A中学校では，体育祭の種目に長縄跳びがある。全学年とも連続して何回跳べるかを競うものである。下の表は，１年生のあるクラスで長縄跳びの練習を行い，それぞれの回で連続して跳んだ回数を体育委員が記録したものである。

さらに，９回目の練習を行ったところ，記録はａ回であった。下の図は，１回目から９回目までの記録を箱ひげ図に表したものである。このとき，９回目の記録として考えられるａの値をすべて求めなさい。

解説

８回分のデータを小さい順に並べ替える

中央値にあたるデータを確認する

データの総数が９個ということは，中央値は５番目の値になります。
箱ひげ図から中央値は９なので，９回のデータのうち，５番目の値が９になるということです。

並べ替えた８回のデータの中で値が９になっているのは４番目なので，
９回目の値ａはａ≦９（１～４番目）になります。

第一四分位数にあたるデータを確認する

ここまでで９回目のデータは１～４番目になるとわかったので，次は第一四分位数に注目します。

箱ひげ図から第一四分位数は７です。

データの総数が９個ということは，第一四分位数は２番目の値と３番目の値の平均値になります。
並べ替えた８回のデータの中で２番目と３番目は７なので，第一四分位数は７になっています。
このとき，９回目の値が６であると仮定すると，２番目の値は６，３番目の値は７になり，
第一四分位数は６．５になってしまうため箱ひげ図と一致しません。

よって，９回目の値ａは７≦ａになります。

以上より，考えられるａの値は，７≦ａ≦９になります。

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１．連続する３つの自然数をそれぞれ２乗して足すと３６５であった。
　　もとの３つの自然数のうち，最も小さい数を求めなさい。

２．連続する３つの偶数の和が １６２ であるとき，最も小さい偶数を求めなさい。

３．連続する３つの奇数の和が ２３１ であるとき，最も小さい奇数を求めなさい。

４．連続する３つの奇数がある。最も大きい数の９倍は，他の２数の積より８だけ小さい。
　　このとき，２番目に大きい奇数を求めなさい。

５．連続する３つの自然数のうち，最も小さい数を７で割った余りが３であるとき，
　　３つの自然数の和を７で割った余りを求めなさい。

解説

３つの自然数の２乗の和が３６５になる場合

３つの自然数をそれぞれ \( n，n+1，n+2 \) とすると，それぞれの２乗の和は，

仮定より \( n \) は自然数なので，\( n ＝ 10,-12 \) のうち，適するのは \( n ＝ 10 \)

よって、求める自然数は \( n ＝ 10 \)

連続する３つの偶数の和が １６２ である場合

偶数とは，２で割り切れる整数なので，整数 \( n \) を使って \( 2n \) と表すことができます。

最も小さい偶数を \( 2n \) とすると，連続する３つの偶数は，

\( 2n，2n+2，2x+4 \)

と表すことができるので，３つの偶数の和が １６２になるということは，

最も小さい偶数は \( 2n \) なので， \( 2n = 2 \times 26 = 52 \)

連続する３つの奇数の和が ２３１ である場合

奇数とは，２で割り切れない整数なので，整数 \( n \) を使って \( 2n＋1 \) と表すことができます。

最も小さい奇数を \( 2n+1 \) とすると，連続する３つの奇数は，

\( 2n+1，2n+3，2n+5 \)

と表すことができるので，３つの偶数の和が ２３１になるということは，

最も小さい偶数は \( 2n+1 \) なので， \( 2n+1 = 2 \times 37 +1 = 75 \)

最も大きい数の 9 倍は，他の２数の積より８だけ小さい

奇数とは，２で割り切れない整数なので，整数 \( n \) を使って \( 2n＋1 \) と表すことができます。

２番目に大きい奇数を \( 2n＋1 \) とすると，一番小さい奇数は \( 2n-1 \)，一番大きい奇数は \( 2n＋3 \) と表すことができます。

このとき，最も大きい数の9倍は \( 9(2n＋3) \)，他の２数の積より８小さい数は \( (2n-1)(2n＋1)-8 \) となるので，

\( n \) は整数なので，\( n = -\dfrac{3}{2},6 \) のうち，適するのは\( n = 6 \)。
よって，２番目に大きい奇数は \( 2n＋1 = 2\times6+1=13 \)

