広島 - 数学基礎トレーニングルーム https://service.1escape1.net 中学数学の基礎を学ぶ部屋 Sat, 14 Dec 2024 06:03:01 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.8.13 広島県公立高校入試　令和６（2024）年度　解答＆解説 https://service.1escape1.net/kouritsu_hiroshima_2024/ https://service.1escape1.net/kouritsu_hiroshima_2024/#respond Wed, 11 Dec 2024 13:00:25 +0000 https://service.1escape1.net/?p=18636 大問１ （１） \( 9+4 \times (-2) \) を計算しなさい。   （２） \( \dfrac{5}{11} \div \left( -\dfrac{2}{3} \right) \) を計算しなさ […]

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]]> 大問１

（１） \( 9+4 \times (-2) \) を計算しなさい。

【解答】
\( 1 \)
【解説】
\( =9-8 \)
\( =1 \)

 

（２） \( \dfrac{5}{11} \div \left( -\dfrac{2}{3} \right) \) を計算しなさい。

【解答】
\( -\dfrac{15}{22} \)
【解説】
\( =\dfrac{5}{11} \times \left( -\dfrac{3}{2} \right) \)
\( =-\dfrac{15}{22} \)

 

（３） 次の連立方程式を解きなさい。
　　　　 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-5 \\
-x+3y=9 \\
\end{array} \right.  \)

【解答】
\( x=-3，y=2 \)
【解説】
\( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-5 \;\; ･･･ \;\; ➀ \\
-x+3y=9 \;\; ･･･ \;\; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁より，
　\( x=3y-9 \) ･･･ ➁’
➀に代入すると，
　\( 3(3y-9)+2y=-5 \)
　　\( 9y-27+2y=-5 \)
　　　　　　　\( 11y=22 \)
　　　　　　　　\( y=2 \)
➁’に代入すると，
　\( x=3 \times 2-9=-3 \)

 

（４） \( (\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-3) \) を計算しなさい。

【解答】
\( -\sqrt{6} \)
【解説】
\( =(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-3) \)
\( =(\sqrt{6})^2+2\sqrt{6}-3\sqrt{6}-6 \)
\( =6-\sqrt{6}-6 \)
\( =-\sqrt{6} \)

 

（５） \( y \) は \( x \) の２乗に比例し，\( x=6 \) のとき \( y=12 \) です。このとき，\( y \) をの式で表しなさい。

【解答】
\( y=\dfrac{1}{3}x^2 \)
【解説】
\( y \) は \( x \) の２乗に比例するということは，求める式は \( y=ax^2 \; (a \) は定数) の形になります。
ここに，\( x=6，y=12 \) を代入すると，
　\( 12=a \times 6^2 \)
　 \( a=\dfrac{1}{3} \)
よって，求める式は \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \)

 

（６） １つの外角の大きさが \( 40° \) である正多角形の辺の数を求めなさい。

【解答】
\( 9 \) 本
【解説】
多角形において，すべての外角の和は必ず \( 360° \) になります。
また，正多角形の外角の大きさはすべて同じ大きさになります。
これらより，
　\( \dfrac{360°}{40°}=9 \)（個）
外角が \( 9 \) 個あるということは，辺は \( 9 \) 本あることになります。

 

（７） 右の図のように， \( AB=4 \; cm，BC=7 \; cm，∠A=90° \) の直角三角形 \( ABC \) があります。辺 \( AC \) の長さは何 \( cm \) ですか。

【解答】
\( \sqrt{33} \; cm \)

【解説】
三平方の定理より，
　\( AC^2=BC^2-AB^2 \)
　　　　\( =7^2-4^2 \)
　　　　\( =33 \)
　 \( AC=\sqrt{33} \; (cm) \) (\( AC>0 \) より)

 

（８） 袋の中に白玉と黒玉の２種類の玉が合計 \( 450 \) 個入っています。この袋の中の玉をよくかき混ぜてから，\( 35 \) 個の玉を無作為に抽出したところ，白玉が \( 21 \) 個，黒玉が \( 14 \) 個ふくまれていました。はじめに袋の中に入っていた黒玉の個数はおよそ何個と考えられますか。次のア〜エの中から，最も適当なものを選び，その記号を書きなさい。

　　　ア　およそ \( 180 \) 個　　　イ　およそ \( 210 \) 個　　　ウ　およそ \( 240 \) 個　　　エ　およそ \( 270 \) 個

【解答】
ア　およそ \( 180 \) 個
【解説】
標本調査においては，
「母集団の大きさと母集団の中の調査対象の数の比」と
「標本の大きさと標本の中の調査対象の数の比」は等しくなると考えられます。

　 母集団の大きさ ･･･ 袋の中に入っている玉の総数（\( 450 \) 個）
　 標本の大きさ ･･･ 無作為抽出した玉の総数（\( 35 \) 個）
　 標本の中の調査対象の数 ･･･ 無作為抽出した黒玉の総数（\( 14 \) 個）

となるので，袋の中に入っていた黒玉の個数をおよそ \( x \) 個とすると，
　\( 450：x=35：14 \)
　　 \( 35x=450 \times 14 \)
　　　　\( x=180 \)
よって，はじめに袋の中に入っていた黒玉の個数は，およそ \( 180 \) 個と考えられます。

 

大問２

（１） 右の図のように，円すいの展開図があり，側面となるおうぎ形 \( OAB \) は半径が \( OA=3 \; cm \)，中心角が \( ∠AOB=72° \) です。この展開図を組み立ててできる円すいの表面積は何 \( cm^2 \) ですか。ただし，円周率は \( \pi{}  \) とします。

