豆知識 - 数学基礎トレーニングルーム

９マスの魔方陣の作り方

ハラユタカ — Mon, 17 Oct 2022 14:16:01 +0000

縦，横，斜めのどの列を合計しても同じ数になるように、異なる数を並べたものを魔方陣といいます。
ここでは，１から９までのすべての自然数を１回ずつ使って９マスの魔方陣をつくっていきます。

縦，横，斜めの３つの数字の合計の値を求める

それぞれのマスに右の図のようにＡからＩの名前をつけます。

１から９の合計は４５なので，次の式が成り立ちます。

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５　･･･（１）

また，縦，横，斜めの３つの数字の和はどこでも等しいので，

Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＝Ｇ＋Ｈ＋Ｉ　･･･（２）

（１）に（２）を代入すると，
　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ＝４５
　(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＋(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
　　　　　　　　　　　　　　３(Ａ＋Ｂ＋Ｃ)＝４５
　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝１５

よって，縦，横，斜めの３つの数字の合計は１５になります。

中央の数字を求める

次に右の図のように，縦，横，斜めの３つの数字をすべて足すと，
縦１列，横１列，斜め２列の合計４列分の和で６０になります。

(Ｂ＋Ｅ＋Ｈ)＋(Ｄ＋Ｅ＋Ｆ)＋(Ａ＋Ｅ＋Ｉ)＋(Ｃ＋Ｅ＋Ｇ)＝６０
　　　　　　(Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ＋Ｇ＋Ｈ＋Ｉ)＋３Ｅ＝６０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　４５＋３Ｅ＝６０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３Ｅ＝１５
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｅ＝５

よって，中央の数字は５になります。

残りの８マスを埋めていく

ここまでで
　・縦，横，斜めの３つの数字の和は１５
　・中央の数字は５
であることがわかったので，

Ａ＋Ｉ＝Ｂ＋Ｈ＝Ｃ＋Ｇ＝Ｄ＋Ｆ＝１０

となります。

１，２，３，４，６，７，８，９の数字の中で，和が１０となるような２つの数字の組み合わせは，
(１，９)，(２，８)，(３，７)，(４，６) となります。

ここまでできれば，４つの組み合わせを順番にあてはめていけば魔方陣を完成させることができます。

Ａ＝１，Ｉ＝９の場合を試してみる

Ａ＝１，Ｉ＝９となるとき，Ｃ＋Ｆ＋９＝１５，Ｇ＋Ｈ＋９＝１５と
なります。ＦとＨには２以上の自然数が入るので，ＣとＧはどちらも４以下でなければなりません。しかし，先程の組み合わせの中にどちらも５以下になる組み合わせはありません。

よって，Ａ＝１，Ｉ＝９は成立しません。

Ａ＝２，Ｉ＝８の場合を試してみる

Ａ＝２，Ｉ＝８となるとき，Ｃ＋Ｆ＋８＝１５，Ｇ＋Ｈ＋８＝１５と
なります。ＦとＨには１以上の自然数が入るので，ＣとＧはどちらも６以下でなければなりません。先程の組み合わせの中でどちらも６以下になる組み合わせは (４，６) になります。

Ｃ＝４，Ｇ＝６となるとき，４＋Ｆ＋８＝１５，６＋Ｈ＋８＝１５なので，Ｆ＝３，Ｈ＝１となります。

Ｆ＝３，Ｈ＝１となるとき，Ｂ＋５＋１＝１５，Ｄ＋５＋３＝１５なので，Ｂ＝９，Ｄ＝７となります。

これで，魔方陣が完成しました。

一応，Ａ＝３，Ｉ＝７の場合を試してみる

Ａ＝３，Ｉ＝７となるとき，Ｃ＋Ｆ＋７＝１５，Ｇ＋Ｈ＋７＝１５と
なります。ＦとＨには１以上の自然数が入るので，ＣとＧはどちらも７以下でなければなりません。先程の組み合わせの中でどちらも７以下になる組み合わせは (４，６) になります。

Ｃ＝４，Ｇ＝６となるとき，３＋Ｄ＋６＝１５となるので，Ｄ＝６となり，６を２回使うことになり，１から９までのすべての自然数を１回ずつ使うという条件を満たしません。

よって，Ａ＝３，Ｉ＝７は成立しません。

このようにすることで，条件の絞り込みをして効率よく魔方陣を完成させることができます。

The post ９マスの魔方陣の作り方 first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

【証明】各位の数字の和が３の倍数である数は必ず３で割り切れることを証明してみた

ハラユタカ — Thu, 18 Nov 2021 15:07:10 +0000

けた数が多くても少なくても関係なく共通している数字の特徴として，
「それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れる」
というものがあります。
小さい数字であれば，実際に３で割ってみればわかりますが，本当に大きい数字でも成り立つかわかりません。
ここでは、特定の数字だけではなく，文字式として一般化した形の証明を紹介します。

それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れる？

ある４ケタの整数を０から９までの整数を使って「 \(abcd\) 」と書くとき，
これを式に表すと、

１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) 　・・・　（１）

となります。
例）１２３４の場合：１０００ ✕ １＋１００ ✕ ２＋１０ ✕ ３＋４

式（１）を次の通り変形します。
　　１０００ \(a\) ＋１００ \(b\) ＋１０ \(c\) ＋ \(d\) ＝(９９９＋１) \(a\) ＋(９９＋１) \(b\) ＋(９＋１) \(c\) ＋ \(d\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９９９ \(a\) ＋９９ \(b\) ＋９ \(c\) ＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３ ✕ (３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )　・・・　（２）

また，それぞれの位の数字の合計が３の倍数になることを整数ｎを使って式で表すと，

( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝３ \(n\) 　・・・　（３）

となります。

次に，式（３）を式（２）に代入すると，

３ ✕ (３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝３✕(３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) )＋３ \(n\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３✕(３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) ＋ \(n\) )
となります。

\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\) はそれぞれ整数なので、３３３ \(a\) ＋３３ \(b\) ＋３ \(c\) ＋ \(n\) も整数になります。
よって，それぞれの位の数字の合計が３の倍数になる４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず３で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が３３３３ \(e\) ，３３３３３ \(f\)･･･と増えていくだけなので同じです。

それぞれの位の数字の合計が９の倍数である数は必ず９で割り切れる？

３の場合の式（２）,式（３）のところで，

９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )　・・・　（２Ａ）
\(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) ＝９ \(n\)　・・・　（３Ａ）

として，式（３Ａ）を式（２Ａ）に代入すると，

９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋( \(a\) ＋ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(d\) )＝９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) )＋９ \(n\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝９✕(１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(n\) )

となります。

\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(n\)はそれぞれ整数なので、１１１ \(a\) ＋１１ \(b\) ＋ \(c\) ＋ \(n\) も整数になり，それぞれの位の数字の合計が９の倍数である４ケタの整数「 \(abcd\) 」は必ず９で割り切れるといえます。

ちなみに、けた数が増えても（　）の中が１１１１ \(e\) ，１１１１１ \(f\) ･･･と増えていくだけなので同じです。

まとめ

このように，それぞれの位の数字の合計が３の倍数である数は必ず３で割り切れることと
それぞれの位の数字の合計が９の倍数である数は必ず９で割り切れることがいえました。
他にも２で割り切れる数や５で割り切れる数についての証明も紹介していますのでご覧ください。

中3／標準問題集数学 [ 中学教育研究会 ]

定期テスト～高校入試基礎レベル

Amazon

楽天市場

Yahooショッピング

ポチップ

The post 【証明】各位の数字の和が３の倍数である数は必ず３で割り切れることを証明してみた first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.