３つの自然数の和を７で割ると余りは？

まず，最も小さい自然数を文字式を使って表してみましょう。
最も小さい自然数を \( n \) とすると， \( n \) を７で割った余りが３になるので，

 \( n \div 7 = \boxed{　} + 3 \)

ここでは、商の具体的な数字はわからないので，商を \( m \) とすると，

連続する３つの自然数において、最も小さい自然数以外の２つの自然数は、

最も小さい自然数に１足した数，最も小さい自然数に２足した数

と考えることができるので，最も小さい自然数が \( n = 7m + 3 \) と表されるとき，
残り２つの自然数は， \( 7m + 4，7m + 5 \) と表すことができます。

よって，これら３つの自然数の和は，

\( (7m + 3) + (7m + 4) + (7m + 5) = 21m + 12 \)

となります。

このとき，余り（１２）が割る数（７）より大きいので、１２はもう一度７で割る必要があります。
よって，\( 12 = 7 + 5 \) とすると，

よって，３つの自然数の和 \( 21m+12 \) を \( 7 \) で割ると，
商が \( 3m + 1 \)，余りが \( 5 \) になります。

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３．△ＯＰＱの面積を求めなさい。

４．点Ｑを通り，△ＯＰＱの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

解説

点Ｐと点Ｑの座標を求めなさい。

点Ｐの座標を求める

点Ｐは \(y=\cfrac{3}{x}\) と \(y=3x\) の交点なので、
この２つの式を連立方程式にして解くことで、点Ｐの座標を求めることができます。

これを解くと、\(x=±1\) となりますが、問題に \(x≧0\) という条件があるので、
\(x=1\)となります。

これを \(y=3x\) に代入すると， \(y=3\) となり、点Ｐの座標は（\( 1\;,\;3 \) ）になります。

点Ｑの座標を求める

同様に、点Ｑは \(y=\cfrac{3}{x}\) と \(y=\cfrac{1}{12}x\) の交点なので、
この２つの式を連立方程式にして解くことで、点Ｑの座標を求めることができます。

これを解くと、\(x=±6\) となりますが、問題に \(x≧0\) という条件があるので、
\(x=6\)となります。

これを \(y=\cfrac{3}{x}\) に代入すると， \(y=\cfrac{1}{2}\) となり、点Ｑの座標は（\(6\;,\; \cfrac{1}{2}\)）になります。

点Ｐと点Ｑを通る直線の式を求めなさい

点Ｐと点Ｑを通る直線の式を \(y=ax+b\) とします。

傾き \(a\) を求める

これを代入すると、\(y=-\cfrac{1}{2}x+b\) となります。
また、ここに点Ｐの座標 (\( 1\;,\;3 \) )を代入すると、

\(y=-\cfrac{1}{2}x+b\)
\(3=-\cfrac{1}{2}\;✕\;1+b\)
\(3=-\cfrac{1}{2}+b\)
\(b=\cfrac{7}{2}\)

よって、求める直線の式は \(y=-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{7}{2}\) になります。

△ＯＰＱの面積を求めなさい。

このとき，線分ＱＲを底辺と考えると，それぞれの三角形の高さを点Ｐと点Ｑの \(x\) 座標
から求めることができます。

△ＯＰＲの高さ＝点Ｐの \(x\) 座標－原点Ｏの \(x\) 座標＝１
△ＰＱＲの高さ＝点Ｑの \(x\) 座標－点Ｐの \(x\) 座標＝５

同様に，底辺ＰＲの長さは，点Ｐの \(y\) 座標と点Ｒの\(y\) 座標から求められます。

これを求めるために、まず点Ｒの座標を求めます。
点Ｒは， \(y=\cfrac{1}{12}x\) 上の点で，\(x=1\) の点なので、

\(y=\cfrac{1}{12}x\)
\(y=\cfrac{1}{12}✕1\)
\(y=\cfrac{1}{12}\)

 よって、
ＰＲの長さ＝点Ｐの \(y\) 座標－点Ｒの\(y\) 座標＝\(\cfrac{35}{12}\)

