箱ひげ図を書くためにやることは次の４つです。

１．データを小さい順に並べ替える
２．中央値（第二四分位数），第一四分位数，第三四分位数を求める
３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
４．それぞれの印を線でつないで完成させる

なので，中央値，第一四分位数，第三四分位数を求めることができれば，箱ひげ図は書けたようなものです。

中央値・第一四分位数・第三四分位数の求め方

中央値・第一四分位数・第三四分位数の求め方は，計算自体は簡単ですが，データの個数によって求め方が異なるので，注意が必要です。

中央値（第二四分位数）の求め方

データの総数が奇数個の場合
データを値が小さいグループと大きいグループに二等分すると，１つだけデータが余ります。
このとき余った値が中央値（第二四分位数）になります。

データの総数が偶数個の場合
データを値が小さいグループと大きいグループに二等分し，小さいグループの中で最も大きいデータの値と大きいグループの中で最も小さいデータの値との平均値が中央値（第二四分位数）になります。

第一四分位数・第三四分位数の求め方

グループ内のデータの数が奇数個の場合
小さいグループと大きいグループのデータをさらに二等分すると，１つだけデータが余ります。
このとき余った値が第一四分位数・第三四分位数になります。

グループ内のデータの数が偶数個の場合
小さいグループと大きいグループのデータをさらに二等分し，小さいグループの中で最も大きいデータの値と大きいグループの中で最も小さいデータの値との平均値が第一四分位数・第三四分位数になります。

具体例で学ぶ箱ひげ図の作り方

データの総数が奇数個の場合

例として，９人のテストの点数を箱ひげ図に表してみます

１．データを小さい順に並べ替える
データを小さい順に並べ替えると，最小値が５２，最大値が８８であるとわかります。

２．中央値，第一四分位数，第三四分位数を求める
データの値が小さいグループと大きいグループそれぞれ４個ずつに分けると，１個余ります。
この余った値６４が中央値になります。

小さい方のグループのデータ４個をさらにそれぞれ２個ずつに分けます。
このとき，小さい方のグループの中で最も大きい値５５と大きい方のグループの中で最も小さい値５７の
平均値５６が第一四分位数になります。

大きい方のグループのデータ４個をさらにそれぞれ２個ずつに分けます。
このとき，小さい方のグループの中で最も大きい値７１と大きい方のグループの中で最も小さい値８５の平均値７８が第三四分位数になります。

３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
グラフ上の最小値(５２)，第一四分位数(５６)，中央値(６４)，第三四分位数(７８)，最大値(８８) の場所に印をつける

４．第一四分位数の印と第三四分位数の印を線で結び箱型をつくる

５．最小値の印と第一四分位数の印，第三四分位数の印と最大値の印を線で結ぶ

これで箱ひげ図が完成しました。

データの総数が偶数個の場合

例として，１０人のテストの点数を箱ひげ図に表してみます

１．データを小さい順に並べ替える
データを小さい順に並べ替えると，最小値が４２，最大値が８０であるとわかります。

２．中央値，第一四分位数，第三四分位数を求める
データの値が小さいグループと大きいグループそれぞれ５個ずつに分けます。
このとき，小さい方のグループの中で最も大きい値６０と大きい方のグループの中で最も小さい値６４の
平均値６２が中央値になります。

小さい方のグループのデータ５個をさらにそれぞれ２個ずつに分けると，１個余ります。
この余った値５４が第一四分位数になります。

大きい方のグループのデータ４個をさらにそれぞれ２個ずつに分けると，１個余ります。
この余った値７２が第三四分位数になります。

３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
グラフ上の最小値(４２)，第一四分位数(５４)，中央値(６２)，第三四分位数(７２)，最大値(８０) の場所に印をつける

４．第一四分位数の印と第三四分位数の印を線で結び箱型をつくる

５．最小値の印と第一四分位数の印，第三四分位数の印と最大値の印を線で結ぶ

これで箱ひげ図が完成しました。

まとめ

箱ひげ図を書くためにやることは次の４つです。

１．データを小さい順に並べ替える
２．中央値（第二四分位数），第一四分位数，第三四分位数を求める
３．グラフ上に最小値，第一四分位数，中央値，第三四分位数，最大値 の印をつける
４．それぞれの印を線でつないで完成させる

