鉄則：\(x\)軸または\(y\)軸に平行な直線を利用する

普通に求めると面倒すぎる･･･

６．△ＡＢＣの面積を求める
　　△ＡＢＣ＝ＡＣ×ＢＰ×\(\dfrac{1}{2}\)
　　　　　　＝\(6\sqrt{2} \times 6\sqrt{2} \times \dfrac{1}{2} \)
　　　　　　＝\(36\; (cm^2)\)

方法１：\(x\)軸に平行な直線で２つの三角形に分けて求める

１．頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を求める

２．頂点Ａから\(x\)軸に平行な直線をひき，点Ｄの座標を求める

３．△ＡＢＤと△ＡＣＤの面積を求める

４．△ＡＢＣの面積を求める

△ＡＢＣは，△ＡＢＤと△ＡＣＤの和となっているので，

△ＡＢＣ＝△ＡＢＤ＋△ＡＣＤ
　　　　＝\(9＋27\)
　　　　＝\(36\; (cm^2)\)

方法２：\(y\)軸に平行な直線で２つの三角形に分けて求める

１．頂点Ａ，Ｂ，Ｃの座標を求める

２．頂点Ｃから\(y\)軸に平行な直線をひき，点Ｅの座標を求める

３．△ＡＣＥと△ＡＢＥの面積を求める

４．△ＡＢＣの面積を求める

△ＡＢＣは，△ＡＣＥと△ＢＣＥの和となっているので，

△ＡＢＣ＝△ＡＣＥ＋△ＢＣＥ
　　　　＝\(\dfrac{108}{5}＋\dfrac{72}{5}\)
　　　　＝\(36\; (cm^2)\)

問題によってうまく使い分けよう

\(x\)軸に平行な直線を使うか\(y\)軸に平行な直線に平行な直線を使うかは問題によります。
今回の例では，\(x\)軸に平行な直線を使う方が底辺や高さが自然数になるので，計算しやすくなります。

試験時間には限りがあり，より難しい問題に時間をかけたいので，解き方を工夫することも覚えていきましょう。

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３．△ＯＰＱの面積を求めなさい。

４．点Ｑを通り，△ＯＰＱの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

解説

点Ｐと点Ｑの座標を求めなさい。

点Ｐの座標を求める

点Ｐは \(y=\cfrac{3}{x}\) と \(y=3x\) の交点なので、
この２つの式を連立方程式にして解くことで、点Ｐの座標を求めることができます。

これを解くと、\(x=±1\) となりますが、問題に \(x≧0\) という条件があるので、
\(x=1\)となります。

これを \(y=3x\) に代入すると， \(y=3\) となり、点Ｐの座標は（\( 1\;,\;3 \) ）になります。

点Ｑの座標を求める

同様に、点Ｑは \(y=\cfrac{3}{x}\) と \(y=\cfrac{1}{12}x\) の交点なので、
この２つの式を連立方程式にして解くことで、点Ｑの座標を求めることができます。

これを解くと、\(x=±6\) となりますが、問題に \(x≧0\) という条件があるので、
\(x=6\)となります。

これを \(y=\cfrac{3}{x}\) に代入すると， \(y=\cfrac{1}{2}\) となり、点Ｑの座標は（\(6\;,\; \cfrac{1}{2}\)）になります。

点Ｐと点Ｑを通る直線の式を求めなさい

点Ｐと点Ｑを通る直線の式を \(y=ax+b\) とします。

傾き \(a\) を求める

これを代入すると、\(y=-\cfrac{1}{2}x+b\) となります。
また、ここに点Ｐの座標 (\( 1\;,\;3 \) )を代入すると、

\(y=-\cfrac{1}{2}x+b\)
\(3=-\cfrac{1}{2}\;✕\;1+b\)
\(3=-\cfrac{1}{2}+b\)
\(b=\cfrac{7}{2}\)

よって、求める直線の式は \(y=-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{7}{2}\) になります。