以上より△ＯＰＱの面積は，

△ＯＰＱの面積＝(ＰＲの長さ ✕ △ＯＰＲの高さ +ＰＲの長さ ✕ △ＰＱＲの高さ ) ✕ \(\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\((\cfrac{35}{12}\:✕\:1+\cfrac{35}{12}\:✕\:5)\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\((\cfrac{35}{12}+\cfrac{175}{12})\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\(\cfrac{210}{12}\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\(\cfrac{35}{4}\)

となります。

点Ｑを通り，△ＯＰＱの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

よって，点Ｓ，点Ｑを通る直線の式 \(y=ax+b\) は，

傾き \(a\) ＝ \(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\)　　で表されるので、

\(a\) ＝ \((\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2})÷(6-\cfrac{1}{2})\)
　＝\(-1÷\cfrac{11}{2}\)
　＝\(-\cfrac{2}{11}\)

これを代入すると、\(y=-\cfrac{2}{11}x+b\) となります。
また、ここに点Ｐの座標 (\( 6\;,\;\cfrac{1}{2} \) )を代入すると、

\(y=-\cfrac{2}{11}x+b\)
\(\cfrac{1}{2}=-\cfrac{2}{11}\;✕\;6+b\)
\(\cfrac{1}{2}=-\cfrac{12}{11}+b\)
\(b=\cfrac{35}{22}\)

よって、求める直線の式は \(y=-\cfrac{2}{11}x+\cfrac{35}{22}\) になります。

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解説

△ＧＦＥ∽△ＧＤＨを証明しなさい

問題を解くための準備

∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＢを示す

∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＤ を示す

∠ＤＦＣ＝∠ＦＤＡ，∠ＧＥＦ＝∠ＥＡＤ を示す

∠ＦＤＡ＝∠ＦＤＨ を示す

△ＧＦＥ∽△ＧＤＨを示す。

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（２）　線分ＢＰと \(x\) 軸の交点をＣとし，線分ＡＢ上に点Ｄをとる。
　　　　△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しくなるとき，点Ｄの座標を求めなさい。

解説

\(a\) の値を求めなさい。

△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しくなるＤの座標は？

解答の方針

直線ＢＰの式を求める

となるので，\(y＝\cfrac{1}{2}x＋b\) に\(x＝6，y＝1\) を代入すると，

\(\ y\,＝\,\cfrac{1}{2}x＋b\)
\(\ 1\,＝\,\cfrac{1}{2}\,✕\,6＋b\)
\(\ 1\,＝\,3＋b\)
\(－2\,＝\,b\)

よって，直線ＢＰの式は，\(y＝\cfrac{1}{2}x－2\) になります。

点Ｃの座標を求める

線分ＢＰの長さを求める

線分ＢＣの長さを求める

△ＡＢＰと△ＢＣＤの高さの比を求める

△ＡＢＰの底辺を線分ＢＰ，△ＢＣＤの底辺を線分ＢＣとするときの
△ＡＢＰの高さを \(h\)₁，△ＢＣＤの高さを \(h\)₂とすると，

△ＡＢＰ＝２△ＢＣＤ なので，

\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)₁ ＝ \(2\,✕\,\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\) ✕ \(h\)₂
\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)₁ ＝ \(3\sqrt{5}\) ✕ \(h\)₂
　　\(\!2\) ✕ \(h\)₁ ＝ \(3\) ✕ \(h\)₂
　　　\(\dfrac{2}{3}\,h\)₁ ＝ \(h\)₂

よって，△ＢＣＤの高さは，△ＡＢＰの高さの\(\cfrac{2}{3}\) になります。

線分ＡＢを１：２に分ける点Ｄの座標を求める

より，点Ａから \(x\) 軸方向に \(\dfrac{4}{3}\)， \(y\) 軸方向に \(2\) だけ小さい位置にあります。

よって，\(x＝2－\dfrac{4}{3}＝\dfrac{2}{3}\)，\(y＝3－2＝1\)となり，

点Dの座標は \(\dfrac{2}{3}，1\) になります。

The post 二次関数のグラフ上の面積を二等分する応用問題（応用１） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

１．ある家庭の先月の食費は，収入から家賃８万円を引いた額の２８％だった。今月は，先月に比べて
　　収入は２割増え，食費は７千円増えた。そのため，今月の食費は収入から家賃８万円を引いた額の
　　２５％であった。今月の収入と食費を求めなさい。