計算自体は小学生でもできるぐらい簡単なものです。
中央値，第一四分位数，第三四分位数の求め方がデータの個数が奇数の場合と偶数の場合で異なるので，
その求め方さえ頭の中で整理できていれば簡単に書くことができます。

データの個数が奇数個の場合は，二等分して余った値
データの個数が偶数個の場合は，二等分して小さい方のグループの最大値と大きい方のグループの最小値の平均値

が，それぞれ中央値，第一四分位数，第三四分位数になります。

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鉄則：\(x\)軸または\(y\)軸に平行な直線を利用する

普通に求めると面倒すぎる･･･

６．△ＡＢＣの面積を求める
　　△ＡＢＣ＝ＡＣ×ＢＰ×\(\dfrac{1}{2}\)
　　　　　　＝\(6\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　＝\(36\; (cm^2)\)

方法１：\(x\)軸に平行な直線で２つの三角形に分けて求める

１．頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を求める

２．頂点Ａから\(x\)軸に平行な直線をひき，点Ｄの座標を求める

３．△ＡＢＤと△ＡＣＤの面積を求める

４．△ＡＢＣの面積を求める

△ＡＢＣは，△ＡＢＤと△ＡＣＤの和となっているので，

△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＡＣＤ
　　　　＝\(9＋27\)
　　　　＝\(36\; (cm^2)\)

方法２：\(y\)軸に平行な直線で２つの三角形に分けて求める

１．頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を求める

２．頂点Ｃから\(y\)軸に平行な直線をひき，点Ｅの座標を求める

３．△ＡＣＥと△ＡＢＥの面積を求める

４．△ＡＢＣの面積を求める

△ＡＢＣは，△ＡＣＥと△ＢＣＥの和となっているので，

△ＡＢＣ＝△ＡＣＥ＋△ＢＣＥ
　　　　＝\(\dfrac{108}{5}＋\dfrac{72}{5}\)
　　　　＝\(36\; (cm^2)\)

問題によってうまく使い分けよう

\(x\)軸に平行な直線を使うか\(y\)軸に平行な直線に平行な直線を使うかは問題によります。
今回の例では，\(x\)軸に平行な直線を使う方が底辺や高さが自然数になるので，計算しやすくなります。

試験時間には限りがあり，より難しい問題に時間をかけたいので，解き方を工夫することも覚えていきましょう。

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【鉄則】すべての玉に名前をつけてあげる

よって，赤玉をひく確率は

赤玉をひく確率＝\(\dfrac{起きる場合の数}{すべての場合の数}＝\dfrac{4}{5}\)

となります。

特に，２個の玉をひく場合など，樹形図をつくるときにより効果を実感できます。

名前のつけ方に決まったルールはありませんので，ご自身でわかりやすい書き方を選んでください。

例１：赤をＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，白をＥ，Ｆ とする
例２：赤を➀，➁，③，④，白を \(\fbox{1}\)，\(\fbox{2}\) とする

例題１．同時に取り出した２個の玉の色が同じである確率

すべての玉に名前をつけてあげる

すべての場合の数を求める

このとき，玉の取り出し方を

同様に，どちらか１つは赤２の玉を取り出したとすると，もう１つの玉を取り出し方は赤２以外の玉，つまり，赤１，赤３，白１，白２，青１のどれかになります。このうち，赤１と赤２の組み合わせは，すでに数えているので除きます。このようにしてどちらか１つが赤３の場合，白１の場合，白２の場合，青１の場合も図に表すと下の図のようになり，全部で１５通りになります。

２個の玉が同じ色になる場合の数を求める

１５通りのうち，２個の玉が同じ色になるのは，次の４通りです。

よって，確率は \(\dfrac{4}{15}\) になります。

例題２．１個ずつ２回取り出したの玉の色が同じである確率

すべての玉に名前をつけてあげる

すべての場合の数を求める

このとき，玉の取り出し方を

１個目に赤２，赤３，白１，白２，青１を取り出した場合についても，２個目の玉の取り出し方は，下の図のようになり，全部で３６通りになります。

２個の玉が同じ色になる場合の数を求める

３６通りのうち，２個の玉が同じ色になるのは，次の１４通りです。

よって，確率は \(\dfrac{14}{36}＝\dfrac{7}{18}\) になります。

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２枚のカードを同時にひく問題

カードの数の和が３の倍数になる確率を求める

ここでは，１，２，３，４，５のカードから同時に２枚のカードをひいたとき，その２枚のカードに書かれている数字の和が３の倍数になる確率を求めます。

すべての場合の数を求める

次に，２枚のうち１枚は２のカードをひく場合を考えます。
ここで注意が必要なのは，１と２のカードをひくことと２と１のカードをひくことというのは同じことを表しているということです。

