（１） 次の１～５の計算をしなさい。

１　\( -3+6 \)

２　\( (-2)^3 \div (-4) \)

３　\( \dfrac{x-y}{3}+\dfrac{x+2y}{2} \)

４　\( x^3y^2 \times (-4y) \div \dfrac{3}{2}x^2y \)

５　\( \sqrt{54}-\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)

（２） ２次方程式 \( x^2+x-6=0 \) を解きなさい。

（３） 関数 \( y=\dfrac{1}{3}x^2 \) について，\( x \) の変域が \( −1≦x≦3 \) のときの \( y \) の変域を求めなさい。

（５） ある中学校の全校生徒 \( 350 \) 人から \( 40 \) 人を無作為に抽出して，数学の学習が好きかの調査を行ったところ，\( 40 \) 人のうち数学の学習が好きな生徒は \( 28 \) 人だった。
この結果を用いて，全校生徒のうち数学の学習が好きな生徒は約何人いるか,推定しなさい。

大問２

下の〔図１〕のように，関数 \( y=ax^2 \) のグラフ上に２点 \( A，B \) があり，点 \( A \) の座標は \( (2，2) \)，点 \( B \) の \( y \) 座標は \( 8 \) である。
また，\( △OAB \) と \( △OAC \) の面積が等しくなるように，\( y \) 軸上に \( y \) 座標が正である点 \( C \) をとる。
次の（１）～（３）の問いに答えなさい。

（１） \( a \) の値を求めなさい。

（２） ２点 \( A，C \) を通る直線の式を求めなさい。

（３） 下の〔図２〕のように，線分 \( OB \) と線分 \( AC \) との交点を \( D \) とする。線分 \( CD \) 上に点 \( E \) があり，点 \( E \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と線分 \( OB \)，関数 \( y=ax^2 \) のグラフとの交点をそれぞれ \( F，G \) とする。
線分 \( EF \) と線分 \( FG \) の長さの比が \( 5：4 \) になるときの点 \( E \) の座標を求めなさい。

大問３

例えば，［操作１］において，さいころの出た目が \( 4 \) の場合，［図２］の状態から \( 4 \) 枚だけ左端から順にコマをひっくり返すため，●●●●〇〇 となり，［操作２］において，さいころの出た目が \( 3 \) の場合，●●●●〇〇 の状態から \( 3 \) 枚だけ右端から順にコマをひっくり返すため, ●●●〇●● となり，［操作１］，［操作２］を順に行った後，上を向いている面が白色となる枚数が \( 1 \) 枚,黒色となる枚数が \( 5 \) 枚となる。
ただし，さいころのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
次の１，２の問いに答えなさい。

１　［操作１］，［操作２］を順に行った後，上を向いている面がすべて黒色となる確率を求めなさい。

２　［操作１］，［操作２］を順に行った後，上を向いている面が白色となる枚数が，黒色となる枚数よりも多くなる確率を求めなさい。

（２） 太郎さんは，地区のお祭りで「からあげ」と「とり天」を販売することになり，１パック \( 400 \) 円の「からあげ」と，１パック \( 300 \) 円の「とり天」を合わせて \( 200 \) パック仕入れた。「からあげ」には１パックにつき，仕入れ値の５割の利益を加えて定価をつけ，「とり天」には１パックにつき，仕入れ値の６割の利益を加えて定価をつけた。
次の１，２の問いに答えなさい。ただし，消費税は考えないものとする。

１　「からあげ」１パックと「とり天」１パックの定価をそれぞれ求めなさい。

２　お祭り当日，仕入れた「からあげ」の \( 80 \% \) は定価で売れて，残りの \( 20 \% \) は定価の \( 200 \) 円引きで売ったところ完売した。また，仕入れた「とり天」の \( 70 \% \) は定価で売れて，残りの \( 30 \% \) は定価の半額で売ったところ完売した。
このときの「からあげ」と「とり天」を合わせた \( 200 \) パックの利益の合計は，「からあげ」と「とり天」のすべてが定価で売れた場合の利益の合計よりも \( 10560 \) 円少なかった。
仕入れた「からあげ」は何パックか求めなさい。

大問４

環境問題に興味をもっている太郎さんと花子さんは地球温暖化に関するニュースを見て，２人が住む大分県において，近年，気温が高くなっているのではないかと考えた。
そこで，気象庁のホームページで，２人が住む大分県の７月の平均気温を調べたところ，１９２５年から２０２４年までの１００年分のデータを見つけた。
下の〔図１〕は，１９２５年から２０２４年までの１００年分の７月の平均気温のデータをもとに作成したヒストグラムである。
次の（１），（２）の問いに答えなさい。

（１） 〔図１〕のヒストグラムから７月の平均気温の最頻値を求めなさい。

（２） 太郎さんと花子さんは，１９２５年から２０２４年までの１００年分の７月の平均気温のデータについて，以下のように話し合った。

太郎：ヒストグラムを作成したけど，平均気温が高くなっているのかを判断するのは難しいね。
花子：２０２０年から２０２４年までの５年分のデータだけを見ても，２０２０年が \( 25.1 \) 度，２０２１年が
　　　\( 26.9 \) 度，２０２２年が \( 27.5 \) 度，２０２３年が \( 27.3 \) 度，２０２４年が \( 28.9 \) 度となっていて，
　　　上がったり下がったりしているから，１年ごとに比較しても平均気温が高くなっているのかを判断する
　　　のは難しいね。
太郎：では，１００年分の７月の平均気温のデータを２５年ごとに分けて箱ひげ図に表し，比較してみよう。