２．ある学校の昨年の生徒数は，男女合わせて６００人であった。今年は男子生徒が１０％減り，
　　女子生徒が２０％増えたため，全体としては４％増えた。今年の男子生徒と女子生徒の生徒数を求めなさい。

３．あるコーヒーショップのコーヒー１杯の価格は，消費税抜きで２００円であり，持ち帰り用には８％の
　　消費税が，店内で飲む場合には１０％の消費税が価格に加算されることになっている。
　　ある１日において，このコーヒーが３００杯売れ，その売上金額の合計は消費税を含めて６５１８０円
　　であった。この日，持ち帰り用として販売されたコーヒーは何杯であったか求めなさい。

４．Ａ中学校の生徒数は，Ｂ中学校の生徒数の２倍より８０人少ない。 またそれぞれの中学校の３年生の割合は
　　３０％と３５％で，その合計の人数は２２３人である。
　　このとき，それぞれの中学校の３年生の人数を求めなさい。

解説

今月の収入と食費を求めなさい。

問題からわかる関係を数式化する

まず，問題文からわかる先月の収入と食費，今月の収入と食費の関係性を数式の形で表してみます。
なお、収入と食費の単位は゛万円”とします。

先月の食費は，収入から家賃８万円を引いた額の２８％だった。
　　先月の食費 ＝（先月の収入－８万円）✕０．２８　・・・　（1）

今月は，先月に比べて収入は２割増え，食費は７千円増えた。
　　今月の収入 ＝ 先月の収入 ✕ １．２　・・・　（2）
　　今月の食費 ＝ 先月の食費 ＋ ７千円　・・・　（3）

今月の食費は収入から家賃８万円を引いた額の２５％であった。
　　今月の食費 ＝（今月の収入－８万円）✕ ０．２５　・・・　（4）

先月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表す

ここで､先月の収入を \(x\) 万円，先月の食費を \(y\) 万円とし，
先月の食費と今月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表してみます。

先月の食費は、（１）より

\(y＝(x－8)\;✕\;0.28\)　・・・　（１Ａ）

今月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表す

今月の収入は、（２）より \( 1.2x \)と表すことができます。
ここで，今月の食費は，（３）（４）より

\(y＋0.7＝(1.2x－8)\;✕\;0.25\)　・・・　（４Ａ）

連立方程式を解き，先月の収入と食費を求める

今月の収入と食費を求める

（２）より，今月の収入は

\(1.2x = 1.2\;✕\;23 = 27.6\)

（３）より，今月の食費は，

\(y+0.7=4.2+0.7=4.9\)

となり、今月の収入は２７万６千円，今月の食費は４万９千円になります。

今年の男子生徒と女子生徒の生徒数を求めなさい

問題からわかる関係を数式化する

まず，問題文からわかる昨年の男女の生徒数と今年の男女の生徒数の関係性を数式の形で表してみます。

昨年の生徒数は，男女合わせて６００人であった。
　　昨年の男子生徒の数 ＋ 昨年の女子生徒の数 ＝ ６００　・・・　（1）

今年は男子生徒が１０％減り，女子生徒が２０％増えたため，全体としては４％増えた。
　　今年減った男子生徒の数 ＝ 昨年の男子生徒の数 ✕ ０．１　・・・　（2）　
　　今年増えた女子生徒の数 ＝ 昨年の女子生徒の数 ✕ ０．２　・・・　（3）
　　今年増えた男女合計の生徒の数 ＝ 昨年の生徒数 ✕ ０．０４　・・・（4）

