37.5 \times 2+42.5 \times 1}{50}=22.5 \)
　　

　　Ｃ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 14+12.5 \times 9+17.5 \times 12+22.5 \times 11+27.5 \times 7+32.5 \times 5+37.5 \times 1+42.5 \times 1}{60}=18.5 \)
　　

（ウ）次の　　　の中の「う」「え」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

右の図４において，三角形 \( ABC \) は \( ∠ACB = 90° \) の直角三角形であり，点 \( D \) は辺 \( AB \) の中点である。
また，２点 \( E，F \) は辺 \( AC \) 上の点で，\( BC=CE \) であり，\( BF//DE \) である。
さらに，点 \( G \) は線分 \( DE \) の中点であり，点 \( H \) は線分 \( BF \) と線分 \( CG \) との交点である。
\( AB=24 \; cm，BC=12 \; cm \) のとき，線分 \( GH \) の長さは \( \boxed{ う } \)\( \; \sqrt{ \boxed{ え } } \; cm \) である。

【解答】

\( \boxed{ う } \)\( \; \sqrt{ \boxed{ え }}=6\sqrt{2} \; cm \)

【解説】

\( ∠ACB = 90°，AB：BC=24：12=2：1 \) より，
\( △ABC \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形で，
補助線 \( CD \) をひくと，
\( △BCD \) は内角が \( 60° \) の二等辺三角形なので，
正三角形になります。

次に，\( △CDE \) に注目すると，
\( CD=CE=12 \; cm \) の二等辺三角形であり，
\( ∠ACB = 90°，∠BCD=60° \) なので，
　\( ∠DCE=∠ACB-∠BCD=30° \)
になっています。

また，点 \( G \) は線分 \( DE \) の中点なので，
線分 \( CG \) は。\( ∠DCE \) の二等分線，
線分 \( DE \) の垂直二等分線になっています。

線分 \( CG \) が \( ∠DCE \) の二等分線になることから，
\( ∠DCG=\dfrac{1}{2}∠DCE=15° \)
になっています。

また，\( BF//DE，CG⊥DE \) より，
\( ∠CFB=90° \) なので，
\( △BCF \) において，
　\( ∠CBF=180°-(90°+60°+15°)=15° \)
であり，\( ∠DBC=60° \) より，
　\( ∠DBF=∠DBC-∠CBF=45° \)
になっています。

点 \( D \) から線分 \( BF \) に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( △DBI \) は直角二等辺三角形になっています。

\( BF//DE，CG⊥DE，DI⊥BF \) より，
\( GH=DI \) なので，
　\( GH=DI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BD=6\sqrt{2} \; (cm) \)

（エ） \( 4 \; \% \) の食塩水 \( 300 \; g \) が入ったビーカーから，食塩水 \( a \; g \) を取り出した。その後，ビーカーに残っている食塩水に食塩 \( a \; g \) を加えてよくかき混ぜたところ，\( 12 \; \% \) の食塩水になった。
このとき，\( a \) の値として正しいものを次の１～８の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( a=18 \) 　　２． \( a=20 \) 　　３． \( a=21 \) 　　４． \( a=24 \)
　　　５． \( a=25 \) 　　６． \( a=28 \) 　　７． \( a=30 \) 　　８． \( a=36 \)

【解答】

５． \( a=25 \)

【解説】

\( 4 \; \% \) の食塩水と\( 12 \; \% \) の食塩水に含まれる食塩の量の関係に注目します。

\( 4 \; \% \) の食塩水 \( 300 \; g \) に含まれる食塩の量は，
　\( 300 \times \dfrac{4}{100}=12 \; (g) \)

取り出した \( 4 \; \% \) の食塩水 \( a \; g \) に含まれる食塩の量は，
　\( a \times \dfrac{4}{100}=\dfrac{4}{100}a \; (g) \)

\( 12 \; \% \) の食塩水も \( 300 \; g \) なので，ここに含まれる食塩の量は，
　\( 300 \times \dfrac{12}{100}=36 \; (g) \)

よって，食塩の量の関係を方程式として解くと，
　\( 12-\dfrac{4}{100}a+a=36 \)
　　　　　　\( \dfrac{96}{100}a=24 \)
　　　　　　　\( 96a=2400 \)
　　　　　　　　 \( a=25 \; (g) \)

大問４

右の図において，直線①は関数 \( y=-x \) のグラフ，直線②は関数 \( y=-3x \) のグラフであり，曲線③は関数 \( y=ax^2 \) のグラフである。
点 \( A \) は直線①と曲線③との交点で，その \( x \) 座標は \( -6 \) である。点 \( B \) は曲線③上の点で，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。点 \( C \) は直線②と線分 \( AB \) との交点である。
また，点 \( D \) は \( x \) 軸上の点で，線分 \( AD \) は \( y \) 軸に平行である。点 \( E \) は線分 \( AD \) 上の点で，\( AE=ED \) である。
さらに，原点を \( O \) とするとき，点 \( F \) は直線②上の点で，\( CO：OF=2：1 \) であり，その \( x \) 座標は正である。
このとき，次の問いに答えなさい。

（ア）曲線③の式 \( y=ax^2 \) の \( a \) の値として正しいものを次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( a=\dfrac{1}{9} \) 　　　　２． \( a=\dfrac{1}{6} \) 　　　　３． \( a=\dfrac{2}{9} \)
　　　４． \( a=\dfrac{1}{3} \) 　　　　５． \( a=\dfrac{4}{9} \) 　　　　６． \( a=\dfrac{2}{3} \)

【解答】

２． \( a=\dfrac{1}{6} \)

【解説】

点 \( A \) は \( y=-x \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -6 \) なので，
\( y \) 座標は \( 6 \) になります。
\( y=ax^2 \) に \( x=-6，y=6 \) を代入すると，
　　\( 6=a \times (-6)^2 \)
　\( 36a=6 \)
　　\( a=\dfrac{1}{6} \)

（イ）直線 \( EF \) の式を \( y=mx+n \) とするときの（ⅰ） \( m \) の値と，（ⅱ） \( n \) の値として正しいものを，それぞれ次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

　（ⅰ） \( m \) の値
　　　１． \( m=-\dfrac{7}{4} \) 　　２． \( m=-\dfrac{12}{7} \) 　　３． \( m=-\dfrac{7}{5} \)
　　　４． \( m=-1 \) 　　　５． \( m=-\dfrac{6}{7} \) 　　６． \( m=-\dfrac{4}{3} \)

　（ⅱ） \( n \) の値
　　　１． \( n=-\dfrac{11}{4} \) 　　２． \( n=-\dfrac{18}{7} \) 　　３． \( n=-\dfrac{15}{7} \)
　　　４． \( n=-2 \) 　　　５． \( n=-\dfrac{13}{7} \) 　　６． \( n=-\dfrac{11}{6} \)

【解答】

（ⅰ）５． \( m=-\dfrac{6}{7} \)
（ⅱ）３． \( n=-\dfrac{15}{7} \)

【解説】

線分 \( AD \) は \( y \) 軸に平行であることから，点 \( A \) と点 \( D \) の \( x \) 座標は等しいので，
点 \( D \) の座標は \( D(-6，0) \) です。

線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行で，点 \( C \) は線分 \( AB \) 上の点であることから，
点 \( A \) と点 \( C \) の \( y \) 座標は等しいので，点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 6 \) です。
点 \( C \) は \( y=-3x \) 上の点でもあるので，\( y=-3x \) に \( y=6 \) を代入すると，
　\( 6=-3x \)
　\( x=-2 \)
となり，点 \( C \) の座標は \( C(-2，6) \) です。

線分 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( H \)，
点 \( F \) から \( y \) 軸に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( △OCH \) ∽ \( △OFI \) であり，
　\( CH：FI=CO：OF=2：1 \)
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -2 \) なので，
\( CH=2，FI=1 \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標は \( 1 \) になります。

点 \( F \) は \( y=-3x \) 上の点なので，
　\( y=-3 \times 1=-3 \)
であり，点 \( F \) の座標は \( F(1，-3) \) です。

また，点 \( E \) は線分 \( AD \) の中点なので，
点 \( E \) の座標は \( E(-6，3) \) です。

ここから，直線 \( EF \) の傾き \( m \) は，
　\( m=\dfrac{-3-3}{1-(-6)}=-\dfrac{6}{7} \)
\( y=-\dfrac{6}{7}x+n \) に \( x=1，y=-3 \) を代入すると，
　\( -3=-\dfrac{6}{7} \times 1+n \)
　　\( n=-3+\dfrac{6}{7} \)
　　　\( =-\dfrac{15}{7} \)