【解答】
\( \dfrac{54}{25}\pi{} \; cm^2  \)

【解説】

円すいの展開図において，
おうぎ形の弧と底面の円周の長さは等しいので，
　\( \stackrel{\huge\frown}{ AB }=2\pi{} \times 3 \times \dfrac{72°}{360°}=\dfrac{6}{5}\pi{} \; (cm) \)
底面の半径を \( r \; cm \) とすると，
　\( 2\pi{}r=\dfrac{6}{5}\pi{} \)
　　 \( r=\dfrac{3}{5} \; (cm) \)

おうぎ形 \( OAB \) の面積は，
　\( \pi{} \times 3^2 \times \dfrac{72°}{360°}=\dfrac{9}{5}\pi{} \; (cm^2)  \)
底面の円の面積は，
　\( \pi{} \times \left(\dfrac{3}{5} \right) ^2=\dfrac{9}{25}\pi{} \; (cm^2)  \)
なので，円すいの表面積は，
　\( \dfrac{9}{5}\pi{}+\dfrac{9}{25}\pi{}=\dfrac{54}{25}\pi{} \; (cm^2)  \)

 

（２） 次の図のように，８段の階段があり，川口さんは床の位置にいます。川口さんは，正しく作られた大小２つのさいころを同時に１回投げて，あとの【規則】に従ってこの階段を移動します。

【規則】
床の位置から，大小２つのさいころの出た目の数の和だけ，上に向かって１段ずつ移動する。８段目に到達したときに移動する数が残っていれば，８段目から，残っている数だけ下に向かって１段ずつ移動する。
川口さんが，この２つのさいころを同時に１回投げて，【規則】に従って移動を終えたとき，６段目にいる確率を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{2}{9}  \)
【解説】
２つのさいころの出た目の数の和は \( 2 \) から \( 12 \) までのどれかになるので，
移動を終えたときに６段目にいるのは，出た目の数の和が \( 6 \) または \( 10 \) のときです。

２つのさいころの出た目の数の組み合わせと
それぞれの場合の和を表に書き出し，
出た目の数の和が \( 6 \) または \( 10 \) のところに
○ をつけてみます。

出た目の和が \( 6 \) または \( 10 \) になるのは \( 8 \) 通り，
すべての組み合わせは \( 36 \) 通りなので，
求める確率は \( \dfrac{8}{36}=\dfrac{2}{9} \)

 

（３） 次の図は，ある中学校のＡ班 \( 23 \) 人とＢ班 \( 23 \) 人のハンドボール投げの記録を班ごとに箱ひげ図に表したものです。この箱ひげ図から読み取れることとして必ず正しいといえるものを，下のア～オの中から全て選び，その記号を書きなさい。ただし，記録はメートルを単位とし，メートル未満は切り捨てるものとします。

　　　　 ア　Ａ班の記録の平均値は \( 18 \; m \) である。
　　　　 イ　Ｂ班で，記録が \( 16 \; m \) の人は，少なくとも１人はいる。
　　　　 ウ　Ａ班の記録の範囲は，Ｂ班の記録の範囲より小さい。
　　　　 エ　Ｂ班の記録の四分位範囲は，Ａ班の記録の四分位範囲より大きい。
　　　　 オ　記録が \( 22 \; m \) 以上の人は，Ｂ班にはＡ班の２倍以上いる。

【解答】
イ，エ，オ
【解説】

イ ･･･ ２３人分のデータなので，第一四分位数は記録が小さい方から６番目の値になります。
　　　 Ｂ班は第一四分位数が \( 16 \; m \) なので，記録が \( 16 \; m \) の人は，少なくとも１人はいるといえます。

エ ･･･ 四分位範囲は，箱の長さで比較することができます。
　　　 箱の長さはＢ班の方がＡ班よりも長いので，
　　　 Ｂ班の記録の四分位範囲は，Ａ班の記録の四分位範囲より大きいといえます。

オ ･･･ Ａ班，Ｂ班ともに２３人分のデータなので，中央値は記録が大きい方から１２番目，
　　　 第三四分位数は記録が大きい方から６番目の値になります。
　　　 Ｂ班は中央値が \( 22 \; m \) なので，Ｂ班には記録が \( 22 \; m \) 以上の人が１２人以上います。
　　　 Ａ班は第三四分位数が \( 20 \; m \) なので，Ａ班で記録が \( 22 \; m \) 以上の人は５人未満です。
　　　 よって，記録が \( 22 \; m \) 以上の人は，Ｂ班にはＡ班の２倍以上いるといえます。

【正しくない理由】
ア ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは，平均値はわかりません。

ウ ･･･ 範囲は，最大値 \( – \) 最小値 で求めることができます。
　　　　 Ａ班の記録の範囲は，\( 32-7=25 \; (m) \)
　　　　 Ｂ班の記録の範囲は，\( 34-11=23 \; (m) \)
　　　 なので，Ａ班の記録の範囲は，Ｂ班の記録の範囲より大きくなっています。

 

大問３

右の図のように，関数 \( y=\dfrac{18}{x} \) のグラフ上に，\( y \) 座標が \( 9 \) である点 \( A \) と \( x \) 座標が \( 6 \) である点 \( B \) があります。また，このグラフ上に，\( x<0 \) の範囲で動く点 \( C \) があります。点 \( A \) を通り \( x \) 軸に平行な直線と，点 \( B \) を通り \( y \) 軸に平行な直線との交点を \( D \)，点 \( B \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と，\( x \) 軸との交点を \( E \) とします。
次の（１）・（２）に答えなさい。

