１．ある家庭の先月の食費は，収入から家賃８万円を引いた額の２８％だった。今月は，先月に比べて
　　収入は２割増え，食費は７千円増えた。そのため，今月の食費は収入から家賃８万円を引いた額の
　　２５％であった。今月の収入と食費を求めなさい。

２．ある学校の昨年の生徒数は，男女合わせて６００人であった。今年は男子生徒が１０％減り，
　　女子生徒が２０％増えたため，全体としては４％増えた。今年の男子生徒と女子生徒の生徒数を求めなさい。

３．あるコーヒーショップのコーヒー１杯の価格は，消費税抜きで２００円であり，持ち帰り用には８％の
　　消費税が，店内で飲む場合には１０％の消費税が価格に加算されることになっている。
　　ある１日において，このコーヒーが３００杯売れ，その売上金額の合計は消費税を含めて６５１８０円
　　であった。この日，持ち帰り用として販売されたコーヒーは何杯であったか求めなさい。

４．Ａ中学校の生徒数は，Ｂ中学校の生徒数の２倍より８０人少ない。 またそれぞれの中学校の３年生の割合は
　　３０％と３５％で，その合計の人数は２２３人である。
　　このとき，それぞれの中学校の３年生の人数を求めなさい。

解説

今月の収入と食費を求めなさい。

問題からわかる関係を数式化する

まず，問題文からわかる先月の収入と食費，今月の収入と食費の関係性を数式の形で表してみます。
なお、収入と食費の単位は゛万円”とします。

先月の食費は，収入から家賃８万円を引いた額の２８％だった。
　　先月の食費 ＝（先月の収入－８万円）✕０．２８　・・・　（1）

今月は，先月に比べて収入は２割増え，食費は７千円増えた。
　　今月の収入 ＝ 先月の収入 ✕ １．２　・・・　（2）
　　今月の食費 ＝ 先月の食費 ＋ ７千円　・・・　（3）

今月の食費は収入から家賃８万円を引いた額の２５％であった。
　　今月の食費 ＝（今月の収入－８万円）✕ ０．２５　・・・　（4）

先月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表す

ここで､先月の収入を \(x\) 万円，先月の食費を \(y\) 万円とし，
先月の食費と今月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表してみます。

先月の食費は、（１）より

\(y＝(x－8)\;✕\;0.28\)　・・・　（１Ａ）

今月の食費を \(x\) ， \(y\) を使って表す

今月の収入は、（２）より \( 1.2x \)と表すことができます。
ここで，今月の食費は，（３）（４）より

\(y＋0.7＝(1.2x－8)\;✕\;0.25\)　・・・　（４Ａ）

連立方程式を解き，先月の収入と食費を求める

今月の収入と食費を求める

（２）より，今月の収入は

\(1.2x = 1.2\;✕\;23 = 27.6\)

（３）より，今月の食費は，

\(y+0.7=4.2+0.7=4.9\)

となり、今月の収入は２７万６千円，今月の食費は４万９千円になります。

今年の男子生徒と女子生徒の生徒数を求めなさい

問題からわかる関係を数式化する

まず，問題文からわかる昨年の男女の生徒数と今年の男女の生徒数の関係性を数式の形で表してみます。

昨年の生徒数は，男女合わせて６００人であった。
　　昨年の男子生徒の数 ＋ 昨年の女子生徒の数 ＝ ６００　・・・　（1）

今年は男子生徒が１０％減り，女子生徒が２０％増えたため，全体としては４％増えた。
　　今年減った男子生徒の数 ＝ 昨年の男子生徒の数 ✕ ０．１　・・・　（2）　
　　今年増えた女子生徒の数 ＝ 昨年の女子生徒の数 ✕ ０．２　・・・　（3）
　　今年増えた男女合計の生徒の数 ＝ 昨年の生徒数 ✕ ０．０４　・・・（4）

