１．右の図のように４本の直線が交わっており，
　　直線 \( m // n \)である。
　　このとき、 \(∠x \) の大きさを求めなさい。

２．右図の長方形ＡＢＣＤにおいて，点 \(Ｅ，Ｆ，Ｇ\)は
　　それぞれ辺 ＡＤ，ＤＣ，ＢＣ 上の点である。
　　∠ＤＥＦ＝１８°，∠ＦＧＣ＝２６° のとき，
　　\(∠x\) の大きさを求めなさい。

３．右の図で \( l // m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい

４．右の図で \( l // m\) ，ＡＢ＝ＡＣのとき，\(∠x\) の値を求めなさい。

５．右の図で \(l//m\) のとき，\(∠x\) の値を求めなさい。

\(m//n\) より，平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＢＣＤ＝３６°　・・・　（1）

２直線が交わっているとき，対頂角は等しいので，

∠ＥＤＣ＝７２°　・・・　（2）

（1）（2）より三角形の内角の和は１８０°なので，

∠ＣＡＤ＋∠ＡＣＤ＋∠ＡＤＣ＝１８０°
　　　　　\(x\)＋３６°＋７２°＝１８０°
　　　　　　　　\(x\)＋１０８°＝１８０°
　　　　　　　　　　　　　\(x\)＝７２°

点Ｆを通り、辺ＡＤと辺ＢＣに平行な直線を引き、
辺ＡＢとの交点をＨとすると，
平行な２直線の錯角は等しいので，

∠ＥＦＨ＝∠ＤＥＦ＝１８°　・・・　（1）

同様に、

∠ＨＦＧ＝∠ＦＧＣ＝２６°　・・・　（2）

問題１．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。

問題２．∠ \(x\) の大きさを求めなさい。

問題３．右の図のように，線分ＡＥとＢＤが交わって
　　　　おり，ＡＢ＝ＡＣ，ＣＤ＝ＣＥである。
　　　　∠ＢＡＣ＝４４°のとき，∠ＣＤＥの大きさ
　　　　を求めなさい。

問題４．右の図のように，△ＡＢＣの辺ＡＢ上に点Ｄ，辺ＢＣ上に点Ｅがあり，∠ＢＡＥ＝∠ＢＣＤ＝４０°，∠ＡＦＣ＝１１５° となっている。
また，線分ＡＥと線分ＣＤの交点をＦとするとき、∠ＡＢＣの大きさを求めなさい。

三角形の外角はとなりあっていない内角の和と
等しいので，

　　∠ＡＢＣ＋∠ＢＡＣ＝６２°＋４４°
　　　　　　　　　　　\(\:\)＝１０６°

まず，内角の大きさが２つわかっている三角形を探してみると，△ＡＤＥは∠ＡＥＤと∠ＥＡＤの２つの内角がわかっています。

このことから，∠ＡＤＥと∠ＦＤＢの大きさがわかります。

次に∠\(x\) が内角になる三角形を探すと，△ＡＢＣと△ＤＢＦが見つかります。

ここで，△ＤＢＦに注目すると，∠ＤＦＣが外角になっていることがわかります。

△ＡＤＥに注目すると，∠ＥＤＢが外角になっているので，

　　∠ＦＤＢ＝∠ＥＡＤ＋∠ＡＥＤ
　　　　　　＝３７°＋２３°
　　　　　　＝５７°

次に，△ＤＢＦに注目すると，∠ＣＦＤが外角になっているので，

　　∠ＤＢＦ＋∠ＦＤＢ＝∠ＣＦＤ
　　　　　　\(x\) ＋５７°＝９７°
　　　　　　　　　　　\(\:x\) ＝４０°

問題文からわかる前提条件
　　ＡＢ＝ＡＣ
　　ＣＤ＝ＣＥ

求める対象
　　∠ＣＤＥの大きさ

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形なので，
底角は等しく，

　　∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ

よって，

　∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　４４°＋２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°
　　　　　　　　２ ✕ ∠ＡＣＢ＝１８０°ー４４°
　　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝６８°