後の〔図２〕は，１９２５年から２０２４年までの１００年分の７月の平均気温のデータを２５年ごとに，期間１（１９２５年～１９４９年），期間２（１９５０年～１９７４年），期間３（１９７５年～１９９９年)，期間４（２０００年～２０２４年)の４つの期間に分けて，箱ひげ図に表したものである。
次の１，２の問いに答えなさい。

１　〔図２〕の箱ひげ図から読み取れることとして，次のＡ～Ｃは「正しい」，「正しくない」，「〔図２〕からはわからない」のどれか，最も適当なものを下のア～ウからそれぞれ１つ選び，記号を書きなさい。

　　　Ａ　期間１において，７月の平均気温が \( 25.5 \) 度を上回った年は１３年以上ある。
　　　Ｂ　範囲は,期間２よりも期間３の方が大きい。
　　　Ｃ　期間４において，７月の平均気温が \( 27.0 \) 度を下回った年よりも \( 27.5 \) 度を
　　　　　上回った年の方が多い。

　　　　　ア　正しい　　　イ　正しくない　　　ウ　〔図２〕からはわからない

２　２人は，〔図２〕の箱ひげ図を見て，「『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて高くなっている傾向にあるといえる」と判断した。
次の〔説明〕は，２人がそのように判断した理由を４つの箱ひげ図の箱に着目して説明したものである。下の〔条件〕にしたがって続きを書き，〔説明〕を完成させなさい。

【解説】

箱ひげ図では，上の図のように，左右のひげの部分，箱の左右の部分にそれぞれ全体の約 \( 25\% \) のデータが含まれます。
このことから，箱の部分が右側にあるほど値が大きい傾向にあるといえます。

『期間４』の第１四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の中央値よりも大きく，
『期間４』の第３四分位数は，『期間１，期間２，期間３』の第３四分位数よりも大きい
ことから，『期間４』の箱ひげ図の箱の部分が『期間１，期間２，期間３』の箱ひげ図の箱の部分より
右側（気温が高い側）にあるので，
『期間４』の７月の平均気温は『期間１，期間２，期間３』の７月の平均気温と比べて
高くなっている傾向にあるといえます。

大問５

（１） 〔図１〕の展開図を組み立てたとき，次の１，２の問いに答えなさい。

１　点 \( A \) ～ \( G \) のうち，点 \( H \) と重なる点をすべて答えなさい。

２　四角すいの体積を求めなさい。

大問６

２　\( ∠BPC \) の大きさを求めなさい。

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（１） \( (\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}+1)-\dfrac{9}{\sqrt{3}} \) を計算せよ。

（２） \( 3ab^2 \times (-4a^2b) \div 2a^2b^2 \) を計算せよ。

（３） \( 2250 \) 円の商品を \( 10 \; \% \) 引きで１つ購入するとき，支払う金額はいくらか。ただし，消費税は考えないものとする。

（４） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=3 \) のとき，\( y=5 \) である。この関係を表すグラフ上にある \( x \) 座標と \( y \) 座標がともに整数となる点の個数は何個か。

（５） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=3 \\
\dfrac{1}{2}x-\dfrac{y+2}{6}=-\dfrac{5}{3} \\
\end{array} \right.  \) を解け。

（６） \( a^2-5a-6 \) を因数分解せよ。

（７） ２次方程式 \( (x+1)^2=3 \) を解け。

大問２

問１　図１は,Ｎ市の１９７３年８月と２０２３年８月の日ごとの最高気温をそれぞれ３１日分調べ，その分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の（１），（２）に答えよ。

（１） 次の➀～➃について，図１から読み取れることとして必ず正しいと判断できるものを１つ選び，その番号を書け。

➀　１９７３年８月は，最高気温が \( 32.0^\circ C \) の日が１日はある。
➁　１９７３年８月の四分位範囲は，\( 3.0^\circ C \) より大きい。
➂　１９７３年８月の第１四分位数は，２０２３年８月の第３四分位数より大きい。
➃　２０２３年８月は，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が８日以上ある。

【解説】

➀ ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは判断できません。

➁ ･･･ 四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
　　　 １９７３年８月の第１四分位数は，\( 30.7^\circ C \)，第３四分位数は，\( 32.3^\circ C \) なので，
　　　 四分位数は，\( 32.3-30.7=1.6 \; (^\circ C) \) になります。

➂ ･･･１９７３年８月の第１四分位数は \( 31.0^\circ C \) 未満，２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) 以上
　　　 なので，２０２３年８月の第３四分位数の方が大きくなっています。

➃ ･･･ ３１日分のデータを集計しているので，第３四分位数は気温の高い方から８番目の値になります。
　　　 ２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) より大きいので，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が
　　　 ８日以上あるといえます。

（２） Ｎ市の２０２３年８月の日ごとの最高気温を表しているヒストグラムと考えられるものを，
次のア～ウの中から１つ選び，その記号を書け。

（１） 袋Ａの中の球をよくかきまぜて１個取り出し，取り出した球に書かれている数を確認した後，袋Ａに戻す。これを２回行うとき，１回目に取り出した球に書かれている数と２回目に取り出した球に書かれている数の和が \( 5 \) となる確率を求めよ。