昨年の男女合計の生徒数を \(x\)，\(y\) を使って表す

昨年の男子生徒の生徒数を \(x\) 人，昨年の女子生徒の生徒数を \(y\) 人とすると、
（1）より，昨年の男女合計の生徒数は，

　　\(x + y = 600\)　・・・　（１Ａ）

今年の男子生徒数と女子生徒数の増減を \(x\)，\(y\) を使って表す

（２）より，今年減った男子生徒の数は， \( 0.1x \) 　・・・　（２Ａ）

（３）より，今年増えた女子生徒の数は， \( 0.2y \) 　・・・　（３Ａ）

（４）より，今年増えた男女合計の生徒の数は， \( 600\,✕\,0.04 ＝ 24 \)　・・・　（４Ａ）

また，今年増えた男女合計の生徒の数 ＝ 今年減った男子生徒の数 ＋ 今年増えた女子生徒の数 なので，
（２Ａ）～（４Ａ）より，

\(24\)＝\(-0.1x + 0.2y\)　・・・　（４Ｂ）

連立方程式を解き，昨年の男子生徒数と昨年の女子生徒数を求める

今年の男子生徒数と昨年の女子生徒数を求める

（２Ａ）より，

今年減った男子生徒の数＝０．１✕３２０＝３２

なので、

今年の男子生徒の数＝３２０－３２＝２８８

（３Ａ）より，

今年増えた女子生徒の数＝０．２✕２８０＝５６

なので、

今年の女子生徒の数＝２８０＋５６＝３３６

となり、今年の男子生徒の数は２８８人，今年の女子生徒の数は３３６人になります。

販売されたコーヒーは何杯であったか求めなさい

問題からわかる関係を数式化する

まず，問題文からわかるコーヒーの販売数と販売価格と売上金額の関係性を数式の形で表してみます。

コーヒー１杯の価格は，消費税抜きで２００円であり，持ち帰り用には８％の消費税が，
店内で飲む場合には１０％の消費税が価格に加算される
持ち帰り用のコーヒーの税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．０８)　・・・　（１）
店内用のコーヒーの税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋＋０．１)　・・・　（２）

ある１日において，このコーヒーが３００杯売れ
持ち帰り用のコーヒーの販売数 ＋ 店内用のコーヒーの販売数 ＝ ３００　・・・　（３）

売上金額の合計は消費税を含めて６５１８０円であった。
売上金額 ＝ 販売価格 ✕ 販売数　・・・　（４）
持ち帰り用のコーヒーの売上金額 ＋ 店内用のコーヒーの売上金額 ＝ ６５１８０　・・・　（５）

コーヒーの販売数を \(x\)，\(y\) を使った式で表す

持ち帰り用のコーヒーの販売数を \(x\) 杯，店内用のコーヒーの販売数を \(y\) 杯とすると，
（３）より，

\(x\) ＋ \(y\) ＝ ３００　・・・　（３Ａ）

と表すことができます。

持ち帰り用のコーヒーと店内用のコーヒーの税込の販売価格を求める。

持ち帰り用のコーヒーには８％の消費税が加算されるのだから，（１）より，

税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．０８)＝２１６

持ち帰り用のコーヒーには１０％の消費税が加算されるのだから，（２）より，

税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．１)＝２２０

となります。

１日のコーヒーの売上金額を \(x\)，\(y\) を使った式で表す

売上金額は，（４）のように，売上金額 ＝ 販売価格 ✕ 販売数 で表すことができるので，
持ち帰り用と店内用のそれぞれのコーヒーの売上金額は，

持ち帰り用のコーヒーの売上金額 ＝ 税込販売価格 ✕ 販売数
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ２１６ ✕ \(x\)
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ２１６\(x\)

店内用のコーヒーの売上金額 ＝ 税込販売価格 ✕ 販売数
　　　　　　　　　　　　　＝ ２２０ ✕ \(y\)
　　　　　　　　　　　　　＝ ２２０\(y\)

また、それぞれの売上金額の合計が６５１８０円なので，１日の売上金額の合計は，
（５）より，

２１６\(x\) ＋ ２２０\(y\) ＝６５１８０　・・・　（５Ａ）

と表すことができます。

連立方程式として解く

よって，持ち帰り用のコーヒーとして販売されたのは ２０５ 杯になります。

それぞれの中学校の３年生の人数を求めなさい

まず，問題文からわかるＡ中学校の生徒数とＢ中学校の生徒数の関係性を数式の形で表してみます。

問題からわかる関係を数式化する

Ａ中学校の生徒数は，Ｂ中学校の生徒数の２倍より８０人少ない
　Ａ中学校の生徒数 ＝ Ｂ中学校の生徒数 ✕ ２ － ８０　・・・　（１）

それぞれの中学校の３年生の割合は３０％と３５％で，その合計の人数は２２３人である。
　Ａ中学校の３年生の数 ＝ Ａ中学校の生徒数 ✕ ０．３　・・・　（２）
　Ｂ中学校の３年生の数 ＝ Ｂ中学校の生徒数 ✕ ０．３５　・・・　（３）
　Ａ中学校の３年生の数 ＋ Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ２２３　・・・　（４）