昨年の男女合計の生徒数を \(x\)，\(y\) を使って表す

昨年の男子生徒の生徒数を \(x\) 人，昨年の女子生徒の生徒数を \(y\) 人とすると、
（1）より，昨年の男女合計の生徒数は，

　　\(x + y = 600\)　・・・　（１Ａ）

今年の男子生徒数と女子生徒数の増減を \(x\)，\(y\) を使って表す

（２）より，今年減った男子生徒の数は， \( 0.1x \) 　・・・　（２Ａ）

（３）より，今年増えた女子生徒の数は， \( 0.2y \) 　・・・　（３Ａ）

（４）より，今年増えた男女合計の生徒の数は， \( 600\,✕\,0.04 ＝ 24 \)　・・・　（４Ａ）

また，今年増えた男女合計の生徒の数 ＝ 今年減った男子生徒の数 ＋ 今年増えた女子生徒の数 なので，
（２Ａ）～（４Ａ）より，

\(24\)＝\(-0.1x + 0.2y\)　・・・　（４Ｂ）

連立方程式を解き，昨年の男子生徒数と昨年の女子生徒数を求める

今年の男子生徒数と昨年の女子生徒数を求める

（２Ａ）より，

今年減った男子生徒の数＝０．１✕３２０＝３２

なので、

今年の男子生徒の数＝３２０－３２＝２８８

（３Ａ）より，

今年増えた女子生徒の数＝０．２✕２８０＝５６

なので、

今年の女子生徒の数＝２８０＋５６＝３３６

となり、今年の男子生徒の数は２８８人，今年の女子生徒の数は３３６人になります。

販売されたコーヒーは何杯であったか求めなさい

問題からわかる関係を数式化する

まず，問題文からわかるコーヒーの販売数と販売価格と売上金額の関係性を数式の形で表してみます。

コーヒー１杯の価格は，消費税抜きで２００円であり，持ち帰り用には８％の消費税が，
店内で飲む場合には１０％の消費税が価格に加算される
持ち帰り用のコーヒーの税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．０８)　・・・　（１）
店内用のコーヒーの税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋＋０．１)　・・・　（２）

ある１日において，このコーヒーが３００杯売れ
持ち帰り用のコーヒーの販売数 ＋ 店内用のコーヒーの販売数 ＝ ３００　・・・　（３）

売上金額の合計は消費税を含めて６５１８０円であった。
売上金額 ＝ 販売価格 ✕ 販売数　・・・　（４）
持ち帰り用のコーヒーの売上金額 ＋ 店内用のコーヒーの売上金額 ＝ ６５１８０　・・・　（５）

コーヒーの販売数を \(x\)，\(y\) を使った式で表す

持ち帰り用のコーヒーの販売数を \(x\) 杯，店内用のコーヒーの販売数を \(y\) 杯とすると，
（３）より，

\(x\) ＋ \(y\) ＝ ３００　・・・　（３Ａ）

と表すことができます。

持ち帰り用のコーヒーと店内用のコーヒーの税込の販売価格を求める。

持ち帰り用のコーヒーには８％の消費税が加算されるのだから，（１）より，

税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．０８)＝２１６

持ち帰り用のコーヒーには１０％の消費税が加算されるのだから，（２）より，

税込販売価格 ＝ ２００ ✕ (１＋０．１)＝２２０

となります。

１日のコーヒーの売上金額を \(x\)，\(y\) を使った式で表す

売上金額は，（４）のように，売上金額 ＝ 販売価格 ✕ 販売数 で表すことができるので，
持ち帰り用と店内用のそれぞれのコーヒーの売上金額は，

持ち帰り用のコーヒーの売上金額 ＝ 税込販売価格 ✕ 販売数
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ２１６ ✕ \(x\)
　　　　　　　　　　　　　　　 ＝ ２１６\(x\)

店内用のコーヒーの売上金額 ＝ 税込販売価格 ✕ 販売数
　　　　　　　　　　　　　＝ ２２０ ✕ \(y\)
　　　　　　　　　　　　　＝ ２２０\(y\)

また、それぞれの売上金額の合計が６５１８０円なので，１日の売上金額の合計は，
（５）より，

２１６\(x\) ＋ ２２０\(y\) ＝６５１８０　・・・　（５Ａ）

と表すことができます。

連立方程式として解く

よって，持ち帰り用のコーヒーとして販売されたのは ２０５ 杯になります。

それぞれの中学校の３年生の人数を求めなさい

まず，問題文からわかるＡ中学校の生徒数とＢ中学校の生徒数の関係性を数式の形で表してみます。

問題からわかる関係を数式化する

Ａ中学校の生徒数は，Ｂ中学校の生徒数の２倍より８０人少ない
　Ａ中学校の生徒数 ＝ Ｂ中学校の生徒数 ✕ ２ － ８０　・・・　（１）

それぞれの中学校の３年生の割合は３０％と３５％で，その合計の人数は２２３人である。
　Ａ中学校の３年生の数 ＝ Ａ中学校の生徒数 ✕ ０．３　・・・　（２）
　Ｂ中学校の３年生の数 ＝ Ｂ中学校の生徒数 ✕ ０．３５　・・・　（３）
　Ａ中学校の３年生の数 ＋ Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ２２３　・・・　（４）