（ウ）次の　　　の中の「お」「か」「き」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

線分 \( BD \) 上に点 \( G \) を，三角形 \( CEF \) と三角形 \( COG \) の面積の比が \( △CEF：△COG=3：2 \) で，その \( x \) 座標が正となるようにとる。このときの，点 \( G \) の \( x \) 座標は \( \dfrac{\boxed{ \; おか \; } }{\boxed{ \; き \; }} \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; おか \; } }{\boxed{ \; き \; }}=\dfrac{24}{7} \)

【解説】

\( CO：OF=2：1 \) より，\( CF：CO=3：2 \) なので，
\( △CEF：△COG=3：2 \) になるとき，高さは等しくなります。

点 \( E \) を通り，直線➁と平行な直線と
\( x \) 軸の交点を \( E’ \)，
点 \( G \) を通り，直線➁と平行な直線と
\( x \) 軸の交点を \( G’ \) とすると，
等積変形の考え方より，
\( △CEF=△CE’F，△COG=△COG’ \)
になります。

また，\( OE’=OG’ \) となるとき，
\( △CE’F \) と\( △COG’ \) の高さは等しくなります。

直線 \( EE’ \) は \( y=-3x \) と平行なので，
傾きは \( -3 \) であり，\( E(-6，3) \) であることから，
\( E’(-5，0) \) になっています。
このとき，\( OE’=OG’=5 \) なので，
\( G’(5，0) \) になっています。

直線 \( GG’ \) は \( y=-3x \) と平行なので，
この直線の式を \( y=-3x+b \) とすると，
\( G’(5，0) \) を通るので，
　\( 0=-3 \times 5+b \)
　\( b=15 \)
よって，直線 \( GG’ \) の式は \( y=-3x+15 \)

直線 \( BD \) は \( B(6，6)，D(-6，0) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{6-0}{6-(-6)}=\dfrac{1}{2} \)
直線 \( BD \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+c \) とし，
\( x=6，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=\dfrac{1}{2} \times 6+c \)
　\( c=3 \)
よって，直線 \( BD \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+3 \)

点 \( G \) は直線 \( GG’ \) と直線 \( BD \) の交点なので，
　\( -3x+15=\dfrac{1}{2}x+3 \)
　\( -6x+30=x+6 \)
　　　　　\( 7x=24 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{24}{7} \)

ＯＥ’＝ＯＧ’ となるとき，△ＣＥ'Ｆと△ＣＯＧ'の高さは等しくなる？

点 \( E’，G’ \) から直線➁に垂線をひき，交点を \( P，Q \) とすると，
\( PE’ \) は \( △OPE’ \) の高さ，\( QG’ \) は \( △OQG’ \) の高さになっています。
ここから，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( PE’=QG’ \) になることを確認していきます。

\( △OPE’ \) と \( △OQG’ \) において，
\( PE’//QG’ \) であり，
錯角は等しいので，\( ∠PE’O=∠QG’O \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，\( ∠POE’=∠QOG’ \) ･･･ ➁
仮定より，\( OE’=OG’ \) ･･･ ➂
①②③より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △OPE’ \) と \( △OQG’ \)
対応する辺は等しいので，\( PE’=QG’ \)

よって，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( PE’=QG’ \) である，
つまり，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( △CE’F \) と\( △COG’ \) の高さは等しくなります。

大問５

右の図１のように，\( 1，2，3，4，5，6 \) の数が１つずつ書かれた６枚のカードがある。
大，小２つのさいころを同時に1回投げ，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。出た目の数によって，次の【操作１】，【操作２】を順に行い，残ったカードについて考える。

【操作１】 \( a \) の約数が書かれたカードをすべて取り除く。
【操作２】 \( b \) が書かれたカードを取り除く。ただし，【操作１】により, \( b \) が書かれたカードをすでに
　　　　　取り除いていた場合は，残っているカードのうち，最も大きい数が書かれたカードを取り除く。

例
大きいさいころの出た目の数が \( 4 \)，小さいさいころの出目の数が \( 2 \) のとき，\( a=4，b=2 \) だから，

【操作１】　図１の \( \fbox{1} \) と \( \fbox{2} \) と \( \fbox{4} \) のカードを取り除くと，図２のようになる。

【操作２】　【操作１】で \( \fbox{2} \) のカードをすでに取り除いているので，図２の，最も大きい数が書かれた \( \fbox{6} \) のカードを取り除くと，図３のようになる。

この結果，残ったカードは \( \fbox{3}，\fbox{5} \) となる。

いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（ア）次の　　　の中の「く」「け」「こ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

残ったカードが，\( \fbox{4} \) のカード１枚だけとなる確率は \( \dfrac{\boxed{ \; く \; }}{\boxed{ \; けこ \; }} \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; く \; }}{\boxed{ \; けこ \; }}=\dfrac{5}{36} \)

【解説】

【操作２】では必ず１枚のカードを取り除くことに注目すると，
残ったカードが，\( \fbox{4} \) のカード１枚だけになるためには，
【操作１】が終わった段階で，２枚のカードが残っている必要がある。
つまり，【操作１】では，４枚のカードを取り除く必要があります。

【操作１】で取り除くカードを考えると，
　\( a=1 \) のとき･･･ \( \fbox{1} \)
　\( a=2 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{2} \)
　\( a=3 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{3} \)
　\( a=4 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{4} \)
　\( a=5 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{5} \)
　\( a=6 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{6} \)
なので，４枚のカードを取り除くことができるのは \( a=6 \) のときだけです。

また，そのとき残るカードは \( \fbox{4}，\fbox{5} \) なので，
【操作２】では \( \fbox{5} \) のカードを取り除けばいいことになります。
\( \fbox{5} \) のカードを取り除くことになるのは，
\( b=5 \) または，\( b=1，2，3，6 \) のときです。

よって，残ったカードが，\( \fbox{4} \) のカード１枚だけになるのは，
\( (a，b)=(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，5)，(6，6) \) の５通りなので，
その確率は \( \dfrac{5}{36} \)

（イ）次の　　　の中の「さ」「し」「す」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれる確率は \( \dfrac{\boxed{ \; さ \; }}{\boxed{ \; しす \; } } \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; さ \; }}{\boxed{ \; しす \; }}=\dfrac{5}{12} \)

【解説】

残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれない場合を考えると，

場合分け１：【操作１】で \( \fbox{6} \) のカードが取り除かれるとき
　　　　　　\( a=6 \) であれば \( b \) の値は何でもいいので，
　　　　　　　\( (a，b)=(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6) \) の６通り

場合分け２：【操作２】で \( \fbox{6} \) のカードが取り除かれるとき
場合分け２－１：直接 \( \fbox{6} \) のカードを取り除くとき
　　　　　　　　\( a≠6，b=6 \) のときなので，
　　　　　　　　　\( (a，b)=(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6) \) の５通り

場合分け２－２：残っている最も大きい数のカードとして \( \fbox{6} \) のカードを取り除くとき
　　　　　　　　\( a≠6 \) かつ \( b \) の値が \( a \) の約数であるときなので，
　　　　　　　　　\( (a，b)=(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =(4，1)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，5) \) の１０通り

以上より，残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれない場合は \( 6+5+10=21 \) 通りなので，
その確率は \( \dfrac{21}{36} \)
よって，残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれる確率は
　\( 1-\dfrac{21}{36}=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12} \)

大問６

右の図は，点 \( A \) を頂点とし，\( BC=CD \) の二等辺三角形 \( BCD \) を底面，三角形 \( AEB \)，三角形 \( ABD \)，三角形 \( ADF \) を側面とする三角すいの展開図であり，\( ∠AEB=∠AFD=90° \) である。
また，点 \( G \) は辺 \( AB \) 上の点で，\( AG：GB=1：2 \) であり，点 \( H \) は辺 \( AD \) の中点である。
\( AE=10 \; cm，BC=5 \; cm，BD=6 \; cm \) のとき，この展開図を組み立ててできる三角すいについて，次の問いに答えなさい。

（ア）この三角すいの体積として正しいものを次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 30 \; cm^3 \) 　　　２． \( 40 \; cm^3 \)
　　　３． \( 50 \; cm^3 \) 　　　４． \( 100 \; cm^3 \)
　　　５． \( 120 \; cm^3 \) 　　　６． \( 160 \; cm^3 \)

【解答】

２． \( 40 \; cm^3 \)

【解説】

展開図を組み立ててできる立体は右の図のようになります。

\( △BCD \) は二等辺三角形なので，
点 \( C \) から辺 \( BD \) に垂線をひいた交点を \( M \) とすると，
点 \( M \) は辺 \( BD \) の中点であり，\( BM=3 \; cm \) になります。
ここから，\( △BCM \) は３辺の比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( CM=4 \; cm \) になります。

よって，この立体の体積は，
　\( \left( 6 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 10 \times \dfrac{1}{3}=40 \; (cm^3) \)

