指数を使った数の表し方

同じ数を何個かかけたものを 累乗 といい，
　２個かけたときは ２乗（または 平方 ） → 面積を表す単位「平方メートル \( (m^2) \)」の平方です。
　３個かけたときは ３乗（または 立方 ） → 体積を表す単位「立方メートル \( (m^3) \)」の立方です。
　４個かけたときは ４乗
　･･･
と呼びます。

例えば，\( 2 \) を３個かけた数は \( 2 \) の右上に小さく \( 3 \) と書いて
　\( 2 \times 2 \times 2=\large{2^3} \)
と表し，「２の３乗」と読みます。

このとき，右上に小さく書いた数を 指数 といいます。

指数を使って数を表すときの注意点

「 － 」の符号がつく場合の注意点

指数を使って表される数について「 － 」の符号がつく場合には注意が必要で，
負の数の累乗を表す場合には必ずかっこをつける 必要があります。

例　\( -3^2 \) と \( (-3)^2 \) の違い
　　\( -3^2 \) は， \( 3 \) を２個かけた数に「－」の符号をつけた数
　　　　\( -3^2=-(3 \times 3)=-9 \)
　　\( (-3)^2 \) は， \( -3 \) を２個かけた数
　　　　\( (-3)^2=-3 \times (-3)=9 \)
　　と，どちらも「ー３の２乗」と読めてしまいますが，異なる数を表しています。

分数の累乗の表し方

「 － 」の符号がつく場合以外に分数の累乗を表す場合にも注意が必要です。
分数の累乗を表す場合にも必ずかっこをつける 必要があります。

例　\( \dfrac{\;3^2}{2} \) と \( \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \) の違い
　　\( \dfrac{\;\;3^2}{2} \) は，分子の \( 3 \) だけが２個かけかけられた数
　　　　\( \dfrac{\;\;3^2}{2}=\dfrac{3 \times 3}{2}=\dfrac{9}{2} \)

　　\( \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \) は，\( \dfrac{3}{2} \) を２個かけた数
　　　　\( \left( \dfrac{3}{2} \right)^2=\dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4} \)
　　と，どちらも「２分の３の２乗」と読めてしまいますが，異なる数を表しています。

指数を含む計算

指数を含む計算においては，最初に 指数を含む項を計算して指数を含まない形に書き直します。

例１　\( (-2)^2 \times 3 \) を計算する
　　　\( (-2)^2 \) を指数を含まない形に書き直すと \( (-2)^2=(-2) \times (-2)=4 \) なので，
　　　　\( (-2)^2 \times 3= \{ (-2) \times (-2) \} \times 3 \)
　　　　　　　　　　\( =4 \times 3=12 \)
　　　　　　　　　　\( =12 \)
　　　となります。

例２　\( -2^2 \times 3 \div (-4)^2 \) を計算する
　　　\( -2^2 \) を指数を含まない形に書き直すと \( -2^2=-(2 \times 2)=-4 \)
　　　\( (-4)^2 \) を指数を含まない形に書き直すと \( (-4)^2=(-4) \times (-4)=16 \)
　　　なので，
　　　　\( -2^2 \times 3 \div (-4)^2= \{ -(2 \times 2) \} \times 3 \div \{ (-4) \times (-4) \} \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =-4 \times 3 \div 16 \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =-4 \times 3 \times \dfrac{1}{16} \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =-\dfrac{4 \times 3}{16} \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =-\dfrac{3}{4} \)

　　　となります。

負の数を含む四則演算

たし算，ひき算，かけ算，わり算の４つをまとめて四則，また，四則を使った計算を四則演算と呼びます。
負の数を含む四則演算においても，算数のときと同じようにかっこの中やかけ算・わり算を先に計算するルールは適用されます。

四則演算における計算順序

四則演算における計算順序は次のとおりです。

例１　\( (-4) \times 6-15 \div (-3) \) を計算する
　　　　\( (-4) \times 6-15 \div (-3)= \{ (-4) \times 6 \}-\{ 15 \div (-3) \} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-24 – \left\{ 15 \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \right\} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-24-(-5) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-24+5 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-19 \)
　　　となります。

例２　\( -6-(3-5)^2 \div 4+(-2)^3 \times (-1) \) を計算する
　　　　\( -6-(3-5)^2 \div 4+(-2)^3 \times (-1)=-6-(-2)^2 \div 4+(-8) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-6-\{ (-2) \times (-2) \} \div 4+(-8) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-6-(4 \div 4)+8 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-6- \left(4 \times \dfrac{1}{4} \right)+8 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-6-1+8 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =1 \)

　　　となります。

分配法則

かっこがあるかけ算の式では次の式が成り立ちます。

　○ \( \times ( \) △ \( + \) □ \( )= \) ○ \( \times \) △ \( + \) ○ \( \times \) □  

この式が成り立つ理由を 「縦の長さが ○ ，横の長さが △ の長方形」と「縦の長さが ○ ，横の長さが □ の長方形」をくっつけた長方形の面積として考えてみます。

これらは，同じ長方形の面積を２通りの方法で表しているだけで，面積は等しいので，

　○ \( \times ( \) △ \( + \) □ \( )= \) ○ \( \times \) △ \( + \) ○ \( \times \) □  

となります。

ちなみに，乗法の結合法則より，

　\( ( \) △ \( + \) □ \( ) \times \) ○ \( = \) △ \( \times \) ○ \( + \) □ \( \times \) ○

も成り立ちます。

負の数を含む場合も成り立つ

例として \( 2 \times \{ 3+(-4) \} \) と \( (-2+4) \times (-5) \) の場合を考えます。

例１　\( 2 \times \{ 3+(-4) \} \) を計算する

となり，どちらの計算方法でも \( -2 \) で結果は等しく，分配法則が成り立っていることがわかります。

例２　\( (-2+4) \times (-5) \) を計算する

となり，どちらの計算方法でも \( -10 \) で結果は等しく，分配法則が成り立っていることがわかります。

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ここでは，正の数・負の数のひき算について解説していきます。
かけ算のことを 乗法（じょうぽう） ，かけ算（乗法）によって求められた結果を 積 と呼びます。

正の数 \(  \times  \) 正の数の場合

これは，算数で学んだなじみのあるかけ算になります。

例として \( 2 \times 3 \) について考えてみます。
「\( 2 \) に \( 3 \) をかけた数」ということは，「\( 2 \) を３個分たした数」を表すので，
数直線を使って考えると

つまり，\( 2 \times 3=6 \) となります。

負の数 \(  \times  \) 正の数の場合

例として \( -2 \times 3 \) について考えてみます。
「\( -2 \) に \( 3 \) をかけた数」ということは，「\( -2 \) を３個分たした数」を表すので，
数直線を使って考えると

つまり，\( -2 \times 3=-6 \) となります。

正の数 \(  \times  \) 負の数の場合

例として \( 2 \times (-3) \) について考えてみます。
「\( 2 \) に \( -3 \) をかけた数」ということは，「\( 2 \) を反対向きに３個分たした数」を表し，
「\( 2 \) を反対向きに３個分たした数」は「\( -2 \) を３個分たした数」と同じことなので，
数直線を使って考えると