（２） 袋Ａと袋Ｂの中の球をそれぞれよくかきまぜて，袋Ａと袋Ｂから１個ずつ球を取り出す。取り出した２個の球に書かれている数の積が奇数となる確率が \( \dfrac{5}{12} \) であるとき，袋Ｂの中に奇数が書かれている球は何個入っていたか。

問３　「連続する４つの整数を小さい方から順に \( a，b，c，d \) とするとき，\( bc-ad \) の値はいつでも \( 2 \) になる」ことを文字 \( a \) を使って証明せよ。ただし，証明は「\( b，c，d \) をそれぞれ \( a \) を用いて表すと，」に続けて完成させること。

大問３

問２　関数 \( y=x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -4≦x≦2 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。

問３　直線 \( AB \) の式を求めよ。

問４　図２，図３において，関数 \( y=x^2 \) のグラフ上を動く２点を \( P，Q \) とする。点 \( P \) と点 \( Q \) は同時に出発し，点 \( P \) は点 \( A \) から点 \( B \) に向かって動き，点 \( Q \) は点 \( C(-1，1) \) から点 \( B \) に向かって動く。点 \( P \) と点 \( Q \) の \( x \) 座標の差はいつでも \( 3 \) であり，点 \( Q \) が点 \( B \) に到達したあとは動かないものとする。
点 \( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，次の（１），（２）に答えよ。

（１） \( ∠BAQ=∠AQP \) となるとき，\( t \) の値を求めよ。

（２） 図３のように，２点 \( R，S \) を線分 \( AB \) 上に，線分 \( PR \) と線分 \( QS \) が \( y \) 軸と平行になるようにとる。
四角形 \( PQSR \) の面積が \( 18 \) となるとき，\( t \) の値をすべて求めよ。

大問４

（２） 線分 \( AD \) の長さは何 \( cm \) か。

（２） \( \stackrel{\huge\frown}{AD} \) と線分 \( AD \)，\( \stackrel{\huge\frown}{CD} \) と線分 \( BD \) および線分 \( BC \) で囲まれた２つの部分(図３の影をつけた部分)を，辺 \( AC \) を軸として１回転させてできる立体の体積は何 \( cm^3 \) か。

大問５

［場面１］
花子：似たような形の穴がたくさんあいているね。
太郎：１つ１つの穴の形は，正六角形に見えるよね。
先生：そうですね。ミツバチの巣は，複数の正六角柱の筒がすき間なく並んでいるような構造を
　　　しているのですよ。
花子：だから，１つ１つの穴の形は正六角形に見えるのですね。でも，正三角柱や正四角柱でも
　　　すき間なく並べることができそうですよね。
太郎：正五角柱でもすき間なく並べることができるのではないかな。少し考えてみようよ。
\( \phantom{　} \)
（数分後）
\( \phantom{　} \)
花子：私は，穴の形に着目して【メモ】のように考えてみました。

【メモ】
下の図のように，１種類の合同な正多角形をすき間なく重ならないように並べることができるのは，
１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるときである。
\( \phantom{　} \) \( \phantom{　} \)
正三角形，正方形，正六角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるから，すき間なく重ならないように並べることができる。正五角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になることはないので，すき間なく重ならないように並べることはできない。

先生：よく説明できましたね。実は，１種類の合同な正多角形で，すき間なく重ならないように
　　　並べることができる図形は，正三角形と正方形と正六角形しかないのですよ。

問１　　（ア）　 ～ 　（ウ）　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

［場面２］
先生：正三角柱や正四角柱でもすき間なく並べることができるのに，なぜ正六角柱なのでしょうね。
太郎：巣を作る材料が最も少なくてすむのが正六角柱なのではないかと考えます。
花子：私は，正六角柱が最も多くのハチミツを蓄えることができるからではないかと思います。
先生：それでは，先ほどの花子さんの考えと同じように穴の形に着目して平面で考えてみましょう。
　　　針金を巣の材料と見立てて考えてみてはどうですか。
太郎：私は，ミツバチが入る穴の形をできるだけ少ない材料で作ることを考えてみようかな。
　　　１匹のミツバチを円と考えて，その円をぴったり囲むことができる正三角形，正方形，正六角形を
　　　それぞれ針金で作って，その周の長さを比較してみます。
花子：私は，同じ量の材料で，できるだけ大きな穴の形を作ることを考えてみようかな。
　　　同じ長さの針金を３本用意して，それぞれ針金１本を使って，正三角形，正方形，正六角形を
　　　作って面積を比較し，どの図形で面積が最大となるかを求めてみます。
先生：２人ともよい考えですね。それでは，それぞれノートに書いてみましょう。

【太郎さんのノート】
文字 \( a \) を使って，円の半径を \( a \; cm  \) と表す。円の中心を \( O \)，円と正三角形の接点を \( H \) とすると
線分 \( OH \) の長さが \( a \; cm  \) であるから，正三角形の１辺の長さは 　（エ）　 \( a \; cm  \) となる。
このことから，正三角形の周の長さは 　（オ）　 \( a \; cm  \) となる。同じように考えると，正方形の
周の長さは 　（カ）　 \( a \; cm  \)，正六角形の周の長さは 　（キ）　 \( a \; cm  \) となる。
よって，　（オ）　 \( a \)，　（カ）　 \( a \)，　（キ）　  \( a \) の大小を比較すると，
　　（ク）　 \( a < \) 　（ケ）　 \( a < \) 　（コ）　 \( a \)
となるので，周の長さが最小となる図形は 　（サ）　 とわかる。
\( \phantom{　} \)