（イ）次の　　　の中の「せ」「そ」「た」「ち」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

３点 \( C，E，F \) が重なった点を \( I \) とする。この三角すいの側面上に，点 \( G \) から辺 \( AI \) と交わるように点 \( H \) まで線を引く。このような線のうち，最も短くなるように引いた線の長さは \( \dfrac{\boxed{ \; せ \; }\sqrt{\boxed{ \; そた \; }}}{\boxed{ \; ち \; }} \; cm \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; せ \; }\sqrt{\boxed{ \; そた \; }}}{\boxed{ \; ち \; }}=\dfrac{5\sqrt{29}}{6} \)

【解説】

組み立てた立体を辺 \( AB，AD \) で切断し，
面 \( ABC，ADC \) だけを展開すると右の図のようになります。

点 \( G \) から線分 \( AI \) に垂線をひき，交点を \( P \)，
点 \( H \) から線分 \( AI \) に垂線をひき，交点を \( Q \)
とすると，
\( △AGP \) ∽ \( △ABI \)，\( △AHQ \) ∽ \( △ADI \)
になっています。

\( △AGP \) ∽ \( △ABI \) であることから，\( AG：GB=1：2 \) より，\( AG：AB=1：3 \) なので，

　\( GP：BI=AG：AB \)
　　\( GP：5=1：3 \)
　　　 \( GP=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)

　\( AP：AI=AG：AB \)
　 \( AP：10=1：3 \)
　　　 \( AP=\dfrac{10}{3} \; (cm) \)

\( △AHQ \) ∽ \( △ADI \)であることから，点 \( H \) は辺 \( AD \) の中点なので，
\( AH：AD=1：2 \) であり，

　\( HQ：DI=AH：AD \)
　　\( HQ：5=1：2 \)
　　　 \( HQ=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)

　\( AQ：AI=AH：AD \)
　 \( AQ：10=1：2 \)
　　　 \( AQ=5 \; (cm) \)

右の図のように線分 \( GH \) を斜辺とする三角形 \( GHR \) を考えると，
　\( GR=PQ=AQ-AP=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)
　\( HR=HQ+GP=\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{6} \; (cm) \)
なので，三平方の定理より，
　\( GH^2=GR^2+HR^2 \)
　　　　\( =\left( \dfrac{5}{3} \right)^2+\left( \dfrac{25}{6} \right)^2 \)
　　　　\( =\dfrac{25}{9}+\dfrac{25^2}{36} \)
　　　　\( =\dfrac{25 \times 4}{36}+\dfrac{25^2}{36} \)
　　　　\( =\dfrac{25(4+25)}{36} \)
　 \( GH=\dfrac{5\sqrt{29}}{6} \; (cm) \)

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神奈川県公立高校入試　令和５（2023）年度（定時制）　解答＆解説

ハラユタカ — Tue, 11 Jun 2024 13:00:00 +0000

大問１

（ア） \( -8+1 \)
　　　１． \( -9 \) 　　　　２． \( -7 \) 　　　　３． \( 7 \) 　　　　４． \( 9 \)

【解答】

２． \( -7 \)

（イ） \( (-6)^2 \div (-2) \)
　　　１． \( -18 \) 　　　　２． \( -6 \) 　　　　３． \( 6 \) 　　　　４． \( 18 \)

【解答】

１． \( -18 \)

【解説】

\( =36 \div (-2) \)
\( =-18 \)

（ウ） \( -\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{2} \)
　　　１． \( -\dfrac{7}{12} \) 　　　　２． \( -\dfrac{5}{12} \) 　　　　３． \( \dfrac{5}{12} \) 　　　　４． \( \dfrac{7}{12} \)

【解答】

１． \( -\dfrac{7}{12} \)

【解説】

\( =-\dfrac{1}{12}-\dfrac{6}{12} \)
\( =\dfrac{-1-6}{12} \)
\( =-\dfrac{7}{12} \)

（エ） \( 63a^2b^2 \div 3b^2 \)
　　　１． \( 21a \) 　　　　２． \( 21ab \) 　　　　３． \( 21a^2 \) 　　　　４． \( 21a^2b \)

【解答】

３． \( 21a^2 \)

【解説】

\( =\dfrac{63a^2b^2}{3b^2} \)
\( =21a^2 \)

（オ） \( 7(x-2)-4(2x-1) \)
　　　１． \( -x-18 \) 　　　　２． \( -x-10 \) 　　　　３． \( x-18 \) 　　　　４． \( x-10 \)

【解答】

２． \( -x-10 \)

【解説】

\( =7x-14-8x+4 \)
\( =-x-10 \)

（カ） \( \sqrt{27}+\sqrt{3} \)
　　　１． \( 2\sqrt{3} \) 　　　　２． \( 3\sqrt{3} \) 　　　　３． \( \sqrt{30} \) 　　　　４． \( 4\sqrt{3} \)

【解答】

４． \( 4\sqrt{3} \)

【解説】

\( =3\sqrt{3}+\sqrt{3} \)
\( =4\sqrt{3} \)

大問２

右の図において，曲線 ➀ は関数 \( y=x^2 \) のグラフであり，\( O \) は原点である。
点 \( A \) は曲線 ➀ 上の点で，その \( x \) 座標は \( -2 \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。

（ア）点 \( A \) の \( y \) 座標となる \( a \) の値として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( a=-4 \) 　　　　２． \( a=2 \)
　　　３． \( a=4 \) 　　　　　４． \( a=8 \)

【解答】

３． \( a=4 \)

【解説】

\( y=x^2 \) に \( x=-2 \) を代入すると，
　\( y=(-2)^2=4 \)

（イ）関数 \( y=-x^2 \) のグラフについてあてはまることがらとして最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１．原点を通らない。　　　　　　　　　　２．上に開いた形である。
　　　３．曲線 ➀ より開き方が大きい。　　　　４．曲線 ➀ と \( x \) 軸について対称である。

【解答】

４．曲線 ➀ と \( x \) 軸について対称である。

【解説】

\( y=x^2，y=-x^2 \) のグラフは右の図のとおりになります。

１． \( y=-x^2 \) のグラフは原点を通ります。
　　　→ あてはまらない

２．上に開いているのは。\( y=x^2 \) のグラフです。
　　　→ あてはまらない

３． \( y=x^2 \) と \( y=-x^2 \) のグラフは下の表のとおり，
　　 \( x \) 軸について対称になるので，開き方は同じになります。
　　　→ あてはまらない

４． \( y=x^2 \) と \( y=-x^2 \) のグラフは下の表のとおり，
　　 \( x \) 軸について対称になります。 → あてはまる

大問３

（ア） \( (x+7)^2 \) を展開しなさい。
　　　１． \( x^2+49 \) 　　　　２． \( x^2+49x \) 　　　　３． \( x^2+7x+49 \) 　　　　４． \( x^2+14x+49 \)

【解答】

４． \( x^2+14x+49 \)

（イ）１次方程式 \( 5(x-3)=7(x+1) \) を解きなさい。
　　　１． \( x=-11 \) 　　　　２． \( x=-4 \) 　　　　３． \( x=4 \) 　　　　４． \( x=11 \)

【解答】

１． \( x=-11 \)

【解説】

\( 5x-15=7x+7 \)
　　\( -2x=22 \)
　　　 \( x=-11 \)

（ウ） \( x^2+x-12 \) を因数分解しなさい。
　　　１． \( (x-4)(x-3) \) 　２． \( (x-4)(x+3) \) 　３． \( (x+4)(x-3) \) 　４． \( (x+4)(x+3) \)

【解答】

３． \( (x+4)(x-3) \)

（エ）２次方程式 \( x^2-5x+1=0 \) を解きなさい。
　　　１． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{21}}{2} \) 　２． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{29}}{2} \) 　３． \( x=\dfrac{5±\sqrt{21}}{2} \) 　４． \( x=\dfrac{5±\sqrt{29}}{2} \)

【解答】

３． \( x=\dfrac{5±\sqrt{21}}{2} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=1，b=-5，c=1 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{21}}{2} \)

（オ）１つのさいころを１回投げるとき，\( 3 \) 以外の目が出る確率を求めなさい。ただし，さいころは \( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
　　　１． \( \dfrac{1}{6} \) 　　　　２． \( \dfrac{1}{3} \) 　　　　３． \( \dfrac{2}{3} \) 　　　　４． \( \dfrac{5}{6} \)

【解答】

４． \( \dfrac{5}{6} \)

【解説】

１つのさいころを１回投げるとき，\( 3 \) の目が出る確率は \( \dfrac{1}{6} \) なので，
\( 3 \) 以外の目が出る確率は，\( 1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6} \)

（カ） \( \sqrt{7} 　　　１． \( n=3 \) 　　　　２． \( n=4 \) 　　　　３． \( n=8 \) 　　　　４． \( n=9 \)

【解答】

１． \( n=3 \)

