関東 - 数学基礎トレーニングルーム

東京都公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Thu, 23 Jan 2025 13:00:53 +0000

大問１

〔問１〕 \( -6^2 \times \dfrac{1}{9}-4 \) を計算せよ。

【解答】

\( -8 \)

【解説】

\( =-36 \times \dfrac{1}{9}-4 \)
\( =-4-4 \)
\( =-8 \)

〔問２〕 \( 2a+b-\dfrac{5a+b}{3} \) を計算せよ。

【解答】

\( \dfrac{a+2b}{3} \)

【解説】

\( =\dfrac{3(2a+b)}{3}-\dfrac{5a+b}{3} \)
\( =\dfrac{6a+3b-5a-b}{3} \)
\( =\dfrac{a+2b}{3} \)

〔問３〕 \( (\sqrt{7}-1)(\sqrt{7}+6) \) を計算せよ。

【解答】

\( 1+5\sqrt{7} \)

【解説】

\( =(\sqrt{7})^2+6\sqrt{7}-\sqrt{7}-6 \)
\( =7+6\sqrt{7}-\sqrt{7}-6 \)
\( =1+5\sqrt{7} \)

〔問４〕一次方程式 \( 2x-8=-x+4 \) を解け。

【解答】

\( x=4 \)

【解説】

\( 3x=12 \)
\( x=4 \)

〔問５〕連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
5x+7y=9 \\
3x+4y=6 \\
\end{array} \right. \) を解け。

【解答】

\( x=6，y=-3 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
5x+7y=9 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x+4y=6 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 3 \)
　\( 15x+21y=27 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 5 \)
　\( 15x+20y=30 \) ･･･ ➁’
➀’\( – \) ➁’
　\( y=-3 \)
➁に代入すると，
　\( 3x+4 \times (-3)=6 \)
　　　　 \( 3x-12=6 \)
　　　　　　　\( 3x=18 \)
　　　　　　　 \( x=6 \)

〔問６〕二次方程式 \( (x-8)^2=1 \) を解け。

【解答】

\( x=7，9 \)

【解説】

\( x-8=±1 \)
　　\( x=8±1=9，7 \)

〔問７〕右の図１は，ある中学校第２学年の，Ａ組，Ｂ組，Ｃ組それぞれ生徒 \( 37 \) 人のハンドボール投げの記録を箱ひげ図に表したものである。
図１から読み取れることとして正しいものを，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

　　　ア　Ａ組，Ｂ組，Ｃ組のいずれの組にも，記録が \( 30 \; m \) を上回った生徒がいる。
　　　イ　Ａ組，Ｂ組，Ｃ組の中で，最も遠くまで投げた生徒がいる組はＣ組である。
　　　ウ　Ａ組，Ｂ組，Ｃ組のいずれの組にも，記録が \( 15 \; m \) の生徒はいない。
　　　エ　Ａ組，Ｂ組，Ｃ組の中で，四分位範囲が最も小さいのはＢ組である。

【解答】

エ　Ａ組，Ｂ組，Ｃ組の中で，四分位範囲が最も小さいのはＢ組である。

【解説】

ア･･･Ｃ組の最大値は \( 30 \; m \) 未満なので，記録が \( 30 \; m \) を上回った生徒はいません。

イ･･･最大値が最も大きいのはＢ組なので，最も遠くまで投げた生徒がいる組はＢ組です。

ウ･･･各組 \( 37 \) 人分のデータを主計しているので，中央値になるのは値の小さい方から \( 19 \) 番目の
　　　人の値になります。Ａ組の中央値は \( 15 \; m \) なので，Ａ組には記録が \( 15 \; m \) の生徒がいます。

エ･･･四分位範囲の大小は箱の部分の長さで判断でき，箱の長さが最も短いのはＢ組です。

〔問８〕次の　あい　に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

右の図２で，点 \( O \) は，線分 \( AB \) を直径とする円の中心であり，
３点 \( C，D，E \) は円 \( O \) の周上にある点である。
５点 \( A，B，C，D，E \) は，右の図２のように，\( A，D，B，E，C \) の順に並んでおり，互いに一致しない。
点 \( B \) と点 \( E \)，点 \( C \) と点 \( D \)，点 \( D \) と点 \( E \) をそれぞれ結ぶ。
線分 \( CD \) が円 \( O \) の直径， \( \stackrel{\huge\frown}{ AC }=\dfrac{2}{5}\stackrel{\huge\frown}{ AB } \) のとき，\( x \) で示した \( ∠BED \) の大きさは，　あい　度である。

【解答】

　あい　 \( =36 \)

【解説】

中心角の大きさは弧の長さに比例します。

\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角 \( ∠AOB=180° \) なので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AC }=\dfrac{2}{5}\stackrel{\huge\frown}{ AB } \) より，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する中心角 \( ∠AOC=\dfrac{2}{5} \times 180°=72° \) になります。

対頂角は等しいので，\( ∠BOD=∠AOC=72° \)

\( ∠BOD \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BD } \) に対する中心角，
\( ∠BED \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ BD } \) に対する円周角
なので，
　\( ∠x=∠BED=\dfrac{1}{2}∠BOD=36° \)

〔問９〕右の図３で，四角形 \( ABCD \) は，\( ∠BAD \) が鈍角の四角形である。
解答欄に示した図をもとにして，四角形 \( ABCD \) の辺上にあり，辺 \( AB \) と辺 \( AD \) までの距離が等しい点 \( P \) を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 \( P \) の位置を示す文字 \( P \) も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

【解答】

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( AB，AD \) との交点を \( E，F \) とします。)
手順２　２点 \( E，F \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( G \) とします。)
手順３　２点 \( A，G \) を通る直線を描く。

手順３の直線と辺 \( BC \) の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

点 \( P \) は，辺 \( AB \) と辺 \( AD \) までの距離が等しい
ということは，
点 \( P \) から辺 \( AB，AD \) にひいた垂線の長さが
等しくなるということです。

これらの垂線と辺 \( AB，AD \) の交点を \( Q，R \) とすると，
\( △APQ \) と \( △APR \) において，
　\( ∠AQP=∠ARP=90° \)
　\( AP \) は共通
　\( PQ=PR \)
より，
斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい直角三角形なので，
　\( △APQ≡△APR \)

対応する角は等しいので，\( ∠PAQ=∠PAR \) であり，
線分 \( AP \) は \( ∠BAD \) の二等分線になります。

大問２

Ｓさんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。

【先生が示した問題】
\( a，b \) を正の数とする。
右の図１で，\( △ABC \) は， \( ∠BAC=90° \)，\( AB=a \; cm，AC = b \; cm \) の直角三角形である。
右の図２に示した四角形 \( AEDC \) は，図１において，辺 \( BC \) を \( B \) の方向に延ばした直線上にあり \( BC=BD \) となる点を \( D \) とし，\( △ABC \) を頂点 \( B \) が点 \( D \) に一致するように平行移動させたとき，頂点 \( A \) が移動した点を \( E \) とし，頂点 \( A \) と点 \( E \)，点 \( D \) と点 \( E \) をそれぞれ結んでできた台形である。
四角形 \( AEDC \) の面積は，\( △ABC \) の面積の何倍か求めなさい。

〔問１〕次の　う　に当てはまる数字を答えよ。

【先生が示した問題】で，四角形 \( AEDC \) の面積は，\( △ABC \) の面積の　う　倍である。

【解答】

　う　･･･ \( 3 \)

【解説】

\( △ABC \) と \( △EDB \) において，
仮定より \( BC=BD \) ･･･ ➀
平行移動させた後，辺 \( AB \) と辺 \( ED \) は
ぴったり重なるので，\( AB=ED \) ･･･ ➁
平行移動させた後，ぴったり重なるということは \( AB//ED \) なので，
同位角は等しく，\( ∠ABC=∠EDB \) ･･･ ➂
①②③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ABC ≡△EDB \)

\( △BAE \) と \( △EDB \) において，
辺 \( BE \) は共通･･･ ④
ぴったり重なるので，\( AB=ED \) ･･･ ➄
\( AB//ED \) なので，
錯角は等しく，\( ∠ABE=∠DEB \) ･･･ ⑥
④➄➅より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △BAE ≡△EDB \)

よって，\( △ABC ≡△BAE ≡△EDB \) なので，
四角形 \( AEDC=△ABC+△BAE+△EDB=3△ABC \) になります。

Ｓさんのグループは，【先生が示した問題】をもとにして，次の問題を作った。

【Ｓさんのグループが作った問題】
\( a，b，x \) を正の数とする。
右の図３に示した四角形 \( AGHC \) は，図１において，辺 \( AB \) を \( B \) の方向に延ばした直線上にある点を \( F \) とし，\( △ABC \) を頂点 \( A \) が点 \( F \) に一致するように平行移動させたとき，頂点 \( B \) が移動した点を \( G \)，頂点 \( C \) が移動した点を \( H \) とし，頂点 \( C \) と点 \( H \)，点 \( G \) と点 \( H \) をそれぞれ結んでできた台形である。
右の図４に示した四角形 \( ABJK \) は，図１において，辺 \( AC \) を \( C \) の方向に延ばした直線上にある点を \( I \) とし，\( △ABC \) を頂点 \( A \) が点 \( I \) に一致するように平行移動させたとき頂点 \( B \) が移動した点を \( J \)，頂点 \( C \) が移動した点を \( K \) とし，頂点 \( B \) と点 \( J \)，点 \( J \) と点 \( K \) をそれぞれ結んでできた台形である。
図３において，線分 \( AF \) の長さが辺 \( AB \) の長さの \( x \) 倍となるときの四角形 \( AGHC \) の面積と，図４において，線分 \( AI \) の長さが辺 \( AC \) の長さの \( x \) 倍となるときの四角形 \( ABJK \) の面積が等しくなることを確かめてみよう。

〔問２〕【Ｓさんのグループが作った問題】で，四角形 \( AGHC \) の面積と四角形 \( ABJK \) の面積を，それぞれ \( a，b，x \) を用いた式で表し，四角形 \( AGHC \) の面積と四角形 \( ABJK \) の面積が等しくなることを証明せよ。

【解答】

四角形 \( AGHC \) は，\( CH=ax \; cm，AG=ax+a \; cm，AC = b \; cm \) の台形なので，
その面積は，
　四角形 \( AGHC=\{ ax+(ax+a) \} \times b \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　 \( =\dfrac{ab(2x+1)}{2} \; (cm^2) \)
と表すことができる。

四角形 \( ABJK \) は，\( BJ=bx \; cm，AK=bx+b \; cm，AB = a \; cm \) の台形なので，
その面積は，
　四角形 \( ABJK=\{ bx+(bx+b) \} \times a \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　　　 \( =\dfrac{ab(2x+1)}{2} \; (cm^2) \)
と表すことができる。

よって，四角形 \( AGHC \) の面積と四角形 \( ABJK \) の面積は等しくなる

【解説】

大問３

右の図１で，点 \( O \) は原点，曲線ℓは関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) のグラフを表している。
点 \( A \) は曲線ℓ上にあり，\( x \) 座標は \( -6 \) である。
曲線ℓ上にある点を \( P \) とする。
次の各問に答えよ。

〔問１〕次の　➀　と　➁　に当てはまる数を，下のア～クのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。

点 \( P \) の \( x \) 座標を \( a \)，\( y \) 座標を \( b \) とする。
\( a \) のとる値の範囲が \( -3≦a≦1 \) のとき，\( b \) のとる値の範囲は，　➀　 \( ≦ b ≦ \) 　➁　である。

　　ア　\( -\dfrac{9}{4} \) 　　　　　イ　\( -\dfrac{3}{2} \) 　　　　　ウ　\( -\dfrac{3}{4} \) 　　　　　エ　\( 0 \)
　　オ　\( \dfrac{1}{4} \) 　　　　　　カ　\( \dfrac{1}{2} \) 　　　　　　キ　\( \dfrac{3}{2} \) 　　　　　　ク　\( \dfrac{9}{4} \)

【解答】

　➀　･･･エ　\( 0 \)
　➁　･･･ク　\( \dfrac{9}{4} \)

【解説】

関数 \( y=ax^2 \) (\( a>0，a \) は定数) において，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) は最大値をとります。

関数 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) について，
\( x \) の変域が \( -3≦x≦1 \) のとき，\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
\( x \) の絶対値が最も大きいのは \( x=-3 \) のときなので，
このときの \( y \) の値は，
\( y=\dfrac{1}{4} \times (-3)^2=\dfrac{9}{4} \)
であり，最大値は \( \dfrac{9}{4} \) になります。

よって，\( b \) のとる値の範囲は，\( 0≦b≦\dfrac{9}{4} \) になります。

〔問２〕次の　➂　と　➃　に当てはまる数を，下のア～エのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。

右の図２は，図１において，\( x \) 座標が点 \( P \) の \( x \) 座標と等しく，\( y \) 座標が点 \( P \) の \( y \) 座標より \( 4 \) 大きい点を \( Q \) とした場合を表している。
点 \( P \) の \( x \) 座標が \( 2 \) のとき，２点 \( A，Q \) を通る直線の式は，
　\( y= \) 　➂　 \( x+ \) 　➃　
である。

　　➂　　ア　\( 2 \) 　　　　イ　\( \dfrac{1}{2} \) 　　　　ウ　\( -\dfrac{1}{2} \) 　　　エ　\( -2 \)
　　➃　　ア　\( 6 \) 　　　　イ　\( 5 \) 　　　　ウ　\( 4 \) 　　　　エ　\( 1 \)

【解答】

　➂　･･･ウ　\( -\dfrac{1}{2} \)
　➃　･･･ア　\( 6 \)

【解説】

点 \( P \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 2^2-1 \)
であり，点 \( P \) の座標は，\( P(2，1) \)
点 \( Q \) の座標は，\( Q(2，5) \)

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times (-6)^2=9 \)
であり，点 \( A \) の座標は，\( A(-6，9) \)

直線 \( AQ \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{5-9}{2-(-6)}=-\dfrac{1}{2} \)
\( y=-\dfrac{1}{2}x+n \) に \( x=2，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=-\dfrac{1}{2} \times 2+n \)
　\( 5=-1+n \)
　\( n=6 \)
よって，直線 \( AQ \) の式を \( y=-\dfrac{1}{2}x+6 \)

〔問３〕図２において，点 \( P \) の \( x \) 座標が \( 3 \) より大きい数であるとき，点 \( Q \) を通り傾き \( \dfrac{1}{2} \) の直線を引き，\( y \) 軸との交点を \( R \) とし，点 \( O \) と点 \( A \)，点 \( A \) と点 \( R \)，点 \( P \) と点 \( Q \)，点 \( P \) と点 \( R \) をそれぞれ結んだ場合を考える。
\( △AOR \) の面積が \( △PQR \) の面積の３倍になるとき，点 \( P \) の \( x \) 座標を求めよ。

【解答】

\( 8 \)

【解説】

求める点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( P，Q \) の座標は \( P \left( t，\dfrac{1}{4}t^2 \right)，Q \left( t，\dfrac{1}{4}t^2+4 \right) \) と表すことができます。

点 \( Q \) を通り傾き \( \dfrac{1}{2} \) の直線の式を
\( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，
\( Q \left( t，\dfrac{1}{4}t^2+4 \right) \) を通るので，
　\( \dfrac{1}{4}t^2+4=\dfrac{1}{2}t+b \)
　　　　 \( b=\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+4 \)
となり，
\( R \) の座標は \( R \left( 0，\dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+4 \right) \) と表すことができます。

このとき，
　　　　　　　　　　 \( △AOR=3△PQR \)
　\( \left( \dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+4 \right) \times 6 \times \dfrac{1}{2}=3 \times \left( 4 \times t \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　　　 \( \dfrac{1}{4}t^2-\dfrac{1}{2}t+4=2t \)
　　　　　　　　\( t^2-2t+16=8t \)
　　　　　　　 \( t^2-10t+16=0 \)
　　　　　　　 \( (t-2)(t-8)=0 \)
　　　　　　　　　　　　　　\( t=8 \) (\( t>3 \) より)

大問４

右の図１で，四角形 \( ABCD \) は，\( AB 辺 \( BC \) の中点を \( M \) とする。
点 \( P \) は，線分 \( CM \) 上にある点で，頂点 \( C \)，点 \( M \) のいずれにも一致しない。
頂点 \( A \) と点 \( M \) を結び，点 \( P \) を通り線分 \( AM \) に平行な直線を引き，辺 \( AD \) との交点を \( Q \) とする。
点 \( M \) と点 \( Q \) を結ぶ。
次の各問に答えよ。

〔問１〕図１において，\( AB=BM，∠AQM=a° \) とするとき，\( ∠MQP \) の大きさを表す式を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

　　ア　\( (180-a) \) 度　　　イ　\( (135-a) \) 度　　　ウ　\( (a-90) \) 度　　　　エ　\( (a-45) \) 度

【解答】

イ　\( (135-a) \) 度

【解説】

\( ∠MQP=x° \) とすると，
長方形の向かい合う辺は平行なので，錯角は等しく，
　\( ∠AMQ=∠MQP=x° \)
長方形の内角は \( 90° \) なので，\( AB=BM \) より
\( △ABM \) は直角二等辺三角形であり，\( ∠AMB=45° \) なので，
　\( ∠BMQ=∠AMB+∠AMQ \)
　　　　　 \( =(45+x)° \)

\( ∠AQM=a° \) より，\( ∠DQM=(180-a)° \) であり，
錯角は等しいので，
　　\( ∠BMQ=∠DQM \)
　\( (45+x)°=(180-a)° \)
　　　　　 \( x=(135-a)° \)

〔問２〕右の図２は，図１において，頂点 \( B \) と頂点 \( D \) を結び，線分 \( BD \) と，線分 \( AM \)，線分 \( MQ \) ，線分 \( PQ \) との交点をそれぞれ \( R，S，T \) とした場合を表している。
次の１，２に答えよ。

１　\( △BMR \) ∽ \( △DQT \) であることを証明せよ。

【解答】

\( △BMR \) と \( △DQT \) において，
長方形の向かい合う辺は平行なので，
\( AD//BC \) であり，錯角は等しく，
　\( ∠RBM=∠TDQ \) ･･･ ➀
　\( ∠TQD=∠TPB \) ･･･ ②
仮定より \( AM//QP \) なので，
同位角は等しく，
　\( ∠RMB=∠TPB \) ･･･ ➂
②③より，
　\( ∠RMB=∠TQD \) ･･･ ➃
➀➃より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △BMR \) ∽ \( △DQT \)

２　次の　え　，　おか　に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図２において，\( MP：PC=3：1 \) のとき，線分 \( ST \) の長さと線分 \( BD \) の長さの比を最も簡単な整数の比で表すと，\( ST：BD= \) 　え　：　おか　である。

【解答】

　え　：　おか　 \( =5：36 \)

【解説】

\( MP：PC=3：1，BM=MC \) より，
　\( BM：MP：PC=4：3：1 \)
\( AQ=MP，AD=BC \) なので，
　\( AQ：QD=3：5 \)
になっています。

１より \( △BMR \) ∽ \( △DQT \) なので，
　\( BR：DT=BM：DQ=4：5 \) ･･･ ①
また，\( △BMR \) ∽ \( △BPT \) でもあるので，
　\( BR：RT=BM：MP=4：3 \) ･･･ ②
①②より，
　\( RT：BD=3：12 \) ･･･ ➂

\( AM//QP \) より \( △SMR \) ∽ \( △SQT \) であり，
\( △BMR \) ∽ \( △DQT \) より，
　\( RM：TQ=BM：DQ=4：5 \)
対応する辺の比は等しいので，
　\( SR：ST=RM：TQ=4：5 \)
であり，
　\( ST：RT=5：9 \) ･･･ ➃

③➃より，
　\( ST：RT：BD=\dfrac{5}{3}：3：12=5：9：36 \)
なので，
　\( ST：BD=5：36 \)

大問５

右の図に示した立体 \( ABC-DEF \) は，\( AB=AD=6 \; cm \)，\( AC=BC=5 \; cm \)，\( ∠BAD=∠CAD=90° \) の三角柱である。
辺 \( CF \) 上にあり，頂点 \( C \), 頂点 \( F \) のいずれにも一致しない点を \( P \) とする。
次の各問に答えよ。

〔問１〕次の　きく　に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

線分 \( AB \) の中点を \( M \) とし，点 \( M \) と点 \( P \) を結んだ場合を考える。
\( ∠BMP \) の大きさは，　きく　度である。

【解答】

　きく　 \( =90 \)

【解説】

\( △ACP \) と \( △BCP \) において，
線分 \( CP \) は共通･･･ ➀
仮定より \( AC=BC \) ･･･ ②
\( ∠BAD=∠CAD=90° \) の三角柱なので，
\( ∠ACP=∠BCP=90° \) ･･･ ➂
①②③より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
\( △ACP≡△BCP \)
対応する辺は等しいので，\( AP=BP \)

\( △ABP \) は二等辺三角形で，
\( M \) は線分 \( AB \) の中点なので，
\( ∠BMP=90° \)

〔問２〕次の　　　の中の　けこ　に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

頂点 \( A \) と点 \( P \)，頂点 \( B \) と点 \( P \)，頂点 \( D \) と点 \( P \)，頂点 \( E \) と点 \( P \) をそれぞれ結んだ場合を考える。
立体 \( P-ADEB \) の体積は，　けこ　 \( cm^3 \) である。

【解答】

　けこ　 \( =48 \)

【解説】

三角柱 \( ABC-DEF \) を面 \( ADEB \) が底面に
なるように書くと右の図のようになります。

点 \( P \) から面 \( ADEB \) に垂線をひいた
交点を \( N \) とすると，
\( PN \) は立体 \( P-ADEB \) の高さであり，
\( PN=CM \) になっています。

\( △ABC \) において，
\( BM=\dfrac{1}{2}AB=3 \; cm \)，\( BC=5 \; cm \) なので，
\( △BCM \) は３辺の長さが \( 3：4：5 \) の直角三角形であり，\( CM=4 \; cm \)

よって，立体 \( P-ADEB \) の体積は，
　\( 6 \times 6 \times 4 \times \dfrac{1}{3}=48 \; (cm^3) \)

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神奈川県公立高校入試　令和６（2024）年度（定時制）　解答＆解説

ハラユタカ — Tue, 21 Jan 2025 13:00:28 +0000

大問１

（ア） \( 2-8 \)

　　　１． \( -10 \) 　　　　　　　２． \( -6 \) 　　　　　　　３． \( 6 \) 　　　　　　　　４． \( 10 \)

【解答】

２． \( -6 \)

（イ） \( 64 \div (-2)^2 \)

　　　１． \( -16 \) 　　　　　　　２． \( -8 \) 　　　　　　　３． \( 8 \) 　　　　　　　　４． \( 16 \)

【解答】

４． \( 16 \)

【解説】

\( =64 \div 4 \)
\( =16 \)

（ウ） \( -\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{4} \)

　　　１． \( -\dfrac{21}{20} \) 　　　　　　２． \( -\dfrac{11}{20} \) 　　　　　　３． \( \dfrac{11}{20} \) 　　　　　　　４． \( \dfrac{21}{20} \)

【解答】

２． \( -\dfrac{11}{20} \)

【解説】

\( =-\dfrac{16}{20}+\dfrac{5}{20} \)
\( =-\dfrac{11}{20} \)

（エ） \( 56a^2b \div 8ab \)

　　　１． \( 7a \) 　　　　　　　２． \( 7b \) 　　　　　　３． \( 7ab \) 　　　　　　　４． \( 7a^2b \)

【解答】

１． \( 7a \)

【解説】

\( =\dfrac{56a^2b}{8ab} \)
\( =7a \)

（オ） \( 6(2x-y)-2(x-2y) \)

　　　１． \( -10x-10y \) 　　　２． \( -10x-2y \) 　　　３． \( 10x-10y \) 　　　４． \( 10x-2y \)

【解答】

４． \( 10x-2y \)

【解説】

\( =12x-6y-2x+4y \)
\( =10x-2y \)

（カ） \( \sqrt{45}+\sqrt{5} \)

　　　１． \( 3\sqrt{5} \) 　　　　　　　２． \( 5\sqrt{2} \) 　　　　　　　３． \( 4\sqrt{5} \) 　　　　　　４． \( 10\sqrt{5} \)

【解答】

３． \( 4\sqrt{5} \)

【解説】

\( =3\sqrt{5}+\sqrt{5} \)
\( =4\sqrt{5} \)

大問２

右の図において，曲線①は関数 \( y=2x^2 \) のグラフであり，\( O \) は原点である。
点 \( A \) は曲線①上の点で，その \( x \) 座標は \( 2 \) である。
このとき，次の問いに答えなさい。

（ア）点 \( A \) の \( y \) 座標となる \( a \) の値として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( a=-8 \) 　　　２． \( a=-4 \)
　　　３． \( a=4 \) 　　　　４． \( a=8 \)

【解答】

４． \( a=8 \)

【解説】

\( y=2x^2 \) に \( x=2 \) を代入すると，
　\( y=2 \times 2^2=8 \)
よって，\( a=8 \) になります。

（イ） \( x \) の値が \( -2 \) から \( -1 \) まで増加するときの変化の割合として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( -6 \) 　　　　　　　２． \( -3 \) 　　　　　　　３． \( 3 \) 　　　　　　　　４． \( 6 \)

【解答】

１． \( -6 \)

【解説】

\( y=2x^2 \) のグラフにおいて，
\( x=-2 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=2 \times (-2)^2=8 \)
\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=2 \times (-1)^2=2 \)
なので，
変化の割合は，
　\( \dfrac{2-8}{-1-(-2)}=-6 \)

大問３

（ア） \( (x-4)(x+2) \) を展開しなさい。

　　　１． \( x^2-2x-8 \) 　　２． \( x^2-2x+8 \) 　　３． \( x^2+2x-8 \) 　　４． \( x^2+2x+8 \)

【解答】

１． \( x^2-2x-8 \)

（イ） \( x^2+3x-10 \) を因数分解しなさい。

　　　１． \( (x-6)(x+3) \) 　２． \( (x-5)(x+2) \) 　３． \( (x+5)(x-2) \) 　４． \( (x+6)(x-3) \)

【解答】

３． \( (x+5)(x-2) \)

（ウ）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
x+y=7 \\
2x-3y=6 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

　　　１． \( x=-3，y=-4 \) 　　２． \( x=-2，y=-5 \)
　　　３． \( x=2，y=5 \) 　　　　４． \( x=3，y=4 \)

【解答】

１． \( x=-3，y=-4 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=-7 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x-3y=6 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 2 \)
　\( 2x+2y=-14 \) ･･･ ➀’
➀’\( – \) ➁
　\( 5y=-20 \)
　 \( y=-4 \)
➀に代入すると，
　\( x+(-4)=-7 \)
　　　\( x-4=-7 \)
　　　　　\( x=-3 \)

（エ）２次方程式 \( x^2+3x-5=0 \) を解きなさい。

　　　１． \( x=\dfrac{-3±\sqrt{11}}{2} \) 　２． \( x=\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \) 　３． \( x=\dfrac{3±\sqrt{11}}{2} \) 　４． \( x=\dfrac{3±\sqrt{29}}{2} \)

【解答】

２． \( x=\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \)

（オ）大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，出た目の数の積が \( 6 \) になる確率を求めなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

　　　１． \( \dfrac{1}{9} \) 　　　　　　　　２． \( \dfrac{5}{36} \) 　　　　　　　３． \( \dfrac{1}{6} \) 　　　　　　　　４． \( \dfrac{5}{18} \)

【解答】

１． \( \dfrac{1}{9} \)

【解説】

２つの数の積が \( 6 \) になるのは，\( 1 \times 6，2 \times 3，3 \times 2，6 \times 1 \) の \( 4 \) 通りです。
２つのさいころの出る目のすべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通りなので，
出た目の数の積が \( 6 \) になる確率は \( \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} \)

【参考】
２つのさいころの出る目の組み合わせを表に書き出すと，
　

（カ） \( \sqrt{17}

　　　１． \( n=2 \) 　　　　　　２． \( n=3 \) 　　　　　　３． \( n=4 \) 　　　　　　４． \( n=5 \)

【解答】

４． \( n=5 \)

【解説】

\( \sqrt{16}<\sqrt{17} \( \sqrt{16}=4，\sqrt{36}=6 \) なので，
\( 4<\sqrt{17} \( n \) は \( 4 \) より大きく，\( 6 \) より小さい数になります。
よって，あてはまる \( n \) の値は \( n=5 \) になります。

（キ）右の図のような \( △ABC \) があり，２点 \( D，E \) はそれぞれ辺 \( AB，AC \) 上の点で，\( BC//DE \) である。
\( AC=9 \; cm，AD=4 \; cm，BD=2 \; cm \) のとき，線分 \( CE \) の長さを求めなさい。

　　　１． \( 2 \; cm \) 　　２． \( 3 \; cm \)
　　　３． \( 4 \; cm \) 　　４． \( 5 \; cm \)

【解答】

２． \( 3 \; cm \)

【解説】

\( BC//DE \) より，
\( △ADE \) ∽ \( △ABC \) なので，
\( AE：EC=AD：DB=2：1 \) になっています。

\( CE=x \; cm \) とすると，
\( AE=2x \; cm \) と表すことができるので，
　\( AE+CE=AC \)
　　　\( 2x+x=9 \)
　　　　　\( 3x=9 \)
　　　　　 \( x=3 \; (cm) \)

大問４

（ア）右の図１において，四角形 \( ABCD \) は正方形である。
また，点 \( E \) は辺 \( AB \) 上の点であり，点 \( F \) は線分 \( BD \) と線分 \( CE \) との交点である。
このとき，\( ∠x \) の大きさとして正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 45° \) 　　　２． \( 60° \)
　　　３． \( 75° \) 　　　４． \( 90° \)

【解答】

３． \( 75° \)

【解説】

正方形の４辺の長さは等しいので，
\( △ABD \) は \( AB=AD \) の直角二等辺三角形で，
\( ∠EBF=45° \)
対頂角は等しいので，\( ∠BFE=∠CFD=∠x \)
\( △BFE \) において，
　\( ∠x=∠BFE=180°-(∠BEF+∠EBF)=75° \)