Ａ中学校とＢ中学校の生徒数の関係を方程式で表す

Ａ中学校の生徒数を \(x\) 人，Ｂ中学校の生徒数 \(y\) 人とすると，
（１）より，

\(x\)＝２\(y\)－８０　・・・　（１Ａ）

と表すことができます。

Ａ中学校とＢ中学校の３年生の数の関係を方程式で表す

（２）より，Ａ中学校の３年生の数 ＝ ０．３\(x\)　・・・　（２Ａ）

（３）より，Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ０．３５\(y\)　・・・　（３Ａ）

となるので、（４）より，Ａ中学校とＢ中学校の３年生の数の関係は、

０．３\(x\) ＋ ０．３５\(y\) ＝ ２２３　・・・　（４Ａ）

連立方程式を解き、Ａ中学校の生徒数とＢ中学校の生徒数を求める

Ａ中学校の３年生の数とＢ中学校の３年生の数を求める

（２Ａ）より，

Ａ中学校の３年生の数 ＝ ０．３\(x\) ＝４４０ ✕ ０．３＝１３２

（３Ａ）より，

Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ０．３５\(y\) ＝２６０ ✕ ０．３５＝９１

となり、Ａ中学校の３年生の数は１３２人，Ｂ中学校の３年生の数は９１人となります。

The post 【完成】連立方程式と百分率を組み合わせた応用問題（１） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

１．\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\) のとき，\(a^2-b^2\) の値を求めなさい。

２．\(a=\sqrt{5}-1\) のとき，\(a^2+2a-4\) の値を求めなさい。

３．\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) のとき，\((x+y)^2-2xy\) の値を求めなさい。

４．\(4a-5b=6\) のとき，\(\dfrac{5a-4b}{3}-\dfrac{2a-b}{2}\) の値を求めなさい。

解説

\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\) のとき，\(a^2-b^2\) の値は？

\(a+b\) と \(a－b\) を求める

\(a\) と \(b\) が “ ＋ ” と “ － ” が違うだけであることに注目します。

\(a^2-b^2\) を因数分解する

\(a^2-b^2\) は式の展開の公式 \((a+b)(a－b)=a^2-b^2\) により因数分解できます。

\((a+b)\)\((a－b)\) に \(a+b=4\)，\(a－b=2\sqrt{2}\) を代入すると，

\(a^2－b^2\,＝\,(a＋b)(a－b)\)
　　　 \(＝4\;✕\;2\sqrt{2}\)
　　　 \(＝8\sqrt{2}\)

となります。

\(\sqrt{5}-1\) のとき，\(a^2+2a-4\) の値は？

普通に\(a=\sqrt{5}-1\) を \(a^2+2a-4\) に代入しても解けますが，
より簡単に解ける“平方完成”という方法で解いてみましょう。

\(a=\sqrt{5}-1\) を計算しやすい形に変形する

まず，

\(a=\sqrt{5}-1\) の “\(-1\)” がなかったら計算しやすいのに･･･

と感じることが大事なポイントです。

\(a=\sqrt{5}-1\) は “－1”を左辺に移行すると，

　　\(a+1=\sqrt{5}\)　・・・　（1）

となり，２乗の計算でも簡単にできる形になります。

\(a^2+2a-4\) を \(a+1\) を使った形に変形する

ここで，値を求める式 \(a^2+2a-4\) に注目します。

\(a^2+2a-4\) を \(a^2+2a+(-4)\) と考えると，

乗法公式

　　\((a+b)^2=a^2+2ab＋b^2\)

とほぼ同じ形になっています。
さらに，\(b=1\) の場合を考えると，

　　\((a+1)^2=a^2+2a＋1\)

と，定数部分を除いた \(a^2+2a\) までが同じになります。

この式を利用して，右辺を\(a^2+2a-4\) にするためには，

　　　　　　\((a+1)^2=a^2+2a＋1\)
両辺から1をひく
　　　　\((a+1)^2-1=a^2+2a＋1-1\)
　　　　　　　　　　\(\:\:=a^2+2a\)
さらに両辺から4をひく
　　\((a+1)^2-1-4=a^2+2a-4\)
　　　　\((a+1)^2-5=a^2+2a-4\)