【解説】

\( \sqrt{4}<\sqrt{7} \( 2

（キ）右の図は，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) を底面とし，\( OC=5 \; cm \) を高さとする円すいである。
\( AB=6 \; cm \) のとき，この円すいの体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。
　　　１． \( 9\pi{} \; cm^3 \)　　　　　２． \( 15\pi{} \; cm^3 \)
　　　３． \( 45\pi{} \; cm^3 \) 　　　　４． \( 60\pi{} \; cm^3 \)

【解答】

２． \( 15\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

底面の半径 \( OA=\dfrac{1}{2}AB=3 \; cm \) なので，
円すいの体積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times 5 \times \dfrac{1}{3}=15\pi{} \; (cm^3) \)

大問４

（ア）右の図１において，４点 \( A，B，C，D \) は円 \( O \) の周上の点である。
また，点 \( E \) は線分 \( AC \) と線分 \( BD \) との交点である。
このとき，\( ∠x \) の大きさとして正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( 29° \) 　　　　２． \( 34° \)
　　　３． \( 37° \) 　　　　４． \( 39° \)

【解答】

４． \( 39° \)

【解説】

弧 \( AD \) に対する円周角なので，\( ∠ACD=∠ABD=29° \)
\( ∠BEC \) は \( △CDE \) の外角なので，
　\( ∠x+29°=68° \)
　　　　 \( ∠x=39° \)

（イ）右の図２において，四角形 \( ABCD \) は１辺の長さが \( 7 \; cm \) のひし形である。
\( AC=8 \; cm \) のとき，対角線 \( BD \) の長さとして正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( \sqrt{33} \; cm \) 　　　　２． \( 2\sqrt{33} \; cm \)
　　　３． \( 12 \; cm \) 　　　　　４． \( 2\sqrt{65} \; cm \)

【解答】

２． \( 2\sqrt{33} \; cm \)

【解説】

ひし形の２本の対角線は，それぞれの中点で垂直に交わります。

対角線の交点を点 \( O \) とすると，\( AO=\dfrac{1}{2}AC=4 \; (cm) \) なので，
\( △ABO \) において，三平方の定理より，
　\( BO^2=7^2-4^2=33 \)
　 \( BO=\sqrt{33} \; (cm) \) (\( BO>0 \) より)

よって，\( BD=2BO=2\sqrt{33} \; (cm) \)

（ウ）右の図３において，\( O \) は原点であり，点 \( A \) の座標は \( (2，7) \)，点 \( B \) の座標は \( (2，1) \)，点 \( C \) の座標は \( (6，1) \)，点 \( D \) の座標は \( (6，7) \) である。
点 \( A’ \) の座標が \( (8，6) \)，点 \( B’ \) の座標が \( (8，3) \)，点 \( C’ \) の座標が \( (10，3) \) であるとき，四角形 \( ABCD \) と相似となる四角形 \( A’B’C’D’ \) の頂点 \( D′ \) の座標として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( (9，5) \)　　　　　２． \( (9，6) \)
　　　３． \( (10，5) \) 　　　　４． \( (10，6) \)

【解答】

４． \( (10，6) \)

【解説】

長方形 \( ABCD \) の長い方の辺と短い方の辺の長さの比は \( AB：BC=3：2 \) になっており，
長方形 \( A’B’C’D’ \) の長い方の辺と短い方の辺の長さの比も \( A’B’：B’C’=3：2 \) になっています。

長方形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，
頂点 \( D′ \) の座標は \( (10，6) \) になります。

（エ）右の図４において，\( O \) は原点であり，点 \( A \) の座標は \( (7，5) \)，点 \( B \) の座標は \( (3，1) \)，点 \( C \) の座標は \( (8，1) \) である。
また，直線 ➀ は関数 \( y=x \) のグラフである。
三角形 \( ABC \) を，直線 ➀ を対称の軸として対称移動した三角形 \( DEF \) の，頂点 \( F \) の座標として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。ただし，点 \( D \) の座標は \( (5，7) \)，点 \( E \) の座標は \( (1，3) \) である。
　　　１． \( (1，7) \) 　　　　２． \( (1，8) \)
　　　３． \( (2，7) \) 　　　　４． \( (2，8) \)

【解答】

２． \( (1，8) \)

【解説】

このグラフを直線 ➀ で折り返したとき，
\( △ABC \) と \( △DEF \) はぴったり重なります。
また，，線分 \( CF \) は直線 ➀ と垂直に交わり，
その交点は線分 \( CF \) の中点になります。

線分 \( BE \) は傾きが \( -1 \) なので，
線分 \( CF \) も傾き \( -1 \) になります。

点 \( F \) の座標を \( (s，t) \) とすると，
点 \( C \) の座標は \( (8，1) \)，交点の座標は \( \left( \dfrac{9}{2}，\dfrac{9}{2} \right) \)
なので，
　\( \dfrac{s+8}{2}=\dfrac{9}{2} \)
　　　 \( s=1 \)

　\( \dfrac{t+1}{2}=\dfrac{9}{2} \)
　　　 \( t=8 \)

よって，点 \( F \) の座標は \( (1，8) \)

（オ）ＡさんとＢさんは，早朝から夕方まで魚釣りに行った。午前は，ＢさんがＡさんの２倍の数の魚を釣った。正午から休憩をとり，午後は，ＡさんがＢさんよりも３匹だけ多くの魚を釣った。この日にそれぞれが釣った魚の数は，Ａさんが１５匹，Ｂさんが１９匹であった。
Ｃさんは，このときのＡさんが午前に釣った魚の数と，午後に釣った魚の数を次のように求めた。\( \fbox{　（あ）　} \)，\( \fbox{　（い）　} \) にあてはまる式を，\( \fbox{　（う）　} \)，\( \fbox{　（え）　} \) にあてはまる数を，それぞれ書きなさい。

求め方
Ａさんが午前に釣った魚の数を \( x \) 匹，午後に釣った魚の数を \( y \) 匹として，連立方程式をつくると，
\( \left\{ \begin{array}{}
\; \fbox{　（あ）　}=15 \\
\; \fbox{　（い）　}=19 \\
\end{array} \right. \)
となる。
この連立方程式を解くと，解は問題に適しているので，
Ａさんが午前に釣った魚の数は \( \fbox{　（う）　} \) 匹であり，午後に釣った魚の数は \( \fbox{　（え）　} \) 匹である。

【解答】

\( \fbox{　（あ）　} \) ･･･ \( x+y \)
\( \fbox{　（い）　} \) ･･･ \( 2x+y-3 \)
\( \fbox{　（う）　} \) ･･･ \( 7 \)
\( \fbox{　（え）　} \) ･･･ \( 8 \)

大問５

次の表は，ある鉄道会社の５０路線について，路線ごとに駅数を調べて，度数分布表にまとめたものである。
この表において，あとの問いに答えなさい。

（ア）この度数分布表をヒストグラムに表したものとして最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

【解答】

３

【解説】

度数分布表から，もっとも度数が多いのは１０～１４の階級であり，
あてはまるヒストグラムは２または３のどちらかです。
また，１４～１８の階級の度数は８，１８～２２の階級の度数は９なので，
あてはまるヒストグラムは３になります。

（イ）表の中の \( \fbox{　　} \) にあてはまる数として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( 0.16 \) 　　　　２． \( 0.17 \) 　　　　３． \( 0.18 \) 　　　　４． \( 0.19 \)

【解答】

３． \( 0.18 \)

【解説】

ある階級の相対度数は，その階級の度数 \( \div \) 全階級の度数の合計で求めることができるので，
　\( 9 \div 50=0.18 \)

大問６

Aさんは，テーブルクロスを縫うためにミシンを用意した。このミシンには，ゆっくり，はやいの２種類の設定速度があり，それぞれの設定速度におけるミシン糸の消費量は常に一定である。
Ａさんは，このミシンの設定速度をゆっくりにして縫い始め，途中から設定速度をはやいに切り替えて縫っていたところ，縫い始めてから \( 30 \) 秒後にミシン糸がちょうどなくなり，ミシンを止めた。次の図は，Ａさんが縫い始めてからの時間 \( x \)（秒）と使用したミシン糸の長さ \( y \; (cm) \) の関係を表したグラフであり， \( O \) は原点である。
このとき，あとの問いに答えなさい。

（ア）Ａさんがこのミシンの設定速度をはやいに切り替えたのは，テーブルクロスを縫い始めてから何秒後か。最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( 11 \) 秒後　　　　２． \( 12 \) 秒後　　　　３． \( 15 \) 秒後　　　　４． \( 18 \) 秒後

【解答】

２． \( 12 \) 秒後

【解説】

このグラフの傾きが \( 1 \) 秒あたりに使用するミシン糸の長さを表しているので，
直線の傾きが変わっているところがミシンの設定速度を切り替えたところになります。