直線が交わってできる対頂角は等しいので，

　　∠ＡＣＢ＝∠ＥＣＤ＝６８°

△ＣＥＤはＣＥ＝ＣＤの二等辺三角形なので，
底角は等しく，

　　∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ

よって，

　∠ＥＣＤ＋∠ＣＥＤ＋∠ＣＤＥ＝１８０°
　　　　６８°＋２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°
　　　　　　　　２ ✕ ∠ＣＤＥ＝１８０°ー６８°
　　　　　　　　　　　∠ＣＤＥ＝５６°

∠ＡＢＣが内角となり、さらにもう１つの内角がわかっている△ＢＣＤに注目します。

ここで、∠ＣＤＡは外角になっていることがわかります。

また、∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角になっているので、これらを組み合わせると解答できます。

∠ＡＦＣは△ＡＤＦの外角なので，

　　∠ＡＤＦ＋∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＣ
　　　∠ＡＤＦ＋４０°＝１１５°
　　　　　　　∠ＡＤＦ＝１１５°ー４０°
　　　　　　　∠ＡＤＦ＝７５°

∠ＡＤＦは△ＢＣＤの外角なので，

　　∠ＣＢＤ＋∠ＤＣＢ＝∠ＡＤＦ
　　　∠ＣＢＤ＋４０°＝７５°
　　　　　　　∠ＣＢＤ＝７５°－４０°
　　　　　　　∠ＣＢＤ＝３５°

１．右の図で，４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
　　であり，線分ＢＣは円Ｏの直径である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

２．右の図でＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄは円Ｏの周上の点
　　であり，線分ＡＣは直径である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

３．右の図で，３点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点
　　である。
　　このとき，∠\(x\) の大きさを求めなさい。

まず，∠\(ABC\) が内角となる三角形を探します。

問題で引かれている線分だけでは見つかりませんが，補助線\(AC\)をひくと，△\(ABC\) ができます。

△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(ABC\) 以外の２つの内角を調べます。

\(ACB\) は，\(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。

また， ∠\(BAC\) は半円に対する円周角になっています。

補助線\(AC\) を引くと、∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角なので，

　　∠\(ACB=\)∠\(ADB=41°\)　・・・　（1）

また、線分\(BC\) は円Ｏの直径なので，

　　∠\(BAC=90°\)　・・・　（2）

（1）（2）より，三角形の内角の和は180°なので、
\begin{eqnarray}
∠ABC+∠BAC+∠ACB &=& 180° \\
∠ABC+90°+41° &=& 180° \\
∠ABC+131° &=& 180° \\
∠ABC &=& 49°
\end{eqnarray}

まず，∠\(BAC\) が内角となる三角形は△\(ABC\) になります。

△\(ABC\) の３つの内角のうち ∠\(BAC\) 以外の２つの内角を調べます。

∠\(ABC\) は半円に対する円周角になっています。

また，∠\(ACB\) は \(\stackrel{\huge\frown}{AB} \) の円周角になっています。

∠\(ACB\) と∠\(ADB\) は\(\stackrel{\huge\frown}{AB}\) の円周角なので，

　　∠\(ACB\) ＝∠\(ADB\)　・・・　（1）

∠\(ABC\) は半円に対する円周角なので，

　　∠\(ABC=90°\)　・・・　（2）

（1）（2）より，三角形の内角の和は 180° なので，

\begin{eqnarray}
∠CAB+∠ABC+∠ACB &=& 180° \\
∠CAB+90°+68° &=& 180° \\
∠CAB+158° &=& 180° \\
∠CAB &=& 22°
\end{eqnarray}

まず，∠\(OBC\) が内角となる三角形は△\(OBC\) です。

△\(OBC\) の２辺，\(OB=OC\) は円Ｏの半径になっていることから，△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形であるとわかります。

二等辺三角形の底角は等しいので，∠\(BOC\) がわかれば，∠\(x\) を求めることができます。

∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角，∠\(BAC\) は\(\stackrel{\huge\frown}{BC}\)の円周角なので，

　　∠\(BOC = 2✕ \)∠\(BAC\)
　　　　　　\(=2✕38°\)
　　　　　　\(=76°\)

\(OB，OC\) は円Ｏの半径なので，

　　\(OB=OC\)

△\(OBC\) は \(OB=OC\) の二等辺三角形なので,

　　∠\(OCB=(180°－\)∠\(\displaystyle BOC) ✕ \frac{1}{2}\)
　　　　　\(\displaystyle x=(180°－76°) ✕ \frac{1}{2}\)
　　　　　　\(=52°\)