\( 1 \)

\( =-3+4 \)
\( =1 \)

\( -4ab^2 \)

\( =-\dfrac{6ab \times 2b}{3} \)
\( =-4ab^2 \)

\( 13a-6b \)

\( =5a-10b+8a+4b \)
\( =13a-6b \)

\( 7 \)

\( =3^2-(\sqrt{2})^2 \)
\( =9-2 \)
\( =7 \)

\( x=-2，3 \)

　 \( x^2+6x+9=7x+15 \)
　　\( x^2-x-6=0 \)
\( (x+2)(x-3)=0 \)
　 　　　　　 \( x=-2，3 \)

\( n=13 \)

\( \sqrt{3(2n+1)} \) の値が自然数となるのは，
\( \sqrt{\phantom{　}} \) の中の部分 \( 3(2n+1) \) の値が平方数（整数を２乗した数）になるときです。
　\( 3(2n+1) \) に \( n \) の最小値 \( n=2 \) を代入すると，\( 3 \times (2 \times 2+1)=15 \)
　\( 3(2n+1) \) に \( n \) の最大値 \( n=20 \) を代入すると，\( 3 \times (2 \times 20+1)=123 \)
なので，\( 3(2n+1) \) の値は \( 15 \) 以上 \( 123 \) 以下になります。

\( 15 \) 以上 \( 123 \) 以下の数のうち，平方数は
　\( 16=4^2，25=5^2，36=6^2，49=7^2，64=8^2，81=9^2，100=10^2，121=11^2 \)
になります。

さらに，\( \color{red}{3}(2n+1) \) の値は，必ず \( 3 \) の倍数になることから，
\( 16 \) 以上 \( 121 \) 以下の平方数のうち，\( 3 \) の倍数なのは，
　\( 36=6^2，81=9^2 \)
に限られます。

\( 3(2n+1)=36 \) になるとき，
　\( 3(2n+1)=36 \)
　　 \( 2n+1=12 \)
　　　　\( 2n=11 \)
　　　　　\( n=\dfrac{11}{2} \) → 自然数ではないので不適

\( 3(2n+1)=81 \) になるとき，
　\( 3(2n+1)=81 \)
　　 \( 2n+1=27 \)
　　　　\( 2n=26 \)
　　　　　\( n=13 \) → 自然数なので適

よって，あてはまる \( n \) の値は \( n=13 \) になります。

ウ

イ と ウ

\( y \) が \( x \) に反比例することを表す式は
　\( y=\dfrac{a}{x} \) または \( xy=a \)（ \( a \) は定数）
になります。

ア ～ エ を式で表すと，
　ア　\( y=30x \)
　イ　\( \dfrac{1}{2}xy=20 \) → \( xy=40 \)
　ウ　\( y=\dfrac{100}{x} \)
　エ　\( y=2\pi{}x \)
なので，あてはまるのは イ と ウ になります。

誤り

【反例】

正方形である条件は，「四つの辺がすべて等しく，内角が \( 90° \) であること」です。

四つの辺がすべて等しいだけではひし形になります。

\( \dfrac{1}{3} \)

この三角形の高さ \( AH \) は点 \( A \) から辺 \( BC \) にひいた垂線になります。

\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=160 \\
3x+5y=700 \\
\end{array} \right.  \)

商品Ａの個数を \( x \) 個，商品Ｂの個数を \( y \) 個用意したときの合計が \( 160 \) 個なので，
この関係を方程式で表すと \( x+y=160 \)

\( 3 \) 本入りの商品Ａを \( x \) 個用意するのに必要な焼き鳥の本数は \( 3x \) 本，
\( 5 \) 本入りの商品Ｂを \( y \) 個用意するのに必要な焼き鳥の本数は \( 5y \) 本
と表すことができ，これらの合計が \( 700 \) 本なので，
この関係を方程式で表すと \( 3x+5y=700 \)

商品Ａ ･･･ \( 50 \) 個
商品Ｂ ･･･ \( 110 \) 個

問➀の連立方程式を解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=160 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x+5y=700 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \(  \times 3 \) すると，
　\( 3x+3y=480 \) ･･･ ➀’
➁ \(  – \) ➀’すると，
　\( 2y=220 \)
　 \( y=110 \)
➀ に代入すると，
　\( x+110=160 \)
　　　　\( x=50 \)

よって，用意した商品Ａと商品Ｂの個数は，
商品Ａが \( 50 \) 個，商品Ｂが \( 110 \) 個
になります。

\( 4 \) 個

（１）の問➀と同様の考え方から，
数量の間の関係からつくることができる二元一次方程式は，
　\( 3a+5b=62 \)
になります。

この方程式において，まず \( b \) の取り得る値だけを考えると，
　\( b=12 \) のとき，焼き鳥の本数は \( 5 \times 12=60 \)（本），
　\( b=13 \) のとき，焼き鳥の本数は \( 5 \times 13=65 \)（本）→  \( 62 \) 本を超えているので×
なので，\( b \) の取り得る範囲は \( 0≦b≦12 \) であることがわかります。

ここから，\( 3a+5b=62 \) に \( b=0 \) から \( b=12 \) までを順に代入し，
\( a \) の値を求めると，
　\( b=0 \) のとき \( a=\dfrac{62}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=1 \) のとき \( a=19 \)
　\( b=2 \) のとき \( a=\dfrac{52}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=3 \) のとき \( a=\dfrac{47}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=4 \) のとき \( a=14 \)
　\( b=5 \) のとき \( a=\dfrac{37}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=6 \) のとき \( a=\dfrac{32}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=7 \) のとき \( a=9 \)
　\( b=8 \) のとき \( a=\dfrac{22}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=9 \) のとき \( a=\dfrac{17}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=10 \) のとき \( a=4 \)
　\( b=11 \) のとき \( a=\dfrac{7}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
　\( b=12 \) のとき \( a=\dfrac{2}{3} \) →  \( a \) の値が整数ではないので×
となり，あてはまるのは，
　\( (a，b)=(19，1)，(14，4)，(9，7)，(4，10) \)
の４通りになります。

商品Ａ ･･･ \( 4 \) 個
商品Ｂ ･･･ \( 10 \) 個

➀の結果から，
　商品Ａが \( 19 \) 個，商品Ｂが \( \;\;1 \) 個のとき → 合計は \( 19+1=20 \) 個
　商品Ａが \( 14 \) 個，商品Ｂが \( \;\;4 \) 個のとき → 合計は \( 14+4=18 \) 個
　商品Ａが \(  \;\; 9 \) 個，商品Ｂが \( \;\;7 \) 個のとき → 合計は \( 9+7=16 \) 個
　商品Ａが \( \;\; 4 \) 個，商品Ｂが \( 10 \) 個のとき → 合計は \( 4+10=14 \) 個
なので，合計が最も少ないのは，商品Ａが \( 4 \) 個，商品Ｂが \( 10 \) 個のときになります。

ア　正しい

第３四分位数は箱の右端の縦線の部分の値になります。
３つの箱ひげ図のうち，箱の部分の右端が最も右側にあるのは２０１０年なので，
この文章は正しいといえます。

四分位範囲は，箱ひげ図の箱の部分の長さが長いほど大きいので，
２０１５年より箱の長さが長い２０１０年の方が四分位範囲が大きく，
散らばりの度合いが大きい。

イ，エ

ア ･･･ ２０１５年は，\( 30.0 \; kg \) 以上 \( 30.5 \; kg \) 未満の階級の度数が \( 0 \) なので，
　　　 正しくありません。

イ ･･･ 階級値とは，その階級の幅の真ん中の値のことです。
　　　 ２０１５年の度数が最も多い階級は \( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，
　　　 階級値は \( \dfrac{29.0+29.5}{2}=29.25 \; (kg) \) ，
　　　 ２０２０年の度数が最も多い階級は \( 29.5 \; kg \) 以上 \( 30.0 \; kg \) 未満の階級であり，
　　　 階級値は \( \dfrac{29.5+30.0}{2}=29.75 \; (kg) \) ，
　　　 なので，２０１５年より２０２０年の方が大きく，正しいといえます。

ウ ･･･ 各年のデータの個数が \( 47 \) 個なので，中央値は，小さい方から \( 24 \) 番目の値です。
　　　 ヒストグラムに累積度数を書き込むと下の図のようになります。
　　　 小さい方から \( 24 \) 番目の値が入っている階級は，
　　　 ２０１５年は，\( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，この階級の度数は \( 13 \) 人，
　　　 ２０２０年は，\( 29.0 \; kg \) 以上 \( 29.5 \; kg \) 未満の階級であり，この階級の度数は \( 12 \) 人，
　　　 なので，正しくありません。

エ ･･･ 累積相対度数は，
　　　　 その階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
　　　 で求められます。
　　　 ２０１５年の \( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積度数は，\( 9 \) 人，
　　　 すべての階級の度数の合計は \( 47 \) 人 なので，累積度数は，\( 9 \div 47=\dfrac{9}{47} \)
　　　 ２０２０年の \( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の累積度数は，\( 6 \) 人，
　　　 すべての階級の度数の合計は \( 47 \) 人 なので，累積度数は，\( 6 \div 47=\dfrac{6}{47} \)
　　　 よって，２０２０年より２０１５年の方が大きいので正しいといえます。

オ

【箱ひげ図の特徴】
箱ひげ図には，「複数のデータの分布を一度に比較しやすい」という特徴があります。
この問題のように複数の比較対象について箱ひげ図を並べて記載することで，
一目で分布の状態を比較できます。
また，四分位数や四分位範囲などを読み取りやすいので，
データの散らばり具合を判断しやすくなっています。
ただし，ひげの中や箱の中の部分にあるデータの分布を詳細に判断することには適していません。
２０２０年の箱ひげ図の場合，左側のひげの部分には最小値と第１四分位数を除くと
１０個のデータが含まれています。
箱ひげ図だけでは，１０個のデータが赤，青，緑，オレンジのどの部分に多く分布しているか判断できません。
箱ひげ図では，最大値，最小値，中央値などの代表値が明確になる一方，
度数の詳細な分布がわからないため，ほとんどの場合最頻値を読み取ることはできません。

【ヒストグラムの特徴】
ヒストグラムには，１つの対象についてのデータの分布をより詳細に判断できるという特徴があります。
２０２０年のデータの場合，箱ひげ図では，\( 28.0 \; kg \) 以上 \( 28.5 \; kg \) 未満の階級の度数はわかりませんが，ヒストグラムをみると，度数が \( 5 \) 人であることがわかります。
ただし，ヒストグラムは１つの図が大きくなりがちなため，
比較対象が増えれば増えるほど比較しにくくなってしまいます。
ヒストグラムでは，階級ごとの度数の分布が明確になるため，最頻値はわかりやすくなっていますが，
最大値，最小値などの代表値はほとんどの場合読み取ることができません。

ウ

Ⅰ ･･･ 二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
　　　 \( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
　　　 また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

　　　 \( y=ax^2 \) のグラフにおいて，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，
　　　 \( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
　　　 また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=2 \) のときなので，
　　　 \( y \) の最大値は，
　　　　 \( y=a \times 2^2=4a \)

　　　 よって，あてはまる \( y \) の変域は \( 0≦y≦4a \) なので，正しくありません。

Ⅱ ･･･ 変化の割合とは，任意の２点を直線で結んだときの傾きになります。
　　　 ２点 \( (0，0)，(1，a) \) を結ぶ直線の傾きを \( m \) とすると，
　　　　 \( m=\dfrac{a-0}{1-0}=a \)
　　　 ２点 \( (1，a)，(2，4a) \) を結ぶ直線の傾きを \( n \) とすると，
　　　　 \( n=\dfrac{4a-a}{2-1}=3a \)
　　　 であり，変化の割合は一定ではないので，正しくありません。

Ⅲ ･･･ \( x=1 \) のとき，\( y=a \times 1^2=a \)　　\( x=-1 \) のとき，\( y=a \times (-1)^2=a \)
　　　 \( x=2 \) のとき，\( y=a \times 2^2=4a \)　　\( x=-2 \) のとき，\( y=a \times (-2)^2=4a \)
　　　 \( x=3 \) のとき，\( y=a \times 3^2=9a \)　　\( x=-3 \) のとき，\( y=a \times (-3)^2=9a \)
　　　　 ･･･
　　　 \( x=t \) のとき，\( y=a \times t^2=at^2 \)　　\( x=-t \) のとき，\( y=a \times (-t)^2=at^2 \)
　　　 となり，\( x \) 座標の絶対値が等しければ，どのような値をとっても \( y \) 座標の値は等しくなるので，
　　　 このグラフは \( y \) 軸について対称であるといえ，正しいです。

