４ケタの場合の例を確認する

例えば、４ケタの数字 \(M\) を０から９までの整数を使って \(abcd\) と書くとき，
これを式に表すと、

\(M=1000a+100b+10c+d\) 　・・・　（１）
例） \(1234\) の場合： \(1000 \times 1+100 \times 2+10 \times 3+4\)

となります。

下２けたの数字 \(10c＋d\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10c＋d＝4n\) とすると，
式 （１）は

\(M=1000a＋100b＋10c＋d\)
　　\(=1000a＋100b＋4n\)
　　\(=4(250a+25b+n)\)

\(a，b，n\) は整数なので、 \(250a＋25b＋n\)も整数になります。

よって、４ケタの数字 \(M\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。

ケタ数が増えても同様であることを示す

次に、３ケタ以上の整数 \(Ｎ\) についても同様であることを確認します。

１の位、１０の位、１００の位 ･･･ というのは、１０の●乗を利用して、

　　　\(\;\;\,1\) の位 ＝ \(10^0\) の位
　　　\(\:10\) の位 ＝ \(10^1\) の位
　　\(\:\;100\) の位 ＝ \(10^2\) の位
　　　　　\(\vdots\)　　　　　 \(\vdots\)
\(100･･･00\) の位 ＝ \(10^m\) の位（\(m\)は任意の整数）

と表すことができます。

このとき、\(1\) の位、\(10\) の位、\(100\) の位 ･･･ \(10^{m－1}\) の位，\(10^m\) の位の数を
それぞれ、
　　\(S_0\)，\(S_1\)，\(S_2\) ･･･ \(S_{m－1}\)，\(S_m\)　（\(S_1～S_m\) は０～９の任意の整数）
とするとき，整数Ｎは，

\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋10^1\:✕\:S_1＋S_0\)

と表すことができます。

また，下２けたの数字 \(10^1\:✕\:S_1＋S_0\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10^1\:✕\:S_1＋S_0＝4n\) とすると，

\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋\)\(10^1\:✕\:S_1＋S_0\)
　＝\(10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2\)＋\(4n\)
　　　さらに， \(+4n\) 以外の項 \(100\) でくくると，
　＝\(100(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)\)\(＋4n\)
　＝\(4\{25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\}\)

\(m，n，S_2～S_m\) はいずれも整数なので，
　　\(25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\)
も整数になります。

以上より， ３ケタ以上の整数 \(N\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。

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１．\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\) のとき，\(a^2-b^2\) の値を求めなさい。

２．\(a=\sqrt{5}-1\) のとき，\(a^2+2a-4\) の値を求めなさい。

３．\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) のとき，\((x+y)^2-2xy\) の値を求めなさい。

４．\(4a-5b=6\) のとき，\(\dfrac{5a-4b}{3}-\dfrac{2a-b}{2}\) の値を求めなさい。

解説

\(a=2+\sqrt{2}\)，\(b=2-\sqrt{2}\) のとき，\(a^2-b^2\) の値は？

\(a+b\) と \(a－b\) を求める

\(a\) と \(b\) が “ ＋ ” と “ － ” が違うだけであることに注目します。

\(a^2-b^2\) を因数分解する

\(a^2-b^2\) は式の展開の公式 \((a+b)(a－b)=a^2-b^2\) により因数分解できます。

\((a+b)\)\((a－b)\) に \(a+b=4\)，\(a－b=2\sqrt{2}\) を代入すると，

\(a^2－b^2\,＝\,(a＋b)(a－b)\)
　　　 \(＝4\;✕\;2\sqrt{2}\)
　　　 \(＝8\sqrt{2}\)

となります。

\(\sqrt{5}-1\) のとき，\(a^2+2a-4\) の値は？

普通に\(a=\sqrt{5}-1\) を \(a^2+2a-4\) に代入しても解けますが，
より簡単に解ける“平方完成”という方法で解いてみましょう。

\(a=\sqrt{5}-1\) を計算しやすい形に変形する

まず，

\(a=\sqrt{5}-1\) の “\(-1\)” がなかったら計算しやすいのに･･･

と感じることが大事なポイントです。

\(a=\sqrt{5}-1\) は “－1”を左辺に移行すると，

　　\(a+1=\sqrt{5}\)　・・・　（1）

となり，２乗の計算でも簡単にできる形になります。

\(a^2+2a-4\) を \(a+1\) を使った形に変形する

ここで，値を求める式 \(a^2+2a-4\) に注目します。

\(a^2+2a-4\) を \(a^2+2a+(-4)\) と考えると，

乗法公式

　　\((a+b)^2=a^2+2ab＋b^2\)

とほぼ同じ形になっています。
さらに，\(b=1\) の場合を考えると，

　　\((a+1)^2=a^2+2a＋1\)