（イ）右の図２において，線分 \( AB \) は円 \( O \) の直径であり，点 \( C \) は円 \( O \) の周上の点である。
\( OA=5\; cm，AC=8\; cm \) のとき，線分 \( BC \) の長さとして正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 3 \; cm \) 　　２． \( 4 \; cm \)
　　　３． \( 5 \; cm \) 　　４． \( 6 \; cm \)

【解答】

４． \( 6 \; cm \)

【解説】

\( ∠ACB \) は直径に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=90° \)
\( OA \) は，円 \( O \) の半径なので，
　\( AB=2OA=10 \; (cm) \)

\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( BC^2=AB^2-AC^2=36 \)
　 \( BC=6 \; (cm) \) ( \( BC>0 \) より)

（ウ）右の図３において，\( O \) は原点であり，点 \( A \) の座標は \( (1，5) \)，点 \( B \) の座標は \( (1，3) \)，点 \( C \) の座標は \( (5，1) \)，点 \( D \) の座標は \( (5，7) \) である。
点 \( A’ \) の座標が \( (7，6) \)，点 \( B’ \) の座標が \( (7，5) \)，点 \( C’ \) の座標が \( (9，4) \) であるとき，四角形 \( ABCD \) と相似となる四角形 \( A’B’C’D’ \) の頂点 \( D’ \) の座標として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( (8，7) \) 　　２． \( (8，8) \)
　　　３． \( (9，7) \) 　　４． \( (9，8) \)

【解答】

３． \( (9，7) \)

【解説】

相似な図形では，すべての辺において，対応する辺の長さの比は等しくなります。

図３より，\( AB \) の長さを \( 2 \) とすると，
\( A’B’ \) の長さは \( 1 \)，\( CD \) の長さは \( 6 \)
なので，
　\( CD：C’D’=AB：A’B’ \)
　　 \( 6：C’D’=2：1 \)
　　　 \( 2C’D’=6 \)
　　　　\( C’D’=3 \)

つまり，点 \( C’ \) から \( y \) 座標が \( 3 \) 大きい点が頂点 \( D’ \) になるので，
点 \( C’ \) の座標が \( (9，4) \) であることから，頂点 \( D’ \) の座標は \( (9，7) \) になります。

（エ）右の図４は，長方形 \( ABCD \) を底面とし，\( AE=BF=CG=DH \) を高さとする四角柱である。この四角柱において，ねじれの位置にある辺の組み合わせとして最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１．辺 \( AB \) と辺 \( GH \)
　　　２．辺 \( BC \) と辺 \( DH \)
　　　３．辺 \( CG \) と辺 \( FG \)
　　　４．辺 \( EF \) と辺 \( EH \)

【解答】

２．辺 \( BC \) と辺 \( DH \)

【解説】

ねじれの位置にある辺（線分）というのは，
どこまで伸ばしても交わらない辺（線分）のうち，平行でないもの
のことをいいます。

　１．辺 \( AB \) と辺 \( GH \) → 平行である
　３．辺 \( CG \) と辺 \( FG \) → 点 \( G \) で交わっている
　４．辺 \( EF \) と辺 \( EH \) → 点 \( E \) で交わっている

なので，ねじれの位置にあるとはいえません。

（オ）ＡさんとＢさんは，数学の授業で方程式の問題をつくり，その問題を解いた。次の会話文はそのときのものである。　（あ）　にあてはまる式，　（い）　にあてはまる数として正しいものを，それぞれ書きなさい。

【会話文】
Ａさん「わたしたちの身近なことから，方程式の問題をつくってみましょう。」

Ｂさん「それならば，先月一緒に行った美術館の入館料をテーマにしませんか。」

Ａさん「いいですね。それでは，中学生１人あたりの入館料を求める方程式の問題をつくりましょう。
　　　　問題をつくるためには人数や入館料についての条件が必要です。」

Ｂさん「そうですね。美術館に行った人数は，中学生が \( 8 \) 人で大人が \( 4 \) 人でした。中学生１人あたりの
　　　　入館料は大人１人あたりの入館料よりも \( 300 \) 円安く，中学生 \( 8 \) 人と大人 \( 4 \) 人の入館料を
　　　　合計したら \( 11400 \) 円でした。以上のことを条件としましょう。」

Ａさん「いいですね。この条件から中学生１人あたりの入館料を求める方程式の問題にしましょう。」

Ｂさん「そうしましょう。では，この問題を解くために, 方程式をつくってみてください。」

Ａさん「中学生１人あたりの入館料を \( x \) 円として方程式をつくると，
　　　　　（あ）　 \( =11400 \)
　　　　となります。」

Ｂさん「条件から方程式をつくることができましたね。この方程式を解くと，解は問題に適しているので，
　　　　中学生１人あたりの入館料は　（い）　円となります。」

Ａさん「中学生１人あたりの入館料を求めることができましたね。」

【解答】

　（あ）　･･･ \( 8x+4(x+300) \)
　（い）　･･･ \( 850 \)

【解説】

会話の内容から，「中学生１人あたりの入館料は大人１人あたりの入館料よりも \( 300 \) 円安い」，
つまり，「大人１人あたりの入館料は中学生１人あたりの入館料よりも \( 300 \) 円高い」ので，
中学生１人あたりの入館料を \( x \) 円とするとき，
大人１人あたりの入館料は \( x+300 \) 円と表すことができます。

このとき，
　中学生 \( 8 \) 人分の入館料は \( 8x \) 円，
　大人 \( 4 \) 人分の入館料は \( 4(x+300) \) 円
と表すことができ，これらの合計が \( 11400 \) 円だったので，
方程式にすると，\( 8x+4(x+300)=11400 \) ･･･　（あ）　になります。

これを解くと，
　\( 8x+4(x+300)=11400 \)
　 \( 8x+4x+1200=11400 \)
　　　　　　　 \( 12x=10200 \)
　　　　　　　　 \( x=850 \)（円）･･･　（い）　

大問５

次の資料は，ある地域における中学校１０校の，全校生徒の人数をそれぞれ記録したものであり，表は，資料の記録を度数分布表にまとめたものである。
この資料と表において，あとの問いに答えなさい。

（ア）表の中の \( \boxed{\phantom{　　　}} \) にあてはまる数として正しいものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 1 \) 　　　　　　　　２． \( 2 \) 　　　　　　　　３． \( 3 \) 　　　　　　　　４． \( 4 \)

【解答】

３． \( 3 \)

【解説】

ある階級の累積度数はその階級以下のすべての階級の度数の合計になるので，
\( 200 \) 人以上 \( 300 \) 人未満の階級の累積度数は，\( 2+1=3 \)（校）になります。

（イ）資料の記録を箱ひげ図に表したものとして最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。
　　

【解答】

１

【解説】

全部で \( 10 \) 校分のデータを集計しているので，
中央値になるのは，生徒数が少ない方から \( 5 \) 番目と \( 6 \) 番目の平均値
第三四分位数になるのは，生徒数が少ない方から \( 8 \) 番目の値
になります。

資料の数値から中央値と第三四分位数を求めると，
　中央値 \( =\dfrac{310+400}{2}=355 \)（人）
　第三四分位数･･･ \( 481 \)（人）
なので，両方があてはまる箱ひげ図は１になります。

大問６

ある中学校で，合唱祭の発表と発表後の表彰式の様子を実行委員の生徒がビデオカメラで撮影した。この撮影で使用したビデオカメラには，通常モードと高画質モードの２種類の設定があり，それぞれの設定において，撮影で使用するデータ量は撮影する時間に比例する。
このビデオカメラを用いて高画質モードで撮影を開始し，発表が終わったところで通常モードに切り替え，撮影を開始してから \( 180 \) 分経過したところで撮影を終了した。次の図は，撮影した時間 \( x \)（分）と撮影で使用したデータ量 \( y \; (\mathrm{GB}) \) の関係を表したグラフであり，\( O \) は原点である。
このとき，あとの問いに答えなさい。

（ア）このビデオカメラの設定を通常モードに切り替えたのは，撮影を開始してから何分後か。最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 90 \) 分後　　　　　２． \( 120 \) 分後　　　　　３． \( 150 \) 分後　　　　　４． \( 180 \) 分後

【解答】

２． \( 120 \) 分後

【解説】

高画質モードと通常モードでは時間あたりに使用するデータ量は異なるので，
高画質モードで撮影したときの直線の傾きと通常モードで撮影したときの直線の傾きが異なります。
つまり，直線の傾きが変わる点で通常モードに切り替えたことになるので，
通常モードに切り替えたのは，撮影を開始してから \( 120 \) 分後になります。

（イ）このビデオカメラを用いて高画質モードで撮影を開始し，途中で設定を切り替えることなく \( 180 \) 分経過したところで撮影を終了したとする。
このとき，この撮影で使用したデータ量は何 \( \mathrm{GB} \) になると考えられるか。最も適するものを次の１～４の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 12 \; \mathrm{GB} \) 　　　　　２． \( 15 \; \mathrm{GB} \) 　　　　　　３． \( 18 \; \mathrm{GB} \) 　　　　　　４． \( 21 \; \mathrm{GB} \)

【解答】

３． \( 18 \; \mathrm{GB} \)

【解説】

\( 120 \) 分経過した後も高画質モードで撮影を続けた場合の直線をかき加えたものが
下の図の赤の直線になります。

グラフから，高画質モードで \( 120 \) 分間撮影したとき，\( 12 \; \mathrm{GB} \) を使用したので，
\( 60 \) 分間では \( 6 \; \mathrm{GB} \) のデータを消費したことになります。
つまり，\( 120 \) 分後から \( 180 \) 分後までの \( 60 \) 分間にも \( 6 \; \mathrm{GB} \) のデータを
使用することになるので，使用するデータ量の合計は，\( 12+6=18 \; (\mathrm{GB}) \) になります。

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神奈川県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 18 Jan 2025 13:00:37 +0000

大問１

（ア） \( 2-8 \)

　　　１． \( -10 \) 　　　　　　　２． \( -6 \) 　　　　　　　３． \( 6 \) 　　　　　　　　４． \( 10 \)

【解答】

２． \( -6 \)

（イ） \( -\dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{4} \)

　　　１． \( -\dfrac{21}{20} \) 　　　　　　２． \( -\dfrac{11}{20} \) 　　　　　　３． \( \dfrac{11}{20} \) 　　　　　　　４． \( \dfrac{21}{20} \)

【解答】

２． \( -\dfrac{11}{20} \)

【解説】

\( =-\dfrac{16}{20}+\dfrac{5}{20} \)
\( =-\dfrac{11}{20} \)

（ウ） \( \dfrac{3x-y}{4}-\dfrac{5x+2y}{9} \)

　　　１． \( \dfrac{7x-17y}{36} \) 　　　　２． \( \dfrac{7x-y}{36} \) 　　　　　３． \( \dfrac{7x+y}{36} \) 　　　　　４． \( \dfrac{7x+17y}{36} \)

【解答】

１． \( \dfrac{7x-17y}{36} \)

【解説】

\( =\dfrac{9(3x-y)}{36}-\dfrac{4(5x+2y)}{36} \)
\( =\dfrac{9(3x-y)-4(5x+2y)}{36} \)
\( =\dfrac{27x-9y-20x-8y}{36} \)
\( =\dfrac{7x-17y}{36} \)

（エ） \( \dfrac{10}{\sqrt{5}}+\sqrt{80} \)

　　　１． \( 4\sqrt{5} \) 　　　　　　　２． \( 4\sqrt{10} \) 　　　　　　３． \( 6\sqrt{5} \) 　　　　　　４． \( 6\sqrt{10} \)

【解答】

３． \( 6\sqrt{5} \)

【解説】

\( =\dfrac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}+4\sqrt{5} \)
\( =2\sqrt{5}+4\sqrt{5} \)
\( =6\sqrt{5} \)

（オ） \( (x-2)^2-(x+3)(x-8) \)

　　　１． \( -x+20 \) 　　　　　２． \( -x+28 \) 　　　　３． \( x+20 \) 　　　　　４． \( x+28 \)

【解答】

４． \( x+28 \)

【解説】

\( =(x^2-4x+4)-(x^2-5x-24) \)
\( =x^2-4x+4-x^2+5x+24 \)
\( =x+28 \)

大問２

（ア）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{} ax-by=-10 \\ bx+ay=-11 \\\end{array} \right. \) の解が \( x=3，y=2 \) であるとき，\( a，b \) の値を求めなさい。

　　　１． \( a=-8，b=-1 \) 　　　　２． \( a=-4，b=-1 \)
　　　３． \( a=2，b=-5 \) 　　　　　４． \( a=4，b=-5 \)

【解答】

２． \( a=-4，b=-1 \)

【解説】

与式に \( x=3，y=2 \) を代入すると，
\( \left\{ \begin{array}{}
3a-2b=-10 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3b+2a=-11 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 3 \)
　\( 9a-6b=-30 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 2 \)
　\( 6b+4a=-22 \) ･･･ ➁’
➀’\( + \) ➁’
　\( 13a=-52 \)
　　\( a=-4 \)
➁に代入すると，
　\( 3b+2 \times (-4)=-11 \)
　　　　　\( 3b-8=-11 \)
　　　　　　　\( 3b=-3 \)
　　　　　　　 \( b=-1 \)

（イ）２次方程式 \( 3x^2-5x-1=0 \) を解きなさい。

　　　１． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{13}}{6} \) 　　２． \( x=\dfrac{-5±\sqrt{37}}{6} \)
　　　３． \( x=\dfrac{5±\sqrt{13}}{6} \) 　　　４． \( x=\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

【解答】

４． \( x=\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-5)±\sqrt{(-5)^2-4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{25+12}}{6} \)
　　\( =\dfrac{5±\sqrt{37}}{6} \)

（ウ）関数 \( y=ax^2 \) について，\( x \) の変域が \( -3≦x≦2 \) のとき，\( y \) の変域は \( 0≦y≦6 \) であった。このときの \( a \) の値を求めなさい。

　　　１． \( a=\dfrac{2}{3} \) 　　　　２． \( a=\dfrac{3}{2} \) 　　　　３． \( a=2 \) 　　　　４． \( a=3 \)

【解答】

１． \( a=\dfrac{2}{3} \)

【解説】

\( y=ax^2 \) のグラフにおいて，
\( a>0 \) で，\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) は最大値をとります。

条件より，\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいて，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になっているので，
\( a>0 \) であることがわかります。
また，\( x \) の変域 \( -3≦x≦2 \) において，
\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=-3 \) のときなので，
\( x=-3 \) のときの \( y \) の値が \( 6 \) になります。

\( y=ax^2 \) に \( x=-3，y=6 \) を代入すると，
　 \( 6=a \times (-3)^2 \)
　\( 9a=6 \)
　 \( a=\dfrac{2}{3} \)

（エ）１本 \( 150 \) 円のペンを \( x \) 本と１冊 \( 200 \) 円のノートを \( y \) 冊購入したところ，代金の合計は \( 3000 \) 円以下であった。このときの数量の関係を不等式で表しなさい。

　　　１． \( 150x+200y≧3000 \) 　２． \( 150x+200y>3000 \)
　　　３． \( 150x+200y≦3000 \) 　４． \( 150x+200y<3000 \)

【解答】

３． \( 150x+200y≦3000 \)

【解説】

１本 \( 150 \) 円のペンを \( x \) 本購入するときの代金は \( 150x \) 円
１冊 \( 200 \) 円のノートを \( y \) 冊購入するときの代金は \( 200y \) 円
なので，合計の代金は，\( 150x+200y \) 円
これが \( 3000 \) 円以下だったので，不等式で表すと，\( 150x+200y≦3000 \)

【参考】
ＡはＢ以下である･･･Ａ \( ≦ \) Ｂ
ＡはＢ より小さい ･･･Ａ \( < \) Ｂ

（オ）半径が \( 6 \; cm \) の球の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

　　　１． \( 36\pi{} \; cm^3 \) 　　　２． \( 144\pi{} \; cm^3 \) 　　３． \( 162\pi{} \; cm^3 \) 　　４． \( 288\pi{} \; cm^3 \)

【解答】

４． \( 288\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

球の体積を求める公式より，
　\( \dfrac{4}{3}\pi{} \times 6^3=288\pi{} \; (cm^3) \)

（カ） \( x=143，y= 47 \) のとき，\( x^2-9y^2 \) の値を求めなさい。

　　　１． \( 284 \) 　　　　　２． \( 384 \) 　　　　　３． \( 568 \) 　　　　　４． \( 668 \)

【解答】

３． \( 568 \)

【解説】

与式を因数分解し，\( x=143，y= 47 \) を代入すると，
与式 \( =(x+3y)(x-3y) \)
　　 \( =(143+3 \times 47)(143-3 \times 47) \)
　　 \( =(143+141)(143-141) \)
　　 \( =284 \times 2 \)
　　 \( =568 \)

大問３

（ア）右の図１のように，円 \( O \) の周上に，異なる３点 \( A，B，C \) を \( AB=AC \) となるようにとる。
また，点 \( A \) を含まない \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) 上に２点 \( B，C \) とは異なる点 \( D \) を \( BD>CD \) となるようにとり，線分 \( AD \) と線分 \( BC \) との交点を \( E \) とする。
さらに，\( ∠CAD \) の二等分線と円 \( O \) との交点のうち，点 \( A \) とは異なる点を \( F \) とし，線分 \( AF \) と線分 \( BC \) との交点を \( G \)，線分 \( AF \) と線分 \( CD \) との交点を \( H \) とする。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ）三角形 \( ACG \) と三角形 \( ADH \) が相似であることを次のように証明した。　(a)　，　(b)　に最も適するものを，それぞれ選択肢の１～４の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

［証明］
\( △ACG \) と \( △ADH \) において，
まず，線分 \( AF \) は \( ∠CAD \) の二等分線であるから，
　\( ∠CAF=∠DAF \)
　よって，\( ∠CAG=∠DAH \) ･･･ ①
次に，\( AB=AC \) より，\( △ABC \) は二等辺三角形
であり，その２つの底角は等しいから，
　　(a)　･･･ ➁
また，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) に対する円周角は等しいから，
　\( ∠ABC=∠ADC \) ･･･ ③
②，③より，\( ∠ACB=∠ADC \)
よって， \( ∠ACG=∠ADH \) ･･･ ➃
➀，④より, 　(b)　から，
\( △ACG \) ∽ \( △ADH \)

　(a)　の選択肢
１． \( ∠ABC=∠ACB \)
２． \( ∠ACB =∠ADB \)
３． \( ∠AGB =∠CGF \)
４． \( ∠BAD=∠BCD \)

　(b)　の選択肢
１．１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
２．２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
３．３組の辺の比がすべて等しい
４．２組の角がそれぞれ等しい

【解答・解説】

　(a)　･･･１． \( ∠ABC=∠ACB \)
　(b)　･･･４．２組の角がそれぞれ等しい

（ⅱ）次の　　　の中の「あ」「い」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

線分 \( AC \) の延長と線分 \( DF \) の延長との交点を \( I \) とする。\( ∠AID=73°，∠DHF=61° \) のとき，\( ∠AEB \) の大きさは \( \boxed{ あ \; い } \; ^\circ \) である。

【解答】

\( \boxed{ あ \; い } \; ^\circ=84° \)

【解説】

\( ∠DHF= 61° \) より，
　\( ∠AHD=180°-∠DHF=119° \)
（ⅰ）より，\( △ACG \) ∽ \( △ADH \) なので，
　\( ∠AGC=∠AHD=119° \)
ここから，\( ∠AGE=180°-∠AGC=61° \)
\( ∠AEB \) は \( △AEG \) の外角なので，
\( ∠AEB=x，∠DAH=y \) とすると，
　\( ∠x=∠y+61° \) ･･･ ➀

線分 \( AF \) は \( ∠CAD \) の二等分線なので，
　\( ∠FAI=∠DAH=y \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ CF } \) に対する円周角なので，
　\( ∠FDH=∠FAI=y \)
\( ∠HFI \) は \( △FDH \) の外角なので，
　\( ∠HFI=∠FDH+∠DHF=y+61° \)
\( ∠HFD \) は \( △AFI \) の外角なので，
　\( ∠HFD=∠FAI+∠AID=y+73° \)
３点 \( D，F，I \) は１直線上にあるので，
　　　 \( ∠HFI+∠HFD=180° \)
　\( (y+61°)+(y+73°)=180° \)
　　　　　　　\( 2y+134°=180° \)
　　　　　　　　　　　 \( y=23° \)

よって，\( ∠x=∠y+61°=84° \)

（イ）ある地域における，３つの中学校の１学年の生徒を対象に，家から学校までの通学時間を調べることにした。右の図２は，Ａ中学校に通う生徒 \( 50 \) 人，Ｂ中学校に通う生徒 \( 50 \) 人，Ｃ中学校に通う生徒 \( 60 \) 人の，それぞれの通学時間を調べて中学校ごとにヒストグラムに表したものである。なお，階級はいずれも，\( 5 \) 分以上 \( 10 \) 分未満，\( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満などのように，階級の幅を \( 5 \) 分にとって分けている。
また，調べた通学時間を中学校ごとに箱ひげ図に表したところ，右の図３のようになった。箱ひげ図Ｘ～Ｚは, Ａ中学校，Ｂ中学校，Ｃ中学校のいずれかに対応している。
このとき，次の（ⅰ），（ⅱ）に答えなさい。

（ⅰ）箱ひげ図Ｘ～Ｚと, Ａ中学校，Ｂ中学校，Ｃ中学校の組み合わせとして最も適するものを次の１～６の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１．Ｘ：Ａ中学校　Ｙ：Ｂ中学校　Ｚ：Ｃ中学校
　　　２．Ｘ：Ａ中学校　Ｙ：Ｃ中学校　Ｚ：Ｂ中学校
　　　３．Ｘ：Ｂ中学校　Ｙ：Ａ中学校　Ｚ：Ｃ中学校
　　　４．Ｘ：Ｂ中学校　Ｙ：Ｃ中学校　Ｚ：Ａ中学校
　　　５．Ｘ：Ｃ中学校　Ｙ：Ａ中学校　Ｚ：Ｂ中学校
　　　６．Ｘ：Ｃ中学校　Ｙ：Ｂ中学校　Ｚ：Ａ中学校

【解答】

４．Ｘ：Ｂ中学校　Ｙ：Ｃ中学校　Ｚ：Ａ中学校

【解説】

３つのヒストグラムに各階級の累積度数をかき足すと
右の図のようになります。

Ａ・Ｂ・Ｃ各中学校の中央値と第三四分位数は
【Ａ中学校，Ｂ中学校】
中央値･･･時間の短い方から
　　　　　 \( 25 \) 番目と \( 26 \) 番目の平均値
第三四分位数･･･時間の短い方から \( 38 \) 番目の値
【Ｃ中学校】
中央値･･･時間の短い方から
　　　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の平均値
第三四分位数･･･時間の短い方から
　　　　　　　　 \( 45 \) 番目と \( 46 \) 番目の平均値
になります。

まず，中央値に注目すると，Ａ中学校だけ
\( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級に属しているので，
あてはまる箱ひげ図は「Ｚ」になります。

次に，第三四分位数に注目すると，
Ｂ中学校は \( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級
Ｃ中学校は \( 20 \) 分以上 \( 25 \) 分未満の階級
に属しているので，
あてはまる箱ひげ図は，
Ｂ中学校が「Ｘ」
Ｃ中学校が「Ｙ」
になります。

（ⅱ）調べた通学時間について正しく述べたものを次のⅠ～Ⅳの中からすべて選ぶとき, 最も適するものをあとの１～６の中から１つ選び, その番号を答えなさい。

　　 Ⅰ．３つの中学校のうち，通学時間が \( 30 \) 分以上の生徒の人数は，Ａ中学校が最も多い。
　　 Ⅱ．３つの中学校のうち，通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の生徒の割合は，Ｂ中学校が最も大きい。
　　 Ⅲ．３つの中学校において，通学時間が \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の生徒の割合はすべて等しい。
　　 Ⅳ．３つの中学校において，通学時間の平均値はすべて \( 25 \) 分未満である。

　　　１．Ⅰ 　　　　２． Ⅱ 　　　　３． Ⅲ 　　　　４． Ⅳ
　　　５． Ⅰ, Ⅱ 　６． Ⅲ, Ⅳ

【解答】

６． Ⅲ, Ⅳ

【解説】

Ⅰ．３つの中学校の通学時間が \( 30 \) 分以上の生徒の人数は，
　　　Ａ中学校･･･ \( 7+2+1=10 \)（人）
　　　Ｂ中学校･･･ \( 1+7+4=12 \)（人）
　　　Ｃ中学校･･･ \( 5+1+1=7 \)（人）
　　であり，最も多いのはＢ中学校なので，正しくありません。

Ⅱ．通学時間が \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の生徒の割合というのは，相対度数のことです。
　　３つの中学校の \( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満の階級の相対度数は，
　　　Ａ中学校･･･ \( 5 \div 50=0.10 \)
　　　Ｂ中学校･･･ \( 7 \div 50=0.14 \)
　　　Ｃ中学校･･･ \( 9 \div 60=0.15 \)
　　であり，割合が最も大きいのはＣ中学校なので，正しくありません。

Ⅲ．３つの中学校の \( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満の階級の相対度数は，
　　　Ａ中学校･･･ \( 10 \div 50=0.20 \)
　　　Ｂ中学校･･･ \( 10 \div 50=0.20 \)
　　　Ｃ中学校･･･ \( 12 \div 60=0.20 \)
　　であり，割合はすべて等しいので，正しい。

Ⅳ．ヒストグラムから，通学時間が \( 25 \) 分未満である人数と \( 25 \) 分以上である人数に注目すると，
　　　Ａ中学校･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 32 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 18 \) 人
　　　Ｂ中学校･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 27 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 23 \) 人
　　　Ｃ中学校･･･ \( 25 \) 分未満である人数は \( 46 \) 人，\( 25 \) 分以上である人数は \( 14 \) 人
　　であり，Ａ中学校とＣ中学校は圧倒的に多くなっています。
　　基準とする値より小さい値の人数と大きい値の人数に大きな差があり，
　　はずれ値（極端に大きい値，小さい値）がないとき，平均値は，人数が多い方に寄った値になるので，
　　Ａ中学校とＣ中学校の平均値は \( 25 \) 分未満になると推定できます。

　　ただし，Ｂ中学校の場合は，\( 25 \) 分未満である人数と\( 25 \) 分以上である人数に大きな差がないので，
　　計算して求める必要があります。
　　平均値は，「すべてのデータの合計値 \( \div \) データの総数」で求めることができます。
　　ヒストグラムにおけるすべてのデータの合計値は，各階級の「階級値 \( \times \) 度数」の合計になります。

　　Ｂ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 9+12.5 \times 7+17.5 \times 10+22.5 \times 1+27.5 \times 11+32.5 \times 1+37.5 \times 7+42.5 \times 4}{50}=22.4 \)
　　なので，３つの中学校において，通学時間の平均値はすべて \( 25 \) 分未満になっています。
　　

　　【参考】
　　Ａ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 4+12.5 \times 5+17.5 \times 10+22.5 \times 13+27.5 \times 8+32.5 \times 7+37.5 \times 2+42.5 \times 1}{50}=22.5 \)
　　

　　Ｃ中学校の平均値は，
\( \dfrac{7.5 \times 14+12.5 \times 9+17.5 \times 12+22.5 \times 11+27.5 \times 7+32.5 \times 5+37.5 \times 1+42.5 \times 1}{60}=18.5 \)
　　

（ウ）次の　　　の中の「う」「え」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

右の図４において，三角形 \( ABC \) は \( ∠ACB = 90° \) の直角三角形であり，点 \( D \) は辺 \( AB \) の中点である。
また，２点 \( E，F \) は辺 \( AC \) 上の点で，\( BC=CE \) であり，\( BF//DE \) である。
さらに，点 \( G \) は線分 \( DE \) の中点であり，点 \( H \) は線分 \( BF \) と線分 \( CG \) との交点である。
\( AB=24 \; cm，BC=12 \; cm \) のとき，線分 \( GH \) の長さは \( \boxed{ う } \)\( \; \sqrt{ \boxed{ え } } \; cm \) である。

【解答】

\( \boxed{ う } \)\( \; \sqrt{ \boxed{ え }}=6\sqrt{2} \; cm \)

【解説】

\( ∠ACB = 90°，AB：BC=24：12=2：1 \) より，
\( △ABC \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形で，
補助線 \( CD \) をひくと，
\( △BCD \) は内角が \( 60° \) の二等辺三角形なので，
正三角形になります。

次に，\( △CDE \) に注目すると，
\( CD=CE=12 \; cm \) の二等辺三角形であり，
\( ∠ACB = 90°，∠BCD=60° \) なので，
　\( ∠DCE=∠ACB-∠BCD=30° \)
になっています。

また，点 \( G \) は線分 \( DE \) の中点なので，
線分 \( CG \) は。\( ∠DCE \) の二等分線，
線分 \( DE \) の垂直二等分線になっています。

線分 \( CG \) が \( ∠DCE \) の二等分線になることから，
\( ∠DCG=\dfrac{1}{2}∠DCE=15° \)
になっています。

また，\( BF//DE，CG⊥DE \) より，
\( ∠CFB=90° \) なので，
\( △BCF \) において，
　\( ∠CBF=180°-(90°+60°+15°)=15° \)
であり，\( ∠DBC=60° \) より，
　\( ∠DBF=∠DBC-∠CBF=45° \)
になっています。

点 \( D \) から線分 \( BF \) に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( △DBI \) は直角二等辺三角形になっています。

\( BF//DE，CG⊥DE，DI⊥BF \) より，
\( GH=DI \) なので，
　\( GH=DI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}BD=6\sqrt{2} \; (cm) \)

（エ） \( 4 \; \% \) の食塩水 \( 300 \; g \) が入ったビーカーから，食塩水 \( a \; g \) を取り出した。その後，ビーカーに残っている食塩水に食塩 \( a \; g \) を加えてよくかき混ぜたところ，\( 12 \; \% \) の食塩水になった。
このとき，\( a \) の値として正しいものを次の１～８の中から１つ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( a=18 \) 　　２． \( a=20 \) 　　３． \( a=21 \) 　　４． \( a=24 \)
　　　５． \( a=25 \) 　　６． \( a=28 \) 　　７． \( a=30 \) 　　８． \( a=36 \)