もう１枚のカードが１のカードになる場合は，”２枚のうち１枚は１のカードをひく場合”の中に含まれているので，もう１枚のカードの選び方は，３，４，５のカードだけを考ればよいことになります。同様に，３を固定する場合，４を固定する場合，５を固定する場合も考えると樹形図は下の図のようになり，重複するものを除くと全部で１０通りになります。

重複する部分を除くと

和が３の倍数になる場合の数を求める

カードの和はもっとも小さい場合は３，もっとも大きい場合は９なので，３以上９以下の自然数のうち３の倍数は３，６，９なので，あてはまるのは次の４通りです。

よって，求める確率は \( 4/36＝1/9 \) になります。

１枚のカードを続けて２回ひく問題

２けたの整数が６の倍数になる確率を求める

ここでは，１，２，３，４，５のカードから１枚ずつ続けて２回ひき，ひいた順に左から並べて２けたの整数をつくるとき，６の倍数になる確率を求めます。

すべての場合の数を求める

次に，１枚目に２のカードをひく場合を考えます。同時に２枚のカードをひく場合と違うのは，同じように１と２のカードをひく場合でも１と２をこの順に並べて１２にすることと２と１のカードをこの順に並べて２１にすることは，できる整数が異なるので分けて考えるということです。

このとき，すべての場合の数を樹形図に表すと，次のようになり，２０通りあります。

２けたの整数が６の倍数になる場合の数を求める

２けたの整数はもっとも小さい場合は１２，もっとも大きい場合は５４なので，１２以上５４以下の自然数のうち６の倍数は１２，１８，２４，３０，３６，４２，４８，５４なので，あてはまるのは次の４通りです。

よって，求める確率は \( 4/36＝1/9 \) になります。

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縦，横，斜めの３つの数字の合計の値を求める

それぞれのマスに右の図のようにＡからＩの名前をつけます。

（１）に（２）を代入すると，
　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５
　(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
　　　　　　　　　　　　　　３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１５

よって，縦，横，斜めの３つの数字の合計は１５になります。

中央の数字を求める

よって，中央の数字は５になります。

残りの８マスを埋めていく

１，２，３，４，６，７，８，９ の数字の中で，和が１０となるような２つの数字の組み合わせは，
(１，９)，(２，８)，(３，７)，(４，６) となります。

ここまでできれば，４つの組み合わせを順番にあてはめていけば魔方陣を完成させることができます。

Ａ＝１，Ｉ＝９の場合を試してみる

Ａ＝２，Ｉ＝８の場合を試してみる

これで，魔方陣が完成しました。

一応，Ａ＝３，Ｉ＝７の場合を試してみる

このようにすることで，条件の絞り込みをして効率よく魔方陣を完成させることができます。

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あることがら（事象）の起こりやすさを表した値を確率といい，次の式で求めることができます。

例えば，コインを１回投げる場合を考えると，すべての場合の数は，表が出る場合と裏が出る場合の２通りです。
これに対して，表が出るのは１通りなので，表が出る確率は \(\dfrac{1}{2}\) になります。
また，裏が出るのも１通りなので，裏が出る確率も \(\dfrac{1}{2}\) になります。

また，表が出る確率と裏が出る確率の合計は \(\dfrac{1}{2}＋\dfrac{1}{2}＝1\) となります。
コインを１回投げると，表か裏のどちらかが必ず出ます。つまり，確実に起こることがらの確率は１になります。
その逆で，絶対に起こらないことがらの確率は０になります。

いろいろな確率を考えてみよう

さいころの目の出方の確率

２の目が出る確率

さいころの目は１，２，３，４，５，６のどれかが必ず出るので，すべての場合の数は６通りです。
このうち，２の目が出るのは１通りなので，確率は \(\dfrac{1}{2}\) になります。