\( \dfrac{1}{2}t^2 \)

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( t \) なので，
\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times t^2=\dfrac{1}{2}t^2 \)

点 \( B \) と \( C \) の \( y \) 座標は等しいので，
点 \( C \) の \( y \) 座標も \( \dfrac{1}{2}t^2 \) になります。

　あ　 ･･･ \( 3 \)
　い　 ･･･ \( \sqrt{3} \)

　あ　
点 \( A \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，
　点 \( A \) の \( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{6}t^2 \)
　点 \( B \) の \( y \) 座標は，\( \dfrac{1}{2}t^2 \)
なので，\( \dfrac{1}{2}t^2 \div \dfrac{1}{6}t^2=3 \) より，
点 \( B \) の \( y \) 座標は，点 \( A \) の \( y \) 座標の \( 3 \) 倍になっています。

　い　
\( y \) が \( x \) の２乗に比例するとき，\( x \) の値が \( m \) 倍になると，\( y \) の値は \( m^2 \) 倍になります。

つまり，点 \( C \) の \( y \) 座標が点 \( A \) の \( y \) 座標の \( 3 \) 倍になることから，
点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( A \) の \( x \) 座標の \( \sqrt{3} \) 倍になっています。

念のために点 \( C \) の \( y \) 座標が \( \dfrac{1}{2}t^2 \) であるときの \( x \) 座標の値を求めると，
　\( \dfrac{1}{2}t^2=\dfrac{1}{6}x^2 \)
　 \( x^2=3t^2 \)
　　\( x=\sqrt{3}t \)（\( x>0 \) より）
よって，点 \( A \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，点 \( C \) の \( x \) 座標は \( \sqrt{3}t \) となるので，
点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( A \) の \( x \) 座標の \( \sqrt{3} \) 倍になっていることが確認できます。

\( 27 \) 倍

よって，\( △EFG \) は，\( △ABC \) に対して，底辺が \( 3 \) 倍，高さが \( 9 \) 倍なので，
面積は \( 27 \) 倍になります。
（底辺が \( 9 \) 倍，高さが \( 3 \) 倍と考えても結果は同じです。）

\( AE=2\sqrt{5} \; cm \)

\( ∠ACF=90° \)

\( CH=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \; cm \)

\( △AEF \) は直角二等辺三角形なので，
　\( AC=\sqrt{2}AB=4\sqrt{2} \; (cm) \)

よって，線分 \( CH \) の長さは，
　\( CH=AC-AH \)
　　　\( =4\sqrt{2}-\dfrac{10\sqrt{2}}{3} \)
　　　\( =\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \; (cm) \)

\( PQ=\dfrac{5\sqrt{2}}{3} \; cm \)

線分 \( PQ \) の長さを求めるために，まず，２点 \( P，Q \) がどこにあるのかを考えます。

\( 8 \)

\( =11-3 \)
\( =8 \)

\( 12ab \)

\( =9a^2 \div 6a \times 8b \)
\( =\dfrac{9a^2 \times 8b}{6a} \)
\( =12ab \)

\( \dfrac{3x-13y}{10} \)

\( =\dfrac{5(x-y)}{10}-\dfrac{2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5(x-y)-2(x+4y)}{10} \)
\( =\dfrac{5x-5y-2x-8y}{10} \)
\( =\dfrac{3x-13y}{10} \)

\( 9-7\sqrt{14} \)

\( =7+2\sqrt{14}+2-9\sqrt{14} \)
\( =9-7\sqrt{14} \)

\( 95 \)

\( 36a^2-b^2 \) を因数分解すると，
　\( 36a^2-b^2=(6a+b)(6a-b) \)
なので，\( a=8，b=47 \) を代入すると，
　\( (6 \times 8+47)(6 \times 8-47)=(48+47)(48-47) \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \times 1 \)
　　　　　　　　　　　　　　\( =95 \)

\( x=-2，10 \)

　 \( x^2-8x-20=0 \)
\( (x+2)(x-10)=0 \)
　　　　　　　 \( x=-2，10 \)

手順３と手順５の直線の交点が求める点 \( O \) になります。

【条件➀からわかること】
点と辺（線分・直線）の距離とは点から辺にひいた垂線の長さのことなので，
点 \( O \) が，２辺 \( BC，AC \) から等しい距離にあるとき，
点 \( O \) から２辺 \( BC，AC \) にひいた垂線の長さが等しくなります。

\( y=\dfrac{90}{x} \)

\( y \) を \( x \) の式で表すというのは，\( y=\boxed{　　} \) の形になるよう式で表すということです。

毎分 \( x \; L \) の割合で \( y \) 分間水を入れると満水（\( 90 \; L \)）になるので，
　\( xy=90 \)
　 \( y=\dfrac{90}{x} \)

\( \dfrac{7}{16} \)

最初に袋Ａから１の玉を取り出したとき，玉の個数が４個になった袋Ｂには，１，１，２，３の玉が入っています。
これらを２，３，４の玉を取り出したときについても考えると，玉の個数が４個になった袋Ｂに入っている玉は次のようになります。

これをもとに，袋Ａ，Ｂから取り出した玉の組み合わせを樹形図に書き出すと，
袋Ａから取り出した玉に書いてある数と，袋Ｂから取り出した玉に書いてある数が
同じである組み合わせは \( 7 \) 通り，すべての組み合わせは \( 16 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{7}{16} \)

今年の１月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 256 \; kg \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量 ･･･ \( 242 \; kg \)

昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とすると，
\( \left\{ \begin{array}{}
0.8x+1.1y=498 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
0.2x-0.1y=42 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( \times 10 \) すると，
　\( 8x+11y=4980 \) ･･･ ➀’
➁ \( \times 40 \) すると，
　\( 8x-4y=1680 \) ･･･ ➁’
➁’\( – \) ➀’すると，
　\( 15y=3300 \)
　　\( y=220 \)
➁’に代入すると，
　\( 8x-4 \times 220=1680 \)
　　　　　　 \( 8x=2560 \)
　　　　　　　\( x=320 \)
となり，昨年の１月の二酸化炭素の排出量は \( 320 \; kg \)，
昨年の２月の二酸化炭素の排出量は \( 220 \; kg \)
なので，今年の１月の二酸化炭素の排出量は
　\( 0.8 \times 320=256 \; (kg) \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は
　\( 1.1 \times 220=242 \; (kg) \)

通常の連立方程式の問題の考え方では，
今年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，今年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) としますが，
今回は昨年の排出量の表し方がややこしくなり，間違えやすくなってしまうので，
昨年の１月の二酸化炭素の排出量を \( x \; kg \)，昨年の２月の二酸化炭素の排出量を \( y \; kg \) とするのが
おすすめです。

今年の１月の二酸化炭素の排出量は，昨年の１月より \( 20\% \) 減少しているので，
昨年から今年の１月の二酸化炭素の排出量の減少分は，\( 0.2x \)
今年の１月の二酸化炭素の排出量は，\( 0.8x \)

今年の２月の二酸化炭素の排出量は，昨年の２月より \( 10\% \) 増加しているので，
昨年から今年の２月の二酸化炭素の排出量の増加分は，\( 0.1y \)
今年の２月の二酸化炭素の排出量は，\( 1.1y \)
と表すことができます。

ここから，
今年の１月と２月の，二酸化炭素の排出量の合計は \( 0.8x+1.1y \) と表すことができ，
これが \( 498 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.8x+1.1y=498 \) ･･･ ➀

次に，昨年から今年で１月と２月の二酸化炭素の排出量の合計は \( 42 \; kg \) 減少していたので，
昨年から今年の二酸化炭素の排出量の合計の減少分は \( 0.2x-0.1y \) と表すことができ，
これが \( 42 \; kg \) なので，方程式で表すと，
　\( 0.2x-0.1y=42 \) ･･･ ➁

となります。

１つの面を下じきと考え，２つの面（２枚の下じき）が垂直になるとき，
交わっている２つの面（２枚の下じき）が直線に見える（青の直線が点に見える）向きから見ると，
２本の直線が垂直に交わるように見えます。

四角形 \( ADEG \) を，辺 \( BE \) を軸として１回転させてできる立体は，
下の図のような円柱から円すいを取り除いた形になります。

線分 \( MN \) は斜めになっていて計算しにくそうなので，
線分 \( MN \) を通る平面上で計算しやすい形をつくることを考えます。

点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( P \)，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面と線分 \( KL \) の交点を \( Q \)
とし，この三角柱を面 \( ADLK \)，点 \( M \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面，
点 \( N \) を通り，面 \( DEL \) と平行な面 で切断すると，
下の図のような三角柱が残り，この三角柱の中に直角三角形 \( NPM \) ができます。

ここから，線分 \( MP \) と \( NP \) の長さを求めることができれば，
三平方の定理を使って線分 \( MN \) の長さを求められます。

以上より，\( △NPM \) において，三平方の定理より，
　\( MN^2=MP2+PN^2 \)
　　　　\( =2^2+(\sqrt{13})^2 \)
　　　　\( =17 \)
　 \( MN=\sqrt{17} \; (cm) \)（\( MN>0 \) より）

\( 25 \) 人

\( 120 \) 人の記録を集計しているので，中央値は，
記録の少ない方から \( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録の平均値になります。

図６に累積度数を書き込んでいくと下のようになり，
\( 60 \) 番目と \( 61 \) 番目の記録は，\( 24 \) 回以上 \( 28 \) 回未満の階級に含まれているので，
この階級の度数は，\( 25 \) 人になります。

イ，エ

ア ･･･ 図６のヒストグラムは，\( 120 \) 人の記録を集計しているので，
　　　 第１四分位数は，記録の少ない方から \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録の平均値になります。
　　　 \( 30 \) 番目と \( 31 \) 番目の記録は，\( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれていることから，
　　　 第１四分位数も \( 20 \) 回以上 \( 24 \) 回未満の階級に含まれるので，正しくありません。

イ ･･･ 各組の人数は \( 30 \) 人なので，中央値は，記録の少ない方から \( 15 \) 番目と \( 16 \) 番目の記録の
　　　 平均値になっています。

　　　 図７の箱ひげ図から，１組の中央値は \( 25 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 25 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

　　　 同様に，３組の中央値は \( 24 \) 回なので，
　　　 \( 15 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以下，\( 16 \) 番目の記録は \( 24 \) 回以上
　　　 であることがわかります。
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 24 \) 回または \( 25 \) 回の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 14 \) 人以下
　　　 \( 16 \) 番目の記録が \( 26 \) 回以上の場合，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人
　　　 なので，どちらの場合においても，記録が \( 26 \) 回以上の生徒の人数は，\( 15 \) 人以下になります。

ウ ･･･ 四分位範囲の大きさは，箱ひげ図の箱の長さで比較することができ，
　　　 箱の長さが長い方が四分位範囲が大きくなります。

　　　 図７より，２組の方が４組より箱の長さが長いので，
　　　 四分位範囲は，２組の方が４組より大きく，正しくありません。

エ ･･･ 図６より，記録が \( 36 \) 回以上 \( 40 \) 回未満の生徒の人数は，\( 3 \) 人であることがわかります。
　　　 図７より，２組，３組，４組の最大値は \( 36 \) 回未満なので，
　　　 記録が \( 36 \) 回以上の生徒は１組にしかいないことがわかります。
　　　 また，１組の最大値が \( 36 \) 回であることから，\( 37 \) 回，\( 38 \) 回，\( 39 \) 回の生徒はいません。

　　　 以上より，１組で上体起こしの記録が \( 36 \) 回の生徒の人数は，\( 3 \) 人であると判断できます。

\( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \)

二次関数 \( y=mx^2 \)（\( m>0，m \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -2≦x≦3 \) のとき，
\( x \) の変域は \( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{4} \times 3^2=\dfrac{9}{4} \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦\dfrac{9}{4} \) になります。

\( 2a \)

