縦，横，斜めの３つの数字の合計の値を求める

それぞれのマスに右の図のようにＡからＩの名前をつけます。

（１）に（２）を代入すると，
　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５
　(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
　　　　　　　　　　　　　　３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１５

よって，縦，横，斜めの３つの数字の合計は１５になります。

中央の数字を求める

よって，中央の数字は５になります。

残りの８マスを埋めていく

１，２，３，４，６，７，８，９ の数字の中で，和が１０となるような２つの数字の組み合わせは，
(１，９)，(２，８)，(３，７)，(４，６) となります。

ここまでできれば，４つの組み合わせを順番にあてはめていけば魔方陣を完成させることができます。

Ａ＝１，Ｉ＝９の場合を試してみる

Ａ＝２，Ｉ＝８の場合を試してみる

これで，魔方陣が完成しました。

一応，Ａ＝３，Ｉ＝７の場合を試してみる

このようにすることで，条件の絞り込みをして効率よく魔方陣を完成させることができます。

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でも，長いし，ルート（√ ）の中は \(b^2-4ac\) とかなってるし，±もあるし ･･･
中学数学３年間の中で 🏆 つまづきやすい公式 No.1 🏆 です。

でも、心配しなくて大丈夫！

解の公式を忘れても二次方程式は解けます‼

その理由は、解の公式が 平方完成 という方法で方程式を解いた結果だからです。
結果だけ覚えるのではなく、その過程を知っていれば自分で求めることができます。

平方完成って何？

平方完成とは，

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を \(a(x＋p)^2＋q=0\) の形に変形することです。

はぁ⁉、意味わからん ･･･ ってなると思いますが、実は知らないうちに使っています。

一番簡単な例は，”\(x^2+2x+1=0\) を解きなさい。” の場合です。
ほとんどの人は，因数分解して

\(x^2+2x+1=0\)
　　\((x+1)^2=0\)
　　　 \(x+1=0\)
　　　　　 \(\,x=－1\)

と解くと思います。

この \(x^2+2x+1=0\) を \((x+1)^2=0\) に変形するのが平方完成です。

実は，この形に変形できれば， ほぼすべての二次方程式は解けます。

平方完成のやり方

二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を平方完成する手順は次のとおり。

1. 1. \(a\) で割る
   2. １次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換える
   3. \(\left(x＋\dfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る
   4.  \(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

これで，平方完成ができます。

ここからは，それぞれの手順をもう少し詳しく見てみましょう。

手順１． \(a\) で割る

\(ax^2+bx+c=0\) を \(a\) で割ると，

\(ax^2+bx+c=0\)
\(x^2＋\dfrac{b}{a}x＋\dfrac{c}{a}=0\)　･･･①

手順２．１次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換える

因数分解の公式 \(a^2+2ab+b^2＝(a+b)^2\) を使うため，
一次の項の係数を \(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\) の形に書き換えます。

　　　　\(\,x^2\)＋\(\cfrac{b}{a}\)\(x\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
\(x^2\)＋\(\left(2\:✕\:\dfrac{b}{2a}\right)\)\(x\)＋\(\dfrac{c}{a}=0\)

手順３．\(a\left(x＋\dfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る

因数分解の公式 \(\underline{a^2+2ab}+b^2＝\underline{(a+b)^2}\) を使って，
強引に \(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) の形を作ります。

\(x^2＋\left(2\:✕\:\cfrac{b}{2a}\right)x\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)

手順４．\(\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

手順３の形を展開すると，

　　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
\( x^2＋2 \times \cfrac{b}{2a} \times x＋\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)
　　　　\(x^2＋\cfrac{b}{2}x＋\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)　･･･②

①と②を比較すると

\(x^2＋\dfrac{b}{a}x＋\dfrac{c}{a}=0\)　･･･①
\(x^2＋\cfrac{b}{a}x\)＋\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)　･･･②

と，＋\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)が追加されてしまって方程式が成り立たなくなっていますので，
②から \(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\) を引くことで\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)は打ち消しあって０になるので，

\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) \(－\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)＋\(\cfrac{c}{a}=0\)

これで平方完成ができたので、この方程式を解いていきましょう。

方程式を解く

\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2－\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2＋\cfrac{c}{a}＝0\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2－\cfrac{c}{a}\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\cfrac{b^2}{4a^2}－\cfrac{4ac}{4a^2}\)
　　　　　　　\(\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2＝\cfrac{b^2－4ac}{4a^2}\)
　　　　　　　　　\(x＋\cfrac{b}{2a}＝\cfrac{±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)
　　　　　　　　　　　　\(x＝\cfrac{－b±\sqrt{b^2－4ac}}{2a}\)

