問題１．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。

 

問題２．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。

問題３．右の図のように，線分ＡＥとＢＤが交わって
　　　　おり，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥである。
　　　　∠ＢＡＣ＝４４°のとき，∠ＣＤＥの大きさ
　　　　を求めなさい。

問題４．右の図のように，△ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｄ，辺ＢＣ上に点Ｅがあり，∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤ＝４０°，∠ＡＦＣ＝１１５° となっている。
また，線分ＡＥと線分ＣＤの交点をＦとするとき、∠ＡＢＣの大きさを求めなさい。

 

三角形の外角はとなりあっていない内角の和と
等しいので，

　　∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝６２°＋４４°
　　　　　　　　　　　\(\:\)＝１０６°

まず，内角の大きさが２つわかっている三角形を探してみると，△ＡＤＥは∠ＡＥＤと∠ＥＡＤの２つの内角がわかっています。

このことから，∠ＡＤＥと∠ＦＤＢの大きさがわかります。

次に∠\(x\) が内角になる三角形を探すと，△ＡＢＣと△ＤＢＦが見つかります。

ここで，△ＤＢＦに注目すると，∠ＤＦＣが外角になっていることがわかります。

△ＡＤＥに注目すると，∠ＥＤＢが外角になっているので，

　　∠ＦＤＢ＝∠ＥＡＤ＋∠ＡＥＤ
　　　　　　＝３７°＋２３°
　　　　　　＝５７°

次に，△ＤＢＦに注目すると，∠ＣＦＤが外角になっているので，

　　∠ＤＢＦ＋∠ＦＤＢ＝∠ＣＦＤ
　　　　　　\(x\) ＋５７°＝９７°
　　　　　　　　　　　\(\:x\) ＝４０°

問題文からわかる前提条件
　　ＡＢ＝ＡＣ
　　ＣＤ＝ＣＥ

求める対象
　　∠ＣＤＥの大きさ

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形なので，
底角は等しく，

　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ

よって，

　∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　４４°＋２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　　　　　２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°ー４４°
　　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝６８°

直線が交わってできる対頂角は等しいので，

　　∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝６８°

△ＣＥＤはＣＥ＝ＣＤの二等辺三角形なので，
底角は等しく，

　　∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ

よって，

　∠ＥＣＤ＋∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ＝１８０°
　　　　６８°＋２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°
　　　　　　　　２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°ー６８°
　　　　　　　　　　　∠ＣＤＥ＝５６°

∠ＡＢＣが内角となり、さらにもう１つの内角がわかっている△ＢＣＤに注目します。

ここで、∠ＣＤＡは外角になっていることがわかります。

また、∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角になっているので、これらを組み合わせると解答できます。

∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角なので，

　　∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＣ
　　　∠ＡＤＦ＋４０°＝１１５°
　　　　　　　∠ＡＤＦ＝１１５°ー４０°
　　　　　　　∠ＡＤＦ＝７５°

∠ＡＤＦは△ＢＣＤの外角なので，

　　∠ＣＢＤ＋∠ＤＣＢ＝∠ＡＤＦ
　　　∠ＣＢＤ＋４０°＝７５°
　　　　　　　∠ＣＢＤ＝７５°－４０°
　　　　　　　∠ＣＢＤ＝３５°