４ケタの場合の例を確認する

例えば、４ケタの数字 \(M\) を０から９までの整数を使って \(abcd\) と書くとき，
これを式に表すと、

\(M=1000a+100b+10c+d\) 　・・・　（１）
例） \(1234\) の場合： \(1000 \times 1+100 \times 2+10 \times 3+4\)

となります。

下２けたの数字 \(10c＋d\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10c＋d＝4n\) とすると，
式 （１）は

\(M=1000a＋100b＋10c＋d\)
　　\(=1000a＋100b＋4n\)
　　\(=4(250a+25b+n)\)

\(a，b，n\) は整数なので、 \(250a＋25b＋n\)も整数になります。

よって、４ケタの数字 \(M\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。

ケタ数が増えても同様であることを示す

次に、３ケタ以上の整数 \(Ｎ\) についても同様であることを確認します。

１の位、１０の位、１００の位 ･･･ というのは、１０の●乗を利用して、

　　　\(\;\;\,1\) の位 ＝ \(10^0\) の位
　　　\(\:10\) の位 ＝ \(10^1\) の位
　　\(\:\;100\) の位 ＝ \(10^2\) の位
　　　　　\(\vdots\)　　　　　 \(\vdots\)
\(100･･･00\) の位 ＝ \(10^m\) の位（\(m\)は任意の整数）

と表すことができます。

このとき、\(1\) の位、\(10\) の位、\(100\) の位 ･･･ \(10^{m－1}\) の位，\(10^m\) の位の数を
それぞれ、
　　\(S_0\)，\(S_1\)，\(S_2\) ･･･ \(S_{m－1}\)，\(S_m\)　（\(S_1～S_m\) は０～９の任意の整数）
とするとき，整数Ｎは，

\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋10^1\:✕\:S_1＋S_0\)

と表すことができます。

また，下２けたの数字 \(10^1\:✕\:S_1＋S_0\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10^1\:✕\:S_1＋S_0＝4n\) とすると，

\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋\)\(10^1\:✕\:S_1＋S_0\)
　＝\(10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2\)＋\(4n\)
　　　さらに， \(+4n\) 以外の項 \(100\) でくくると，
　＝\(100(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)\)\(＋4n\)
　＝\(4\{25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\}\)

\(m，n，S_2～S_m\) はいずれも整数なので，
　　\(25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\)
も整数になります。

以上より， ３ケタ以上の整数 \(N\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。

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１の位が５の倍数である数は必ず５で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「 \(abcd\) 」と書くとき，
これを式に表すと、

　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。

　例） １２３４の場合：１０００ ✕ １＋１００ ✕ ２＋１０ ✕ ３＋４

１けたの５の倍数は０と５がありますので、１の位が０の場合と５の場合にわけて考えます。

１の位が０の場合

１の位が０の場合は、 \(d\) ＝０になるので，式（１）に代入すると，

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５✕(２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) )

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)はそれぞれ整数なので、２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) も整数になります。
よって，１の位が０になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が ２０００ \(e\) ，２００００ \(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

１の位が５の場合

１の位が５の場合は、 \(d\) ＝５になるので，式(1)に代入すると，

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\)＋５
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５✕(２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) ＋１)

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\) はそれぞれ整数なので、２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) ＋１も整数になります。
よって，１の位が５になる４ケタの整数４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。

ちなみに、この場合もけた数が増えても（　）の中が ２０００ \(e\) ，２００００ \(f\)･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，１の位が５の倍数になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。
他にも２で割り切れる数や３で割り切れる数についての証明も紹介していますので，そちらもご覧ください。

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「１の位が偶数」である数は必ず２で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「  \(abcd\)  」と書くとき，
これを式に表すと、

　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。

　例）１２３４の場合：１０００✕１＋１００✕２＋１０✕３＋４

ここで、１の位が偶数であることを整数ｎを使ってｄ＝２ｎ (0≦n≦4)と表すと，
式(1)は

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋２ \(n\)
＝２✕（５００ \(a\) ＋５０ \(b\) ＋５ \(c\) ＋ \(n\)）

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\)はそれぞれ整数なので、５００ \(a\) ＋５０ \(b\) ＋５ \(c\) ＋ \(n\) も整数になります。

よって，４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず２で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が ５０００\(e\)，５００００\(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，１の位が偶数である数は必ず２で割り切れるといえました。

他にも３で割り切れる数や５で割り切れる数についての証明も紹介していますのでご覧ください。

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