群馬 - 数学基礎トレーニングルーム

群馬県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Mon, 02 Dec 2024 13:00:25 +0000

大問１

（１）次の➀～➂の計算をしなさい。

➀　\( 7+(-2) \)

【解答】

\( 5 \)

【解説】

\( =7-2 \)
\( =5 \)

➁　\( (3x+7)-(x-1) \)

【解答】

\( 2x+8 \)

【解説】

\( =3x+7-x+1 \)
\( =2x+8 \)

➂　\( (3a^2b-2ab) \div ab \)

【解答】

\( 3a-2 \)

【解説】

\( =\dfrac{3a^2b}{ab}-\dfrac{2ab}{ab} \)
\( =3a-2 \)

（２） \( x^2-5x-24 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x+3)(x-8) \)

（３）平方根について述べた次のア～エのうち，正しく述べているものをすべて選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　 \( \sqrt{0.001}=0.1 \) である。
　　　　イ　 \( \sqrt{10} \) を２乗すると，\( 10 \) になる。
　　　　ウ　 \( 3 \) の平方根は，\( 9 \) と \( -9 \) である。
　　　　エ　 \( 3\sqrt{11} \) は，\( 10 \) よりも値が小さい。

【解答】

イ，エ

【解説】

ア･･･ \( 0.1=\dfrac{1}{10}=\sqrt{\dfrac{1}{100}} \)，\( \sqrt{0.001}=\sqrt{\dfrac{1}{1000}} \)
　　　なので，正しくありません。

イ･･･ \( \sqrt{10} \) は，２乗すると \( 10 \) になる数を表しているので，正しい。

ウ･･･ \( 3 \) の平方根は，２乗すると \( 3 \) になる数のことであり，\( 9 \) は \( 3 \) を２乗した数
　　　なので，正しくありません。

エ･･･ \( 3\sqrt{11}=\sqrt{3^2 \times 11}=\sqrt{99} \)，\( 10=\sqrt{100} \)
　　　なので，正しい。

（４）右の図の立体は，底面の半径が \( 5 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) の円柱である。この円柱の表面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 110\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

この円柱を展開すると右の図のようになります。
側面の長方形の横の長さは底面の円周の長さと
等しくなるので，
　\( 2\pi{} \times 5=10\pi{} \; (cm) \)
であり，
　底面の円の面積 \( =\pi{} \times 5^2=25\pi{} \; (cm^2) \)
　側面の長方形の面積 \( =6 \times 10\pi{}=60\pi{} \; (cm^2) \)

よって，この円柱の表面積は，
　\( 25\pi{} \times 2+60\pi{}=110\pi{} \; (cm^2) \)

（５）２次方程式 \( x^2+5x+5=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{-5±3\sqrt{5}}{2} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) とすると，\( a=1，b=5，c=5 \) なので，
解の公式 \( x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) より，
　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{5}}{2} \)

（６）右の図の三角形 \( ABC \) は，\( CA=CB \) の二等辺三角形である。\( ∠ABC=64° \) のとき，\( ∠ACB \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠ACB=52° \)

【解説】

二等辺三角形は底角が等しいので，\( ∠BAC=∠ABC=64° \) であり，
　\( ∠ACB=180°-64° \times 2=52° \)

（７）右の図の三角形 \( ABC \) は，\( ∠ACB=90° \) の直角三角形である。 \( AB=41 \; cm，BC=40 \; cm \) のとき，\( AC \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( AC=9 \; cm \)

【解説】

三平方の定理より，
　\( AC^2=41^2-40^2 \)
　　　　\( =(41+40)(41-40) \)
　　　　\( =81 \)
　 \( AC=9 \; (cm) \) (\( AC>0 \) より)

（８）大きさの異なる２つのさいころを同時に投げて，大きいさいころの目が \( 3 \) 以下のときは２つのさいころの目の和をＸとし，大きいさいころの目が \( 4 \) 以上のときは２つのさいころの目の積をＸとする。このとき，Ｘが \( 5 \) の倍数となる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{11}{36} \)

【解説】

大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の組み合わせとそれぞれの組み合わせにおける
Ｘの値を表に書き出し，Ｘが \( 5 \) の倍数となるところに ○ をつけてみます。
Ｘが \( 5 \) の倍数となる組み合わせは \( 11 \) 通り，すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{11}{36} \)

（９）走行中の自動車がブレーキをかけたとき，ブレーキがきき始めてから自動車が完全に停止するまでに進んだ距離のことを制動距離という。一般に，秒速 \( x \; m \) で走っている自動車の制動距離を \( y \; m \) とすると，\( y \) は \( x \) の２乗に比例することが知られている。
この関係が成り立つ自動車Ａについて調べたところ，秒速 \( 10 \; m \) で走っているときの制動距離が \( 10 \; m \) であった。この自動車Ａが，秒速 \( 30 \; m \) で走っているときの制動距離を求めなさい。

【解答】

\( 90 \; m \)

【解説】

「\( y \) は \( x \) の２乗に比例する」を式で表すと，\( y=ax^2 \) となります。
この式において，\( x=10 \) のとき \( y=10 \) なので，
　\( 10=a \times 10^2 \)
　 \( a=\dfrac{1}{10} \)

よって，\( y=\dfrac{1}{10}x^2 \) に \( x=10 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{1}{10} \times 30^2=90 \; (m) \)

大問２

四角型，三角型，丸型，星型の４種類の積み木があり，積み木１個当たりの重さは，種類ごとにそれぞれ同じ重さであるとする。これらの積み木と分銅をてんびんに乗せて，積み木の重さを調べた。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）てんびんの左の皿に四角型の積み木１個を乗せ，右の皿に三角型の積み木２個と \( 50 \; g \) の分銅１個を乗せたところ，下の図のようにてんびんが傾いた。四角型の積み木１個の重さを \( a \; g \) ，三角型の積み木１個の重さを \( b \; g \) とするとき，このてんびんの様子から分かる，重さについての大小関係を不等式で表しなさい。

【解答】

\( a<2b+50 \)

【解説】

左の皿に乗せられている重さ･･･四角型の積み木１個（ \( a \; g \) ）
右の皿に乗せられている重さ･･･三角型の積み木２個（ \( 2b \; g \) ）＋分銅１個（ \( 50 \; g \) ）
で，右の皿の方が重いので，\( a<2b+50 \)

（２）てんびんの左の皿に丸型の積み木３個を乗せ，右の皿に星型の積み木２個を乗せたところ，てんびんがつり合った。また，左の皿に丸型の積み木２個と \( 20 \; g \) の分銅４個を乗せ，右の皿に星型の積み木３個を乗せたときもてんびんがつり合った。このとき，丸型の積み木１個の重さと，星型の積み木１個の重さを，それぞれ求めなさい。
ただし，答えを求める過程を書くこと。

【解答】

丸型の積み木１個の重さを \( x \; g \)，星型の積み木１個の重さを \( y \; g \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
3x=2y \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x+20 \times 4=3y \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀を整理すると，
　\( y=\dfrac{3}{2}x \) ･･･ ➀’
➁に代入すると，
　\( 2x+80=3 \times\dfrac{3}{2}x \)
　　　 \( \dfrac{5}{2}x=80 \)
　　　　 \( x=32 \)
➀’に代入すると，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times 32=48 \)