先生：よくできましたね。次は，この結果からミツバチの巣についてどのようなことがいえるか２人で考えてみてください。
太郎：わかりました。
花子：太郎さん，一緒に考えてみましょう。

問２　　（エ）　 ～ 　（コ）　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

問３　　（サ）　 にあてはまることばを，次の１～３の中から１つ選び，その番号を書け。
　　　１　正三角形        ２　正方形           ３　正六角形

問４　［場面２］の下線部をもとに， 　（シ）　 にあてはまる式と 　（ス）　 にあてはまる説明を書き入れて【花子さんのノート】を完成させよ。

大問A

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大問１

（１） \( 1+2 \times (-3)^2 \) を計算せよ。

（２） \( 2250 \) 円の商品を \( 10 \; \% \) 引きで１つ購入するとき，支払う金額はいくらか。ただし，消費税は考えないものとする。

（３） \( \sqrt{18}-\sqrt{8} \) を計算せよ。

（４） \( y \) は \( x \) に反比例し，\( x=3 \) のとき，\( y=5 \) である。このとき，\( y \) を \( x \) の式で表せ。

（５） 連立方程式  \( \left\{ \begin{array}{}
2x+y=4 \\
3x-2y=-1 \\
\end{array} \right.  \) を解け。

（６） \( a^2-5a+6 \) を因数分解せよ。

（７） ２次方程式 \( x^2+3x+1=0 \) を解け。

（１０） 図３において，線分 \( AB \) の垂直二等分線を定規とコンパスを用いて作図せよ。ただし，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

【解答】

大問２

問１　図１は,Ｎ市の１９７３年８月と２０２３年８月の日ごとの最高気温をそれぞれ３１日分調べ，その分布のようすを箱ひげ図に表したものである。
このとき，次の（１），（２）に答えよ。

（１） 次の➀～➃について，図１から読み取れることとして必ず正しいと判断できるものを１つ選び，その番号を書け。

➀　１９７３年８月は，最高気温が \( 32.0^\circ C \) の日が１日はある。
➁　１９７３年８月の四分位範囲は，\( 3.0^\circ C \) より大きい。
➂　１９７３年８月の第１四分位数は，２０２３年８月の第３四分位数より大きい。
➃　２０２３年８月は，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が８日以上ある。

【解説】

➀ ･･･ 箱ひげ図のデータからだけでは判断できません。

➁ ･･･ 四分位範囲は「第３四分位数 \( – \) 第１四分位数」で求めることができます。
　　　 １９７３年８月の第１四分位数は，\( 30.7^\circ C \)，第３四分位数は，\( 32.3^\circ C \) なので，
　　　 四分位数は，\( 32.3-30.7=1.6 \; (^\circ C) \) になります。

➂ ･･･１９７３年８月の第１四分位数は \( 31.0^\circ C \) 未満，２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) 以上
　　　 なので，２０２３年８月の第３四分位数の方が大きくなっています。

➃ ･･･ ３１日分のデータを集計しているので，第３四分位数は気温の高い方から８番目の値になります。
　　　 ２０２３年８月の第３四分位数は \( 35.0^\circ C \) より大きいので，最高気温が \( 35.0^\circ C \) より高い日が
　　　 ８日以上あるといえます。

（２） Ｎ市の２０２３年８月の日ごとの最高気温を表しているヒストグラムと考えられるものを，
次のア～ウの中から１つ選び，その記号を書け。

（１） 球の取り出し方は全部で何通りあるか。

（２） \( x+y=5 \) となる確率を求めよ。

（３） \( x \) と \( y \) の積 \( xy \) の値が奇数となる確率を求めよ。

問３　「連続する４つの整数を小さい方から順に \( a，b，c，d \) とするとき，\( bc-ad \) の値はいつでも \( 2 \) になる」ことを文字 \( a \) を使って証明せよ。ただし，証明は「\( b，c，d \) をそれぞれ \( a \) を用いて表すと，」に続けて完成させること。

大問３

問２　関数 \( y=\dfrac{1}{2}x^2 \) について，\( x \) の変域が \( -2≦x≦4 \) のときの \( y \) の変域を求めよ。

問３　直線 \( AB \) の式を求めよ。

（２） \( x \) 軸上に点 \( P \) をとる。\( △ABC \) の面積と \( △ABP \) の面積が等しくなるとき，点 \( P \) の \( x \) 座標をすべて求めよ。

大問４

（２） おうぎ形 \( AOD \) の面積は何 \( cm^2 \) か。

（２） 線分 \( AD \) の長さは何 \( cm \) か。

（３） \( △ADC \) を，辺 \( AC \) を軸として１回転させてできる立体の体積は何 \( cm^3 \) か。

大問５

［場面１］
花子：似たような形の穴がたくさんあいているね。
太郎：１つ１つの穴の形は，正六角形に見えるよね。
先生：そうですね。ミツバチの巣は，複数の正六角柱の筒がすき間なく並んでいるような構造を
　　　しているのですよ。
花子：だから，１つ１つの穴の形は正六角形に見えるのですね。でも，正三角柱や正四角柱でも
　　　すき間なく並べることができそうですよね。
太郎：正五角柱でもすき間なく並べることができるのではないかな。少し考えてみようよ。
\( \phantom{　} \)
（数分後）
\( \phantom{　} \)
花子：私は，穴の形に着目して【メモ】のように考えてみました。