つまり，\( 2 \times (-3)=-6 \) となります。

負の数 \(  \times  \) 負の数の場合

例として \( -2 \times (-3) \) について考えてみます。
「\( -2 \) に \( -3 \) をかけた数」ということは，「\( -2 \) を反対向きに３個分たした数」を表し，
「\( -2 \) を反対向きに３個分たした数」は「\( 2 \) を３個分たした数」と同じことなので，
数直線を使って考えると

つまり，\( -2 \times (-3)=6 \) となります。

乗法の交換法則と結合法則

乗法の交換法則

かけ算の式においては，かける順番を入れ替えても計算結果は等しくなります。

　〇 \( \times \) □ \( = \) □ \( \times \) 〇

これを 乗法の交換法則 といいます。

例として，\( 2 \times (-3) \) と \( -3 \times 2 \) について考えてみます。

● \( 2 \times (-3) \) の場合
　\( 2 \times (-3) \) は，「\( 2 \) を反対向きに３個分たした数」なので，

● \( -3 \times 2 \) の場合
　\( -3 \times 2 \) は，「\( -3 \) を２個分たした数」なので，

となり，どちらの場合も計算結果は \( -6 \) で等しくなります。

乗法の結合法則

３個以上の数をかける場合にかける順番を入れ替えても計算結果は等しくなります。

　\( ( \) 〇 \( \times \) △ \( ) \; \times \) □ \( = \) 〇 \( \times \; ( \) △ \( \times \) □ \( ) \)

これを 乗法の結合法則 といいます。

ここから，
　〇 \( \times \) △ \( \times \) □ \( = \) 〇 \( \times \) □ \( \times \) △
　　　　　　　　 \( = \) △ \( \times \) 〇 \( \times \) □ \( = \) △ \( \times \) □ \( \times \) 〇
　　　　　　　　 \( = \) □ \( \times \) 〇 \( \times \) △ \( = \) □ \( \times \) △ \( \times \) 〇

例として，\( 2 \times 3 \times 4 \) の場合を考えてみます。

　\( 2 \times 3 \) を先に計算する場合は，\( (2 \times 3) \times 4=6 \times 4=24 \)
　\( 3 \times 4 \) を先に計算する場合は，\( 2 \times (3 \times 4)=2 \times 12=24 \)

となり，どちらの計算方法でも和は \( 24 \) で等しくなっています。

●　負の数を含む場合はどうなる？
　　乗法の結合法則は負の数を含んだかけ算でも成り立ちます。
　　例として，\( 2 \times (-3) \times 4 \) の場合を考えてみます。

　　　\( 2 \times (-3) \) を先に計算する場合は，\( \{2 \times (-3)\} \times 4=-6 \times 4=-24 \)
　　　\( (-3) \times 4 \) を先に計算する場合は，\( 2 \times \{(-3) \times 4\}=2 \times (-12)=-24 \)

　　となり，どちらの計算方法でも和は \( -24 \) で等しくなります。

●　どんなときに使うの？
　　結合法則により計算順序をかえることで計算しやすくなります。

　　例として，\( 6 \times 2 \times 5 \) の場合を考えてみます。

　　　前から順番に計算する場合は，\( 6 \times 2 \times 5=12 \times 5=60 \)
　　　\( 2 \times 5 \) を先に計算すると，\( 6 \times 2 \times 5=6 \times 10=60 \)

　　となり，\( 2 \times 5 \) を先に計算することで，途中で \( 10 \) という切りのいい数が出てきて，
　　より簡単に計算できるようになります。

正の数・負の数のかけ算の結果をまとめると･･･

正の数・負の数のかけ算の結果は絶対値どうしの積に「 ＋ 」または「 － 」の符号をくっつけることで求められます。

２つの数のかけ算

例えば，\( -2 \) を \( 2 \times (-1) \) つまり，\( 2 \) に\( -1 \) をかけてできた数と考えると，
\( -2 \) と \( 2 \) は，絶対値が同じで符号だけを入れ替えた関係にあることから，
\( -1 \) をかけるということは「 ＋ 」→「 － 」または「 － 」→「 ＋ 」に符号を入れ替えることと同じであると考えることができます。

これをもとに負の数を含むかけ算の積について考えると，次のようになります。

●　負の数 \( \times \) 正の数 の場合 （例：\( -2 \times 3 \) ）

●　正の数 \( \times \) 負の数 の場合 （例：\( 2 \times (-3) \) ）

●　負の数 \( \times \) 負の数 の場合 （例：\( -2 \times (-3) \) ）

となります。

以上のことから，正の数・負の数のかけ算の結果をまとめると次のようになります。

つまり，
　２つの数が同じ符号の場合は，絶対値の積に「 ＋ 」の符号をつける
　２つの数が異なる符号の場合は，絶対値の積に「 － 」の符号をつける
ことになります。

３つ以上の数のかけ算

先程の２つの数のかけ算のときと同じ考え方で負の数が３個の場合と４個の場合について符号がどのようになるか確認します。

●　負の項が３個の場合 （例：\( -2 \times (-3) \times (-4) \) ）
　　\( -2 \times (-3) \times (-4)=\{ 2 \times (-1) \} \times \{ 3 \times (-1) \} \times \{ 4 \times (-1) \} \)
　　　　　　　　　　　　\( =(2 \times 3 \times 4) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =24 \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =-24 \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =24 \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =-24 \)

●　負の項が４個の場合 （例：\( -2 \times (-3) \times (-4) \times (-5) \) ）
　　\( -2 \times (-3) \times (-4) \times (-5)=\{ 2 \times (-1) \} \times \{ 3 \times (-1) \} \times \{ 4 \times (-1) \} \times \{ 5 \times (-1) \} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =(2 \times 3 \times 4 \times 5) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =120 \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-120 \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =120 \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-120 \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =120 \)

これらのことから，
　式の中に含まれる負の項が奇数個の場合，絶対値の積に「 － 」の符号をつける
　式の中に含まれる負の項が偶数個の場合は，絶対値の積に「 ＋ 」の符号をつける
ことになります。

この符号のつけ方を覚えておけば上の例のように \( -1 \) だけを取り出してかける必要がなくなるので
式を見ただけで自然に出てくるぐらいきっちり身につけておいてください。

\( -2 \times (-3) \times (-4) \times (-5) \) の場合，負の項が４個（偶数個）なので，商の符号は「 ＋ 」になり，
　\( -2 \times (-3) \times (-4) \times (-5)=+(2 \times 3 \times 4 \times 5) \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( =120 \)

と簡単に計算ができます。

正の数・負の数のわり算

ここでは，正の数・負の数のわり算について解説していきます。
かけ算のことを 除法（じょほう） ，わり算（除法）によって求められた結果を 商 と呼びます。

正の数 \( \div \) 正の数の場合

これは，算数で学んだなじみのあるわり算になります。

例として \( 2 \div 3 \) について考えてみます。
わり算はわる数を分母と分子をひっくり返した数のかけ算にできるので，

　\( 2 \div 3=2 \div \dfrac{3}{1} \)
　　　　\( =2 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　\( =\dfrac{2}{3} \)

となります。

ちなみに，分母と分子をひっくり返した数を 逆数 と呼びます。
もとの数と逆数の積は必ず \( 1 \) になります。
　例  \( \dfrac{2}{3} \) の場合
　　　\( \dfrac{2}{3} \) の逆数は \( \dfrac{3}{2} \) になるので，
　　　　\( \dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{2 \times 3}{3 \times 2}=\dfrac{6}{6}=1 \)