と変形することで

　　\(a^2+2a-4=(a+1)^2-5\) 　・・・　（2）

と表すことができました。

\(a+1=\sqrt{5}\)を代入して値を求める

以上より，（2）に（1）を代入すると、

　　\(a^2+2a-4=(a+1)^2-5\)
　　　　　　　　\(\;=\sqrt{5} ^2-5\)
　　　　　　　　\(\;=0\)

となります。

\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) のとき，\((x+y)^2-2xy\) の値は？

この問題も，普通に\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) を \((x+y)^2-2xy\) に代入しても解けますが，
より簡単な方法で解いてみましょう。

\((x+y)^2-2xy\)を展開する

この問題では，\(x+y\)の形のまま計算すると，\sqrt{3} や \sqrt{2} が残ってしまいますが、
\(x^2\)，\(y^2\) を使って計算すると，自然数になるので，簡単に計算できます。

\((x+y)^2-2xy\)を展開すると，

　　\((x+y)^2-2xy=(x^2+2xy+y^2)-2xy\)
　　　　　　　　　　\(=x^2+y^2\)

\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) を代入する

　　\((x+y)^2-2xy=x^2+y^2\)
　　　　　　　　　　\(=x^2+y^2\)
　　　　　　　　　　\(=(2\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2\)
　　　　　　　　　　\(=12+18\)
　　　　　　　　　　\(=30\)

\(4a-5b=6\) のとき，\(\displaystyle \frac{5a-4b}{3}-\frac{2a-b}{2}\) の値は？

　　\(\cfrac{5a-4b}{3}－\cfrac{2a-b}{2}=\cfrac{5a-4b}{6}\;✕\;2－\cfrac{2a-b}{6}\;✕\;3\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{(5a-4b)\;✕\;2-(2a-b)\;✕\;3}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{(10a-8b)－(6a-3b)}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{10a-8b－6a+3b}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{4a-5b}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{6}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=1\)

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解説

△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を求めなさい

問題を解くための準備

四角形ＡＢＣＤの持つ特徴は？

ここから，四角形ＡＢＣＤが円に内接していることを利用して解いていきます。

線分ＢＤの長さを求める

線分ＡＢの長さを求める

△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を求める

△ＥＢＣと△ＥＡＤの面積の比を求めなさい

∠ＢＣＡ＝∠ＡＤＢを示す

∠ＣＢＤ＝∠ＤＡＣを示す

△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比を求める

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解説

直線 ℓ の式を求める

台形ＯＱＰＢの面積が \(\cfrac{9}{2}\) になる条件は

台形ＯＱＰＢの面積が \(\cfrac{9}{2}\) になるときの点Ｐの \(x\) 座標を \(t\) とすると，
\(y\) 座標は \(－\dfrac{3}{4}t＋3\) と表すことができます。

よって，台形ＯＱＰＢの面積 ＝ (ＰＱ＋ＯＢ) ✕ ＯＱ ✕ \(\cfrac{1}{2}\) となるので，

方程式を解く

\(t^2－8t＋12\)＝\(0\)
\((t－2)(t－6)\)＝\(0\)
\(t\)＝ \(2，6\)

点Ｐの \(x\) 座標は，0 ≦ \(x\) ≦ 4 の範囲なので，
0 ≦ \(t\) ≦ 4 となり，これを満たす解は \(t＝2\) だけです。

よって，点Ｐの \(x\) 座標が \(x ＝2\) のときの \(y\) 座標は，

\(－\dfrac{3}{4}\,✕\,2＋3＝\dfrac{3}{2}\)

求める点Ｐの座標は \((2，\dfrac{3}{2})\) となります。

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１．気温は高度が１００ｍ増すごとに０．６℃ずつ低くなる。地上の気温が７．６℃のとき，
　　地上から２０００ｍ上空の気温を求めなさい。

２．ある野球場で前売り券の販売を始めたとき、すでに６００人が並んでいて、その後も毎分２０人の割合で
　　行列に加わっていきます。販売窓口が１つのときは１５分で行列がなくなります。
　　販売窓口が２つのときは何分で行列がなくなるか求めなさい。

