点Ｂを中心にして半径\(b\)の弧を描きます。

点Ａを中心にして半径\(c\)の弧を描きます。

２辺の長さがＡＣ＝\(c\)・ＢＣ＝\(b\) の両方を満たす点Ｃは２つの弧の交点だけです。
（下側は線分ＡＢを軸として△ＡＢＣと線対称になりますので，ここでは省略します。）

線分ＡＢに対して点Ｃは１つになるので，３組の辺の長さがすべて等しい等しい三角形は合同であるといえます。

点Ａを中心にして半径\(c\) の弧を描きます。

２辺の長さ\(ａ，c\)が決まるだけでは，点Ｃの場所は１つに決まりませんが，

∠\(x\)を決めることで，

２辺の長さＡＢ＝\(a\)・ＡＣ＝\(c\)
２辺の間の角の大きさ∠\(x\)

をすべて満たす点Ｃの場所が１点に決まります。

以上より，２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい三角形は合同であるといえます。

点Ａから線分ＡＢとの角度が\(x\)となる直線をひきます。

１辺の長さ\(a\)と１つの角∠\(x\)が決まるだけでは，点Ｃの場所は１つに決まりませんが，

∠\(y\)を決めることで，

１辺の長さＡＢ＝\(a\)
２つの間の角の大きさ∠\(x\)，∠\(y\)

をすべて満たす点Ｃの場所が１点に決まります。

以上より，１組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい三角形は合同であるといえます。

問題文からわかる前提条件を確認しましょう。
　　∠ＢＡＨ＝∠ＨＡＤ
　　∠ＡＤＦ＝∠ＦＤＨ

求める対象が何かを確認しましょう。
　　△ＧＦＥ∽△ＧＤＨの証明
　　　　　　　↓
＂三角形の相似条件が成立している＂ことを示す

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，

ＡＢ // ＤＨ

平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＢ　・・・（１）

線分ＡＥは，∠ＢＡＤの二等分線なので，

∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ　・・・（２）

（１）（２）より，

∠ＧＨＤ＝∠ＥＡＢ＝∠ＥＡＤ　・・・（３）

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，

ＡＤ // ＦＥ

平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＤＦＣ＝∠ＦＤＡ　・・・（４）
∠ＧＥＦ＝∠ＥＡＤ　・・・（５）

線分ＤＧは，∠ＡＤＨの二等分線なので，

∠ＦＤＡ＝∠ＦＤＨ　・・・（６）

△ＧＦＥと△ＧＤＨにおいて，

（３）（５）より，∠ＧＥＦ＝∠ＧＨＤ
（４）（６）より，∠ＧＦＥ＝∠ＧＤＨ

よって，２組の角の大きさが等しいので，

△ＧＦＥ∽△ＧＤＨ

問題からわかる条件
ＡＤ＝ \(3cm\)
ＢＣ＝\(2\sqrt{2} cm\) ｃｍ
ＣＤ＝ \(\sqrt{2} cm\) ｃｍ
∠ＢＣＤ＝９０°
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ

求める対象が何かを確認しましょう。
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積の比

四角形ＡＢＣＤにおいて，△ＡＢＣと△ＢＣＤは，
辺ＢＣが共通，∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ
となっているので，∠ＢＡＣと∠ＢＤＣは弦ＢＣに対する円周角であり，四角形ＡＢＣＤは円に内接することがわかります。

また，∠ＢＣＤ＝９０°より，
線分ＢＤはこの円の直径になります。

△ＢＣＤは直角三角形なので，三平方の定理より，

ＢＤ^２＝ＢＣ^２＋ＣＤ^２
＝ \(2\sqrt{2}\,^2＋\sqrt{2}\,^2\)
＝ \(10\)
ＢＤ＞０なので，ＢＤ＝\(\sqrt{10}\)