負の数 \( \div \) 正の数の場合

例として \( -2 \div 3 \) について考えてみます。
負の数を含む場合も正の数同士の場合と同じようにわる数の逆数をとることでかけ算として計算ができます。

となります。

正の数 \( \div \) 負の数の場合

例として \( -2 \div 3 \) について考えると次のようになります。

となります。

負の数 \( \div \) 負の数の場合

例として \( -2 \div 3 \) について考えると次のようになります。

正の数・負の数のわり算の結果をまとめると･･･

２つの数のわり算

負の数を含む場合も正の数同士の場合と同じようにわる数の逆数をとることでかけ算として計算ができます。
また、正の数の逆数は正の数，負の数の逆数は負の数で，符号が変わりません。

これらのことから，正の数・負の数のわり算の結果をまとめると次のようになります。

つまり，
　２つの数が同じ符号の場合は，絶対値の商に「 ＋ 」の符号をつける
　２つの数が異なる符号の場合は，絶対値の商に「 － 」の符号をつける
ことになります。

３つ以上の数のわり算

先程の２つの数のかけ算のときと同じ考え方で負の数が３個の場合と４個の場合について符号がどのようになるか確認します。

●　負の項が３個の場合 （例：\( -2 \div (-3) \div (-4) \) ）
　　\( -2 \div (-3) \div (-4)=-2 \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) \)
　　　　　　　　　　　　\( =\{ 2 \times (-1) \} \times \left\{ \dfrac{1}{3} \times (-1) \right\} \times \left\{ \dfrac{1}{4} \times (-1) \right\} \)
　　　　　　　　　　　　\( =\left( 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \right) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{6} \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =-\dfrac{1}{6} \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{6} \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　\( =-\dfrac{1}{6} \)

●　負の項が４個の場合 （例：\( -2 \div (-3) \div (-4) \div (-5) \) ）
　　\( -2 \div (-3) \div (-4) \div (-5)=-2 \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \times \left( -\dfrac{1}{4} \right) \times \left( -\dfrac{1}{5} \right) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\{ 2 \times (-1) \} \times \left\{ \dfrac{1}{3} \times (-1) \right\} \times \left\{ \dfrac{1}{4} \times (-1) \right\} \times \left\{ \dfrac{1}{5} \times (-1) \right\} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\left( 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{5} \right) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{2}{3 \times 4 \times 5} \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{30} \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-\dfrac{1}{30} \times (-1) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{30} \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =-\dfrac{1}{30} \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{30} \)

これらのことから，
　式の中に含まれる負の項が奇数個の場合，絶対値の商に「 － 」の符号をつける
　式の中に含まれる負の項が偶数個の場合は，絶対値の商に「 ＋ 」の符号をつける
ことになります。

この符号のつけ方を覚えておけば上の例のように \( -1 \) だけを取り出してかける必要がなくなるので
式を見ただけで自然に出てくるぐらいきっちり身につけておいてください。

\( -2 \div (-3) \div (-4) \div (-5) \) の場合，負の項が４個（偶数個）なので，商の符号は「 ＋ 」になり，
　\( -2 \div (-3) \div (-4) \div (-5)=+(2 \div 3 \div 4 \div 5) \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( =+ \left( 2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{5} \right) \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( =+\dfrac{2}{3 \times 4 \times 5} \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( =\dfrac{1}{30} \)

と簡単に計算ができます。

かけ算とわり算が混じった計算

逆数をとってかけ算だけの式にしてから計算する

例として，\( 12 \div 4 \times 2 \div 3 \) の場合を考えてみます。

　\( 12 \div 4 \times 2 \div 3=12 \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \dfrac{1}{3} \)
　　　　　　　　 \( =\dfrac{12 \times 2}{4 \times 3} \)
　　　　　　　　 \( =2 \)

特に整数だけの計算の場合，暗算で計算しがちですが，丁寧に分数の形で書き出して計算していくことをオススメします。

その理由は，わり算を含む場合は乗法の結合法則の使い方を間違えると計算結果が変わってしまうからです。
次に，乗法の結合法則の使い方を間違える典型例を示します。

９５％の大人が間違える(らしい)！　\( 9 \times 9 \div 9 \times 9=\;\boxed{　?　} \)

正解は \( 9 \times 9 \div 9 \times 9=\color{red}{81} \) です。

間違える人の中で多いとされている答えは \( 9 \times 9 \div 9 \times 9=\color{blue}{1} \) です。
これは，間違った形で結合法則を使って
　\( 9 \times 9 \div 9 \times 9=9 \times 9 \div \color{blue}{(9 \times 9)} \)
　　　　　　　　\( =81 \div 81 \)
　　　　　　　　\( =1 \)
と計算しているからだと思われます。

乗法の結合法則が成り立つのはかけ算の部分だけなので，結合法則を使うのであれば
　\( 9 \times 9 \color{red}{ \div 9} \times 9=9 \times 9 \color{red}{\times \dfrac{1}{9}} \times 9 \)
　　　　　　　　\( =9 \times 9 \times \left( \dfrac{1}{9} \times 9 \right) \)
　　　　　　　　\( =9 \times 9 \times 1 \)
　　　　　　　　\( =81 \)
としなければなりません。

暗算で計算できるため，さらっと計算しやすいところから計算してしまいがちですが，
丁寧に
　\( 9 \times 9 \div 9 \times 9=9 \times 9 \times \dfrac{1}{9} \times 9 \)
　　　　　　　　\( =\dfrac{9 \times 9 \times 9}{9} \)
　　　　　　　　\( =81 \)
とすれば，計算間違いをしにくくなります。

負の数を含む場合は？

また，負の数を含む計算の場合には，かけ算だけ，わり算だけのときと同じように絶対値だけで計算をして式の中に含まれる負の数の個数に応じて「 ＋ 」または「 ー 」の符号をつけることで値を求められます。

●　負の数が１個の場合 （例：\( 12 \div 4 \times 2 \div (-3) \) ）
　　\( 12 \div 4 \times 2 \div (-3)=12 \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \)
　　　　　　　　　　　 \( =12 \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \left\{ \dfrac{1}{3} \times ( -1 ) \right\} \)
　　　　　　　　　　　 \( =\left( 12 \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \dfrac{1}{3} \right) \times ( -1 ) \)
　　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{12 \times 2}{4 \times 3} \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　 \( =2 \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　 \( =-2 \)

●　負の数が２個の場合 （例：\( -12 \div 4 \times 2 \div (-3) \) ）
　　\( -12 \div 4 \times 2 \div (-3)=-12 \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \left( -\dfrac{1}{3} \right) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =\{ 12 \times (-1) \} \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \left\{ \dfrac{1}{3} \times ( -1 ) \right\} \)
　　　　　　　　　　　　 \( =\left( 12 \times \dfrac{1}{4} \times 2 \times \dfrac{1}{3} \right) \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{12 \times 2}{4 \times 3} \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =2 \times (-1) \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =-2 \times (-1) \)
　　　　　　　　　　　　 \( =2 \)

これらのことから，
　式の中に含まれる負の数が奇数個の場合，絶対値の計算結果に「 － 」の符号をつける
　式の中に含まれる負の数が偶数個の場合は，絶対値の計算結果に「 ＋ 」の符号をつける
ことになります。