（１） 点 \( C \) の \( x \) 座標が \( -6 \) のとき，直線 \( CD \) の式を求めなさい。

【解答】
\( y=x+3 \)
【解説】

点 \( C \) は \( y=\dfrac{18}{x} \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( -6 \) なので，\( y \) 座標は，
　\( y=\dfrac{18}{-6}=-3 \)
点 \( C \) の座標は \( C(-6，-3) \)

点 \( D \) は点 \( B \) と \( x \) 座標が等しく，
点 \( A \) と \( y \) 座標が等しいので，
点 \( D \) の座標は \( D(6，9) \)

直線 \( CD \) の式を \( y=ax+b \) とすると，
　傾き \( a=\dfrac{9-(-3)}{6-(-6)}=1 \)
\( y=x+b \) に \( x=6，y=9 \) を代入すると，
　\( 9=6+b \)
　\( b=3 \)

よって，直線 \( CD \) の式は \( y=x+3 \)

 

（２） \( △ABD \) と \( △BCE \) の面積の比が \( 3：4 \) となるとき，点 \( C \) の \( x \) 座標を求めなさい。

【解答】
\( -\dfrac{14}{3} \)
【解説】

点 \( A \) は \( y=\dfrac{18}{x} \) 上の点で，
\( y \) 座標が \( 9 \) なので，\( x \) 座標は \( 2 \)
であり，点 \( A \) の座標は \( A(2，9) \)

点 \( B \) は \( y=\dfrac{18}{x} \) 上の点で，
\( x \) 座標が \( 6 \) なので，\( y \) 座標は \( 3 \)
であり，点 \( B \) の座標は \( B(6，3) \)

また，点 \( D \) の座標は \( D(6，9) \) なので，
\( △ABD \) の面積は，
　\( 4 \times 6 \times \dfrac{1}{2}=12 \)

ここから，\( △ABD：△BCE=3：4 \) のとき，
　\( △BCE=\dfrac{4}{3} \times 12=16 \)

また，\( △BCE \) において， \( BE(=3) \) を底辺と考えると，
点 \( C \) の \( x \) 座標を \( t \) としたとき，
高さは \( 6-t \) と表すことができます。
ここで，\( △BCE \) の面積の関係を方程式として表すと，
　\( 3 \times (6-t) \times \dfrac{1}{2}=16 \)
　　　　　 \( 18-3t=32 \)
　　　　　　　　\( 3t=-14 \)
　　　　　　　　 \( t=-\dfrac{14}{3} \)

 

大問４

右の図のように，\( △ABC \) は鋭角三角形で，頂点 \( A，B，C \) は円 \( O \) の円周上にあります。点 \( A \) から辺 \( BC \) に垂線 \( AD \) を引きます。また，点 \( B \) から辺 \( AC \) に垂線を引き，線分 \( AD \) との交点を \( E \)，辺 \( AC \) との交点を \( F \)，円 \( O \) との交点を \( G \) とします。さらに，点 \( A \) と点 \( G \) を結びます。このとき，\( △AEF≡△AGF \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △AEF \) と \( △AGF \) において，
仮定より \( BG⊥AC \) なので，
　\( ∠AFE=∠AFG \) ･･･ ➀
\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) に対する円周角なので，
　\( ∠AGF=ACD \) ･･･ ➁
仮定より \( AD⊥BC \) なので，
　\( ∠EAF=90°-∠ACD \) ･･･ ➂
また，
　\( ∠GAF=90°-∠AGF \) ･･･ ➃
➁➂➃より，
　\( ∠EAF=∠GAF \) ･･･ ➄
さらに，\( AF \) は共通 ･･･ ⑥
➀➄➅より，
１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AEF≡△AGF \)

 

大問５

ある観光地には，自転車をレンタルすることができるお店がＡ店とＢ店の２店あります。右の表１は，Ａ店のレンタル料金表であり，表１中の料金欄には，借りた時間の区分ごとの自転車１台当たりの料金を示しています。Ａ店で自転車を借りることができる最大の時間は１２時間です。自転車１台を \( x \) 時間借りたときの料金を \( y \) 円として，表１を基に，Ａ店における \( x \) と \( y \) の関係をグラフで表すと，図１のようになります。
次の（１）・（２）に答えなさい。

（１） Ａ店における \( x \) と \( y \) の関係について，\( y \) は \( x \) の関数であるといえます。その理由を書きなさい。

【解答】
\( x \) の値が１つ決まると \( y \) の値も１つに決まるため。

 

 

（２） 右の表２は，Ｂ店のレンタル料金表であり，表２中の料金欄には，借りた時間の区分ごとの自転車１台当たりの料金を示しています。Ｂ店で自転車を借りることができる最大の時間は１２時間です。表２を基に，Ｂ店における \( x \) と \( y \) の関係を表すグラフを，Ａ店にならって，図１にかき入れなさい。
また，下の【自転車１台をＡ店で借りたときの料金とＢ店で借りたときの料金の比較】の 　ア　・　イ　 に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。