点 \( A \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができます。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OA \) は原点と \( A(2，4a) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{4a-0}{2-0}=2a \) と表すことができます。

平行四辺形の向かい合う辺は平行で長さが等しいので，\( AE=BG \) であり，
点 \( A，B，G \) の \( x \) 座標は，それぞれ \( 2，4，1 \) であることから，
点 \( E \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
　\( 2-t=4-1 \)
　　　\( t=-1 \)

点 \( D \) は，直線 \( y=ax^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 4a \) と表すことができる。
点 \( E \) は線分 \( DO \) の中点にあたるので，
点 \( E \) の \( y \) 座標は \( 2a \) ･･･ （あ）

点 \( C \) は，直線 \( y=\dfrac{1}{4}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( -2 \) なので，\( y \) 座標は \( 1 \) である。
直線 \( CA \) の式を \( y=mx+n \) とすると，
　\( m=\dfrac{4a-1}{2-(-2)}=\dfrac{4a-1}{4} \)
\( y=\dfrac{4a-1}{4}x+n \) に \( x=2，y=4a \) を代入すると，
　\( 4a=\dfrac{4a-1}{4} \times 2+n \)
　 \( n=\dfrac{4a+1}{2} \)
なので，直線 \( CA \) の式は \( y=\dfrac{4a-1}{4}x+\dfrac{4a+1}{2} \)
この直線において，\( x=-1 \) のときの \( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{4a-1}{4} \times (-1)+\dfrac{4a+1}{2} \)
　　\( =\dfrac{4a+3}{4} \) ･･･ （い）

（あ）と（い）の値は等しくなるので，
　\( 2a=\dfrac{4a+3}{4} \)
　 \( a=\dfrac{3}{4} \)

ここから，点 \( A \) の \( x \) 座標から点 \( E \) の \( x \) 座標を引いた値と
点 \( B \) の \( x \) 座標から点 \( G \) の \( x \) 座標を引いた値は等しくなります。

円 \( O \) の半径がわかっていることから，中心角の大きさがわかれば，弧の長さを求めることができるので，
\( \stackrel{\huge\frown}{ DP } \) に対する中心角 \( ∠DOP \) を求めることを考えていきます。

弧の長さは中心角の大きさに比例するので，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ DP }=2 \pi{} \times 9 \times \dfrac{92°}{360°} \)
　　　\( =18 \pi{} \times \dfrac{23}{90} \)
　　　\( =\dfrac{23}{5}\pi{} \; (cm) \)

\( 3 \)

\( 2 \)

\( =-8 \div (-4) \)
\( =2 \)

\( \dfrac{5x+4y}{6} \)

\( =\dfrac{2(x-y)}{6}+\dfrac{3(x+2y)}{6} \)
\( =\dfrac{2(x-y)+3(x+2y)}{6} \)
\( =\dfrac{2x-2y+3x+6y}{6} \)
\( =\dfrac{5x+4y}{6} \)

\( -\dfrac{8}{3}xy^2 \)

\( =x^3y^2 \times (-4y) \times \dfrac{2}{3x^2y} \)
\( =-\dfrac{x^3y^2 \times 4y \times 2}{3x^2y} \)
\( =-\dfrac{8}{3}xy^2 \)

\( \sqrt{6} \)

\( =3\sqrt{6}-\dfrac{4\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =3\sqrt{6}-\dfrac{4\sqrt{6}}{2} \)
\( =3\sqrt{6}-2\sqrt{6} \)
\( =\sqrt{6} \)

\( x=2，-3 \)

　　　\( x^2+x-6=0 \)
　\( (x-2)(x+3)=0 \)
　　　　　　　 \( x=2，-3 \)

\( 0≦y≦3 \)

二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦3 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=3 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=\dfrac{1}{3} \times 3^2=3 \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦3 \) になります。

\( 245 \) 人

標本調査では，
「母集団に含まれる調査対象の割合と標本に含まれる調査対象の割合は等しくなる」
と考えられます。

全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒の人数を \( x \) 人とすると，
母集団（全校生徒）\( 350 \) 人に含まれる数学の学習が好きな生徒の人数 \( x \) 人の割合と
標本（無作為抽出で選ばれた生徒）\( 40 \) 人に含まれる数学の学習が好きな生徒の人数 \( 28 \) 人の割合
は等しくなるので，
　\( 350：x=40：28 \)
　\( 350：x=10：7 \)
　　 \( 10x=2450 \)
　　　 \( x=245 \)
となり，全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒の人数は \( 245 \) 人になります。

手順５の円と辺 \( OA \) の交点が求める点 \( P \) になります。

条件より，\( ∠ACB=∠APB \) であることから， \( △ABC \) と \( △ABP \) について考えてみます。

円を描くためには中心の場所を知ることが必要になります。

【線分 \( AB，BC \) の垂直二等分線の交点が円の中心になる理由】
\( AH，BH，CH \) はすべて円 \( H \) の半径なので，\( △HAB，△HBC \) は二等辺三角形になります。
ここから，点 \( H \) から線分 \( AB，BC \) に垂線をひくと，線分 \( AB，BC \) の中点を通ります。

\( a=\dfrac{1}{2} \)

\( A(2，2) \) は，\( y=ax^2 \) 上の点なので，
　　\( 2=a \times 2^2 \)
　\( 4a=2 \)
　　\( a=\dfrac{1}{2} \)

\( y=-x+4 \)

\( △OAB \) と \( △OAC \) の面積が等しくなるということは，
等積変形の考え方から，\( BC//OA \) になります。

\( O \) は原点，\( A(2，2) \) であることから，直線 \( OA \) の傾きは \( 1 \) であり，
平行な直線の傾きは等しいので，直線 \( BC \) の傾きも \( 1 \) になります。

点 \( B \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( y \) 座標の値は \( 8 \) なので，
\( x \) 座標の値は，
　 \( 8=\dfrac{1}{2} \times x^2 \)
　\( x^2=16 \)
　\( x=±4 \)
図より，点 \( B \) の \( x \) 座標の値は正の値なので，
あてはまる \( x \) 座標の値は，\( x=4 \) になります。

直線 \( BC \) の傾きが \( 1 \) ということは，\( BC \) 間の \( x \) の増加量と \( y \) の増加量は
等しくなります。
点 \( B \) の座標が \( B(4，8)，C \) の \( x \) 座標は \( 0 \) であることから，
\( B \) → \( C \) の \( x \) の増加量は \( -4 \) なので，
\( C \) の \( y \) 座標の値は，\( 8-4=4 \) になります。

以上より，直線 \( AC \) は \( A(2，2)，C(0，4) \) を通るので，
この直線の傾きを \( m \) とすると，
　\( m=\dfrac{2-4}{2-0}=-1 \)
であり，直線 \( AC \) の式は \( y=-x+4 \) になります。

　　　　　　　

\( E \left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{16}{5} \right) \)

点 \( E \) は，直線 \( AC \; ･･･ \; y=-x+4 \) 上の点なので，
\( x \) 座標を \( t \) とすると，\( y \) 座標は \( -t+4 \) と表すことができます。

点 \( F \) は，直線 \( OB \) 上の点です。
直線 \( OB \) は原点と \( B(4，8) \) を通るので，直線 \( OB \) の式は \( y=2x \) であり，
点 \( F \) の \( x \) 座標が \( t \) のとき，\( y \) 座標は \( 2t \) と表すことができます。

点 \( G \) は，\( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点なので，
\( x \) 座標が \( t \) のとき，\( y \) 座標は \( \dfrac{1}{2}t^2 \) と表すことができます。

このとき，\( EF=(-t+4)-2t=-3t+4，FG=2t-\dfrac{1}{2}t^2 \) と表すことができるので，
\( EF：FG=5：4 \) になるときの \( t \) の値は，
　\( (-3t+4)： \left(2t-\dfrac{1}{2}t^2 \right)=5：4 \)
　　　　　　　　\( 4(-3t+4)=5 \left(2t-\dfrac{1}{2}t^2 \right) \)
　　　　　　　　\( -12t+16=10t-\dfrac{5}{2}t^2 \)
　　　　　　　　\( -24t+32=20t-5t^2 \)
　　　　　　\( 5t^2-44t+32=0 \)
　　　　　　 \( (5t-4)(t－8)=0 \)
　　　　　　　　　　　　　\( t=\dfrac{4}{5}，8 \)
点 \( E \) は，必ず線分 \( AC \) 上にあるので，\( 0≦t≦2 \) であることから，
あてはまる \( t \) の値は，\( t=\dfrac{4}{5} \)

点 \( E \) は，\( y=-x+4 \) 上の点なので，
\( y \) 座標の値は，\( y=-\dfrac{4}{5}+4=\dfrac{16}{5} \)

以上より，点 \( E \) の座標は，\( E \left(\dfrac{4}{5}，\dfrac{16}{5} \right) \)

　　　　　　　

\( \dfrac{5}{36} \)

上を向いている面がすべて黒色となるのは，すべてのコマを１回だけひっくり返すときなので，
［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の和が \( 6 \) になる場合です。

［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の組み合わせを樹形図に書き出すと，
和が \( 6 \) になる組み合わせは \( 5 \) 通り，すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{5}{36} \)

【コマのひっくり返し方】
・［操作１］のさいころの出た目が \( 1 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 5 \) の場合
　　［操作１］　●○○○○○ ･･･ 左端の \( 1 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 5 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 2 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 4 \) の場合
　　［操作１］　●●○○○○ ･･･ 左端から \( 2 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 4 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 3 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 3 \) の場合
　　［操作１］　●●●○○○ ･･･ 左端から \( 3 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 3 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 4 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 2 \) の場合
　　［操作１］　●●●●○○ ･･･ 左端から \( 4 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端から \( 2 \) 枚をひっくり返す

・［操作１］のさいころの出た目が \( 5 \)，［操作２］のさいころの出た目が \( 1 \) の場合
　　［操作１］　●●●●●○ ･･･ 左端から \( 5 \) 枚をひっくり返す
　　［操作２］　●●●●●● ･･･ 右端の \( 1 \) 枚をひっくり返す

\( \dfrac{7}{36} \)

問１と同様に［操作１］，［操作２］でさいころの出た目の和と
［操作２］の後にコマの上を向いている面の色の数に注目して考えます。

さいころの出た目の和が同じであるとき，［操作１］，［操作２］で出た目の組み合わせが違っても，
上を向いている面の色が白色になる枚数と黒色になる枚数の組み合わせは同じになります。

さいころを２回投げたときの出る目の和は，\( 2 \) から \( 12 \) のいずれかであり，
それぞれの場合において，上を向いている面が白の枚数と黒の枚数は，下の表のようになります。

この中で，上を向いている面が白色となる枚数が，黒色となる枚数よりも多くなるのは，
さいころの目の和が \( 2，10，11，12 \) になるときです。

からあげ ･･･ \( 600 \) 円
とり天　 ･･･ \( 480 \) 円

【からあげの定価】
「からあげ」の仕入れ値は，１パック \( 400 \) 円，
利益は仕入れ値の５割つまり，\( 0.5 \) 倍で，\( 400 \times 0.5=200 \) 円
なので，定価は
　\( 400+200=600 \)（円）

【とり天の定価】
「とり天」の仕入れ値は，１パック \( 300 \) 円，
利益は仕入れ値の６割つまり，\( 0.6 \) 倍で，\( 300 \times 0.6=180 \) 円
なので，定価は
　\( 300+180=480 \)（円）

\( 120 \) パック

仕入れた「からあげ」を \( x \) パック，仕入れた「とり天」を \( y \) パックとします。

【仕入れた数の関係】
「からあげ」と「とり天」を合わせて \( 200 \) パック仕入れたので，方程式で表すと，
　\( x+y=200 \) ･･･ ➀

【利益の関係】
●　「からあげ」\( x \) パックの実際の利益
問１より，「からあげ」１パックが定価で売れたときの利益は \( 200 \) 円です。
仕入れた「からあげ」（ \( x \) パック）の \( 80 \%(=0.8) \) は定価で売れたので，
利益の合計は \( 200 \times x \times 0.8=160x \)（円）と表すことができます。
仕入れた「からあげ」の残りの \( 20 \%(=0.2) \) は定価の \( 200 \) 円引きで売れたということは，
利益が \( 200 \) 円減る，つまり，利益は \( 0 \) 円になります。
と表すことができ，「からあげ」全体の実際の利益は \( 160x \)（円）と表すことができます。