Ａ中学校とＢ中学校の生徒数の関係を方程式で表す

Ａ中学校の生徒数を \(x\) 人，Ｂ中学校の生徒数 \(y\) 人とすると，
（１）より，

\(x\)＝２\(y\)－８０　・・・　（１Ａ）

と表すことができます。

Ａ中学校とＢ中学校の３年生の数の関係を方程式で表す

（２）より，Ａ中学校の３年生の数 ＝ ０．３\(x\)　・・・　（２Ａ）

（３）より，Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ０．３５\(y\)　・・・　（３Ａ）

となるので、（４）より，Ａ中学校とＢ中学校の３年生の数の関係は、

０．３\(x\) ＋ ０．３５\(y\) ＝ ２２３　・・・　（４Ａ）

連立方程式を解き、Ａ中学校の生徒数とＢ中学校の生徒数を求める

Ａ中学校の３年生の数とＢ中学校の３年生の数を求める

（２Ａ）より，

Ａ中学校の３年生の数 ＝ ０．３\(x\) ＝４４０ ✕ ０．３＝１３２

（３Ａ）より，

Ｂ中学校の３年生の数 ＝ ０．３５\(y\) ＝２６０ ✕ ０．３５＝９１

となり、Ａ中学校の３年生の数は１３２人，Ｂ中学校の３年生の数は９１人となります。

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１．１個１２０円のりんごと１個７０円のみかんを合わせて１５個買ったら、代金の合計は１６００円になりました。それぞれ何個買ったか答えなさい。

２．Ａ，Ｂ２種類のコーヒー豆がある。Ａ：２００ｇとＢ：３５０ｇの代金の合計は，２５００円で，
　　Ａ：４２０ｇとＢ：２５０ｇの代金の合計は，３３１０円である。
　　Ａ，Ｂそれぞれ１００ｇの値段を求めなさい。

解説

この問題では，りんごとみかんの個数の合計と代金の合計に注目して方程式を立てていきます。

りんごとみかんの個数の合計を方程式で表す

問題で与えられている条件から，

りんごとみかんを合わせて１５個

買ったので，りんごを買った個数を \( x \) 個，みかんを買った個数を \( y \) 個とすると，

りんご \( x \) 個とみかん \( y \) を合わせて１５個

となります。これを文字式で表すと，

　　\( x \) ＋ \( y \) ＝ １５　・・・　（1）

となります。

代金の合計を方程式で表す

同様に，問題文よりりんごとみかんの代金の合計が１６００円になったので，

１個１２０円のりんごを \( x \) 個買うときの代金
１個　７０円のみかんを \( y \) 個買うときの代金

の合計が１６００円になります。

１個１２０円のりんごを \( x \) 個買うときの代金を文字式で表すと，

　　１２０（円）✕ \( x \)（個）＝１２０\( x \)（円）

１個　７０円のみかんを \( y \) 個買うときの代金を文字式で表すと，

　　７０（円）✕ \( y \)（個）＝７０\( y \)（円）

となるので，それぞれの合計は，

　　１２０\( x \)＋７０\( y \)＝１６００　・・・　（2）

連立方程式にして解く

小問１

Ａ：１００ｇの値段を \(x\) 円，とＢ：１００ｇの値段を \(y\) 円とします。

Ａ：２００ｇとＢ：３５０ｇの代金の合計を \(x\) ，\(y\)を使って表す

Ａ：２００ｇを買うということは，１００ｇあたり \(x\) 円のコーヒーを２つ買うことと同じなので，
これを文字式で表すと，

Ａのコーヒー１００ｇの値段 \(x\) （円）✕ ２（個）＝ ２\(x\)

Ｂ：３５０ｇを買うということは，１００ｇあたり \(y\) 円のコーヒーを３つと半分を買うことと同じなので，
これを文字式で表すと，

Ｂのコーヒー１００ｇの値段 \(y\) （円）✕ ３．５（個）＝ ３．５\(y\)