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算数で学んできたたし算は，答えが \( 0 \) または正の数の範囲に限られていました。
数学においては，負の数を含む場合についてのたし算を学んでいきます。

たし算のことを 加法（かほう） ，たし算（加法）によって求められた結果を 和 と呼びます。

数式の書き方のルール

負の数を扱うことによって，数式を書くときに新しいルールが追加されます。

その新しいルールは
「＋」，「－」，「×」，「÷」の記号の後ろに書く数を符号をつけて表すときは必ずかっこをつける
です。

なぜかというと，
負の数を扱い始めたことによって「＋」と「－」の記号は次の２つの意味を持つことになりました。
　１．たし算・ひき算を表す記号
　２．その数が正の数・負の数のどちらであるかを表す記号 → これが追加された

例えば，\( 2 \) と \( -3 \) のたし算をかっこを使わずに書くと \( 2+-3 \) となります。
この式だけを見たとき，「－」は上の１．２どちらの意味を表しているのかがわかりにくく，
１の意味で考える人と２の意味で考える人に分かれてしまう恐れがあります。

そこで，\( -3 \) という負の数を表している（２の意味である）ことをわかりやすく示すために
\( (-3) \) と書き，式は \( 2+(-3) \) と表します。
負の数が最初にくるときや正の数を符号をつけずに表す場合はかっこを省略できますが，
正の数を符号をつけて表す場合にはかっこが必要です。

　正しい例 ･･･ \( 2+(-3) \)，\( 3-5 \)，\( 3-(+5) \)，\( -4+2 \)
　間違った例 ･･･ \( 2+-3 \)，\( 3-+5 \)，

正の数 \( + \) 正の数 のたし算

これは，算数で学んだなじみのあるたし算になります。

例として \( 2+3 \) について考えてみます。
「\( 2 \) に \( 3 \) を足した数」ということは，「\( 2 \) より \( 3 \) 大きい数」を表すので，
数直線を使って考えると

となります。

\( \color{green}{2}\color{red}{+}\color{blue}{3} \) を「\( \color{green}{2} \) から \( \color{red}{+} \) の方向に \( \color{blue}{3} \) 進んだ数」と考える方法もあるので，わかりやすい方で考えて大丈夫です。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，\( 2+3 \) は \( +2+(+3) \) と同じことです。
２つの数の符号は両方 \( + \) なので \( + \) のまま，絶対値は２つの数の絶対値の和になっています。

負の数 \( + \) 負の数 のたし算

例として \( -2+(-3) \) について考えてみます。
「\( -2 \) に \( -3 \) を足した数」ということは，「\( -2 \) より \( -3 \) 大きい数」を表しています。
「\( -3 \) 大きい数」は「\( 3 \) 小さい数」と言い換えることができるので，
「\( -2 \) より \( -3 \) 大きい数」は「\( -2 \) より \( 3 \) 小さい数」と同じことになります。
これを数直線を使って考えると，

つまり，\( -2+(-3)=-5 \) となります。
ちなみに，「\( -2 \) より \( 3 \) 小さい数」を数式で表すと，\( -2-3 \) となるので，
\( -2+(-3)=-2-3=-5 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，
２つの数の符号は両方 \( – \) なので \( – \) のまま，絶対値は２つの数の絶対値の和になります。

正の数 \( + \) 負の数 のたし算

例として \( 2+(-3) \) について考えてみます。
「\( 2 \) に \( -3 \) を足した数」ということは，「\( 2 \) より \( -3 \) 大きい数」を表しています。
また，「\( 2 \) より \( -3 \) 大きい数」は，「\( 2 \) より \( 3 \) 小さい数」といいかえることもできるので，
数直線を使って考えると

つまり，\( 2+(-3)=-1 \) となります。
ちなみに，「\( 2 \) より \( 3 \) 小さい数」を数式で表すと，\( 2-3 \) となるので，
\( 2+(-3)=2-3=-1 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，\( 2+(-3) \) は \( +2+(-3) \) と同じことであり，
符号は絶対値が大きい方の符号，絶対値は２つの数の絶対値の差になります。

負の数 \( + \) 正の数 のたし算

例として \( -2+3 \) について考えてみます。
「\( -2 \) に \( 3 \) を足した数」ということは，「\( -2 \) より \( 3 \) 大きい数」を表すので，
数直線を使って考えると

つまり，\( -2+3=1 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，\( -2+3 \) は \( -2+(+3) \) と同じことであり，
符号は絶対値が大きい方の符号，絶対値は２つの数の絶対値の差になります。

正の数・負の数のたし算の結果をまとめると･･･

正の数・負の数のたし算の結果についてまとめると次のようになります。

加法の交換法則と結合法則

加法の交換法則

たし算の式においては，たす順番を入れ替えても計算結果は等しくなります。
これを 加法の交換法則 といいます。
　〇 \( + \) □ \( = \) □ \( + \) 〇

例として \( 2+(-3) \) と \( (-3)+2 \) について考えてみます。

● \( 2+(-3) \) の場合
　 \( 2+(-3) \) は，「\( 2 \) より \( -3 \) 大きい数」または「\( 2 \) より \( 3 \) 小さい数」なので，

● \( (-3)+2 \) の場合
　 \( (-3)+2 \) は，「\( -3 \) より \( 2 \) 大きい数」なので，

と，どちらも計算結果は \( -1 \) で等しくなります。

加法の結合法則

加法の交換法則より，たし算だけの式の場合，計算順序を入れ替えても計算結果は等しくなることから，
３個以上の数を足す場合に足す順番を入れ替えても計算結果は等しくなります。
これを 加法の結合法則 といいます。

　\( ( \) 〇 \( + \) △ \( ) \; + \) □ \( = \) 〇 \( + \; ( \) △ \( + \) □ \( ) \)

ここから，
　〇 \( + \) △ \( + \) □ \( = \) 〇 \( + \) □ \( + \) △
　　　　　　　　 \( = \) △ \( + \) 〇 \( + \) □ \( = \) △ \( + \) □ \( + \) 〇
　　　　　　　　 \( = \) □ \( + \) 〇 \( + \) △ \( = \) □ \( + \) △ \( + \) 〇

例として，\( 2+3+4 \) の場合を考えてみます。

\( 2+3 \) を先に計算する場合は，\( (2+3)+4=5+4=9 \)
\( 3+4 \) を先に計算する場合は，\( 2+(3+4)=2+7=9 \)

となり，どちらの計算方法でも和は \( 9 \) で等しくなっています。

また，以下のとおり，加法の結合法則は負の数を含んだたし算でも成り立ちます。
例として，\( 2+(-3)+4 \) の場合を考えてみます。

\( 2+(-3) \) を先に計算する場合は，\( \{2+(-3)\}+4=-1+4=3 \)
\( (-3)+4 \) を先に計算する場合は，\( 2+\{(-3)+4\}=2+1=3 \)

となり，どちらの計算方法でも和は \( 3 \) で等しくなります。

正の数・負の数のひき算

ここでは，正の数・負の数のひき算について解説していきます。
ひき算のことを 減法（げんぽう） ，ひき算（減法）によって求められた結果を 差 と呼びます。

正の数 \( – \) 正の数 のひき算

「引かれる数の絶対値が引く数より大きい場合」と「引かれる数の絶対値が引く数より小さい場合」にわけて考えます。

引かれる数の絶対値が引く数の絶対値より大きい場合

これは，算数で学んだなじみのあるひき算になります。

ちなみに，ひき算の式 ○ \( – \) □ の〇の部分にあたる数が引かれる数，□の部分にあたる数が引く数になります。
例えば，\( 3-2 \) の場合では，\( 3 \) が引かれる数，\( 2 \) が引く数になります。