４以下の目が出る確率

さいころの目は１，２，３，４，５，６のどれかが必ず出るので，すべての場合の数は６通りです。
このうち，４以下の目が出るのは１，２，３，４の４通りなので，確率は \(\dfrac{4}{6}＝\dfrac{2}{3}\) になります。

奇数の目が出る確率

さいころの目は１，２，３，４，５，６のどれかが必ず出るので，すべての場合の数は６通りです。
このうち，奇数の目が出るのは１，３，５の３通りなので，確率は \(\dfrac{3}{6}＝\dfrac{1}{2}\) になります。

３以外の目が出る確率

さいころの目は１，２，３，４，５，６のどれかが必ず出るので，すべての場合の数は６通りです。
このうち，３以外の目が出るのは１，２，４，５，６の５通りなので，確率は \(\dfrac{5}{6}\) になります。

（別解）
３の目が出る確率は \(\dfrac{1}{6}\) なので，\(1－\dfrac{1}{6}＝\dfrac{5}{6}\) として求めることもできます。

玉の取り出し方の確率

赤玉３個，白玉２個，青玉５個を入れた箱の中から玉を１個選ぶ場合のいろいろな確率を考えてみます。

赤玉を取り出す確率

合計１０個の玉の中からどれか１つを取り出すので，すべての場合の数は１０通りです。
このうち，箱の中にある赤玉は３個なので，確率は \(\dfrac{3}{10}\) になります。

白玉または青玉を取り出す確率

合計１０個の玉の中からどれか１つを取り出すので，すべての場合の数は１０通りです。
このうち，箱の中にある白玉は２個，青玉は５個なので，確率は\(\dfrac{2＋5}{10}＝\dfrac{7}{10}\)になります。

（別解）
”白玉または青玉を取り出す” ということは，”赤玉を取り出さない” ということでもあるので，全体の確率１から赤玉を取り出す確率 \(\dfrac{3}{10}\) を除いて，\(1－\dfrac{3}{10}＝\dfrac{7}{10}\) としても求めることができます。

黒玉を取り出す確率

合計１０個の玉の中からどれか１つを取り出すので，すべての場合の数は１０通りです。
このうち，箱の中に黒玉はないので，確率は \(\dfrac{0}{10}＝0\) になります。

まとめ

確率を求める問題では，‟すべての場合の数” と ‟あることがらが起こる場合の数” をもれなく数え，

の式にしたがって計算することになります。

また，確率は絶対に起こらない場合が０，確実に起こる場合が１となり，０以上１以下の数値で表されます。

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４ケタの場合の例を確認する

例えば、４ケタの数字 \(M\) を０から９までの整数を使って \(abcd\) と書くとき，
これを式に表すと、

\(M=1000a+100b+10c+d\) 　・・・　（１）
例） \(1234\) の場合： \(1000 \times 1+100 \times 2+10 \times 3+4\)

となります。

下２けたの数字 \(10c＋d\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10c＋d＝4n\) とすると，
式 （１）は

\(M=1000a＋100b＋10c＋d\)
　　\(=1000a＋100b＋4n\)
　　\(=4(250a+25b+n)\)

\(a，b，n\) は整数なので、 \(250a＋25b＋n\)も整数になります。

よって、４ケタの数字 \(M\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。

ケタ数が増えても同様であることを示す

次に、３ケタ以上の整数 \(Ｎ\) についても同様であることを確認します。

１の位、１０の位、１００の位 ･･･ というのは、１０の●乗を利用して、

　　　\(\;\;\,1\) の位 ＝ \(10^0\) の位
　　　\(\:10\) の位 ＝ \(10^1\) の位
　　\(\:\;100\) の位 ＝ \(10^2\) の位
　　　　　\(\vdots\)　　　　　 \(\vdots\)
\(100･･･00\) の位 ＝ \(10^m\) の位（\(m\)は任意の整数）

と表すことができます。

このとき、\(1\) の位、\(10\) の位、\(100\) の位 ･･･ \(10^{m－1}\) の位，\(10^m\) の位の数を
それぞれ、
　　\(S_0\)，\(S_1\)，\(S_2\) ･･･ \(S_{m－1}\)，\(S_m\)　（\(S_1～S_m\) は０～９の任意の整数）
とするとき，整数Ｎは，