（イ）Ａさんは新しいミシン糸を取り付け，このミシンの設定速度をゆっくりに戻して再びテーブルクロスを縫い始め，途中で設定速度を切り替えることなく \( 30 \) 秒間縫ったところでミシンを止めた。
このとき，Ａさんが再び縫い始めてから使用したミシン糸の長さは何 \( cm \) か。最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( 27.5 \; cm \) 　　　　２． \( 28 \; cm \) 　　　　３． \( 28.5 \; cm \) 　　　　４． \( 29 \; cm \)

【解答】

１． \( 27.5 \; cm \)

【解説】

グラフから，設定速度がゆっくりのときは \( 12 \) 秒間で \( 11 \; cm \) ミシン糸を使用するので，
この部分の直線の式は \( y=\dfrac{11}{12}x \) になります。
よって，\( x=30 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{11}{12} \times 30=\dfrac{55}{2}=27.5 \; (cm) \)

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神奈川県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sun, 09 Jun 2024 13:00:53 +0000

大問１

（ア） \( -1-(-7) \)
　　　１　 \( -8 \) 　　　　２　 \( -6 \) 　　　　３　 \( 6 \) 　　　　４　 \( 8 \)

【解答】

３　 \( 6 \)

【解説】

\( =-1+7 \)
\( =6 \)

（イ） \( -\dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2} \)
　　　１　 \( -\dfrac{13}{14} \) 　　　　２　 \( -\dfrac{1}{14} \) 　　　　３　 \( \dfrac{1}{14} \) 　　　　４　 \( \dfrac{13}{14} \)

【解答】

３　 \( \dfrac{1}{14} \)

【解説】

\( =\dfrac{-3 \times 2+1 \times 7}{14} \)
\( =\dfrac{1}{14} \)

（ウ） \( 12ab^2 \times 6a \div (-3b) \)
　　　１　 \( -24a^2b \) 　　　　２　 \( -24ab^2 \) 　　　　３　 \( 24a^2b \) 　　　　４　 \( 24ab^2 \)

【解答】

１　 \( -24a^2b \)

【解説】

\( =\dfrac{12ab^2 \times 6a}{-3b} \)
\( =-24a^2b \)

（エ） \( \dfrac{3x+2y}{7}-\dfrac{2x-y}{5} \)
　　　１　 \( \dfrac{x-17y}{35} \) 　　　　２　 \( \dfrac{x-3y}{35} \) 　　　　３　 \( \dfrac{x+3y}{35} \) 　　　　４　 \( \dfrac{x+17y}{35} \)

【解答】

４　 \( \dfrac{x+17y}{35} \)

【解説】

\( =\dfrac{5(3x+2y)-7(2x-y)}{35} \)
\( =\dfrac{15x+10y-14x+7y}{35} \)
\( =\dfrac{x+17y}{35} \)

（オ） \( (\sqrt{6}+5)^2-5(\sqrt{6}+5) \)
　　　１　 \( 6-5\sqrt{6} \) 　　　　２　 \( 6+5\sqrt{6} \) 　　　　３　 \( 6+10\sqrt{6} \) 　　　　４　 \( 6+15\sqrt{6} \)

【解答】

２　 \( 6+5\sqrt{6} \)

【解説】

\( \sqrt{6}+5=A \) とすると，
与式 \( =A^2-5A \)
　　 \( =A(A-5) \)
　　 \( =(\sqrt{6}+5)(\sqrt{6}+5-5) \)
　　 \( =(\sqrt{6}+5) \times \sqrt{6} \)
　　 \( =6+5\sqrt{6} \)

大問２

次の問いに対する答えとして正しいものを，それぞれあとの１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

（ア） \( (x-5)(x+3)-2x+10 \) を因数分解しなさい。
　　　１　\( (x-3)(x+3) \) 　　２　\( (x-5)(x+1) \) 　　３　\( (x-5)(x+5) \) 　　４　\( (x+5)(x-1) \)

【解答】

２　 \( (x-5)(x+1) \)

【解説】

\( (x-5)(x+3)-2x+10=x^2-2x-15-2x+10 \)
　　　　　　　　　　　　　\( =x^2-4x-5 \)
　　　　　　　　　　　　　\( =(x-5)(x+1) \)

（イ）２次方程式 \( 7x^2+2x-1=0 \) を解きなさい。
　　　１　\( x=\dfrac{-1±2\sqrt{2}}{7} \) 　　２　\( x=\dfrac{-1±4\sqrt{2}}{7} \) 　　３　\( x=\dfrac{1±2\sqrt{2}}{7} \) 　　４　\( x=\dfrac{1±4\sqrt{2}}{7} \)

【解答】

１　\( x=\dfrac{-1±2\sqrt{2}}{7} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=7，b=2，c=-1 \) なので，
　\( x=\dfrac{-2±\sqrt{2^2-4 \times 7 \times (-1)}}{2 \times 7} \)
　　\( =\dfrac{-2±\sqrt{32}}{14} \)
　　\( =\dfrac{-1±2\sqrt{2}}{7} \)

（ウ）関数 \( y=-2x^2 \) について，\( x \) の値が \( -3 \) から \( -1 \) まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
　　　１　 \( -8 \) 　　　　２　 \( -4 \) 　　　　３　 \( 4 \) 　　　　４　 \( 8 \)

【解答】

４　 \( 8 \)

【解説】

\( x=-3 \) のときの \( y \) の値は，\( y=-2 \times (-3^2)=-18 \)
\( x=-1 \) のときの \( y \) の値は，\( y=-2 \times (-1^2)=-2 \)
なので，
　変化の割合 \( =\dfrac{-2-(-18)}{-1-(-3)}=8 \)

（エ）十の位の数が \( 4 \) である３桁の自然数がある。この自然数の百の位の数と一の位の数の和は１０であり，百の位の数と一の位の数を入れかえた数はこの自然数より \( 396 \) 大きい。
このとき，この自然数の一の位の数を求めなさい。
　　　１　 \( 6 \) 　　　　２　 \( 7 \) 　　　　３　 \( 8 \) 　　　　４　 \( 9 \)

【解答】

２　 \( 7 \)

【解説】

もとの自然数の百の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) とすると，
　もとの自然数は \( 100a+40+b \)，
　百の位の数と一の位の数を入れかえた数は \( 100b+40+a \)
と表すことができるので，
　\( (100b+40+a)-(100a+40+b)=396 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( 99b-99a=396 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( b-a=4 \) ･･･ ➀
百の位の数と一の位の数の和は１０なので，\( a+b=10 \) ･･･ ➁
➀➁を連立方程式として解くと，\( a=3，b=7 \)
よって，もとの自然数の一の位の数は \( 7 \)

（オ） \( \dfrac{3780}{n} \) が自然数の平方となるような，最も小さい自然数 \( n \) の値を求めなさい。
　　　１　 \( n=35 \) 　　　　２　 \( n=70 \) 　　　　３　 \( n=105 \) 　　　　４　 \( n=210 \)

【解答】

３　 \( n=105 \)

【解説】

\( 3780 \) を素因数分解すると，\( 2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7 \) なので，
　\( \dfrac{3780}{n}=\dfrac{2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7}{n} \)

これが，自然数の平方となる条件は，
・約分ができる
・約分した結果が \( m^2 \) (\( m \) は自然数) の形になる
ことなので，
これを満たす \( n \) のうち，もっとも小さいものは，\( n=3 \times 5 \times 7=105 \)

　\( \dfrac{3780}{n}=\dfrac{2^2 \times 3^3 \times 5 \times 7}{3 \times 5 \times 7}=2^2 \times 3^2=6^2 \)

大問３

（ア）右の図１のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) の周上に，２点 \( A，B \) とは異なる点 \( C \) を，\( AC また，点 \( A \) を含まない弧 \( BD \) 上に，２点 \( B，D \) とは異なる点 \( E \) をとり，線分 \( AB \) と線分 \( CE \) との交点を \( F \)，線分 \( AE \) と線分 \( BD \) との交点を \( G \)，線分 \( BD \) と線分 \( CE \) との交点を \( H \) とする。
さらに，線分 \( CE \) 上に点 \( I \) を，\( DB//AI \) となるようにとる。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ）三角形 \( AIF \) と三角形 \( EHG \) が相似であることを次のように証明した。　　(a)　　～　　(c)　　に最も適するものを，それぞれ選択肢の１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

[証明] \( △AIF \) と \( △EHG \) において，
まず，\( DB//AI \) より，平行線の同位角は等しいから，
　　(a)　　
よって，\( ∠AIF=∠EHG \) ･･･ ➀
次に，仮定より，
\( ∠ABC=∠ABD \) ･･･ ➁
また，弧 \( AC \) に対する円周角は等しいから，
\( ∠ABC=∠AEC \) ･･･ ③
さらに，\( DB//AI \) より，平行線の錯角は等しい
から，
　　(b)　　･･･ ➃
➁，③，➃ より，\( ∠AEC=∠BAI \)
よって，\( ∠FAI=∠GEH \) ･･･ ➄
➀，➄ より，　　(c)　　から,
\( △AIF \) ∽ \( △EHG \)