また，線分ＢＤは直径なので，△ＢＡＤも直角三角形になるので、三平方の定理より，

ＡＢ^２＝ＢＤ^２ーＡＤ^２
　　　＝ \( \sqrt{10}\,^2－ 3\,^2\)
　　　＝ \(1\)
ＡＢ＞０なので、ＡＢ＝ \(1\)

△ＥＡＢと△ＥＤＣは，

問題より，∠ＥＡＢ＝∠ＥＤＣ
対頂角なので，∠ＡＥＢ＝∠ＤＥＣ

よって，２組の角の大きさが等しいので，

△ＥＡＢと△ＥＤＣ

また，ＡＢ：ＤＣ＝１：\(\sqrt{2}\) なので、
△ＥＡＢと△ＥＤＣの面積比は，

△ＥＡＢ：△ＥＤＣ＝１^２： \(\sqrt{2}\,^2\)
　　　　　　　　　＝１：２

∠ＢＣＡと∠ＡＤＢは弧ＡＢに対する円周角なので，

∠ＢＣＡ＝∠ＡＤＢ　・・・（１）

∠ＣＢＤと∠ＤＡＣは弧ＣＤに対する円周角なので，

∠ＣＢＤ＝∠ＤＡＣ　・・・（２）

（１）（２）より，２組の角の大きさが等しいので，

△ＥＢＣ∽△ＥＡＤ

また，ＢＣ：ＡＤ＝\(2\sqrt{2}\)：\(3\)なので、
△ＥＢＣと△ＥＡＤの面積比は，

△ＥＢＣ：△ＥＡＤ＝ \(2\sqrt{2}\,^2\)： \(3\,^2\)
　　　　　　　　　＝ \(8\)：\(9\)

１．右の図のように４本の直線が交わっており，
　　直線 \( m // n \)である。
　　このとき、 \(∠x \) の大きさを求めなさい。

２．右図の長方形ＡＢＣＤにおいて，点 \(Ｅ，Ｆ，Ｇ\)は
　　それぞれ辺 ＡＤ，ＤＣ，ＢＣ 上の点である。
　　∠ＤＥＦ＝１８°，∠ＦＧＣ＝２６° のとき，
　　\(∠x\) の大きさを求めなさい。

３．右の図で \( l // m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい

４．右の図で \( l // m\) ，ＡＢ＝ＡＣのとき，\(∠x\) の値を求めなさい。

５．右の図で \(l//m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい。

\(m//n\) より，平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＢＣＤ＝３６°　・・・　（1）

２直線が交わっているとき，対頂角は等しいので，

∠ＥＤＣ＝７２°　・・・　（2）

（1）（2）より三角形の内角の和は１８０°なので，

∠ＣＡＤ＋∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°
　　　　　\(x\)＋３６°＋７２°＝１８０°
　　　　　　　　\(x\)＋１０８°＝１８０°
　　　　　　　　　　　　　\(x\)＝７２°

点Ｆを通り、辺ＡＤと辺ＢＣに平行な直線を引き、
辺ＡＢとの交点をＨとすると，
平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＥＦＨ＝∠ＤＥＦ＝１８°　・・・　（1）

同様に、

∠ＨＦＧ＝∠ＦＧＣ＝２６°　・・・　（2）

問題１．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。

問題２．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。

問題３．右の図のように，線分ＡＥとＢＤが交わって
　　　　おり，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥである。
　　　　∠ＢＡＣ＝４４°のとき，∠ＣＤＥの大きさ
　　　　を求めなさい。

問題４．右の図のように，△ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｄ，辺ＢＣ上に点Ｅがあり，∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤ＝４０°，∠ＡＦＣ＝１１５° となっている。
また，線分ＡＥと線分ＣＤの交点をＦとするとき、∠ＡＢＣの大きさを求めなさい。

三角形の外角はとなりあっていない内角の和と
等しいので，

　　∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝６２°＋４４°
　　　　　　　　　　　\(\:\)＝１０６°