\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋10^1\:✕\:S_1＋S_0\)

と表すことができます。

また，下２けたの数字 \(10^1\:✕\:S_1＋S_0\) が４の倍数であることを
整数 \(n\) を使って \(10^1\:✕\:S_1＋S_0＝4n\) とすると，

\(N=10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2＋\)\(10^1\:✕\:S_1＋S_0\)
　＝\(10^m\:✕\:S_m＋10^{(m－1)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋10^2\:✕\:S_2\)＋\(4n\)
　　　さらに， \(+4n\) 以外の項 \(100\) でくくると，
　＝\(100(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)\)\(＋4n\)
　＝\(4\{25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\}\)

\(m，n，S_2～S_m\) はいずれも整数なので，
　　\(25(10^{m-2}\:✕\:S_m＋10^{(m－3)}\;✕\:S_{m－1}＋ ･･･ ＋S_2)＋n\)
も整数になります。

以上より， ３ケタ以上の整数 \(N\) は４の整数倍であることから、４で割り切れると言えます。

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ど忘れした場合でも自分で導き出せるぐらいにしっかり理解しておきましょう。

三角形の合同条件

三角形の合同条件は次のとおりです。

• ３組の辺の長さがすべて等しい
• ２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい
• １組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい

３組の辺の長さがすべて等しい

２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい

１組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい

まとめ

以上、三角形の合同条件

• ３組の辺の長さがすべて等しい
• ２組の辺の長さとその間の角の大きさが等しい
• １組の辺の長さとその両端の角の大きさが等しい

を「ただ１つの三角形を描くために必要な条件」という視点から
実際に三角形を描くことで証明しました。

公式や定理はただ覚えているだけだと、ド忘れしたときに行き詰ってしまいます。
「なぜ成り立つのか」を理解できていれば、試験中でも思い出すことができます。

覚えることは増えますが，公式や定理を確実に理解できますので、
ぜひ「なぜ」を理解するクセをつけていきましょう。

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１の位が５の倍数である数は必ず５で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「 \(abcd\) 」と書くとき，
これを式に表すと、

　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。

　例） １２３４の場合：１０００ ✕ １＋１００ ✕ ２＋１０ ✕ ３＋４

１けたの５の倍数は０と５がありますので、１の位が０の場合と５の場合にわけて考えます。

１の位が０の場合

１の位が０の場合は、 \(d\) ＝０になるので，式（１）に代入すると，

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５✕(２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) )

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)はそれぞれ整数なので、２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) も整数になります。
よって，１の位が０になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が ２０００ \(e\) ，２００００ \(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

１の位が５の場合

１の位が５の場合は、 \(d\) ＝５になるので，式(1)に代入すると，

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\)＋５
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５✕(２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) ＋１)

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\) はそれぞれ整数なので、２００ \(a\) ＋２０ \(b\) ＋２ \(c\) ＋１も整数になります。
よって，１の位が５になる４ケタの整数４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。

ちなみに、この場合もけた数が増えても（　）の中が ２０００ \(e\) ，２００００ \(f\)･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，１の位が５の倍数になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず５で割り切れると言えます。
他にも２で割り切れる数や３で割り切れる数についての証明も紹介していますので，そちらもご覧ください。

The post 【証明】１の位が５の倍数になっている数は必ず５で割り切れることを証明してみた first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

「１の位が偶数」である数は必ず２で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「  \(abcd\)  」と書くとき，
これを式に表すと、

　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。

　例）１２３４の場合：１０００✕１＋１００✕２＋１０✕３＋４

ここで、１の位が偶数であることを整数ｎを使ってｄ＝２ｎ (0≦n≦4)と表すと，
式(1)は

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋２ \(n\)
＝２✕（５００ \(a\) ＋５０ \(b\) ＋５ \(c\) ＋ \(n\)）

となります。
\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\)はそれぞれ整数なので、５００ \(a\) ＋５０ \(b\) ＋５ \(c\) ＋ \(n\) も整数になります。

よって，４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず２で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が ５０００\(e\)，５００００\(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，１の位が偶数である数は必ず２で割り切れるといえました。

他にも３で割り切れる数や５で割り切れる数についての証明も紹介していますのでご覧ください。

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