●　「とり天」\( y \) パックの実際の利益
問１より，「とり天」１パックが定価で売れたときの利益は \( 180 \) 円です。
仕入れた「とり天」（ \( y \) パック）の \( 70 \%(=0.7) \) は定価で売れたので，
利益の合計は \( 180 \times y \times 0.7=126y \)（円）
仕入れた「とり天」の残りの \( 30 \%(=0.3) \) は定価（\( 480 \) 円）の半額で売れたということは，
１パック \( 240 \) 円で売れたということです。
「とり天」１パックの仕入れ値は \( 300 \) 円なので，１パックあたりの利益は \( 240-300=-60 \)円であり，
利益の合計は \( -60 \times y \times 0.3=-18y \)（円）
と表すことができ，「とり天」全体の実際の利益は \( 126y +(-18y)=108y \)（円）と表すことができます。

ここから，「からあげ」と「とり天」をあわせたの実際の利益は \( 160x+108y \)（円）と表すことができます。

●　「からあげ」と「とり天」がすべて定価で売れた場合の利益
１パックの利益が \( 200 \) 円の「からあげ」が \( x \) パック売れた場合の利益は \( 200x \)（円），
１パックの利益が \( 180 \) 円の「とり天」が \( y \) パック売れた場合の利益は \( 180y \)（円），
と表せるので，「からあげ」と「とり天」がすべて定価で売れた場合の利益は \( 200x+180y \)（円）と表すことができます。

「からあげ」と「とり天」を合わせた \( 200 \) パックの利益の合計は，
「からあげ」と「とり天」のすべてが定価で売れた場合の利益の合計よりも \( 10560 \) 円少なかったので，
方程式で表すと，
　\( (200x+180y)-(160x+108y)=10560 \)
　　　　　　　　　　　　\( 40x+72y=10560 \) ･･･ ➁

\( 27.25 \) 度

最頻値 ･･･ 度数が最も大きい階級の階級値
階級値 ･･･ その階級の中の真ん中の値
のことをいいます。

〔図１〕のヒストグラムから，度数が最も大きい階級は \( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級であり，
\( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級の階級値は \( \dfrac{27.0+27.5}{2}=27.25 \) 度

Ａ ･･･ イ
Ｂ ･･･ ア
Ｃ ･･･ ウ

Ａ
この箱ひげ図は，２５年ずつのデータを集計してつくられているので，
中央値は気温の高い方から１３番目の値になります。
期間１の箱ひげ図では，中央値は \( 25.5 \) 度未満であることから，
気温の高い方から１３番目の値が \( 25.5 \) 度未満なので，
\( 25.5 \) 度を上回った年は１３年未満であり，正しくありません。

Ｂ 
範囲は箱ひげ図の端から端までの長さで表され，長い方が範囲が大きくなります。
期間２と期間３では，期間３の方が長くなっているので，範囲が大きくなっており，正しい。

Ｃ 
この箱ひげ図は，２５年ずつのデータを集計してつくられているので，
第１四分位数は気温の低い方から７番目の値，中央値は気温の高い方から１３番目の値，
第３四分位数は気温の高い方から７番目の値になります。
期間１の箱ひげ図では，
　第１四分位数は \( 26.0 \) 度以上 \( 26.5 \) 度未満の階級，
　中央値は \( 27.0 \) 度以上 \( 27.5 \) 度未満の階級，
　第３四分位数は \( 27.5 \) 度以上 \( 28.0 \) 度未満の階級
にあることから，\( 27.0 \) 度を下回った年，\( 27.5 \) 度を上回った年は，
どちらも８年以上１３年未満であることはわかりますが，
それ以上に詳しいデータの分布は箱ひげ図だけの情報ではわかりません。

（『期間４』と『期間１，期間２，期間３』を比べると，）
『期間４』の第１四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の中央値よりも大きく，
『期間４』の第３四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の第３四分位数よりも大きい
ので，『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて
高くなっている傾向にあるといえる。

箱ひげ図では，上の図のように，左右のひげの部分，箱の左右の部分にそれぞれ全体の約 \( 25\% \) のデータが含まれます。
このことから，箱の部分が右側にあるほど値が大きい傾向にあるといえます。

『期間４』の第１四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の中央値よりも大きく，
『期間４』の第３四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の第３四分位数よりも大きい
ことから，『期間４』の箱ひげ図の箱の部分が『期間１，期間２，期間３』の箱ひげ図の箱の部分より
右側（気温が高い側）にあるので，
『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて
高くなっている傾向にあるといえます。

点 \( B，D \)

\( \dfrac{160}{3} \; cm^3 \)

よって，立体 \( OPQR-CDGTF \) の体積は，
　　四角すい \( A-OPQR-( \) 四角すい \( A-OPQR+ \) ，三角すい \( R-EST) \)
　\( =\dfrac{160}{3}-\left(\dfrac{20}{3}+\dfrac{10}{3}\right) \)
　\( =\dfrac{130}{3} \; (cm^3) \)

 

\( AP+BP+CP=\sqrt{41} \; cm \)

\( AP+BP+CP \) の長さという３つの線分の和を求めることから，
\( AP，BP，CP \) の中のいくつかをどこか違う場所に移して，１本の線分にできないかを考えてみます。

\( △ACD \) は正三角形であることから，
\( ∠ACD=60°，CD=AC=5 \; cm \) なので，
\( △BCD \) は \( ∠BCD=30°+60°=90° \) の
直角三角形になります。

\( △BCD \) において，三平方の定理より，
　\( BD^2=BC^2+CD^2=4^2+5^2=41 \)
　 \( BD=\sqrt{41} \; (cm) \)（ \( AD>0 \) より）

\( ∠BPC=120° \)

角度については，正三角形の内角が \( 60° \) であることと，
\( ∠ACB=30° \) であることしか明らかになっていないので，
正三角形の内角が \( 60° \) であることをうまく使っていきます。

\( -3 \)

\( =4+1-8 \)
\( =5-8 \)
\( =-3 \)

\( -2 \)

\( =-36 \times \dfrac{1}{2}+16 \)
\( =-18+16 \)
\( =-2 \)

\( \dfrac{13x+5}{12} \)

\( =\dfrac{4(x+2)}{12}+\dfrac{3(3x-1)}{12} \)
\( =\dfrac{4(x+2)+3(3x-1)}{12} \)
\( =\dfrac{4x+8+9x-3}{12} \)
\( =\dfrac{13x+5}{12} \)

\( x=-\dfrac{1}{5}y+\dfrac{7}{5} \)

等式 \( \boxed{　?　} \) を \( x \) について解くというのは，
\( x=\boxed{　??　} \) の形に変形するということなので，
　　\( y=-5x+7 \)
　\( 5x=-y+7 \)
　　\( x=-\dfrac{1}{5}y+\dfrac{7}{5} \)

\( \sqrt{10}-2\sqrt{5} \)

\( =\sqrt{5}(\sqrt{2}+1)-3\sqrt{5} \)
\( =\sqrt{10}+\sqrt{5}-3\sqrt{5} \)
\( =\sqrt{10}-2\sqrt{5} \)

\( 4(x+1)(x-3) \)

　\( 4x^2-8x-12 \)
\( =4(x^2-2x-3) \)
\( =4(x+1)(x-3) \)

\( 3 \)

\( a^2>b^2 \; (a>0，b>0) \) が成り立つとき，\( a>b \) になります。

\( (\sqrt{29})^2=29 \) なので，\( 28.09<29<29.16 \) より，
\( 5.3^2<(\sqrt{29})^2<5.4^2 \) であり，\( 5.3<\sqrt{29}<5.4 \) になります。
ここから，\( \sqrt{29} \) は \( 5.3 \) より大きく \( 5.4 \) より小さい数なので，
\( \sqrt{29}=5.3〇〇 \) となり，小数第１位の数は \( 3 \) になります。

\( ∠BAC=50° \)

\( \boxed{ア} \)　直線 \( BC \)

ねじれの位置にある直線とは，
どこまで伸ばしても交わらない直線のうち，平行ではないもののことです。

\( 30\sqrt{15} \; cm^3 \)

\( DF=\dfrac{21}{8} \; cm \)

\( y=-4 \)

\( y \) は \( x \) に比例することを表す式は，\( y=ax \)（\( a \) は定数） です。

\( y=ax \) に \( x=4，y=-2 \) を代入すると，
　\( -2=a \times 4 \)
　　\( a=-\dfrac{1}{2} \)

\( y=-\dfrac{1}{2}x \) に \( x=8 \) を代入すると，
　\( y=-\dfrac{1}{2} \times 8=-4 \)

\( \dfrac{3}{20} \)

\( a，b \) の組み合わせとそれぞれにおける \( 2a+b \) の値を樹形図にして書き出すと，
下の図のようになります。

\( 2a+b=5 \) になる組み合わせは \( 3 \) 通り，すべての組み合わせは \( 20 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{3}{20} \)

イ

図２のア～エの箱ひげ図は，最小値，第１四分位数，最大値は４つすべてで同じ階級にあるので，
違いがみられる中央値と第３四分位数がヒストグラムでどの階級に属しているかを見ていきます。

各クラスの生徒数は \( 30 \) 人なので，
中央値は，小さい方から１５番目と１６番目の値の平均値，
第３四分位数は，小さい方から２３番目の値，
になります。

\( 0≦y≦4 \)

二次関数 \( y=ax^2 \)（\( a>0，a \) は定数）のグラフにおいて，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるとき，\( y \) の値は最大値をとります。

\( y=x^2 \) で，\( x \) の変域が \( -1≦x≦2 \) のとき，
\( 0 \) を含んでいるので，\( y \) の最小値は \( 0 \) になります。
また，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは \( x=2 \) のときなので，
\( y \) の最大値は，
　\( y=2^2=4 \)

よって，求める \( y \) の変域は \( 0≦y≦4 \) になります。

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，\( AC=BD \) である。

　Ｐ　 ･･･ \( 9-a \)
　Ｑ　 ･･･ \( 9-b \)

　Ｑ　
かけられる数を \( 1 \) に固定して，図２のように折り返すとき，
位置が重なるかけ算の組み合わせは，
　「\( 1 \times 1 \)」と「\( 1 \times 8 \)」，「\( 1 \times 2 \)」と「\( 1 \times 7 \)」，
　「\( 1 \times 3 \)」と「\( 1 \times 6 \)」，「\( 1 \times 4 \)」と「\( 1 \times 5 \)」
になります。

それぞれの組み合わせの，かける数に注目すると，
　「\( 1 \)」と「\( 8 \)」，「\( 2 \)」と「\( 7 \)」，
　「\( 3 \)」と「\( 6 \)」，「\( 4 \)」と「\( 5 \)」
であり，それぞれの和は \( 9 \) になっています。

よって，あるかけ算のかける数を \( b \) とするとき，
そこに重なるかけ算のかけられる数は \( 9-b \) になります。

　Ｒ　 ･･･ \( 44 \)

問アをヒントにして \( a \times b \) と重なる４つのかけ算の和を実際に求めてみると，
　　\( (a \times b)+\{ (9-a) \times b \}+\{ a \times (9-b) \}+\{ (9-a) \times (9-b) \} \)
　\( =ab+(9b-ab)+(9a-ab)+(81-9a-9b+ab) \)
　\( =81(=9^2) \)
であり，文字 \( a，b \) を含む項はすべて消え，\( 9^2 \) の部分だけが残ります。

この \( 9 \) は \( 1+8 \) で，「 \( 1 \) から \( 8 \) まで書かれているとき」の
\( 1 \) と \( 8 \) の和になっています。

このことから， 　Ｒ　 にあてはまる偶数を \( n \) とすると，
和が \( 2025 \) になるとき，
　\( (1+n)^2=2025 \)
　\( (1+n)^2=45^2 \) （\( n>1 \) より \( 1+n>2 \)）
　　 \( 1+n=45 \)
　　　　 \( n=44 \)