まず，内角の大きさが２つわかっている三角形を探してみると，△ＡＤＥは∠ＡＥＤと∠ＥＡＤの２つの内角がわかっています。

このことから，∠ＡＤＥと∠ＦＤＢの大きさがわかります。

次に∠\(x\) が内角になる三角形を探すと，△ＡＢＣと△ＤＢＦが見つかります。

ここで，△ＤＢＦに注目すると，∠ＤＦＣが外角になっていることがわかります。

△ＡＤＥに注目すると，∠ＥＤＢが外角になっているので，

　　∠ＦＤＢ＝∠ＥＡＤ＋∠ＡＥＤ
　　　　　　＝３７°＋２３°
　　　　　　＝５７°

次に，△ＤＢＦに注目すると，∠ＣＦＤが外角になっているので，

　　∠ＤＢＦ＋∠ＦＤＢ＝∠ＣＦＤ
　　　　　　\(x\) ＋５７°＝９７°
　　　　　　　　　　　\(\:x\) ＝４０°

問題文からわかる前提条件
　　ＡＢ＝ＡＣ
　　ＣＤ＝ＣＥ

求める対象
　　∠ＣＤＥの大きさ

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形なので，
底角は等しく，

　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ

よって，

　∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　４４°＋２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　　　　　２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°ー４４°
　　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝６８°

直線が交わってできる対頂角は等しいので，

　　∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝６８°

△ＣＥＤはＣＥ＝ＣＤの二等辺三角形なので，
底角は等しく，

　　∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ

よって，

　∠ＥＣＤ＋∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ＝１８０°
　　　　６８°＋２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°
　　　　　　　　２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°ー６８°
　　　　　　　　　　　∠ＣＤＥ＝５６°

∠ＡＢＣが内角となり、さらにもう１つの内角がわかっている△ＢＣＤに注目します。

ここで、∠ＣＤＡは外角になっていることがわかります。

また、∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角になっているので、これらを組み合わせると解答できます。

∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角なので，

　　∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＣ
　　　∠ＡＤＦ＋４０°＝１１５°
　　　　　　　∠ＡＤＦ＝１１５°ー４０°
　　　　　　　∠ＡＤＦ＝７５°

∠ＡＤＦは△ＢＣＤの外角なので，

　　∠ＣＢＤ＋∠ＤＣＢ＝∠ＡＤＦ
　　　∠ＣＢＤ＋４０°＝７５°
　　　　　　　∠ＣＢＤ＝７５°－４０°
　　　　　　　∠ＣＢＤ＝３５°

１．△ＡＢＣと△ＤＥＦは相似であり，その相似比は１：３である。このとき，△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの何倍か答えなさい。

２．右の図のように２つの直線 \(l\) ， \(m\) が，３つの直線 \(p\) ，\(q\) ，\(r\) のと交わるとき， \(x\) の値を求めなさい

３．右の図のような直角三角形ＡＢＣがある。△ＡＣＤがＡＣ＝ＡＤの直角二等辺三角形となるようにＤをとる。また，点Ｄから辺ＡＢに垂線をひき，辺ＡＢとの交点をＥとする。
このとき，△ＡＢＣ∽△ＡＣＤを証明しなさい。

（1）（2）より，

　　△ＡＢＣの面積：△ＤＥＦの面積＝\(\displaystyle\frac{1}{2}ah\)：\(\displaystyle\frac{9}{2}ah\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝\(1\)：\(9\)

となるので，△ＤＥＦの面積は△ＡＢＣの面積の９倍になります。

右の図のとおり，平行な２直線の錯角は等しいので
2組の角の大きさが等しくなります。

よって，上の三角形と下の三角形は相似です。

相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，

　　２：\(x\)＝３：７.５
　　　３\(x\)＝１５
　　　　\(x\)＝５(cm)

