１．右の図で，４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
　　であり，線分ＢＣは円Ｏの直径である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

２．右の図でＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
　　であり，線分ＡＣは直径である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

３．右の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点
　　である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

まず，∠\(ABC\) が内角となる三角形を探します。

問題で引かれている線分だけでは見つかりませんが，補助線\(AC\)をひくと，△\(ABC\) ができます。

△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(ABC\) 以外の２つの内角を調べます。

\(ACB\) は，\(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。

また， ∠\(BAC\) は半円に対する円周角になっています。

補助線\(AC\) を引くと、∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角なので，

　　∠\(ACB=\)∠\(ADB=41°\)　・・・　（1）

また、線分\(BC\) は円Ｏの直径なので，

　　∠\(BAC=90°\)　・・・　（2）

（1）（2）より，三角形の内角の和は180°なので、
\begin{eqnarray}
∠ABC+∠BAC+∠ACB &=& 180° \\
∠ABC+90°+41° &=& 180° \\
∠ABC+131° &=& 180° \\
∠ABC &=& 49°
\end{eqnarray}

まず，∠\(BAC\) が内角となる三角形は△\(ABC\) になります。

△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(BAC\) 以外の２つの内角を調べます。

∠\(ABC\) は半円に対する円周角になっています。

また，∠\(ACB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。

∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\) の円周角なので，

　　∠\(ACB\) ＝∠\(ADB\)　・・・　（1）

∠\(ABC\) は半円に対する円周角なので，

　　∠\(ABC=90°\)　・・・　（2）

（1）（2）より，三角形の内角の和は 180° なので，

\begin{eqnarray}
∠CAB+∠ABC+∠ACB &=& 180° \\
∠CAB+90°+68° &=& 180° \\
∠CAB+158° &=& 180° \\
∠CAB &=& 22°
\end{eqnarray}

まず，∠\(OBC\) が内角となる三角形は△\(OBC\) です。

△\(OBC\) の２辺，\(OB=OC\) は円Ｏの半径になっていることから，△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形であるとわかります。

二等辺三角形の底角は等しいので，∠\(BOC\) がわかれば，∠\(x\) を求めることができます。

∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角，∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角なので，

　　∠\(BOC = 2✕ \)∠\(BAC\)
　　　　　　\(=2✕38°\)
　　　　　　\(=76°\)

\(OB，OC\) は円Ｏの半径なので，

　　\(OB=OC\)

△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形なので,

　　∠\(OCB=(180°－\)∠\(\displaystyle BOC) ✕ \frac{1}{2}\)
　　　　　\(\displaystyle x=(180°－76°) ✕ \frac{1}{2}\)
　　　　　　\(=52°\)