【解答】

５． \( a=25 \)

【解説】

\( 4 \; \% \) の食塩水と\( 12 \; \% \) の食塩水に含まれる食塩の量の関係に注目します。

\( 4 \; \% \) の食塩水 \( 300 \; g \) に含まれる食塩の量は，
　\( 300 \times \dfrac{4}{100}=12 \; (g) \)

取り出した \( 4 \; \% \) の食塩水 \( a \; g \) に含まれる食塩の量は，
　\( a \times \dfrac{4}{100}=\dfrac{4}{100}a \; (g) \)

\( 12 \; \% \) の食塩水も \( 300 \; g \) なので，ここに含まれる食塩の量は，
　\( 300 \times \dfrac{12}{100}=36 \; (g) \)

よって，食塩の量の関係を方程式として解くと，
　\( 12-\dfrac{4}{100}a+a=36 \)
　　　　　　\( \dfrac{96}{100}a=24 \)
　　　　　　　\( 96a=2400 \)
　　　　　　　　 \( a=25 \; (g) \)

大問４

右の図において，直線①は関数 \( y=-x \) のグラフ，直線②は関数 \( y=-3x \) のグラフであり，曲線③は関数 \( y=ax^2 \) のグラフである。
点 \( A \) は直線①と曲線③との交点で，その \( x \) 座標は \( -6 \) である。点 \( B \) は曲線③上の点で，線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行である。点 \( C \) は直線②と線分 \( AB \) との交点である。
また，点 \( D \) は \( x \) 軸上の点で，線分 \( AD \) は \( y \) 軸に平行である。点 \( E \) は線分 \( AD \) 上の点で，\( AE=ED \) である。
さらに，原点を \( O \) とするとき，点 \( F \) は直線②上の点で，\( CO：OF=2：1 \) であり，その \( x \) 座標は正である。
このとき，次の問いに答えなさい。

（ア）曲線③の式 \( y=ax^2 \) の \( a \) の値として正しいものを次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( a=\dfrac{1}{9} \) 　　　　２． \( a=\dfrac{1}{6} \) 　　　　３． \( a=\dfrac{2}{9} \)
　　　４． \( a=\dfrac{1}{3} \) 　　　　５． \( a=\dfrac{4}{9} \) 　　　　６． \( a=\dfrac{2}{3} \)

【解答】

２． \( a=\dfrac{1}{6} \)

【解説】

点 \( A \) は \( y=-x \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -6 \) なので，
\( y \) 座標は \( 6 \) になります。
\( y=ax^2 \) に \( x=-6，y=6 \) を代入すると，
　　\( 6=a \times (-6)^2 \)
　\( 36a=6 \)
　　\( a=\dfrac{1}{6} \)

（イ）直線 \( EF \) の式を \( y=mx+n \) とするときの（ⅰ） \( m \) の値と，（ⅱ） \( n \) の値として正しいものを，それぞれ次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

　（ⅰ） \( m \) の値
　　　１． \( m=-\dfrac{7}{4} \) 　　２． \( m=-\dfrac{12}{7} \) 　　３． \( m=-\dfrac{7}{5} \)
　　　４． \( m=-1 \) 　　　５． \( m=-\dfrac{6}{7} \) 　　６． \( m=-\dfrac{4}{3} \)

　（ⅱ） \( n \) の値
　　　１． \( n=-\dfrac{11}{4} \) 　　２． \( n=-\dfrac{18}{7} \) 　　３． \( n=-\dfrac{15}{7} \)
　　　４． \( n=-2 \) 　　　５． \( n=-\dfrac{13}{7} \) 　　６． \( n=-\dfrac{11}{6} \)

【解答】

（ⅰ）５． \( m=-\dfrac{6}{7} \)
（ⅱ）３． \( n=-\dfrac{15}{7} \)

【解説】

線分 \( AD \) は \( y \) 軸に平行であることから，点 \( A \) と点 \( D \) の \( x \) 座標は等しいので，
点 \( D \) の座標は \( D(-6，0) \) です。

線分 \( AB \) は \( x \) 軸に平行で，点 \( C \) は線分 \( AB \) 上の点であることから，
点 \( A \) と点 \( C \) の \( y \) 座標は等しいので，点 \( C \) の \( y \) 座標は \( 6 \) です。
点 \( C \) は \( y=-3x \) 上の点でもあるので，\( y=-3x \) に \( y=6 \) を代入すると，
　\( 6=-3x \)
　\( x=-2 \)
となり，点 \( C \) の座標は \( C(-2，6) \) です。

線分 \( AB \) と \( y \) 軸の交点を \( H \)，
点 \( F \) から \( y \) 軸に垂線をひき，
交点を \( I \) とすると，
\( △OCH \) ∽ \( △OFI \) であり，
　\( CH：FI=CO：OF=2：1 \)
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( -2 \) なので，
\( CH=2，FI=1 \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標は \( 1 \) になります。

点 \( F \) は \( y=-3x \) 上の点なので，
　\( y=-3 \times 1=-3 \)
であり，点 \( F \) の座標は \( F(1，-3) \) です。

また，点 \( E \) は線分 \( AD \) の中点なので，
点 \( E \) の座標は \( E(-6，3) \) です。

ここから，直線 \( EF \) の傾き \( m \) は，
　\( m=\dfrac{-3-3}{1-(-6)}=-\dfrac{6}{7} \)
\( y=-\dfrac{6}{7}x+n \) に \( x=1，y=-3 \) を代入すると，
　\( -3=-\dfrac{6}{7} \times 1+n \)
　　\( n=-3+\dfrac{6}{7} \)
　　　\( =-\dfrac{15}{7} \)

（ウ）次の　　　の中の「お」「か」「き」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

線分 \( BD \) 上に点 \( G \) を，三角形 \( CEF \) と三角形 \( COG \) の面積の比が \( △CEF：△COG=3：2 \) で，その \( x \) 座標が正となるようにとる。このときの，点 \( G \) の \( x \) 座標は \( \dfrac{\boxed{ \; おか \; } }{\boxed{ \; き \; }} \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; おか \; } }{\boxed{ \; き \; }}=\dfrac{24}{7} \)

【解説】

\( CO：OF=2：1 \) より，\( CF：CO=3：2 \) なので，
\( △CEF：△COG=3：2 \) になるとき，高さは等しくなります。

点 \( E \) を通り，直線➁と平行な直線と
\( x \) 軸の交点を \( E’ \)，
点 \( G \) を通り，直線➁と平行な直線と
\( x \) 軸の交点を \( G’ \) とすると，
等積変形の考え方より，
\( △CEF=△CE’F，△COG=△COG’ \)
になります。

また，\( OE’=OG’ \) となるとき，
\( △CE’F \) と\( △COG’ \) の高さは等しくなります。

直線 \( EE’ \) は \( y=-3x \) と平行なので，
傾きは \( -3 \) であり，\( E(-6，3) \) であることから，
\( E’(-5，0) \) になっています。
このとき，\( OE’=OG’=5 \) なので，
\( G’(5，0) \) になっています。

直線 \( GG’ \) は \( y=-3x \) と平行なので，
この直線の式を \( y=-3x+b \) とすると，
\( G’(5，0) \) を通るので，
　\( 0=-3 \times 5+b \)
　\( b=15 \)
よって，直線 \( GG’ \) の式は \( y=-3x+15 \)

直線 \( BD \) は \( B(6，6)，D(-6，0) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{6-0}{6-(-6)}=\dfrac{1}{2} \)
直線 \( BD \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+c \) とし，
\( x=6，y=6 \) を代入すると，
　\( 6=\dfrac{1}{2} \times 6+c \)
　\( c=3 \)
よって，直線 \( BD \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+3 \)

点 \( G \) は直線 \( GG’ \) と直線 \( BD \) の交点なので，
　\( -3x+15=\dfrac{1}{2}x+3 \)
　\( -6x+30=x+6 \)
　　　　　\( 7x=24 \)
　　　　　 \( x=\dfrac{24}{7} \)

ＯＥ’＝ＯＧ’ となるとき，△ＣＥ'Ｆと△ＣＯＧ'の高さは等しくなる？

点 \( E’，G’ \) から直線➁に垂線をひき，交点を \( P，Q \) とすると，
\( PE’ \) は \( △OPE’ \) の高さ，\( QG’ \) は \( △OQG’ \) の高さになっています。
ここから，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( PE’=QG’ \) になることを確認していきます。

\( △OPE’ \) と \( △OQG’ \) において，
\( PE’//QG’ \) であり，
錯角は等しいので，\( ∠PE’O=∠QG’O \) ･･･ ➀
対頂角は等しいので，\( ∠POE’=∠QOG’ \) ･･･ ➁
仮定より，\( OE’=OG’ \) ･･･ ➂
①②③より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
\( △OPE’ \) と \( △OQG’ \)
対応する辺は等しいので，\( PE’=QG’ \)

よって，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( PE’=QG’ \) である，
つまり，\( OE’=OG’ \) であるとき，\( △CE’F \) と\( △COG’ \) の高さは等しくなります。

大問５

右の図１のように，\( 1，2，3，4，5，6 \) の数が１つずつ書かれた６枚のカードがある。
大，小２つのさいころを同時に1回投げ，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とする。出た目の数によって，次の【操作１】，【操作２】を順に行い，残ったカードについて考える。

【操作１】 \( a \) の約数が書かれたカードをすべて取り除く。
【操作２】 \( b \) が書かれたカードを取り除く。ただし，【操作１】により, \( b \) が書かれたカードをすでに
　　　　　取り除いていた場合は，残っているカードのうち，最も大きい数が書かれたカードを取り除く。

例
大きいさいころの出た目の数が \( 4 \)，小さいさいころの出目の数が \( 2 \) のとき，\( a=4，b=2 \) だから，

【操作１】　図１の \( \fbox{1} \) と \( \fbox{2} \) と \( \fbox{4} \) のカードを取り除くと，図２のようになる。

【操作２】　【操作１】で \( \fbox{2} \) のカードをすでに取り除いているので，図２の，最も大きい数が書かれた \( \fbox{6} \) のカードを取り除くと，図３のようになる。

この結果，残ったカードは \( \fbox{3}，\fbox{5} \) となる。

いま，図１の状態で，大，小２つのさいころを同時に１回投げるとき，次の問いに答えなさい。ただし，大，小２つのさいころはともに，\( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

（ア）次の　　　の中の「く」「け」「こ」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

残ったカードが，\( \fbox{4} \) のカード１枚だけとなる確率は \( \dfrac{\boxed{ \; く \; }}{\boxed{ \; けこ \; }} \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; く \; }}{\boxed{ \; けこ \; }}=\dfrac{5}{36} \)

【解説】

【操作２】では必ず１枚のカードを取り除くことに注目すると，
残ったカードが，\( \fbox{4} \) のカード１枚だけになるためには，
【操作１】が終わった段階で，２枚のカードが残っている必要がある。
つまり，【操作１】では，４枚のカードを取り除く必要があります。

【操作１】で取り除くカードを考えると，
　\( a=1 \) のとき･･･ \( \fbox{1} \)
　\( a=2 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{2} \)
　\( a=3 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{3} \)
　\( a=4 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{4} \)
　\( a=5 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{5} \)
　\( a=6 \) のとき･･･ \( \fbox{1}，\fbox{2}，\fbox{3}，\fbox{6} \)
なので，４枚のカードを取り除くことができるのは \( a=6 \) のときだけです。

また，そのとき残るカードは \( \fbox{4}，\fbox{5} \) なので，
【操作２】では \( \fbox{5} \) のカードを取り除けばいいことになります。
\( \fbox{5} \) のカードを取り除くことになるのは，
\( b=5 \) または，\( b=1，2，3，6 \) のときです。

よって，残ったカードが，\( \fbox{4} \) のカード１枚だけになるのは，
\( (a，b)=(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，5)，(6，6) \) の５通りなので，
その確率は \( \dfrac{5}{36} \)

（イ）次の　　　の中の「さ」「し」「す」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれる確率は \( \dfrac{\boxed{ \; さ \; }}{\boxed{ \; しす \; } } \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; さ \; }}{\boxed{ \; しす \; }}=\dfrac{5}{12} \)

【解説】

残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれない場合を考えると，

場合分け１：【操作１】で \( \fbox{6} \) のカードが取り除かれるとき
　　　　　　\( a=6 \) であれば \( b \) の値は何でもいいので，
　　　　　　　\( (a，b)=(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6) \) の６通り

場合分け２：【操作２】で \( \fbox{6} \) のカードが取り除かれるとき
場合分け２－１：直接 \( \fbox{6} \) のカードを取り除くとき
　　　　　　　　\( a≠6，b=6 \) のときなので，
　　　　　　　　　\( (a，b)=(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6) \) の５通り

場合分け２－２：残っている最も大きい数のカードとして \( \fbox{6} \) のカードを取り除くとき
　　　　　　　　\( a≠6 \) かつ \( b \) の値が \( a \) の約数であるときなので，
　　　　　　　　　\( (a，b)=(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =(4，1)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，5) \) の１０通り

以上より，残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれない場合は \( 6+5+10=21 \) 通りなので，
その確率は \( \dfrac{21}{36} \)
よって，残ったカードに，\( \fbox{6} \) のカードが含まれる確率は
　\( 1-\dfrac{21}{36}=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12} \)

大問６

右の図は，点 \( A \) を頂点とし，\( BC=CD \) の二等辺三角形 \( BCD \) を底面，三角形 \( AEB \)，三角形 \( ABD \)，三角形 \( ADF \) を側面とする三角すいの展開図であり，\( ∠AEB=∠AFD=90° \) である。
また，点 \( G \) は辺 \( AB \) 上の点で，\( AG：GB=1：2 \) であり，点 \( H \) は辺 \( AD \) の中点である。
\( AE=10 \; cm，BC=5 \; cm，BD=6 \; cm \) のとき，この展開図を組み立ててできる三角すいについて，次の問いに答えなさい。

（ア）この三角すいの体積として正しいものを次の１～６の中から１つずつ選び，その番号を答えなさい。

　　　１． \( 30 \; cm^3 \) 　　　２． \( 40 \; cm^3 \)
　　　３． \( 50 \; cm^3 \) 　　　４． \( 100 \; cm^3 \)
　　　５． \( 120 \; cm^3 \) 　　　６． \( 160 \; cm^3 \)

【解答】

２． \( 40 \; cm^3 \)

【解説】

展開図を組み立ててできる立体は右の図のようになります。

\( △BCD \) は二等辺三角形なので，
点 \( C \) から辺 \( BD \) に垂線をひいた交点を \( M \) とすると，
点 \( M \) は辺 \( BD \) の中点であり，\( BM=3 \; cm \) になります。
ここから，\( △BCM \) は３辺の比が \( 3：4：5 \) の直角三角形なので，\( CM=4 \; cm \) になります。

よって，この立体の体積は，
　\( \left( 6 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 10 \times \dfrac{1}{3}=40 \; (cm^3) \)

（イ）次の　　　の中の「せ」「そ」「た」「ち」にあてはまる数字をそれぞれ０～９の中から１つずつ選び，その数字を答えなさい。

３点 \( C，E，F \) が重なった点を \( I \) とする。この三角すいの側面上に，点 \( G \) から辺 \( AI \) と交わるように点 \( H \) まで線を引く。このような線のうち，最も短くなるように引いた線の長さは \( \dfrac{\boxed{ \; せ \; }\sqrt{\boxed{ \; そた \; }}}{\boxed{ \; ち \; }} \; cm \) である。

【解答】

\( \dfrac{\boxed{ \; せ \; }\sqrt{\boxed{ \; そた \; }}}{\boxed{ \; ち \; }}=\dfrac{5\sqrt{29}}{6} \)

【解説】

組み立てた立体を辺 \( AB，AD \) で切断し，
面 \( ABC，ADC \) だけを展開すると右の図のようになります。

点 \( G \) から線分 \( AI \) に垂線をひき，交点を \( P \)，
点 \( H \) から線分 \( AI \) に垂線をひき，交点を \( Q \)
とすると，
\( △AGP \) ∽ \( △ABI \)，\( △AHQ \) ∽ \( △ADI \)
になっています。

\( △AGP \) ∽ \( △ABI \) であることから，\( AG：GB=1：2 \) より，\( AG：AB=1：3 \) なので，

　\( GP：BI=AG：AB \)
　　\( GP：5=1：3 \)
　　　 \( GP=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)

　\( AP：AI=AG：AB \)
　 \( AP：10=1：3 \)
　　　 \( AP=\dfrac{10}{3} \; (cm) \)

\( △AHQ \) ∽ \( △ADI \)であることから，点 \( H \) は辺 \( AD \) の中点なので，
\( AH：AD=1：2 \) であり，

　\( HQ：DI=AH：AD \)
　　\( HQ：5=1：2 \)
　　　 \( HQ=\dfrac{5}{2} \; (cm) \)

　\( AQ：AI=AH：AD \)
　 \( AQ：10=1：2 \)
　　　 \( AQ=5 \; (cm) \)

右の図のように線分 \( GH \) を斜辺とする三角形 \( GHR \) を考えると，
　\( GR=PQ=AQ-AP=5-\dfrac{10}{3}=\dfrac{5}{3} \; (cm) \)
　\( HR=HQ+GP=\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{6} \; (cm) \)
なので，三平方の定理より，
　\( GH^2=GR^2+HR^2 \)
　　　　\( =\left( \dfrac{5}{3} \right)^2+\left( \dfrac{25}{6} \right)^2 \)
　　　　\( =\dfrac{25}{9}+\dfrac{25^2}{36} \)
　　　　\( =\dfrac{25 \times 4}{36}+\dfrac{25^2}{36} \)
　　　　\( =\dfrac{25(4+25)}{36} \)
　 \( GH=\dfrac{5\sqrt{29}}{6} \; (cm) \)

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埼玉県公立高校入試　令和６（2024）年度（学校選択）　解答＆解説

ハラユタカ — Thu, 09 Jan 2025 13:00:51 +0000

大問１

（１） \( (-6xy^3) \div \left( \dfrac{3}{2}x^2y \right) \times (-5x)^2 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -100xy^2 \)

【解説】

\( =\dfrac{(-6xy^3) \times 2 \times (-5x)^2}{3x^2y} \)
\( =-\dfrac{6xy^3 \times 2 \times 25x^2}{3x^2y} \)
\( =-100xy^2 \)

（２） \( x=\sqrt{2}+1，y=\sqrt{2}-1 \) のとき，\( xy-x-y+1 \) の値を求めなさい。

【解答】

\( 2-2\sqrt{2} \)

【解説】

\( xy=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=1 \)
\( x+y=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2} \)
なので，
与式 \( =xy-(x+y)+1 \)
　　 \( =1-2\sqrt{2}+1 \)
　　 \( =2-2\sqrt{2} \)

（３）２次方程式 \( 5(x-1)^2+3(x-1)-1=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{7±\sqrt{29}}{10} \)

【解説】

\( x-1＝A \) とすると，
　\( 5A^2+3A-1=0 \)
　　　　　　　\( A=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 5 \times (-1)}}{2 \times 5} \)
　　　　　　　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{29}}{10} \)
　　　　　\( x-1=\dfrac{-3±\sqrt{29}}{10} \)
　　　　　　　\( x=\dfrac{10-3±\sqrt{29}}{10} \)
　　　　　　　　\( =\dfrac{7±\sqrt{29}}{10} \)

（４）右の表は，あるクラスの生徒 \( 20 \) 人が２学期に借りた本の冊数を，度数分布表に表したものです。この表から読みとることができる内容として正しいものを，次のア～エの中から一つ選び，その記号を書きなさい。

　ア　中央値は \( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級にある。
　イ　\( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級の相対度数は \( 4 \) である。
　ウ　最頻値は \( 8 \) である。
　エ　\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級の累積相対度数は \( 0.85 \) である。

【解答】

エ

【解説】

ア　全部で \( 20 \) 人分のデータを集計しているので，
　　中央値は少ない方から \( 10 \) 番目と \( 11 \) 番目の値の平均値になります。
　　　\( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級の累積度数は \( 2+3+4=9 \) 人
　　　\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級の累積度数は \( 2+3+4+8=17 \) 人
　　なので，\( 10 \) 番目と \( 11 \) 番目の値は，どちらも \( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級に含まれます。
　　よって，中央値は \( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級にあるので，
　　正しくありません。

イ　ある階級の相対度数は，
　　　「その階級の度数」\( \div \) 「すべての階級の度数の合計」
　　で求めることができるので，
　　\( 8 \) 冊以上 \( 12 \) 冊未満の階級の相対度数は \( 4 \div 20=0.20 \) であり，
　　正しくありません。

ウ　最頻値とは，度数が最も多い（大きい）階級の階級値のことです。
　　度数が最も多い（大きい）階級は，\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級なので，
　　最頻値は \( \dfrac{12+16}{2}=14 \) であり，
　　正しくありません。

エ　ある階級の累積相対度数は，
　　　「その階級の累積度数」\( \div \) 「すべての階級の度数の合計」
　　で求めることができます。
　　\( 12 \) 冊以上 \( 16 \) 冊未満の階級の累積度数は \( 2+3+4+8=17 \) 人なので，
　　累積相対度数は \( 17 \div 20=0.85 \) であり，
　　正しい。

（５）下の図のように，直線ℓ上に１辺が \( 8 \; cm \) の正三角形を底辺が \( 4 \; cm \) ずつ重なるようにかいていきます。正三角形を \( x \) 個かいたとき，かげ（　　　）をつけた重なる部分と重ならない部分の面積の比が \( 2：5 \) になりました。このとき，\( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=9 \)

【解説】

重なる部分の三角形は底角２つがそれぞれ
１辺 \( 8 \; cm \) の正三角形と共通な角なので，
１辺 \( 4 \; cm \) の正三角形になっています。
２つの正三角形は相似なので，
右の図のように大きい正三角形を区切ると，
１辺 \( 4 \; cm \) の小さい正三角形だけで表すことができます。

ここから，重なる部分と重ならない部分の面積の比は，
かげをつけた小さい正三角形の個数と白の小さい正三角形の個数の比と等しくなるので，
１辺 \( 8 \; cm \) の正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数を考えていきます。

例として，大きい正三角形が２個のとき，３個のとき，４個のときを実際に書いてみると，
かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数は下の表のようになっています。

かげをつけた正三角形は，
大きい正三角形を１個増やすごとに１個ずつ増えるので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( x-1 \) 個になります。

白の正三角形は，左端の１個と右端の３個は同じで，
大きい正三角形を１個増やすごとに，
真ん中（赤のひし形）の部分の２個ずつが
増えていくので，
大きい正三角形を \( x \) 個かいたときの
かげをつけた正三角形の個数は，
\( 2(x-1)+4=2x+2 \)（個）
になります。

かげをつけた正三角形の個数と白の正三角形の個数の比が \( 2：5 \) になるので，
　\( (x-1)：(2x+2)=2：5 \)
　　　　　 \( 5(x-1)=2(2x+2) \)
　　　　　　 \( 5x-5=4x+4 \)
　　　　　　　　　 \( x=9 \)

（６）右の図のような平行四辺形 \( ABCD \) があり，辺 \( AD，CD \) の中点をそれぞれ \( E，F \) とします。線分 \( AC \) と線分 \( BE \) との交点を \( G \) とするとき，\( △ABG \) の面積は \( △DEF \) の面積の何倍になるか求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{4}{3} \) 倍

【解説】

\( △DEF \) の面積を \( S \) とすると，
\( AE=ED \) より，
\( △ABE \) は，底辺が \( △DEF \) と等しく，
高さが \( △DEF \) の２倍なので，
面積は \( 2S \) と表すことができます。

\( △GAE \) ∽ \( △GCB \) なので，
　\( GE：GB=AE：CB=1：2 \)
\( △ABG \) と \( △ABE \) は高さが共通なので，
\( △ABG：△ABE=GB：BE=2：3 \)
であり，
　\( △ABG=\dfrac{2}{3}△ABE=\dfrac{2}{3} \times 2S=\dfrac{4}{3}S \)

（７）右の図のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフと，傾きが \( \dfrac{1}{2} \) である一次関数のグラフが，２点 \( A，B \) で交わっています。点 \( A \) の \( x \) 座標が \( -2 \)，点 \( B \) の \( x \) 座標が \( 4 \) であるとき，この一次関数の式を求めなさい。

【解答】

\( y=\dfrac{1}{2}x+2 \)

【解説】

点 \( A \) の \( y \) 座標は，
　\( y=a \times (-2)^2=4a \)
点 \( B \) の \( y \) 座標は，
　\( y=a \times 4^2=16a \)
と表すことができます。

直線 \( AB \) の傾きが \( \dfrac{1}{2} \) なので，
　\( \dfrac{16a-4a}{4-(-2)}=\dfrac{1}{2} \)
　　　　　\( 2a=\dfrac{1}{2} \)
　　　　　 \( a=\dfrac{1}{4} \)

このとき，点 \( B \) の \( y \) 座標は，\( y=16a=4 \) であり，
直線 \( AB \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，\( B(4,4) \) を通るので，
　\( 4=\dfrac{1}{2} \times 4+b \)
　\( b=2 \)

よって，求める直線の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+2 \)

（８）右の図のような，\( AB=AC=2 \; cm，∠BAC=90° \) の \( △ABC \) があり，頂点 \( C \) を通り，辺 \( BC \) に垂直な直線ℓをひきます。このとき，\( △ABC \) を，直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

【解答】

\( 4\sqrt{2}\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

辺 \( AB \) を延長したときの直線ℓとの交点を
\( D \) とすると，
\( △BCD \) は，\( BC=CD，∠BCD=90° \) の
直角二等辺三角形であり，
これを直線ℓを軸として１回転させると，
　\( BC=CD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2} \; (cm) \)
より，底面の半径と高さが \( 2\sqrt{2} \; cm \) の円すい
になります。

この円すいの体積は，
　\( \pi{} \times (2\sqrt{2})^2 \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{16\sqrt{2}}{3} \pi{} \; (cm^3) \)

また，\( △ACD \) は，\( AC=AD，∠BCD=90° \) の直角二等辺三角形であり，
これを直線ℓを軸として１回転させると，
　\( AE=CE=DE=\dfrac{AC}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \; (cm) \)
より，底面の半径と高さが \( \sqrt{2} \; cm \) の円すいを
２個くっつけた立体になります。

この立体の体積は，
　\( \pi{} \times (\sqrt{2})^2 \times \sqrt{2} \times \dfrac{1}{3} \times 2=\dfrac{4\sqrt{2}}{3} \pi{} \; (cm^3) \)

よって，求める立体の体積は，
　\( \dfrac{16\sqrt{2}}{3} \pi{}-\dfrac{4\sqrt{2}}{3} \pi{}=4\sqrt{2}\pi{} \; (cm^3) \)

（９）右の図のように，円周の長さを10等分する点 \( A \) ～ \( J \) があります。線分 \( AE \) と線分 \( BH \) との交点を \( K \) とするとき，\( ∠AKH \) の大きさ \( x \) を求めなさい。

【解答】

\( ∠x=108° \)

【解説】

この円の中心を \( O \) とし，補助線 \( AH \) をひくと，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の中心角は，
　中心角 \( ∠AOB=360° \times \dfrac{1}{10}=36° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の３倍の長さなので，
　中心角 \( ∠EOH=36° \times 3=108° \)

\( ∠AHK \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠AHK=\dfrac{1}{2}∠AOB=18° \)
\( ∠KAH \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) に対する円周角なので，
　\( ∠KAH=\dfrac{1}{2}∠EOH=54° \)

\( △AHK \) において，
　\( ∠x=180°－(∠AHK+∠KAH)=108° \)

（１０）次は，先生とＳさん，Ｔさんの会話です。これを読んで，下の問に答えなさい。

先　生「わたしたちの中学校では，校庭にある桜の開花日を生徒会の役員が毎年記録しています。
　　　　次の図は，１９６１年から２０２０年までの記録を，３月１５日を基準日としてその何日後に
　　　　開花したかを，期間 ① から期間 ④ の１５年ごとの期間に分け，箱ひげ図にそれぞれ表した
　　　　ものです。これを見て，気づいたことを話し合ってみましょう。」

Ｓさん「４つの箱ひげ図を見ると，桜の開花日は６０年間でだんだん早くなっているようだね。」

Ｔさん「だけど，期間 ①と期間 ② の箱ひげ図は，最も早い開花日と最も遅い開花日が同じ位置だよ。
　　　　それでも，開花日は早くなっているといえるのかな。」

Ｓさん「期間 ①と期間 ② の箱ひげ図を比べると，
　　　　 \( \boxed{ \phantom{　\\　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \\ \\}} \)
　　　　から，期間 ① より期間 ② の方が，開花日は早くなっているといえると思うよ。」

問　会話中の \( \boxed{ \phantom{　　　 }} \) にあてはまる, 開花日が早くなっていると考えられる理由を，第１四分位数，第３四分位数という二つの語を使って説明しなさい。

【解答】

第１四分位数と第３四分位数の値がどちらも期間 ① より期間 ② の方が小さく，基準日に近い

【解説】

箱の部分には，全体の約 \( 50 \; \% \) の値が含まれているので，
期間 ① では，１５年のうち，７～８年程度は基準日の２２～２６日後に開花していたと判断できます。
期間 ➁ では，１５年のうち，７～８年程度は基準日の１８～２２日後に開花していたと判断できます。

大問２

（１）右の図のように， \( ∠ABC=90° \) となる３点 \( A，B，C \) があります。このとき，線分 \( AC \) が対角線となり，\( AB // PC，AB：PC=2：3 \) であるような台形 \( ABCP \) の頂点 \( P \) をコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。

【解答】

手順１　点 \( C \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BC \) との交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( F \) とします。)
手順３　２点 \( C，F \) を通る直線を描く。
手順４　点 \( C \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描く。
(直線 \( CF \) との交点を \( G \) とします。)
手順５　点 \( G \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描く。
(直線 \( CF \) との交点を \( H \) とします。)
手順６　２点 \( G，H \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( I，J \) とします。)
手順７　２点 \( I，J \) を通る直線を描く。

手順３と手順７の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

\( ∠ABC=90°，AB // PC \) より，
点 \( P \) は，「点 \( C \) を通り，直線 \( BC \) と垂直な直線」上にあることがわかります。