(a)，(b) の選択肢
　１． \( ∠ABD=∠BAI \)
　２． \( ∠AIE=∠BHC \)
　３． \( ∠AIE=∠DHE \)
　４． \( ∠EAI=∠EGB \)

【解答】

　　(a)　　･･･３． \( ∠AIE=∠DHE \)
　　(b)　　･･･１． \( ∠ABD=∠BAI \)
　　(c)　　･･･４．２組の角がそれぞれ等しい

（ⅱ）次の　　　　の中の「あ」「い」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。
\( ∠BDE=35°，∠DBE=28° \) のとき，\( ∠CAI \) の大きさは　あい　° である。

【解答】

\( 36 \)

【解説】

\( △ABE \) において，
直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠AEB=90° \)
弧 \( BE \) に対する円周角なので，\( ∠BAE=∠BDE=35° \)
仮定より，\( ∠DBE=28° \)
ここから，\( ∠ABD=180°-(90°+35°+28°)=27° \)

\( △ABC \) において，
仮定より，\( ∠ABC=∠ABD=27° \)
\( DB//AI \) より，錯角は等しいので，\( ∠BAI=∠ABD=27° \)
直径 \( AB \) に対する円周角なので，\( ∠ACB=90° \)
ここから，\( ∠CAI=180°-(90°+27°+27°)=36° \)

（イ）ある中学校で１学年から３学年まであわせて１０クラスの生徒が集まり生徒総会を開催した。生徒総会では生徒会から３つの議案Ｘ，Ｙ，Ｚが提出され，それぞれの議案について採決を行った。
右の資料１は議案Ｘに賛成した人数を，資料２は議案Ｙに賛成した人数を，それぞれクラスごとに記録したものである。資料３は議案Ｚに賛成した人数をクラスごとに記録し，その記録の平均値，中央値，四分位範囲をまとめたものである。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ）資料１の記録を箱ひげ図に表したものとして最も適するものを次の１～４の中から1つ選び，その番号を答えなさい。

【解答】

２

【解説】

資料１の記録を賛成した人が少ない順に並べ替えると，
　\( 13，14，17，17，17，19，21，23，24，25 \)

全部で１０クラスの記録なので，
第一四分位数は，少ない方から３番目のクラスの値になるので，\( 17 \)（人）
中央値は，少ない方から５番目と６番目のクラスの値の平均値になるので，\( \dfrac{17+19}{2}=18 \)（人）
第三四分位数は，多い方から３番目のクラスの値になるので，\( 23 \)（人）
また，最小値は \( 13 \) 人，最大値は \( 25 \) 人
となるので，これらをすべて満たしている箱ひげ図は２になります。

（ⅱ）資料２と資料３から読み取れることがらを，次のＡ～Ｄの中からすべて選んだときの組み合わせとして最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

Ａ．議案Ｙに賛成した人数の最頻値は２０人である。
Ｂ．賛成した人数の合計は，議案Ｚより議案Ｙの方が多い。
Ｃ．賛成した人数の中央値は，議案Ｚより議案Ｙの方が大きい。
Ｄ．賛成した人数の四分位範囲は，議案Ｚより議案Ｙの方が小さい。

１．Ａ，Ｂ　　　　２．Ａ，Ｃ　　　　３．Ｂ，Ｄ
４．Ｃ，Ｄ　　　　５．Ａ，Ｂ，Ｃ　　６．Ａ，Ｃ，Ｄ

【解答】

６．Ａ，Ｃ，Ｄ

【解説】

Ａ．資料２の中で，賛成した人数が２０人であったクラスは３クラスで最も多いので
　　正しい。

Ｂ．議案Ｙに賛成した人数の合計は，
　　\( 20+26+19+27+25+24+20+15+24+20=220 \)（人）
　　議案Ｚに賛成した人数の合計は， \( 23 \times 10=230 \)（人）
　　なので，間違っている。

Ｃ．資料２の記録を賛成した人が少ない順に並べ替えると，
　　　\( 15，19，20，20，20，24，24，25，26，27 \)
　　議案Ｙに賛成した人数の中央値は，少ない方から５番目と６番目のクラスの値の平均値なので，
　　\( \dfrac{20+24}{2}=22 \)（人）
　　よって正しい。

Ｄ．資料２より第一四分位数は \( 20 \)人，第三四分位数は \( 25 \)人であり，
　　議案Ｙに賛成した人数の四分位範囲は，\( 25-20=5 \)（人）なので，
　　正しい。

（ウ）学校から駅までの道のりは \( 2400 \; m \) であり，その途中にかもめ図書館といちょう図書館がある。ＡさんとＢさんは \( 16 \) 時に学校を出発し，それぞれが図書館に立ち寄ってから駅まで移動する中で一度すれ違ったが，駅には同時に到着した。
Ａさんは，かもめ図書館に \( 5 \) 分間立ち寄って本を借り，駅まで移動した。Ｂさんは，いちょう図書館に \( 15 \) 分間立ち寄って借りたい本を探したが見つからなかったため道を引き返し，かもめ図書館に \( 5 \) 分間立ち寄って本を借り，駅まで移動した。
次の図２は，学校，かもめ図書館，いちょう図書館，駅の間の道のりを示したものである。図３は，\( 16 \) 時に学校を出発してから \( x \) 分後の学校からの道のりを \( y \; m \) として，Ａさんが駅に到着するまでの \( x \) と \( y \) の関係をグラフに表したものであり，\( O \) は原点である。

このとき，ＡさんとＢさんがすれ違った時間帯として最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。ただし，ＡさんとＢさんの，それぞれの移動中の速さは常に一定であり，図書館での移動は考えないものとする。
　　　１． \( 16 \) 時 \( 19 \) 分から \( 16 \) 時 \( 21 \) 分までの間　　　２． \( 16 \) 時 \( 21 \) 分から \( 16 \) 時 \( 23 \) 分までの間
　　　３． \( 16 \) 時 \( 23 \) 分から \( 16 \) 時 \( 25 \) 分までの間　　　４． \( 16 \) 時 \( 25 \) 分から \( 16 \) 時 \( 27 \) 分までの間
　　　５． \( 16 \) 時 \( 27 \) 分から \( 16 \) 時 \( 29 \) 分までの間　　　６． \( 16 \) 時 \( 29 \) 分から \( 16 \) 時 \( 31 \) 分までの間

【解答】

３． \( 16 \) 時 \( 23 \) 分から \( 16 \) 時 \( 25 \) 分までの間

【解説】

Ｂさんが移動した道のりは，全部で \( 3600 \; m \)で，
移動にかかった時間は \( 15 \) 分なので，
Ｂさんが移動した速さは，\( \dfrac{3600}{15}=240 \) より，
毎分 \( 240 \; m \)

ここから，図３にＢさんが移動した状態を表すグラフを書き加えると，下の図のようになります。
下のグラフから，Ｂさんが
いちょう図書館を出発するのは，\( x=22.5 \) のとき，
かもめ図書館に到着するのは，\( x=25 \) のとき
なので，あてはまるのは３

（エ）次の　　　の中の　う　，　え　にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

右の図４において，四角形 \( ABCD \) は \( AB=CD=DA \) ，
\( AB：BC=1：2 \) の台形である。
また，点 \( E \) は辺 \( BC \) 上の点で \( BE：EC=3：1 \) であり，
２点 \( F，G \) はそれぞれ辺 \( CD，DA \) の中点である。
さらに，線分 \( AE \) と線分 \( BF \) との交点を \( H \)，線分 \( AE \) と
線分 \( BG \) との交点を \( I \) とする。
三角形 \( BHI \) の面積を \( S \)，四角形 \( CFHE \) の面積を \( T \) と
するとき，\( S \) と \( T \) の比を最も簡単な整数の比で表すと，
\( S：T= \) 　う　：　え　である。

【解答】

\( 5：4 \)

【解説】

問題で与えられた条件から，線分 \( AG \) の長さを ➀ とするとき，
それぞれの線分の長さは，右の図のとおりになります。

\( △AIG \) ∽ \( △EIB \)，\( AG：EB=1：3 \) より，
\( △AIG：△EIB=1：9 \) なので，
\( △AIG= \)【１】とすると，\( △EIB= \)【９】

\( △AIG \) と \( △AIB \) は，高さが共通なので，
　\( △AIG：△AIB=GI：BI=1：3 \)
ここから，\( △AIB= \)【３】

\( △AGB \) と \( △DGB \) は，高さが共通なので，
　\( △AGB：△DGB=AG：GD=1：1 \)
\( △AGB= \)【３】\( + \)【１】\( = \)【４】より，
　\( △DGB=△AGB= \)【４】

\( △ADB \) と \( △BCD \) は，高さが共通なので，
　\( △ADB：△BCD=AD：BC=1：2 \)
\( △ADB= \)【８】より，\( △BCD=2△ADB= \)【１６】