よって，
丸型の積み木１個の重さは \( 32 \; g \)
星型の積み木１個の重さを \( 48 \; g \)

大問３

隆和さんと亜衣さんは，数学の授業で，コンピュータを使いながら図形の性質について考えている。会話文を読んで，後の（１），（２）の問いに答えなさい。

　　先生：コンピュータを使うと，自分で描いた図形の面積を調べることができますよ。いろいろ試して
　　　　　みましょう。

隆和さん：２点 \( A，B \) と，直線 \( AB \) に平行な直線 \( l \)
　　　　　上の点 \( P \) の３点で作る三角形を調べた
　　　　　ら，【画面Ⅰ】のように，\( l \) 上で点 \( P \) を
　　　　　動かしても，三角形の面積が変わりません
　　　　　でした。

　　先生：いいところに目を付けましたね。他にも気付くことはないですか。

亜衣さん：私は \( l \) 上に点 \( P \) と点 \( Q \) の２点をとって
　　　　　みました。そして，\( PB \) と \( QA \) の交点を
　　　　　\( R \) とすると，【画面Ⅱ】のように，
　　　　　三角形 \( PAR \) と三角形 \( QBR \) の面積が
　　　　　同じになりました。

　　先生：では，コンピュータを使って見つけたことがらを，実際に証明して確かめてみましょう。

（１）【画面Ⅱ】に示された三角形 \( PAR \) と三角形 \( QBR \) の面積が等しいことを，次のように証明した。
　Ｘ　には当てはまる記号を，　Ｙ　には当てはまることばを入れなさい。また，【　　　　】に証明の続きを書き，この証明を完成させなさい。
なお，三角形の面積を表す際に，例えば,三角形 \( ABC \) の面積の大きさを \( △ABC \) と表したり，三角形 \( ABC \) と三角形 \( DEF \) の面積が等しいことを \( △ABC=△DEF \) と表したりしてよいものとする。

［証明］
三角形 \( PAB \) と三角形 \( QAB \) について，共通する
辺　Ｘ　を底辺と考えると，\( l//AB \) より　Ｙ　といえるので，２つの三角形の面積は等しい。
よって，\( △PAB=△QAB \) ･･･ ①
【　　　　　　　　　　　　　　　　】

【解答】

　Ｘ　･･･ \( AB \)
　Ｙ　･･･高さが等しい

証明の続き
\( △PAR=△PAB-△RAB \) ･･･ ➁
\( △QBR=△QAB-△RAB \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
\( △PAR=△QBR \)

先生：今度は，角度について調べてみましょう。

亜衣さん：【画面Ⅲ】や【画面Ⅳ】のように，点 \( P \) を \( l \) 上で動かしてみると，点 \( P \) の位置によって，∠APB の大きさが変わることが分かりました。

隆和さん：点 \( P \) をいろいろ動かしてみましたが，∠APBの大きさが最も大きいのは，\( PA=PB \) のときのようです。この点 \( P \) は，コンパスと定規で実際に作図できそうですね。

亜衣さん：そうですね。直線 \( l \) 上には，この点 \( P \) 以外にも,コンパスと定規で作図できる点がありそうですね。

先生：\( PA=PB \) となる点 \( P \) をもとにして考えると，\( ∠ACB=\dfrac{1}{2}∠APB \) となるような直線 \( l \) 上の点 \( C \) も実際に作図できますよ。点 \( P \) や点 \( C \) をどうやって作図すればよいか，みんなで考えてみましょう。

（２）右の図は，２点 \( A，B \) と，直線 \( AB \) に平行な直線 \( l \) を示したものである。後の①，②の問いに答えなさい。

①　図に，\( PA=PB \) となる直線 \( l \) 上の点 \( P \) と，その点 \( P \) に対して \( ∠ACB=\dfrac{1}{2}∠APB \) となるような直線 \( l \) 上の点 \( C \) を，コンパスと定規を用いて作図しなさい。
ただし，条件を満たす点 \( C \) が２つ以上ある場合はそのすべての点を作図し，作図したすべての点を \( C \) と表すこと。また，作図に用いた線は消さないこと。

【解答】

手順１　２点 \( A，B \) を中心に，円弧を描く。
（交点を \( X，Y \) とします。）
手順２　２点 \( X，Y \) を通る直線を描く。

直線 \( XY \) と直線 \( l \) との交点が点 \( P \) になります。

手順３　点 \( P \) を中心に，半径 \( PA \) とする円弧を描く。

この円弧と直線 \( l \) との交点（２つ）が点 \( C \) になります。

【解説】

【点 \( P \) の場所】
\( PA=PB \) となる点 \( P \) をとると，\( △PAB \) は二等辺三角形になるので，
線分 \( AB \) の垂直二等分線と直線 \( l \) との交点が点 \( P \) になります。

【点 \( C \) の場所】
➁の回答を参照

②　①のような作図によって点 \( C \) をとったことで，なぜ \( ∠ACB=\dfrac{1}{2}∠APB \) であるといえるのか，その理由を説明しなさい。

【解答】

\( PA=PB \) より，点 \( P \) を中心とし，３点 \( A，B，C \) を通る円を考えると，
\( ∠ACB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角，\( ∠APB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角になっているため。

大問４

沙知さんは，昨年の夏，自分が住んでいる群馬県桐生市が記録的な暑さだったことから，桐生市のほか，昨年８月に40.0℃ を記録した石川県小松市と，１年中温暖なことで知られる宮崎県宮崎市の３つの市について，令和５年８月の日ごとの最高気温をそれぞれ３１日分調べて比較することにした。次の図は，これらのデータを箱ひげ図にまとめたものである。後の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）沙知さんがまとめた箱ひげ図をもとに，次のア～ウを，値の小さい順に左から並べて書きなさい。
　　　　ア　桐生市のデータの第３四分位数
　　　　イ　小松市のデータの第１四分位数
　　　　ウ　宮崎市のデータの最大値

【解答】

イ，ウ，ア

【解説】

（２）沙知さんは，３つの市のデータの分布の様子を詳しく比較するため，箱ひげ図に加えてヒストグラムも作成することにした。次のア～ウは，令和５年８月の桐生市，小松市，宮崎市の最高気温のデータをもとに，階級の幅を \( 1.0 ^\circ C \) として作成したヒストグラムである。桐生市に当たるものをア〜ウから選び，記号で答えなさい。

【解答】

イ

【解説】

箱ひげ図から，桐生市の
最小値は，\( 29.0 ^\circ C \) 以上 \( 30.0 ^\circ C \) 未満の階級に，
最大値は，\( 39.0 ^\circ C \) 以上 \( 40.0 ^\circ C \) 未満の階級に
あるので，あてはまるヒストグラムは「イ」になります。