例として \( 3-2 \) について考えてみます。
「\( 3 \) から \( 2 \) をひいた数」ということは，「\( 3 \) より \( 2 \) 小さい数」を表すので，
数直線を使って考えると

つまり，\( 3-2=1 \) となります。

引かれる数の絶対値が引く数の絶対値より小さい場合

例として \( 2-3 \) について考えてみます。
「\( 2 \) から \( 3 \) をひいた数」ということは，「\( 2 \) より \( 3 \) 小さい数」を表しているので，
数直線を使って考えると

つまり，\( 2-3=-1 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，
符号は必ず「\( \bf{-} \)」 になり，絶対値は２つの数の絶対値の差 になります。

ちなみに，「\( 2 \) より \( 3 \) 小さい数」は，「\( 2 \) より \( -3 \) 大きい数」といいかえることもできるので，\( 2-3=2+(-3)=-1 \) とあえてたし算に書き直して考えることもできます。

負の数 \( – \) 負の数 のひき算

「引かれる数が引く数より大きい場合」と「引かれる数が引く数より小さい場合」にわけて考えます。

引かれる数の絶対値が引く数の絶対値より大きい場合

例として \( -3-(-2) \) について考えてみます。
「\( -3 \) から \( -2 \) をひいた数」ということは，「\( -3 \) より \( -2 \) 小さい数」を表しています。
「\( -2 \) 小さい数」は「\( 2 \) 大きい数」と言い換えることができるので，
「\( -3 \) より \( -2 \) 小さい数」は「\( -2 \) 小さい数」は「\( 2 \) 大きい数」と同じことになります。
これを数直線を使って考えると，

つまり，\( -3-(-2)=1 \) となります。
ちなみに，「\( -3 \) より \( 2 \) 大きい数」を数式で表すと，\( -3+2 \) となるので，
\( -3-(-2)=-3+2=-1 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，
符号は必ず「\( \bf{-} \)」 になり，絶対値は２つの数の絶対値の差 になります。

引かれる数の絶対値が引く数の絶対値より小さい場合

例として \( -2-(-3) \) について考えてみます。
「\( -2 \) から \( -3 \) をひいた数」ということは，「\( -2 \) より \( -3 \) 小さい数」を表しています。
「\( -3 \) 小さい数」は「\( 3 \) 大きい数」と言い換えることができるので，
「\( -2 \) より \( -3 \) 小さい数」は「\( -2 \) より \( 3 \) 大きい数」と同じことになります。
これを数直線を使って考えると，

つまり，\( -2-(-3)=1 \) となります。
ちなみに，「\( -2 \) より \( 3 \) 大きい数」を数式で表すと，\( -2+3 \) となるので，
\( -2-(-3)=-2+3=1 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，
符号は必ず「\( \bf{+} \)」 になり，絶対値は２つの数の絶対値の差 になります。

正の数 \( – \) 負の数 のひき算

例として \( 2-(-3) \) について考えてみます。
「\( 2 \) から \( -3 \) をひいた数」ということは，「\( 2 \) より \( -3 \) 小さい数」を表しています。
「\( -3 \) 小さい数」は「\( 3 \) 大きい数」と言い換えることができるので，
「\( 2 \) より \( -3 \) 小さい数」は「\( 2 \) より \( 3 \) 大きい数」と同じことになります。
これを数直線を使って考えると，

つまり，\( 2-(-3)=5 \) となります。
ちなみに，「\( 2 \) より \( 3 \) 大きい数」を数式で表すと，\( 2+3 \) となるので，
\( 2-(-3)=2+3=5 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，
符号は必ず「\( \bf{+} \)」 になり，絶対値は２つの数の絶対値の和 になります。

負の数 \( – \) 正の数 のひき算

例として \( -2-3 \) について考えてみます。
「\( -2 \) から \( 3 \) をひいた数」ということは，「\( -2 \) より \( 3 \) 小さい数」を表しているので，
これを数直線を使って考えると，

つまり，\( -2-3=-5 \) となります。

これを数直線を使わずに頭の中で計算すると，
符号は必ず「\( \bf{-} \)」 になり，絶対値は２つの数の絶対値の和 になります。

正の数・負の数のひき算の結果をまとめると･･･

正の数・負の数のひき算の結果についてまとめると次のようになります。

たし算とひき算が混じった計算

加法の交換法則、加法の結合法則より，たし算とひき算が混じった計算ではたし算だけをまとめて計算，ひき算だけをまとめて計算することができます。

　〇 \( – \) △ \( + \) □ \( – \) ◇ \( = \) 〇 \( + \) □ \( – \) △ \( – \) ◇
　　　　　　　　　　　\( = \) 〇 \( + \) □ \( -( \) △ \( + \) ◇ \( ) \)

例として，\( 5-4+3-2 \) の場合を考えてみます。

前から順番に計算する場合は，
　\( 5-4+3-2=1+3-2 \)
　　　　　　　　\( =4-2 \)
　　　　　　　　\( =2 \)

たし算を先に計算する場合は，
　\( 5-4+3-2=5+3-4-2 \)
　　　　　　　　\( =8-4-2 \)
　　　　　　　　\( =4-2 \)
　　　　　　　　\( =2 \)

となり，どちらの計算方法でも和は \( 2 \) で等しくなっています。

次に，ひき算の部分だけを考えると，
\( 5+3 \) の結果から \( 4 \) をひいて，さらに \( 2 \) をひく
つまり，\( 4+2=6 \) をひくと考えられるので，
ひき算の部分だけをまとめて計算して
　\( 5-4+3-2=\color{red}{5}\color{blue}{-4}\color{red}{+3}\color{blue}{-2} \)
　　　　　　　　\( =\color{red}{5}\color{red}{+3}\color{blue}{-4}\color{blue}{-2} \)
　　　　　　　　\( =\color{red}{5}\color{red}{+3}\color{blue}{-(4+2)} \)
　　　　　　　　\( =\color{red}{8}\color{blue}{-6} \)
　　　　　　　　\( =2 \)
とすることもできます。

また，負の数を含む計算の場合には，次の法則で符号を変えてかっこを使わない式に直すと計算しやすくなります。

符号のかえ方は次のとおりです。

例として，\( 5-4+(-3)-(-2) \) の場合を考えてみます。
上の法則にしたがって符号を変えると，
　\( 5-4+(-3)-(-2)=5-4-3+2 \)
　　　　　　　　\( =5+2-4-3 \)
　　　　　　　　\( =5+2-(4+3) \)
　　　　　　　　\( =7-7 \)
　　　　　　　　\( =0 \)

となります。

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「算数」では、\( 0 \)（ゼロ）より大きい数について学んできましたが、
「数学」では，\( 0 \) より大きい数だけではなく，\( 0 \) より小さい数についても学んでいきます。