【自転車１台をＡ店で借りたときの料金とＢ店で借りたときの料金の比較】
Ｂ店よりＡ店の方が料金が安いのは，借りた時間が 　ア　 時間より長く 　イ　 時間以内の場合と８時間より長く１２時間以内の場合であり，借りた時間がそれ以外の場合はＡ店よりＢ店の方が料金が安い。
【解答】

　ア　 ･･･ ４
　イ　 ･･･ ６

【解説】
グラフが下にあるほど安くなるのだから，
同じ \( x \) の値で黒の直線が赤の直線より
下にある範囲を探せばいいことになります。

４時間未満 \( (0≦x≦4) \) の範囲では，
赤の直線の方が下にあります。

４時間 \( (x=4) \) を超えると，
Ｂ店の料金が上がるので，赤の直線が上に移動し，
黒の直線の方が下になります。

さらに，６時間 \( (x=6) \) を超えると，
Ａ店の料金が上がるので，黒の直線が上に移動し，
赤の直線の方が下になります。

つまり，４時間より長く６時間以内の範囲が
Ｂ店よりＡ店の方が安くなることになります。

 

大問６

石田さんは，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和からある自然数をひいた数について，どのようなことが成り立つかを調べています。

　　\( 1，2，3 \) では，\( 1^2+2^2+3^2-2=12=3×2^2 \)
　　\( 2，3，4 \) では，\( 2^2+3^2+4^2-2=27=3×3^2 \)
　　\( 3，4，5 \) では，\( 3^2+4^2+5^2-2=48=3×4^2 \)

上の計算の結果では，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，その連続する３つの整数の中央の数を２乗して３倍した数と等しくなっていました。そこで，石田さんは，上の計算の結果から次のことを予想しました。

【予想】
連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，その連続する３つの整数の中央の数を
２乗して３倍した数と等しくなる。

次の（１）～（３）に答えなさい。

（１） 石田さんは，この【予想】がいつでも成り立つことを，次のように説明しました。

【説明】
\( n \) を整数とすると，連続する３つの整数は，\( n，n+1，n+2 \) と表される。
\( \boxed{\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa\\aa\\aa\\aa\\}} \)
したがって，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，その連続する３つの整数の
中央の数を２乗して３倍した数と等しくなる。

【説明】の \( \boxed{\phantom{aaaa}} \) に説明の続きを書き、説明を完成させなさい。

【解答】
連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 2 \) をひいた数は，
　\( n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-2=3n^2+6n+3 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =3(n^2+2n+1) \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =3(n+1)^2 \)
\( n+1 \) は連続する３つの整数の中央の数なので，
\( 3(n+1)^2 \) は連続する３つの整数の中央の数を２乗して３倍した数である。

 

（２） 次に，石田さんは，連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数について調べたところ，次の【性質Ⅰ】がいつでも成り立つことが分かりました。

【性質Ⅰ】
連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数は，その連続する３つの整数のうち
　ア　 を 　イ　 倍した数と等しくなる。

【性質Ⅰ】の 　ア　 には，当てはまる言葉を次の①～⑥の中から選び，その番号を書き，　イ　 には，当てはまる数を書きなさい。

　　　①　最も小さい数と中央の数の和
　　　②　最も小さい数と最も大きい数の和
　　　③　中央の数と最も大きい数の和
　　　④　最も小さい数と中央の数の積
　　　⑤　最も小さい数と最も大きい数の積
　　　⑥　中央の数と最も大きい数の積

【解答】
　ア　 ･･･ ⑤　最も小さい数と最も大きい数の積
　イ　 ･･･ ３
【解答】
連続する３つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数は，
　\( n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-5=3n^2+6n \)
　　　　　　　　　　　　　　　　\( =3n(n+2) \)
\( n \) は連続する３つの整数の最も小さい数，
\( n+2 \) は連続する３つの整数の最も大きい数
なので，
\( 3n(n+2) \) は連続する３つの整数の「最も小さい数と最も大きい数の積」を３倍した数である。

 

（３） さらに，石田さんは，連続する４つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数についても調べたところ，次の【性質Ⅱ】・【性質Ⅲ】がいつでも成り立つことが分かりました。

【性質Ⅱ】
連続する４つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数は，その連続する４つの整数のうち最も
小さい数と最も大きい数の和を２乗した数と等しくなる。
【性質Ⅲ】
連続する４つの整数のそれぞれの2乗の和から \( 5 \) をひいた数は，その連続する４つの整数のうち 　ウ　 を２乗した数と等しくなる。

【性質Ⅲ】の 　ウ　 に当てはまる言葉を，次の①～⑤の中から選び，その番号を書きなさい。

　　　①　最も小さい数と小さい方から２番目の数の和
　　　②　最も小さい数と大きい方から２番目の数の和
　　　③　小さい方から２番目の数と大きい方から２番目の数の和
　　　④　小さい方から２番目の数と最も大きい数の和
　　　⑤　大きい方から２番目の数と最も大きい数の和

【解答】
　ウ　 ･･･ ③　小さい方から２番目の数と大きい方から２番目の数の和
【解答】
連続する４つの整数を \( n-1，n，n+1，n+2 \) とすると，
連続する４つの整数のそれぞれの２乗の和から \( 5 \) をひいた数は，
　\( (n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2-5=4n^2+4n+1 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =(2n+1)^2 \)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\( =\{n+(n+1)\}^2 \)
\( n \) は連続する４つの整数の小さい方から２番目の数，
\( n+1 \) は連続する４つの整数の大きい方から２番目の数
なので，
\( \{n+(n+1)\}^2 \) は連続する４つの整数のうち
「小さい方から２番目の数と大きい方から２番目の数の和」を２乗した数と等しくなる。