\( △BDF \) と \( △BCF \) は，高さが共通なので，
　\( △BDF：△BCF=CF：DF=1：1 \)
\( △BCD= \)【１６】より，\( △BCF=\dfrac{1}{2}△BCD= \)【８】

線分 \( BF，AD \) の延長線の交点を \( J \) とすると，
\( △BCF≡△JDF \) なので，\( BC=JD= \) ➃
\( △BEH \) ∽ \( △JAH \)，\( BE：JA=1：2 \) より，
　\( EH：AH=1：2 \)

\( △BEH \) と \( △ABH \) は，高さが共通なので，\( △BEH：△ABH=EH：AH=1：2 \)
\( △ABE= \)【１２】より，\( △BEH=\dfrac{1}{3}△ABE= \)【４】

　\( △BHI=△ABE-(△AIB+△BEH)= \)【１２】\( -( \)【３】\( + \)【４】\( )= \)【５】
　四角形 \( CFHE=△BCF-△BEH= \)【８】\( – \)【４】\( = \)【４】

よって，\( △BHI： \) 四角形 \( CFHE=5：4 \)

大問４

右の図において，直線 ➀ は関数 \( y=-x+9 \) のグラフであり，曲線 ➁ は関数 \( y=ax^2 \) のグラフ，
曲線 ➂ は関数 \( y=-\dfrac{1}{6}x^2 \) のグラフである。
点 \( A \) は直線 ➀ と曲線 ➁ との交点で，その \( x \) 座標は \( 3 \) である。点 \( B \) は曲線 ➁ 上の点で，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。点 \( C \) は直線 ➀ と \( x \) 軸との交点である。
また，２点 \( D，E \) は曲線 ➂ 上の点で，点 \( D \) の \( x \) 座標は \( -6 \) であり，線分 \( DE \) は \( x \) 軸に平行である。
さらに，点 \( F \) は線分 \( BD \) と \( x \) 軸との交点である。
原点を \( O \) とするとき，次の問いに答えなさい。

（ア）曲線 ➁ の式 \( y=ax^2 \) の \( a \) の値として正しいものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１． \( a=\dfrac{1}{4} \) 　　　２． \( a=\dfrac{1}{3} \) 　　　３． \( a=\dfrac{2}{5} \)
　　　４． \( a=\dfrac{1}{2} \) 　　　５． \( a=\dfrac{2}{3} \) 　　　６． \( a=\dfrac{3}{4} \)

【解答】

５． \( a=\dfrac{2}{3} \)

【解説】

点 \( A \) は \( y=-x+9 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( 3 \) なので，\( y \) 座標の値は
　\( y=-3+9=6 \)

よって，
\( y=ax^2 \) に \( x=3，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=a \times 3^2 \)
　\( a=\dfrac{2}{3} \)

（イ）直線 \( EF \) の式を \( y=mx+n \) とするときの（ⅰ）\( m \) の値と，（ⅱ）\( n \) の値として正しいものを，それぞれ次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

（ⅰ） \( m \) の値
　　　１． \( m=-\dfrac{5}{6} \) 　　　２． \( m=-\dfrac{5}{7} \) 　　　３． \( m=-\dfrac{2}{3} \)
　　　４． \( m=-\dfrac{4}{7} \) 　　　５． \( m=-\dfrac{1}{3} \) 　　　６． \( m=-\dfrac{1}{6} \)

（ⅱ） \( n \) の値
　　　１． \( n=-\dfrac{18}{7} \) 　　　２． \( n=-\dfrac{5}{2} \) 　　　３． \( n=-\dfrac{7}{3} \)
　　　４． \( n=-\dfrac{13}{6} \) 　　　５． \( n=-\dfrac{15}{7} \) 　　　６． \( n=-2 \)

【解答】

（ⅰ）･･･４． \( m=-\dfrac{4}{7} \)
（ⅱ）･･･１． \( n=-\dfrac{18}{7} \)

【解説】

点 \( B \) の \( y \) 座標は，点 \( A \) の \( y \) 座標と等しいので，\( B(-3，6) \)

点 \( D \) は \( y=-\dfrac{1}{6}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標は \( -6 \) なので，\( y \) 座標の値は
　\( y=-\dfrac{1}{6} \times (-6)^2=-6 \)
であり，\( D(-6，-6) \) になります。
\( B(-3，6)，D(-6，-6)， \)点 \( F \) の \( y \) 座標は \( 0 \) より，点 \( F \) は線分 \( BD \) の中点になっています。
ここから，点 \( F \) の \( x \) 座標は，
　\( \dfrac{-3+(-6)}{2}=-\dfrac{9}{2} \)
よって，\( F \left( -\dfrac{9}{2}，0 \right) \)

点 \( E \) の \( y \) 座標は，点 \( D \) の \( y \) 座標と等しいので，\( E(6，-6) \)

直線 \( EF \) の傾き \( m \) は，
　\( m=\dfrac{-6-0}{6-\left( -\dfrac{9}{2} \right)}=-\dfrac{4}{7} \)
\( y=-\dfrac{4}{7}x+n \) に \( x=6，y=-6 \) を代入すると，
　\( -6=-\dfrac{4}{7} \times 6+n \)
　　\( n=-\dfrac{18}{7} \)

（ウ）次の　　　の中の「お」「か」「き」「く」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から1つずつ選び，その数字を答えなさい。

線分 \( BC \) 上に点 \( G \) を，三角形 \( BDG \) と三角形 \( DEG \) の面積が等しくなるようにとる。このときの，点 \( G \) の \( x \) 座標は \( \dfrac{\fbox{　おか　}}{\fbox{　きく　}} \) である。

【解答】

\( \dfrac{57}{13} \)

【解説】

\( △BDG \) と \( △DEG \) は，辺 \( DG \) が共通で，
面積が等しいので，線分 \( BE \) と辺 \( DG \) は，
線分 \( BE \) の中点で交わります。
(詳細は別途解説あり)

線分 \( BE \) の中点を点 \( I \) とすると，
\( B(-3，6)，E(6，-6) \) より，
\( I \) の \( x \) 座標は，\( \dfrac{-3+6}{2}=\dfrac{3}{2} \)
　　　\( y \) 座標は，\( \dfrac{6+(-6)}{2}=0 \)

直線 \( DG \) は，\( D(-6，-6)，I\left(\dfrac{3}{2}，0 \right) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{0-(-6)}{\dfrac{3}{2}-(-6)}=\dfrac{4}{5} \)
線分 \( DG \) の式を \( y=\dfrac{4}{5}x+b \) とし，\( x=-6，y=-6 \) とすると，
　\( -6=\dfrac{4}{5} \times (-6)+b \)
　　\( b=-\dfrac{6}{5} \)

点 \( C \) は，\( y=-x+9 \) と \( x \) 軸の交点なので，\( C(9，0) \) であり，
直線 \( BC \) は，\( B(-3，6)，C(9，0) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{0-6}{9-(-3)}=-\dfrac{1}{2} \)
直線 \( BC \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+b \) とし，\( x=9，y=0 \) とすると，
　\( 0=-\dfrac{1}{2} \times 9+b \)
　\( b=\dfrac{9}{2} \)

点 \( G \) は，直線 \( DG \) と直線 \( BC \) の交点なので，
\( y=\dfrac{4}{5}x-\dfrac{6}{5} \) と \( y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{9}{2} \) を連立方程式として解くと，
　\( x=\dfrac{57}{13} \)

なぜ「ＢＥの中点で交わる」っていえるの？

\( △BDG \) と \( △DEG \) は，辺 \( DG \) が共通で，面積が等しいので，高さは等しくなります。

点 \( B，E \) から辺 \( DG \) に垂線をひき，
交点をそれぞれ \( P，Q \)，
線分 \(BE\) と辺 \( DG \) の交点を \( I \)
とすると，

\( △BIP \) と \( △EIQ \) において，
線分 \( BP \) は \( △BDG \) の高さ，
線分 \( EQ \) は \( △DEG \) の高さにあたるので，
　\( BP=EQ \) ･･･ ➀
\( BP⊥DG，EQ⊥DG \) より，
　\( ∠BPI=∠EQI \) ･･･ ➁
\( BP//EQ \) なので，錯角は等しく，
　\( ∠IBP=∠IEQ \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BIP≡△EIQ \)
対応する辺の長さは等しいので，\( BI=EI \)

よって，線分 \( BE \) と辺 \( DG \) は，線分 \( BE \) の中点で交わります。

大問５

右の図１のように，場所Ｐ，場所Ｑ，場所Ｒがあり，場所Ｐには，\( 1，2，3，4，5，6 \) の数が１つずつ書かれた６個の直方体のブロックが，書かれた数の大きいものから順に，下から上に向かって積まれている。
大, 小２つのさいころを同時に１回投げ，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。出た目の数によって，次の【操作１】，【操作２】を順に行い，場所Ｐ，場所Ｑ，場所Ｒの３か所にあるブロックの個数について考える。