（３）次のア～エは，沙知さんが，桐生市，小松市，宮崎市のデータの箱ひげ図を比較して述べたものである。ア～エのうち，正しく述べているものをすべて選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　３つの市のうち，データの範囲が最も大きいのは,桐生市であることが分かる。
　　　　イ　３つの市のうち，箱ひげ図の箱の部分が最も右側に位置しているのは桐生市であるため，
　　　　　　桐生市のデータの四分位範囲が最も大きいことが分かる。
　　　　ウ　桐生市と小松市について，箱ひげ図のひげの部分の長さや位置を比較することで，桐生市
　　　　　　よりも小松市の方が，最高気温が \( 36.0 ^\circ C \) 以上の日が多かったことが分かる。
　　　　エ　宮崎市のデータの最大値よりも桐生市のデータの中央値の方が値が大きいため，桐生市の
　　　　　　最高気温が宮崎市の最高気温よりも高かった日が，３１日のうち１６日以上あったことが
　　　　　　分かる。

【解答】

ア，エ

【解説】

ア･･･各市のおよその範囲は，
　　　　桐生市 \( 39.0-29.9=9.1 \; ( ^\circ C) \)
　　　　小松市 \( 40.0-32.3=7.7 \; ( ^\circ C) \)
　　　　宮崎市 \( 35.5-28.0=7.5 \; ( ^\circ C) \)
　　　なので，範囲が最も大きいのは,桐生市になります。 → 正しい

イ･･･四分位範囲は，「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求めることができます。
　　　箱の位置が右にあるか左にあるかは関係ないので，正しくありません。
　　　ちなみに，四分位範囲が最も大きいのは，小松市になります。

ウ･･･桐生市は，中央値が \( 36.0 ^\circ C \) 以上なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日が１６日以上あったとわかります。
　　　小松市は，第三四分位数が \( 36.0 ^\circ C \) 未満なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日は７日以下とわかります。
　　　つまり，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日は，桐生市の方が多かったことになるので，正しくありません。

エ･･･宮崎市の最大値は \( 36.0 ^\circ C \) 未満なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日は１日もなかったとわかります。
　　　桐生市は，中央値が \( 36.0 ^\circ C \) 以上なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日が１６日以上あったとわかります。
　　　つまり，桐生市の最高気温が宮崎市よりも高かった日は，１６日以上あったことになります。→正しい

大問５

図Ⅰのように，山の麓のある地点にいる人が，別の麓にある目的地まで歩いて移動する場合，山の麓に沿って歩くよりも，山頂の方に少し登ってから目的地を目指して歩いた方が，早くたどり着けることがあるという。
この話を聞いた真一さんは，このことを調べるために，図Ⅱのような四角すいを用いたモデルで考えることにした。この四角すいは，底面が一辺 \( 4000 \; m \) の正方形 \( ABCD \) であり \( OA=OB=OC=OD=3000 \; m \) とする。図Ⅱのように，山の麓に沿って目的地を目指す場合は，\( A→B→C \) という経路で歩くこととし，山頂の方に少し登ってから目的地を目指す場合は，辺 \( OA \)，辺 \( OB \)，辺 \( OC \) 上に，\( OP=OQ=OR \) となる点 \( P \)，点 \( Q \)，点 \( R \) をそれぞれとり，\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩くこととする。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）次の①～③の問いに答えなさい。

①　\( A→P→Q→R→C \) という経路で目的地を目指す場合，最初に登る距離 \( AP \) を \( 1500 \; m \) としたときに歩く距離の合計は何 \( m \) となるか，求めなさい。

【解答】

\( 7000 \; m \)

【解説】

図Ⅱの四角すいにおいて，面 \( OAB \) に注目すると，
\( OA=OB，OP=OQ，∠O \) は共通
なので，
　\( △OPQ \) ∽ \( △OAB \)
\( OA=3000 \; m，AP=1500 \; m \) より，
\( OP=1500 \; m \) なので，
相似比は \( OQ：OA=1500：3000=1：2 \)
対応する辺の比は等しいので，
　 \( PQ：AB=1：2 \)
　\( PQ：4000=1：2 \)
　　　　 \( PQ=2000 \; (m) \)

面 \( OBC \) に注目すると，
\( OA=OB=OC，AB=BC \) より，\( △OAB≡△OBC \)
面 \( OAB \) のときと同様の考え方から
\( △OQR \) ∽ \( △OBC \) で，相似比は \( 1：2 \) なので，
　\( QR=2000 \; (m) \)
また，\( OC=3000 \; m，OR=OP=1500 \; m \) より，\( RC=1500 \; m \)

以上より，
　\( AP+PQ+QR+RC=1500+2000+2000+1500 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( =7000 \; (m) \)

➁　最初に登る距離 \( AP \) を \( x \; m \)，\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩く距離の合計を \( y \; m \) とする。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
ただし，\( 0

【解答】

\( y=-\dfrac{2}{3}x+8000 \)

【解説】

\( AP=x \; m \) とすると，
\( OP=3000-x \; m \) と表せるので，
このとき，\( PQ \) の長さは，
次のように表すことができます。
　 \( PQ：AB=OP：OA \)
　\( PQ：4000=(3000-x)：3000 \)
　　　　 \( PQ=\dfrac{4}{3}(3000-x) \)
　　　　　　 \( =-\dfrac{4}{3}x+4000 \; (m) \)

➀より，\( PQ=QR，AP=RC \) なので，
　\( y=AP+PQ+QR+RC \)
　　\( =2(AP+PQ) \)
　　\( =2\left\{ x+\left( -\dfrac{4}{3}x+4000 \right) \right\} \)
　　\( =2\left( -\dfrac{1}{3}x+4000 \right) \)
　　\( =-\dfrac{2}{3}x+8000 \)

③　\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩く距離の合計が，\( A→B→C \) という経路で歩く距離の合計の \( 90 \% \) となるようにするには，最初に登る距離 \( AP \) を何 \( m \) にすればよいか，求めなさい。

【解答】

\( 1200 \; m \)

【解説】

\( A→B→C \) という経路で歩く場合の歩く距離は
　\( AB+BC=4000+4000=8000 \; (m) \)
なので，
問➁の式から，
　\( 8000 \times \dfrac{90}{100}=-\dfrac{2}{3}x+8000 \)
　　　　　 \( \dfrac{2}{3}x=800 \)
　　　　　　 \( x=1200 \; (m) \)

（２）真一さんは，山を登るときや下るときに歩く速さが変わることを考慮して，このモデルについて考え直すことにした。
\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩いて目的地を目指す場合，山を登る \( AP \) の区間では，\( A→B→C \) という経路で歩くときの \( 0.6 \) 倍の速さになり，\( P→Q→R \) の区間では，\( A→B→C \) という経路で歩くときと同じ速さに，また，山を下る \( R→C \) の区間では，\( A→B→C \) という経路で歩くときの \( 1.5 \) 倍の速さになると仮定する。
このとき，\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩く場合の移動時間が，\( A→B→C \) という経路で歩く場合の移動時間の \( 90 \% \) となるようにするには，最初に登る距離 \( AP \) を何 \( m \) にすればよいか，求めなさい。
ただし，\( A→B→C \) という経路で歩くときの速さは，一定であるとする。