３．２年生と１年生との部員数の比が ３：５ である部活動で、班ごとに分かれて練習をすることになった。
　　５人ずつ班に分けたら、５人の班のほかに６人の班が２つできた。班の和が２年生の部員数の２分の１
　　であるとき、２年生と１年生の部員数を求めなさい。

４．１０％の食塩水170gがある。これに食塩を加えて１５％にするとき，加える食塩の量を求めなさい。

解説

地上から２０００ｍ上空の気温を求めなさい

地上から上空 \(x\) ｍ の気温の差は，\(\dfrac{x}{100}\,✕\,0.6\) ℃になります。

よって，地上の気温がｙ℃のときの上空 \(x\) ｍ の気温は、

\(y\,－\dfrac{x}{100}\,✕\,0.6\)

と表すことができるので、
地上の気温が\(y＝7.6\) ℃のとき，地上から上空 \(x＝2000\) ｍ の気温は，

　\(y\,－\,\cfrac{x}{100}\,✕\,0.6\)＝\(7.6\,－\,\cfrac{2000}{100}\,✕\,0.6\)
　　　　　　　　＝\(7.6\,－\,20\,✕\,0.6\)
　　　　　　　　＝\(7.6\,－\,12\)
　　　　　　　　＝\(－4.4\)

販売窓口が２つのときは何分で行列がなくなるか求めなさい。

１分間に窓口１つで対応できる人数を求める

１分間に２０人ずつ行列に加わるので、１５分間に２０ (人) ✕ １５ (分) ＝ ３００ (人) が加わっています。
よって，１分間に窓口１つで対応できる人数は，

(６００＋３００) ÷ １５ ＝ ９００ ÷ １５
　　　　　　　　　　　　 ＝６０ (人)

窓口２つで対応できる人数を方程式で表す

窓口を２つにすると，１分間に対応できる人数は，

６０ ✕ ２ ＝ １２０ (人)

になります。

窓口２つで対応して \(x\) 分で行列がなくなるとすると、

最初に並んでいた人数 ＋ \(x\) 分間に加わった人数 ＝ １分間に窓口対応できる人数 ✕ \(x\) 分間
\(600＋20x＝120\,✕\,x\)
\(600＋20x＝120x\)
　　\(100x＝600\)
　　　　\(x＝6\)

となり，６分間で列がなくなります。

２年生と１年生の部員数を求めなさい。

全部員の数を文字式で表す

班の和と２年生の部員数を文字式で表す

５人班の数が \(x\) 個，６人班の数が ２個できているので，
班の和は　\(x＋2\)　と表すことができます。

また，全部員の数が \(5x＋12\) 人に対して ２年生と１年生の比が３：５なので，
２年生の部員数は　\((5x＋12)\,✕\,\dfrac{3}{8}\)　と表すことができます。

班の和と２年生の部員数の関係を方程式で表し，解く

班の和が２年生の部員数の２分の１なので，これを方程式にして表すと，

全部員の人数と２年生部員の人数を求める

よって、５人班の数が４つとわかったので．

全部員の人数は，\(5x＋12＝5\,✕\,4＋12＝32\)

２年生部員の人数は，\(32\,✕\,\dfrac{3}{8}＝12\)

となり，２年生部員の人数は１２人となります。

加える食塩の量を求めなさい

１０％の食塩水１７０ｇに含まれる食塩の量は，１７０✕０．１＝１７ (ｇ) です。

加える食塩の量を \(x\) ｇとすると，

１５％の食塩水の量は，１７０＋ \(x\) ｇ
１５％の食塩水に含まれる食塩の量は，１７＋ \(x\) ｇ

となるので，１５％の食塩水の量と食塩の量の関係は，

(１７０＋ \(x\)) ✕ ０．１５＝１７＋ \(x\)

と表すことができるので、これを解くと，

(１７０＋ \(x\)) ✕ ０．１５＝１７＋ \(x\)
　(１７０＋ \(x\)) ✕ ０．３＝(１７＋ \(x\)) ✕２
　　　　　５１＋０．３ \(x\)＝３４＋２ \(x\)
　　　　　　　　　　１７＝１．７ \(x\)
　　　　　　　　　　１０＝ \(x\)

よって，食塩を１０ｇ加えると１５％の食塩水になります。

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