と，定数部分を除いた \(a^2+2a\) までが同じになります。

この式を利用して，右辺を\(a^2+2a-4\) にするためには，

　　　　　　\((a+1)^2=a^2+2a＋1\)
両辺から1をひく
　　　　\((a+1)^2-1=a^2+2a＋1-1\)
　　　　　　　　　　\(\:\:=a^2+2a\)
さらに両辺から4をひく
　　\((a+1)^2-1-4=a^2+2a-4\)
　　　　\((a+1)^2-5=a^2+2a-4\)

と変形することで

　　\(a^2+2a-4=(a+1)^2-5\) 　・・・　（2）

と表すことができました。

\(a+1=\sqrt{5}\)を代入して値を求める

以上より，（2）に（1）を代入すると、

　　\(a^2+2a-4=(a+1)^2-5\)
　　　　　　　　\(\;=\sqrt{5} ^2-5\)
　　　　　　　　\(\;=0\)

となります。

\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) のとき，\((x+y)^2-2xy\) の値は？

この問題も，普通に\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) を \((x+y)^2-2xy\) に代入しても解けますが，
より簡単な方法で解いてみましょう。

\((x+y)^2-2xy\)を展開する

この問題では，\(x+y\)の形のまま計算すると，\sqrt{3} や \sqrt{2} が残ってしまいますが、
\(x^2\)，\(y^2\) を使って計算すると，自然数になるので，簡単に計算できます。

\((x+y)^2-2xy\)を展開すると，

　　\((x+y)^2-2xy=(x^2+2xy+y^2)-2xy\)
　　　　　　　　　　\(=x^2+y^2\)

\(x=2\sqrt{3}\)，\(y=3\sqrt{2}\) を代入する

　　\((x+y)^2-2xy=x^2+y^2\)
　　　　　　　　　　\(=x^2+y^2\)
　　　　　　　　　　\(=(2\sqrt{3})^2+(3\sqrt{2})^2\)
　　　　　　　　　　\(=12+18\)
　　　　　　　　　　\(=30\)

\(4a-5b=6\) のとき，\(\displaystyle \frac{5a-4b}{3}-\frac{2a-b}{2}\) の値は？

　　\(\cfrac{5a-4b}{3}－\cfrac{2a-b}{2}=\cfrac{5a-4b}{6}\;✕\;2－\cfrac{2a-b}{6}\;✕\;3\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{(5a-4b)\;✕\;2-(2a-b)\;✕\;3}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{(10a-8b)－(6a-3b)}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{10a-8b－6a+3b}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{4a-5b}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=\cfrac{6}{6}\)
　　　　　　　　　　　\(=1\)

The post 工夫して解きたい多項式の値を求める応用問題・１ first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

１．\(2<\sqrt{n}<4\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつあるか求めなさい。

２．\(8<\sqrt{3n}<9\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつあるか求めなさい。

３　\(\sqrt{60n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値を求めなさい。

４．\(\sqrt{252n}\) の値が整数となる 最小の自然数 \(n\) を求めなさい。

５．\(a，b\) を自然数とする。\(a\) を \(13\) で割ると商が \(b\) で余りが \(10\) である。
また，\(b\) を \(11\) で割ると，余りが \(7\) である。\(a\) を \(11\) で割ったときの余りを求めなさい。

６．２つの数 \(A，B\) があります。\(a\) を \(4\) で割ると \(2\) 余り，\(B\) は \(4\) で割ると \(3\) 余ります。\(5A+3B\) を \(4\) で割ったときの余りを求めなさい。

７．\(\frac{60}{n+2}\) が整数となるような素数 \(n\) の値をすべて求めなさい。

解説

\(2<\sqrt{n}<4\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつある？

\(2\) と \(4\) を\(\sqrt{x}\) の形で表す

不等式を置き換える

これを問題の不等式に置き換えると，

　\(2\,<\,\sqrt{n}\,<\,4\)
\(\sqrt{4}<\sqrt{n}<\sqrt{16}\)

となります。

\(4\,<\,n\,<\,16\) を満たす整数 \(n\) の数を数える

以上より，\(2<\sqrt{n}<4\) を満たす \(n\) は，

\(5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15\)

の１１個になります

\(8<\sqrt{3n}<9\) を満たす整数 \(n\) は全部でいくつある

\(8\) と \(9\) を\(\sqrt{x}\) の形で表す

中央だけ \(\sqrt{3n}\) になっていると比較しにくいので、
\(8\) と \(9\) も \(\sqrt{x}\) の形で表します。

\(\sqrt{3n}\) は，２乗すると \(3n\) になる数を表しています。
同様に，\(8\) と \(9\) は、それぞれ

\(8\) は，２乗すると \(64\) になる数なので，\(8\,=\sqrt{64}\)
\(9\) は，２乗すると \(81\) になる数なので，\(9\,=\sqrt{81}\)