【メモ】
下の図のように，１種類の合同な正多角形をすき間なく重ならないように並べることができるのは，
１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるときである。
\( \phantom{　} \) \( \phantom{　} \)
正三角形，正方形，正六角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になるから，すき間なく重ならないように並べることができる。正五角形は１つの頂点に集まる内角の大きさの合計が 　（ア）　° になることはないので，すき間なく重ならないように並べることはできない。

先生：よく説明できましたね。実は，１種類の合同な正多角形で，すき間なく重ならないように
　　　並べることができる図形は，正三角形と正方形と正六角形しかないのですよ。

問１　　（ア）　 ～ 　（ウ）　 にあてはまる数を答えよ。ただし，同じ記号には同じ数が入る。

［場面２］
先生：正三角柱や正四角柱でもすき間なく並べることができるのに，なぜ正六角柱なのでしょうね。
花子：正六角柱が最も多くのハチミツを蓄えることができるからではないでしょうか。
太郎：私は，巣を作る材料が最も少なくてすむのが正六角柱なのではないかと考えます。
先生：それでは，先ほどの花子さんの考えと同じように穴の形に着目して平面で考えてみましょう。
　　　針金を巣の材料と見立てて考えてみてはどうですか。
花子：私は，同じ量の材料で，できるだけ大きな穴の形を作ることを考えてみようかな。
　　　同じ長さの針金を３本用意して，それぞれ針金１本を使って，正三角形，正方形，正六角形を作って
　　　面積を比較してみます。
太郎：それでは，私は，ミツバチが入る穴の形をできるだけ少ない材料で作ることを考えてみようかな。
　　　１匹のミツバチを円と考えて，その円をぴったり囲むことができる正三角形，正方形，正六角形を
　　　それぞれ針金で作って，その周の長さを比較してみます。
先生：よい考えですね。まずは，花子さんの考えについて，針金の長さを \( 6 \; cm \) として，
　　　花子さんのノートに書いてみてください。

先生：よくできましたね。それでは次に，針金の長さに関わらずいつでも同じことがいえるのかを
　　　調べるために，文字 \( a \) を使って針金の長さを表して，【花子さんのノート１】と同じように
　　　計算して比較することで，面積が最大となる図形を調べましょう。
　　　そのとき，針金の長さは正三角形，正方形，正六角形のいずれの図形でも，折り曲げたときの
　　　１辺の長さが（整数）\( \times a \; cm^2 \) となるように工夫して表しましょう。

（数分後）

先生：よくできましたね。次は，この結果からミツバチの巣についてどのようなことがいえるか
　　　考えてみてください。
花子：わかりました。
太郎：先生，私も自分の考えについてノートに書いてみます。周の長さを計算すると，どのような結果に
　　　なるか楽しみです。

問２　　（エ）　 ～ 　（コ）　 にあてはまる数を答えよ。

問３　　（サ）　 にあてはまることばを，次の１～３の中から１つ選び，その番号を書け。
　　　１　正三角形        ２　正方形           ３　正六角形

問４　［場面２］の下線部をもとに， 　（シ）　 にあてはまる数と 　（ス）　 にあてはまる説明を書き入れて【花子さんのノート２】を完成させよ。

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（１） \( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \)

（２） \( 2 \times (7-9) \)

（３） \( 7x+4y-(8x-5y) \)

（４） \( 8a^2b \div (-6ab)^2 \times 9b^3 \)

（５） \( (2x-3)^2+2(6x+5) \)

（６） \( \sqrt{10}+\sqrt{40} \)

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x+8=6x-1 \) を解きなさい。

（２） \( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。

１　\( n=10 \) のとき，１段目の１列目から１０段目の４列目まで記入したすべての数の和を求めなさい。

２　\( n \) を３の倍数から２引いた自然数とする。１段目の１列目から \( n \) 段目の４列目まで記入したすべての数の和を，\( n \) を使った式で表しなさい。

（７） あるタクシー会社の運賃は，タクシーに乗って移動した距離で決まる金額Ａと，タクシーの利用中に信号待ちや渋滞など，時速 \( 10 \; km \) 以下であった時間で決まる金額Ｂとを合計した金額である。タクシーに乗って移動した距離と金額Ａの関係は表１のとおりであり，\( 1100 \; m \) をこえると，\( 300 \; m \) ごとに \( 100 \) 円が加算される。また，時速 \( 10 \; km \) 以下であった時間と金額Ｂの関係は表２のとおりであり，\( 120 \) 秒をこえると，\( 120 \) 秒ごとに \( 100 \) 円が加算される。なお，消費税は考えないものとする。

１　この会社のタクシーに乗って \( x \; m \) 移動したときの金額Ａを \( y \) 円とする。\( 0<x≦2000 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適当なものを，下のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。ただし，グラフにおいて，端の点をふくむ場合は ●，ふくまない場合は ○ で表している。