次に，\( AB：PC=2：3 \) である点 \( P \) は，
直線 \( BC \) の上側と下側にとることができますが，
線分 \( AC \) が対角線になるという条件があるので，
直線 \( BC \) の上側に決まります。
（下側の場合，右図のとおり，線分 \( AC \) は対角線になりません）

\( AB：PC=2：3 \) である点 \( P \) は，
点 \( C \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描くことで，
\( AB=CG \) となる線分 \( CG \) を作図できます。
さらに，点 \( G \) を中心に線分 \( AB \) を半径とする円弧を描くことで，
\( AB=GH \) となる線分 \( GH \) を作図できます。
このとき，\( AB：CH=2：4 \) になっているので，
線分 \( GH \) の垂直二等分線を描くことで，
\( AB：PC=2：3 \) である点 \( P \) が作図できます。

（２）右の図のように，直角三角形 \( ABC \) の辺 \( AB \) を１辺とする正方形 \( ADEB \) と，辺 \( AC \) を１辺とする正方形 \( ACFG \) があります。線分 \( GB \) と，辺 \( AC \)，線分 \( CD \) との交点をそれぞれ \( H，I \) とするとき，\( ∠CIH=90° \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ACD \) と \( △AGB \) において，
正方形の辺の長さは等しいので，
　\( AD=AB \) ･･･ ➀
　\( AC=AG \) ･･･ ➁
正方形の内角は \( 90° \) なので，
　\( ∠CAD=90°+∠CAB \) ･･･ ③
　\( ∠GAB=90°+∠CAB \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠CAD=∠GAB \) ･･･ ➄
①②➄より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ACD≡△AGB \) ･･･ ⑥

\( △CIH \) と \( △GAH \) において，
⑥より，合同な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠ACD=∠AGB \) ･･･ ➆
対頂角は等しいので，
　\( ∠CHI=∠GHA \) ･･･ ⑧
➆⑧より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △CIH \) ∽ \( △GAH \)
相似な三角形の対応する角は等しいので，
　\( ∠CIH=∠GAH=90° \)

\( △CIH \) と \( △GAH \)の周辺を拡大

大問３

次は，ある数学の【問題】について，先生とＦさん，Ｇさんが会話している場面です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。

先　生「次の【問題】について，考えてみましょう」

【問題】
右の図のように \( x \) 軸上を点 \( P \) が原点 \( O \) から点 \( A(5，0) \) まで動きます。点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \; (0≦t≦5) \) として，点 \( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線をℓとしたとき，直線ℓと直線 \( y=x \) との交点を \( Q \)，直線ℓと放物線 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) との交点を \( R \) とします。
\( PQ：RQ=4：1 \) になるときの点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

Ｆさん「線分 \( PQ \) と線分 \( RQ \) の長さの比ではなく，線分 \( PQ \) と線分 \( PR \) の長さの比を考えれば
　　　　わかりやすいかな。」

Ｇさん「そうだね。点 \( Q \) と点 \( R \) の \( x \) 座標はそれぞれ \( t \) なので，点 \( Q \) の \( y \) 座標は　ア　，
　　　　点 \( R \) の \( y \) 座標は　イ　になるよ。これで，線分 \( PQ \) の長さと線分 \( PR \) の長さを
　　　　それぞれ \( t \) で表すことができるね。」

Ｆさん「そうすると，\( t=0，3 \) の場合は線分 \( RQ \) の長さが \( 0 \) だから，除いて考える必要があるね。
　　　　 \( 0 　　　　かな。」

Ｇさん「そうだね。でも \( 3」

Ｆさん「なるほど。すると \( 3 　　　　ことができれば，【問題】は解けそうだね。」

先　生「そのとおりです。それでは，【問題】を解いてみましょう。」

（１）　ア　，　イ　にあてはまる式を，\( t \) を使って表しなさい。

【解答】

　ア　･･･ \( t \)
　イ　･･･ \( \dfrac{1}{3}t^2 \)

（２）下線部の理由を，点 \( Q \) と点 \( R \) の \( y \) 座標にふれながら説明しなさい。

【解答】

\( 3

【解説】

点 \( R \) の \( y \) 座標は，点 \( Q \) の \( y \) 座標より大きいので，
線分 \( PQ \) より線分 \( PR \) の長さの方が長くなります。
つまり，\( PQ：RQ=4：1 \) になるとき，\( PQ：PR=4：5 \) になります。

（３） \( PQ：RQ=4：1 \) になるときの点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{9}{4}，\dfrac{15}{4} \)

【解説】

\( 0 　\( PQ：PR=4：3 \)
　　\( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：3 \)
　　　　 \( 3t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 9t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-9t=0 \)
　\( t(4t-9)=0 \)
　　　　　\( t=\dfrac{9}{4} \) ( \( t>0 \) より)

\( 3 　 \( PQ：PR=4：5 \)
　　 \( t：\dfrac{1}{3}t^2=4：5 \)
　　　　　\( 5t=\dfrac{4}{3}t^2 \)
　　　　 \( 15t=4t^2 \)
　 \( 4t^2-15t=0 \)
　\( t(4t-15)=0 \)
　　　　　 \( t=\dfrac{15}{4} \) ( \( 3

大問４

右の図のように，正方形 \( ABCD \) の頂点 \( A \) に点 \( P \) があります。硬貨を投げ，次の【ルール】に従って，点 \( P \) を，反時計回りに正方形 \( ABCD \) の頂点上を動かす操作を行うとき，あとの各問に答えなさい。
ただし，硬貨の表と裏の出かたは,同様に確からしいものとします。

【ルール】
［１］　１枚の硬貨を投げ，表が出たら頂点２つ分，裏が出たら
　　　　頂点１つ分，点 \( P \) は進んで止まる。
［２］　［１］をくり返し，点 \( P \) が再び頂点 \( A \) に止まった
　　　　とき，操作は終了する。

（１）硬貨を２回投げたときに，操作が終了する確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{1}{4} \)

【解説】

硬貨の表と裏の組み合わせとその行先を樹形図に書き出すと，
硬貨を２回投げたときに，
頂点 \( A \) に止まる組み合わせは \( 1 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 4 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{1}{4} \)

（２）次の１，２に答えなさい。

１　点 \( P \) が正方形 \( ABCD \) をちょうど１周したところで，操作が終了する場合の数は何通りあるか求めなさい。

【解答】

\( 5 \) 通り

【解説】

硬貨の表と裏の出かたの組み合わせとその行先を樹形図に書き出すと下の図のようになります。

２　点 \( P \) が正方形 \( ABCD \) をちょうど２周したところで，操作が終了する場合の数は何通りあるか求めなさい。

【解答】

\( 9 \) 通り

【解説】

硬貨の表と裏の出かたの組み合わせとその行先を樹形図に書き出すと下の図のようになります。

大問５

図１のような，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正方形を底面とし，高さが \( 12 \; cm \) の透明でふたのない直方体の容器 \( ABCD-EFGH \) を水で満たし，水平な床の上に置きました。このとき，次の各問に答えなさい。
ただし，容器の厚さは考えないものとします。

（１）辺 \( FG \) を床につけたまま，図２のように，線分 \( AF \) が床と垂直になるように容器を傾けて，水をこぼしました。
このとき，容器に残っている水の体積を求めなさい。

【解答】

\( 378 \; cm^3 \)

【解説】

\( ∠AEF=∠BIA=90°，∠AFE=∠BAI \)
より，\( △AEF \) ∽ \( △BIA \) になっています。

\( △AEF \) において，三平方の定理より，
　\( AF^2=12^2+6^2=180 \)
　 \( AF=6\sqrt{5} \; (cm) \)
なので，
　\( EF：IA=AF：BA \)
　　\( 6：IA=6\sqrt{5}：6 \)
　 \( 6\sqrt{5}IA=36 \)
　　　 \( IA=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \; (cm) \)

\( ∠BAJ=∠AEF=90°，∠ABJ=∠EAF \)
より，\( △BAJ \) ∽ \( △AEF \)
なので，
　 \( BJ：AF=BA：AE \)
　\( BJ：6\sqrt{5}=6：12 \)
　　　\( 12BJ=36\sqrt{5} \)
　　　　\( BJ=3\sqrt{5} \; (cm) \)

容器 \( ABCD－EFGH \) の容積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=6 \times 6 \times 12=432 \; (cm^3) \)

三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積は，
　\( V_2=\left( 3\sqrt{5} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6=54 \; (cm^3) \)

よって，容器に残っている水の体積は，
　\( V_1-V_2=432-54=378 \; (cm^3) \)

（２）辺 \( FG \) を床につけたまま，図３のように，線分 \( AF \) が床と \( 45° \) になるように容器をさらに傾けて，水をこぼしました。点 \( A \) から床に垂線をひき，床との交点を \( P \)，水面と線分 \( AP \) との交点を \( Q \) とするとき，床から水面までの高さ \( PQ \) を求めなさい。

【解答】

\( PQ=\dfrac{6\sqrt{10}}{5} \; cm \)

【解説】

\( ∠APF=90°，∠AFP=45° \) より，\( △AFP \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AP=\dfrac{1}{\sqrt{2}}AF=3\sqrt{10} \; (cm) \)

\( F \) から水面に垂線をひき，交点を \( R \) とすると，
\( ∠BRF=∠AQB=90°，∠FBR=∠BAQ \)
より，
\( △BFR \) ∽ \( △ABQ \) になっています。

\( PQ=x \; cm \) とすると，\( FR=x \; cm \) なので，
　\( FR：BQ=BF：AB \)
　　\( x：BQ=12：6 \)
　　　 \( BQ=\dfrac{x}{2} \; (cm) \)

\( △ABQ \) において，三平方の定理より，
　　　\( \left( \dfrac{x}{2} \right)^2+(3\sqrt{10}-x)^2=6^2 \)
　\( \dfrac{x^2}{4}+(x^2-6\sqrt{10}x+90)=36 \)
　　　　\( \dfrac{5}{4}x^2-6\sqrt{10}x+54=0 \)
　　　\( 5x^2-24\sqrt{10}x+216=0 \)
　\( x=\dfrac{-(-24\sqrt{10})±\sqrt{(-24\sqrt{10})^2-4 \times 5 \times 216}}{2 \times 5} \)
　\( =\dfrac{24\sqrt{10}±\sqrt{1440}}{10} \)
　\( =\dfrac{12\sqrt{10}±6\sqrt{10}}{5} \)
　\( =\dfrac{6\sqrt{10}}{5} \; (cm) \) (\( 0

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埼玉県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Wed, 08 Jan 2025 13:00:28 +0000

大問１

（１） \( 5x-3x \) を計算しなさい。

【解答】

\( 2x \)

（２） \( 2 \times (-4)-1 \) を計算しなさい。

【解答】

\( -9 \)

【解説】

\( =-8-1 \)
\( =-9 \)

（３） \( 6x^2y \times 12y \div 4x \) を計算しなさい。

【解答】

\( 18xy^2 \)

【解説】

\( =\dfrac{6x^2y \times 12y}{4x} \)
\( =18xy^2 \)

（４）方程式 \( 5x-7=6x-3 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=-4 \)

【解説】

\( -x=4 \)
　\( x=-4 \)

（５） \( \sqrt{12}+\sqrt{3} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 3\sqrt{3} \)

【解説】

\( =2\sqrt{3}+\sqrt{3} \)
\( =3\sqrt{3} \)

（６） \( x^2-x-72 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x+8)(x-9) \)

（７）連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
6x-y=10 \\
4x+3y=-8 \\
\end{array} \right. \) を解きなさい。

【解答】

\( x=1，y=-4 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
6x-y=10 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
4x+3y=-8 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 3+ \) ➁
　\( 22x=22 \)
　　\( x=1 \)
①に代入
　\( 6 \times 1-y=10 \)
　　　　 \( -y=4 \)
　　　　　 \( y=-4 \)

（８）２次方程式 \( 2x^2+7x+1=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{-7±\sqrt{41}}{4} \)

【解説】

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-7±\sqrt{7^2-4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{-7±\sqrt{41}}{4} \)

（９） \( y \) が \( x \) の一次関数で，そのグラフの傾きが \( 2 \) で，点 \( (-3，-2) \) を通るとき，この一次関数の式を求めなさい。

【解答】

\( y=2x+4 \)

【解説】

一次関数の式は \( y=ax+b \) の形で表すことができます。
傾きが \( 2 \) なので，\( y=2x+b \) とし，\( x=-3，y=-2 \) を代入すると，
　\( -2=2 \times (-3)+b \)
　\( -2=-6+b \)
　　\( b=4 \)

よって，求める式は，\( y=2x+4 \)

（１０）右の図のように，円周の長さを１０等分する点 \( A \) ～ \( J \) があります。\( △AEH \) と \( △BEH \) をつくり，辺 \( AE \) と辺 \( BH \) との交点を \( K \) とするとき，\( ∠AKH \) の大きさ \( x \) を求めなさい。

【解答】

\( 108° \)

【解説】

中心角の大きさは弧の長さに比例します。
この円の中心を \( O \) とすると，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) は，円周を１０等分した１つなので，
　中心角 \( ∠AOB=360° \times \dfrac{1}{10}=36° \)
\( \stackrel{\huge\frown}{ EH } \) は，\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) の３倍の長さなので，
　中心角 \( ∠EOH=36° \times 3=108° \)

\( △AHK \) において，
　\( ∠x=180°－(∠AHK+∠KAH)=108° \)

（１１）右の図のような平行四辺形 \( ABCD \) があり，辺 \( AD，CD \) の中点をそれぞれ \( E，F \) とします。このとき，\( △EBF \) の面積は \( △DEF \) の面積の何倍になるか求めなさい。

【解答】

\( 3 \) 倍

【解説】

平行四辺形を対角線で分けてできた三角形の面積は平行四辺形の面積の半分になります。

辺 \( BC，AB \) の中点を \( G，H \)，
線分 \( EG \) と線分 \( FH \) の交点を \( I \) とし，
平行四辺形 \( ABCD \) の面積を \( S \) とすると，
　\( △DEF=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( EIFD \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{4}S=\dfrac{1}{8}S \)

ここから，\( △DEF \) の面積を【１】とするとき，
平行四辺形 \( ABCD \) の面積は【８】 \( (S=8) \) になります。

　\( △ABE=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( ABGE \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{4}S \)

　\( △BCF=\dfrac{1}{2} \) 平行四辺形 \( HBCF \)
　　　　　\( =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}S=\dfrac{1}{4}S \)

なので，\( S=8 \) のとき，\( △ABE，△BCF \) の面積は【２】になります。

以上より，
　\( △EBF= \) 平行四辺形 \( ABCD-(△DEF+△ABE+△BCF) \)
　　　　　\( = \)【８】\( -( \)【１】\( + \)【２】\( + \)【２】\( ) \)
　　　　　\( = \)【３】

よって，\( △EBF \) の面積は \( △DEF \) の面積の３倍になります。

（１２）右の表は，あるクラスの生徒 \( 20 \) 人が２学期に借りた本の冊数を，度数分布表に表したものです。この表から読みとることができる内容として正しいものを，次のア～エの中から一つ選び，その記号を書きなさい。

【解答】

エ

【解説】

（１３） \( 1 \) から \( 6 \) までの目が出る大小２つのさいころを１回投げて，大きいさいころの出た目の数を \( x \)，小さいさいころの出た目の数を \( y \) とします。このとき， \( 10x+y \) が７の倍数になる確率を求めなさい。
ただし，大小２つのさいころは，どの目が出ることも同様に確からしいものとします。

【解答】

\( \dfrac{1}{6} \)

【解説】

大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の
組み合わせとそれぞれの組み合わせにおける
\( 10x+y \) の値を表にして書き出し，
７の倍数になるところに ○ をつけてみます。

７の倍数になる組み合わせは \( 6 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通り
なので，求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

（１４）右の図のような， \( AB=6 \; cm \)，\( BC=4 \; cm \) の長方形 \( ABCD \) と直線ℓがあり，辺 \( DC \) と直線ℓの距離は \( 2 \; cm \) です。このとき，長方形 \( ABCD \) を，直線ℓを軸として１回転させてできる立体の体積を求めなさい。

【解答】

\( 192\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

長方形 \( ABCD \) を，１回転させてできる立体は，
右の図のようなドーナツ（バウムクーヘン）型で，
底面の半径が \( 6 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) の円柱から
底面の半径が \( 2 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) の円柱を
取り除いたものになっています。

大きい方の円柱の体積を \( V_1 \)，
小さい方の円柱の体積を \( V_2 \) とすると，
　\( V_1=\pi{} \times 6^2 \times 6=216\pi{} \; (cm^3) \)
　\( V_2=\pi{} \times 2^2 \times 6=24\pi{} \; (cm^3) \)
なので，求める立体の体積は，
　\( V_1-V_2=216\pi{}-24 \pi{}=192\pi{} \; (cm^3) \)

（１５）下の図のように，直線ℓ上に１辺が \( 8 \; cm \) の正三角形を底辺が \( 4 \; cm \) ずつ重なるようにかいていきます。正三角形を \( x \) 個かいたとき，かげ（　　　）をつけた重なる部分と重ならない部分の面積の比が \( 2：5 \) になりました。このとき，\( x \) の値を求めなさい。

【解答】

\( x=9 \)

【解説】

（１６）次は，先生とＳさん，Ｔさんの会話です。これを読んで，下の問に答えなさい。

Ｓさん「４つの箱ひげ図を見ると，桜の開花日は６０年間でだんだん早くなっているようだね。」

【解答】

第１四分位数と第３四分位数の値がどちらも期間 ① より期間 ② の方が小さく，基準日に近い

【解説】

大問２

（１）右の図のように，\( ∠ABC=90° \) となる３点 \( A，B，C \) があります。このとき，線分 \( AC \) が対角線となり，\( AB // PC，AB：PC=2：1 \) であるような台形 \( ABCP \) の頂点 \( P \) をコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。

【解答】

手順１　２点 \( A，B \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を通る直線を描く。
手順３　点 \( C \) を中心に円弧を描く。
(直線 \( BC \) との交点を \( F，G \) とします。)
手順４　２点 \( F，G \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( H \) とします。)
手順５　２点 \( C，H \) を通る直線を描く。

手順２と手順５の直線の交点が求める点 \( P \) になります。

【解説】

\( ∠ABC=90°，AB // PC \) より，
点 \( P \) は，「点 \( C \) を通り，直線 \( BC \) と垂直な直線」上にあることがわかります。

次に，\( AB：PC=2：1 \) である点 \( P \) は，
直線 \( BC \) の上側と下側にとることができますが，
線分 \( AC \) が対角線になるという条件があるので，
直線 \( BC \) の上側に決まります。
（下側の場合，右図のとおり，線分 \( AC \) は対角線になりません）

さらに，点 \( P \) から，線分 \( AB \) に垂線をひき，
交点を \( Q \) とすると，
四角形 \( QBCP \) は長方形になるので，\( BQ=PC \) であり，
\( AB：PC=2：1 \)より，点 \( Q \) は，線分 \( AB \) の中点になります。
よって，線分 \( AB \) の垂線 \( PQ \) は，\( AB \) の中点を通っているので，「線分 \( AB \) の垂直二等分線」になっています。

以上より，点 \( P \) は，
「点 \( C \) を通り，直線 \( BC \) と垂直な直線」と「線分 \( AB \) の垂直二等分線」の交点になります。

（２）右の図のように，直角三角形 \( ABC \) の辺 \( AB \) を１辺とする正方形 \( ADEB \) と，辺 \( AC \) を１辺とする正方形 \( ACFG \) があります。
このとき，\( △ACD≡△AGB \) であることを証明しなさい。

【解答】

大問３

次は，ある数学の【問題】について，先生とＦさん，Ｇさんが会話している場面です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。

先　生「次の【問題】について，考えてみましょう」

Ｆさん「線分 \( PQ \) と線分 \( RQ \) の長さの比ではなく，線分 \( PQ \) と線分 \( PR \) の長さの比を考えれば
　　　　わかりやすいかな。」

Ｆさん「そうすると，\( t=0，3 \) の場合は線分 \( RQ \) の長さが \( 0 \) だから，除いて考える必要があるね。
　　　　 \( 0 　　　　かな。」

Ｇさん「そうだね。でも \( 3」

Ｆさん「なるほど。すると \( 3 　　　　ことができれば，【問題】は解けそうだね。」

先　生「そのとおりです。それでは，【問題】を解いてみましょう。」

（１）　ア　，　イ　にあてはまる式を，\( t \) を使って表しなさい。

【解答】

　ア　･･･ \( t \)
　イ　･･･ \( \dfrac{1}{3}t^2 \)

（２）下線部の理由を，点 \( Q \) と点 \( R \) の \( y \) 座標にふれながら説明しなさい。

【解答】

\( 3

【解説】

（３） \( PQ：RQ=4：1 \) になるときの点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{9}{4}，\dfrac{15}{4} \)

【解説】

大問４

図１のような，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正方形を底面とし，高さが \( 12 \; cm \) の透明でふたのない直方体の容器 \( ABCD－EFGH \) を水で満たし，水平な床の上に置きました。
辺 \( FG \) を床につけたまま，図２のように，線分 \( AF \) が床と垂直になるように容器を傾けて，水をこぼしました。水面と線分 \( AF \) との交点を \( I \) とするとき，次の各問に答えなさい。
ただし，容器の厚さは考えないものとします。

（１）容器に残っている水の体積を求めなさい。

【解答】

\( 378 \; cm^3 \)

【解説】

図２で水面を表す線分と \( AE，DH \) との交点を
\( J，K \) とすると，
こぼした水の体積は，三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積と等しくなります。

つまり，容器 \( ABCD－EFGH- \) の容積から
三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積をひくことで，
容器に残っている水の体積を求められます。

\( ∠AEF=∠BIA=90°，∠AFE=∠BAI \)
より，\( △AEF \) ∽ \( △BIA \) になっています。

容器 \( ABCD－EFGH \) の容積 \( V_1 \) は，
　\( V_1=6 \times 6 \times 12=432 \; (cm^3) \)

三角柱 \( ABJ－DCK \) の体積は，
　\( V_2=\left( 3\sqrt{5} \times \dfrac{6}{\sqrt{5}} \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6=54 \; (cm^3) \)

よって，容器に残っている水の体積は，
　\( V_1-V_2=432-54=378 \; (cm^3) \)

（２）床から水面までの高さ \( FI \) を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{24\sqrt{5}}{5} \; cm \)

【解説】

\( FI=AF-AI \)
　 \( =6\sqrt{5}-\dfrac{6}{\sqrt{5}} \)
　 \( =6\sqrt{5}-\dfrac{6\sqrt{5}}{5} \)
　 \( =\dfrac{24\sqrt{5}}{5} \; (cm) \)

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千葉県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Tue, 31 Dec 2024 13:00:00 +0000

大問１

（１）次の１～３の計算をしなさい。

１　\( -4+12 \div 2 \)

【解答】

\( 2 \)

【解説】

\( =-4+6 \)
\( =2 \)

２　\( a^2b \div 3ab \times (-9a) \)

【解答】

\( -3a^2 \)

【解説】

\( =-\dfrac{a^2b \times 9a}{3ab} \)
\( =-3a^2 \)

３　\( (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-2\sqrt{3}) \)

【解答】

\( 1-\sqrt{21} \)

【解説】

\( =\sqrt{7}^2+\sqrt{7} \times \sqrt{3}+\sqrt{7} \times (-2\sqrt{3})+\sqrt{3} \times (-2\sqrt{3}) \)
\( =7+\sqrt{21}-2\sqrt{21}-6 \)
\( =1-\sqrt{21} \)

（２）ある数 \( x \) を２乗した数と，\( x \) を２倍した数との和は \( 5 \) である。
このとき，次の１，２の問いに答えなさい。

１　\( x \) についての方程式として最も適当なものを，次のア～エのうちから１つ選び，符号で答えなさい。

　　ア　\( x^2+2x+5=0 \)
　　イ　\( x^2-2x+5=0 \)
　　ウ　\( x^2+2x-5=0 \)
　　エ　\( x^2-2x-5=0 \)

【解答】

ウ　\( x^2+2x-5=0 \)

【解説】

ある数 \( x \) を２乗した数は，\( x^2 \)，\( x \) を２倍した数は，\( 2x \)
と表すことができ，その和が \( 5 \) なので，
　　　\( x^2+2x=5 \)
　\( x^2+2x-5=0 \)

２　次の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

ある数 \( x \) は　　　である。

【解答】

\( -1±\sqrt{6} \)

【解説】

\( x^2+2x-5=0 \) を解くと，解の公式より，
　\( x^2+2x-5=0 \)
　 \( x=\dfrac{-2±\sqrt{2^2-4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \)
　 \( =\dfrac{-2±2\sqrt{6}}{2} \)
　 \( =-1±\sqrt{6} \)

（３）次の１，２の問いに答えなさい。

１　次のア～エのうち，標本調査を行うことが最も適しているものを１つ選び，符号で答えなさい。

　　ア　国勢調査
　　イ　川の水質検査
　　ウ　学校で行う生徒の歯科検診
　　エ　Ａ中学校３年生の進路希望調査

【解答】

イ　川の水質検査

【解説】

標本調査は，全数調査を行うには時間や費用がかかりすぎるものに対して
対象の一部を標本として取り出して調査を行うものです。

ア　･･･国勢調査は，国内に住むすべての人や世帯の構成や生活状況を調査するものです。
　　　　正確さが重視されるので，時間や費用がかかりますが，全数調査する必要があります。

イ　･･･川の水すべてを集めて水質検査をすることは不可能なので，一部を取り出して検査しています。

ウ　･･･虫歯の有無は生徒全員が調べるべきものなので，歯科検診は全員が受ける必要があります。

エ　･･･進路希望調査は生徒の将来を左右するので，全数調査する必要があります。

２　次の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

袋の中に，同じ大きさの白い卓球の球だけがたくさん入っている。この白い球の個数を推定するために，色だけが違うオレンジ色の球 \( 30 \) 個をその袋に入れてよくかき混ぜ，そこから無作為に \( 10 \) 個の球を抽出したところ，オレンジ色の球が \( 3 \) 個含まれていた。
はじめに袋の中に入っていた白い球は，およそ　　　個と推定できる。

【解答】

\( 70 \)

【解説】

標本調査では，
母集団に含まれる調査対象の割合と標本に含まれる調査対象の割合は等しい
と考えられます。

袋の中の白い球の個数を \( x \) 個とすると，オレンジ色の球 \( 30 \) 個を追加したとき，
袋の中の球の総数は \( x+30 \) 個，オレンジ色の球は \( 30 \) 個，
抽出した（取り出した）球の総数は \( 10 \) 個，オレンジ色の球は \( 3 \) 個
なので，
　\( x+30：30=10：3 \)
　 \( 3(x+30)=300 \)
　　　\( x+30=100 \)
　　　　　 \( x=70 \)（個）

（４）次の１，２の問いに答えなさい。

１　立方体の展開図として正しくないものを，次のア～エのうちから１つ選び，符号で答えなさい。

【解答】

エ

【解説】

エの展開図は赤の面が重なるので
立方体になりません。

２　次の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

右の図のように，１辺が \( 3 \; cm \) の立方体がある。この立方体の表面に，頂点 \( A \) から頂点 \( H \) まで，辺 \( BF \) と辺 \( CG \) を通るようにひもをかける。ひもの長さが最も短くなるときのひもの長さは　　　 \( cm \) である。

【解答】

\( 3\sqrt{10} \)

【解説】

図の立方体で側面にあたる面 \( AEFB，BFGC，DHGC，DHEA \) を辺 \( AE \) で切って展開すると，
ひもの長さが最も短くなるとき，展開図上で下の図のように２点 \( AH \) を直線で結んだ状態になります。
\( △AEH \) において，三平方の定理より，
　\( AH^2=AE^2+EH^2=90 \)
　 \( AH=3\sqrt{10} \; (cm) \)

（５）大小２つのさいころを同時に投げ，大きいさいころの出た目の数を \( a \)，小さいさいころの出た目の数を \( b \) とし，\( (a，b) \) を座標とする点 \( P \) をとる。
例えば，右の図の点 \( P \) は，大きいさいころの出た目の数が \( 3 \)，小さいさいころの出た目の数が \( 4 \) のときの座標 \( (3，4) \) を表したものである。
このとき，次の１，２の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。
ただし，原点 \( O \) から点 \( (1，0) \) までの距離及び原点 \( O \) から点 \( (0，1) \) までの距離をそれぞれ \( 1 \; cm \) とする。
また，さいころを投げるとき， \( 1 \) から \( 6 \) までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

１　点 \( P \) が直線 \( y=x \) 上の点となる確率は　　　である。

【解答】

\( \dfrac{1}{6} \)

【解説】

点 \( P \) が直線 \( y=x \) 上の点となるのは，
\( x \) 座標と \( y \) 座標の値が等しいときなので，
　\( (a，b)=(1，1)，(2，2)，(3，3)， \)
　　　　　 \( (4，4)，(5，5)，(6，6) \)
の \( 6 \) 通りです。

また，
大きいさいころの出た目の数は \( 1～6 \) の \( 6 \) 通り，
小さいさいころの出た目の数も \( 1～6 \) の \( 6 \) 通り，
なので，
すべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通り

よって，求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

２　線分 \( OP \) の長さが \( 4 \; cm \) 以下となる確率は　　　である。

【解答】

\( \dfrac{2}{9} \)

【解説】

線分 \( OP \) の長さが \( 4 \; cm \) となるのは，
点 \( P \) が原点 \( O \) を中心とし，半径 \( 4 \; cm \) の円周上にあるときなので，
線分 \( OP \) の長さが \( 4 \; cm \) 以下となるのは，
点 \( P \) がこの円の円周上または内部にあるときです。

この円は \( 1 \( x \) 座標と \( y \) 座標の値が
ともに自然数になる点を通らないので，
あてはまる組み合わせは円周上にはありません。

点 \( P \) がこの円の内部にあるのは，
　\( (a，b)=(1，1)，(1，2)，(1，3)， \)
　　　　　 \( (2，1)，(2，2)，(2，3)， \)
　　　　　 \( (3，1)，(3，2) \)
の \( 8 \) 通りです。

すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)