【解答】

\( 2400 \; m \)

【解説】

\( A→B→C \) という経路で歩くときの速さを毎分 \( a \; m \) とすると，

\( A→B→C \) という経路で歩くのにかかる時間は \( \dfrac{8000}{a} \)（分）

\( AP \) の区間を歩くのにかかる時間は \( \dfrac{x}{0.6a}=\dfrac{5x}{3a} \)（分）
\( PQ，QR \) の区間を歩くのにかかる時間は，それぞれ \( \dfrac{-\dfrac{4}{3}x+4000}{a} \)（分）
\( RC \) の区間を歩くのにかかる時間は \( \dfrac{x}{1.5a}=\dfrac{2x}{3a} \)（分）

これらの関係を方程式に表すと，
　\( \dfrac{8000}{a} \times \dfrac{90}{100}=\dfrac{5x}{3a}+2 \times \dfrac{-\dfrac{4}{3}x+4000}{a}+\dfrac{2x}{3a} \)
　　　　 \( \dfrac{7200}{a}=\dfrac{7x}{3a}+\dfrac{-\dfrac{8}{3}x+8000}{a} \)
　　　　　\( 7200=\dfrac{7}{3}x+\left( -\dfrac{8}{3}x+8000 \right) \)
　　　　　\( 7200=-\dfrac{1}{3}x+8000 \)
　　　　　　\( \dfrac{1}{3}x=800 \)
　　　　　　　\( x=2400 \; (m) \)

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群馬県公立高校入試　令和５（2023）年度（後期）　解答＆解説

ハラユタカ — Wed, 08 May 2024 13:00:59 +0000

大問１

（１）　次の ➀～➂ の計算をしなさい。

➀　\( 2-(-4) \)

【解答】

\( 6 \)

【解説】

\( =2+4 \)
\( =6 \)

➁　\( 6a^2 \times \dfrac{1}{3}a \)

【解答】

\( 2a^3 \)

【解説】

\( =\dfrac{6a^2 \times a}{3} \)
\( =2a^3 \)

➂　\( -2(3x-y)+2x \)

【解答】

\( -4x+2y \)

【解説】

\( =-6x+2y+2x \)
\( =-4x+2y \)

（２）　次の ➀，➁ の方程式を解きなさい。

➀　\( 6x-1=4x-9 \)

【解答】

\( x=-4 \)

【解説】

\( 2x=-8 \)
　\( x=-4 \)

➁　\( x^2+5x+3=0 \)

【解答】

\( x=\dfrac{-5±\sqrt{13}}{2} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=1，b=5，c=3 \) なので，
解の公式より，
\( x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4 \times 1 \times 3}}{2 \times 1} \)
　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{13}}{2} \)

（３）　次のア～エのうち，絶対値が最も小さい数を選び, 記号で答えなさい。
　　　　　ア　\( 3 \) 　　　　イ　\( -5 \) 　　　　ウ　\( -\dfrac{5}{2} \) 　　　　エ　 \( 2.1 \)

【解答】

エ

【解説】

ア～エそれぞれの絶対値は，
　ア･･･ \( 3 \)
　イ･･･ \( 5 \)
　ウ･･･ \( \dfrac{5}{2}=2.5 \)
　エ･･･ \( 2.1 \)
なので，最も小さいのはエになります。

（４）　関数 \( y=ax^2 \) のグラフが点 \( (-2, -12) \) を通るとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=-3 \)

【解説】

\( y=ax^2 \) に \( x=-2，y=-12 \) を代入すると，
　\( -12=a \times (-2)^2 \)
　　\( 4a=-12 \)
　　　\( a=-3 \)

（５）　右の図において，\( l//m \) のとき，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 146° \)

【解説】

右の図のように直線 \( l，m \) と平行な直線 \( n \) をひくと，
\( l//n \) より，同位角は等しいので，
問題の \( 72° \) の角は，\( 38° \) と \( 34° \) の２つの角にわかれます。
また，，\( m//n \) より，錯角は等しいので，
\( ∠x \) と隣接する角は \( 34° \) になります。

よって，\( ∠x=180°-34°=146° \)

（６）　\( a=2+\sqrt{5} \) のとき，\( a^2-4a+4 \) の値を求めなさい。
ただし，解答用紙の(解)には，答えを求める過程を書くこと。

【解答】

\( a^2-4a+4=(a-2)^2 \)
\( a=2+\sqrt{5} \) を代入すると，
　\( (a-2)^2=(2+\sqrt{5}-2)^2 \)
　　　　　\( =(\sqrt{5})^2 \)
　　　　　\( =5 \)

（７）　\( 1，2，3，4 \) の数が１枚ずつ書かれた４枚のカードを袋の中に入れる。この袋の中をよく混ぜてからカードを１枚引いて，これを戻さずにもう１枚引き，引いた順に左からカードを並べて２けたの整数をつくる。このとき，２けたの整数が \( 32 \) 以上になる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{5}{12} \)

【解説】

２枚のカードの組み合わせを樹形図に書き出し，
２けたの整数が \( 32 \) 以上になるところに ○ をつけてみます。
\( 32 \) 以上になる組み合わせは５通り，すべての組み合わせは１２通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{12} \)

（８）　右の図は，立方体の展開図である。この展開図を組み立てて立方体をつくるとき，面イの一辺である辺 \( AB \) と垂直になる面を，面ア～カからすべて選び，記号で答えなさい。

【解答】

ア，カ

【解説】

この立方体を組み立てると下の図のようになるので，
辺 \( AB \) と垂直になる面はアとカになります。

（９）　次の図は，ある部活動の生徒 \( 15 \) 人が行った「 \( 20 \; m \) シャトルラン」の回数のデータを，箱ひげ図にまとめたものである。後のア～オのうち，図から読み取れることとして必ず正しいといえるものをすべて選び，記号で答えなさい。

　ア　\( 35 \) 回だった生徒は１人である。
　イ　\( 15 \) 人の最高記録は \( 95 \) 回である。
　ウ　\( 15 \) 人の回数の平均は \( 57 \) 回である。
　エ　\( 60 \) 回以下だった生徒は少なくとも９人いる。
　オ　\( 60 \) 回以上だった生徒は４人以上いる。

【解答】

イ，オ

【解説】

この箱ひげ図は，全体で \( 15 \) 人のデータを集めたので，
　第一四分位数は回数の少ない方から４番目の人の回数
　中央値は回数の少ない方から８番目の人の回数
　第三四分位数は回数の少ない方から１２番目の人の回数
を示しています。

ア･･･最小値が \( 35 \) 回なので，少なくとも１人いることはわかりますが，２人，３人の可能性もあり，
　　　箱ひげ図だけでは判断できません。

イ･･･最大値が \( 95 \) 回なので，最高記録は \( 95 \) 回になります。

ウ･･･箱ひげ図だけでは平均値を求めることはできません。

エ･･･箱ひげ図から，少ない方から８番目の人の記録は \( 57 \) 回，１２番目の人の記録は \( 65 \) 回以上
　　　 \( 70 \) 回未満であることはわかりますが，９番目の人の正確な記録は判断できません。