２　次の 　Ｐ　 ～ 　Ｒ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。

この会社のタクシーに乗って \( 6300 \; m \) 移動したところ,金額Ａと金額Ｂの合計が \( 2900 \) 円であった。
このとき,金額Ａは 　Ｐ　 円であり,タクシーの利用中に時速 \( 10 \; km \) 以下であった時間は 　Ｑ　 秒を
こえて 　Ｒ　 秒までであったことがわかる。

大問３

ある高校の１年生が,ハンドボール投げの測定を行った。図１は，１組から３組のうちのある組について，\( 35 \) 人の測定結果をヒストグラムに表したものである。このヒストグラムでは，例えば，\( 4 \) ～ \( 8 \) の階級では，測定結果が \( 4 \; m \) 以上 \( 8 \; m \) 未満の人数が \( 2 \) 人であったことを表している。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，測定結果はすべて自然数である。

（１） 次は,図１のヒストグラムからいえることについて述べた文章である。　Ａ　，　Ｂ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。ただし，　Ｂ　 は小数第３位を四捨五入して答えなさい。

測定結果の最頻値は 　Ａ　 \( m \) である。また，\( 16 \; m \) 未満の人数の累積相対度数は 　Ｂ　 である。

（２） 図２は，１組，２組，３組の，それぞれ \( 35 \) 人の測定結果を箱ひげ図に表したものである。

ここで，１組の箱ひげ図が図１のヒストグラムに対応していないことは，次のように説明できる。

２組と３組の箱ひげ図のうち，図１のヒストグラムに対応していないのはどちらであると考えられるか，下のア，イから１つ選び，記号で答えなさい。また，そのように考えた理由を，「図１のヒストグラムで，」につづけてかきなさい。

　　　　 ア　２組 　　イ　３組

（３） 後日，図１のヒストグラムの \( 35 \) 人のデータのうちの１つが，\( 26 \; m \) ではなく \( 20 \; m \) であることがわかった。データの修正前と修正後で値が変わるものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　第１四分位数 　　イ　中央値 　　ウ　第３四分位数　　エ 四分位範囲 　　オ　平均値

大問４

（１） 辺 \( AD \) とねじれの位置にある辺を，次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　辺 \( AB \) 　　イ 辺 \( BF \) 　　ウ　辺 \( CD \) 　　エ　辺 \( EF \) 　　オ 辺 \( FG \)

（２） 辺 \( GH \) の長さを求めなさい。

１　\( △EFP \) の面積を求めなさい。

２　三角すい \( QEFP \) の体積を求めなさい。

大問５

（１） \( a \) の値を求めなさい。

（２） 直線 \( BC \) の式を求めなさい。

（３） 直線 \( BC \) と \( y \) 軸との交点を \( D \) とする。また，関数➁のグラフ上において，\( x \) 座標が \( 2 \) より大きい点 \( P \) をとる。
\( P \) の \( x \) 座標を \( t \) とするとき，

１　四角形 \( OCPD \) の面積を，\( t \) を使った式で表しなさい。

２　四角形 \( OCPD \) の面積が，\( △BAC \) の面積の２倍となるような \( t \) の値を求めなさい。

大問６

次は，大輔さんと美咲さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。会話文を読んで，あとの各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは，根号のついたままで答えること。

先生：今日は，コンピュータを使って図形の勉強をします。
　　　では，次の課題について考えてみましょう。

(課題)
図１は，線分 \( AB \) を直径とする半円であり，点 \( O \) は \( AB \) の中点である。\( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上に点 \( C \) を，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) の長さが \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) の長さより長くなるようにとる。点 \( D \) は \( C \) で半円と接する直線上にあり，\( AD//OC \) である。また，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) と線分 \( AD \) の交点を \( E \) とし，\( AD \) 上に点 \( F \) を，\( AF=AO \) となるようにとる。
このとき，\( △DFC \) と \( △EAB \) はどんな関係にあるか調べなさい。

先生：点 \( C \) を \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上のどこにとるかによって，３点 \( D，E，F \) の位置が変わり，\( △DFC \) と \( △EAB \)
　　　の形や大きさも変わります。\( C \) を \( \stackrel{\huge\frown}{ AB } \) 上で，\( \stackrel{\huge\frown}{ AC } \) の長さが \( \stackrel{\huge\frown}{ BC } \) の長さより長くなる条件で
　　　動かせるようにしたので，動かしてみてください。
大輔：先生，\( C \) の位置を変えてみたら，\( F \) が線分 \( DE \) 上ではなく，図２のように，線分 \( AE \) 上に
　　　とれました。
先生：そうですね。それでは，課題にある，\( △DFC \) と \( △EAB \) はどんな関係にありますか。
美咲：\( C \) の位置に関係なく，\( △DFC \) と \( △EAB \) は相似になりそうです。
先生：その通りです。では，相似になることを証明してみましょう。

（１） 下線部について，\( △DFC \) ∽ \( △EAB \) であることを証明しなさい。

【解答】

\( △DFC \) と \( △EAB \) において，
直径 \( AB \) に対する円周角なので，
　\( ∠AEB=90° \) ･･･ ➀
仮定より，直線 \( CD \) は，点 \( C \) における円 \( O \) の接線なので，
\( OC⊥CD \)
仮定より，\( AD//OC \) なので，\( AD⊥CD \) でもあり，
　\( ∠FDC=90° \) ･･･ ➁
➀➁より，
　\( ∠FDC=∠AEB \) ･･･ ➂
仮定より，\( AF=AO \) ･･･ ➃
円 \( O \) の半径なので，
　\( CO=AO \) ･･･ ➄
➃➄より，
　\( AF=CO \) ･･･ ⑥
さらに，\( AD//OC \) でもあることから，
四角形 \( AOCF \) はひし形（注）であり，
　\( FC//AB \)
ここから，同位角は等しいので，
　\( ∠DFC=∠EAB \) ･･･ ⑦
➂➆より，
２組の角がそれぞれ等しいので，
　\( △DFC \) ∽ \( △EAB \)