（６）右の図のように，４点 \( A，B，C，D \) が円 \( O \) の円周上にあり，弦 \( BA \) を延長した直線と弦 \( CD \) を延長した直線の交点を \( E \)，線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を \( F \) とする。
\( ∠BEC =38°，∠BDC=63° \) であるとき，次の１，２の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

１　\( x \) で示した \( ∠BAC \) の大きさは　　　度である。

【解答】

\( 63 \)

【解説】

\( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) に対する円周角なので，
　\( ∠BAC=∠BDC=63° \)

２　\( y \) で示した \( ∠BFC \) の大きさは　　　度である。

【解答】

\( 88 \)

【解説】

（１）より，\( ∠BAC=∠BDC=63° \) で，
\( ∠BAC \) は \( △ACE \) の外角なので，
　\( ∠DCF=∠BAC-∠CEA=25° \)
\( ∠BFC \) は \( △DCF \) の外角なので，
　\( ∠BFC=∠BDC+∠DCF=88° \)

（７）右の図は，ある円錐の展開図の一部（側面の部分）であり，中心角が \( 90° \) のおうぎ形である。
この円錐の展開図の底面の部分である円が点 \( A \) を通るとき，次の１，２の問いに答えなさい。

１　次の　　　にあてはまるものを答えなさい。

側面の部分であるおうぎ形の半径は，底面の部分である円の半径の
　　　倍である。

【解答】

\( 4 \)

【解説】

円すいの展開図において，
側面のおうぎ形の弧の長さと底面の円周の長さは
等しくなります。

おうぎ形の半径を \( r_1 \)，底面の円の半径を \( r_2 \)，
おうぎ形の弧の長さ（底面の円の円周の長さ）をℓとすると，
おうぎ形の弧の長さは，ℓ \( =2\pi{} \times r_1 \times \dfrac{90°}{360°} \)
底面の円周の長さは，ℓ \( =2\pi{} \times r_2 \)
と表せるので，
　\( 2\pi{} \times r_1 \times \dfrac{90°}{360°}=2\pi{} \times r_2 \)
　　　　　\( \dfrac{1}{4}r_1=r_2 \)
　　　　　　\( r_1=4r_2 \)

２　底面の部分である円の中心 \( O \) を作図によって求めなさい。また，中心 \( O \) の位置を示す文字 \( O \) も書きなさい。
ただし，三角定規の角を利用して直線をひくことはしないものとし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】

側面の側面のおうぎ形の中心にあたる点を \( O’ \) とします。

手順１　２点 \( O’，A \) を通る直線を描く。
手順２　２点 \( O’，A \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( B，C \) とします。)
手順３　２点 \( B，C \) を通る直線を描く。
(直線 \( O’A \) との交点を \( D \) とします。)
手順４　２点 \( A，D \) を中心に円弧を描く。
(交点を \( E，F \) とします。)
手順５　２点 \( E，F \) を通る直線を描く。
(直線 \( O’A \) との交点を \( G \) とします。)
手順６　点 \( A \) を中心に線分 \( GA \) を半径とする円弧を描く。

手順６の円弧と直線 \( O’A \) との交点が
求める点 \( O \) になります。

【解答】

円すいの展開図において，側面のおうぎ形と底面の円は接点のみで接するので，
底面の部分である円が点 \( A \) を通ることから，点 \( A \) は側面のおうぎ形と底面の円の接点になります。

また，２つの円が接するとき，２つの円の中心を結んだ線分は必ず接点を通るので，
求める点 \( O \) は，直線 \( O’A \) 上の点になります。

さらに，（１）より，\( O’A=4OA \) なので，
線分 \( O’A \) の垂直二等分線 \( m \) を描くことで，
\( DA=2OA \) となる点 \( D \) を作図できます。
（点 \( D \) は直線 \( m \) と直線 \( O’A \) の交点）

次に，線分 \( DA \) の垂直二等分線 \( n \) を描くことで，
\( GA=OA \) となる点 \( G \) を作図できます。
（点 \( G \) は直線 \( n \) と直線 \( O’A \) の交点）

最後に，点 \( A \) を中心に線分 \( GA \) を半径とする
円弧を描くと，直線 \( O’A \) との交点が求める点 \( O \)
になります。

２つの円が接するとき，２つの円の中心を結んだ線分は必ず接点を通る？

２つの円の中心を \( O，O’ \)，接点を \( P \) とすると，
円 \( O \) と円 \( O’ \) が接しているとき，
点 \( P \) を通る２つの円の接線 \( ℓ \) は共通になります。

接線 \( ℓ \) 上に点 \( Q \) をとると，
円と接線は接点において垂直に交わるので，
　\( ∠OPQ=∠O’PQ=90° \)
であり，
　\( ∠OPO’=∠OPQ+∠O’PQ=180° \)
なので，
３点 \( O，O’，P \) は一直線上の点です。

よって，２つの円が接するとき，２つの円の中心を結んだ線分は必ず接点を通るといえます。

大問２

右の図のように，関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ上に \( x \) 座標が \( p \) である点 \( P \) があり，点 \( P \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフとの交点を \( Q \) とする。また，関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) のグラフ上に点 \( R \) を，\( y \) 軸上に点 \( S \) を，四角形 \( PRSQ \) が平行四辺形となるようにとる。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，\( p>0 \) とする。

（１） \( p=3 \) のとき，次の①の　　　，②の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

１　点 \( P \) の \( y \) 座標は　　　である。

【解答】

\( \dfrac{9}{2} \)

【解説】

点 \( P \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 3 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 3^2=\dfrac{9}{2} \)

２　２点 \( Q，R \) を通る直線の傾きは　　　で，切片は　　　である。

【解答】

傾き･･･ \( \dfrac{3}{2} \)
切片･･･ \( 9 \)

【解説】

点 \( Q \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，
点 \( P \) と \( y \) 座標が等しいので，
\( x \) 座標は \( -3 \) であり，\( Q \left(-3，\dfrac{9}{2} \right) \)

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( PQ=RS=6 \) であり，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 6 \)
ここから，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，\( R(6，18) \)

２点 \( Q，R \) を通る直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
傾き \( a=\dfrac{18-\dfrac{9}{2}}{6-(-3)}=\dfrac{3}{2} \)
\( y=\dfrac{3}{2}x+b \) に \( x=6，y=18 \) を代入すると，
　\( 18=\dfrac{3}{2} \times 6+b \)
　 \( b=9 \)

（２）直線 \( PQ \) と \( y \) 軸との交点を \( H \) とするとき，次の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

\( SH=2PQ \) となるのは，\( p= \) 　　　のとき
である。

【解答】

\( \dfrac{8}{3} \)

【解説】

点 \( P \) の \( x \) 座標が \( p \) のとき，
\( P，Q \) の座標は \( P \left( p，\dfrac{1}{2}p^2 \right)，Q \left( -p，\dfrac{1}{2}p^2 \right) \)
と表すことができます。

このとき，\( PQ \) の長さは \( 2p \) と表せるので，
点 \( R \) の \( x \) 座標は \( 2p \) であり，
点 \( R \) の座標は \( R(2p，2p^2) \)
と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，
点 \( S \) と点 \( R \) の \( y \) 座標は等しく，
\( S(0，2p^2) \) と表すことができ，
\( SH \) の長さは \( 2p^2-\dfrac{1}{2}p^2=\dfrac{3}{2}p^2 \)

よって，\( SH=2PQ \) となるとき，
　　　　\( \dfrac{3}{2}p^2=2 \times 2p \)
　　　　\( 3p^2=8p \)
　\( p(3p-8)=0 \)
　　　　　 \( p=\dfrac{8}{3} \) (\( p>0 \) より)

大問３

右の図のように，\( ∠ABC=45° \) の鋭角三角形 \( ABC \) がある。点 \( B \) から辺 \( AC \) に垂線 \( BD \) を，点 \( C \) から辺 \( AB \) に垂線 \( CE \) をひき，線分 \( BD \) と線分 \( CE \) の交点を \( F \) とする。
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）次の　（ａ）　，　（ｂ）　，　（ｃ）　に入る最も適当なものを，選択肢のア～カのうちからそれぞれ１つずつ選び，符号で答えなさい。

\( ∠EBC= \) 　（ａ）　 \( =45° \) だから，\( △EBC \) は　（ｂ）　である。よって，\( EB= \) 　（ｃ）　である。

　　選択肢
　　ア　\( ∠BEC \) 　　　イ　\( ∠ECB \) 　　　ウ　二等辺三角形　　　エ　正三角形
　　オ　 \( BC \) 　　　　カ　\( EC \)

【解答】

　（ａ）　･･･イ
　（ｂ）　･･･ウ
　（ｃ）　･･･カ

（２） \( △EBF≡△ECA \) となることを証明しなさい。
ただし，（１）の　　　のことがらについては，用いてもかまわないものとする。

【解答】

\( △EBF \) と \( △ECA \) において，
仮定より，\( ∠BEF=∠CEA=90° \) ･･･ ➀
\( △EBC \) は直角二等辺三角形なので，
　\( EB=EC \) ･･･ ②
\( △ABD \) は直角三角形なので，
　\( ∠EBF=90°-∠EAC \) ･･･ ③
\( △ECA \) は直角三角形なので，
　\( ∠ECA=90°-∠EAC \) ･･･ ➃
③➃より，
　\( ∠EBF=∠ECA \) ･･･ ➄
➀➁➄より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EBF≡△ECA \)

（３）次の　　　にあてはまるものを答えなさい。

\( AD=9 \; cm，DC =6 \; cm \) であるとき，\( △EBF \) の面積は　　　 \( cm^2 \) である。

【解答】

\( 45 \)

【解説】

\( ∠ABD=∠FCD，∠ADB=∠FDC=90° \) より，
２組の角がそれぞれ等しいので，\( △ABD \) ∽ \( △FCD \)

（２）より，\( △EBF≡△ECA \) なので，
　\( BF=CA=15 \; cm \)
\( DF=x \; cm \) とすると，
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　　　　\( BD：CD=DA：DF \)
　　　\( (15+x)：6=9：x \)
　　　　 \( x^2+15x=54 \)
　　\( x^2+15x-54=0 \)
　\( (x-3)(x+18)=0 \)
　　　　　　　　\( x=3 \; (cm) \) ( \( x>0 \) より)

\( △FCD \) において，三平方の定理より，
　\( CF^2=3^2+6^2=45 \)
　 \( CF=3\sqrt{5} \; (cm) \)

\( ∠FBE=∠FCD，∠FEB=∠FDC=90° \)
より，２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △EBF \) ∽ \( △DCF \)
相似比は，
　\( FB：FC=15：3\sqrt{5}=\sqrt{5}：1 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しく，
　\( △EBF：△DCF=(\sqrt{5})^2：1^2=5：1 \)

よって，
　\( △EBF=5△DCF \)
　　　　　\( =5 \times \left(3 \times 6 \times \dfrac{1}{2} \right) \)
　　　　　\( =45 \; (cm^2) \)

大問４

次の会話文を読み，あとの（１）～（３）の問いに答えなさい。

会話文

教師Ｔ：今日はスクリーンに投影される影について，
　　　　簡略化したもので考えましょう。
　　　　図１のように，光源を点 \( O \)，スクリーンを
　　　　直線 \( ℓ \) とし，直線 \( ℓ \) と平行な線分 \( AB \)
　　　　を，光源からの光を遮る物体として考え
　　　　ます。
　　　　物体の上端を点 \( A \)，下端を点 \( B \) とし，
　　　　光源からの光の道すじを表したものを，
　　　　それぞれ半直線 \( OA，OB \) とします。
　　　　また，この２つの半直線と直線 \( ℓ \) との
　　　　交点を，それぞれ \( P，Q \) とします。

生徒Ｘ：線分 \( PQ \) がスクリーンに投影された影であると考えればよいのですね。

教師Ｔ：そのとおりです。また，点 \( O \) から線分 \( PQ \) に垂線をひき，線分 \( AB \) との交点を \( M \)，
　　　　線分 \( PQ \) との交点を \( N \) とします。ただし，ここでは必ず交点 \( M \) ができるように
　　　　物体 \( AB \) があるものとします。
　　　　では，\( OM=MN \) のとき，線分 \( PQ \) の長さは線分 \( AB \) の長さの何倍になりますか。

生徒Ｘ：\( △OAB \) と \( △OPQ \) は相似になるので，　ア　倍です。

教師Ｔ：そうですね。この考え方を利用すると，物体 \( AB \) が平行移動したとしても，スクリーンに
　　　　投影される影の長さ \( PQ \) を求めることができますね。
　　　　では，線分 \( PQ \) の長さを線分 \( AB \) の長さの \( 4 \) 倍にしたいとき，線分 \( OM \) と線分 \( MN \)
　　　　の長さの比をどのようにすればよいでしょうか。

生徒Ｘ：最も簡単な整数比で表すと， \( OM：MN= \) 　イ　です。

教師Ｔ：そのとおりです。次に，光を遮る物体を，
　　　　線分ではなく正方形としてみましょう。
　　　　わかりやすくするために，座標平面上で
　　　　考えてみます。
　　　　図２のように，光源を表す点 \( O \) を原点，
　　　　物体を表す正方形 \( EFGH \) の頂点の座標を
　　　　それぞれ，\( E(4，1)，F(4，-1) \)，
　　　　\( G(6，-1)，H(6，1) \) とし，スクリーンを
　　　　直線 \( x=10 \) とします。スクリーンに投影
　　　　される影を線分 \( PQ \) とし，
　　　　座標を \( P(10，p)，Q(10，q) \) とします。
　　　　ただし，\( p>q \) とします。

生徒Ｘ：点 \( P \) は直線 \( OE \) と直線 \( x=10 \) との交点だから，\( p= \) 　ウ　になるということですね。

教師Ｔ：そうですね。では，光源を点 \( O \) から \( y \) 軸上の正の整数部分に動かしてみましょう。
　　　　\( n \) を自然数とし，動かした後の光源を表す点の座標を \( O'(0，n) \) とします。
　　　　点 \( P \) は直線 \( O’H \) と直線 \( x=10 \) との交点，点 \( Q \) は直線 \( O’F \) と直線 \( x=10 \) との
　　　　交点になるので，点 \( P，Q \) の \( y \) 座標をそれぞれ求めることができますね。

生徒Ｘ：\( n \) を用いて表すと，\( p= \) 　（ａ）　，\( q= \) 　（ｂ）　となります。

教師Ｔ：正解です。この結果を利用すると，線分 \( PQ \) の長さが周期的に整数になることがわかりますね。

（１）会話文中の　ア　，　イ　，　ウ　について，次の１～３の問いに答えなさい。

１　　ア　にあてはまるものを答えなさい。

【解答】

\( 2 \)

【解説】

\( △OAM \) と \( △OPN \) において，
\( ∠AMO=∠PNO=90°，∠O \) 共通より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △OAM \) ∽ \( △OPN \)

\( OM=MN \) より，\( OM：ON=1：2 \) なので，
\( OA：OP=OM：ON=1：2 \)

\( △OAB \) ∽ \( △OPQ \) なので，
\( AB：PQ=OA：OP=1：2 \)

よって，線分 \( PQ \) の長さは線分 \( AB \) の長さの \( 2 \) 倍になります。

２　　イ　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

【解答】

\( 1：3 \)

【解説】

\( △OAB \) ∽ \( △OPQ \) より，
\( AB：PQ=1：4 \) のとき，
\( OM：ON=1：4 \) なので，
　\( OM：MN=OM：(ON-OM) \)
　　　　　　 \( =1：(4-1) \)
　　　　　　 \( =1：3 \)

３　　ウ　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

【解答】

\( \dfrac{5}{2} \)

【解説】

直線 \( OE \) の式は \( y=\dfrac{1}{4}x \) なので，
\( y=\dfrac{1}{4}x \) に \( x=10，y=p \) を代入すると，
　\( p=\dfrac{1}{4} \times 10=\dfrac{5}{2} \)

（２）会話文中の　（ａ）　，　（ｂ）　にあてはまる式をそれぞれ書きなさい。

【解答】

　（ａ）　･･･ \( -\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3} \)
　（ｂ）　･･･ \( -\dfrac{3}{2}n-\dfrac{5}{2} \)

【解説】

　（ａ）　
直線 \( O’H \) の式を \( y=ax+n \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{1-n}{6-0}=\dfrac{1-n}{6} \)
なので，\( y=\dfrac{1-n}{6}x+n \)
\( x=10，y=p \) を代入すると，
　\( p=\dfrac{1-n}{6} \times 10+n \)
　　\( =\dfrac{5(1-n)}{3}+n \)
　　\( =-\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3} \)

　（ｂ）　
直線 \( O’F \) の式を \( y=bx+n \) とすると，
　傾き \( b=\dfrac{-1-n}{4-0}=\dfrac{-1-n}{4} \)
なので，\( y=\dfrac{-1-n}{4}x+n \)
\( x=10，y=q \) を代入すると，
　\( q=\dfrac{-1-n}{4} \times 10+n \)
　　\( =\dfrac{5(-1-n)}{2}+n \)
　　\( =-\dfrac{3}{2}n-\dfrac{5}{2} \)

（３）会話文中の下線部について，次の　　　にあてはまるものをそれぞれ答えなさい。

線分 \( PQ \) の長さが \( 100 \; cm \) となるのは，\( n= \) 　　　のときである。
ただし，原点 \( O \) から点 \( (1，0) \) までの距離及び原点 \( O \) から点 \( (0，1) \) までの距離をそれぞれ \( 1 \; cm \) とする。

【解答】

\( 115 \)

【解説】

（２）より，線分 \( PQ \) の長さは，
　\( PQ=\left( -\dfrac{2}{3}n+\dfrac{5}{3} \right)-\left( -\dfrac{3}{2}n-\dfrac{5}{2} \right) \)
　　　\( =\dfrac{5}{6}n+\dfrac{25}{6} \; (cm) \)
と表せるので，
\( PQ=100 \; cm \) となるとき，
　\( \dfrac{5}{6}n+\dfrac{25}{6}=100 \)
　　\( 5n+25=600 \)
　　　\( n+5=120 \)
　　　　　\( n=115 \)

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栃木県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 21 Dec 2024 13:00:20 +0000

大問１

１　\( (-4) \times (-3) \) を計算しなさい。

【解答】

\( 12 \)

２　\( \sqrt{28}+\sqrt{7} \) を計算しなさい。

【解答】

\( 3\sqrt{7} \)

【解説】

\( =2\sqrt{7}+\sqrt{7} \)
\( =3\sqrt{7} \)

３　絶対値が \( 3 \) より小さい整数は全部で何個か。

【解答】

５個

【解説】

絶対値が \( 3 \) である数は \( 3 \) と \( -3 \) なので，
絶対値が \( 3 \) より小さい整数は，\( -2，-1，0，1，2 \) の５個になります。

【参考】
「Ａより小さい」というときは \( A \) は含みません。
「Ａ以下」というときは \( A \) を含みます。

４　２次方程式 \( x^2+5x+6=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=-2，-3 \)

【解説】

　\( (x+2)(x+3)=0 \)
　　　　　　　　\( x=-2，-3 \)

５　右の図は，関数 \( y=\dfrac{a}{x} \) (\( a \) は \( 0 \) でない定数) のグラフである。このグラフが点 \( (2，-3) \) を通るとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解答】

\( a=-6 \)

【解説】

\( y=\dfrac{a}{x} \) に \( x=2，y=-3 \) を代入すると，
　\( -3=\dfrac{a}{2} \)
　　\( a=-6 \)

６　右の図は，半径が \( 2 \; cm \)，中心角が \( 40° \) のおうぎ形である。このおうぎ形の弧の長さは，半径が \( 2 \; cm \) の円の周の長さの何倍か求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{1}{9} \) 倍

【解説】

おうぎ形の弧の長さの比は中心角の比と等しいので，
　\( \dfrac{40°}{360°}=\dfrac{1}{9} \)（倍）

７　半径が \( 6 \; cm \) の球の体積を求めなさい。ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 288\pi{} \; cm^3 \)

【解説】

\( \dfrac{4}{3} \pi{} \times 6^3=288\pi{} \; (cm^3) \)

８　右の度数分布表は，生徒 \( 20 \) 人の \( 20 \; m \) シャトルランの記録をまとめたものである。度数が最も多い階級の相対度数を求めなさい。

【解答】

\( 0.35 \)

【解説】

相対度数は
　その階級の度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

度数が最も多い階級は \( 85\) 回以上 \( 100\) 回未満の階級で，
その度数は \( 7 \) 人，
すべての階級の度数の合計は \( 20 \) 人なので，
　\( 7 \div 20=0.35 \)

大問２

１　小数第１位を四捨五入した近似値が表示されるはかりがある。このはかりを用いて，いちご１個の重さを測定したところ，右の図のように \( 29 \; g \) と表示された。このときの真の値を \( a \; g \) としたとき，\( a \) の範囲を不等号を用いて表しなさい。

【解答】

\( 28.5≦a<29.5 \)

【解説】

小数第１位を四捨五入するということは，
\( 29.○△□･･･ \) の〇の部分の数字が \( 4 \) 以下であれば切り捨て，\( 5 \) 以上であれば切りあげる
ということです。

【\( a \) の値が \( 29 \) より小さい場合】
\( a=28.5 \) のとき，小数第１位が \( 5 \) なので，切り上げになり， \( 29 \) と表示されます。
これよりほんの少しだけ小さい例として
\( a=28.499･･･ \) のときを考えると，小数第１位が \( 4 \) なので，切り捨てになり， \( 28 \) と表示されます。
つまり，\( a \) の値は \( 28.5 \) 以上でなければなりません。
この関係を不等式で表すと，\( 28.5≦a \) ･･･ ① になります。

【\( a \) の値が \( 29 \) より大きい場合】
\( a=29.5 \) のとき，小数第１位が \( 5 \) なので，切り上げになり， \( 30 \) と表示されます。
これよりほんの少しだけ小さい例として
\( a=29.499･･･ \) のときを考えると，小数第１位が \( 4 \) なので，切り捨てになり， \( 29 \) と表示されます。
つまり，\( a \) の値が \( 29.5 \) 未満でなければなりません。
この関係を不等式で表すと，\( a<29.5 \) ･･･ ➁ になります。

①②を組み合わせると，求める \( a \) の範囲は，\( 28.5≦a<29.5 \) になります。

２　陸上競技場に１周 \( 400 \; m \) のトラックがある。つばささんは，スタート地点からある地点までは，分速 \( 300 \; m \) で走り，その後分速 \( 60 \; m \) で歩き，ちょうど \( 2 \) 分でトラックを１周するトレーニングを計画している。
このとき，走る距離を \( x \; m \)，歩く距離を \( y \; m \) として連立方程式をつくり，走る距離と歩く距離をそれぞれ求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=400 \;\; ･･･ \;\; ① \\
\dfrac{x}{300}+\dfrac{y}{60}=2 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➁ \( \times 300 \)
　\( x+5y=600 \) ･･･ ➁’
➁’ \( – \) ①
　\( 4y=200 \)
　　\( y=50 \)
①に代入すると，
　\( x+50=400 \)
　　　　\( x=350 \)

よって，
走る距離は \( 350 \; m \)，歩く距離は \( 50 \; m \)

【解説】

移動距離の合計が \( 400 \; m \) であることと，かかった時間の合計が \( 2 \) 分であることがわかっているので，
距離と時間に注目して，連立方程式をたてればいいことになります。

ちょうどトラックを１周してきたときのスタート地点をゴール地点とし，図に書いてみます。
なお，わかりやすくするために直線にして書くことにします。

３　次の先生と生徒の会話文を読んで，下の \( \boxed{\phantom{　　　}} \) 内の証明の続きを書きなさい。

先生「連続する３つの自然数をそれぞれ２乗した数の関係について考えてみましょう。最も小さい数の
　　　２乗と最も大きい数の２乗の和から，中央の数の２乗の２倍をひくと，いくつになりますか。
　　　例えば \( 3，4，5 \) のときはどうでしょう。」

生徒「最も小さい数 \( 3 \) の２乗と最も大きい数 \( 5 \) の２乗の和 \( 9+25=34 \) から，中央の数 \( 4 \) の
　　　２乗の２倍である \( 16 \times 2=32 \) をひくと，\( 2 \) になりました。」

先生「それでは \( 6，7，8 \) のときはどうでしょう。」

生徒「最も小さい数 \( 6 \) の２乗と最も大きい数 \( 8 \) の２乗の和 \( 36+64=100 \) から，中央の数 \( 7 \) の
　　　２乗の２倍である \( 49 \times 2=98 \) をひくと，また \( 2 \) になりました。」

先生「実は，連続する３つの自然数では，この関係がつねに成り立ちます。文字を使って証明してみま
　　　しょう。」

（証明）
連続する３つの自然数のうち，最も小さい数を \( n \) とすると，連続する３つの自然数は \( n，n+1，n+2 \) と表される。
最も小さい数の２乗と最も大きい数の２乗の和から，中央の数の２乗の２倍をひくと
\( \boxed{\phantom{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\\　　\\　　\\　　\\　　\\}} \)

【解答】

\( n^2+(n+2)^2-2(n+1)^2=n^2+(n^2+4n+4)-2(n^2+2n+1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( =2n^2+4n+4-(2n^2+4n+2) \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( =2 \)
よって，連続する３つの自然数について，
最も小さい数の２乗と最も大きい数の２乗の和から，中央の数の２乗の２倍をひくと，必ず \( 2 \) になる。

大問３

１　右の図の \( △ABC \) において，辺 \( AB \) と辺 \( AC \) からの距離が等しくなる点のうち，辺 \( BC \) 上にある点 \( P \) を作図によって求めなさい。ただし，作図には定規とコンパスを使い，また，作図に用いた線は消さないこと。

【解答】

手順１　点 \( A \) を中心に円弧を描く。
(辺 \( AB，AC \) との交点を点 \( D，E \) とします。)
手順２　２点 \( D，E \) を中心に円弧を描く。
(交点を点 \( F \) とします。)
手順３　２点 \( A，F \) を通る直線を描く。

手順３の直線と辺 \( BC \) の交点が，求める点 \( P \) になります。

【解説】

「辺 \( AB \) と辺 \( AC \) からの距離が等しい」ということは，
点 \( P \) から辺 \( AB，AC \) にひいた垂線の長さが等しいということです。

点 \( P \) から辺 \( AB，AC \) に垂線をひき，
交点を \( Q，R \) とすると，
\( △APQ \) と \( △APR \) において，
\( PQ=PR，AP \) は共通，
\( ∠AQP=∠ARP=90° \) であり，
斜辺と他の１辺が等しい直角三角形なので，
　\( △APQ≡△APR \)
対応する角は等しいので
　\( ∠PAQ=∠PAR \)
よって，
直線 \( AP \) は \( ∠BAC \) の二等分線になります。

２　右の図のような，\( AC=5 \; cm，∠C=90° \) の直角三角形 \( ABC \) がある。辺 \( BC \) 上に \( ∠ADC=45° \) となるように点 \( D \) をとると，\( BD=7 \; cm \) となった。さらに，点 \( D \) から辺 \( AB \) に垂線 \( DE \) をひく。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）線分 \( AD \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 5\sqrt{2} \; cm \)

【解説】

\( ∠C=90°，∠ADC=45° \) より，
\( △ACD \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AD=\sqrt{2}AC=5\sqrt{2} \; (cm) \)

（２）線分 \( DE \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( 5\sqrt{2} \; cm \)

【解説】

\( △BDE \) と \( △BAC \) において，
　\( ∠BED=∠BCA，∠B \) は共通
より，２組の角が等しいので
　\( △BDE \) ∽ \( △BAC \)
対応する辺の比は等しいので
　\( DE：AC=DB：AB \)

\( △ACD \) は直角二等辺三角形なので，
　\( CD=AC=5 \; cm \)
\( △ABC \) において，三平方の定理より，
　\( AB^2=5^2+(5+7)^2=169 \)
　 \( AB=13 \; (cm) \)

　\( DE：AC=DB：AB \)
　　 \( DE：5=7：13 \)
　　　　\( DE=\dfrac{35}{13} \; (cm) \)

３　右の図のように，４点 \( A，B，C，D \) は同じ円周上にあり，\( AD//BC \) である。
このとき，\( △ABC≡△DCB \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △ABC \) と \( △DCB \) において，
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACB=∠ADB \) ･･･ ➀
\( AD//BC \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠DBC=∠ADB \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠ACB=∠DBC \) ･･･ ③
\( \stackrel{\huge\frown}{ AD } \) に対する円周角なので，
　\( ∠ABD=∠ACD \) ･･･ ➃
　\( ∠ABC=∠ABD+∠DBC \) ･･･ ➄
　\( ∠DCB=∠ACD+∠ACB \) ･･･ ⑥
③➃➄➅より，
　\( ∠ABC=∠DCB \) ･･･ ➆
また，\( BC \) は共通･･･ ⑧
③➆⑧より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC≡△DCB \)

大問４

１　下の図は，生徒 \( 35 \) 人の通学時間のデータをヒストグラムに表したものである。このヒストグラムは，例えば，通学時間が \( 0 \) 分以上 \( 5 \) 分未満である生徒が２人であることを表している。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）生徒 \( 35 \) 人の通学時間のデータの最大値が含まれる階級の階級値を求めなさい。

【解答】

\( 27.5 \) 分

【解説】

最大値は，通学時間が最も長い人の値なので，
あてはまる階級は，\( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満

階級値は，求める階級の真ん中の値（平均値）なので，
\( 25 \) 分以上 \( 30 \) 分未満の階級の階級値は，
　\( \dfrac{25+30}{2}=27.5 \)（分）

（２）生徒 \( 35 \) 人の通学時間のデータを箱ひげ図に表したものとして最も適切なものを，次のア，イ，ウ，エのうちから１つ選んで，記号で答えなさい。

【解答】

ウ

【解説】

下の図は，ヒストグラムに累積度数を書き込んだものです。

全部で \( 35 \) 人分のデータを集計したので，
第一四分位数は，時間の短い方から \( 9 \) 番目の値であり，
ヒストグラムから，あてはまる階級は，\( 5 \) 分以上 \( 10 \) 分未満