オ･･･箱ひげ図から，１２番目の人の記録は６５回以上７０回未満なので，
　　　１２番目，１３番目，１４番目，１５番目の４人は必ず \( 60 \) 回以上であったと判断できます。

大問２

\( y \) が \( x \) の関数である４つの式 \( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax+b，y=ax^2 \) について，\( a \) と \( b \) が \( 0 \) でない定数のとき，右の例のように，ある特徴に当てはまるか当てはまらないかを考え，グループ分けする。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　図Ⅰのように，特徴を「変化の割合は一定である」とするとき，次の ①，➁ の式は，どちらにグループ分けできるか。当てはまるグループの場合は ○ を，当てはまらないグループの場合は ✕ を書きなさい。

①　\( y=ax+b \) 　　　　　　　　➁　\( y=ax^2 \)

【解答】

① ･･･ ○
➁ ･･･ ✕

【解説】

\( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax+b，y=ax^2 \) の
グラフは，それぞれ右の図のようになります。

\( y=ax+b \) は直線なので，変化の割合は一定です。

\( y=ax^2 \) は曲線なので，変化の割合は \( x \) の変域によって異なります。

（２）　次のア～エのうち，図Ⅱの特徴であるＡとして適切なものをすべて選び，記号で答えなさい。

ア　グラフは \( y \) 軸について対称である
イ　グラフは \( y \) 軸と交点をもつ
ウ　\( x=1 \) のとき，\( y=a \) である
エ　\( a>0 \) で \( x>0 \) のとき，\( x \) が増加すると \( y \) も増加する

【解答】

イ，エ

【解説】

右のグラフから，

ア　グラフは \( y \) 軸について対称である
あてはまる･･･ \( y=ax^2 \)
あてはまらない･･･ \( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax+b \)

イ　グラフは \( y \) 軸と交点をもつ
あてはまる･･･ \( y=ax，y=ax+b，y=ax^2 \)
あてはまらない･･･ \( y=\dfrac{a}{x} \)

エ　\( a>0 \) で \( x>0 \) のとき，\( x \) が増加すると \( y \) も増加する
あてはまる･･･ \( y=ax，y=ax+b，y=ax^2 \)
あてはまらない･･･ \( y=\dfrac{a}{x} \)

注：このグラフは \( a>0 \) の場合を表しています。

ウ　\( x=1 \) のとき，\( y=a \) である
あてはまる･･･ \( y=ax，y=\dfrac{a}{x}，y=ax^2 \)
あてはまらない･･･ \( y=ax+b \) (\( x=1 \) のとき，\( y=a+b \) )

大問３

ある整数 \( a，b \) と \( 5 \) が，次のように \( a \) を \( 1 \) 番目として左から規則的に並んでいる。このとき，後の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　\( 20 \) 番目の整数は，\( a，b，5 \) のうちのどれか，答えなさい。

【解答】

\( 5 \)

【解説】

\( a，5，b \) の３つがこの順に繰り返し並んでいます。
つまり，３の倍数の順番のときに \( b \) が並ぶことになります。
よって，\( 18 \) 番目が \( b \) になるので，\( 20 \) 番目はその２つ後で，\( 5 \) になります。

（２）　\( 1 \) 番目から \( 7 \) 番目までの整数の和が \( 18 \)，\( 1 \) 番目から \( 50 \) 番目までの整数の和が \( 121 \) であるとき，\( a \) と \( b \) の値をそれぞれ求めなさい。
ただし，解答用紙の(解)には，答えを求める過程を書くこと。

【解答】

\( 1 \) 番目から \( 7 \) 番目までの整数の和は \( 2(a+b+5)+a=3a+2b+10 \)，
\( 1 \) 番目から \( 50 \) 番目までの整数の和は \( 16(a+b+5)+a+5=17a+16b+85 \)，
と表すことができるので，
それぞれの和の関係を連立方程式として解くと，

\( \left\{ \begin{array}{}
3a+2b+10=18 \;\; ･･･ \;\; ① \\
17a+16b+85=121 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀より，
　\( 3a+2b=8 \) ･･･ ➀’
➁より，
　\( 17a+16b=36 \) ･･･ ➁’
➀’\( \times 8- \) ➁’
　\( 7a=28 \)
　 \( a=4 \)
➀’に代入すると，
　\( 3 \times 4+2b=8 \)
　　　　　 \( 2b=-4 \)
　　　　　　\( b=-2 \)

よって，\( a=4，b=-2 \)

【解説】

\( a，5，b \) の３つをセットにして考えると，このセット１つの和は \( a+b+5 \) と表すことができます。

\( 1 \) 番目から \( 7 \) 番目までの整数の和は，
このセット２つと \( 7 \) 番目の整数 \( a \) の和になるので， \( 2(a+b+5)+a \) と表すことができます。

\( 1 \) 番目から \( 50 \) 番目までの整数の和は，
このセット１６個と \( 49 \) 番目の整数 \( a \)，\( 50 \) 番目の整数 \( 5 \) の和になるので，\( 16(a+b+5)+a+5 \) と表すことができます。

大問４

南さんは，平行四辺形の学習を振り返り，次のように図形の性質に関わる【ことがら】をまとめた。
後の(1) ，(2)の問いに答えなさい。

【ことがら】
四角形 \( ABCD \) が平行四辺形ならば，
四角形 \( ABCD \) の対角線 \( BD \) によって
つくられる２つの三角形は合同である。

（１）　南さんがまとめた【ことがら】が成り立つことを示したい。図Ⅰにおいて，四角形 \( ABCD \) が平行
四辺形のとき，三角形 \( ABD \) と三角形 \( CDB \) が合同になることを証明しなさい。

【解答】

平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ平行なので，
\( AD//BC \) より，錯角は等しく，
　\( ∠ADB=∠CBD \) ･･･ ➀
\( AB//DC \) より，錯角は等しく，
　\( ∠ABD=∠CDB \) ･･･ ➁
また，線分 \( BD \) は共通･･･ ➂
➀➁➂より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABD≡△CDB \)

（２）　南さんは自分がまとめた【ことがらの逆】は成り立たないことに気がついた。

【ことがらの逆】
四角形 \( ABCD \) の対角線 \( BD \) によってつくられる２つの三角形が合同ならば，四角形 \( ABCD \) は平行四辺形である。

図Ⅱにおいて，【ことがらの逆】の反例となる四角形 \( ABCD \) を完成させるよう，線分 \( BC \) と線分 \( CD \) を，コンパスと定規を用いて作図しなさい。
ただし，作図に用いた線は消さないこと。

【解答】

手順１　点 \( B \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする
　　　　円弧を描く。
手順２　点 \( D \) を中心に線分 \( AD \) を半径とする
　　　　円弧を描く。

手順１と２の円弧の交点が点 \( C \) になります。

【解説】

\( △ABD≡△CBD \) で，辺 \( BD \) が共通なので，
作図する \( △CBD \) は，
\( △ABD \) を辺 \( BD \) を軸として対称移動させた図形
と考えることができます。