この単元で学ぶことは数学の基礎中の基礎で，これからいろいろ学んでいく中で当たり前のように使い続ける内容なので，確実にマスターしていきましょう。

正の数と負の数

\( 0 \) より大きい数を 正の数（せいのすう），\( 0 \) より小さい数を 負の数（ふのすう）といい，
正の数，負の数には分数や小数も含みます。

正の数とは

算数では，\( 0 \) より大きい整数，小数，分数について学習してきました。
それらをまとめて 正の数（せいのすう）といいます。

正の数は \( 0 \) よりどれだけ大きいかを表していて，数字の前に＋（プラス）の記号をつけて、
\( ＋1 \;，＋2 \;， ･･･ \) と書きます。
　例：\( 0 \) より \( 1 \) 大きい数 → \( +1 \)
　　　\( 0 \) より \( \dfrac{1}{2} \) 大きい数 → \( +\dfrac{1}{2} \)

正の数については、最初の＋（プラス）を省略して，算数のときと同じように数字だけで表すことができます。
　例：　\( 1 \;，2 \;，3 \;，\dfrac{1}{2} \;，3.14 \;\; ･･･ \)

正の数（せいのすう）は「\( 0 \) より大きい」数なので，\( 0 \) は含みません。

負の数とは

正の数に対して，\( 0 \) より小さい整数，小数，分数をまとめて 負の数（ふのすう）といいます。

負の数は \( 0 \) よりどれだけ小さいかを表していて，数字の前に－（マイナス）の記号をつけて、
\( -1 \;, -2 \; ･･･ \) と書きます。
　例：\( 0 \) より \( 1 \) 小さい数 → \( -1 \)
　　　\( 0 \) より \( \dfrac{1}{2} \) 小さい数 → \( -\dfrac{1}{2} \)

正の数の場合と違って、－（マイナス）は省略できませんので、必ず書いてください。

負の数（ふのすう）は「\( 0 \) より小さい」数なので，\( 0 \) は含みません。

整数と自然数

小数でも分数でもない，小数点以下が \( 0 \) になる切りのいい数を整数といい，
\( 0 \) より大きい整数を 正の整数 ，\( 0 \) より小さい整数を 負の整数 といいます。
\( 0 \) は 正の整数，負の整数 どちらにも含まれません。
つまり，整数は「正の整数」，「負の整数」，「\( 0 \)」の３種類に分けることができます。

また，正の整数は 自然数 と呼ばれることもあります。

【例題】
次の数の中から 正の数，負の数，整数，自然数，負の整数 のそれぞれにあてはまるものをすべて選びなさい。
　　　\( \boxed{4 \;\;,\;\; -9 \;\;,\;\; \dfrac{3}{4} \;\;,\;\; 0 \;\;,\;\; 3.14 \;\;,\;\; -5 \;\;,\;\; -\dfrac{7}{3} \;\;,\;\; +8 \;\;,\;\; -2.1} \)

数学の世界での数直線

算数の世界では \( 0 \) より大きい数だけを扱っていたので，数直線は，一番小さい数 \( 0 \) を左端にしたものでした。

数学の世界では \( 0 \) より小さい数も扱うので，数直線も少し変わります。
数直線は右に行くほど大きい数，左に行くほど小さい数を表すので，
負の数は \( 0 \) より小さい数であることから，
負の数を表す数直線は，一番大きい数 \( 0 \) を右端にしたものになります。

なので，数学の世界の数直線は，これら２つをくっつけたものになり，
\( 0 \) より右側が正の数，\( 0 \) より左側が負の数を表しています。
また，\( 0 \) を表す点を 原点 といいます。

負の数を数直線上に表す

負の数を数直線上に表す場合も考え方は正の数の場合と同じです。

例１：\( -2 \) を数直線上に表す
　　　下の数直線で目盛１個は \( 1 \) を表していて，左に行くほど小さい数を表しています。
　　　\( -2 \) は，\( 0 \) より \( 2 \) だけ小さい数を表しているので，
　　　\( -2 \) を表す点は，\( 0 \) より目盛２個分だけ左の点になります。

例２：\( -\dfrac{3}{2} \) を数直線上に表す
　　　下の数直線で大きい目盛１個は \( 1 \) を，小さい目盛１個は \( \dfrac{1}{2} \) を表していて，
　　　左に行くほど小さい数を表しています。
　　　\( -\dfrac{3}{2} \) は，\( 0 \) より \( \dfrac{3}{2} \) だけ小さい数を表していて，\( \dfrac{3}{2} \) は小さい目盛３個分になるので，
　　　\( -\dfrac{3}{2} \) を表す点は，\( 0 \) より小さい目盛３個分だけ左の点になります。

数直線に数を表す方法（書き方）

１．その数が表すところに ●（黒丸）を書く
２．書き込んだ ●（黒丸）の上側にその数を 必ず 書く
　　（数直線の下側に書いてある数は目盛を表す数なので，書いていないものと考えます）

正の数・負の数を使っていろいろな量を表す

「－（マイナス）」の記号（符号）には，「反対」ということを表す効果があります。
例えば，乾電池のプラス極の反対側はマイナス極になっています。

正の数は基準となる値 \( 0 \) よりどれだけ大きいか，負の数は，基準となる値 \( 0 \) よりどれだけ小さいかを表していて，ある基準に対して反対の性質を表しています。

　例：\( \color{red}{+}2 \) ･･･ \( 0 \) より \( 2 \) 大きい
　　　\( \color{blue}{-}2 \) ･･･ \( 0 \) より \( 2 \) 小さい

これを利用して，「－（マイナス）」をつけることによっていろいろな量に対して反対の意味を表すことができます。

反対の性質を持つ量（増える減る・高い低いなど）を表す

身近な \( 0 \) より小さい量の例として「気温 \( -2 \; C^\circ \)」について考えてみます。

「気温 \( \color{red}{+}2 \; C^\circ \)」は，水が凍り始める温度「\( 0 \; C^\circ \)」より \( 2 \; C^\circ \) 髙い温度を表しています。
これに対して，
「気温 \( \color{blue}{-}2 \; C^\circ \)」は，水が凍り始める温度「\( 0 \; C^\circ \)」より \( 2 \; C^\circ \) 低い温度を表しています。

数直線で考えると，数直線は右に行くほど値は大きくなる，左に行くほど値は小さくなるので，
一般的には，「増える」，「髙い」，「重い」を正の数，「減る」，「低い」，「軽い」を負の数
を使って表すことが多いです。

このように考えると，
体重が \( 5 \; kg \) 増えたことを \( \color{red}{+}5 \; kg \) と表すとき，
体重が \( 5 \; kg \) 減ったことは \( \color{blue}{-}5 \; kg \) と表すことができます。

このように，いろいろな値に「－（マイナス）」をつけることによって，反対の意味を持つ値を表すことができます。

基準となる値との差を表す

\( 0 \) ではないある値を基準として，基準となる値との差を正の数，負の数を使って表すことで，より簡単に表すことができます。

例えば，Ａ～Ｆの６人が合格点が \( 60 \) 点に設定されているテストを受け，結果は下の表のとおりであったとします。
このとき，Ａ～Ｆの得点と合格点 \( 60 \) 点との差を合格点より高い得点を正の数，低い得点を負の数として表してみます。