△ＯＰＱの面積を求めなさい。

このとき，線分ＱＲを底辺と考えると，それぞれの三角形の高さを点Ｐと点Ｑの \(x\) 座標
から求めることができます。

△ＯＰＲの高さ＝点Ｐの \(x\) 座標－原点Ｏの \(x\) 座標＝１
△ＰＱＲの高さ＝点Ｑの \(x\) 座標－点Ｐの \(x\) 座標＝５

同様に，底辺ＰＲの長さは，点Ｐの \(y\) 座標と点Ｒの\(y\) 座標から求められます。

これを求めるために、まず点Ｒの座標を求めます。
点Ｒは， \(y=\cfrac{1}{12}x\) 上の点で，\(x=1\) の点なので、

\(y=\cfrac{1}{12}x\)
\(y=\cfrac{1}{12}✕1\)
\(y=\cfrac{1}{12}\)

 よって、
ＰＲの長さ＝点Ｐの \(y\) 座標－点Ｒの\(y\) 座標＝\(\cfrac{35}{12}\)

以上より△ＯＰＱの面積は，

△ＯＰＱの面積＝(ＰＲの長さ ✕ △ＯＰＲの高さ +ＰＲの長さ ✕ △ＰＱＲの高さ ) ✕ \(\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\((\cfrac{35}{12}\:✕\:1+\cfrac{35}{12}\:✕\:5)\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\((\cfrac{35}{12}+\cfrac{175}{12})\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\(\cfrac{210}{12}\:✕\:\cfrac{1}{2}\)
　　　　　　　＝\(\cfrac{35}{4}\)

となります。

点Ｑを通り，△ＯＰＱの面積を二等分する直線の式を求めなさい。

よって，点Ｓ，点Ｑを通る直線の式 \(y=ax+b\) は，

傾き \(a\) ＝ \(\dfrac{yの増加量}{xの増加量}\)　　で表されるので、

\(a\) ＝ \((\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{2})÷(6-\cfrac{1}{2})\)
　＝\(-1÷\cfrac{11}{2}\)
　＝\(-\cfrac{2}{11}\)

これを代入すると、\(y=-\cfrac{2}{11}x+b\) となります。
また、ここに点Ｐの座標 (\( 6\;,\;\cfrac{1}{2} \) )を代入すると、

\(y=-\cfrac{2}{11}x+b\)
\(\cfrac{1}{2}=-\cfrac{2}{11}\;✕\;6+b\)
\(\cfrac{1}{2}=-\cfrac{12}{11}+b\)
\(b=\cfrac{35}{22}\)

よって、求める直線の式は \(y=-\cfrac{2}{11}x+\cfrac{35}{22}\) になります。

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（２）　線分ＢＰと \(x\) 軸の交点をＣとし，線分ＡＢ上に点Ｄをとる。
　　　　△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しくなるとき，点Ｄの座標を求めなさい。

解説

\(a\) の値を求めなさい。

△ＢＣＤの面積と四角形ＡＤＣＰの面積が等しくなるＤの座標は？

解答の方針

直線ＢＰの式を求める

となるので，\(y＝\cfrac{1}{2}x＋b\) に\(x＝6，y＝1\) を代入すると，

\(\ y\,＝\,\cfrac{1}{2}x＋b\)
\(\ 1\,＝\,\cfrac{1}{2}\,✕\,6＋b\)
\(\ 1\,＝\,3＋b\)
\(－2\,＝\,b\)

よって，直線ＢＰの式は，\(y＝\cfrac{1}{2}x－2\) になります。

点Ｃの座標を求める

線分ＢＰの長さを求める

線分ＢＣの長さを求める

△ＡＢＰと△ＢＣＤの高さの比を求める

△ＡＢＰの底辺を線分ＢＰ，△ＢＣＤの底辺を線分ＢＣとするときの
△ＡＢＰの高さを \(h\)₁，△ＢＣＤの高さを \(h\)₂とすると，

△ＡＢＰ＝２△ＢＣＤ なので，

\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)₁ ＝ \(2\,✕\,\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\) ✕ \(h\)₂
\(2\sqrt{5}\) ✕ \(h\)₁ ＝ \(3\sqrt{5}\) ✕ \(h\)₂
　　\(\!2\) ✕ \(h\)₁ ＝ \(3\) ✕ \(h\)₂
　　　\(\dfrac{2}{3}\,h\)₁ ＝ \(h\)₂