 

 

 

 

 

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]]> 大問１

(1)　\( -8-(-2)+3 \) を計算しなさい。

【解答】
\( -3 \)
【解説】
\( =-8+2+3 \)
\( =3 \)

 

(2)　\( 28x^2 \div 7x \) を計算しなさい。

【解答】
\( 4x \)
【解説】
\( =28x^2 \times \dfrac{1}{7x} \)
\( =4x \)

 

(3)　\( \sqrt{50}-\dfrac{6}{\sqrt{2}} \) を計算しなさい。

【解答】
\( 2\sqrt{2} \)
【解説】
\( =5\sqrt{2}-\dfrac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( =5\sqrt{2}-3\sqrt{2} \)
\( =2\sqrt{2} \)

 

(4)　\( (x-6y)^2 \) を展開しなさい。

【解答】
\( x^2-12xy+36y^2 \)

 

(5)　方程式 \( x^2+3x-5=0 \) を解きなさい。

【解答】
\( \dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \)
【解説】
\( ax^2+bx+c=0 \) と考えると，\( a=1，b=3，c=-5 \) となるので，
解の公式より，
\( x=\dfrac{-3±\sqrt{3^2-4 \times 1 \times (-5)}}{2 \times 1} \)
\( =\dfrac{-3±\sqrt{29}}{2} \)

 

(6)　関数 \( y=\dfrac{16}{x} \) のグラフ上の点で，\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数である点は何個ありますか。

【解答】
１０個
【解説】
\( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数になるのは，\( x \) の値が \( 16 \) の約数になるときです。
\( 16 \) の約数は，\( 1，2，4，8，16，-1，-2，-4，-8，-16 \) なので，
以下の１０個になります。

\( x=1 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{1}=16 \)，　　　\( x=-1 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{-1}=-16 \)，
\( x=2 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{2}=8 \)，　　　 \( x=-2 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{-2}=-8 \)，
\( x=4 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{4}=4 \)，　　　 \( x=-4 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{-4}=-4 \)，
\( x=8 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{8}=2 \)，　　　 \( x=-8 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{-8}=-2 \)，
\( x=16 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{16}=1 \)，　　　\( x=-16 \) のとき，\( y=\dfrac{16}{-16}=-1 \)，

 

(7)　右の図のように，底面の対角線の長さが  \( 4 \; cm \) で，高さが \( 6 \; cm \) の正四角すいがあります。この正四角すいの体積は何 \( cm^3 \) ですか。

【解答】
\( 16 \; cm^3 \)
【解説】
正四角すいの底面は正方形になっています。
正方形は「２本の対角線の長さが等しいひし形」ともいえるので，
その面積は，
　対角線 \( \times \) 対角線 \( \times \dfrac{1}{2} \)
で求められます。

よって，求める体積は，
　\( \left( 4 \times 4 \times \dfrac{1}{2} \right) \times 6 \times \dfrac{1}{3}=16 \; (cm^3) \)

 

(8)　右の図は，Ａ市，Ｂ市，Ｃ市，Ｄ市について，
ある月の日ごとの最高気温を調べ，その結果を箱ひげ図に表したものです。この月の日ごとの最高気温の四分位範囲が最も大きい市を下のア～エの中から選び，その記号を書きなさい。

ア Ａ市　　　イ Ｂ市　　　ウ Ｃ市　　　エ Ｄ市

【解答】
ウ
【解説】
四分位範囲は，
第三四分位数 \( – \) 第一四分位数
で求めることができます。

各市のおよその四分位範囲は，
　Ａ市 ･･･ \( 28.2-24.1=4.1 \)（℃）
　Ｂ市 ･･･ \( 28.9-24.1=4.7 \)（℃）
　Ｃ市 ･･･ \( 34.8-28.8=6.0 \)（℃）
　Ｄ市 ･･･ \( 33.3-29.7=3.6 \)（℃）

 

大問２

(1)　右の図のように，点 \( A (3，5) \) を通る関数 \( y=ax^2 \) のグラフがあります。この関数について，\( x \) の変域が \( -6≦x≦4 \) のとき，\( y \) の変域を求めなさい。

【解答】
\( 0≦y≦20 \)

【解説】

\( y=ax^2 \) に \( x=3，y=5 \) を代入すると，
　\( 5=a \times 3^2 \)
　\( a=\dfrac{5}{9} \)
なので，このグラフの式は，\( y=\dfrac{5}{9}x^2 \)

また，\( y=ax^2 \;\; (a>0) \) のグラフで，
\( x \) の変域が \( 0 \) を含むとき，\( y \) の変域の最小値は \( 0 \) になります。
\( y \) の変域の最大値については，
\( x \) の絶対値が最も大きくなる時に \( y \) の値は最大値をとります。
\( -6≦x≦4 \) の中で，\( x \) の絶対値が最も大きくなるのは，
\( x=-6 \) のときで，\( y=\dfrac{5}{9} \times (-6)^2=20 \)

以上より，\( y \) の変域は，\( 0≦y≦20 \)

 

(2)　ある中学校の５０人の生徒に，平日における１日当たりのスマートフォンの使用時間についてアンケート調査をしました。下の表は，その結果を累積度数と累積相対度数を含めた度数分布表に整理したものです。しかし，この表の一部が汚れてしまい，いくつかの数値が分からなくなっています。この表において，数値が分からなくなっているところを補ったとき，度数が最も多い階級の階級値は何分ですか。