と表すことができます。

不等式を書き換える

これを問題の不等式にあてはめると，

　　\(8\,<\,\sqrt{3n}\,<\,9\)
\(\sqrt{64}\,<\,\sqrt{3n}\,<\,\sqrt{81}\)

また，\(\sqrt{A}\,<\,\sqrt{B}\) のとき \(A\,<\,B\) なので,

\(\sqrt{64}\,<\,\sqrt{3n}\,<\,\sqrt{81}\)
　　\(64\,<\,3n\,<\,81\)

となります。

不等式を解く

\(\sqrt{60n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値は？

\(\sqrt{a}\) が自然数になる条件は？

\(\sqrt{a}\)とは，２乗すると \(a\) になる数を表しています。

具体例としていくつか数字を代入してみます。

２乗すると１になる数字は \(\sqrt{1}=\sqrt{1^1}=1\)
２乗すると２になる数字は \(\sqrt{2}\)
２乗すると３になる数字は \(\sqrt{3}\)
２乗すると４になる数字は \(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)
２乗すると３になる数字は \(\sqrt{5}\)

となり，\(a=x^2\) と表せるときに \(\sqrt{a}\) が自然数になることがわかります。

\(\sqrt{60n}\) を素因数分解する

つまり，この問題では，\(60n=x^2\) と表すことができるときに
\(\sqrt{60n}\)が自然数になります。

ここで，\(60\) を素因数分解すると，

\(60 = 2^2\,✕\,3\,✕\,5\)

になります。

\(2^2\,✕\,3\,✕\,5\) に何をかけると \(x^2\) の形になる？

まず，\(x^2\) の形で表すことができる整数 \(36=6^2\)，\(64=8^2\) を
実際に素因数分解してみます。

\(36=2^2\,✕\,3^2\) ･･･ ２を２回，３を２回かけたもの
\(64=2^6＝(2^3)^2\) ･･･ ２を6回（2の３乗を２回）かけたもの

となり，〇を２回，△を２回かけたものと表すことができます。

これを \(60\) にあてはめると，

\(60 = 2^2\,✕\,3\,✕\,5\) ･･･ ２を２回，３を１回，５を１回かけたもの

なので，\(60\) に３を１回，５を１回かけると，
２を２回，３を２回，５を２回かけたもの
つまり，

\(2^2\,✕\,3\,^2✕\,5^2= 30^2\)

となります。

\(n\) の値を求める

以上より，

\(60n= 2^2\,✕\,3\,✕\,5\)
　\(n= \,3\,✕\,5\)
　\(n= 15\)

となり、
\(\sqrt{60n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値は
１５となります。

\(\sqrt{252n}\) の値が整数となる 最小の自然数 \(n\) は？

\(\sqrt{a}\) が自然数になる条件は？

\(\sqrt{a}\)とは，２乗すると \(a\) になる数を表しています。

具体例としていくつか数字を代入してみます。

２乗すると１になる数字は \(\sqrt{1}=\sqrt{1^1}=1\)
２乗すると２になる数字は \(\sqrt{2}\)
２乗すると３になる数字は \(\sqrt{3}\)
２乗すると４になる数字は \(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\)
２乗すると５になる数字は \(\sqrt{5}\)

となり，\(a=x^2\) と表せるときに \(\sqrt{a}\) が自然数になることがわかります。

\(\sqrt{252n}\) を素因数分解する

つまり，この問題では，\(252n=x^2\) と表すことができるときに
\(\sqrt{252n}\)が自然数になります。

ここで，\(252\) を素因数分解すると，

\(252 = 2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\)

になります。

\(2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\) に何をかけると \(x^2\) の形になる？

まず，\(x^2\) の形で表すことができる整数 \(36=6^2\)，\(64=8^2\) を
実際に素因数分解してみます。

\(36=2^2\,✕\,3^2\) ･･･ ２を２回，３を２回かけたもの
\(64=2^6＝(2^3)^2\) ･･･ ２を6回（2の３乗を２回）かけたもの

となり，〇を２回，△を２回かけたものと表すことができます。

これを \(252\) にあてはめると，

\(252 = 2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\) ･･･ ２を２回，３を２回，７を１回かけたもの

なので，\(252\) に７を１回かけると，
２を２回，３を２回，７を２回かけたもの
つまり，

\(2^2\,✕\,3\,^2✕\,7^2= 42^2\)

となります。

\(n\) の値を求める

以上より，

\(252n= 2^2\,✕\,3^2\,✕\,7\)
　　\(n=\,7\)