【操作１】 \( a \) と同じ数の書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，順番を変えずに
　　　　　場所Ｑへ移動する。

【操作２】 \( b \) と同じ数の書かれたブロックと，その上に積まれているすべてのブロックを，\( b \) と同じ数の
　　　　　書かれたブロックが場所Ｐ，場所Ｑのどちらにある場合も場所Ｒへ移動する。

例
大きいさいころの出た目の数が \( 5 \)，小さいさいころの出た目の数が \( 1 \) のとき，\( a=5，b=1 \) だから，
【操作１】図１の，\( 5 \) が書かれたブロックと，その上に積まれている
　　　　　すべてのブロックを，順番を変えずに場所Ｑへ移動するの
　　　　　で，図２のようになる。
【操作２】図２の，\( 1 \) が書かれたブロックを，場所Ｒへ移動するの
　　　　　で，図３のようになる。

この結果，３か所にあるブロックの個数は，場所Ｐに１個，場所Ｑに４個，場所Ｒに１個となる。

（ア）次の　　　の中の「け」「こ」「さ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

ブロックの個数が３か所とも同じになる確率は \( \dfrac{\fbox{　け　}}{\fbox{　こさ　}} \) である。

【解答】

\( \dfrac{1}{18} \)

【解説】

ブロックの個数が３か所とも同じになるのは，それぞれ２個ずつになるときなので，
あてはまる組み合わせは，\( a=2，b=4 \) または \( a=4，b=2 \) の２通り。
すべての組み合わせは３６通りなので，求める確率は \( \dfrac{1}{18} \)

\( a=2，b=4 \) のとき

\( a=4，b=2 \) のとき

（イ）次の　　　の中の「し」「す」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

３か所のうち，少なくとも１か所のブロックの個数が０個になる確率は \( \dfrac{\fbox{　し　}}{\fbox{　す　}} \) である。

【解答】

\( \dfrac{4}{9} \)

【解説】

大きいさいころの出た目の数に注目すると，

● \( a=6 \) の場合
場所Ｐにあるブロックすべてを場所Ｑに移動させるので，場所Ｐにあるブロックの個数は０個になります。
場所Ｑから場所Ｐに戻すことはないので，この場合は，小さいさいころの出た目の数はどれでもいいことになります。
例：\( a=6，b=2 \) のとき

● \( a=1，2，3，4，5 \) の場合
大きいさいころの出た目の数 \( a \) と同じ個数のブロックを場所Ｐから場所Ｑに移動させるので，
小さいさいころの出た目の数 \( b \) の値が \( b=a \) のとき，
【操作１】で場所Ｐから場所Ｑに移動させたブロックをすべて場所Ｒに移動させることになり，
場所Ｑにあるブロックの個数が０個になります。
例１：\( a=2，b=2 \) のとき

小さいさいころの出た目の数 \( b \) の値が \( b=6 \) のとき，
【操作１】で移動させなかったブロックをすべて場所Ｒに移動させることになり，
場所Ｐにあるブロックの個数が０個になります。
例２：\( a=2，b=6 \) のとき

これらを踏まえて，大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の組み合わせを表に書き出し，
ブロックの数が０個になる場所があるところに ○ をつけてみると，
　０個になる場所がある組み合わせは１６通り，
　すべての組み合わせは３６通り
なので，求める確率は \( \dfrac{16}{36}=\dfrac{4}{9} \)

大問６

右の図１は，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) を底面とし，線分 \( AC \) を母線とする円すいである。
また，点 \( D \) は線分 \( BC \) の中点である。
さらに，点 \( E \) は円 \( O \) の周上の点である。
\( AB=8 \; cm，AC=10 \; cm，∠AOE=60° \) のとき，次の問いに答えなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

（ア）この円すいの表面積として正しいものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１， \( 24\pi{} \; cm^2 \) 　　　２． \( 28\pi{} \; cm^2 \)
　　　３． \( 40\pi{} \; cm^2 \) 　　　４． \( 48\pi{} \; cm^2 \)
　　　５． \( 56\pi{} \; cm^2 \) 　　　６． \( 84\pi{} \; cm^2 \)

【解答】

５． \( 56\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

このおうぎ形を展開すると，
半径 \( 10 \; cm \) のおうぎ形と半径 \( 4 \; cm \) の円ができます。

半径 \( 10 \; cm \) のおうぎ形の面積は，
　\( \pi{} \times 10^2 \times \dfrac{8\pi{}}{20\pi{}}=40\pi{} \; (cm^2) \)

半径 \( 4 \; cm \) の円の面積は，
　\( \pi{} \times 4^2=16\pi{} \; (cm^2) \)

よって，この円すいの表面積は，\( 40\pi{}+16\pi{}=56\pi{} \; (cm^2) \)

（イ）この円すいにおいて，２点 \( D，E \) 間の距離として正しいものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　　１， \( \sqrt{43} \; cm \) 　　　２． \( 7 \; cm \)
　　　３． \( 5\sqrt{2} \; cm \) 　　　４． \( \sqrt{57} \; cm \)
　　　５． \( 3\sqrt{7} \; cm \) 　　　６． \( 8 \; cm \)

【解答】

２． \( 7 \; cm \)

【解説】

点 \( D \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，交点を点 \( P \) とすると，
\( △DPE \) は直角三角形になるので，線分 \( DP，EP \) の長さがわかれば，
三平方の定理を使って線分 \( DE \) の長さを求めることができます。

点 \( D \) は線分 \( BC \) の中点なので，
\( △COB \) ∽ \( △DPB \)，相似比は \( 2：1 \)
になっています。

\( OB=\dfrac{1}{2}AB=4 \; cm，BC=AC=10 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( CO^2=10^2-4^2=84 \)
　 \( CO=2\sqrt{21} \; (cm) \) (\( CO>0 \) より)

　\( DP=\dfrac{1}{2}CO=\sqrt{21} \; (cm) \)

点 \( E \) から線分 \( AB \) に垂線をひき，交点を点 \( Q \) とすると，
\( △OQE \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になるので，
　\( EQ=\dfrac{ \sqrt{3}}{2}OE=2\sqrt{3} \; (cm) \)

また，\( OQ=\dfrac{1}{2}OE=2 \; (cm)，OP=\dfrac{1}{2}OB=2 \; (cm) \) より，
\( PQ=4 \; cm \) なので，三平方の定理より，
　\( EP^2=(2\sqrt{3})^2+4^2=28 \)
　 \( EP=2\sqrt{7} \; (cm) \) (\( EP>0 \) より)

以上より，\( △DPE \) において，三平方の定理より，
　\( DE^2=\sqrt{21}^2+(2\sqrt{7})^2=49 \)
　 \( DE=7 \; (cm) \) (\( DE>0 \) より)

（ウ）次の　　　の中の「せ」「そ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

点 \( F \) が線分 \( AC \) の中点であるとき，この円すいの側面上に，図２のように点 \( E \) から線分 \( BC \) と交わるように，点 \( F \) まで線を引く。このような線のうち，長さが最も短くなるように引いた線の長さは \( 　\fbox{　せ　}\sqrt{\fbox{　そ　}} \; cm \) である。

【解答】

\( 5\sqrt{7} \)

【解説】

この円すいを \( CA \) で切って展開すると，右の図のようになります。

側面を展開したおうぎ形の内角は，
\( 360° \times \dfrac{8\pi{}}{20\pi{}}=144° \)

また，\( ∠AOE=60° \) より，
弧 \( AE \) の長さは円 \( O \) の円周の \( \dfrac{1}{6} \) なので，
おうぎ形の弧の長さの \( \dfrac{1}{6} \) でもあります。

ここから，\( ∠ACE=\dfrac{1}{6}∠ACA=24° \)

線分 \( AC \) を延長し，円 \( C \) との交点を \( G \) とすると，
\( ∠ACA=144° \) より，\( ∠ACG=36° \)
\( ∠ACE=24° \) より，\( ∠ECG=24°+36°=60° \)

点 \( E \) から線分 \( CG \) に垂線をひき，
交点を点 \( H \) とすると，
\( △ECI \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
　\( CH=\dfrac{1}{2}EC=5 \; (cm) \)
　\( EH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}EC=5\sqrt{3} \; (cm) \)

\( △EFH \) において，
点 \( F \) は母線 \( CA \) の中点なので，\( CF=5 \; cm \)
また，\( FH=CF+CH=10 \; cm \) なので，
三平方の定理より，
　\( EF^2=10^2+(5\sqrt{3})^2=175 \)
　 \( EF=5\sqrt{7} \; (cm) \) (\( EF>0 \) より)

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神奈川県公立高校入試 令和６（2024）年度（定時制） 解答＆解説

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