以上より，

であることが証明されました。

例題

\(2x^2＋12x＋1=0\)を平方完成を使って解いてみます。

　\(2x^2＋12x＋1=0\)
　　\(x^2＋6x＋\cfrac{1}{2}=0\)　　 ←　手順１．\(a\) で割る
\(x^2＋2\times3x＋\cfrac{1}{2}=0\)　\(\,\)　←　手順２．１次の項(\(x\))の係数を \(2\:✕\:\cfrac{b}{2a}\) の形に書き換える
　\(\;(x＋3)^2＋\cfrac{1}{2}=0\)　　\(\;\)←　手順３．\(a\left(x＋\cfrac{b}{2a}\right)^2\) を作る
\((x＋3)^2\)－9\(+\cfrac{1}{2}=0\)　　\(\:\)←　手順４．\(\left(\cfrac{b}{2a}\right)^2\)を引く

まとめ

わかったこと
　・解の公式は二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) を平方完成を使って解いた結果と等しい
　・解の公式がわからなくなっても、平方完成の方法で2次方程式は解くことができる

数学はひたすら公式だけを覚えるだけだと何の面白みもないですが、１つ１つを理解しながら学べば、
パズルや謎解きに近い感覚になれる科目です。今回の例は，基本的な公式（平方の公式）を覚えているだけで
解けてしまう良い例だと思います。

特に数学が苦手な人ほど知っていてほしい知識です。

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１．気温は高度が１００ｍ増すごとに０．６℃ずつ低くなる。地上の気温が７．６℃のとき，
　　地上から２０００ｍ上空の気温を求めなさい。

２．ある野球場で前売り券の販売を始めたとき、すでに６００人が並んでいて、その後も毎分２０人の割合で
　　行列に加わっていきます。販売窓口が１つのときは１５分で行列がなくなります。
　　販売窓口が２つのときは何分で行列がなくなるか求めなさい。

３．２年生と１年生との部員数の比が ３：５ である部活動で、班ごとに分かれて練習をすることになった。
　　５人ずつ班に分けたら、５人の班のほかに６人の班が２つできた。班の和が２年生の部員数の２分の１
　　であるとき、２年生と１年生の部員数を求めなさい。

４．１０％の食塩水170gがある。これに食塩を加えて１５％にするとき，加える食塩の量を求めなさい。

解説

地上から２０００ｍ上空の気温を求めなさい

地上から上空 \(x\) ｍ の気温の差は，\(\dfrac{x}{100}\,✕\,0.6\) ℃になります。

よって，地上の気温がｙ℃のときの上空 \(x\) ｍ の気温は、

\(y\,－\dfrac{x}{100}\,✕\,0.6\)

と表すことができるので、
地上の気温が\(y＝7.6\) ℃のとき，地上から上空 \(x＝2000\) ｍ の気温は，

　\(y\,－\,\cfrac{x}{100}\,✕\,0.6\)＝\(7.6\,－\,\cfrac{2000}{100}\,✕\,0.6\)
　　　　　　　　＝\(7.6\,－\,20\,✕\,0.6\)
　　　　　　　　＝\(7.6\,－\,12\)
　　　　　　　　＝\(－4.4\)

販売窓口が２つのときは何分で行列がなくなるか求めなさい。

１分間に窓口１つで対応できる人数を求める

１分間に２０人ずつ行列に加わるので、１５分間に２０ (人) ✕ １５ (分) ＝ ３００ (人) が加わっています。
よって，１分間に窓口１つで対応できる人数は，

(６００＋３００) ÷ １５ ＝ ９００ ÷ １５
　　　　　　　　　　　　 ＝６０ (人)

窓口２つで対応できる人数を方程式で表す

窓口を２つにすると，１分間に対応できる人数は，

６０ ✕ ２ ＝ １２０ (人)

になります。

窓口２つで対応して \(x\) 分で行列がなくなるとすると、

最初に並んでいた人数 ＋ \(x\) 分間に加わった人数 ＝ １分間に窓口対応できる人数 ✕ \(x\) 分間
\(600＋20x＝120\,✕\,x\)
\(600＋20x＝120x\)
　　\(100x＝600\)
　　　　\(x＝6\)

となり，６分間で列がなくなります。

２年生と１年生の部員数を求めなさい。

全部員の数を文字式で表す

班の和と２年生の部員数を文字式で表す

５人班の数が \(x\) 個，６人班の数が ２個できているので，
班の和は　\(x＋2\)　と表すことができます。

また，全部員の数が \(5x＋12\) 人に対して ２年生と１年生の比が３：５なので，
２年生の部員数は　\((5x＋12)\,✕\,\dfrac{3}{8}\)　と表すことができます。