\( 6 \) 枚

\( 500 \) 円玉を \( 1 \) 枚投入すれば，\( 100 \) 円玉 \( 4 \) 枚と \( 50 \) 円玉 \( 2 \) 枚が出てくる
ということは，\( 500 \) 円玉が \( 1 \) 枚投入されると，\( 50 \) 円玉は \( 2 \) 枚減ります。
よって，\( 50 \) 円玉の枚数が \( 12 \) 枚減ったということは，
投入された \( 500 \) 円玉の枚数は，
　\( 12 \div 2=6 \)（枚）

\( 200-5x-4y \) 枚

\( 1000 \) 円札が \( 1 \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 5 \) 枚減るので，
\( 1000 \) 円札が \( x \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 5x \) 枚減ります。

\( 500 \) 円玉が \( 1 \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 4 \) 枚減るので，
\( 500 \) 円玉が \( y \) 枚投入されると，\( 100 \) 円玉は \( 4y \) 枚減ります。

２月１日の営業開始前には，両替機の中に \( 100 \) 円玉が \( 200 \) 枚入っていたので，
営業終了後の \( 100 \) 円玉の枚数は，\( (200-5x-4y) \) 枚になります。

２月１日の営業終了後の両替機の中にあった \( 500 \) 円玉，\( 100 \) 円玉，\( 50 \) 円玉の枚数を
\( x，y \) を使って表すと，
　\( 500 \) 円玉の枚数は \( (30－x+y) \) 枚
　\( 100 \) 円玉の枚数は \( (200-5x-4y) \) 枚
　\( 50 \) 円玉の枚数は \( (50-2y) \) 枚
と表すことができる。

２月１日の営業終了後の両替機の中にあった，
\( 500 \) 円玉の枚数は \( 24 \) 枚なので，
　\( 30-x+y=24 \) ･･･ ➀
２月１日の営業終了後の両替機の中にあった，
\( 100 \) 円玉の枚数は \( 50 \) 円玉の枚数より \( 15 \) 枚多かったので，
　\( 200-5x-4y=(50-2y)+15 \) ･･･ ➁

➀➁を連立方程式として解くと，
　\( x=21，y=15 \)
よって，２月１日の営業時間内に両替機に投入された
\( 1000 \) 円札の枚数は \( 21 \) 枚
\( 500 \) 円玉の枚数は \( 15 \) 枚

連立方程式の途中式
　\( \left\{ \begin{array}{}
30-x+y=24 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
200-5x+4y=(50-2y)+15 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀を整理すると
　\( -x+y=-6 \) ･･･ ➀’
➀’ \( \times 2 \) すると
　\( -2x+2y=-12 \) ･･･ ➀”
➁を整理すると
　\( 200-5x-4y=(50-2y)+15 \)
　　　 \( -5x-2y=-135 \) ･･･ ➁’
➀” \( – \) ➁’すると
　\( -7x=-147 \)
　　 \( x=21 \)
➀’に代入すると，
　\( -21+y=-6 \)
　　　　 \( y=15 \)

\( 9 \)

\( =5+4 \)
\( =9 \)

\( -21 \)

\( =6 \times \left( -\dfrac{7}{2} \right) \)
\( =-\dfrac{6 \times 7}{2} \)
\( =-21 \)

\( 20a^2b \)

\( =4a^2 \times 5b \)
\( =20a^2b \)

\( b=-\dfrac{1}{7}a+\dfrac{3}{7} \)

\( b \) について解くということは，\( b=\boxed{　　　} \) の形で表すということなので，
　\( a+7b-3=0 \)
　　　　　 \( 7b=-a+3 \)
　　　　　　\( b=-\dfrac{1}{7}a+\dfrac{3}{7} \)

\( 8\sqrt{3} \)

\( =\dfrac{15 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}+3\sqrt{3} \)
\( =5\sqrt{3}+3\sqrt{3} \)
\( =8\sqrt{3} \)

\( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \)

\( y \) が \( x \) の２乗に比例することを表す式は \( y=ax^2 \) になります。

\( y=ax^2 \) に \( x=6，y=-9 \) を代入すると，
　\( -9=a \times 6^2 \)
　\( 36a=-9 \)
　　\( a=-\dfrac{1}{4} \)
なので，求める式は \( y=-\dfrac{1}{4}x^2 \) になります。

エ

大きい方の組 ･･･ Ａ組
累積相対度数 ･･･ \( 0.64 \)

ある階級の累積相対度数は，
　その階級の累積度数 \( \div \) すべての階級の度数の合計
で求めることができます。

【Ａ組の累積相対度数】
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数は \( 16 \) 人
すべての階級の度数の合計（クラスの人数）は \( 25 \) 人
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数は
　\( 16 \div 25=0.64 \)

【Ｂ組の累積相対度数】
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積度数は \( 18 \) 人
すべての階級の度数の合計（クラスの人数）は \( 30 \) 人
\( 18.0 \) 秒以上 \( 20.0 \) 秒未満の階級の累積相対度数は
　\( 18 \div 30=0.60 \)

Ｑ \( =-27 \)

Ｐ に \( 1 \) を入れると，
　\( \boxed{ア}=1+2=3 \)
　\( \boxed{イ}=1-6=-5 \)
であり，
　\( \boxed{ウ}=\boxed{ア} \times \boxed{イ} \)
　　　\( =3 \times -5 \)
　　　\( =-15 \)
なので，
　Ｑ \( =\boxed{ウ}-12 \)
　　 \( =-15-12 \)
　　 \( =-27 \)

\( x=-3，8 \)

Ｐ 入れた整数を \( x \) とすると，
　\( \boxed{ア}=x+2 \)
　\( \boxed{イ}=x-6 \)
と表すことができるので，
　\( \boxed{ウ}=\boxed{ア} \times \boxed{イ} \)
　　　\( =(x+2)(x-6) \)
ここから，Ｑ の値は，
　Ｑ \( =\boxed{ウ}-12 \)
　　 \( =(x+2)(x-6)-12 \)
と表すことができます。

Ｑ の値が Ｐ に入れた整数 \( x \) と同じ値になるとき，
　\( (x+2)(x-6)-12=x \)
　\( (x^2-4x-12)-12=x \)
　　　　 \( x^2-5x-24=0 \)
　　　　\( (x+3)(x-8)=0 \)
　　　　　　　　　　　\( x=-3，8 \)

\( y=6 \)

点 \( A \) は，\( y=\dfrac{3}{2}x \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 4 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{3}{2} \times 4=6 \)

\( a=-12 \)

\( A(4，6)，D(4，0) \) より，\( AC=6 \) なので，
\( AD=BC \) のとき，
　 \( 6=4-\dfrac{a}{6} \)
　\( \dfrac{a}{6}=-2 \)
　 \( a=-12 \)

\( 64：27 \)

三角すいを４つの面のうち１つの面に平行な面で切ってできる小さい三角すいは，
もとの三角すいと相似になります。
また，相似な立体の対応する辺の比はすべて等しいので，体積比は相似比の３乗の比と等しくなります。

\( AE：EB=3：1 \) より、相似比は \( AB：AE=4：3 \) なので，
体積比は，
　\( 4^3：3^3=64：27 \)

\( \dfrac{1}{2} \)

円盤をまわして決まった数字とそれ折れにおけるコマの移動先は次のとおり，
数字が \( 1 \) のとき → \( A \) のマスに移動
数字が \( 2 \) のとき → \( B \) のマスに移動
数字が \( 3 \) のとき → \( C \) のマスに移動し，\( C \) のマスの指示により \( D \) のマスに移動
数字が \( 4 \) のとき → \( D \) のマスに移動

よって，すべての場合の数は４通り，コマが \( D \) のマスにあるのは２通りなので，
求める確率は \( \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{3}{8} \)

「１回目に決まった数字とコマの移動先」と「２回目に決まった数字とコマの移動先」の
組み合わせを樹形図に書き出すと下の図のようになります。
コマが \( H \) のマスにある組み合わせは６通り，
すべての組み合わせは１６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8} \)

\( 50a+15b \)

➀ の用途で１回使用するときのガスの消費量は \( 50 \; g \) なので，
\( a \) 回使用するときのガスの消費量は \( 50a \; g \)
➁ の用途で１回使用するときのガスの消費量は \( 15 \; g \) なので，
\( b \) 回使用するときのガスの消費量は \( 15b \; g \)
と表すことができます。

ガスの消費量の合計は，これらの和なので，\( 50a+15b \; g \) となります。

\( 18 \) 回

（１）と同様に ➀ の用途で \( a \) 回，➁ の用途で \( b \) 回使用すると考えると，
➁ の用途で使用する回数が ➀ の用途で使用する回数の２倍となるとき，
\( b=2a \) と表すことができます。

これを（１）の \( 50a+15b \) に代入すると，\( 50a+15 \times 2a=80a \) と表すことできます。

ガスが \( 240 \; g \) 入ったボンベ \( 6 \) 本分のガスの総量は
　\( 240 \times 6=1440 \; (g) \)
なので，
　\( 80a=1440 \)
　　\( a=18 \)（回）

\( 160 \; g \)

「強火」の設定のとき，\( 240 \; g \) のガスが \( 60 \) 分間でなくなるのだから，
\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 240 \div 60=4 \; (g) \) です。

つまり，「強火」の設定で \( 20 \) 分間使用したときに消費されるガスの量は，
\( 4 \times 20=80 \; (g) \) なので，ボンべに残るガスの量は
　\( 240-80=160 \; (g) \)

ボンベが満タン（\( x=0 \)）のときから「強火」の設定で \( 40 \) 分間使用し，
そこ（\( x=40 \)）から「弱火」の設定に変えてガスがなくなるまで使用したので，
\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線と\( 0≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線と
２つをくっつけたものになります。

【\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線】
「強火」の設定のとき，\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 4 \; g \) で，
\( 40 \) 分間使用したときに消費されるガスの量は，
\( 4 \times 40=160 \; (g) \) なので，ボンべに残るガスの量は
　\( 240-160=80 \; (g) \)
ここから，\( x=40 \) のときの \( y \) の値は \( y=80 \) になります。
また，ボンベが満タン（\( x=0 \)）のときのガスの量は \( y=240 \; (g) \) なので，
\( 0≦x≦40 \) の範囲を表す直線は，\( (0，240) \) と \( (40，80) \) を結んだ直線になります。

【\( 40≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線】
「弱火」の設定のとき，\( 240 \; g \) のガスが \( 180 \) 分間でなくなるのだから，
\( 1 \) 分あたりに消費されるガスの量は，\( 240 \div 180=\dfrac{4}{3} \; (g) \) です。
ここから，ボンべに残った \( 240 \; g \) のガスがなくなるまでの時間は，
\( 80 \div \dfrac{4}{3}=60 \)（分）であり，
「強火」の設定で使用した \( 40 \) 分間と合わせて，\( x=40+60=100 \) のときに
ガスがすべてなくなることになります。
つまり，\( 40≦x≦\boxed{ ? } \) の範囲を表す直線は，\( (40，80) \) と \( (100，0) \) を結んだ直線になります。

　a　 ･･･ 交点の \( y \) 座標
ボンべに残るガスの量 ･･･ \( 48 \; g \)

図Ⅲに（ア）のグラフを書き足すと，\( 40≦x≦100 \) の直線と交わります。
\( 40≦x≦100 \) の直線の式を \( y=-\dfrac{4}{3}x+b \) とすると，
\( (100，0) \) を通るので，
　\( 0=-\dfrac{4}{3} \times 100+b \)
　\( b=\dfrac{400}{3} \)
であり，この直線の式は \( y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{400}{3} \) ･･･➀ になります。

また，図Ⅲの直線は，\( (0，240) \) と \( (80，0) \) を通るので，
傾きは \( \dfrac{0-240}{80-0}=-3 \) であり，
この直線の式は \( y=-3x+240 \) ･･･➁ になります。

\( AC=\sqrt{11} \; cm \)

\( AE=\dfrac{25}{6} \; cm \)

以上より，１組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △ABC≡△BAD \)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，
　\( AD=BC=5 \; cm \)

【\( △DFB \) の面積を求める】
問３と同様の考え方から \( △DFB≡△BAD≡△ABC \) なので，
\( △DFB \) と \( △ABC \) の面積は等しくなります。

【\( FB \) の長さを求める】
\( △DFB≡△BAD \) より，対応する辺の長さは等しいので，\( FB=AD=5 \; cm \) になります。

\( -2 \)