中央値は，時間の短い方から \( 18 \) 番目の値であり，
ヒストグラムから，あてはまる階級は，\( 10 \) 分以上 \( 15 \) 分未満

第三四分位数は，時間の短い方から \( 27 \) 番目の値であり，
ヒストグラムから，あてはまる階級は，\( 15 \) 分以上 \( 20 \) 分未満

これらがすべてあてはまる箱ひげ図は，ウになります。

２　袋の中に，\( 1 \) から \( 5 \) までの数字が１つずつ書かれた５個の玉が入っている。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）Ａさんが玉を１個取り出し，取り出した玉を袋の中に戻さずに，続けてＢさんが玉を１個取り出す。２人の玉の取り出し方は全部で何通りか。

【解答】

\( 20 \) 通り

【解説】

Ａさんの玉の取り出し方は５個の玉から１個を取り出すので \( 5 \) 通り，
Ａさんが取り出した玉は戻さないので，
Ｂさんの玉の取り出し方は残った４つの玉から１個を取り出すので \( 4 \) 通り，
これらは同時に起こるので，
すべての組み合わせは \( 5 \times 4=20 \)（通り）

樹形図にすると

（２）Ａさんが玉を１個取り出し，取り出した玉を袋の中に戻した後，Ｂさんが玉を１個取り出す。２人が取り出した玉に書かれた数字の和が \( 7 \) 以下となる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{19}{25} \)

【解説】

ＡさんとＢさんが取り出した玉の組み合わせと
その和を表に書き出し，
和が \( 7 \) 以下となるところに〇をつけてみます。

すべての組み合わせは \( 25 \) 通りで，
〇がついていないのは \( 6 \) 通りなので，
〇がついているのは \( 25-6=19 \) 通り。

よって，求める確率は \( \dfrac{19}{25} \)

大問５

１　右の図のように，２つの関数 \( y=ax^2 \; (a>0) \),
\( y=-x^2 \) のグラフ上で，\( x \) 座標が \( 2 \) である点をそれぞれ \( A，B \) とする。点 \( A \) を通り \( x \) 軸に平行な直線が，関数 \( y=ax^2 \) のグラフと交わる点のうち，\( A \) と異なる点を \( C \) とする。また，点 \( D \) の座標を \( (-3，0) \) とする。
このとき，次の（１），（２），（３）の問いに答えなさい。

（１）関数 \( y=-x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -3≦x≦1 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。

【解答】

\( -9≦y≦0 \)

【解説】

関数 \( y=mx^2 \; (m<0) \) では，
\( x \) の絶対値が最も大きいときに \( y \) は最小値をとり，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最大値は \( 0 \) になります。

\( x \) の変域が \( -3≦x≦1 \) のとき，
\( x \) の絶対値が最も大きいのは， \( x=-3 \) のときで，
\( y \) の最小値は \( y=-(-3)^2=-9 \)

\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最大値は \( 0 \)

よって，\( y \) の変域は，\( -9≦y≦0 \)

（２）次の　　　内の①，②に当てはまる適切な語句を，下のそれぞれの語群のア，イ，ウのうちから１つずつ選んで，記号で答えなさい。

\( y=ax^2 \) の \( a \) の値を大きくしたとき，直線 \( AD \) の傾きは　　①　　。
\( y=ax^2 \) の \( a \) の値を大きくしたとき，線分 \( AC \) の長さは　　②　　。

【 ① の語群】　　ア　大きくなる　　イ　小さくなる　　ウ　変わらない

【 ➁ の語群】　　ア　長くなる　　　イ　短くなる　　　ウ　変わらない

【解答】

【 ① の語群】･･･ア
【 ➁ の語群】･･･ウ

【解説】

\( y=ax^2 \) の \( a \) の値を大きくしたときの例として，\( y=bx^2 \; (b>a) \) のグラフを考えます。

【直線 \( AD \) の傾き】
\( y=bx^2 \) 上の点で，\( x=2 \) の点を \( A’ \) とすると，
\( A’ \) の \( y \) 座標の値は \( 4b \) であり，
\( A \) の \( y \) 座標の値 \( 4a \) より大きくなります。
つまり，\( AD \) と \( A’D \) では，
\( x \) の増加量は同じで，\( y \) の増加量は大きくなるので
直線 \( A’D \) の傾きは，直線 \( AD \) の傾きより
大きくなります。

【線分 \( AC \) の長さ】
線分 \( AC \) の長さは，２点 \( A，C \) と \( y \) 軸との距離によって決まり，
\( y \) 軸との距離は \( x \) 座標の絶対値と等しくなります。
\( y=ax^2 \) のグラフは，\( y \) 軸について対称なので，２点 \( A，C \) の \( y \) 座標の値は等しく，
\( A \) と \( y \) 軸との距離，\( C \) と \( y \) 軸との距離は等しくなります。
以上より，\( a \) の値を変えても，\( x \) 座標の値が同じであれば，
線分 \( AC \) の長さも同じになります。

（３） \( △OAB \) と \( △OCD \) の面積が等しくなるとき，\( a \) の値を求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。

【解答】

\( a=2 \)

【解説】

２点 \( A，B \) の座標は \( A(2，4a)，B(2，-4) \) なので，
　\( △OAB=(4a+4) \times 2 \times \dfrac{1}{2}=4a+4 \)
２点 \( C，D \) の座標は \( C(-2，4a)，D(-3，0) \) なので，
　\( △OCD=3 \times 4a \times \dfrac{1}{2}=6a \)
よって，
　\( △OAB=△OCD \)
　 \( 4a+4=6a \)
　　　　\( a=2 \)

２　図１のように， \( AB=a \; cm，BC=b \; cm \) の長方形 \( ABCD \) と，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正方形の右上部から１辺の長さが \( 3 \; cm \) の正方形を切り取ったＬ字型の図形 \( EFGHIJ \) がある。辺 \( BC \) と辺 \( FG \) は直線 \( ℓ \) 上にあり，点 \( C \) と点 \( F \) は同じ位置にある。図形 \( EFGHIJ \) を固定し，長方形 \( ABCD \) を直線 \( ℓ \) に沿って秒速 \( 1 \; cm \) で点 \( B \) が点 \( G \) と同じ位置になるまで移動させる。図２のように，長方形 \( ABCD \) が移動し始めてから \( x \) 秒後の２つの図形が重なった部分の面積を \( y \; cm^2 \) とする。ただし，点 \( C \) と点 \( F \)，点 \( B \) と点 \( G \) が同じ位置にあるときは \( y=0 \) とする。
このとき，次の（１），（２），（３）の問いに答えなさい。

（１） \( a=2，b=4 \) とする。下の表は \( x \) と \( y \) の関係をまとめたものである。表の ①，② に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

【解答】

① ･･･ \( 8 \)
➁ ･･･ \( 6 \)

【解説】

\( x \) 秒後の２点\( C，F \) の距離が \( x \; cm \) になるので，
\( x=4 \) のとき，長方形 \( ABCD \) はちょうどすべてが図形 \( EFGHIJ \) と重なります。
よって，重なった部分の面積は \( y=2 \times 4=8 \; (cm^2) \)

\( x=7\) のとき，２点\( C，F \) の距離が \( 7 \; cm \) になるので，
長方形 \( ABCD \) は \( CG=7-6=1 \; cm \) 分だけ図形 \( EFGHIJ \) からはみ出します。
よって，重なった部分の面積は \( y=2 \times 3=6 \; (cm^2) \)

　　　　　　\( x=4 \) のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( x=7\) のとき

（２） \( a=4，b=2 \) とする。長方形 \( ABCD \) が移動し始めてから移動が終わるまでの \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフとして適切なものを，次のア，イ，ウ，エのうちから１つ選んで，記号で答えなさい。

【解答】

エ

【解説】

長方形 \( ABCD \) の縦の辺 \( AB，CD \) と
図形 \( EFGHIJ \) の縦の辺 \( EF，IJ，GH \) が
重なるタイミングで \( y \) の値の変化のしかたが
変わることに注目します。

長方形 \( ABCD \) が動き始めてから，
\( y \) の値がどのように変化するかを表したものが
右の図になります。

\( y \) の値が変わらないところが２か所あることに注目すると，あてはまるグラフはエになります。

（３） \( a=4，b=4 \) とする。\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフは図３のようになった。２つの図形が重なった部分の面積が，長方形 \( ABCD \) が移動し始めてから \( 3 \) 秒後の面積と再び同じ値になるのは，長方形 \( ABCD \) が移動し始めてから何秒後か求めなさい。ただし，途中の計算も書くこと。

【解答】

グラフから，\( x=3 \) のとき，\( y=12 \) なので，\( y=12 \) になる別の点の \( x \) 座標を \( t \) とすると，\( 6≦t≦7 \) になります。

\( 6≦x≦7 \) の直線の式を \( y=ax+b \) とすると，
\( x=6 \) のとき \( y=13 \)，\( x=7 \) のとき \( y=9 \) なので，
　\( a=\dfrac{9-13}{7-6}=-4 \)
\( y=-4x+b \) に \( x=6，y=13 \) を代入すると，
　\(13=-4 \times 6+b \)
　 \(b=37 \)
となり，
この直線の式は，\( y=-4x+37 \)

\( x=t，y=12 \) を代入すると，
　\( 12=-4t+37 \)
　\( 4t=25 \)
　 \( t=\dfrac{25}{4} \)

よって，長方形 \( ABCD \) が移動し始めてから \( 3 \) 秒後の面積と再び同じ値になるのは，\( \dfrac{25}{4} \) 秒後

【解説】

グラフから，\( x=3 \) のとき，\( y=12 \) なので，
\( y=12 \) になる別の点の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
\( 6≦t≦7 \) の範囲にあると考えられます。

次に，\( x=6 \) のときと \( x=7 \) のときの \( y \) の値を図を描いて確認すると，
　\( x=6 \) のとき，\( y=4 \times 4-1 \times 3=13 \)
　\( x=7 \) のとき，\( y=3 \times 3=9 \)
なので，\( y=12 \) になる点は \( 6≦x≦7 \) の範囲にあると確認できます。

　　　　　　　\( x=6 \) のとき　　　　　　　　　　　　　　　\( x=7\) のとき

グラフで，\( 6≦x≦7 \) の直線の式を求めると，
\( (6，13)，(7，9) \) を通るので，
傾きは \( -4 \) であり，\( y=-4x+b \) とし，
\( (6，13) \) を代入すると，
　\(13=-4 \times 6+b \)
　 \(b=37 \)
となり，
この直線の式は，\( y=-4x+37 \)
\( x=t，y=12 \) を代入すると，
　\( 12=-4t+37 \)
　\( 4t=25 \)
　 \( t=\dfrac{25}{4} \)

大問６

ある市のＡ中学校とＢ中学校は修学旅行でそれぞれＸ市を訪問する。各中学校とも，横一列に生徒が \( 5 \) 人ずつ座ることができる新幹線でＸ市へ向かい，到着後，１台に生徒が \( 4 \) 人ずつ乗ることができるタクシーで班別行動を行う。ここでは，修学旅行の生徒の参加人数ごとに，必要な新幹線の座席の列数と必要なタクシーの台数を考えるものとする。例えば，生徒の参加人数が \( 47 \) 人のとき，新幹線では，生徒が \( 5 \) 人ずつ \( 9 \) 列に座り，残りの \( 2 \) 人がもう１列に座るので，必要な新幹線の座席の列数は \( 10 \) 列である。また，タクシーでは，生徒が \( 4 \) 人ずつ \( 11 \) 台に乗り，残りの \( 3 \) 人がもう１台に乗るので，必要なタクシーの台数は \( 12 \) 台である。
このとき，次の１，２，３の問いに答えなさい。

１　Ａ中学校の生徒の参加人数は \( 92 \) 人である。このとき，Ａ中学校の必要な新幹線の座席の列数を求めなさい。

【解答】

\( 19 \) 列

【解説】

\( 92 \div 5=18 \) あまり \( 2 \) なので，
\( 5 \) 人ずつ \( 18 \) 列に座り，残りの \( 2 \) 人がもう１列に座ることになり，
\( 19 \) 列が必要になります。

２　Ｂ中学校の必要な新幹線の座席の列数は \( 24 \) 列であり，必要なタクシーの台数は \( 29 \) 台である。このとき，Ｂ中学校の生徒の参加人数を求めなさい。

【解答】

\( 116 \) 人

【解説】

Ｂ中学校の生徒の参加人数を \( x \) 人とします。

新幹線の座席に \( 5 \) 人ずつ \( 23 \) 列に空席がないように座るとき，参加人数は \( 115 \) 人，
\( 24 \) 列目にも最低 \( 1 \) 人は座るので，最低の参加人数は \( 116 \) 人，
\( 5 \) 人ずつ \( 24 \) 列に空席がないように座るとき，参加人数は \( 120 \) 人なので，
Ｂ中学校の生徒の参加人数の範囲は \( 116≦x≦120 \) ･･･ ①

タクシーに \( 4 \) 人ずつ \( 28 \) 台にあまりがないように乗るとき，参加人数は \( 112 \) 人，
\( 29 \) 台目にも最低 \( 1 \) 人は乗るので，最低の参加人数は \( 113 \) 人，
\( 4 \) 人ずつ \( 29 \) 台にあまりがないように乗るとき，参加人数は \( 116 \) 人なので，
Ｂ中学校の生徒の参加人数の範囲は \( 113≦x≦116 \) ･･･ ➁

①②を両方同時に満たしているのが，Ｂ中学校の生徒の参加人数なので，
あてはまるのは \( x=116 \) で \( 116 \) 人になります。

３　次のＢ中学校の先生と生徒の修学旅行後の会話文を読んで，文中の①，②，③に当てはまる式や数をそれぞれ答えなさい。

先生「先日の修学旅行では，必要な新幹線の座席の列数は \( 24 \) 列，必要なタクシーの台数は \( 29 \) 台で，
　　　タクシーの台数の値から新幹線の座席の列数の値をひくと \( 5 \) でした。今日の授業では，台数の値が
　　　列数の値より \( 10 \) 大きいときの生徒の参加人数について，考えてみましょう。」

生徒「とりあえず，生徒の参加人数が \( 40 \) 人から \( 47 \) 人までの表を書いてみましたが，具体的に考えて
　　　いくのは，大変そうです。」

先生「それでは，式を使って考えてみましょう。例えば，必要な新幹線の座席の列数が \( 9 \) 列のとき，
　　　考えられる生徒の参加人数は \( 41 \) 人，\( 42 \) 人，\( 43 \) 人，\( 44 \) 人，\( 45 \) 人の５通りです。
　　　これらは．\( 5 \times 8+1，5 \times 8+2，5 \times 8+3，5 \times 8+4，5 \times 8+5 \) と，すべて \( 5 \times 8 \) を
　　　含む形で表すことができますね。まずは，この表し方をもとに，必要な新幹線の座席の列数から，
　　　生徒の参加人数を文字を用いた式で表してみましょう。」

生徒「必要な新幹線の座席の列数を \( n \) とすると，生徒の参加人数は　　①　　 \( +a \) と表せます。
　　　ただし，\( n \) は自然数，\( a \) は \( 1 \) から \( 5 \) までのいずれかの自然数です。」

先生「そうですね。次に，必要なタクシーの台数を \( n \) を用いて表してみましょう。」

生徒「台数の値は，列数の値より \( 10 \) 大きいから，\( n+10 \) と表せます。」

先生「では，必要なタクシーの台数から，生徒の参加人数を \( n \) と \( 1 \) から \( 4 \) までのいずれかの
　　　自然数 \( b \) を用いて表すこともできますね。これらの２つの式を使うと，考えられる生徒の
　　　参加人数のうち，最も少ない生徒の参加人数は何人ですか。」

生徒「必要な新幹線の座席の列数は \( n= \) 　　②　　と表すことができるので，\( a \) と \( b \) の値を
　　　考えると，最も少ない生徒の参加人数は　　③　　人です。」

先生「正解です。文字を用いた式を使って生徒の参加人数を考えることができましたね。」

【解答】

　　①　　･･･ \( 5(n-1) \)
　　②　　･･･ \( 41+b-a \)
　　③　　･･･ \( 185 \)

【解説】

　　①　　
\( n \) 列目に最低 \( 1 \) 人は座るということは，
\( n-1 \) 列目までは５人ずつ空席なく座るので，ここまでの人数は \( 5(n-1) \) 人です。
これに，\( n \) 列目に座る \( a \) 人を加えた人数 \( 5(n-1)+a \) が参加人数になります。

　　②　　
新幹線の座席の列数から考えた生徒の参加人数は，\( 5(n-1)+a \)
タクシーの台数から考えた生徒の参加人数は，\( 4(n+9)+b \)
であり，これらは等しいので，
　\( 5(n-1)+a=4(n+9)+b \)
　　\( 5n-5+a=4n+36+b \)
　　　　　　　\( n=41+b-a \)

　　③　　
\( n=41+b-a \) において，\( 1≦a≦5，1≦b≦4 \) なので，
\( b-a \) が最小になるのは，\( a=5，b=1 \) のときで，\( b-a=-4 \)
このとき，
　\( n=41+b-a=41+(-4)=37 \)
\( 5(n-1)+a \) に \( n=37，a=5 \) を代入すると，
　\( 5(n-1)+a=5 \times 36+5=185 \)

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茨城県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Sat, 14 Dec 2024 13:00:13 +0000

大問１

（１）次の➀～➃の計算をしなさい。

➀　\( 3-9 \)

【解答】

\( -6 \)

➁　\( -3(x+2y)+(x-3y) \)

【解答】

\( -2x-9y \)

【解説】

\( =-3x-6y+x-3y \)
\( =-2x-9y \)

➂　\( 3a^2b \times 4b \div 6ab \)

【解答】

\( 2ab \)

【解説】

\( =\dfrac{3a^2b \times 4b}{6ab} \)
\( =2ab \)

➃　\( \sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \)

【解答】

\( 2\sqrt{3}+3\sqrt{2} \)

【解説】

\( =\sqrt{12}+\sqrt{18} \)
\( =2\sqrt{3}+3\sqrt{2} \)

（２） \( x^2+7x-8 \) を因数分解したとき，その結果として正しいものを，次のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　ア　\( (x-1)(x-7) \)　　イ　\( (x+1)(x+7) \) 　　ウ　\( (x+1)(x-8) \) 　　エ　\( (x-1)(x+8) \)

【解答】

エ　 \( (x-1)(x+8) \)

大問２

（１）右の図で，\( △ABC \) は正三角形である。辺 \( AB，AC \) 上にそれぞれ点 \( D，E \) をとる。\( ∠AED=74°，∠CDE=39° \) のとき，\( ∠BCD \) の大きさとして正しいものを，次のア～オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　ア　 \( 21° \) 　　イ　 \( 25° \) 　　ウ　 \( 30° \)
　　　エ　 \( 35° \) 　　オ　 \( 46° \)

【解答】

イ　 \( 25° \)

【解説】

\( ∠DEA \) は \( △CDE \) の外角なので，
　\( ∠DCE=∠DEA-∠CDE=35° \)
\( △ABC \) は正三角形なので，
　\( ∠BCD=60°-∠DCE=25° \)

（２）次の表は，\( 10 \) 人の生徒がテニスのサーブ練習をそれぞれ \( 10 \) 回行い，サーブが入った回数のデータを小さい順に並べたものである。

このとき，生徒 \( 10 \) 人のデータを箱ひげ図に表したものとして正しいものを，次のア～オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

【解答】

ウ

【解説】

\( 10 \) 人分のデータを集計しているので，
中央値は，回数の少ない方から５番目と６番目の値の平均値であり，
　中央値 \( =\dfrac{3+4}{2}=3.5 \)（回）
第一四分位数は，回数の少ない方から３番目の値であり，
　第一四分位数 \( =3 \)（回）
これらを満たしているのは，ウの箱ひげ図になります。

（３）ある動物園の入園料は，大人1人 \( x \) 円，子ども1人 \( y \) 円である。\( 500 \) 円の割引券を１枚使うと，大人２人と子ども３人の入園料の合計が \( 4000 \) 円より安くなった。
このとき，この数量の関係を表した不等式として正しいものを，次のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　ア　 \( 2x+3y-500<4000 \)
　　　　イ　 \( 2x+3y<4000-500 \)
　　　　ウ　 \( 2x+3y-500>4000 \)
　　　　エ　 \( 2x+3y>4000-500 \)

【解答】

ア　 \( 2x+3y-500<4000 \)

【解説】

もとの大人２人と子ども３人の入園料は \( 2x+3y \)（円）で，
\( 500 \) 円の割引券を１枚使うと，支払う入園料は \( 2x+3y-500 \)（円）
これが， \( 4000 \) 円より安いので，
求める不等式は \( 2x+3y-500<4000 \)

（４）関数 \( y=2x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦ \) 　Ⅰ　のとき，
\( y \) の変域が　Ⅱ　 \( ≦y≦18 \) である。
このとき，　Ⅰ　，　Ⅱ　に当てはまる値の組み合わせとして正しい
ものを，右のア～カの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

【解答】

エ

【解説】

\( y=2x^2 \) において，\( y=18 \) となるのは，
　\( 18=2x^2 \)
　\( x^2=9 \)
　 \( x=±3 \)
\( x \) の変域は \( -1≦x≦ \) 　Ⅰ　なので，
\( x=-3 \) はあてはまらず，\( x=3 \) のときになります。
つまり，　Ⅰ　は \( 3 \) であるとわかります。

\( y=ax^2 \; (a>0) \) において，\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は，必ず \( 0 \) になります。

\( x \) の変域は \( -1≦x≦3 \) で，\( 0 \) を含んでいて，
\( y=2x^2 \) で定数部分は \( 0 \) より大きいので，
\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
よって，　Ⅱ　は \( 0 \) であるとわかります。

大問３

右の図１のように，タブレット端末の画面に平行な２直線 \( ℓ，m \) と直線 \( ℓ \) 上の２点 \( A，B \)，直線 \( m \) 上の２点 \( C，D \) が表示されている。また，線分 \( AD \) と線分 \( BC \) は点 \( E \) で交わっており，点 \( F \) は直線 \( m \) 上を動かすことができる。さらに， \( AB=3 \; cm，CD=CE=6 \; cm \)，\( △ABE \) の面積は \( 5 \; cm^2 \) である。
ひよりさんとふうがさんは，点 \( F \) を動かしながら，図形の性質や関係について調べている。
このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）ひよりさんは，点 \( F \) を \( EF//BD \) となるように動かした。
このとき，大きさが等しくなる角の組み合わせとして正しいものを，次のア～オの中から２つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　ア　\( ∠EBD \) と \( ∠CEF \)
　　　　イ　\( ∠AEC \) と \( ∠ADC \)
　　　　ウ　\( ∠BEA \) と \( ∠FED \)
　　　　エ　\( ∠CFE \) と \( ∠CDE \)
　　　　オ　\( ∠BDE \) と \( ∠FED \)

【解答】

ア　\( ∠EBD \) と \( ∠CEF \)
オ　\( ∠BDE \) と \( ∠FED \)

【解説】

\( EF//BD \) より，
同位角は等しいので，\( ∠EBD \) と \( ∠CEF \)
錯角は等しいので，\( ∠BDE \) と \( ∠FED \)

（２）ふうがさんは，点 \( F \) を線分 \( CD \) 上に \( CF=1 \; cm \) となるように動かした。
このとき，\( △DEF \) の面積を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{50}{3} \; cm^2 \)

【解説】

\( ℓ//m \) より，\( △ABE \) ∽ \( △DCE \)
\( AB=3 \; cm，CD=6 \; cm \) より
相似比は \( 1：2 \)
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比と等しいので，
　\( △ABE：△DCE=1^2：2^2 \)
　　　　 \( 5：△DCE=1：4 \)
　　　　　　 \( △DCE=20 \; (cm^2) \)

\( △DCE \) と \( △DEF \) は高さが共通なので，
面積比は底辺の長さの比と等しくなります。
\( CD=6 \; cm，CF=1 \; cm \) より，
　\( DF=6-1=5 \; cm \)
なので，
　\( △DCE：△DEF=CD：DF \)
　　　　\( 20：△DEF=6：5 \)
　　　　　　 \( △DEF=\dfrac{50}{3} \; (cm^2) \)

（３）ひよりさんは，右の図２のように点 \( F \) を \( ED//BF \) となるように動かした。
このとき，ふうがさんは \( △DCB≡△ECF \) であることに気づき，次のように証明した。
　Ⅰ　～　Ⅲ　をうめて証明を完成させなさい。
ただし，　I　については当てはまるものを【　Ⅰ　の選択肢】のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

<証明>
\( △DCB \) と \( △ECF \) において,
仮定から，\( CD=CE=6 \; cm \) ･･･ ➀
　　　Ⅰ　　　･･･ ➁
\( △CBF \) において，\( ED//BF \) なので，
\( CE：CB=CD：CF \)
さらに，① より \( CD=CE \) だから，　Ⅱ　･･･ ➂
①，②，③ から，　Ⅲ　がそれぞれ等しいので,
\( △DCB≡△ECF \)

【　Ⅰ　の選択肢】
　　ア　平行線の同位角は等しいから，\( ∠CED=∠CBF \)
　　イ　二等辺三角形の底角だから，\( ∠CED=∠CDE \)
　　ウ　共通な角だから，\( ∠DCB=∠ECF \)
　　エ　四角形 \( ABFD \) は平行四辺形だから，\( AB=DF \)

【解答】

　Ⅰ　･･･ウ　共通な角だから，\( ∠DCB=∠ECF \)
　Ⅱ　･･･ \( CB=CF \)
　Ⅲ　･･･２組の辺とその間の角

大問４

１から６までの数が１つずつ書かれた６枚の赤色のカードと，７から１２までの数が１つずつ書かれた６枚の青色のカードがある。赤色のカードをよくきってから１枚引き，そのカードに書かれた数を \( a \) とする。同様に, 青色のカードをよくきってから１枚引き，そのカードに書かれた数を \( b \) とする。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。
ただし，赤色と青色のカードそれぞれにおいて，どのカードが引かれることも同様に確からしいとする。

（１） \( a+b \) が３の倍数となる確率として正しいものを，次のア～オの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

　　　　ア　\( \dfrac{1}{2} \)　　　　イ　\( \dfrac{1}{3} \)　　　　ウ　\( \dfrac{1}{4} \)　　　　エ　\( \dfrac{1}{6} \)　　　　オ　\( \dfrac{1}{12} \)

【解答】

イ　\( \dfrac{1}{3} \)

【解説】

赤色と青色のカードに書かれた数の組み合わせと，
その和を表に書き出し，和が３の倍数となるところに ○ をつけてみます。

和が３の倍数になる組み合わせは \( 12 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3} \)

（２）右の図のように，円周を１２等分する点があり，時計回りにそれぞれ１から１２までの番号をつけ，\( a，b \) と同じ番号の点にそれぞれコマを置く。例えば，\( a=3，b=7 \) のとき，円周上の番号３，番号７の２つの点にそれぞれコマを置く。

①　コマを置いた２つの点が，この円の直径の両端となる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{1}{6} \)

【解説】

この円周は１２等分されているので，２つの点が直径の両端となるとき，
２つの点は，１２等分された弧６個分離れていることになります。

\( 1≦a≦6，7≦b≦12 \) なので，
２つの点がこの円の直径の両端となるのは，
\( (a，b)=(1，7)，(2，8)，(3，9)， \)
　　　　 \( (4，10)，(5，11)，(6，12) \)
の \( 6 \) 通りです。
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6} \)

➁　番号１の点とコマを置いた２つの点が，直角三角形の３つの頂点となる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{5}{18} \)

【解説】

３点は同一円周上の点なので，直角三角形ができるのは，
円周角の定理より，３辺のうち１辺が直径になるときなので，
３辺について，１辺ずつ直径になるような \( a，b \) の組み合わせを考えていきます。

三角形ができるとき，番号１の点は固定であることから，
\( a \) に対応するコマは番号２～６の点のどこか，
\( b \) に対応するコマは番号７～１２の点のどこかにあります。
（\( a=1 \) のときは，直線になるのであてはまりません）

\( a \) に対応する点を \( A \)，\( b \) に対応する点を \( B \)，番号１の点を \( C \)
として，直角三角形ができる条件を順番に探していきます。

【 \( BC \) が直径になるとき】
番号１の点は固定であることから，
\( BC \) が直径になるのは，\( B \) が番号７の点になるときです。
このとき，\( ∠CAB \) は直径 \( BC \) に対する円周角になるので，
\( A \) は，番号２～６のどこにあってもいいことになります。

よって，直角三角形ができる組み合わせは，
\( (a，b)=(2，7)，(3，7)，(4，7)，(5，7)，(6，7) \)
の \( 5 \) 通りです。

（例）\( a=5 \) の場合

【 \( AC \) が直径になるとき】
\( A \) は，番号２～６のどこかにしかとれないので，\( AC \) が直径になることはありません。

【 \( AB \) が直径になるとき】
問 ➀ より，\( AB \) が直径になる組み合わせは
\( (a，b)=(2，8)，(3，9)，(4，10)，(5，11)，(6，12) \)
の \( 5 \) 通りです。
このとき，\( ∠ACB \) は直径 \( AB \) に対する円周角になるので，必ず直角三角形になります。

（例）\( (a，b)=(3，9) \) の場合

以上より，直角三角形ができる組み合わせは，合計 \( 10 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18} \)

大問５

ひよりさんとふみさんは,数学の授業で関数について学んでいる。右の図１のような縦 \( 20 \; cm \)，横 \( 30 \; cm \)，高さ \( 25 \; cm \) の直方体の形をした水そうを使って，次の実験Ⅰ，実験Ⅱ，実験Ⅲを行い，水を入れるときや抜くときの底面から水面までの高さの変化のようすについて調べている。
ただし，給水口を開けると，一定の割合で水を入れることができ，排水口を開けると，水そうの水がなくなるまで一定の割合で水を抜くことができるものとする。また，水そうの底面と水面はつねに平行になっており，水そうの厚さは考えないものとする。

実験Ⅰ　空の水そう（図１）に一定の割合で水を入れる。
実験Ⅱ　空の水そう（図１）に直方体のおもりを入れ，一定の割合で水を入れる。
実験Ⅲ　実験Ⅱで満水の状態になった水そうから一定の割合で水を抜く。