\( \phantom{　} \)

注：四角形ＡＯＣＦがひし形とわかる理由

\( △AOF \) と \( △CFO \) において，
仮定より，
　\( AF=CO \) ･･･ ➀
\( AD//OC \) より錯角は等しいので，
　\( ∠AFO=∠COF \) ･･･ ➁
辺 \( OF \) は共通 ･･･ ➂
➀➁➂より，
２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，
　\( △AOF≡△CFO \)
対応する辺は等しいので，\( AO=CF \)
よって，四角形 \( AOCF \) は４つの辺が
すべて等しいのでひし形といえます。

 

（２） 図２において，\( AB=9 \; cm，BC=3 \; cm \) のとき,

１　線分 \( DC \) の長さを求めなさい。

２　線分 \( EF \) の長さを求めなさい。

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（１） \( \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5} \)

（２） \( 2 \times (7-9) \)

（３） \( 7x+4y-(8x-5y) \)

（４） \( 8a^2b \div (-6ab)^2 \times 9b^3 \)

（５） \( (2x-3)^2+2(6x+5) \)

（６） \( \sqrt{10}+\sqrt{40} \)

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x+8=6x-1 \) を解きなさい。

（２） \( 2x^2-18 \) を因数分解しなさい。

１　\( n=11 \) のとき，１１段目に記入した数を，１列目から４列目まで順に書きなさい。

２　１段目の１列目から \( n \) 段目の４列目まで記入したすべての数の和が \( 35 \) であるとき，\( n \) の値を求めなさい。

（７） あるタクシー会社の運賃は，タクシーに乗って移動した距離に応じて下の表のように決まっており，\( 1100 \; m \) をこえると，\( 300 \; m \) ごとに \( 100 \) 円が加算される。なお，消費税は考えないものとする。

:                                                      :

１　この会社のタクシーに乗って \( 2500 \; m \) 移動したときの運賃はいくらになるか，求めなさい。

２　この会社のタクシーに乗って \( x \; m \) 移動したときの運賃を \( y \) 円とする。\( 0<x≦2000 \) のとき，\( x \) と \( y \) の関係を表したグラフとして最も適当なものを，下のア～エから１つ選び，記号で答えなさい。ただし，グラフにおいて，端の点をふくむ場合は ● ，ふくまない場合は 〇 で表している。

大問３

ある高校の１年生が,ハンドボール投げの測定を行った。図１は，１組から３組のうちのある組について，\( 35 \) 人の測定結果をヒストグラムに表したものである。このヒストグラムでは，例えば，\( 4 \) ～ \( 8 \) の階級では，測定結果が \( 4 \; m \) 以上 \( 8 \; m \) 未満の人数が \( 2 \) 人であったことを表している。
このとき，次の各問いに答えなさい。ただし，測定結果はすべて自然数である。

（１） 次は,図１のヒストグラムからいえることについて述べた文章である。　Ａ　，　Ｂ　 に当てはまる数を入れて，文章を完成しなさい。ただし，　Ｂ　 は小数第３位を四捨五入して答えなさい。

測定結果の最頻値は 　Ａ　 \( m \) である。また，\( 16 \; m \) 未満の人数の累積相対度数は 　Ｂ　 である。

（２） 図２は，１組，２組，３組の，それぞれ \( 35 \) 人の測定結果を箱ひげ図に表したものである。

ここで，１組の箱ひげ図が図１のヒストグラムに対応していないことは，次のように説明できる。

２組と３組の箱ひげ図のうち，図１のヒストグラムに対応していないのはどちらであると考えられるか，下のア，イから１つ選び，記号で答えなさい。また，そのように考えた理由を，「図１のヒストグラムで，」につづけてかきなさい。

　　　　 ア　２組 　　イ　３組

（３） 後日，図１のヒストグラムの \( 35 \) 人のデータのうちの１つが，\( 26 \; m \) ではなく \( 20 \; m \) であることがわかった。データの修正前と修正後で値が変わるものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　第１四分位数 　　イ　中央値 　　ウ　第３四分位数　　エ 四分位範囲 　　オ　平均値

大問４

（１） 辺 \( AD \) とねじれの位置にある辺を，次のア～オから２つ選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　辺 \( AB \) 　　イ 辺 \( BF \) 　　ウ　辺 \( CD \) 　　エ　辺 \( EF \) 　　オ 辺 \( FG \)

（２） 辺 \( GH \) の長さを求めなさい。

１　\( △EFP \) の面積を求めなさい。

２　三角すい \( QEFP \) の体積を求めなさい。

大問５

（１） \( a \) の値を求めなさい。

（２） 点 \( B \) の \( x \) 座標を求めなさい。

（３） 直線 \( AB \) の式を求めなさい。

（４） 関数➀のグラフ上において２点 \( O，A \) の間に点 \( P \) をとる。また，\( P \) を通り \( y \) 軸に平行な直線と直線 \( AB \) との交点を \( Q \) とする。
\( PQ=\dfrac{5}{2} \) となるときの \( P \) の座標を求めなさい。