よって，Ａ：２００ｇとＢ：３５０ｇの代金の合計は，

\(2x+3.5y=2500\)　・・・　（1）

となります。

Ａ：４２０ｇとＢ：２５０ｇの代金の合計を \(x\) ，\(y\)を使って表す

Ａ：４２０ｇを買うということは，１００ｇあたり \(x\) 円のコーヒーを４つと２０ｇ（０．２個）分
買うことと同じなので，これを文字式で表すと，

Ａのコーヒー１００ｇの値段 \(x\) （円）✕ ４．２（個）＝ ４．２\(x\)

Ｂ：２５０ｇを買うということは，１００ｇあたり \(y\) 円のコーヒーを２つと半分を買うことと同じなので，
これを文字式で表すと，

Ｂのコーヒー１００ｇの値段 \(y\) （円）✕ ２．５（個）＝ ２．５\(y\)

よって，Ａ：２００ｇとＢ：３５０ｇの代金の合計は，

\(4.2x+2.5y=3310\)　・・・　（2）

となります。

連立方程式を解く

（1）（2）より，連立方程式を立てて解くと，

The post 【連立方程式】連立方程式の立て方に慣れるための練習問題（基礎３） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

１．同じお菓子をつくる２種類の機械ＡとＢがある。Aを３台，Ｂを４台使うと，１時間に６８個のお菓子を
　　作ることができる。また，Aを２台，Ｂを５台使うと，１時間に６４個のお菓子を作ることができる。
　　AとBを１台ずつ使うとき，１時間に何個のお菓子をつくることができるか求めなさい。

２．Ａさんは今１５歳で祖父と父がいる。今から１年前，Aさんと父の年齢の和は祖父の年齢より
　　１０歳小さかった。また，今から５年後には，祖父の年齢は父の年齢の１．５倍になる。
　　このとき，現在の祖父の年齢と父の年齢を求めなさい。

３．赤玉と青玉が入っている箱がある。そこから赤玉１個と青玉２個のセットを作れるだけ作ったところ，
　　赤玉だけが１０個残った。次に，すべて箱に戻し，赤玉２個と青玉３個のセットを作れるだけ作ったことろ，
　　赤玉が４個，青玉が１個残った。このとき，赤玉１個と青玉２個のセットと赤玉２個と青玉３個のセットが
　　それぞれ何セットできたか求めなさい。

解説

小問１

１時間でＡの機械１台で作ることができるお菓子の数を \(x\) 個，
Ｂの機械１台で作ることができるお菓子の数を \(y\) 円とします。

Ａを３台，Ｂを４台で作ることができるお菓子の数を \(x\)， \(y\) を使って表す

”Ａを３台，Ｂを４台使うと，１時間に６８個のお菓子を作ることができる”のだから，

\(3x+4y=68\)　・・・　（1）

Ａを２台，Ｂを５台で作ることができるお菓子の数を \(x\)， \(y\) を使って表す

”Ａを２台，Ｂを５台使うと，１時間に６４個のお菓子を作ることができる”のだから，

\(2x+5y=64\)　・・・　（2）

連立方程式を解く

以上より，ＡとＢを１台ずつ使うとき，１時間で作ることができるお菓子の数は，
２０個になります。

小問２

まず、問題文で与えられている３人の年齢の関係性を数式の形にして表します。

今から１年前，Aさんと父の年齢の和は祖父の年齢より１０歳小さかった。
　　１年前のAさんの年齢 ＋ １年前の父の年齢 ＝ １年前の祖父の年齢 － １０　・・・（1）

今から５年後には，祖父の年齢は父の年齢の１．５倍になる。
　　５年後の祖父の年齢 ＝ ５年後の父の年齢 ✕ １．５　・・・（2）

１年前の３人の年齢の関係を \(x\)，\(y\) を使って表す

現在の父の年齢を \(x\) 歳，現在の祖父の年齢を \(y\) 歳とすると，
１年前のAさんの年齢：１４歳 ，１年前の父の年齢：\(x－1\) ，１年前の祖父の年齢：\(y－1\) なので，
（1）より，

１年前のAさんの年齢 ＋ １年前の父の年齢 ＝ １年前の祖父の年齢 － １０
　\(14 + (x－1) = (y－1) －10\)
\((x－1) － (y－1) = －24\)
　　　　　\(x－y = －24\)　・・・　（3）

５年後の父と祖父の年齢の関係を \(x\)，\(y\) を使って表す

また，５年後の父の年齢：\(x+5\) ，５年後の祖父の年齢：\(y+5\) なので，
（2）より，

５年後の祖父の年齢 ＝ ５年後の父の年齢 ✕ １．５
　　　\(y+5 = (x+5) ✕ 1.5\)
　　　\(y+5 = 1.5x+7.5 \)
\(-1.5x+y = 2.5\)　・・・　（4）