このとき，合格点 \( 60 \) 点を基準とすると，

　Ａの得点は \( 65 \) 点で，合格点 \( 60 \) 点より \( 5 \) 点高いので，差は \( +5 \) 点と表すことができます。
　Ｂの得点は \( 58 \) 点で，合格点 \( 60 \) 点より \( 2 \) 点低いので，差は \( -2 \) 点と表すことができます。
　Ｃの得点は \( 73 \) 点で，合格点 \( 60 \) 点より \( 13 \) 点高いので，差は \( +13 \) 点と表すことができます。
　Ｄの得点は \( 60 \) 点で，合格点 \( 60 \) 点と等しいので，差は \( 0 \) 点と表すことができます。
　Ｅの得点は \( 53 \) 点で，合格点 \( 60 \) 点より \( 7 \) 点低いので，差は \( -7 \) 点と表すことができます。
　Ｆの得点は \( 49 \) 点で，合格点 \( 60 \) 点より \( 11 \) 点低いので，差は \( -11 \) 点と表すことができます。

同じ意味のことを反対の言葉を使って言い換える

また，この他にも，体重が \( 5 \; kg \) 増えたことを，意味を変えないように体重が \( \color{blue}{-}5 \; kg \) 減ったと言いかえることができます。

これは，「増えた」を「減った」という反対の意味の言葉に変えているので，値の方も反対を表す \( \color{blue}{-}5 \; kg \) に変えることで，意味が同じになるようにしています。

絶対値と数の大小

符号を変える

\( +2 \) から \( -2 \)，\( -5 \) から \( +5 \) などのように，数字はそのままで符号だけをとりかえることを 符号を変える といいます。

\( +2 \) と \( -2 \) はどちらも数直線上における \( 0 \) からの距離は \( 2 \) ，
\( -5 \) と \( +5 \) はどちらも数直線上における \( 0 \) からの距離は \( 5 \)
になっていて，符号を変えた２つの数は数直線上における \( 0 \) からの距離が等しくなります。

絶対値とは

絶対値とは、数直線上で原点からの距離を表す値のことです。
　\( \color{red}{+}2 \) は，原点からの距離が \( 2 \) なので，絶対値は \( 2 \)
　\( \color{blue}{-}5 \) は，原点からの距離が \( 5 \) なので，絶対値は \( 5 \)
となります。

また，\( \color{red}{+}2 \) と \( \color{blue}{-}2 \) は，どちらも原点からの距離が \( 2 \) なので，
絶対値は \( 2 \) になります。ここから，符号をはずした数が絶対値になると考えることができます。

例：\( \color{red}{+}2 \)  から符号（＋）をはずすと \( +2 \) → \( 2 \) なので，絶対値は \( 2 \)
　　\( \color{blue}{-}2 \)  から符号（－）をはずすと \( -2 \) → \( 2 \) なので，絶対値は \( 2 \)

ここから，絶対値が等しくなる数は正の数，負の数各１個ずつ，つまり２個存在する（ \( 0 \) は除く）ことになります。

ここから，絶対値についてテストでよく出るパターンについて考えます。

絶対値が ○ 以下の整数

例として「絶対値が \( 3 \) 以下の整数」について考えます。

絶対値は符号をはずした数なので，「絶対値が \( 3 \) 以下」（注）になるとき，
あてはまる絶対値は，\( 3，2，1，0 \) になります。
　絶対値が \( 3 \) の整数は，\( 3 \) と \( -3 \)
　絶対値が \( 2 \) の整数は，\( 2 \) と \( -2 \)
　絶対値が \( 1 \) の整数は，\( 1 \) と \( -1 \)
　絶対値が \( 0 \) の整数は，\( 0 \)
なので，「絶対値が \( 3 \) 以下の整数」は \( 3，2，1，0，-1，-2，-3 \) の７個になります。

絶対値が ○ より小さい整数

例として「絶対値が \( 3 \) より小さい整数」について考えます。

絶対値は符号をはずした数なので，「絶対値が \( 3 \) より小さく」なるとき，
あてはまる絶対値は，\( 2，1，0 \) になります。
　絶対値が \( 2 \) となる整数は，\( 2 \) と \( -2 \)
　絶対値が \( 1 \) となる整数は，\( 1 \) と \( -1 \)
　絶対値が \( 0 \) となる整数は，\( 0 \)
なので，「絶対値が \( 3 \) より小さい整数」は \( 2，1，0，-1，-2 \) の５個になります。

ちなみに，「絶対値が \( 3 \) 未満の整数」の場合も考え方，結果は同じになります。

絶対値が ○ 以上 △ 未満の整数

例として「絶対値が \( 2 \) 以上 \( 5 \) 未満の整数」について考えます。

絶対値は符号をはずした数なので，「絶対値が \( 2 \) 以上 \( 5 \) 未満」（注）になるとき，
あてはまる絶対値は，\( 4，3，2 \) になります。
ここから，
　絶対値が \( 4 \) の整数は，\( 4 \) と \( -4 \)
　絶対値が \( 3 \) の整数は，\( 3 \) と \( -3 \)
　絶対値が \( 2 \) の整数は，\( 2 \) と \( -2 \)
なので，「絶対値が \( 2 \) 以上 \( 5 \) 未満の整数」は \( 4，3，2，-2，-3，-4 \) の６個になります。

正の数・負の数の大小

正の数・負の数で表されたいろいろな数の大小を比較する方法を考えます。

数直線上に書き出して考える

数直線では，右に行くほど大きい数，左に行くほど小さい数を表しているので，
比較する数が数直線上のどの位置にあるか調べることで大小を比較することができます。

正の数どうしの大小を比較する
正の数は \( 0 \) より大きい数なので，数字が大きい数ほど数直線の右側に位置しています。
ここから，正の数どうしの場合は，数字が大きい数ほど大きいことになります。

例：\( 2 \) と \( 5 \) の大小を比較する
　　\( 2 \) と \( 5 \) を数直線上に表すと，数字が大きい数 \( 5 \) の方が右側に位置しているので，
　　\( 5 \) は \( 2 \) より大きい（\( 2 \) は \( 5 \) より小さい）といえます。

負の数どうしの大小を比較する
負の数は \( 0 \) より小さい数なので，数字が大きい数ほど数直線の左側に位置しています。
ここから，負の数どうしの場合は，数字が大きい数ほど小さいことになります。

例：\( -2 \) と \( -5 \) の大小を比較する
　　\( -2 \) と \( -5 \) を数直線上に表すと，数字が大きい数 \( -5 \) の方が左側に位置しているので，
　　\( -5 \) は \( -2 \) より小さい（\( -2 \) は \( -5 \) より大きい）といえます。

正の数と負の数の大小を比較する
正の数は \( 0 \) より大きい数，負の数は \( 0 \) より小さい数なので，
数直線で表すと，正の数は \( 0 \) より右側，負の数は \( 0 \) より左側に位置しています。
ここから，正の数と負の数の場合は，必ず正の数の方が大きいことになります。

例として，\( 2 \) と \( -5 \) を数直線上に表すと，正の数 \( 2 \) の方が右側に位置しています。

例：\( 2 \) と \( -5 \) の大小を比較する
　　\( 2 \) と \( -5 \) を数直線上に表すと，正の数 \( 2 \) の方が右側に位置しているので，
　　\( 2 \) は \( -5 \) より大きい（\( -5 \) は \( 2 \) より小さい）といえます。