【解答】
１５０分
【解説】
順番に空欄を埋めていきます。
６０分以上１２０分未満の階級について，度数が１１人なので，
　相対度数 \( =11 \div 50=0.22 \)
　累積相対度数 \( =0.08+0.22=0.30 \)
１２０分以上１８０分未満の階級について，累積相対度数が \( 0.56 \) なので，
　相対度数 \( =0.56-0.30=0.26 \)
　度数 \( =0.26 \times 50=13 \)（人）
２４０分以上３００分未満の階級について，相対度数が \( 0.10 \) なので，
　度数 \( =0.10 \times 50=5 \)（人）
１８０分以上２４０分未満の階級について，度数の合計は５０人なので，
　度数 \( =50-(4+11+13+5+7)=10 \)（人）

よって，度数が最も多い階級は１２０分以上１８０分未満の階級なので，
階級値は \( \dfrac{120+180}{2}=150 \)（分）

 

(3)　２桁の自然数があります。この自然数の十の位の数と一の位の数を入れかえた自然数をつくります。このとき，もとの自然数を４倍した数と，入れかえた自然数を５倍した数の和は，９の倍数になります。このわけを，もとの自然数の十の位の数を \( a \)，一の位の数を \( b \) として，\( a \) と \( b \) を使った式を用いて説明しなさい。

【解答】
もとの自然数は \( 10a+b \)，これを４倍した数は \( 4(10a+b) \)，
十の位の数と一の位の数を入れかえた自然数は \( 10b+a \)，これを５倍した数は \( 5(10b+a) \)
と表すことができるので，
もとの自然数を４倍した数と，入れかえた自然数を５倍した数の和は，
　\( 4(10a+b)+5(10b+a)=45a+54b \)
　　　　　　　　　　　　　 \( =9(5a+6b) \)
と表すことができる。

\( a，b \) はともに \( 0 \) 以上 \( 9 \) 以下の整数なので，\( 5a+6b \) も整数であり，
\( 9(5a+6b) \) は９の倍数である。
よって，もとの自然数を４倍した数と，入れかえた自然数を５倍した数の和は，９の倍数になる。

 

大問３

下の図のように，平行四辺形 \( ABCD \) があり，点 \( E \) は辺 \( AD \) の中点です。辺 \( BC \) を３等分する点を，点 \( B \) に近い方から順に \( F，G \) とし，線分 \( AG \) と線分 \( EF \) との交点を \( H \) とします。

次の (1)・(2) に答えなさい。

(1)　\( ∠AGB=70°，∠BAG=∠DAG \) となるとき，\( ∠ADC \) の大きさは何度ですか。

【解答】
\( 40° \)
【解説】

平行四辺形の向かい合う辺は平行なので，錯角は等しく，
　\( ∠AGB=∠DAG=70° \)
\( ∠BAG=∠DAG \) なので，
　\( ∠BAG=∠DAG=70° \)
\( △ABG \) において，
　\( ∠ABG=180°-(∠AGB+∠DAG)=40° \)
平行四辺形の向かい合う角は等しいので，
　\( ∠ADC=∠ABG=40° \)

 

(2)　\( △AHE \) の面積が \( 9 \) となるとき，\( △EFG \) の面積を求めなさい。

【解答】
\( 10 \)
【解説】

平行四辺形の向かい合う辺の長さは等しいので，
\( AE=\dfrac{1}{2}AD，GF=\dfrac{1}{3}BC \) より，
　\( AE：GF=\dfrac{1}{2}AD：\dfrac{1}{3}BC \)
　　　　　　\( =\dfrac{1}{2}AD：\dfrac{1}{3}AD \)
　　　　　　\( =3：2 \)

\( △AHE \) ∽ \( △GHF \)，相似比は \( 3：2 \) であり，
相似な三角形の面積比は相似比の２乗の比になるので，
　\( △AHE：△GHF=3^2：2^2=9：4 \)
よって，\( △AHE \) の面積が \( 9 \) となるとき，\( △GHF \) の面積は \( 4 \)

また，\( EH：FH=3：2 \) であり，
\( △GHE \) と \( △GHF \) は，高さが共通なので，
底辺の長さの比と面積比が等しくなります。
ここから，
　\( △GHE：△GHF=EH：FH \)
　　　　　 \( △GHE：4=3：2 \)
　　　　　　　\( △GHE=6 \)

よって，\( △EFG=△GHE+△GHF=10 \)

 

大問４

 

下の図のように，\( y \) 軸上に点 \( A(0，8) \) があり，関数 \( y=\dfrac{2}{3}x+2 \) のグラフ上に，\( x>0 \) の範囲で動く２点 \( B，C \) があります。点 \( C \) の \( x \) 座標は点 \( B \) の \( x \) 座標の４倍です。また，このグラフと \( x \) 軸との交点を \( D \) とします。

次の (1)・(2) に答えなさい。

 

(1)　線分 \( AC \) が \( x \) 軸に平行となるとき，線分 \( AC \) の長さを求めなさい。

【解答】
\( 9 \)
【解説】

点 \( A(0，8) \) なので，
線分 \( AC \) が \( x \) 軸に平行となるとき，
点 \( C \) の \( y \) 座標も \( 8 \) になります。
点 \( C \) は \( y=\dfrac{2}{3}x+2 \) 上の点なので，
　　\( 8=\dfrac{2}{3}x+2 \)
　\( \dfrac{2}{3}x=6 \)
　　\( x=9 \)