となり、
\(\sqrt{252n}\) が最も小さい自然数になる自然数 \(n\) の値は
７となります。

\(a\) を \(11\) で割ったときの余りは？

\(a\) と \(b\) の関係を文字式で表す

＂a を 13 で割ると商が b で余りが \(10\) である。”ということは，

\(a\div13=b…10\)
　　\(\;a=13b+10\)　・・・　（１）

＂\(b\) を \(11\) で割ると，余りが \(7\) である。”ということは，
商を \(x\) とすると，

\(b\div11=x…7\)
　　　\(b=11x+7\)　・・・　（２）

と表すことができます。

\(a\) を \(x\) について解く

（2）を（1）に代入すると，

\(a=13✕(11x+7)+10\)
　\(=(13✕11x+13✕7)+10\)
　\(=13✕11x+101\)　・・・　（3）

\(a=11✕c+d\)の形にまとめる

\(a\) を \(11\) で割るということを文字式で表すと，

\(a=11✕c+d\)と表すことができるので，（3）より，

\(a=13✕11x+101\)
　\(=11✕13x+101\)　・・・　（4）

\(101\) は \(11\) で割れるので，これを計算すると、

\(101=11✕9＋2\)　・・・　(5)

(5) を (4) に代入すると，

\(a=11✕13x+101\)
　\(=11✕13x+11✕9＋2\)
　\(=11✕(13x+9)＋2\)

となり，\(a\) を \(11\) で割ったときの余りは２になります。

\(5A+3B\) を \(4\) で割ったときの余りは？

\(A\) を \(x\) を使った文字式で表す

＂\(A\) を \(4\) で割ると \(2\) 余り，･･･” を商を \(x\) として文字式で表すと，

\(A\div4=x…2\)
　　\(\;A=4x+2\)　・・・　（１）

\(B\) を \(y\) を使った文字式で表す

＂\(B\) を \(4\) で割ると \(3\) 余ります。” を商を \(y\) として文字式で表すと，

\(B\div4=y…3\)
　　\(\;B=4y+3\)　・・・　（２）

\(5A+3B\) を\(x\)，\(y\) を使った文字式で表す

（1）（2）より，

\(5A+3B=5✕(4x+2)+3✕(4y+3)\)
　　　　　\(=5✕4x+10+3✕4y+9)\)
　　　　　\(=5✕4x+3✕4y+19\)　・・・　（３）

\(5A+3B=4✕C+D\) を\)の形にまとめる

\(5A+3B\) を \(4\) で割るということを文字式で表すと，

\(5A+3B=4✕C+D\)と表すことができるので，（3）より，

\(5A+3B=5✕4x+3✕4y+19\)
　　　　　\(=4✕5x+4✕3y+19\)
　　　　　\(=4✕(5x+3y)+19\)　・・・　（４）

また，\(19\) は \(4\) で割れるので，これを計算すると、

\(19=4✕4＋3\)　・・・　(5)

(5) を (4) に代入すると，

\(5A+3B=4✕(5x+3y)+19\)
　　　　　\(=4✕(5x+3y)+(4✕4+3)\)
　　　　　\(=4✕(5x+3y+4)＋3\)

となり，\(5A+3B\) を \(4\) で割ったときの余りは３になります。

\(\frac{60}{n+2}\) が整数となる素数 \(n\) の値を求めなさい。

 \(n+2\) の値を求める

＂\(\frac{60}{n+2}\) が整数になる”を言い換えると，
＂\(60\) が \(n+2\) で割り切れる”となります。

このとき，\(n+2\) は \(60\) の約数になっています。

また， \(60\) の約数は，

\(1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60\)

の１２個です。

 \(n\) が素数になる場合を求める

\(n+2=1　→　\(n=-1\)　　　　　\(n+2=10　→　\(n=8\)
\(n+2=2　→　\(n=0\)　　　　　\(n+2=12　→　\(n=10\)
\(n+2=3　→　\(n=1\)　　　　　\(n+2=15　→　\(n=13\)
\(n+2=4　→　\(n=2\)　　　　　\(n+2=20　→　\(n=18\)
\(n+2=5　→　\(n=3\)　　　　　\(n+2=30　→　\(n=28\)
\(n+2=6　→　\(n=4\)　　　　　\(n+2=60　→　\(n=58\)

The post 【文字式】色々な数を文字式を使って表す練習問題（基礎１） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

下の図のように，１行に６マスある表に，次の規則にしたがって，自然数を順に１つずつ書き入れていく。
このとき，次の問いに答えなさい。

(１)　７行目５列目のマスに書き入れられる数を求めなさい。
(２)　１００は何行目何列目のマスに書き入れられるか求めなさい。
(３)　ｍ行目ｎ列目のマスに書き入れられる数とｍ＋１行目ｎ列目のマスに書き入れられる数の和が７１６
　　　であった。このときのm，nの値を求めなさい。