\( \dfrac{3}{8} \)

\( =\dfrac{5}{8}+ \left( -\dfrac{1}{4} \right) \)
\( =\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4} \)
\( =\dfrac{5}{8}-\dfrac{2}{8} \)
\( =\dfrac{3}{8} \)

\( 7 \)

\( =16-9 \)
\( =7 \)

\( 5\sqrt{2} \)

\( =\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}+\sqrt{8} \)
\( =3\sqrt{2}+\sqrt{8} \)
\( =3\sqrt{2}+2\sqrt{2} \)
\( =5\sqrt{2} \)

\( 9ab^2 \)

\( =-\dfrac{1}{5}a^2 \times 45b^3 \times \left( -\dfrac{1}{ab} \right) \)
\( =\dfrac{a^2 \times 45b^3}{5 \times ab} \)
\( =9ab^2 \)

エ　家から駅までの道のり

毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩いたときに進む道のりは \( 60x \) と表すことができます。

家を出発して 毎分 \( 60 \; m \) で \( x \) 分間歩き，\( 10 \) 分後に駅に着いたということは，
毎分 \( 80 \; m \) で歩いた時間は \( 10-x \) 分と表すことができるので，
毎分 \( 80 \; m \) で \( 10-x \) 分間歩いたときに進む道のりは \( 80(10-x) \) と表すことができます。

よって，これらの和である \( 60x+80(10-x) \) は，家から駅までの道のりを表しています。

線分 \( BC \) の垂直二等分線上にある点は，
すべて２点 \( B，C \) からの距離が等しい点になります。

\( y=-9 \)

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \)（\( a \) は定数）になります。

ここに，\( x=3，y=-12 \) を代入すると，
　\( -12=\dfrac{a}{3} \)
　　 \( a=-36 \)

よって，\( y=-\dfrac{36}{x} \) に \( x=4 \) を代入すると，
　\( y=-\dfrac{36}{4}=-9 \)

\( \dfrac{3}{10} \)

３本が当たりくじに「あ１，あ２，あ３」，２本のはずれくじに「は１，は２」と名前をつけ，
Ａさん，Ｂさんがひくくじの組み合わせを樹形図に書き出すと，
すべての組み合わせは２０通り，２人とも当たりくじをひく組み合わせは６通りなので，
求める確率は \( \dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10} \)

ア

箱ひげ図は，１５年分のデータを集計しているので，
第１四分位数は気温の低い方から４番目の値で，\( 17.0 \; C^\circ \) 以上 \( 17.5 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。
中央値は気温の低い方から８番目の値で，\( 17.5 \; C^\circ \) 以上 \( 18.0 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。
第３四分位数は気温の低い方から１２番目の値で，\( 18.0 \; C^\circ \) 以上 \( 18.5 \; C^\circ \) 未満の階級に含まれています。

次に，それぞれのヒストグラムに累積度数を書き込み，
第１四分位数（４番目の値）が含まれている階級に ○，
中央値（８番目の値）が含まれている階級に ○，
第３四分位数（１２番目の値）が含まれている階級に ○
をつけると，箱ひげ図とすべてが合致しているのは ア のヒストグラムになります。

　　

２０１０年～２０２４年の箱ひげ図の箱の方が１９９５年～２００９年の箱ひげ図の箱より右側にあるから

箱ひげ図の箱の部分には約５０％の数のデータが含まれています。
２つの箱ひげ図の最大値と最小値がほぼ同じで，箱の位置が右側にあるということは

１９９５年～２００９年では，約半分の年で平均気温が\( 18.3 \; C^\circ \) 以上 \( 18.8 \; C^\circ \) 未満であるのに対して，
２０１０年～２０２４年では，約半分の年で平均気温が\( 18.9 \; C^\circ \) 以上 \( 20.8 \; C^\circ \) 未満になっています。

ここから，「２０１０年～２０２４年の５月の平均気温は，１９９５年～２００９年の５月の平均気温より高くなっている傾向にある」といえます。

\( x=10 \)

　 \( (x-6)(x-1)=36 \)
　　　\( x^2-7x+6=36 \)
　　\( x^2-7x-30=0 \)
　\( (x+3)(x-10)=0 \)
　　　　　　　　 \( x=10 \)（ \( x>0 \) より）

\( \dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

これらを➀に代入すると，
　\( 3 \times \dfrac{x-1}{2} \times (x-6)=\dfrac{3}{2}(x-1)(x-6) \)

イ　満水状態の電気給湯器の中のお湯の量

表から，スイッチＡを押すと電気給湯器の中から毎分 \( 12 \; L \) のお湯が出ていき（減り）ます。
つまり，スイッチＡを押してから \( x \) 分間の間には
電気給湯器の中から \( 12x \; L \) のお湯が出ていき（減り）ます。

式を \( y+12x=360 \) に書き換えると，
　\( y \) は \( x \) 分後に電気給湯器の中に残っているお湯の量，
　\( 12x \) は \( x \) 分間に電気給湯器から出ていったお湯の量
を表しているので，これらの和（\( 360 \)）は満水状態の電気給湯器の中のお湯の量になります。

\( -120 \)

「\( x \) の増加量が \( 10 \) のとき」を「\( x \) が \( 0 \) から \( 10 \) まで増加したとき」と考えると，
　\( x=0 \) の \( y \) の値は，\( y=-12 \times 0+360=360 \)
　\( x=10 \) の \( y \) の値は，\( y=-12 \times 10+360=240 \)
なので，\( y \) の増加量は，\( 240-360=-120 \)

\( 270 \; L \)

スイッチＢを押すと，毎分 \( 18 \; L \) ずつ電気給湯器の中のお湯が減っていくので，
\( 5 \) 分間に減るお湯の量は \( 18 \times 5＝90 \; (L) \) になります。
満水状態では \( 360 \; L \) なので，\( 5 \) 分後の電気給湯器の中のお湯の量は，
　\( 360-90=270 \; (L) \)

直線Ａ，直線Ｂそれぞれにおいて \( y \) 座標が \( 180 \) になる点の \( x \) 座標の差を求める。

式 ･･･ \( y=6x-90 \)
変域 ･･･ \( 25≦x≦45 \)

スイッチＡが押されていた時間を \( s \) 秒，スイッチＢが押されていた時間を \( t \) 秒とすると，
時間についての関係を方程式で表すと，\( s+20+t=55 \) ･･･ ➀
お湯の量についての関係を方程式で表すと，
スイッチＡを押して出ていったお湯の量は \( 12s \; L \)，
スイッチＢを押して出ていったお湯の量は \( 18t \; L \)，
と表すことができ，これら出ていったお湯の総量は，
満水状態の水の量 \( 360 \; L \) とスイッチＣを押してためたお湯の量 \( 6 \times 20=120 \; (L) \) の合計と等しくなるので，
　\( 12s+18t=360+120 \) ･･･ ➁

スイッチＣに切り替えてから，スイッチＢに切り替えるまでの \( x \) と \( y \) の関係を表す式を
\( y=6x+b \) として，\( x=25，y=60 \) を代入すると，
　\( 60=6 \times 25+b \)
　\( 60=150+b \)
　 \( b=-90 \)
よって，求める式は \( y=6x-90 \)

\( y=ax^2 \) に \( x=2，y=1 \) を代入すると，
　\( 1=a \times 2^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{4} \)

\( y \) の値の最小値 ･･･ \( y=0 \)
\( x \) の値 ･･･ \( x=0 \)

２次関数 \( y=ax^2(a>0) \) のグラフは原点を通るので，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の値の最小値は \( 0 \) になります。

\( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) のとき，\( 0 \) を含んでいるので，
\( y \) の値の最小値は \( 0 \) で，そのときの \( x \) の値も \( 0 \) になります。

\( \dfrac{1}{25}<a<\dfrac{3}{4} \)

\( y=ax^2(a>0) \) のグラフは，\( a \) の値が小さくなるほどグラフの開き具合が大きくなります。

グラフと直角三角形 \( ABC \) の周が１点だけで交わるのは，
グラフが点 \( B \) を通るときと点 \( C \) を通るときなので，
点 \( C \) を通るときの \( a \) の値が最大で，
そこから \( a \) の値を小さくするほど
グラフは 赤 → オレンジ → 緑 → 青 と開き具合が大きくなっていき，
この間は２点で交わることになります。
そして，点 \( B \) を通るときの \( a \) の値が最小になり，１点だけでしか交わらなくなります。

グラフが点 \( C(2，3) \) を通るときの \( a \) の値は，
　\( 3=a \times 2^2 \)
　\( a=\dfrac{3}{4} \)
グラフが点 \( B(5，1) \) を通るときの \( a \) の値は，
　\( 1=a \times 5^2 \)
　\( a=\dfrac{1}{25} \)
なので，\( a \) のとりうる値の範囲は，
　\( \dfrac{1}{25}<a<\dfrac{3}{4} \)

\( y=ax^2 \) のグラフは \( D \left( -\dfrac{8}{3}，3 \right) \) を通るので，
　\( 3=a \times \left( -\dfrac{8}{3} \right)^2 \)
　\( 3=\dfrac{64}{9}a \)
　\( a=\dfrac{27}{64} \)
なので，２次関数を表す式は \( y=\dfrac{27}{64}x^2 \)

点 \( E \) は，\( y=\dfrac{27}{64}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標が \( 2 \) なので，
\( y \) 座標の値は，
　\( y=\dfrac{27}{64} \times 2^2=\dfrac{27}{16} \)
よって，点 \( E \) の座標は \( E \left( 2，\dfrac{27}{16} \right) \)

　（１）　 ･･･ \( 8-x \)
　（２）　 ･･･ \( 3 \)

　（２）　 ･･･ \( 8-x \)
点 \( M \) は線分 \( AD \) の中点なので，
　\( DM=\dfrac{1}{2}AD=4 \; (cm) \)
\( △DMF \) において，三平方の定理より，
　\( DF^2+DM^2=MF^2 \)
　　　　\( x^2+4^2=(8-x)^2 \)
　　　　\( x^2+16=x^2-16x+64 \)
　　　　　　\( 16x=48 \)
　　　　　　　 \( x=3 \; (cm) \)

\( HQ//BC \) より，\( QC=HB=\dfrac{8}{3} \; cm \) なので，
　\( FQ=CF-QC \)
　　　\( =5-\dfrac{8}{3} \)
　　　\( =\dfrac{7}{3} \; (cm) \)

以上より，
　\( HP：PQ=HE：FQ \)
　　　　　　\( =\dfrac{5}{3}：\dfrac{7}{3}\)
　　　　　　\( =5：7\)

\( \dfrac{400}{9}\pi{} \; cm^3 \)

\( -9 \)

\( 30 \)

\( 10a^2b \div 2a=\dfrac{10a^2b}{2a}=5ab \)

ここに \( a=3，b=2 \) を代入すると，
　\( 5ab=5 \times 3 \times 2=30 \)

９個

絶対値とは，\( +，- \) の符号をはずした数のことなので，
絶対値が \( 4 \) になる整数は \( (+)4 \) と \( -4 \) です。

絶対値が \( 4 \) 以下の整数ということは，絶対値が \( 0，1，2，3，4 \) の整数なので，
あてはまるのは，\( -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 \) の９個になります。

\( y=4x^2 \)

\( y \) が \( x \) の２乗に比例することを表す式は \( y=ax^2 \)（\( a \) は定数）になります。

この式に，\( x=-3，y=36 \) を代入すると，
　\( 36=a \times (-3)^2 \)
　\( 9a=36 \)
　 \( a=4 \)

よって，求める式は \( y=4x^2 \) になります。

\( 75 \) 個

標本調査では，
「母集団の中に含まれる不良品の割合」と「取り出したサンプルに含まれる不良品の割合」
は等しくなると考えられます。

\( 10000 \) 個の品物に含まれる不良品の個数を \( x \) 個とすると，
　\( 10000：x=400：3 \)
　　　 \( 400x=30000 \)
　　　　　\( x=75 \)（個）

十角形

多角形の１つの頂点から対角線をひくと，いくつかの三角形をくっつけた形に分けることができます。

このことから，\( n \) 角形は対角線により \( n-2 \) 個の三角形に分けることができるので，
\( n \) 角形の内角の和は \( 180(n-2)° \) で表すことができます。