よって，線分 \( AC \) の長さは \( 9 \)

 

(2)　\( DB=BC \) となるとき，直線 \( AC \) の傾きを求めなさい。

【解答】
\( -\dfrac{1}{3} \)
【解説】

点 \( B，C \) から \( x \) 軸に垂線をひき，
交点を点 \( P，Q \) とし，点 \( P \) の \( x \) 座標を \( s \) とすると，点 \( Q \) の \( x \) 座標は \( 4s \) と表すことができます。

このとき，\( PQ \) の長さは \( 3s \) となるので，\( DB=BC \) より，\( DP=PQ=3s \) であり，
点 \( D \) の \( x \) 座標は \( -2s \) と表すことができます。

点 \( D \) は \( y=\dfrac{2}{3}x+2 \) 上の点なので，
　　\( 0=\dfrac{2}{3} \times (-2s)+2 \)
　\( \dfrac{4}{3}s=2 \)
　　\( s=\dfrac{3}{2} \)

\( s=\dfrac{3}{2} \) のとき，
点 \( C \) の \( x \) 座標は \( 4s=4 \times\dfrac{3}{2}=6  \) なので，
\( y \) 座標は \( y=\dfrac{2}{3} \times 6+2=6  \) となります。

よって，
直線 \( AC \) は，\( A(0，8)，C(6，6) \) を通るので，
　傾き \( =\dfrac{6-8}{6-0}=-\dfrac{1}{3} \)

 

大問５

Ａ高校の生徒会役員の中川さんと田村さんは，生徒会を担当する先生からの依頼を受け，長さ \( 15 \) 分の学校紹介動画を作成することになりました。下の表１は，昨年度の生徒会役員が作成した長さ \( 18 \) 分の学校紹介動画の構成表です。２人は，昨年度作成された長さ \( 18 \) 分の学校紹介動画の内容や配分時間を参考にして，長さ \( 15 \) 分の学校紹介動画を作成しようと考えています。

２人は，作成する学校紹介動画が，昨年度の生徒会役員が作成したものよりも時間が短くなることを踏まえ，下のように【学校紹介動画(\( 15 \) 分)の作成方針】を決めました。

【学校紹介動画 (\( 15 \) 分) の作成方針】
(Ⅰ)　オープニング，学校の特色紹介，学校行事紹介，エンディングの配分時間は，昨年度の生徒会役員が
　　　作成した学校紹介動画と同じにする。
(Ⅱ)　生徒会長挨拶は動画の内容に入れない。
(Ⅲ)　在校生インタビューでは，配分時間を代表生徒３人に均等に割り当てる。
(Ⅳ)　部活動紹介では，配分時間のうち \( 30 \) 秒を，Ａ高校にどのような部活動があるかについての紹介に
　　　割り当てる。また，部活動紹介の配分時間の残りを，Ａ高校にある部活動のうち代表の部活動３つに
　　　均等に割り当てる。
(Ⅴ)　部活動紹介における代表の部活動１つに割り当てる時間は，在校生インタビューにおける代表生徒１人に
　　　割り当てる時間の \( 1.5 \) 倍にする。

2人は【学校紹介動画 (\( 15 \) 分) の作成方針】に従って構成表を作り，学校紹介動画を作成することにしました。

次の (1)・(2) に答えなさい。

(1)　在校生インタビューにおける代表生徒３人のうち１人は，生徒会長に決まりました。残りの代表生徒２人を校内で募集したところ，Ｐさん，Ｑさん，Ｒさん，Ｓさん，Ｔさんの５人が立候補しました。この５人の中から，くじ引きで２人を選ぶとき，Ｐさんが選ばれる確率を求めなさい。

【解答】
\( \dfrac{2}{5} \)
【解説】
Ｐさん，Ｑさん，Ｒさん，Ｓさん，Ｔさんから２人選ぶ組み合わせを樹形図として書き，
Ｐさんが選ばれる組み合わせのところに ○ をつけます。
Ｐさんが選ばれる組み合わせは４通り，すべての組み合わせは１０通りなので，
求める確率は，\( \dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} \)

 

(2)　下の表２は，中川さんと田村さんが【学校紹介動画(\( 15 \) 分)の作成方針】に従って作成した長さ \( 15 \) 分の学校紹介動画の構成表です。

表２の \( \fbox{　ア　} \)・ \( \fbox{　イ　} \) に当てはまる配分時間をそれぞれ求めなさい。なお，答えを求める過程も分かるように書きなさい。

【解答】
在校生インタビュー全体に割り当てられる時間を \( x \) 秒，
部活動紹介全体に割り当てられる時間は，\( y \) 秒とすると，
これらの時間の合計は，\( 15-(0.5+6+3+0.5)=5 \)（分）つまり，\( 300 \) 秒なので，

\( \left\{ \begin{array}{}
x+y=300 \;\; ･･･ \; ➀ \\
1.5 \times \dfrac{x}{3}=\dfrac{y-30}{3} \;\; ･･･ \; ➁ \\
\end{array} \right.  \)
➁を整理すると，
　\( 1.5x-y=-30 \) ･･･ ➁’
➀\( + \)➁’すると，
　\( 2.5x=270 \)
　　 \( x=108 \)
➀に代入すると，
　\( 108+y=300 \)
　　　　 \( y=192 \)