このとき， \( AB=BC，AD=CD \) となるので，
「点 \( B \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧」と
「点 \( D \) を中心に線分 \( AD \) を半径とする円弧」
の交点が点 \( C \) になります。

大問５

図Ⅰのように，地点Ｐに止まっていた電車が，東西にまっすぐな線路を走り始めた。電車が出発してから \( x \) 秒後までに地点Ｐから東に進んだ距離を \( y \; m \) とすると，\( 20 \) 秒後までは，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) の関係がある。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，電車の位置は，その先端を基準に考えるものとする。

（１）　電車は出発してから \( 6 \) 秒後までに東の方向へ何 \( m \) 進んだか，求めなさい。

【解答】

\( 9 \; m \)

【解説】

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) に \( x=6 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 6^2=9 \; (m) \)

（２）　図Ⅱのように，和也さんは線路と平行に走る道を東に向かって毎秒 \( \dfrac{10}{3} \; m \) の速さで走っている。電車が地点Ｐを出発したときに，和也さんが地点Ｐより西にある地点Ｑを通過し，その \( 10 \) 秒後に電車と和也さんが同じ地点を走っていた。
図Ⅲが，電車が出発してから \( x \) 秒後までに地点Ｐから東に進んだ距離を \( y \; m \) として，電車と和也さんが地点Ｐより東を走るときの \( x \) と \( y \) の関係を表したグラフであるとき，次の ➀～③ の問いに答えなさい。

➀　図Ⅲのグラフ上にある点ア～ウのうち，和也さんが電車より前を走っていることを表す点を１つ選び，記号で答えなさい。

【解答】

イ

【解説】

このグラフにおいては，同じ \( x \) の値のときに，より上側に点がある方が前を走っていることになります。
アを通り \( y \) 軸と平行な直線，イを通り \( y \) 軸と平行な直線，ウを通り \( y \) 軸と平行な直線をひき，
電車が走っている状態を表す曲線との交点をとり，どちらの点が上側にあるかを確認すると，
下の図のとおり，イの点だけが上側にあるとわかります。

➁　地点Ｑから地点Ｐまでの距離を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{25}{3} \; m \)

【解説】

グラフ上で，電車が地点Ｐを出発してから \( 10 \) 秒後を表す点は，点 \( A \) のところなので，
地点Ｐから東に\( 25 \; m \) に進んだところになります。

和也さんは毎秒 \( \dfrac{10}{3} \; m \) の速さで走っているので，
\( 10 \) 秒間に進む距離は。\( \dfrac{10}{3} \times 10=\dfrac{100}{3} \; (m) \) です。

よって，\( 25-\dfrac{100}{3}=-\dfrac{25}{3} \) より，
地点Ｑの場所は，地点Ｐから西に \( \dfrac{25}{3} \; m \) 離れた場所とわかります。

➂　和也さんが地点Ｐを走っていたときの，和也さんと電車との距離を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{25}{16} \; m \)

【解説】

和也さんが走っている状態を表す直線の式は，
速さ（傾き）が毎分 \( \dfrac{10}{3} \; m \) であることと ➁ の結果から，
\( y=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{25}{3} \) になります。

地点Ｐを走っているときを表すのは \( y=0 \) のときなので，代入すると，
　　 \( 0=\dfrac{10}{3}x-\dfrac{25}{3} \)
　\( \dfrac{10}{3}x=\dfrac{25}{3} \)
　　 \( x=\dfrac{5}{2} \)
となり，和也さんが地点Ｐを走っていたのは，電車が出発してから \( \dfrac{5}{2} \) 秒後になります。

よって，電車が出発してから \( \dfrac{5}{2} \) 秒後にいる場所は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times \left(\dfrac{5}{2} \right)^2=\dfrac{25}{16} \; (m) \)
となり，地点Ｐから東に \( \dfrac{25}{16} \; m \) の場所になります。

大問６

右の図のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) と，線分 \( OA \) 上の点 \( C \) を中心として，線分 \( CO \) を半径とする円 \( C \) とが交わるとき，その交点を \( D，D’ \) とする。また，半直線 \( DO，DC \) と円 \( O \) との交点をそれぞれ \( E，F \) とする。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） \( ∠AOD=\dfrac{1}{2}∠EOF \) となることを次のように説明した。　ア　，　ウ　には適する語を，　イ　には適する記号をそれぞれ入れなさい。
ただし，弧 \( EF \) は，円周上の２点 \( E，F \) をそれぞれ両端とする弧のうち長くない方を表すものとする。

說明
円 \( C \) の半径より，\( CO=CD \) だから，\( △COD \) は　ア　三角形になるので，
　\( ∠EDF=∠ \) 　イ　･･･ ➀
また，\( ∠EDF \) は弧 \( EF \) の円周角であり，円周角は　ウ　角の \( \dfrac{1}{2} \) 倍になるので，
　\( ∠EDF=\dfrac{1}{2}∠EOF \) ･･･ ➁
したがって，➀，➁より，
\( ∠AOD=\dfrac{1}{2}∠EOF \) になる。

【解答】

　ア　･･･二等辺
　イ　･･･ \( AOD \)
　ウ　･･･中心

（２）\( AB=12 \; cm，∠BOF=90° \) のとき，次の ➀～③ の問いに答えなさい。

➀　\( ∠EDF \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 30° \)

【解説】

\( ∠EDF=x \) とすると，
（１）より，\( △COD \) は二等辺三角形なので，
　\( ∠CDO=∠COD=x \)
対頂角は等しいので，\( ∠BOE=x \)
\( ∠EDF \) は弧 \( EF \) の円周角，
\( ∠EOF \) は弧 \( EF \) の中心角なので，
　\( ∠EOF=2∠EDF=2x \)
\( ∠BOF=90° \) なので，
　\( ∠BOF=∠BOE+∠EDF \)
　　　\( 90°=x+2x \)
　　　　\( x=30° \)

➁　\( CO \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 2\sqrt{3} \; cm \)

【解説】

\( △OCF \) は \( OD=OF=6 \; cm \) の二等辺三角形で，
問 ➀ より，\( ∠CFO=∠CDO=30° \) なので，
\( △OCF \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形になっています。

よって，
　\( CO：OF=1：\sqrt{3} \)
　　 \( CO：6=1：\sqrt{3} \)
　　 \( \sqrt{3}CO=6 \)
　　　　\( CO=2\sqrt{3} \; (cm) \)

③　図において色をつけて示した，円 \( C \) のうち円 \( O \) と重なっていない部分の面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 6\sqrt{3}-2\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

色付きの部分の面積を \( S \)，
右の図で青の線で囲った部分を \( T \) とすると，
　\( S= \) おうぎ形 \( CDD’ – T\) ･･･ \( \fbox{1} \)
で求めることができます。
また，
　\( T= \) おうぎ形 \( ODD’ -(△OCD+△OCD’) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　･･･ \( \fbox{2} \)
で求められます。