\( n \) 角形の内角の和が \( 1440° \) の場合は，
　\( 180(n-2)=1440 \)
　　　　\( n-2=8 \)
　　　　　　\( n=10 \)
なので，十角形になります。

\( \dfrac{3}{2}≦y≦6 \)

イ，エ

ア ･･･ 箱ひげ図の情報からだけでは平均点を判断することはできません。

イ ･･･ 全部で \( 30 \) 人のデータを集計しているので，
　　　 中央値は得点の低い方から１５番目と１６番目の平均値になります。
　　　 箱ひげ図から，中央値は \( 5.5 \) 点で，得点は整数であることから，
　　　 １５番目の値は \( 5 \) 点以下，１６番目の値は \( 6 \) 点以上です。
　　　 よって，数学が \( 5 \) 点以下の生徒は \( 15 \) 人になっています。

ウ ･･･ 範囲の大きさは箱ひげ図全体の長さ，四分位範囲の大きさは箱の長さで判断することができます。

　　　 箱ひげ図全体の長さ，箱の長さともに数学の方が長いので，
　　　 範囲，四分位範囲ともに数学の方が大きくなっています。

エ ･･･ 全部で \( 30 \) 人のデータを集計しているので，
　　　 第３四分位数は得点の高い方から８番目の値になります。
　　　 国語の第３四分位数は \( 7 \) 点なので，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，\( \color{blue}{7} \) 人以下です。
　　　 数学の第３四分位数は \( 8 \) 点なので，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，\( \color{red}{8} \) 人以上です。
　　　 よって，\( 8 \) 点以上をとった生徒の人数は，国語より数学の方が多いといえます。

\( n=40 \)

\( \sqrt{90n} \) の値が自然数となるのは，\( 90n=k^2 \)（ \( k \) は整数）で表すことができるときです。

\( 90n \) を素因数分解すると \( 3^2 \times 2 \times 5 \times n \) なので，
\( 90n=k^2 \) で表すことができる最も小さい自然数 \( n \) は，\( n=10 \) です。
　\( 90 \times 10=3^2 \times 2^2 \times 5^2=30^2 \)
次に \( 90n=k^2 \) で表すことができるのは，\( n=40=10 \times 2^2 \) のときです。
　\( 90 \times 40=3^2 \times 2^4 \times 5^2=60^2 \)

\( BE=\dfrac{12}{7} \; cm \)

\( AE：EC=4：3，AF=FE \) より \( AF：FE：EC=2：2：3 \) なので，
　\( CE：CF=3：5 \)
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，
　\( BE：PF=CE：CF=3：5 \)

\( BE=x \; cm \) とすると，\( DF=\dfrac{x}{2} \; cm \) と表せるので，
　　　\( BE：PF=3：5 \)
　\( x：\left( 2+\dfrac{x}{2} \right)=3：5 \)
　　　　　　 \( 5x=6+\dfrac{3}{2}x \)
　　　　　　\( 10x=12+3x \)
　　　　　　　\( x=\dfrac{12}{7} \; (cm) \)

\( 2 \) エクササイズ

\( 20 \) 分を時間に換算すると \( \dfrac{20}{60}=\dfrac{1}{3} \) 時間なので，
バスケットボール（\( 6 \) メッツ）を \( \dfrac{1}{3} \) 時間行ったときの身体活動量は
　\( 6 \times \dfrac{1}{3}=2 \)（エクササイズ）

卓球 ･･･ \( 30 \) 分間
なわとび ･･･ \( 15 \) 分間

卓球を \( x \) 時間，なわとびを \( y \) 時間行うとすると，
\( 45 \) 分を時間に換算すると \( \dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4} \) 時間なので，
　\( x+y=\dfrac{3}{4} \) ･･･ ➀
卓球の強度は \( 4 \) メッツ，なわとびの強度は \( 12 \) メッツなので，
合計の身体活動量は，
　\( 4x+12y=5 \) ･･･ ➁
➀➁を連立方程式として解くと，
\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=\dfrac{3}{4} \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
4x+12y=5 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right. \)
➀ \( \times 4 \) すると，
　\( 4x+4y=3 \) ･･･ ➀’
➁ \( – \) ➀’ すると，
　\( 8y=2 \)
　 \( y=\dfrac{1}{4} \)
➀ に代入すると，
　\( x+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4} \)
　　　 \( x=\dfrac{1}{2} \)
よって，卓球を \( \dfrac{1}{2} \) 時間，なわとびを \( \dfrac{1}{4} \) 時間行えばよいことになります。
これを分表記に換算すると，
卓球を行う時間は \( \dfrac{1}{2} \times 60=30 \) 分
なわとびを行う時間は \( \dfrac{1}{4} \times 60=15 \) 分
になります。

\( 2.9 \) エクササイズ

【身体活動の強度表】から，早歩きの強度は \( 4 \) メッツ，ランニングの強度は \( 8.5 \) メッツなので，
早歩きを行った時間とランニングを行った時間がわかれば，身体活動量を求めることができます。

池のまわりの距離は変わらないので，ランニングの速さは，早歩きの速さの \( 1.5 \) 倍であったことから，
早歩きを行った時間はランニングを行った時間の \( 1.5 \) 倍であり，比で表すと，\( 3：2 \) になります。

早歩きを行った時間とランニングを行った時間の合計が \( 30 \) 分なので，
早歩きを行った時間は，\( 30 \times \dfrac{3}{5}=18 \) 分，つまり，\( \dfrac{18}{60}=\dfrac{3}{10} \) 時間
ランニングを行った時間は，\( 30 \times \dfrac{2}{5}=12 \) 分，つまり，\( \dfrac{12}{60}=\dfrac{1}{5} \) 時間
です。

ここから，合計の身体活動量は，
　\( 4 \times \dfrac{3}{10}+8.5 \times \dfrac{1}{5}=1.2+1.7=2.9 \)（エクササイズ）
になります。

（　ア　）･･･ \( 8 \)
（　イ　）･･･ \( 13 \)

（　ア　）
１つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( A \)
２つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( B \)
とすると，表より，最も多くのＬＥＤが点灯するのは，\( (A，B)=(7，7) \) となるときで，
２つの数字の組み合わせは「８８」になりますが，\( 88 \) 秒はないので，あてはまりません。

次に多くのＬＥＤが点灯するのは，\( (A，B)=(6，7)，(7，6) \) となるときで，
\( (A，B)=(6，7) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「０８，６８，９８」ですが，\( 68 \) 秒，\( 98 \) 秒はないので，あてはまるのは \( 8 \) 秒のときです。
\( (A，B)=(7，6) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「８０，８６，８９」ですが，\( 80 \) 秒，\( 86 \) 秒，\( 89 \) 秒はないので，どれもあてはまりません。

よって，最も多くのＬＥＤが同時に点灯するのは \( 8 \) 秒のときになります。

（　イ　）
１つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( A \)
２つめの数字を表示するために点灯するＬＥＤの個数を \( B \)
とすると，表より \( 2≤A≤7，2≤B≤7 \) であることから，
\( A+B=10 \) となる \( A，B \) の組み合わせは，
　\( (A，B)=(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4)，(7，3) \)
の５通りです。

\( (A，B)=(3，7) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「７８」ですが，\( 78 \) 秒はないのであてはまりません。
\( (A，B)=(4，6) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「４０，４６，４９」の３通り。
\( (A，B)=(5，5) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「２２，２３，２５，３２，３３，３５，５２，５３，５５」の９通り。
\( (A，B)=(6，4) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「０４，６４，９４」ですが，\( 64 \) 秒，\( 94 \) 秒はないので，あてはまるのは「０４」の１通り。
\( (A，B)=(7，3) \) となる２つの数字の組み合わせは，
「８７」ですが，\( 87 \) 秒はないのであてはまりません。

よって，１０個のＬＥＤが同時に点灯するのは，\( 1 \) 分間に \( 13 \) 回になります。

（　ウ　） ･･･ \( 90 \)
　 エ 　 ･･･ \( 6x-(90+0.5x) \)

午後３時の長針と短針の位置が異なるので，
０時（または０分）の位置を基準（仮に「基準の位置」と呼びます）にして，
午後３時 \( x \) 分に長針と短針が基準の位置からどれだけ回転した位置にあるかを考えます。

よって，長針と短針のつくる角度を \( x \) についての方程式で表すと，
　\( 6x-(90+0.5x)=130 \)
となります。

直線 \( OE \) と円 \( O \) の交点が求める点 \( P \) になります。

長針は \( 1 \) 分間に \( 6° \) ずつ動くので，\( 5 \) 分で \( 30° \) 回転します。
つまり，線分 \( OP \) は線分 \( OA \) を時計回りに \( 30° \) 回転させたものになります。

点 \( B \) は \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) 上の点で，\( x \) 座標は \( 6 \) なので，
　\( y=\dfrac{1}{2} \times 6^2=18 \)
であり，点 \( B \) の座標は，\( B(6，18) \) です。

直線 \( OB \) の傾きを \( m \) とすると，
　\( m=\dfrac{18-0}{6-0}=3 \)

よって，直線 \( OB \) の式は \( y=3x \) になります。

\( \left( 5，-\dfrac{25}{2} \right) \)

３倍

四角形 \( OQBP \) を \( △OQP \) と \( △BQP \) に分けると，
\( △AQP \) を含む３つの三角形はすべて線分 \( PQ \) を辺にもつので，
線分 \( PQ \) を底辺と考えると，高さの比が面積の比と等しくなります。

ここから，四角形 \( OQBP \) と \( △AQP \) の面積比は，
　四角形 \( OQBP： △AQP=(14+4)：6=3：1 \)

よって，四角形 \( OQBP \) の面積は \( △AQP \) の面積の３倍になります。

\( 2 \)

点 \( Q \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を \( E \)，
点 \( A \) を通り，\( x \) 軸に平行な直線と線分 \( QE \) との交点を \( F \) とすると，
\( △QAF \) と \( △QCE \) は，点 \( A \) が線分 \( CQ \) の中点であることから，
\( △QAF \) ∽ \( △QCE \) ，相似比は \( 1：2 \) になっています。

点 \( Q \) の \( x \) 座標を \( t \) とすると，
線分 \( AF \) の長さは \( t+4 \) と表すことができるので，
線分 \( CE \) の長さは \( 2AF=2t+8 \) と表すことができます。
また，点 \( A \) の \( y \) 座標が \( 8 \) であることから，\( EF=8 \) であり，
相似比は \( 1：2 \) より，\( QF=8 \) になっています。
ここから，２点 \( P，Q \) の \( y \) 座標の値は \( 16 \) になります。

また，点 \( P \) から \( x \) 軸に垂線をひいた交点を \( G \) とすると，，
点 \( P \) の \( x \) 座標は \( -t \) と表せるので，\( PQ=2t \) と表すことができます。
このとき，\( CE=2t+8，GE=PQ=2t \) より，\( CG=8 \) になっています。

以上より，直線 \( CP \) の傾きは，
　傾き \( =\dfrac{16}{8}=2 \)

　　　　

\( △BCH，△ABH，△CDH，△ADH \) はすべて合同で，面積は等しいので，
正方形 \( ABCD \) の面積の \( \dfrac{1}{4} \) になります。

よって，
　\( △BCH=\dfrac{1}{4} \times 2 \times 2=1 \; (cm^2) \)

\( \sqrt{2} \; cm \)

\( △ABC \) は \( AB=BC=2 \; cm \) の直角二等辺三角形なので，
　\( AC=2\sqrt{2} \; cm \)

\( △OAC \) は \( OA=OC=2 \; cm，AC=2\sqrt{2} \; cm \) なので，
\( ∠AOC=90° \) の直角二等辺三角形になっています。

\( ∠AOC \) は，３点 \( O，A，C \) を通る円の円周角なので，
\( ∠AOC=90° \) より，線分 \( AC \) は，この円の直径になります。

よって，この円の半径は，
　\( \dfrac{1}{2}AC=\sqrt{2} \; (cm) \)

\( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \; cm \)

\( 5 \)

\( =\{(\sqrt{3})^2+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+2\}-\dfrac{9 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \)
\( =5+3\sqrt{3}-3\sqrt{3} \)
\( =5 \)