よって，
在校生インタビュー全体に割り当てられる時間は，\( 108 \) 秒，
つまり， \( 1 \) 分 \( 48 \) 秒
部活動紹介全体に割り当てられる時間は，\( 192 \) 秒，
つまり， \( 3 \) 分 \( 12 \) 秒

 

大問６

中村さんは，ある数学の本に掲載されていた下の【問題】に興味をもち，この【問題】について考えることにしました。

【問題】
右の図のように，１つの平面上に大きさの異なる正方形 \( ABCD \) と正方形 \( CEFG \) があり，点 \( F \) と点 \( G \) が正方形 \( ABCD \) の内部にあります。７つの点 \( A，B，C，D，E，F，G \) から２点を選び，その２点を結んでできる線分の中で，線分 \( DE \) と長さが同じであるものを答えなさい。

中村さんは，下のことを予想しました。

【予想】
１つの平面上に大きさの異なる正方形 \( ABCD \) と正方形 \( CEFG \) があり，
点 \( F \) と点 \( G \) が正方形 \( ABCD \) の内部にあるとき，\( DE=BG \) である。

次の (1)・(2) に答えなさい。

(1)　中村さんは，下のように \( △CED≡△CGB \) を示し，それを基にして，この【予想】が成り立つことを証明しました。

【中村さんの証明】
\( △CED \) と \( △CGB \) において
　　ア　　
合同な図形の対応する辺は等しいから
　\( DE=BG \)

【中村さんの証明】の 　　ア　　 に証明の続きを書き，証明を完成させなさい。

【解答】

正方形 \( CEFG \) の辺の長さはすべて等しいので，
　\( CE=CG \) ･･･ ➀
正方形 \( ABCD \) の辺の長さはすべて等しいので，
　\( CD=CB \) ･･･ ➁
正方形の４つの角はすべて \( 90° \) なので，
\( ∠ECG=∠DCB=90° \) であり，
　\( ∠ECD=∠ECG-∠DCG=90°-∠DCG \) ･･･ ➂
　\( ∠GCB=∠DCB-∠DCG=90°-∠DCG \) ･･･ ➃
➂➃より，
　\( ∠ECD=∠GCB \) ･･･ ➄
➀➁➄より，２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △CED≡△CGB \)

 

中村さんは，【問題】中の図で辺 \( CD \) と辺 \( EF \) との交点を \( H \) としたとき，線分 \( CH \) と長さが同じである線分がないか考えることにしました。そこで，\( △CEH \) に着目し，この三角形と合同な三角形を見つけるために辺 \( FG \) を延長し，辺 \( FG \) の延長と辺 \( BC \) との交点を \( I \) とした下のような図をかきました。中村さんは，自分がかいた図について，\( △CEH≡△CGI \) であることがいえるので，それを基にして，\( CH=CI \) であることが分かりました。

さらに，中村さんは，自分がかいた図について，\( CH=CI \) 以外にも成り立つことがらがあるのではないかと考えました。

(2)　下のア～オのことがらの中で，中村さんがかいた図について成り立つことがらを全て選び，その記号を書きなさい。

　　　ア　四角形 \( AICH \) はひし形である。
　　　イ　四角形 \( AICH \) の面積は，三角形 \( CDI \) の面積の2倍である。
　　　ウ　線分 \( BD \) と線分 \( IH \) は平行である。
　　　エ　\( △BIH≡△DHG \) である。
　　　オ　４点 \( C，H，F，I \) は１つの円周上にある。

【解答】
イ，ウ，オ
【解説】
ア　\( △ADH \) において，線分 \( AH \) は斜辺なので，\( AH>AD \)
　　また，\( CH<CD \) なので，\( AD=CD \) より，\( AH>CH \)
　　よって，四角形 \( AICH \) はひし形ではありません。

イ　\( DH=BI，AD=AB，∠ADH=∠ABI \)なので，
　　\( △ADH≡△ABI \)
　　また，\( △ABC=\dfrac{1}{2} \)正方形 \( ABCD \) なので，
　　\( △ACI=\dfrac{1}{2} \)四角形 \( AICH \)
　　正方形の向かい合う辺は平行なので，\( AD//BC \) であり，
　　等積変形の考え方から，\( △ACI=△CDI \)
　　よって，\( △CDI=\dfrac{1}{2} \)四角形 \( AICH \)

ウ　\( CD=BC，CH=CI，∠C=90° \)（共通）より，
　　\( △BCD \) と \( △CHI \) はともに直角二等辺三角形になっています。
　　よって，\( ∠DBC=∠HIC=45° \) で，同位角が等しいので，
　　\( BD//IH \)

エ　\( △BIH=BI \times CH \times \dfrac{1}{2} \)
　　\( △DHI=DH \times CH \times \dfrac{1}{2} \)
　　なので，\( BI=DH，CH=CI \) より，\( △BIH=△DHI \)
　　点 \( G \) から辺 \( CD \) に垂線をひき，交点を \( J \) とすると，
　　\( CI>GJ \) なので，\( △DHI>△DHG \)
　　よって，\( △BIH>△DHG \) であり，
　　面積が等しくない三角形は合同ではありません。

オ　線分 \( HI \) を直径とすると，\( ∠IFH，∠ICH \) は，
　　直径 \( HI \) に対する円周角であり，どちらも \( 90° \) なので，
　　４点 \( C，H，F，I \) は１つの円周上にある。

The post 広島県公立高校入試　令和５（2023）年度　解答＆解説 first appeared on 数学基礎トレーニングルーム.

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