\( \fbox{1} \) に \( \fbox{2} \) を代入すると，
　\( S= \) おうぎ形 \( CDD’ – \) \( \{ \) おうぎ形 \( ODD’ -(△OCD+△OCD’) \} \)
　　\( = \) おうぎ形 \( CDD’ – \) \( \{ \) おうぎ形 \( ODD’ -(△OCD+△OCD’) \} \)
　　\( = \) おうぎ形 \( CDD’ +△OCD+△OCD’ – \) おうぎ形 \( ODD’ \)
で求められます。

ここで，円 \( C \) に注目すると，
\( △ODD’ \) は \( OD=OD’ \) の二等辺三角形で，
線分 \( OA \) は中心 \( C \) を通っていることから，
\( ∠DOD’ \) の二等分線になります。
\( △OCD \) と \( △OCD’ \) は
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △OCD≡△OCD’ \)

【\( △OCD，△OCD’ \) の面積】
線分 \( OA \) と線分 \( DD’ \) の交点を点 \( G \) とすると，
\( △ODD’ \) は \( OD=OD’，∠DOD’=60° \) の二等辺三角形なので，
正三角形になっており， \( DG=\dfrac{1}{2}DD’=3 \; (cm) \) です。
また，問➁より，\( CO=2\sqrt{3} \; cm \) なので，
　\( △OCD=CO \times DG \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( =2\sqrt{3} \times 3 \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( =3\sqrt{3} \; (cm^2) \)
\( △OCD≡△OCD’ \) より，\( △OCD’=3\sqrt{3} \; (cm^2) \)

【おうぎ形 \( ODD’ \) の面積】
おうぎ形 \( ODD’ \) は，半径 \( 6 \; cm \)，中心角 \( 60° \) なので，
　おうぎ形 \( ODD’=\pi{} \times 6^2 \times \dfrac{60°}{360°} \)
　　　　　　　　　\( =6\pi{} \; (cm^2) \)

【おうぎ形 \( CDD’ \) の面積】
\( ∠DOD’ \) は弧 \( DD \) の円周角，\( ∠DCD’ \) は弧 \( DD \) の中心角で，
　\( ∠DCD’=2∠DOD’=120° \)
よって，おうぎ形 \( CDD’ \) は，半径 \( 2\sqrt{3} \; cm \)，中心角 \( 120° \) なので，
　おうぎ形 \( CDD’=\pi{} \times (2\sqrt{3})^2 \times \dfrac{120°}{360°} \)
　　　　　　　　　\( =4\pi{} \; (cm^2) \)

以上より，
　\( S= \) おうぎ形 \( CDD’ +△OCD+△OCD’ – \) おうぎ形 \( ODD’ \)
　　\( =4\pi{}+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-6\pi{} \)
　　\( =6\sqrt{3}-2\pi{} \; (cm^2) \)

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群馬県公立高校入試　令和５（2023）年度（前期）　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 04 May 2024 13:00:39 +0000

大問１

（１）　次の➀～➅の計算をしなさい。

➀　\( -6+4 \)

【解答】

\( -2 \)

➁　\( 5 \times (-3)^2 \)

【解答】

\( 45 \)

【解説】

\( =5 \times 9 \)
\( =45 \)

➂　\( 2 \times (-2a) \)

【解答】

\( -4a \)

➃　\( 3x+4y-(x-y) \)

【解答】

\( 2x+5y \)

【解説】

\( =3x+4y-x+y \)
\( =2x+5y \)

➄　\( (12a-8b) \div 4 \)

【解答】

\( 3a-2b \)

【解説】

\( =\dfrac{12a-8b}{4} \)
\( =3a-2b \)

➅　\( \dfrac{9}{\sqrt{3}}+\sqrt{12} \)

【解答】

\( 5\sqrt{3} \)

【解説】

\( =\dfrac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}+2\sqrt{3} \)
\( =3\sqrt{3}+2\sqrt{3} \)
\( =5\sqrt{3} \)

（２）　\( (x-1)(y+3) \) を展開しなさい。

【解答】

\( xy+3x-y-3 \)

（３）　\( x^2-2x-15 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x+3)(x-5) \)

（４）　右の図のように，長方形 \( ABCD \) を合同な直角三角形ア～クに分ける。直角三角形アを，点 \( O \) を中心にして，反時計回りに \( 180° \) 回転移動させたとき，ちょうど重なる直角三角形をイ〜クから１つ選び，記号で答えなさい。

【解答】

オ

【解説】

直角三角形アを，点 \( O \) を中心にして，反時計回りに \( 180° \) 回転移動させるというのは，
この図全体を \( 180° \) 回転させてみても同じことになります。

下の図のように図全体を \( 180° \) 回転させると，直角三角形アはもとの状態でオの位置になります。
よって，ちょうど重なる直角三角形はオになります。

（５）　\( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=-4 \) のとき \( y=-3 \) である。\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

【解答】

\( y=\dfrac{12}{x} \)

【解説】

反比例の式を \( y=\dfrac{a}{x} \) とし，\( x=-4，y=-3 \) を代入すると，
　\( -3=\dfrac{a}{-4} \)
　　\( a=12 \)
よって，求める式は，\( y=\dfrac{12}{x} \)

（６）　連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-1 \\
y=x-3 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=1，y=-2 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-1 \;\; ･･･ \;\; ① \\
y=x-3 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➁を①に代入すると，
　\( 3x+2(x-3)=-1 \)
　　　　　\( 5x-6=-1 \)
　　　　　　　 \( x=1 \)
➁に代入すると，
　\( y=1-3=-2 \)

（７）　右の図で，\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠x=110° \)

【解説】

多角形において，すべての外角の和は必ず \( 360° \) になるので，
\( ∠x \) と隣接する部分の外角を \( ∠y \) とすると，
　\( 80°+80°+60°+70°+∠y=360° \)
　　　　　　　　　　\( 290°+∠y=360° \)
　　　　　　　　　　　　　　\( ∠y=70° \)

\( ∠x+∠y=180° \) なので，
　\( ∠x+70°=180° \)
　　　　 \( ∠x=110° \)

大問２

（１）　右の図の直線 \( y=ax+b \) における \( a \) と \( b \) について，正しく表しているものを，次のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。

ア　\( a+b>0，ab>0 \) 　　　　イ　\( a+b>0，ab<0 \)
ウ　\( a+b<0，ab>0 \) 　　　　エ　\( a+b<0，ab<0 \)

【解答】

ウ

【解説】

図より，\( y=ax+b \) は右下がりの直線なので，傾き \( a<0 \)
また，切片も負の値なので，切片 \( b<0 \)
ここから，
\( a+b \) は，「負の数 \( + \) 負の数 \( = \) 負の数」なので，\( a+b<0 \)
\( ab \) は，「負の数 \( \times \) 負の数 \( = \) 正の数」なので，\( ab>0 \)
よって，あてはまるのはウ