よって，△ＢＣＤの高さは，△ＡＢＰの高さの\(\cfrac{2}{3}\) になります。

線分ＡＢを１：２に分ける点Ｄの座標を求める

より，点Ａから \(x\) 軸方向に \(\dfrac{4}{3}\)， \(y\) 軸方向に \(2\) だけ小さい位置にあります。

よって，\(x＝2－\dfrac{4}{3}＝\dfrac{2}{3}\)，\(y＝3－2＝1\)となり，

点Dの座標は \(\dfrac{2}{3}，1\) になります。

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解説

直線 ℓ の式を求める

台形ＯＱＰＢの面積が \(\cfrac{9}{2}\) になる条件は

台形ＯＱＰＢの面積が \(\cfrac{9}{2}\) になるときの点Ｐの \(x\) 座標を \(t\) とすると，
\(y\) 座標は \(－\dfrac{3}{4}t＋3\) と表すことができます。

よって，台形ＯＱＰＢの面積 ＝ (ＰＱ＋ＯＢ) ✕ ＯＱ ✕ \(\cfrac{1}{2}\) となるので，

方程式を解く

\(t^2－8t＋12\)＝\(0\)
\((t－2)(t－6)\)＝\(0\)
\(t\)＝ \(2，6\)

点Ｐの \(x\) 座標は，0 ≦ \(x\) ≦ 4 の範囲なので，
0 ≦ \(t\) ≦ 4 となり，これを満たす解は \(t＝2\) だけです。

よって，点Ｐの \(x\) 座標が \(x ＝2\) のときの \(y\) 座標は，

\(－\dfrac{3}{4}\,✕\,2＋3＝\dfrac{3}{2}\)

求める点Ｐの座標は \((2，\dfrac{3}{2})\) となります。

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（２）　点Ｐが次の辺上にあるとき， \(y\) を \(x\) の式で表しなさい。
　　　　①　ＡＢ　　②　ＢＣ　　③　ＣＤ

（３）　△ＡＤＰの面積が  \(30 cm^2\) になるとき， \(x\) の値を求めなさい。

解説

２秒後の△ＡＤＰの面積を求めなさい。

点Ｐが各辺上にあるとき，\(y\) を \(x\) の式で表しなさい。

辺ＡＢ上にある場合

辺ＢＣ上にある場合

辺ＣＤ上にある場合

また，このときの△ＡＤＰの面積は，\(y＝36 cm^2\) です。

次に，点Ｐが点Ｄの位置に来るのは、
　　(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ) ÷ ２(cm/秒) ＝\((6＋12＋6) \)÷\(2\)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝\(12\)
より，１２秒後です。

また，このときの△ＡＤＰの面積は，\(y＝0 cm^2\) です。

△ＡＤＰ＝\(30 cm^2\) になるとき，\(x\) の値を求めなさい。

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解説

小問１

\(y\) 切片を求める

直線 \(l\) の式を求める

直線の式 \(y=4x+b\) に \(b=4\) を代入すると，

　　\(\displaystyle y=4x+b\)
　　\(\displaystyle y=4x+4\)

以上より，求める直線の式は \(\displaystyle y=4x+4\) となります。

小問２

直線の傾きを求める

\(y\) 切片を求める

直線 \(l\) の式を求める

（2）に，\(b=1\) を代入すると，

　　\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+b\)
　　\(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1\)

以上より，直線 \(l\) の式は \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1\) となります。

小問３

直線 \(l\) の傾きを求める

直線 \(l\) の \(y\) 切片を求める

（1）に \(\displaystyle a=\frac{3}{4}\) を代入すると，

　　\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x+b\)　・・・　（2）

原点 \((0,0)\) を通る直線の \(y\) 切片は \(0\) なので，\(b=0\) です。

直線 \(l\) の式を求める

（2）に，\(b=0\) を代入すると，

　　\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x+b\)
　　\(\displaystyle y=\frac{3}{4}x\)