班の和と２年生の部員数の関係を方程式で表し，解く

班の和が２年生の部員数の２分の１なので，これを方程式にして表すと，

全部員の人数と２年生部員の人数を求める

よって、５人班の数が４つとわかったので．

全部員の人数は，\(5x＋12＝5\,✕\,4＋12＝32\)

２年生部員の人数は，\(32\,✕\,\dfrac{3}{8}＝12\)

となり，２年生部員の人数は１２人となります。

加える食塩の量を求めなさい

１０％の食塩水１７０ｇに含まれる食塩の量は，１７０✕０．１＝１７ (ｇ) です。

加える食塩の量を \(x\) ｇとすると，

１５％の食塩水の量は，１７０＋ \(x\) ｇ
１５％の食塩水に含まれる食塩の量は，１７＋ \(x\) ｇ

となるので，１５％の食塩水の量と食塩の量の関係は，

(１７０＋ \(x\)) ✕ ０．１５＝１７＋ \(x\)

と表すことができるので、これを解くと，

(１７０＋ \(x\)) ✕ ０．１５＝１７＋ \(x\)
　(１７０＋ \(x\)) ✕ ０．３＝(１７＋ \(x\)) ✕２
　　　　　５１＋０．３ \(x\)＝３４＋２ \(x\)
　　　　　　　　　　１７＝１．７ \(x\)
　　　　　　　　　　１０＝ \(x\)

よって，食塩を１０ｇ加えると１５％の食塩水になります。

The post 方程式の立て方に慣れるための練習問題（１） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

同じ値段のりんごを７個買うには，持っているお金では１２０円足りませんが，６個買うと４０円余ります。
りんご１個の値段はいくらか求めなさい。

解説

この問題では，持っているお金を

• りんごを７個買う場合の合計金額との差額
• りんごを６個買う場合の合計金額との差額

の２種類の方法を使って文字式で表すことにより，方程式を立てることができます。

りんごを７個買う場合の合計金額との差額

＂りんごを７個買うには，持っているお金では１２０円足りません＂ということは，
＂持っているお金＂は，＂りんご７個の合計金額＂より１２０円少ない金額です。

つまり，

＂持っているお金＂＝＂りんご７個の合計金額＂ー１２０円

になります。

ここで，りんご１個の値段を \(x\) 円とすると，１個 \(x\) 円のりんごを７個買う場合の合計金額を
文字式で表すと，７\(x\) です。

持っているお金はそれより１２０円少ないのだから，文字式で表すと，

　　７\(x\)ー１２０　・・・（1）

りんごを６個買う場合の合計金額との差額

＂りんごを６個買うと４０円余ります＂ということは，

＂持っているお金＂は，＂りんご６個の合計金額＂より４０円多い金額です。

つまり，

＂持っているお金＂＝＂りんご６個の合計金額＂＋４０円

になります。

ここで，りんご１個の値段を \(x\) 円とすると，１個 \(x\) 円のりんごを６個買う場合の合計金額を
文字式で表すと，６\(x\) です。

これを文字式で表すと，

　　６\(x\)＋４０　・・・（2）

方程式で表し、解く

（1）（2）は同じ゛持っているお金＂を表しているので，
（1）＝（2）となります。

　　７\(x\)ー１２０＝６\(x\)＋４０
\(\;\)　　　７\(x\)ー６\(x\)＝４０＋１２０
　　　　　　　\(x\)＝１６０

となり，リンゴ１個の値段は１６０円になります。

The post 【方程式】方程式の立て方に慣れるための練習問題（基礎２） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

ある店でシャツＡをまとめて２着以上買うと、１着目のシャツは定価のままですが、２着目のシャツは定価の１０％引きの価格となり、３着目以降のシャツは定価の３０％引きの価格となります。この店でシャツＡをまとめて４着買ったところ、定価で４着買うより１０５０円安くなりました。シャツＡの定価はいくらですか。
シャツＡの定価を \(x\) として方程式を作り、求めなさい。

解答

解説

この問題では，実際に払った金額を

・　シャツＡの割引後の値段を合計して表す方法
・　シャツＡを定価で４着買った場合の合計金額と割引額を使って表す方法

の２種類の方法を使って文字式で表すことにより，方程式を立てることができます。

割引後のシャツの値段を文字式で表す

シャツＡの割引後の値段を合計して実際に払った金額を文字式で表す

定価で４着買った場合の合計金額と割引額を使って実際に払った金額を文字式で表す

実際に払った金額を方程式で表す

式（1）(2)は，割引後に実際に払った金額を表しているので，(1)＝(2)になります。

よって，方程式は

　　\(x＋0.9x＋0.7x ✕ 2 = 4x – 1050\)

となります。

方程式を解く

となり，シャツＡの定価は１５００円となります。

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