同位角 - 数学基礎トレーニングルーム https://service.1escape1.net 中学数学の基礎を学ぶ部屋 Sat, 08 Jan 2022 13:45:33 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.8.15 【平面図形】 平行線と角の性質を理解するための練習問題（基礎） https://service.1escape1.net/heimenseishitsu-kiso-003/ https://service.1escape1.net/heimenseishitsu-kiso-003/#respond Sat, 08 Jan 2022 13:45:33 +0000 https://service.1escape1.net/?p=750 問題 １．右の図のように４本の直線が交わっており， 　　直線 \( m // n \)である。 　　このとき、 \(∠x \) の大きさを求めなさい。   ２．右図の長方形ＡＢＣＤにおいて，点 \(Ｅ，Ｆ，Ｇ\ […]

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]]> 問題

１．右の図のように４本の直線が交わっており，
　　直線 \( m // n \)である。
　　このとき、 \(∠x \) の大きさを求めなさい。

 

２．右図の長方形ＡＢＣＤにおいて，点 \(Ｅ，Ｆ，Ｇ\)は
　　それぞれ辺 ＡＤ，ＤＣ，ＢＣ 上の点である。
　　∠ＤＥＦ＝１８°，∠ＦＧＣ＝２６° のとき，
　　\(∠x\) の大きさを求めなさい。

 

３．右の図で \( l // m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい

 

４．右の図で \( l // m\) ，ＡＢ＝ＡＣのとき，\(∠x\) の値を求めなさい。

５．右の図で \(l//m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい。

 

解答

１．７２°

２．４４°

３．５３°

４．２６°

３．２３°

解説

\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

\(m//n\) より，平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＢＣＤ＝３６°　・・・　（1）

２直線が交わっているとき，対頂角は等しいので，

∠ＥＤＣ＝７２°　・・・　（2）

（1）（2）より三角形の内角の和は１８０°なので，

∠ＣＡＤ＋∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°
　　　　　\(x\)＋３６°＋７２°＝１８０°
　　　　　　　　\(x\)＋１０８°＝１８０°
　　　　　　　　　　　　　\(x\)＝７２°

\( ∠x\) の大きさを求めなさい。

この問題は補助線FHがひけるかがポイントです。

点Ｆを通り、辺ＡＤと辺ＢＣに平行な直線を引き、
辺ＡＢとの交点をＨとすると，
平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＥＦＨ＝∠ＤＥＦ＝１８°　・・・　（1）

同様に、

∠ＨＦＧ＝∠ＦＧＣ＝２６°　・・・　（2）

(1)，(2) と与えられた条件より、

∠ＥＦＧ＝∠ＥＦＨ＋∠ＧＦＨ
　　　\(\;x\)＝１８°＋２６°
　　　　＝４４°

\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

補助線をひき，∠ＡＢＣを分ける

点Ｂを通り，直線 \( m，n\) に平行な直線 \(p\) をひくと，∠ＡＢＣを上下に分ける形になります。

このとき， 平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＡＢＣ（全）＝∠ＡＢＣ（上）＋∠ＡＢＣ（下）
　　　１２０°＝９０°＋∠ＡＢＣ（下）
∠ＡＢＣ（下）＝３０°

となり，∠ＡＢＣは９０°と３０°に分けられることがわかります。
補助線をひき，∠ＢＣＤを分ける

点Ｃを通り，直線 \( m，n\) に平行な直線 \(q\) をひくと，∠ＢＣＤを上下に分ける形になります。

このとき， 平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＢＣＤ（全）＝∠ＢＣＤ（上）＋∠ＢＣＤ（下）
　　　　　　\( x \) ＝３０°＋２３°
　　　　　　\( x \) ＝５３°

になっています。

\( ∠x \) の大きさを求めなさい。

解答の方針

図から∠\(x\) を直接求めることはできなさそうなので，
△ＡＢＣに注目します。

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形です。

また，∠ＢＡＣの大きさがわかっていますので，
底角である∠ＡＣＢを求めることができます。

\(l\;//\;m\) なので、∠ＡＣＢは、∠\(x\) と１８°を使って別の方法で表すことができます。

∠ＡＣＢを２通りの方法で表すことができると、方程式が立てられますので、方程式を解くことで∠\(x\) を求めることができます。

∠ＡＢＣ，∠ＡＣＢを求める

問題で与えられた条件 ＡＢ＝ＡＣ より，△ＡＢＣは二等辺三角形であるとわかります。
二等辺三角形の底角は等しく，また，三角形の内角の和は１８０°なので，

∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
　∠ＡＢＣ＋９２°＋∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　　∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝８８°
　　　　　　　　　２∠ＡＣＢ＝８８°
　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝４４°　・・・　（1）

補助線をひき，∠ＡＣＢを２つに分ける

点Ｃを通り，直線 \( l，m \) に平行な直線 \( n \) をひくと，∠ＡＣＢを上下に分ける形になります。

このとき， 平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＢ（上）＋∠ＡＣＢ（下）
　　　　＝\( x \)＋１８°　・・・　（2）

になっています。

∠ＡＣＢを求める

（1）（2）は同じ∠ＡＣＢを表しているので，

∠ＡＣＢ＝４４°＝\( x \)＋１８°
　　　　　　　\(\;\; x \)＝２６°

となります。

小問５．

∠ＡＤＥの大きさを直線 \(l，m\) の関係性から導く

直線 \(l，m\) において，平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＡＤＥ＝９０°＋\( x \)　・・・　（1）

∠ＡＥＤの大きさを求める

∠ＡＥＣは一直線上の点なので，

∠ＡＥＤ＝\(180°\)－∠ＤＥＣ
　　　　＝\(180°－140°\)
　　　　＝\(40°\)

∠ＡＤＥの大きさを△ＡＤＥの内角と外角の和から導く

△ＡＤＥにおいて，三角形の内角の和は \(180°\) なので，

∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＥ＋∠ＥＡＤ＝\(180°\)
∠ＡＤＥ＋\(27°\)＋\(40°\)＝\(180°\)
∠ＡＤＥ＝\(113°\)・・（2）

（1）＝（2）より，

\(90°＋ x ＝113°\)
\( x ＝23°\)

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