このとき，ひよりさんとふみさんの次の会話を読んで，（１），（２）の問いに答えなさい。

ひより：まずは実験Ⅰだね。
　ふみ：そうだね。空の水そう（図１）の排水口を閉じておいたよ。
ひより：うん。給水口を開けると，毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ一定の割合で水が入るよ。
　ふみ：わかった。給水口を開けるね。
ひより：いま，\( 60 \) 秒たったけど，水そうの底面から水面までの高さは何 \( cm \) になったかな。

（１） 実験Ⅰについて，空の水そうに水を入れ始めてから \( 60 \) 秒後の水そうの底面から水面までの高さを求めなさい。

【解答】

\( 10 \; cm \)

【解説】

\( 60 \) 秒間に水そうに入った水の量は \( 100 \times 60=6000 \; (cm^3) \) で，
水そうの底面積は \( 20 \times 30=600 \; (cm^2) \) なので，
水面の高さは，\( \dfrac{6000}{600}=10 \; (cm) \)

ひより：次は実験Ⅱだね。
　ふみ：空の水そうに縦 \( 20 \; cm \)，横 \( 20 \; cm \)，
　　　　高さ \( 15 \; cm \) の直方体のおもりを
　　　　入れて（図２），排水口を閉じておいたよ。
ひより：うん。給水口を開けると、毎秒 \( 100 \; cm^3 \)
　　　　ずつ一定の割合で水が入るよ。
　ふみ：わかった。給水口を開けるね。
ひより：どんどん水が入っていくね。
　ふみ：満水になったから，給水口を閉じるよ。

（２） ①　実験Ⅱについて，水を入れ始めてから \( x \) 秒後の水そうの底面から水面までの高さを \( y \; cm \) として，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかいたとき，満水になるまでのグラフとして正しいものを，次のア～エの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。
ただし，入れるおもりと水そうの３つの側面と底面との間にすき間はないものとする。

【解答】

イ

【解説】

水面がおもりの高さより低いときと高いときの水が入る部分の底面積について，
縦の長さは等しく，横の長さが \( 10 \; cm \) と \( 30 \; cm \) で３倍になっているので，
水面がおもりの高さより高いときの水面が上がる速さは，
おもりの高さより低いときの \( \dfrac{1}{3} \) の速さになります。

グラフにおいて，水面が上がる速さは，直線の傾きとして表れるので，
後半部分の傾きは前半部分の傾きの \( \dfrac{1}{3} \) になります。
これにあてはまるグラフはイになります。

　ふみ：最後に実験Ⅲだね。
ひより：排水口を開けると，毎秒 \( 150 \; cm^3 \) ずつ一定の割合で水が抜けるよ。
　ふみ：うん。排水口を開けるね。
ひより：どんどん水が抜けていって，やっと水そうが空になったよ。今度は，水を抜き始めてから \( x \) 秒後の
　　　　水そうの底面から水面までの高さを \( y \; cm \) として，\( x \) と \( y \) の関係を表すグラフをかいてみよう。
　ふみ：そうだね。実験Ⅱの結果のグラフをかいた図に実験Ⅲの結果のグラフをかき入れてみるね。
ひより：あっ、交わっている点があるよ。計算して，交点の座標を求めてみよう。

②　実験Ⅱの結果のグラフをかいた図に実験Ⅲの結果のグラフをかき入れたとき，２つのグラフの交点の座標を求めなさい。

【解答】

\( (x，y)=(36，16) \)

【解説】

実験Ⅱでは毎秒 \( 100 \; cm^3 \) ずつ水を入れ，
実験Ⅲでは毎秒 \( 150 \; cm^3 \) ずつ水を抜いたので，
\( \dfrac{3}{2} \) 倍の速さで水を抜いたことになり，
水を抜くのにかかる時間は \( \dfrac{2}{3} \) 倍になります。
（詳細は別途解説あります）

ここから，実験Ⅲの結果を表す直線をかき入れたものが右の図になります。

このグラフにおいて交わっている部分
実験Ⅱを表す直線の \( 30≦x≦90 \) の部分の式は
　\( y=\dfrac{1}{6}x+10 \)
実験Ⅲを表す直線の \( 0≦x≦40 \) の部分の式は
　\( y=-\dfrac{1}{4}x+25 \)
になります。

交点の座標は，２つの方程式を連立方程式として
解いた解として表れるので，
　　　\( \dfrac{1}{6}x+10=-\dfrac{1}{4}x+25 \)
　\( 2x+12 \times 10=-3x+12 \times 25 \)
　　　　　　 \( 5x=12(25-10) \)
　　　　　　　\( x=36 \)
\( y=\dfrac{1}{6}x+10 \) に代入すると，
　\( y=\dfrac{1}{6} \times 36+10=16 \)

水を抜くのにかかる時間が２／３倍になる理由

毎秒 \( a \; cm^3 \) ずつ \( b \) 秒間水を入れたとき，入った水の量は \( ab \; cm^3 \) になります。
ここから，毎秒 \( \dfrac{3}{2}a \; cm^3 \) ずつ水を抜くのにかかる時間は，
　\( ab \div \dfrac{3}{2}a=\dfrac{2}{3}b \)（秒）
なので，\( \dfrac{2}{3} \) 倍の時間がかかることになります。

大問６

右の図１のように，\( DE=DF=3 \; cm，EF=2 \; cm \) の三角形を底面とし，高さが \( 4 \; cm \) の三角 \( ABCDEF \) がある。
このとき，次の（１），（２）の問いに答えなさい。

三角柱 \( ABCDEF \) で，辺を直線とみるとき，次の①～③のうち直線 \( AB \) とねじれの位置にある直線には ○ を，そうでない直線には × をつけるものとする。

　　　➀ 直線 \( BC \) 　　② 直線 \( CF \) 　　③ 直線 \( DE \)

このとき，○×の組み合わせとして正しいものを，次のア～カの中から１つ選んで，その記号を書きなさい。

【解答】

オ

【解説】

ねじれの位置にある直線とは，どこまで行っても交わらない直線
のうち，平行ではないものをいいます。

直線 \( AB \) と直線 \( BC \) は点 \( B \) で交わるので，
ねじれの位置ではありません。

直線 \( AB \) と直線 \( DE \) は平行なので，
ねじれの位置ではありません。

（２） ①　三角柱 \( ABCDEF \) の表面積を求めなさい。

【解答】

\( (32+4\sqrt{2}) \; cm^2 \)

【解説】

三角柱 \( ABCDEF \) を展開すると右の図のようになります。
側面となる３つの面をくっつけた長方形の面積は
　\( 4 \times (3+2+3)=32 \; (cm^2) \)

\( △DEF \) の底辺を \( EF \) とすると，
高さは，三平方の定理より
　\( \sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2} \; cm \)
なので，面積は，
　\( 2 \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2}=2\sqrt{2} \; (cm^2) \)

\( △ABC≡△DEF \) なので，表面積は，
　\( 32+2\sqrt{2} \times 2=32+4\sqrt{2} \; (cm^2) \)

➁　右の図２のように，辺 \( BC \) の中点を \( P \) とし，辺 \( AD \) 上に \( AQ：QD=3：1 \) となる点 \( Q \) をとる。また，線分 \( DP \) 上に \( ∠QRD=90° \) となる点 \( R \) をとる。
このとき，三角すい \( RPEF \) の体積を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{20\sqrt{2}}{9} \; cm^3 \)

【解説】

三角すい \( RPEF \) について，\( △PEF \) を底面と考えると，
点 \( R \) から \( △PEF \) にひいた垂線が高さになるので，
これを求めれば，体積を求めることができます。

辺 \( EF \) の中点を \( S \) とし，面 \( ADSP \) に注目すると，右の図のようになります。

\( AD//PS \) なので，錯角は等しく，
　\( ∠DPS=∠QDR \)
また，\( ∠DSP=∠QRD \) でもあるので，
　\( △DPS \) ∽ \( △QDR \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( PD：DQ=PS：DR \)

\( △DPS \) において，三平方の定理より，
　\( PD^2=4^2+(2\sqrt{2})^2=24 \)
　 \( PD=2\sqrt{6} \; (cm) \) ( \( DP>0 \) より)
また，\( AD=4 \; cm，AQ：QD=3：1 \) より
\( QD=1 \; cm \) なので，
　\( PD：DQ=PS：DR \)
　　\( 2\sqrt{6}：1=4：DR \)
　　\( 2\sqrt{6}DR=4 \)
　　　　\( DR=\dfrac{\sqrt{6}}{3} \; (cm) \)

点 \( R \) から線分 \( PS \) に垂線をひき，
交点を点 \( T \) とすると，\( RT//DS \) となるので，
　\( △RPT \) ∽ \( △DPS \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( PR：PD=RT：DS \)

\( PD=2\sqrt{6} \; cm，DR=\dfrac{\sqrt{6}}{3} \; cm \) より
\( PR=2\sqrt{6}-\dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{5\sqrt{6}}{3} \; (cm) \) なので，
　　\( PR：PD=RT：DS \)
　\( \dfrac{5\sqrt{6}}{3}：2\sqrt{6}=RT：2\sqrt{2} \)
　　　　 \( 5：6=RT：2\sqrt{2} \)
　　　　　\( RT=\dfrac{5\sqrt{2}}{3} \; (cm) \)

線分 \( PS \) は面 \( PEF \) 上にあるので，線分 \( RT \) は三角すい \( RPEF \) の高さになります。
よって，三角すい \( RPEF \) の体積は，
　\( \left( 2 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{5\sqrt{2}}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{20\sqrt{2}}{9} \; (cm^3) \)

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群馬県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Mon, 02 Dec 2024 13:00:25 +0000

大問１

（１）次の➀～➂の計算をしなさい。

➀　\( 7+(-2) \)

【解答】

\( 5 \)

【解説】

\( =7-2 \)
\( =5 \)

➁　\( (3x+7)-(x-1) \)

【解答】

\( 2x+8 \)

【解説】

\( =3x+7-x+1 \)
\( =2x+8 \)

➂　\( (3a^2b-2ab) \div ab \)

【解答】

\( 3a-2 \)

【解説】

\( =\dfrac{3a^2b}{ab}-\dfrac{2ab}{ab} \)
\( =3a-2 \)

（２） \( x^2-5x-24 \) を因数分解しなさい。

【解答】

\( (x+3)(x-8) \)

（３）平方根について述べた次のア～エのうち，正しく述べているものをすべて選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　 \( \sqrt{0.001}=0.1 \) である。
　　　　イ　 \( \sqrt{10} \) を２乗すると，\( 10 \) になる。
　　　　ウ　 \( 3 \) の平方根は，\( 9 \) と \( -9 \) である。
　　　　エ　 \( 3\sqrt{11} \) は，\( 10 \) よりも値が小さい。

【解答】

イ，エ

【解説】

ア･･･ \( 0.1=\dfrac{1}{10}=\sqrt{\dfrac{1}{100}} \)，\( \sqrt{0.001}=\sqrt{\dfrac{1}{1000}} \)
　　　なので，正しくありません。

イ･･･ \( \sqrt{10} \) は，２乗すると \( 10 \) になる数を表しているので，正しい。

ウ･･･ \( 3 \) の平方根は，２乗すると \( 3 \) になる数のことであり，\( 9 \) は \( 3 \) を２乗した数
　　　なので，正しくありません。

エ･･･ \( 3\sqrt{11}=\sqrt{3^2 \times 11}=\sqrt{99} \)，\( 10=\sqrt{100} \)
　　　なので，正しい。

（４）右の図の立体は，底面の半径が \( 5 \; cm \)，高さが \( 6 \; cm \) の円柱である。この円柱の表面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

\( 110\pi{} \; cm^2 \)

【解説】

この円柱を展開すると右の図のようになります。
側面の長方形の横の長さは底面の円周の長さと
等しくなるので，
　\( 2\pi{} \times 5=10\pi{} \; (cm) \)
であり，
　底面の円の面積 \( =\pi{} \times 5^2=25\pi{} \; (cm^2) \)
　側面の長方形の面積 \( =6 \times 10\pi{}=60\pi{} \; (cm^2) \)

よって，この円柱の表面積は，
　\( 25\pi{} \times 2+60\pi{}=110\pi{} \; (cm^2) \)

（５）２次方程式 \( x^2+5x+5=0 \) を解きなさい。

【解答】

\( x=\dfrac{-5±3\sqrt{5}}{2} \)

【解説】

この方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) とすると，\( a=1，b=5，c=5 \) なので，
解の公式 \( x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) より，
　\( x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4 \times 1 \times 5}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{-5±\sqrt{5}}{2} \)

（６）右の図の三角形 \( ABC \) は，\( CA=CB \) の二等辺三角形である。\( ∠ABC=64° \) のとき，\( ∠ACB \) の大きさを求めなさい。

【解答】

\( ∠ACB=52° \)

【解説】

二等辺三角形は底角が等しいので，\( ∠BAC=∠ABC=64° \) であり，
　\( ∠ACB=180°-64° \times 2=52° \)

（７）右の図の三角形 \( ABC \) は，\( ∠ACB=90° \) の直角三角形である。 \( AB=41 \; cm，BC=40 \; cm \) のとき，\( AC \) の長さを求めなさい。

【解答】

\( AC=9 \; cm \)

【解説】

三平方の定理より，
　\( AC^2=41^2-40^2 \)
　　　　\( =(41+40)(41-40) \)
　　　　\( =81 \)
　 \( AC=9 \; (cm) \) (\( AC>0 \) より)

（８）大きさの異なる２つのさいころを同時に投げて，大きいさいころの目が \( 3 \) 以下のときは２つのさいころの目の和をＸとし，大きいさいころの目が \( 4 \) 以上のときは２つのさいころの目の積をＸとする。このとき，Ｘが \( 5 \) の倍数となる確率を求めなさい。

【解答】

\( \dfrac{11}{36} \)

【解説】

大きいさいころと小さいさいころの出た目の数の組み合わせとそれぞれの組み合わせにおける
Ｘの値を表に書き出し，Ｘが \( 5 \) の倍数となるところに ○ をつけてみます。
Ｘが \( 5 \) の倍数となる組み合わせは \( 11 \) 通り，すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{11}{36} \)

（９）走行中の自動車がブレーキをかけたとき，ブレーキがきき始めてから自動車が完全に停止するまでに進んだ距離のことを制動距離という。一般に，秒速 \( x \; m \) で走っている自動車の制動距離を \( y \; m \) とすると，\( y \) は \( x \) の２乗に比例することが知られている。
この関係が成り立つ自動車Ａについて調べたところ，秒速 \( 10 \; m \) で走っているときの制動距離が \( 10 \; m \) であった。この自動車Ａが，秒速 \( 30 \; m \) で走っているときの制動距離を求めなさい。

【解答】

\( 90 \; m \)

【解説】

「\( y \) は \( x \) の２乗に比例する」を式で表すと，\( y=ax^2 \) となります。
この式において，\( x=10 \) のとき \( y=10 \) なので，
　\( 10=a \times 10^2 \)
　 \( a=\dfrac{1}{10} \)

よって，\( y=\dfrac{1}{10}x^2 \) に \( x=10 \) を代入すると，
　\( y=\dfrac{1}{10} \times 30^2=90 \; (m) \)

大問２

四角型，三角型，丸型，星型の４種類の積み木があり，積み木１個当たりの重さは，種類ごとにそれぞれ同じ重さであるとする。これらの積み木と分銅をてんびんに乗せて，積み木の重さを調べた。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）てんびんの左の皿に四角型の積み木１個を乗せ，右の皿に三角型の積み木２個と \( 50 \; g \) の分銅１個を乗せたところ，下の図のようにてんびんが傾いた。四角型の積み木１個の重さを \( a \; g \) ，三角型の積み木１個の重さを \( b \; g \) とするとき，このてんびんの様子から分かる，重さについての大小関係を不等式で表しなさい。

【解答】

\( a<2b+50 \)

【解説】

左の皿に乗せられている重さ･･･四角型の積み木１個（ \( a \; g \) ）
右の皿に乗せられている重さ･･･三角型の積み木２個（ \( 2b \; g \) ）＋分銅１個（ \( 50 \; g \) ）
で，右の皿の方が重いので，\( a<2b+50 \)

（２）てんびんの左の皿に丸型の積み木３個を乗せ，右の皿に星型の積み木２個を乗せたところ，てんびんがつり合った。また，左の皿に丸型の積み木２個と \( 20 \; g \) の分銅４個を乗せ，右の皿に星型の積み木３個を乗せたときもてんびんがつり合った。このとき，丸型の積み木１個の重さと，星型の積み木１個の重さを，それぞれ求めなさい。
ただし，答えを求める過程を書くこと。

【解答】

丸型の積み木１個の重さを \( x \; g \)，星型の積み木１個の重さを \( y \; g \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
3x=2y \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
2x+20 \times 4=3y \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀を整理すると，
　\( y=\dfrac{3}{2}x \) ･･･ ➀’
➁に代入すると，
　\( 2x+80=3 \times\dfrac{3}{2}x \)
　　　 \( \dfrac{5}{2}x=80 \)
　　　　 \( x=32 \)
➀’に代入すると，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times 32=48 \)

よって，
丸型の積み木１個の重さは \( 32 \; g \)
星型の積み木１個の重さを \( 48 \; g \)

大問３

隆和さんと亜衣さんは，数学の授業で，コンピュータを使いながら図形の性質について考えている。会話文を読んで，後の（１），（２）の問いに答えなさい。

　　先生：コンピュータを使うと，自分で描いた図形の面積を調べることができますよ。いろいろ試して
　　　　　みましょう。

隆和さん：２点 \( A，B \) と，直線 \( AB \) に平行な直線 \( l \)
　　　　　上の点 \( P \) の３点で作る三角形を調べた
　　　　　ら，【画面Ⅰ】のように，\( l \) 上で点 \( P \) を
　　　　　動かしても，三角形の面積が変わりません
　　　　　でした。

　　先生：いいところに目を付けましたね。他にも気付くことはないですか。

亜衣さん：私は \( l \) 上に点 \( P \) と点 \( Q \) の２点をとって
　　　　　みました。そして，\( PB \) と \( QA \) の交点を
　　　　　\( R \) とすると，【画面Ⅱ】のように，
　　　　　三角形 \( PAR \) と三角形 \( QBR \) の面積が
　　　　　同じになりました。

　　先生：では，コンピュータを使って見つけたことがらを，実際に証明して確かめてみましょう。

（１）【画面Ⅱ】に示された三角形 \( PAR \) と三角形 \( QBR \) の面積が等しいことを，次のように証明した。
　Ｘ　には当てはまる記号を，　Ｙ　には当てはまることばを入れなさい。また，【　　　　】に証明の続きを書き，この証明を完成させなさい。
なお，三角形の面積を表す際に，例えば,三角形 \( ABC \) の面積の大きさを \( △ABC \) と表したり，三角形 \( ABC \) と三角形 \( DEF \) の面積が等しいことを \( △ABC=△DEF \) と表したりしてよいものとする。

［証明］
三角形 \( PAB \) と三角形 \( QAB \) について，共通する
辺　Ｘ　を底辺と考えると，\( l//AB \) より　Ｙ　といえるので，２つの三角形の面積は等しい。
よって，\( △PAB=△QAB \) ･･･ ①
【　　　　　　　　　　　　　　　　】

【解答】

　Ｘ　･･･ \( AB \)
　Ｙ　･･･高さが等しい

証明の続き
\( △PAR=△PAB-△RAB \) ･･･ ➁
\( △QBR=△QAB-△RAB \) ･･･ ➂
➀➁➂より，
\( △PAR=△QBR \)

先生：今度は，角度について調べてみましょう。

亜衣さん：【画面Ⅲ】や【画面Ⅳ】のように，点 \( P \) を \( l \) 上で動かしてみると，点 \( P \) の位置によって，∠APB の大きさが変わることが分かりました。

隆和さん：点 \( P \) をいろいろ動かしてみましたが，∠APBの大きさが最も大きいのは，\( PA=PB \) のときのようです。この点 \( P \) は，コンパスと定規で実際に作図できそうですね。

亜衣さん：そうですね。直線 \( l \) 上には，この点 \( P \) 以外にも,コンパスと定規で作図できる点がありそうですね。

先生：\( PA=PB \) となる点 \( P \) をもとにして考えると，\( ∠ACB=\dfrac{1}{2}∠APB \) となるような直線 \( l \) 上の点 \( C \) も実際に作図できますよ。点 \( P \) や点 \( C \) をどうやって作図すればよいか，みんなで考えてみましょう。

（２）右の図は，２点 \( A，B \) と，直線 \( AB \) に平行な直線 \( l \) を示したものである。後の①，②の問いに答えなさい。

①　図に，\( PA=PB \) となる直線 \( l \) 上の点 \( P \) と，その点 \( P \) に対して \( ∠ACB=\dfrac{1}{2}∠APB \) となるような直線 \( l \) 上の点 \( C \) を，コンパスと定規を用いて作図しなさい。
ただし，条件を満たす点 \( C \) が２つ以上ある場合はそのすべての点を作図し，作図したすべての点を \( C \) と表すこと。また，作図に用いた線は消さないこと。

【解答】

手順１　２点 \( A，B \) を中心に，円弧を描く。
（交点を \( X，Y \) とします。）
手順２　２点 \( X，Y \) を通る直線を描く。

直線 \( XY \) と直線 \( l \) との交点が点 \( P \) になります。

手順３　点 \( P \) を中心に，半径 \( PA \) とする円弧を描く。

この円弧と直線 \( l \) との交点（２つ）が点 \( C \) になります。

【解説】

【点 \( P \) の場所】
\( PA=PB \) となる点 \( P \) をとると，\( △PAB \) は二等辺三角形になるので，
線分 \( AB \) の垂直二等分線と直線 \( l \) との交点が点 \( P \) になります。

【点 \( C \) の場所】
➁の回答を参照

②　①のような作図によって点 \( C \) をとったことで，なぜ \( ∠ACB=\dfrac{1}{2}∠APB \) であるといえるのか，その理由を説明しなさい。

【解答】

\( PA=PB \) より，点 \( P \) を中心とし，３点 \( A，B，C \) を通る円を考えると，
\( ∠ACB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角，\( ∠APB \) は \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する中心角になっているため。

大問４

沙知さんは，昨年の夏，自分が住んでいる群馬県桐生市が記録的な暑さだったことから，桐生市のほか，昨年８月に40.0℃ を記録した石川県小松市と，１年中温暖なことで知られる宮崎県宮崎市の３つの市について，令和５年８月の日ごとの最高気温をそれぞれ３１日分調べて比較することにした。次の図は，これらのデータを箱ひげ図にまとめたものである。後の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）沙知さんがまとめた箱ひげ図をもとに，次のア～ウを，値の小さい順に左から並べて書きなさい。
　　　　ア　桐生市のデータの第３四分位数
　　　　イ　小松市のデータの第１四分位数
　　　　ウ　宮崎市のデータの最大値

【解答】

イ，ウ，ア

【解説】

（２）沙知さんは，３つの市のデータの分布の様子を詳しく比較するため，箱ひげ図に加えてヒストグラムも作成することにした。次のア～ウは，令和５年８月の桐生市，小松市，宮崎市の最高気温のデータをもとに，階級の幅を \( 1.0 ^\circ C \) として作成したヒストグラムである。桐生市に当たるものをア〜ウから選び，記号で答えなさい。

【解答】

イ

【解説】

箱ひげ図から，桐生市の
最小値は，\( 29.0 ^\circ C \) 以上 \( 30.0 ^\circ C \) 未満の階級に，
最大値は，\( 39.0 ^\circ C \) 以上 \( 40.0 ^\circ C \) 未満の階級に
あるので，あてはまるヒストグラムは「イ」になります。

（３）次のア～エは，沙知さんが，桐生市，小松市，宮崎市のデータの箱ひげ図を比較して述べたものである。ア～エのうち，正しく述べているものをすべて選び，記号で答えなさい。
　　　　ア　３つの市のうち，データの範囲が最も大きいのは,桐生市であることが分かる。
　　　　イ　３つの市のうち，箱ひげ図の箱の部分が最も右側に位置しているのは桐生市であるため，
　　　　　　桐生市のデータの四分位範囲が最も大きいことが分かる。
　　　　ウ　桐生市と小松市について，箱ひげ図のひげの部分の長さや位置を比較することで，桐生市
　　　　　　よりも小松市の方が，最高気温が \( 36.0 ^\circ C \) 以上の日が多かったことが分かる。
　　　　エ　宮崎市のデータの最大値よりも桐生市のデータの中央値の方が値が大きいため，桐生市の
　　　　　　最高気温が宮崎市の最高気温よりも高かった日が，３１日のうち１６日以上あったことが
　　　　　　分かる。

【解答】

ア，エ

【解説】

ア･･･各市のおよその範囲は，
　　　　桐生市 \( 39.0-29.9=9.1 \; ( ^\circ C) \)
　　　　小松市 \( 40.0-32.3=7.7 \; ( ^\circ C) \)
　　　　宮崎市 \( 35.5-28.0=7.5 \; ( ^\circ C) \)
　　　なので，範囲が最も大きいのは,桐生市になります。 → 正しい

イ･･･四分位範囲は，「第三四分位数 \( – \) 第一四分位数」で求めることができます。
　　　箱の位置が右にあるか左にあるかは関係ないので，正しくありません。
　　　ちなみに，四分位範囲が最も大きいのは，小松市になります。

ウ･･･桐生市は，中央値が \( 36.0 ^\circ C \) 以上なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日が１６日以上あったとわかります。
　　　小松市は，第三四分位数が \( 36.0 ^\circ C \) 未満なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日は７日以下とわかります。
　　　つまり，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日は，桐生市の方が多かったことになるので，正しくありません。

エ･･･宮崎市の最大値は \( 36.0 ^\circ C \) 未満なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日は１日もなかったとわかります。
　　　桐生市は，中央値が \( 36.0 ^\circ C \) 以上なので，\( 36.0 ^\circ C \) 以上の日が１６日以上あったとわかります。
　　　つまり，桐生市の最高気温が宮崎市よりも高かった日は，１６日以上あったことになります。→正しい

大問５

図Ⅰのように，山の麓のある地点にいる人が，別の麓にある目的地まで歩いて移動する場合，山の麓に沿って歩くよりも，山頂の方に少し登ってから目的地を目指して歩いた方が，早くたどり着けることがあるという。
この話を聞いた真一さんは，このことを調べるために，図Ⅱのような四角すいを用いたモデルで考えることにした。この四角すいは，底面が一辺 \( 4000 \; m \) の正方形 \( ABCD \) であり \( OA=OB=OC=OD=3000 \; m \) とする。図Ⅱのように，山の麓に沿って目的地を目指す場合は，\( A→B→C \) という経路で歩くこととし，山頂の方に少し登ってから目的地を目指す場合は，辺 \( OA \)，辺 \( OB \)，辺 \( OC \) 上に，\( OP=OQ=OR \) となる点 \( P \)，点 \( Q \)，点 \( R \) をそれぞれとり，\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩くこととする。次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１）次の①～③の問いに答えなさい。

①　\( A→P→Q→R→C \) という経路で目的地を目指す場合，最初に登る距離 \( AP \) を \( 1500 \; m \) としたときに歩く距離の合計は何 \( m \) となるか，求めなさい。

【解答】

\( 7000 \; m \)

【解説】

図Ⅱの四角すいにおいて，面 \( OAB \) に注目すると，
\( OA=OB，OP=OQ，∠O \) は共通
なので，
　\( △OPQ \) ∽ \( △OAB \)
\( OA=3000 \; m，AP=1500 \; m \) より，
\( OP=1500 \; m \) なので，
相似比は \( OQ：OA=1500：3000=1：2 \)
対応する辺の比は等しいので，
　 \( PQ：AB=1：2 \)
　\( PQ：4000=1：2 \)
　　　　 \( PQ=2000 \; (m) \)

面 \( OBC \) に注目すると，
\( OA=OB=OC，AB=BC \) より，\( △OAB≡△OBC \)
面 \( OAB \) のときと同様の考え方から
\( △OQR \) ∽ \( △OBC \) で，相似比は \( 1：2 \) なので，
　\( QR=2000 \; (m) \)
また，\( OC=3000 \; m，OR=OP=1500 \; m \) より，\( RC=1500 \; m \)

以上より，
　\( AP+PQ+QR+RC=1500+2000+2000+1500 \)
　　　　　　　　　　　　　 \( =7000 \; (m) \)

➁　最初に登る距離 \( AP \) を \( x \; m \)，\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩く距離の合計を \( y \; m \) とする。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。
ただし，\( 0

【解答】

\( y=-\dfrac{2}{3}x+8000 \)

【解説】

\( AP=x \; m \) とすると，
\( OP=3000-x \; m \) と表せるので，
このとき，\( PQ \) の長さは，
次のように表すことができます。
　 \( PQ：AB=OP：OA \)
　\( PQ：4000=(3000-x)：3000 \)
　　　　 \( PQ=\dfrac{4}{3}(3000-x) \)
　　　　　　 \( =-\dfrac{4}{3}x+4000 \; (m) \)

➀より，\( PQ=QR，AP=RC \) なので，
　\( y=AP+PQ+QR+RC \)
　　\( =2(AP+PQ) \)
　　\( =2\left\{ x+\left( -\dfrac{4}{3}x+4000 \right) \right\} \)
　　\( =2\left( -\dfrac{1}{3}x+4000 \right) \)
　　\( =-\dfrac{2}{3}x+8000 \)

③　\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩く距離の合計が，\( A→B→C \) という経路で歩く距離の合計の \( 90 \% \) となるようにするには，最初に登る距離 \( AP \) を何 \( m \) にすればよいか，求めなさい。

【解答】

\( 1200 \; m \)

【解説】

\( A→B→C \) という経路で歩く場合の歩く距離は
　\( AB+BC=4000+4000=8000 \; (m) \)
なので，
問➁の式から，
　\( 8000 \times \dfrac{90}{100}=-\dfrac{2}{3}x+8000 \)
　　　　　 \( \dfrac{2}{3}x=800 \)
　　　　　　 \( x=1200 \; (m) \)