（２）　右の図のような \( ∠C=90° \) の直角三角形 \( ABC \) において， \( AB=4 \; cm，AC=3 \; cm \) である。この直角三角形 \( ABC \) を，直線 \( AC \) を回転の軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 7\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( BC^2=AB^2-AC^2 \)
　　　　\( =4^2-3^2 \)
　　　　\( =7 \)
　 \( BC=\sqrt{7} \; (cm) \) (\( BC>0 \) より)
となるので，回転させてできた立体は
底面の半径 \( \sqrt{7} \; cm \)，高さ \( 3 \; cm \) の円すいになります。

よって，求める体積は，
　\( (\pi{} \times \sqrt{7}^2) \times 3 \times \dfrac{1}{3}=7\pi{} \; (cm^3) \)

（３）　右の表は，Ａ中学校の生徒 \( 80 \) 人とＢ中学校の生徒 \( 100 \) 人について通学時間を調べ，各階級の相対度数をまとめたものである。\( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級の生徒の人数は，どちらの中学校の方が何人多いか，答えなさい。

【解答】

Ｂ中学校の方が \( 3 \) 人多い

【解説】

ある階級の度数は，「データの総数 \( \times \) その階級の相対度数」で求めることができるので，
　Ａ中学校･･･ \( 80 \times 0.15=12 \)（人）
　Ｂ中学校･･･ \( 100 \times 0.15=15 \)（人）
となり，Ｂ中学校の方が \( 3 \) 人多い。

（４）　ある部活動で，タオルを \( 30 \) 枚注文することにした。Ａ店とＢ店でタオル \( 1 \) 枚の定価は同じであったが，\( 30 \) 枚注文すると，Ａ店では全てのタオルが \( 1 \) 枚当たり定価の \( 10% \) 引きになり，Ｂ店では注文したタオルのうちの \( 1 \) 枚分が無料になることが分かった。また，タオル \( 30 \) 枚の合計金額は，Ａ店の方が \( 1200 \) 円安かった。このとき，タオル \( 1 \) 枚の定価を求めなさい。ただし，消費税は考えないものとする。
なお，解答用紙の (解) には，答えを求める過程を書くこと。

【解答】

タオル \( 1 \) 枚の定価を \( x \) 円とすると，
Ａ店でタオル \( 30 \) 枚を注文するときの合計金額は \( \dfrac{90}{100}x \times 30 \) 円
Ｂ店でタオル \( 30 \) 枚を注文するときの合計金額は \( 29x \) 円
と表せるので，合計金額の関係を方程式にして解くと，
　\( 29x-\dfrac{90}{100}x \times 30=1200 \)
　　　　　\( 29x-27x=1200 \)
　　　　　　　　　\( 2x=1200 \)
　　　　　　　　　\( x=600 \)

よって，タオル \( 1 \) 枚の定価は \( 600 \) 円

大問３

右の図Ⅰのような，直方体の底面から直方体を切り取った階段状の浴槽に，お湯を一定の水量で入れ続ける。図Ⅱは，空の浴槽にお湯を入れ始めてから \( x \) 分後の水面の高さを \( y \; cm \) として，\( x \) と\( y \) の関係をグラフに表したものである。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）　お湯を入れ始めてから \( 3 \) 分後の水面の高さを求めなさい。

【解答】

\( 12 \; cm \)

【解説】

グラフから，\( 5 \) 分間で水面の高さは \( 20 \; cm \) になっているので，
\( 1 \) 分間あたり，水面の高さは \( \dfrac{20}{5}=4 \; (cm) \) ずつ高くなります。
よって，\( 3 \) 分後の水面の高さは，\( 4 \times 3=12 \; (cm) \) になります。

（２）　水面の高さが \( 20 \; cm \) になった後，水面の上がる速さは，\( 20 \; cm \) までの \( \dfrac{3}{4} \) 倍に変わった。このとき，水面の高さが \( 44 \; cm \) になるのは, お湯を入れ始めてから何分後か，求めなさい。

【解答】

\( 13 \) 分後

【解説】

水面の高さ \( 20 \; cm \) までは，
\( 1 \) 分間あたり，水面の高さは \( 4 \; cm \) ずつ高くなるので，
\( 20 \; cm \) を過ぎてからは，
\( 1 \) 分間あたり，水面の高さは \( 4 \times \dfrac{3}{4}=3 \; (cm) \)
ずつ高くなります。

ここから，
水面の高さが \( 44-20=24 \; (cm) \) 高くなるのに
かかる時間は，\( \dfrac{24}{3}=8 \)（分）なので，
水面の高さが \( 20 \; cm \) になるまでの \( 5 \) 分と合わせて \( 13 \) 分になります。

大問４

右の図のように，線分 \( AB \) を直径とする円 \( O \) の円周上に \( BC=CA，∠BCA =90° \) となる点 \( C \) をとり，辺 \( BC \) を一辺とする正方形 \( BDEC \) を作る。また，線分 \( AD \) と線分 \( BC \) の交点を \( P \)，線分 \( AD \) と円 \( O \) の交点を \( Q \) としたとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）　\( ∠AQC \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( 45° \)

【解説】

\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，\( ∠ABC=45° \)
弧\( AC \) の円周角なので，\( ∠AQC=∠ABC=45° \)

（２）　三角形 \( ABP \) と三角形 \( CQP \) が相似であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABP \) と \( △CQP \) において，
弧 \( AC \) の円周角なので，\( ∠ABP=∠CQP \) ･･･ ①
弧 \( BQ \) の円周角なので，\( ∠BAP=∠QCP \) ･･･ ➁
①➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABP \) ∽ \( △CQP \)

（３）　\( BD=2 \; cm \) のとき，\( CQ \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{2\sqrt{10}}{5} \; cm \)

【解説】

\( △ACP \) と \( △DBP \) において，
四角形 \( BDEC \) は正方形，\( △ABC \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AC=BC=DB=2 \; cm \) ･･･ ①
　\( ∠ACP=∠DBP=90° \) ･･･ ➁
正方形の向かい合う辺は平行なので，\( BD//CE \) であり，\( BD//AC \)
錯角は等しいので，\( ∠CAP=∠BDP \) ･･･ ➂
①➁➂より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACP≡△DBP \)

対応する辺の長さは等しいので，
点 \( P \) は線分 \( BC \) の中点であり，\( CP=BP=1 \; cm \)

\( △ACP \) において三平方の定理より，
　\( AP^2=2^2+1^2=5 \)
　 \( AP=\sqrt{5} \; (cm) \) (\( AP>0 \) より)

（２）より，\( △ABP \) ∽ \( △CQP \) なので，\( AB：CQ=AP：CP \)

\( △ABC \) は \( AC=BC=2 \; cm \) の直角二等辺三角形なので，
　\( AB=\sqrt{2}AC=2\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，
　 \( AB：CQ=AP：CP \)
　\( 2\sqrt{2}：CQ=\sqrt{5}：1 \)
　　 \( \sqrt{5}CQ=2\sqrt{2} \)
　　　　 \( CQ=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5} \; (cm) \)

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群馬県公立高校入試 令和６（2024）年度 解答＆解説

大問１

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群馬県公立高校入試 令和５（2023）年度（後期） 解答＆解説

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