解答

(１)　４１
(２)　１７行目の４列目
(３)　ｍ＝６０，ｎ＝１

解説

７行目５列目のマスに書き入れられる数は？

特徴となる数字の並び方を見つける

左から順番に６つずつ自然数を書き入れていくので，
６列目の数字は必ず６の倍数になることに注目します。

５列目に書き入れられる自然数は？

左から順番に６つずつ自然数を書き入れていくのだから，
５列目には６の倍数から１だけ小さい数字が書き入れられます。

７行目５列目に書き入れられる自然数は？

以上より、７行目５列目のマスに書き入れられる数は，
　　７行目：？？（７行目✕６列目ー１＝４１）
より，４１になることがわかります。

１００は何行目何列目のマスに書き入れられる？

１０は何行目何列目のマスに書き入れられる？

まず，例として＂１０”が何行目何列目のマスに書き入れられているかを確認してみましょう。

１００は何行目何列目のマスに書き入れられる？

和が７１６になるときのマスは何行目何列目？

ｍ行目ｎ列目と（ｍ＋１）行目ｎ列目のマスの数字を文字式で表す

ｍ行目ｎ列目のマスの数字と（ｍ＋１）行目ｎ列目のマスの数字を文字式で表すと，

　　　　　ｍ行目ｎ列目：（ｍ－１）✕６＋ｎ
　（ｍ＋１）行目ｎ列目：ｍ✕６＋ｎ

と表すことができます。
ここで，ｍ行目ｎ列目の数字（ｍ－１）✕６＋ｎ＝Ａ とすると，

　　　　　ｍ行目ｎ列目：Ａ
　（ｍ＋１）行目ｎ列目：Ａ＋６

になります。

ｍ行目ｎ列目のマスの数字求める

このことから，ｍ行目ｎ列目のマスに書き入れられる数と
（ｍ＋１）行目ｎ列目のマスに書き入れられる数の和は，

　　Ａ＋（Ａ＋６）＝７１６
　　　　　２Ａ＋６＝７１６
　　　　　　　２Ａ＝７１０
　　　　　　　　Ａ＝３５５

より、ｍ行目ｎ列目の数字が３５５であることがわかります。

ｍ と ｎ の値を求める

（ｍ－１）✕６＋ｎ＝Ａ，Ａ＝３５５より，

　　（ｍ－１）✕６＋ｎ＝Ａ
　　（ｍ－１）✕６＋ｎ＝３５５
　　　　　６ｍー６＋ｎ＝３５５
　　　　　６ｍ＋ｎー６＝３５５
　　　　　　　６ｍ＋ｎ＝３６１
　　　　　６✕６０＋１＝３６１

となり，あてはまるm，nの値は，ｍ＝６０，ｎ＝１ であるとわかります。

The post 【文字式】規則的に並べられた数字を文字式で表す練習問題（基礎３） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

下の 表 のように，連続する自然数を１から順番に，次の 規則 にしたがって並べていく。

　　　　　　　　　　　　　　　表

このとき，次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１）　下の説明は，格段に並べた数について述べたものである。 （ア） ， （イ） にあてはまる式を書きなさい。

（２）　ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和が４の倍数となることを
　　　　（ｍ，ｎ）を用いて説明しなさい。

（３）　（ｍ，ｎ）を２０未満の自然数とする。ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数が
　　　　ともに \( B \) 列にあるとき，この２数の和が１２の倍数となる（ｍ，ｎ）の組み合わせは
　　　　何個あるか求めなさい。