（２）真一さんは，山を登るときや下るときに歩く速さが変わることを考慮して，このモデルについて考え直すことにした。
\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩いて目的地を目指す場合，山を登る \( AP \) の区間では，\( A→B→C \) という経路で歩くときの \( 0.6 \) 倍の速さになり，\( P→Q→R \) の区間では，\( A→B→C \) という経路で歩くときと同じ速さに，また，山を下る \( R→C \) の区間では，\( A→B→C \) という経路で歩くときの \( 1.5 \) 倍の速さになると仮定する。
このとき，\( A→P→Q→R→C \) という経路で歩く場合の移動時間が，\( A→B→C \) という経路で歩く場合の移動時間の \( 90 \% \) となるようにするには，最初に登る距離 \( AP \) を何 \( m \) にすればよいか，求めなさい。
ただし，\( A→B→C \) という経路で歩くときの速さは，一定であるとする。

【解答】

\( 2400 \; m \)

【解説】

\( A→B→C \) という経路で歩くときの速さを毎分 \( a \; m \) とすると，

\( A→B→C \) という経路で歩くのにかかる時間は \( \dfrac{8000}{a} \)（分）

\( AP \) の区間を歩くのにかかる時間は \( \dfrac{x}{0.6a}=\dfrac{5x}{3a} \)（分）
\( PQ，QR \) の区間を歩くのにかかる時間は，それぞれ \( \dfrac{-\dfrac{4}{3}x+4000}{a} \)（分）
\( RC \) の区間を歩くのにかかる時間は \( \dfrac{x}{1.5a}=\dfrac{2x}{3a} \)（分）

これらの関係を方程式に表すと，
　\( \dfrac{8000}{a} \times \dfrac{90}{100}=\dfrac{5x}{3a}+2 \times \dfrac{-\dfrac{4}{3}x+4000}{a}+\dfrac{2x}{3a} \)
　　　　 \( \dfrac{7200}{a}=\dfrac{7x}{3a}+\dfrac{-\dfrac{8}{3}x+8000}{a} \)
　　　　　\( 7200=\dfrac{7}{3}x+\left( -\dfrac{8}{3}x+8000 \right) \)
　　　　　\( 7200=-\dfrac{1}{3}x+8000 \)
　　　　　　\( \dfrac{1}{3}x=800 \)
　　　　　　　\( x=2400 \; (m) \)

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東京都公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説

ハラユタカ — Thu, 04 Jul 2024 13:00:28 +0000

大問１

〔問１〕 \( -8+6^2 \div 9 \) を計算せよ。

【解答】

\( -4 \)

【解説】

\( =-8+36 \div 9 \)
\( =-8+4 \)
\( =-4 \)

〔問２〕 \( \dfrac{7a+b}{5}-\dfrac{4a-b}{3} \) を計算せよ。

【解答】

\( \dfrac{a+8b}{15} \)

【解説】

\( =\dfrac{3(7a+b)-5(4a-b)}{15} \)
\( =\dfrac{21a+3b-20a+5b}{15} \)
\( =\dfrac{a+8b}{15} \)

〔問３〕 \( (\sqrt{6}-1) (2\sqrt{6}+9) \) を計算せよ。

【解答】

\( 3+7\sqrt{6} \)

【解説】

\( =12+9\sqrt{6}-2\sqrt{6}-9 \)
\( =3+7\sqrt{6} \)

〔問４〕一次方程式 \( 4(x+8)=7x+5 \) を解け。

【解答】

\( x=9 \)

【解説】

\( 4x+32=7x+5 \)
　　 \( 3x=27 \)
　　　\( x=9 \)

〔問５〕連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=1 \\
8x+9y=7 \\
\end{array} \right. \) を解け。

【解答】

\( x=2，y=-1 \)

【解説】

\( \left\{ \begin{array}{}
2x+3y=1 \;\; ･･･ \;\;➀ \\
8x+9y=7 \;\; ･･･ \;\;➁ \\
\end{array} \right. \)
➁ \( – \) ➀ \( \times 3 \)
　\( 2x=4 \)
　 \( x=2 \)
➀ に代入すると，
　\( 2 \times 2+3y=1 \)
　　　　　\( 3y=-3 \)
　　　　　 \( y=-1 \)

〔問６〕二次方程式 \( 2x^2-3x-6=0 \) を解け。

【解答】

\( x=\dfrac{3±\sqrt{57}}{4} \)

【解説】

この二次方程式を \( ax^2+bx+c=0 \) と考えると， \( a=2，b=-3，c=-6 \) なので，
解の公式より，
　\( x=\dfrac{-(-3)±\sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times (-6)}}{2 \times 2} \)
　　\( =\dfrac{3±\sqrt{9+48}}{4} \)
　　\( =\dfrac{3±\sqrt{57}}{4} \)

〔問７〕次の \( \fbox{あ}，\fbox{い} \) に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

袋の中に，赤玉が１個，白玉が１個，青玉が４個，合わせて６個の玉が入っている。
この袋の中から同時に２個の玉を取り出すとき，２個とも青玉である確率は， \( \dfrac{\;\;\fbox{あ}\;\;}{\;\;\fbox{い}\;\;} \) である。
ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

【解答】

\( \fbox{あ} \) ･･･ \( 2 \)
\( \fbox{い} \) ･･･ \( 5 \)

【解説】

袋の中の青玉に「青１，青２，青３，青４」と名前をつけ，取り出した玉の組み合わせを樹形図にして書き出し，
２個とも青玉である組み合わせのところに ○ をつけてみます。
このとき，２個とも青玉である組み合わせは６通り，すべての組み合わせは１５通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{6}{15}=\dfrac{2}{5} \)

〔問８〕次の \( \fbox{うえ} \) に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

右の図１で，点 \( O \) は，線分 \( AB \) を直径とする半円の中心である。
点 \( C \) は, 弧 \( AB \) 上にある点で，点 \( A \)，点 \( B \) のいずれにも一致しない。
点 \( D \) は, 弧 \( AC \) 上にある点で，点 \( A \)，点 \( C \) のいずれにも一致しない。
点 \( A \) と点 \( C \)，点 \( A \) と点 \( D \)，点 \( B \) と点 \( C \)，点 \( B \) と点 \( D \)，
点 \( C \) と点 \( D \) をそれぞれ結ぶ。
\( ∠BAC=20°，∠CBD=30° \) のとき，\( x \) で示した \( ∠ACD \) の大きさは，\( \fbox{うえ} \) 度である。

【解答】

\( \fbox{うえ} \) ･･･ \( 40 \)

【解説】

ともに弧 \( CD \) に対する円周角なので，
　\( ∠CAD=∠CBD=30° \)
直径に対する円周角なので，
　\( ∠ADB=90° \)
三角形の内角の和は \( 180° \) なので，
　\( ∠ABD=180°-(90°+50°)=40° \)
ともに弧 \( AD \) に対する円周角なので，
　\( ∠ACD=∠ABD=40° \)

〔問９〕右の図２で，円 \( O \) と直線 \( l \) は交わっていない。解答欄に示した図をもとにして，円 \( O \) の周上にあり，直線 \( l \) との距離が最も長くなる点 \( P \) を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，
点 \( P \) の位置を示す文字Pも書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

【解答】

手順１　点 \( O \) を中心に円弧を描く
　　　　(直線 \( l \) との交点を \( A，B \) とします)
手順２　点 \( A，B \) を中心に円弧を描く
　　　　(交点を \( C \) とします)
手順３　２点 \( O，C \) を通る直線を描く

手順３の直線と円 \( O \) の交点のうち，
直線 \( l \) から遠い方が求める点 \( P \) になります。

【解説】

直線 \( l \) を円 \( O \) に近づける方向に動かしていくと，
直線 \( l \) が円 \( O \) の接線になるときの接点 \( P’ \) で
初めて直線 \( l \) と円 \( O \) が接触します。

さらに直線 \( l \) を動かしていくと，
最後に直線 \( l \) と円 \( O \) が接触する点 \( P \) は，
直線 \( l \) が円 \( O \) の接線になるときの接点になります。

円の中心を通る直線と接線は，接点において垂直に交わるので，
「点 \( O \) を通り，直線 \( l \) と垂直な直線」と円 \( O \) の交点のうち，
直線 \( l \) から遠い方が求める点 \( P \) になります。

大問２

Ｓさんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。

【先生が示した問題】
\( a，b \) を正の数とし，\( a>b \) とする。
右の図１で，四角形 \( ABCD \) は，１辺の長さが \( a \; cm \) の正方形である。頂点 \( A \) と頂点 \( C \)，頂点 \( B \) と頂点 \( D \) をそれぞれ結び，線分 \( AC \) と線分 \( BD \) との交点を \( E \) とする。
線分 \( AE \) 上にあり，頂点 \( A \)，点 \( E \) のいずれにも一致しない点を \( F \) とする。
線分 \( BE \)，線分 \( CE \)，線分 \( DE \) 上にあり，\( EF=EG=EH=EI \) となる点をそれぞれ \( G，H，I \) とし，点 \( F \) と点 \( G \)，点 \( F \) と点 \( I \)，点 \( G \) と点 \( H \)，点 \( H \) と点 \( I \) をそれぞれ結ぶ。
線分 \( AF \)，線分 \( BG \)，線分 \( CH \)，線分 \( DI \) の中点をそれぞれ \( P，Q，R，S \) とし，点 \( P \) と点 \( Q \)，点 \( P \) と点 \( S \)，点 \( Q \) と点 \( R \)，点 \( R \) と点 \( S \) をそれぞれ結ぶ。
線分 \( FG \) の長さを \( b \; cm \)，四角形 \( PQRS \) の周の長さを \( l \; cm \) とするとき，\( l \) を \( a，b \) を用いた式で表しなさい。

〔問１〕【先生が示した問題】で，\( l \) の値を \( a，b \) を用いて \( l= \) 　　　 \( cm \) と
表すとき，　　　に当てはまる式を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

　　　　ア　 \( 2a+2b \) 　　　イ　 \( \dfrac{a+b}{2} \) 　　　ウ　 \( \dfrac{a-b}{2} \) 　　　エ　 \( 2a-2b \)

【解答】

ア　 \( 2a+2b \)

【解説】

正方形の２本の対角線は，それぞれの中点で垂直に交わるので，
\( △ABE \) は直角二等辺三角形になっています。
また，同様の考え方で，\( EF=EG=EH=EI \) より，四角形 \( FGHI \) は正方形であり，
\( △FGE \) は直角二等辺三角形になっています。

\( △ABE \) は直角二等辺三角形なので，
\( AB：AE=\sqrt{2}：1 \) であり，
　\( AE=\dfrac{AB}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}a}{2} \; (cm) \)

また，\( △FGE \) は直角二等辺三角形なので，
\( FG：FE=\sqrt{2}：1 \) であり，
　\( FE=\dfrac{FG}{\sqrt{2}}=\dfrac{b}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}b}{2} \; (cm) \)

点 \( P \) は線分 \( AF \) の中点なので，
　\( PF=\dfrac{AE-EF}{2}
\)
　　　\( =\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}a}{2}-\dfrac{\sqrt{2}b}{2}}{2} \)
　　　\( =\dfrac{\sqrt{2}(a-b)}{4} \; (cm) \)

\( AE=BE，EF=EG \) より，\( PF=QG \) なので，
\( PE=QE \) であり，\( △PQE \) も直角二等辺三角形になっています。

ここから，\( PQ：PE=\sqrt{2}：1 \) であり，
　\( PQ=\sqrt{2}PE \)
　　　\( =\sqrt{2}\left\{ \dfrac{\sqrt{2}(a-b)}{4}+\dfrac{\sqrt{2}b}{2} \right\} \)
　　　\( =\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}(a+b)}{4} \)
　　　\( =\dfrac{a+b}{2} \; (cm) \)

ここまでと同様の考え方から，\( PE=QE=RE=SE \) であり，四角形 \( PQRS \) も正方形なので，
　\( l=4PQ=4 \times \dfrac{a+b}{2}=2(a+b)=2a+2b \; (cm) \)

Ｓさんのグループは，【先生が示した問題】をもとにして，次の問題を考えた。

【Ｓさんのグループが作った問題】
\( a，b \) を正の数とし，\( a>b \) とする。
右の図２は，線分 \( OA \) 上にあり，点 \( O \)，点 \( A \) のいずれにも一致しない点を \( B \)，線分 \( AB \) の中点を \( M \) とし，線分 \( OA \)，線分 \( OB \)，線分 \( OM \) を，それぞれ点 \( O \) を中心に反時計回りに \( 90° \) 回転移動させてできた図形である。
図２において，線分 \( OA \) の長さを \( a \; cm \)，線分 \( OB \) の長さを \( b \; cm \)，線分 \( OM \) を半径とするおうぎ形の弧の長さを \( l \; cm \)，線分 \( OA \) を半径とするおうぎ形から，線分 \( OB \) を半径とするおうぎ形を除いた残りの図形の面積を \( S \; cm^2 \) とするとき，\( S=(a-b)l \) となることを確かめてみよう。

〔問２〕 [Ｓさんのグループが作った問題] で，\( l \) を \( a，b \) を用いた式で表し，\( S=(a-b)l \) となることを証明せよ。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

【解答】

線分 \( OA \) を半径とするおうぎ形の面積を \( S_1 \) とすると，\( S_1=\dfrac{\pi{}}{4}a^2 \; (cm^2) \)
線分 \( OB \) を半径とするおうぎ形の面積を \( S_1 \) とすると，\( S_2=\dfrac{\pi{}}{4}b^2 \; (cm^2) \)
と表せるので，
　\( S=S_1-S_2=\dfrac{\pi{}}{4}(a^2-b^2) \; (cm^2) \) ･･･ ➀

点 \( M \) は，線分 \( AB \) の中点なので，
　\( OM=OB+BM=b+\dfrac{a-b}{2}=\dfrac{a+b}{2} \; (cm) \)
このとき，線分 \( OM \) を半径とするおうぎ形の弧の長さは，
　\( l=\dfrac{1}{4} \times 2\pi{}OM=\dfrac{\pi{}}{4}(a+b) \; (cm) \)
と表せるので，
　\( (a-b)l=\dfrac{\pi{}}{4}(a-b)(a+b)=\dfrac{\pi{}}{4}(a^2-b^2) \; (cm^2) \) ･･･ ➁
➀➁より，\( S=(a-b)l \)

大問３

右の図１で，点 \( O \) は原点，点 \( A \) の座標は \( (3，-2) \) であり，直線 \( l \) は一次関数 \( y=\dfrac{1}{2}x+1 \) のグラフを表している。
直線 \( l \) と \( x \) 軸との交点を \( B \) とする。
直線 \( l \) 上にある点を \( P \) とし，２点 \( A，P \) を通る直線を \( m \) とする。
次の各問に答えよ。

〔問１〕点 \( P \) の \( y \) 座標が \( -1 \) のとき，点 \( P \) の \( x \) 座標を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

　　　ア　 \( -1 \) 　　　イ　 \( -\dfrac{5}{2} \) 　　　ウ　 \( -3 \) 　　　エ　 \( -4 \)

【解答】

エ　 \( -4 \)

【解説】

点 \( P \) は，直線 \( l \) 上の点なので，\( y=\dfrac{1}{2}x+1 \) に \( y=-1 \) を代入すると，
　\( -1=\dfrac{1}{2}x+1 \)
　\( -2=x+2 \)
　 \( x=-4 \)

〔問２〕次の \( \fbox{ ➀ } \) と \( \fbox{ ➁ } \) に当てはまる数を，下のア～エのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。

線分 \( BP \) が \( y \) 軸により二等分されるとき，直線 \( m \) の式は，
　\( y= \fbox{ ➀ } \; x+ \; \fbox{ ➁ } \)
である。

\( \fbox{ ➀ } \) 　ア　 \( -6 \) 　　　イ　 \( -4 \) 　　　ウ　 \( -3 \) 　　　エ　 \( -\dfrac{5}{2} \)
\( \fbox{ ➁ } \) 　ア　 \( 5 \) 　　　　イ　 \( \dfrac{11}{2} \)　　　ウ　 \( 7 \) 　　　　エ　 \( 10 \)

【解答】

\( \fbox{ ➀ } \) ･･･イ　 \( -4 \)
\( \fbox{ ➁ } \) ･･･エ　 \( 10 \)

【解説】

点 \( B \) は，直線 \( l \) 上の点で，\( x \) 軸との交点なので，
点 \( B \) の座標は \( B(-2，0) \) になります。

線分 \( BP \) が \( y \) 軸により二等分されるということは，
直線 \( l \) と \( y \) 軸の交点 \( (0，1) \) が
線分 \( BP \) の中点になるので，
点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
　\( \dfrac{-2+t}{2}=0 \)
　\( -2+t=0 \)
　　　\( t=2 \)

点 \( P \) の \( x \) 座標が \( 2 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 2+1=2 \)
なので，点 \( P \) の座標は \( P(2，2) \) となります。

直線 \( m \) は，\( P(2，2)，A(3，-2) \) を通るので，
　傾き \( \fbox{ ➀ } =\dfrac{-2-2}{3-2}=-4 \)
\( y=-4x+\fbox{ ➁ } \) に \( x=2，y=2 \) を代入すると，
　　 \( 2=-4 \times 2+\fbox{ ➁ } \)
　\( \fbox{ ➁ }=10 \)

〔問３〕右の図２は，図１において，点 \( P \) の\( x \) 座標が \( 0 \) より大きい数であるとき，\( y \) 軸を対称の軸として点 \( P \) と線対称な点を \( Q \) とし，点 \( A \) と点 \( B \)，点 \( B \) と点 \( Q \)，点 \( P \) と点 \( Q \) をそれぞれ結んだ場合を表している。
\( △BPQ \) の面積が \( △APB \) の面積の２倍であるとき，点 \( P \) の \( x \) 座標を求めよ。

【解答】

\( 9 \)

【解説】

点 \( A \) を通り，直線 \( l \) と平行な直線を \( n \)，
点 \( Q \) を通り，直線 \( l \) と平行な直線を \( p \)
とし，
直線 \( l \) と \( y \) 軸の交点を \( B’ \)，
直線 \( n \) と \( y \) 軸の交点を \( A’ \)，
直線 \( p \) と \( y \) 軸の交点を \( Q’ \)，
とすると，
等積変形になるので，
\( △BPQ=△BPQ’，△APB=△A’PB \)
になっています。

\( △BPQ=2△APB \) のとき，\( B’Q’=2A’B’ \) になります。

\( A’，B’ \) の座標は具体的にわかるので，\( A’B’ \) の長さもわかります。
そこから，\( B’Q’=2A’B’ \) となるような条件を求めていきます。

直線 \( n \) の式を \( y=\dfrac{1}{2}x+b \) とすると，
\( A(3，-2) \) を通るので，
　\( -2=\dfrac{1}{2} \times 3+b \)
　　\( b=-\dfrac{7}{2} \)
ここから，点 \( A’ \) の座標は \( A’ \left( 0，-\dfrac{7}{2} \right) \)

点 \( B’ \) は，直線 \( l \) と \( y \) 軸の交点なので，
点 \( B’ \) の座標は \( B’(0，1) \)

\( A’ \left( 0，-\dfrac{7}{2} \right)，B’(0，1) \) より，
　\( A’B’=1-\left( -\dfrac{7}{2} \right)=\dfrac{9}{2} \)

\( B’Q’=2A’B’ \) となるとき，\( B’Q’=9 \) より，
点 \( Q’ \) の \( y \) 座標の値は\( 10 \) になるので，
直線 \( p \) の式は \( y=\dfrac{1}{2}x+10 \) となります。

ここで，点 \( P \) の \( x \) 座標の値を \( t \) とすると，\( y \) 座標の値は，\( \dfrac{1}{2}t+1 \) と表すことができます。
また，点 \( Q \) は，\( y \) 軸を対称の軸として点 \( P \) と線対称な点なので，
点 \( Q \) の座標は，\( Q(-t，\dfrac{1}{2}t+1) \) と表すことができます。

直線 \( p \) は，\( Q(-t，\dfrac{1}{2}t+1) \) を通るので，
\( y=\dfrac{1}{2}x+10 \) に \( x=-t，y=\dfrac{1}{2}t+1 \) を代入すると，
　\( \dfrac{1}{2}t+1=\dfrac{1}{2} \times (-t)+10 \)
　\( \dfrac{1}{2}t+1=-\dfrac{1}{2}t+10 \)
　　　　\( t=9 \)

大問４

右の図１で，四角形 \( ABCD \) は，\( AD//BC，AB=DC \)，\( AD 点 \( P \) は，辺 \( AB \) 上にある点で，頂点 \( A \)，頂点 \( B \) のいずれにも
一致しない。
点 \( Q \) は，辺 \( BC \) 上にある点で，頂点 \( B \)，頂点 \( C \) のいずれにも
一致しない。
頂点 \( A \) と点 \( Q \)，頂点 \( D \) と点 \( P \) をそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

〔問１〕図１において，\( AQ//DC，∠AQC=110°，∠APD=a° \) とするとき，\( ∠ADP \) の大きさを表す式を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

　　　ア　 \( (140-a) \) 度　　　イ　 \( (110-a) \) 度　　　ウ　 \( (70-a) \) 度　　　エ　 \( (40-a) \) 度

【解答】

ウ　 \( (70-a) \) 度

【解説】

\( AD//BC，AQ//DC \) より，\( AQ=DC \) なので，\( AB=AQ=DC \) であり，
\( △ABQ \) は二等辺三角形になっています。
\( ∠AQB=180°-110°=70° \) なので，
　\( ∠ABQ=∠AQB=70° \)
線分 \( AD \) を \( A \) 側に延長し，点 \( R \) をとると，
\( AD//BC \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠RAB=∠ABQ=70° \)

\( ∠RAB \) は \( △APD \) の外角になっているので，
　\( ∠ADP+∠APD=70° \)
　　　　　　\( ∠ADP=70°-a \)

〔問２〕右の図２は，図１において，
頂点 \( A \) と頂点 \( C \)，頂点 \( D \) と点 \( Q \)，点 \( P \) と点 \( Q \) をそれぞれ結び，線分 \( AC \) と線分 \( DP \) との交点を \( R \)，線分 \( AC \) と線分 \( DQ \) との交点を \( S \) とし， \( AC//PQ \) の場合を表している。
次の➀，➁に答えよ。

➀　 \( △ASD \) ∽ \( △CSQ \) であることを証明せよ。

【解答】

\( AD//BC \) より，錯角は等しいので，
　\( ∠SAD=∠SCQ \) ･･･ ➀
　\( ∠SDA=∠SQC \) ･･･ ➁
➀➁より，２組の角がそれぞれ等しいので，
\( △ASD \) ∽ \( △CSQ \)

➁ 次の　　　の中の \( \fbox{お}，\fbox{かき} \) に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図２において，\( AP：PB=3：1，AD：QC=2：3 \) のとき，
\( △DRS \) の面積は，台形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{ \fbox{お} }{\fbox{かき}} \) 倍である。

【解答】

\( \fbox{お} \) ･･･ \( 1 \)
\( \fbox{かき} \) ･･･ \( 30 \)

【解説】

この問題では，長さが具体的に表されていないので，\( △BPQ \) の面積を「１」として，
\( △DRS \) と台形 \( ABCD \) の面積が\( △BPQ \) の何倍になるかを表すことで
\( △DRS \) と台形 \( ABCD \) の面積比を求めます。

【台形 \( ABCD \) の面積は\( △BPQ \) の何倍か？】

\( △BPQ \) と \( △BAC \) において，
\( △BPQ \) ∽ \( △BAC \)，\( AP：PB=3：1 \) より，
\( △BPQ：△BAC=1：16 \) なので，
\( △BAC \) の面積は「１６」と表すことができます。

\( △ACD \) と \( △BAC \) において，
\( BQ：QC=1：3 \) でもあるので，
\( AD：QC=2：3 \) より，\( AD：BC=2：4 \)
ここから，
\( △ACD：△BAC=2：4=8：16 \) なので，
\( △ACD \) の面積は「８」と表すことができます。

台形 \( ABCD \) は，
\( △BAC \) と \( △ACD \) をくっつけたものなので，
面積は「２４」と表すことができます。･･･（ア）

【\( △DRS \) の面積は\( △BPQ \) の何倍か？】

\( △BPQ \) と \( △APQ \) において，
\( AP：PB=3：1 \) より，
\( △BPQ：△APQ=1：3 \) なので，
\( △APQ \) の面積は「３」と表すことができます。

また，\( AC//PQ \) より，等積変形の考え方から
\( △APQ=△SPQ \) なので，
\( △SPQ \) の面積も「３」と表すことができます。

\( △SPQ \) と \( △SPD \) において，
\( △ASD \) ∽ \( △CSQ \)，\( AD：QC=2：3 \) より，
\( SQ：SD=3：2 \) であり，\( △SPQ：△SPD=3：2 \) なので，
\( △SPD \) の面積は「２」と表すことができます。

また，\( △DPQ \) は，
\( △SPQ \) と \( △SPD \) をくっつけたものなので，
面積は「５」と表すことができます。

\( △DRS \) と \( △DPQ \) において，
\( △DRS \) ∽ \( △DPQ \)，\( SQ：SD=3：2 \) より，
\( △DRS：△DPQ=4：25 \) なので，
\( △DRS \) の面積は「 \( \dfrac{4}{5} \) 」と表すことができます。･･･（イ）

（ア）（イ）より，\( △DRS \) と台形 \( ABCD \) の面積比は，
　\( △DRS： \) 台形 \( ABCD=\dfrac{4}{5}：24=1：30 \)
であり，
\( △DRS \) の面積は，台形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{1}{30} \) 倍になります。

大問５

右の図１に示した立体 \( A-BCD \) は，１辺の長さが \( 6 \; cm \) の正四面体である。
辺 \( AC \) の中点を \( M \) とする。
点 \( P \) は，頂点 \( A \) を出発し，辺 \( AB \)，辺 \( BC \) 上を毎秒 \( 1 \; cm \) の速さで動き，\( 12 \) 秒後に頂点 \( C \) に到着する。
点 \( Q \) は，点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発するのと同時に頂点 \( C \) を出発し，辺 \( CD \)，辺 \( DA \) 上を点 \( P \) と同じ速さで動き，\( 12 \) 秒後に頂点 \( A \) に到着する。
点 \( M \) と点 \( P \)，点 \( M \) と点 \( Q \) をそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

〔問１〕次の　　　の中の \( \fbox{く}，\fbox{け} \) に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図１において，点 \( P \) が辺 \( AB \) 上にあるとき， \( MP+MQ=l \; cm \) とする。
\( l \) の値が最も小さくなるのは，点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから \( \dfrac{\fbox{く}}{\fbox{け}} \) 秒後である。

【解答】

\( \fbox{く} \) ･･･ \( 3 \)
\( \fbox{け} \) ･･･ \( 2 \)

【解説】

面 \( ABC \) と面 \( ADC \) に注目し，展開すると右の図のようになります。
また，\( l \) の値が最も小さくなるのは，
線分 \( PQ \) が辺 \( AB，CD \) と垂直になるときです。
\( △ABC，△ADC \) は，ともに正三角形，
点 \( M \) は辺 \( AC \) の中点であることから，
\( △AMP，△CMQ \) は，斜辺が \( 3 \; cm \)で，\( 30°，60°，90° \) の直角三角形になります。

このとき，\( AP=CQ=\dfrac{3}{2} \; cm \) になります。

〔問２〕次の　　　の中の \( \fbox{こ}，\fbox{さ} \) に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

右の図２は，図１において，点 \( P \) が頂点 \( A \) を出発してから
\( 8 \) 秒後のとき，頂点 \( A \) と点 \( P \)，点 \( P \) と点 \( Q \) をそれぞれ
結んだ場合を表している。
立体 \( Q-APM \) の体積は，\( \fbox{こ}\sqrt{\fbox{さ}} \; cm^3 \) である。

【解答】

\( \fbox{こ} \) ･･･ \( 4 \)
\( \fbox{さ} \) ･･･ \( 2 \)

【解説】

図２の状態のとき，立体 \( A-BCD \) を面 \( ABC \) が底面になるように置き換えると，右の図のようになります。

また，右の図において，点 \( D，Q \) から面 \( ABC \) に垂線をひいたときの交点をそれぞれ点 \( R，S \) とします。

このとき，立体 \( Q-APM \) は，
底面が \( △AMP \)，高さ \( QS \) の三角すいになっています。

点 \( Q \) は辺 \( AD \) 上の点なので，
辺 \( AD \) を通り，面 \( ABC \) と垂直な面で
立体 \( A-BCD \) を切断すると，点 \( D，Q，R，S \) は，この切断面上の点になります。

切断面と辺 \( BC \) の交点を \( T \) とし，
\( AR=x \; cm \) とすると，
\( 6^2-x^2=(3\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3}-x)^2 \)
\( 36-x^2=27-(27-6\sqrt{3}x+x^2) \)
\( 6\sqrt{3}x=36 \)
\( x=2\sqrt{3} \; (cm) \)

このとき，
\( DR^2=6^2-(2\sqrt{3})^2=24 \)
\( DR=2\sqrt{6} \; (cm) \)

また，出発してから \( 8 \) 秒後には，\( AQ=4 \; cm，CQ=2 \; cm \) であることから，
\( △ASQ \) と \( △ARD \) の相似比は \( 2：3 \) になるので，
\( QS=\dfrac{2}{3}DR=\dfrac{4\sqrt{6}}{3} \; (cm) \) ･･･（ア）

次に，底面 \( △AMP \) について，
出発してから \( 8 \) 秒後には，
\( BP=2 \; cm，CP=4 \; cm \) であることから，
\( BP：CP=1：2 \) となるので，
　\( △ACP=\dfrac{2}{3}△ABC \)

点 \( M \) は，辺\( AC \) の中点なので，
　\( △AMP=\dfrac{1}{2}△ACP=\dfrac{1}{3}△ABC \)

\( △ABC \) は１辺 \( 6 \; cm \) の正三角形なので，
　\( △ABC=6 \times 3\sqrt{3} \times \dfrac{1}{2}=9\sqrt{3} \; (cm^2) \)
であり，
　\( △AMP=\dfrac{1}{3} \times 9\sqrt{3}=3\sqrt{3} \; (cm^2) \) ･･･（イ）

（ア）（イ）より，立体 \( Q-APM \) の体積は，
　\( 3\sqrt{3} \times \dfrac{4\sqrt{6}}{3} \times \dfrac{1}{3}=4\sqrt{2} \; (cm^3) \)

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東京都公立高校入試 令和６（2024）年度 解答＆解説

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