\( -6ab \)

\( =-\dfrac{3ab^2 \times 4a^2b}{2a^2b^2} \)
\( =-6ab \)

\( 2025 \) 円

\( 10 \; \% \) 引きで商品を購入するということは，
もとの値段の \( 90 \; \% \) の値段で購入するということです。
\( 90 \; \% \) を小数で表すと \( 0.9 \) なので，
　\( 2250 \times 0.9=2025 \)（円）

８個

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \)（ \( a \) は定数）です。
この式に \( x=3，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=\dfrac{a}{3} \)
　\( a=15 \)
よって，この関係を表す式は \( y=\dfrac{15}{x} \) です。

以上より，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数となる点の個数は８個になります。

\( x=-1，y=5 \)

\( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=3 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
\dfrac{1}{2}x-\dfrac{y+2}{6}=-\dfrac{5}{3} \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁ \( \times 6 \) すると，
　\( 3x-(y+2)=-10 \)
　\( 3x-y=-8 \) ･･･ ➁’
➀ \( + \) ➁’すると，
　\( 5x=-5 \)
　 \( x=-1 \)
➀に代入すると，
　\( 2 \times (-1)+y=3 \)
　　　　　　　\( y=5 \)

\( (a+1)(a-6) \)

\( x=-1±\sqrt{3} \)

　\( x+1=±\sqrt{3} \)
　　　\( x=-1±\sqrt{3} \)

手順２の直線と手順３の円弧の交点が求める直角二等辺三角形の残りの１つの頂点になります。

線分 \( AB \) を斜辺とする直角二等辺三角形を作図するということは，
直角になる頂点の位置を求めればいいということです。

この \( 90° \) の角を直径 \( AB \) に対する円周角と考えると，
残り１つの頂点は、線分 \( AB \) を直径とする円周上にあることになります。
この円の中心は線分 \( AB \) の中点であり，
線分 \( AB \) の中点は垂直二等分線を作図することで求められます。

また，残り１つの頂点は、２点 \( A，B \) どちらとも距離が等しい点になるので，
線分 \( AB \) の垂直二等分線上の点になります。

よって，求める点は，
「線分 \( AB \) を直径とする円弧」と「線分 \( AB \) の垂直二等分線」の交点
になります。

➃　２０２３年８月は，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が８日以上ある。

➀ ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは判断できません。

➁ ･･･ 四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
　　　 １９７３年８月の第１四分位数は，\( 30.7^\circ C \)，第３四分位数は，\( 32.3^\circ C \) なので，
　　　 四分位数は，\( 32.3-30.7=1.6 \; (^\circ C) \) になります。

➂ ･･･１９７３年８月の第１四分位数は \( 31.0^\circ C \) 未満，２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) 以上
　　　 なので，２０２３年８月の第３四分位数の方が大きくなっています。

➃ ･･･ ３１日分のデータを集計しているので，第３四分位数は気温の高い方から８番目の値になります。
　　　 ２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) より大きいので，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が
　　　 ８日以上あるといえます。

イ

箱ひげ図から最小値は \( 29.0^\circ C \) 以上 \( 30.0^\circ C \) 未満なので，
\( 28.0^\circ C \) 以上 \( 29.0^\circ C \) 未満の階級の度数が１になっているアのヒストグラムはあてはまりません。

この箱ひげ図は，３１日分のデータを集計しているので，中央値は気温の低い方から１６番目の値になります。
中央値は \( 33.0^\circ C \) 以上 \( 34.0^\circ C \) 未満であり，
ヒストグラムで１６番目の値が \( 33.0^\circ C \) 以上 \( 34.0^\circ C \) 未満の階級にあるのはイになります。

イとウのヒストグラムに累積度数を書き込むと次のようになり，
イのヒストグラムでは，気温の低い方から１６番目の値は \( 33.0^\circ C \) 以上 \( 34.0^\circ C \) 未満の階級，
ウのヒストグラムでは，気温の低い方から１６番目の値は \( 34.0^\circ C \) 以上 \( 35.0^\circ C \) 未満の階級
に含まれていることがわかります。

\( \dfrac{1}{9} \)

６個の玉から１個を取り出す作業を玉を戻して２回行うときの組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通り。
２個の数の和が \( 5 \) になる組み合わせは，\( (1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1) \) の \( 4 \) 通り。
よって，求める確率は \( \dfrac{4}{36}=\dfrac{1}{9} \)

５個

袋Ａと袋Ｂから１個ずつ球を取り出すときのすべての組み合わせは \( 6 \times 6=36 \) 通りなので，
積が奇数となる確率が \( \dfrac{5}{12}=\dfrac{15}{36} \) であるとき，
奇数となる組み合わせは \( 15 \) 通りあることになります。

\( b，c，d \) をそれぞれ \( a \) を用いて表すと，
\( b=a+1，c=a+2，d=a+3 \) となるので，
　\( bc-ad=(a+1)(a+2)-a(a+3) \)
　　　　　\( =(a^2+3a+2)-(a^2+3a) \)
　　　　　\( =2 \)
よって，
連続する４つの整数を小さい方から順に \( a，b，c，d \) とするとき，
\( bc-ad \) の値はいつでも \( 2 \) になる

\( 0≦y≦16 \)

\( y=-2x+8 \)

よって，直線 \( AB \) の式は \( y=-2x+8 \) になります。

\( t=-\dfrac{5}{2} \)

\( ∠BAQ \) と \( ∠AQP \) は錯角の位置にあるので，
\( ∠BAQ=∠AQP \) となるのは \( AB//PQ \) になるときです。

\( t=\dfrac{-5±\sqrt{3}}{2} \)

線分 \( PR，QS \) は，どちらも \( y \) 軸と平行なので，
\( PR//QS \) であり，四角形 \( PQSR \) は台形になっています。

よって，四角形 \( PQSR \) の面積が \( 18 \) となるとき，
　\( \{(-t^2-2t+8)+(-t^2-8t-7)\} \times 3 \times \dfrac{1}{2}=18 \)
　　　　　　　　　　\( (-2t^2-10t+1) \times 3 \times \dfrac{1}{2}=18 \)
　　　　　　　　　　　　　　　 \( -2t^2-10t+1=12 \)
　　　　　　　　　　　　　　　\( -2t^2-10t-11=0 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( t=\dfrac{-(-10)±\sqrt{(-10)^2-4 \times (-2) \times (-11)}}{2 \times (-2)} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{10±\sqrt{100-88}}{-4} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{10±2\sqrt{3}}{-4} \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 \( =\dfrac{-5±\sqrt{3}}{2} \)

\( AD=2\sqrt{2} \; cm \)

ここから，おうぎ形 \( AOD \) とおうぎ形 \( △COD \) は
同じ半円上にある中心角 \( 90° \) のおうぎ形なので，合同になっています。

アの部分の面積は，おうぎ形 \( AOD-△AOD \)
イの部分の面積は，おうぎ形 \( COD-△COD \)
と表せることから，
合同なおうぎ形から合同な三角形をひいたものなので，アの部分とイの部分の面積は等しくなります。
このとき，アの部分をイの部分に移動させると，影付きの部分は \( △BCD \) にまとめることができます。

\( 6\sqrt{3}\pi{} \; cm^3 \)

　（ア）　 ･･･ \( 360 \)
　（イ）　 ･･･ \( 108 \)
　（ウ）　 ･･･ \( 120 \)

　（エ）　 ･･･ \( 2\sqrt{3} \)
　（オ）　 ･･･ \( 6\sqrt{3} \)
　（カ）　 ･･･ \( 8 \)
　（キ）　 ･･･ \( 4\sqrt{3} \)
　（ク）　 ･･･ \( 4\sqrt{3} \)
　（ケ）　 ･･･ \( 8 \)
　（コ）　 ･･･ \( 6\sqrt{3} \)

ここから，\( △COH \) は \( 30°，60°，90° \) の直角三角形なので，
\( OH=a \; cm \) より，
　\( CH=\sqrt{3}OH=\sqrt{3}a \; cm \)
同様に考えると，右の図で正三角形 \( ABC \) の中にできる６個の直角三角形はすべて合同なので，
正三角形 \( ABC \) の１辺の長さは \( 2CH=2\sqrt{3}a \; (cm) \)であり，
周の長さは
　\( 2\sqrt{3}a \times 3=6\sqrt{3}a \; (cm) \)

　（ク）　，　（ケ）　，　（コ）　
２つの数 \( a，b \) において，\( a<b \) であるとき，\( a^2<b^2 \) になります。
\( 6\sqrt{3}a，8a，4\sqrt{3}a \) をそれぞれ２乗すると，
\( 108a^2，64a^2，48a^2 \) なので，
小さい順に並べると
　\( 4\sqrt{3}a<8a<6\sqrt{3}a \)

３　正六角形

　（シ）　 ･･･ \( 12b \)
　（ス）　 ･･･ \( 6\sqrt{3} \)
正三角形の１辺の長さは \( 4b \; cm \) なので，面積は \( 4\sqrt{3}b^2 \; cm^2 \)
正方形の１辺の長さは \( 3b \; cm \) なので，面積は \( 9b^2 \; cm^2 \)
正六角形の１辺の長さは \( 2b \; cm \) なので，面積は \( 6\sqrt{3}b^2 \; cm^2 \)
と表すことができる。
このとき，\( 4\sqrt{3}b^2<9b^2<6\sqrt{3}b^2 \) なので，
面積が最大となる図形は正六角形である。

　（シ）　
針金の長さは \( 12b \) でなくても 整数 \( \times b \; cm \) で表してあれば何でもいいのですが，
\( 12b \) にすることで１辺の長さを分数を使わずに簡単に表すことができます。

　（ス）

\( 19 \)

\( =1+2 \times 9 \)
\( =1+18 \)
\( =19 \)

\( 2025 \) 円

\( 10 \; \% \) 引きで商品を購入するということは，
もとの値段の \( 90 \; \% \) の値段で購入するということです。
\( 90 \; \% \) を小数で表すと \( 0.9 \) なので，
　\( 2250 \times 0.9=2025 \)（円）

\( \sqrt{2} \)

\( =3\sqrt{2}-2\sqrt{2} \)
\( =\sqrt{2} \)

\( y=\dfrac{15}{x} \)

反比例を表す式は \( y=\dfrac{a}{x} \)（ \( a \) は定数）です。
この式に \( x=3，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=\dfrac{a}{3} \)
　\( a=15 \)
よって，求める式は \( y=\dfrac{15}{x} \)

\( x=1，y=2 \)

\( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=4 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
3x-2y=-1 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➀ \( \times 2 \) すると，
　\( 4x+2y=8 \) ･･･ ➀’
➀’\( + \) ➁ すると，
　\( 7x=7 \)
　 \( x=1 \)
➀ に代入すると，
　\( 2 \times 1+y=4 \)
　　　\( 2+y=4 \)
　　　　　\( y=2 \)

\( (a-2)(a-3) \)

\( x=\dfrac{-3±\sqrt{5}}{2} \)

解の公式より，
　\( x=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} \)
　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{9-4}}{2} \)
　　\( =\dfrac{-3±\sqrt{5}}{2} \)

ねじれの位置にある辺とは，どこまでのばしても交わらない辺のうち，平行ではないもののことです。

辺 \( AB \) と交わらない辺は \( CD，CG，DH，EF，EH，FG，GH \) であり，
ここから辺 \( AB \) と平行な辺 \( CD，EF，GH \) を除いた
辺 \( CG，DH，EH，FG \) の４本がねじれの位置にある辺になります。

➃　２０２３年８月は，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が８日以上ある。

➀ ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは判断できません。

➁ ･･･ 四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
　　　 １９７３年８月の第１四分位数は，\( 30.7^\circ C \)，第３四分位数は，\( 32.3^\circ C \) なので，
　　　 四分位数は，\( 32.3-30.7=1.6 \; (^\circ C) \) になります。

➂ ･･･１９７３年８月の第１四分位数は \( 31.0^\circ C \) 未満，２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) 以上
　　　 なので，２０２３年８月の第３四分位数の方が大きくなっています。

➃ ･･･ ３１日分のデータを集計しているので，第３四分位数は気温の高い方から８番目の値になります。
　　　 ２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) より大きいので，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が
　　　 ８日以上あるといえます。