解説

小問１

各段の最大の数は４の倍数となっていることから，ｎ段目の最大の数はｎを用いて ４ｎと表される。
したがって，ｎ段目の最小の数は，ｎを用いて ４ｎ－３と表される。

ｎ段目の最大の数を文字式で表す

小問２

ｍ段目に並ぶ数は，小さい方から順番に

　　４ｍ－３ ，４ｍ－２ ，４ｍ－１ ，４ｍ

なので，ｍ段目の最小の数は，４ｍ－３です。

また，ｎ段目に並ぶ数は，小さい方から順番に

　　４ｎ－３ ，４ｎ－２ ，４ｎ－１ ，４ｎ

なので，ｎ段目の２番目に大きい数は，４ｎ－１と表すことができます。

ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和は，

小問３

１～１９段目で最小の数が\( B \) 列にあるのは何段目？

最小の数が並ぶ列は１段目から順番に

　　\( A \) 列  →  \( D \) 列  →  \( C \) 列  →  \( B \) 列  →  \( A \) 列 →  ・・・

の順に繰り返されます。

よって，１９段目までで最小の数が \( B \) 列に並ぶのは，
４段目 ，８段目 ，１２段目 ，１６段目 になるので，
ｍの値は，

　　ｍ＝４ ，ｍ＝８ ，ｍ＝１２ ，ｍ＝１６　・・・　（ア）

のどれかになります。

１～１９段目で２番目に大きい数が\( B \) 列にあるのは何段目？

２番目に大きい数が並ぶ列は１段目から順番に

　　\( C \) 列  →  \( B \) 列  →  \( A \) 列 → \( D \) 列  →  \( C \) 列 →  ・・・

の順に繰り返されます。

よって，１９段目までで最小の数が\( B \) 列に並ぶのは，
２段目 ，６段目 ，１０段目 ，１４段目，１８段目 になるので，
ｍの値は，

　　ｎ＝２ ，ｎ＝６ ，ｎ＝１０ ，ｎ＝１４ ，ｎ＝１８ 　・・・　（イ）

のどれかになります。

１２の倍数を文字式で表す

まず，１２の倍数がどのように表すことができるかを考えます。

１２の倍数とは，整数Ｎを使って，１２✕Ｎで表すことができる数のことです。

また、１２は，４✕３でもあるので，

　　１２✕ｎ＝４✕３✕Ｎ
　　　　　　＝４✕３Ｎ

と表すこともできます。

１２の倍数になるときのｍとｎの関係は？

前問（２）より，ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和は，
４（ｍ＋ｎ－１）と表されることがわかっています。

これと、１２の倍数が４✕３Ｎと表されることから，

４（ｍ＋ｎ－１）＝４✕３Ｎ
　　　ｍ＋ｎ－１＝３Ｎ
　　　　　ｍ＋ｎ＝３Ｎ＋１

となるので，
ｍ段目の最小の数と，ｎ段目の２番目に大きい数の和が，
１２の倍数になるのは、ｍ＋ｎが３の倍数より１大きい数になるときです。

１２の倍数になるときのｍとｎの組み合わせは？

（ア）（イ）より，

　　ｍ＝４ ，ｍ＝８ ，ｍ＝１２ ，ｍ＝１６
　　ｎ＝２ ，ｎ＝６，ｎ＝１０ ，ｎ＝１４ ，ｎ＝１８

なので、

　　ｍ＋ｎ＝４＋２＝6  　　　・・・ ３✕２
　　ｍ＋ｎ＝４＋６＝１０ 　　・・・ ３✕３＋１
　　ｍ＋ｎ＝４＋１０＝１４ 　・・・ ３✕４＋２
　　ｍ＋ｎ＝４＋１４＝１８ 　・・・ ３✕６
　　ｍ＋ｎ＝４＋１８＝２２ 　・・・ ３✕７＋１
　　ｍ＋ｎ＝８＋２＝１０ 　　・・・ ３✕３＋１
　　ｍ＋ｎ＝８＋６＝１４ 　　・・・ ３✕３＋２
　　ｍ＋ｎ＝８＋１０＝１８ 　・・・ ３✕６
　　ｍ＋ｎ＝８＋１４＝２２ 　・・・ ３✕７＋１
　　ｍ＋ｎ＝８＋１８＝２６ 　・・・ ３✕８＋２
　　ｍ＋ｎ＝１２＋２＝１４ 　・・・ ３✕４＋２
　　ｍ＋ｎ＝１２＋６＝１８ 　・・・ ３✕６
　　ｍ＋ｎ＝１２＋１０＝２２ ・・・ ３✕７＋１
　　ｍ＋ｎ＝１２＋１４＝２６ ・・・ ３✕８＋２
　　ｍ＋ｎ＝１２＋１８＝３０ ・・・ ３✕１０
　　ｍ＋ｎ＝１６＋２＝１８ 　・・・ ３✕６
　　ｍ＋ｎ＝１６＋６＝２２ 　・・・ ３✕７＋１
　　ｍ＋ｎ＝１６＋１０＝２６ ・・・ ３✕８＋２
　　ｍ＋ｎ＝１６＋１４＝３０ ・・・ ３✕１０
　　ｍ＋ｎ＝１６＋１８＝３４ ・・・ ３✕１１＋１

となるので，

　（ｍ，ｎ）＝（４，６），（４，１８），（８，２），（８，１４） ，（１２，１０），
　　　　　　　（１６，６），（１６，１８）

の ７個になります。

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１．４番目の右上すみにある自然数を答えなさい。
２．ｎ番目の右上すみにある自然数をｎを使って表しなさい。
３．右上すみにある自然数と左下すみにある自然数の和が１４６になるのは何番目か求めなさい。

解答

（１）　２５

（２）　（ｎ＋１）²

（３）　８番目

解説

４番目の右上すみにある自然数は？

　

ｎ番目の右上すみにある自然数をｎを使って表すと？

前問で＂● 番目”の右上すみにある自然数は，＂〇 の２乗”となっており，
＂〇” は ＂●” よりも１大きい数字であることがわかりました。

＂〇” は ＂●” よりも１大きい数字である　を数式の形で表すと，

　　＂〇” ＝＂●”＋１

となります。

よって，＂ｎ番目”の右上すみにある自然数は，＂ｎ＋１ の２乗”

　　（ｎ＋１）²　・・・　（１）

になります。

右上すみと左下すみの自然数の和が１４６になるのは何番目？

自然数の並べかたの規則性をみつける

ｎ番目の左下すみの自然数をｎを使って表す

自然数は＂左下すみ → 右下すみ → 右上すみ”の順番で並べられているので，
ｎ番目の左下すみの自然数は

　　＂ｎー１番目の右上すみの自然数に１加えた自然数”