問題文からわかる前提条件
　　ＡＣ＝ＡＤ
　　∠ＤＡＣ＝９０°
　　∠ＡＣＢ＝９０°
　　∠ＤＥＡ＝９０°

求める対象
　　△ＡＢＣ∽△ＤＡＥ

問題文より，△ＡＣＤはＡＣ＝ＡＤの直角二等辺三角形なので，

　　∠ＤＡＣ＝９０°

また，∠ＤＡＣは∠ＤＡＥと∠ＢＡＣに分けることができるので，

　　　　　∠ＤＡＣ＝９０°
∠ＤＡＥ＋∠ＢＡＣ＝９０°
　　　　　∠ＤＡＥ＝９０°ー∠ＢＡＣ・・・（1）

問題文より，△ＡＢＣにおいて∠ＡＣＢ＝９０°になっています。

また、三角形の内角の和は１８０°なので，

∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
　∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋９０°＝１８０°
　∠ＡＢＣ＝９０°ー∠ＢＡＣ　・・・（2）

（1）（2）より，∠ＡＢＣ＝∠ＤＡＥ

また、問題文より，∠ＡＣＢ＝∠ＤＥＡ

となり，２組の角の大きさが等しいので，
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ となります。

１．右の図で，４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
　　であり，線分ＢＣは円Ｏの直径である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

２．右の図でＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
　　であり，線分ＡＣは直径である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

３．右の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点
　　である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

まず，∠\(ABC\) が内角となる三角形を探します。

問題で引かれている線分だけでは見つかりませんが，補助線\(AC\)をひくと，△\(ABC\) ができます。

△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(ABC\) 以外の２つの内角を調べます。

\(ACB\) は，\(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。

また， ∠\(BAC\) は半円に対する円周角になっています。

補助線\(AC\) を引くと、∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角なので，

　　∠\(ACB=\)∠\(ADB=41°\)　・・・　（1）

また、線分\(BC\) は円Ｏの直径なので，

　　∠\(BAC=90°\)　・・・　（2）

（1）（2）より，三角形の内角の和は180°なので、
\begin{eqnarray}
∠ABC+∠BAC+∠ACB &=& 180° \\
∠ABC+90°+41° &=& 180° \\
∠ABC+131° &=& 180° \\
∠ABC &=& 49°
\end{eqnarray}

まず，∠\(BAC\) が内角となる三角形は△\(ABC\) になります。

△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(BAC\) 以外の２つの内角を調べます。

∠\(ABC\) は半円に対する円周角になっています。

また，∠\(ACB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。

∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\) の円周角なので，

　　∠\(ACB\) ＝∠\(ADB\)　・・・　（1）

∠\(ABC\) は半円に対する円周角なので，

　　∠\(ABC=90°\)　・・・　（2）

（1）（2）より，三角形の内角の和は 180° なので，

\begin{eqnarray}
∠CAB+∠ABC+∠ACB &=& 180° \\
∠CAB+90°+68° &=& 180° \\
∠CAB+158° &=& 180° \\
∠CAB &=& 22°
\end{eqnarray}

まず，∠\(OBC\) が内角となる三角形は△\(OBC\) です。

△\(OBC\) の２辺，\(OB=OC\) は円Ｏの半径になっていることから，△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形であるとわかります。

二等辺三角形の底角は等しいので，∠\(BOC\) がわかれば，∠\(x\) を求めることができます。

∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角，∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角なので，

　　∠\(BOC = 2✕ \)∠\(BAC\)
　　　　　　\(=2✕38°\)
　　　　　　\(=76°\)

\(OB，OC\) は円Ｏの半径なので，

　　\(OB=OC\)

△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形なので,

　　∠\(OCB=(180°－\)∠\(\displaystyle BOC) ✕ \frac{1}{2}\)
　　　　　\(\displaystyle x=(180°－76°) ✕ \frac{1}{2}\)
　　　　　　\(=52°\)