連立方程式を解く

小問３

赤玉１個と青玉２個のセットを \(x\) セット，赤玉２個と青玉３個のセットを \(y\) セット
作ることができたとします。

赤玉の個数を \(x\) ， \(y\) を使って表す。

赤玉１個と青玉２個のセットを \(x\) セット作ったときの赤玉の個数を文字式で表すと，

赤玉１（個）✕ \(x\) （セット）＝ \(x\)（個）
余りの赤玉 ＝ １０（個）

なので，赤玉の総数は \(x\) ＋ １０（個）であるとわかります。

次に，赤玉２個と青玉３個のセットを \(y\) セット作ったときの赤玉の個数を文字式で表すと，

赤玉２（個）✕ \(y\) （セット）＝ ２\(y\)（個）
余りの赤玉 ＝ ４（個）

なので，赤玉の総数は ２\(y\) ＋ ４（個）であるとわかります。

このとき、赤玉の総数は同じなので，

\(x\) ＋ １０＝ ２\(y\) ＋ ４　・・・　（1）

青玉の個数を \(x\) ， \(y\) を使って表す。

赤玉１個と青玉２個のセットを \(x\) セット作ったときの青玉の個数を文字式で表すと，

青玉２（個）✕ \(x\) （セット）＝ ２\(x\)（個）
残った青玉 ＝ ０（個）

なので，青玉の総数は ２\(x\)（個）であるとわかります。

次に，赤玉２個と青玉３個のセットを \(y\) セット作ったときの青玉の個数を文字式で表すと，

青玉３（個）✕ \(y\) （セット）＝ ３\(y\)（個）
残った青玉 ＝ １（個）

なので，青玉の総数は ３\(y\) ＋ １（個）であるとわかります。

このとき、青玉の総数は同じなので，

２\(x\)＝ ３\(y\) ＋ １　・・・　（2）

連立方程式を解く

The post 【連立方程式】連立方程式の立て方に慣れるための練習問題（基礎２） first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

シュークリームを２０個買おうと思っていたが，持っていたお金では１４０円足りなかったので，
１８個買ったところ，１２０円余った。持っていたお金はいくらか求めなさい。

解説

この問題では，‟シュークリームを買うために必要なお金”と ‟持っていたお金”の関係を
方程式で表すことで求めることができます。

シュークリームを２０個買う場合

まずは，問題文の内容を方程式に変換します。

‟シュークリームを２０個買おうと思っていたが，持っていたお金では１４０円足りなかった”

ということは，

‟シュークリーム２０個分のお金”は、‟持っていたお金”に１４０円足したものと等しいです。

つまり，

‟シュークリーム２０個分のお金”＝ ‟持っていたお金”＋１４０円

ということです。

ここで， ‟シュークリーム１個分のお金”を \(x\) 円，とすると，
‟シュークリーム２０個分のお金”は， ‟１個 \(x\) 円のシュークリーム２０個分のお金”となるので,
‟１個 \(x\) 円のシュークリーム２０個分のお金”を文字式で表すと，

　　\(x\;✕\;20=20x\)（円）

になります。

さらに，‟持っていたお金”を \(y\) 円として方程式で表すと，

　　\(\;20x\)\(=\)\(\;y\)\(+140\)　・・・　(1)

となります。

シュークリームを１８個買う場合

同様に，問題文の内容を冷静に数式に変換します。

‟１８個買ったところ，１２０円余った”

ということは，

‟シュークリーム１８個分のお金”よりも、‟持っていたお金”は１２０円多かった。

つまり，

‟シュークリーム１８個分のお金”＋１２０円＝ ‟持っていたお金”

ということです。

ここで， ‟シュークリーム１個分のお金”を \(x\) 円，とすると，
‟シュークリーム１８個分のお金”は， ‟１個 \(x\) 円のシュークリーム１８個分のお金”となるので,
‟１個 \(x\) 円のシュークリーム１８個分のお金”を文字式で表すと，

　　\(x\;✕\;18=18x\)（円）

となります。

さらに，‟持っていたお金”を \(y\) 円として数式で表すと，

　　 \(18x\)\(+120= \)\(\;y\)　・・・　(2)

となります。

連立方程式を立てる

 連立方程式を解き，シュークリーム１個分のお金を求める

持っていたお金を求める

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