になります。

ｎ番目の右上すみの自然数は（ｎ＋１）² で表すことができるので，
ｎー１番目の右上すみの自然数は，

　　｛（ｎー１）＋１｝² ＝ｎ²

となります。

よって，ｎー１番目の右上すみの自然数に１加えた自然数は，

ｎ² ＋１　・・・　（２）

と表すことができます。

ｎ番目の右上すみと左下すみの自然数の和を文字式で表す

（１）（２）より，ｎ番目の右上すみの自然数と左下すみの自然数の和は，

　　（ｎ＋１）²＋ｎ² ＋１＝ｎ² ＋２ｎ＋１＋ｎ² ＋１
　　　　　　　　　　　　＝２ｎ² ＋２ｎ＋２
　　　　　　　　　　　　＝２（ｎ² ＋ｎ＋１）

と表すことができますので，１４６になるのは，

　　２ (ｎ²＋ｎ＋１) ＝１４６
　　　　　ｎ²＋ｎ＋１＝７３
　　　　ｎ²＋ｎ－７２＝０
　　　(ｎ－８)(ｎ＋９)＝０
　　　　　　　　　ｎ＝８，－９

ｎ＞０なので，ｎ＝８

以上より、右上すみの自然数と左下すみの自然数の和が１４６になるのは
８番目であるとわかります。

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１．一の位の数字が４である２けたの自然数Ａが，Ａの各位の数字の和の７倍に等しいとき，
　　自然数Ａを求めなさい。

２．２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しく，また，十の位の数字と一の位の数字を
　　入れかえてできる２けたの自然数は，自然数Ａの２倍より９だけ小さい。
　　このとき，自然数Ａを求めなさい。

３．十の位の数字と一の位の数字の和が１０である２けたの自然数がある。この自然数の
　　十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数は，もとの自然数より３６大きくなる。
　　もとの自然数を求めなさい。

解答

１． ８４
２． １４
３． ３７

解説

一の位の数字が４＆各位の数字の和の７倍に等しい

最初に，例として２５の場合を考えます。

２５という自然数は，１０を２個，１を５個集めてできている数字です。
これを数式で表すと，２５＝１０✕２＋１✕５になります。

同様に，求める２けたの自然数Ａを，１０をａ個，１を４個集めてできた数字と考えると，
数式では，Ａ＝１０ａ＋４と表すことができます。

また、＂Ａの各位の数字の和の７倍に等しい”を
数式にすると，Ａ＝（ａ＋４）✕７と表すことができます。

以上より，

　　１０ａ＋４＝（ａ＋４）✕７
　　１０ａ＋４＝７ａ＋２８
　１０ａ－７ａ＝２８－４
　　　　　３ａ＝２４
　　　　　　ａ＝８

となり，自然数Ａは８４になります。

各位の数字の和の４倍＆入れかえた自然数は２倍より９小さい。

十の位の数字をａ，一の位の数字をｂ，とすると，

”２けたの自然数Ａは，各位の数字の和の４倍に等しい”を数式で表すと，Ａ＝（ａ＋ｂ）✕４となります。

また，＂十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数＂を数式で表すと，１０ｂ＋ａとなります。
これが自然数Ａの２倍より９だけ小さい”ので，１０ｂ＋ａ＝２Ａ－９

以上より

　　１０ｂ＋ａ＝２Ａ－９
　　１０ｂ＋ａ＝２✕４（ａ＋ｂ）－９
　　１０ｂ＋ａ＝８ａ＋８ｂ－９
　　　　　２ｂ＝７ａ＋９　（１≦ａ≦９，１≦ｂ≦９）

これを満たす（ａ，ｂ）の組み合わせは（ａ，ｂ）＝（１，４）のみですので

自然数Ａは１４になります。

各位の数字の和が１０＆ 入れかえた自然数は３６大きい

もとの自然数をＰ，十の位の数字をａ，一の位の数字をｂとするとき，
＂十の位の数字と一の位の数字の和が１０である”ことは，

　　ａ＋ｂ＝１０　・・・　（1）

と表すことができます。

次に，もとの自然数Ｐは，

　　Ｐ＝１０ａ＋ｂ　・・・　（2）

と表すことができます。

また，もとの自然数Ｐの十の位の数字と一の位の数字を入れかえた自然数をＱとすると，

　　Ｑ＝１０ｂ＋ａ　・・・　（3）

と表すことができます。

ここで，自然数Ｑは，もとの自然数Ｐより３６大きくなるので，

　　Ｑ＝Ｐ＋３６　・・・　（4）

となります。

ここで，（2）（3）（4）より，

（1）（5）より連立方程式を立てると，
　\(\left
\{\begin{array}{l}
a+b=10　　　　(1) \\
b-a=4　　　　　(5) \\
\end{array}
\right.\)