数直線を使わずに大小を比較する

以上のように，数直線上にそれぞれの数を書き出すことで，複数の数を比較することができますが，
毎回数直線を書いていたのでは，時間がかかってしまいます。

ここまでで数の大小を表す性質

　・ 正の数どうしの場合は，数字が大きい数ほど大きい
　・ 負の数どうしの場合は，数字が大きい数ほど小さい
　・ 正の数と負の数の場合は，必ず正の数の方が大きい

がわかったので，慣れてきたら，以下の手順で数直線を書かずに頭の中で比較するようにしましょう。

２つの数を比較する場合
　手順１．それぞれの数の符号を確認する。
　　　　　符号が異なっていれば，正の数の方が大きい
　手順２．符号が同じであれば，符号をはずした数字だけで大小を比較する。
　　　　　正の数どうしの場合 ･･･ 符号をはずした数字が大きい方が大きい
　　　　　負の数どうしの場合 ･･･ 符号をはずした数字が大きい方が小さい

３つ以上の数を比較する場合
　手順１．それぞれの数の符号を確認し，負の数のグループ（と \( 0 \) ）と正の数のグループに分ける
　手順２．負の数だけで符号をはずして数字の大小を比較する。
　手順３．数字の大きいほうから順に左から並べる。
　手順４．正の数だけで符号をはずして数字の大小を比較する。
　手順５．数字の小さいほうから順に左から並べる。

例として，次の大小を比較し，小さい順に並べてみます。

　　　\( -\dfrac{3}{2}，2，-5，0，-3，1.5 \)

　手順１．それぞれの数の符号を確認し，負の数のグループ（と \( 0 \) ）と正の数のグループに分ける

　手順２．負の数だけ符号をはずす。

　手順３．数字の大きいほうから順に左から並べる。

　手順４．符号を戻す。

　手順５．正の数だけで符号をはずす。

　手順６．数字の小さいほうから順に左から並べる。

　手順７．符号を戻す。

　手順８．負の数のグループ（と \( 0 \) ）と正の数のグループをすべてくっつけて左から順に書く。

手順１～７をまとめると，こんな感じになります。

数の大小を記号を使って表す

数の大小は記号を使って簡単に表すことができます。
例えば，\( 2 \) と \( -5 \) の大小を記号を使って表すと

　　\( 2>-5 \) または \( -5<2 \)

となります。

この「＞」や「＜」の記号を 不等号 といい，大きい数の方が開く向きに書きます。
上の例の場合，\( 2 \) の方が大きいので，\( 2 \) が書いてある方が開くように書きます。

また，読み方は「＞」が「大（だい）なり」，「＜」が「小（しょう）なり」で，

　\( 2>-5 \) と書いてある場合は「\( 2 \) 大なり \( -5 \)」
　\( -5<2 \) と書いてある場合は「\( -5 \) 小なり \( 2 \)」

と読みます。

絶対値の大小と数の大小の関係

正の数どうしの絶対値の大小を比較すると･･･
絶対値の大小と数の大小の関係は必ず同じになります。

例：\( 2 \) と \( 5 \) の絶対値の大小と数の大小の関係を確認する
　　\( 2 \) の絶対値と \( 5 \) の絶対値の大小を比較すると，
　　\( 2 \) の絶対値は \( 2 \)，\( 5 \) の絶対値は \( 5 \) なので，\( 5 \) の絶対値の方が大きくなります。
　　\( 2 \) と \( 5 \) の大小を比較すると，\( 5 \) の方が大きいので，
　　絶対値の大小と数の大小の関係はどちらも同じになります。

負の数どうしの絶対値の大小を比較すると･･･
絶対値の大小と数の大小の関係は必ず反対になります。

例：\( -2 \) と \( -5 \) の絶対値の大小と数の大小の関係を確認する
　　\( -2 \) の絶対値と \( -5 \) の絶対値の大小を比較すると，
　　\( -2 \) の絶対値は \( 2 \)，\( -5 \) の絶対値は \( 5 \) なので，\( -5 \) の絶対値の方が大きくなります。
　　\( -2 \) と \( -5 \) の大小を比較すると，\( -2 \) の方が大きいので，
　　絶対値の大小と数の大小の関係は反対になります。

正の数と負の数の絶対値の大小を比較すると･･･
絶対値の大小と数の大小の関係は比較する数によって異なります。

例１：\( 2 \) と \( -5 \) の絶対値の大小と数の大小の関係を確認する
　　　\( 2 \) の絶対値と \( -5 \) の絶対値の大小を比較すると，
　　　\( 2 \) の絶対値は \( 2 \)，\( -5 \) の絶対値は \( 5 \) なので，\( -5 \) の絶対値の方が大きくなります。
　　　\( 2 \) と \( -5 \) の大小を比較すると，\( 2 \) の方が大きいので，
　　　絶対値の大小と数の大小の関係は反対になります。

例２：\( 4 \) と \( -3 \) の絶対値の大小と数の大小の関係を確認する
　　　\( 4 \) の絶対値と \( -3 \) の絶対値の大小を比較すると，
　　　\( 4 \) の絶対値は \( 4 \)，\( -3 \) の絶対値は \( 3 \) なので，\( 4 \) の絶対値の方が大きくなります。
　　　\( 4 \) と \( -3 \) の大小を比較すると，\( 4 \) の方が大きいので，
　　　絶対値の大小と数の大小の関係はどちらも同じになります。

数直線を使っていろいろな数を求める

ここまでは，正の数・負の数を \( 0 \) を基準としていろいろな数を表してきました。

たとえば，\( -5 \) は \( 0 \) より \( 5 \) 小さい数を表していますが，
逆に，\( 0 \) は \( -5 \) より \( 5 \) 大きい数と考えることもできます。

いくつかの例を使って，数直線を使っていろいろな数を求める方法を考えてみます。

例１．\( -3 \) より \( 4 \) 大きい数を求める
　　　数直線では右に行くほど大きい値になるので，
　　　「\( -3 \) より \( 4 \) 大きい数」は，数直線上で \( -3 \) から右に \( 4 \) 進んだところの数 \( 1 \) になります。

例２．\( 4 \) より \( 6 \) 小さい数を求める
　　　数直線では左に行くほど小さい値になるので，
　　　「\( 4 \) より \( 6 \) 小さい数」は，数直線上で \( 4 \) から左に \( 6 \) 進んだところの数 \( -2 \) になります。

例３．\( -1 \) より \( -3 \) 大きい数を求める
　　　「\( -3 \) 大きい数」は「\( 3 \) 小さい数」と言い換えることができる（理由はコチラ）ので，
　　　「\( -1 \) より \( -3 \) 大きい数」は「\( -1 \) より \( 3 \) 小さい数」と同じになります。
　　　数直線では左に行くほど小さい値になるので，
　　　「\( -1 \) より \( 3 \) 小さい数」は，数直線上で \( -1 \) から左に \( 3 \) 進んだところの数 \( -4 \) になります。

例４．\( -2 \) より \( -4 \) 小さい数を求める
　　　「\( -4 \) 小さい数」は「\( 4 \) 大きい数」と言い換えることができる（理由はコチラ）ので，
　　　「\( -2 \) より \( -4 \) 小さい数」は「\( -2 \) より \( 4 \) 大きい数」と同じになります。
　　　数直線では右に行くほど大きい値になるので，
　　　「\( -2 \) より \( 4 \) 大きい数」は，数直線上で \( -2 \) から右に \( 4 \) 進んだところの数 \( 2 \) になります。

The post 正の数・負の数　～基礎１・いろいろな数・量・大小の表し方～ first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.