以上より，直線 \(l\) の式は \(\displaystyle y=\frac{3}{4}x\) となります。

小問４

点Ａ \((m,10)\) は直線 \( y=x+3\) 上の点なので，
\(x=m\)， \(y=10\) は \( y=x+3\) の解になります。

\( y=x+3\) に \(x=m，y=10\) を代入すると，

　　\(y=x+3\)
　　\(10=m+3\)
　　\(m=7\)

小問５

求める直線の式を

　　\(y=ax+b\)　・・・　（1）

とすると，傾きが \(-1\) なので，（1）に \(a=-1\) を代入すると，

　　\(y=-x+b\)　・・・　（2）

点Ａ \((2,5)\) はこの直線上の点なので，
\(x=2\)， \(y=5\) がこの式の解になっています。

（2）に \(x=2\)， \(y=5\) を代入すると，

　　\(y=-x+b\)
　　\(5=-2+b\)
　　\(b=7\)

（2）に \(b=7\) を代入すると，

　　\(y=-x+b\)
　　\(y=-x+7\)

以上より，求める直線の式は \(y=-x+7\) となります。

小問６

（１）\(a\) の値は？

点Ａ \((2,3)\) は関数 \(\displaystyle y=\frac{a}{x}\) のグラフ上の点なので，
\(x=2\)，\(y=2\) を代入すると，

　　\(\displaystyle y=\frac{a}{x}\)
　　\(\displaystyle 2=\frac{a}{2}\)
　　\(a=4\)

となります。

（２）２点Ａ，Ｂ間の平均変化率は？

２点Ａ，Ｂ間の平均変化率を求めるということは，
２点Ａ，Ｂを通る直線の傾きを求めるということと同じです。

点Ｂの座標を求める

２点Ａ，Ｂを通る直線を求めるために，まず，点Ｂの座標を求める必要があります。

点Ｂは，\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\) のグラフ上の点であり，
\(x\) 座標が \(6\) なので，\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\) に \(x=6\) を代入すると，

\(\displaystyle y=\frac{4}{x}\)
\(\displaystyle y=\frac{4}{6}\)
\(\displaystyle y=\frac{2}{3}\)

点Ｂの座標は，\(\displaystyle \left(6，\frac{2}{3}\right)\)になります。

２点Ａ，Ｂ間の平均変化率を求める。

２点Ａ，Ｂの座標は，それぞれ \(\displaystyle (2，2)\)，\(\displaystyle \left(6，\frac{2}{3}\right)\) なので，

平均変化率（傾き）\(\displaystyle＝\frac{yの変化率}{xの変化率}\)
\(\displaystyle=\frac{\displaystyle\frac{2}{3}-2}{6-2}\)
\(\displaystyle=\frac{\displaystyle-\frac{4}{3}}{4}\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{3}\)

小問７

点Ａ，Ｂの座標を求める

直線 \(l\) の傾きを求める

直線 \(l\) の \(y\) 切片を求める

直線 \(l\) の式を求める

（2）に，\(b=4\) を代入すると，

　　\(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+b\)
　　\(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+4\)

以上より，直線 \(l\) の式は \(\displaystyle y=－\frac{1}{2}x+4\) となります。

小問８

（１）点Ａを通り，\(x\) 軸に平行な直線の交点の座標？

（２）\(x\) 座標，\(y\) 座標がともに整数になるのは何個？

\(\displaystyle y=\frac{12}{x}\) を変形すると，

　　\(xy=12\)　・・・　（1）

となります。

\(x\) 座標，\(y\) 座標がともに正の整数のとき，式（1）は‟正の整数 ✕ 正の整数”の形になります。

つまり，正の整数の範囲で，\(x\) と \(y\) は‟１２の約数”になるため，

正の整数の範囲では，

\(1，2，3，4，6，12\)

の６個になります。

負の数の場合も１２の約数の絶対値は等しいので

負の整数の範囲では，1，2，3，4，6，12

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