(1)＋(5) より
　　\( 2b = 14 \)
　　\(\;b = 7 \)
(4) より
　　\( a+7 = 10 \)
　　　　\( a = 3 \)

以上より、２けたの自然数は３７であるとわかります。

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1. 連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明しなさい。
2. 連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。
3. 連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明しなさい。

解説

小問１

連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に大きい数の積から１番小さい数と２番目に小さい数の積を引いたときの差は，その連続する４つの整数の和になることを証明します。

連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3\) とすると，

１番大きい数と２番目に大きい数の積は，

　　\((n+3)(n+2)\)　・・・　（１）

１番小さい数と２番目に小さい数の積は，

　　\(n(n+1)\)　・・・　（２）

式（１）ー式（２）は，

　　\((n+3)(n+2)-n(n+1)=(n^2+5n+6)-(n^2+n)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=4n+6\)　・・・　（３）

連続する４つの整数の和は，

　　\(n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6\)　・・・（４）

（３）（４）より

　　\((n+3)(n+2)-n(n+1)=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=4n+6\)

小問２

連続する４つの整数について，１番大きい数と２番目に小さい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明します。

連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3\) とすると，

１番大きい数と２番目に小さい数の積は，

　　\((n+3)(n+1)\)　・・・　（１）

１番小さい数と２番目に大きい数の積は，

　　\(n(n+2)\)　・・・　（２）

式（１）ー式（２）は，

　　\((n+3)(n+1)-n(n+2)=(n^2+4n+3)-(n^2+2n)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+3\)　・・・　（３）

１番小さい数と１番大きい数の和は，

　　\(n+(n+3)=2n+3\)　・・・（４）

（３）（４）より

　　\((n+3)(n+1)-n(n+2)=n+(n+3)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+3\)

小問３

連続する５つの整数について，２番目に小さい数と１番大きい数の積から１番小さい数と２番目に大きい数の積を引いたときの差は，１番小さい数と１番大きい数の和になることを証明します。

連続する４つの整数を小さい方から順に\(n，n+1，n+2，n+3，n+4\) とすると，

２番目に小さい数と１番大きい数の積は，

　　\((n+1)(n+4)\)　・・・　（１）

１番小さい数と２番目に大きい数の積は，

　　\(n(n+3)\)　・・・　（２）

式（１）ー式（２）は，

　　\((n+1)(n+4)-n(n+3)=(n^2+5n+4)-(n^2+3n)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+4\)　・・・　（３）

１番小さい数と１番大きい数の和は，

　　\(n+(n+4)=2n+4\)　・・・　（４）

（３）（４）より

　　\((n+1)(n+4)-n(n+3)=n+(n+4)\)
　　　　　　　　　　　　　　　　\(=2n+4\)

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１の位が５の倍数である数は必ず５で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「 \(abcd\) 」と書くとき，
これを式に表すと、

　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。

　例） １２３４の場合：１０００ ✕ １＋１００ ✕ ２＋１０ ✕ ３＋４

１けたの５の倍数は０と５がありますので、１の位が０の場合と５の場合にわけて考えます。

１の位が０の場合

１の位が０の場合は、 \(d\) ＝０になるので，式（１）に代入すると，

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５✕(２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) )

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)はそれぞれ整数なので、２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) も整数になります。
よって，１の位が０になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が ２０００ \(e\) ，２００００ \(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

１の位が５の場合

１の位が５の場合は、 \(d\) ＝５になるので，式(1)に代入すると，

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\)＋５
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５✕(２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) ＋１)

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\) はそれぞれ整数なので、２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) ＋１も整数になります。
よって，１の位が５になる４ケタの整数４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。

ちなみに、この場合もけた数が増えても（　）の中が ２０００ \(e\) ，２００００ \(f\)･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，１の位が５の倍数になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。
他にも２で割り切れる数や３で割り切れる数についての証明も紹介していますので，そちらもご覧ください。

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「１の位が偶数」である数は必ず２で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「  \(abcd\)  」と書くとき，
これを式に表すと、

　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。

　例）１２３４の場合：１０００✕１＋１００✕２＋１０✕３＋４

ここで、１の位が偶数であることを整数ｎを使ってｄ＝２ｎ (0≦n≦4)と表すと，
式(1)は

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋２ \(n\)
＝２✕（５００ \(a\) ＋５０ \(b\) ＋５ \(c\) ＋ \(n\)）

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\)はそれぞれ整数なので、５００ \(a\) ＋５０ \(b\) ＋５ \(c\) ＋ \(n\) も整数になります。

よって，４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず２で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が ５０００\(e\)，５００００\(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，１の位が偶数である数は必ず２で割り切れるといえました。

他にも３で割り切れる数や５で割り切れる数についての証明も紹介していますのでご覧ください。

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