大問６

次は，大輔さんと美咲さんが，数学の授業で先生と会話をしている場面である。会話文を読んで，あとの各問いに答えなさい。ただし，根号がつくときは,根号のついたままで答えること。

先生：今日は，コンピュータを使って図形の勉強をします。
　　　では，次の課題について考えてみましょう。

(課題)
図１は，\( ∠ACB=90° \) の直角三角形 \( ABC \) である。点 \( D \) は辺 \( BC \) 上にあり，２点 \( E，F \) はそれぞれ辺 \( AB \) 上，辺 \( AC \) 上にあって，四角形 \( EDCF \) は長方形である。また，点 \( G \) は辺 \( AC \) 上にあって，四角形 \( EDGA \) は平行四辺形である。
このとき，\( △AEF \) と \( △GDC \) はどんな関係にあるか調べなさい。
\( \phantom{　} \)

先生：点 \( D \) が辺 \( BC \) 上のどこにあるかによって，３点 \( E，F，G \) の位置が変わり，\( △AEF \) と
　　　\( △GDC \) の大きさも変わります。\( D \) を \( BC \) 上で動かせるようにしたので，動かしてみてください。
大輔：先生，\( D \) の位置を変えてみたら，図２のように，線分 \( EF \) と線分 \( DG \) が交わりました。
美咲：\( BD>DC \) のとき，図１のように \( EF \) と \( DG \) は交わらず，\( BD<DC \) のとき，
　　　図２のように \( EF \) と \( DG \) は交わるようです。
大輔：\( BD=DC \) のときは， \( F \) と \( G \) は同じ位置になりそうです。
先生：そうですね。それでは，課題にある，\( △AEF \) と \( △GDC \) はどんな関係にありますか。
美咲：\( D \) の位置に関係なく，\( △AEF \) と \( △GDC \) は合同になりそうです。
先生：その通りです。では，合同になることを証明してみましょう。

（１） 下線部について，\( △AEF≡△GDC \) であることを証明しなさい。

（２） 図２において，\( EF \) と \( DG \) の交点を \( H \) とする。\( AC=4 \; cm，BC=8 \; cm，BD=2 \; cm \) のとき，線分 \( GH \) の長さを求めなさい。

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大問１

（１） \( 3+(-7) \) を計算しなさい。

（２） \( \dfrac{4}{3} \div \left( -\dfrac{5}{12} \right) \) を計算しなさい。

（３） \( x \) 枚の折り紙を，１人に \( 10 \) 枚ずつ \( y \) 人に配ると \( 4 \) 枚余る。このときの数量の関係を等式に表しなさい。

（４） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
4x+7y=-2 \\
3x-2y=13 \\
\end{array} \right.  \) を解きなさい。

（５） \( a=15，b=6 \) のとき，次の式の値を求めなさい。
　　　　\( a^2-4ab+4b^2 \)

（６） ２つのさいころを同時に投げるとき，次のアとイでは，どちらの方が起こりやすいといえますか。起こりやすい方の記号と確率を答えなさい。
ただし，２つのさいころの１から６の目は，どの目が出ることも同様に確からしいとする。

　　　　ア　出る目の数の和が \( 6 \) である
　　　　イ　出る目の数の積が \( 6 \) である

（７） 右の図は，ある地域の２０１０年３月と２０２４年３月の日平均気温をもとに，横軸を気温，縦軸を相対度数として度数分布多角形に表したものである。
これらの度数分布多角形から，「日平均気温は，２０１０年３月より２０２４年３月の方が高い傾向にある」と主張することができる。このように主張することができる理由を，２つの度数分布多角形の特徴を比較して説明しなさい。

大問２

１　次のア～エの立体について，回転体とみることができないものを１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　円柱 　　イ　四角柱 　　ウ　円錐 　　エ　球

（２） 体積を求めなさい。

大問３

１　浩太さんは，図Ⅰのように，ア～ウの正方形で４つの整数を囲んだ。次の【会話Ⅰ】は，それぞれの整数の和について，陽香さんと話し合っている場面である。【会話Ⅰ】の下線部について，後の（１），（２）の問いに答えなさい。

【会話Ⅰ】
浩太：アの正方形は，４つの整数が \( 1，2，8，9 \) だから，その和は \( 1+2+8+9=20 \) だね。
陽香：同じように考えると，イの整数の和は \( 32 \) で，ウの整数の和は \( 108 \) だから，正方形で囲まれた
　　　４つの整数の和は，偶数になると予想できるね。
浩太：確かにそうだけど，アは \( 20=4 \times 5 \)，イは \( 32=4 \times 8 \) と表されるから，\( 4 \) の倍数になると
　　　予想することもできるよ。
陽香：なるほど。『正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数である』ことを，文字式を使って説明
　　　してみよう。

（１） 下線部①について，浩太さんは，ウの正方形のときも，囲まれた４つの整数の和が \( 4 \) の倍数になることを次のように確かめた。□に当てはまる式を答えなさい。
　　　　 \( 23+24+30+31=108=\boxed{　　} \)

（２） 下線部②について，陽香さんは，予想が正しいことを説明するための手順を考え，次の【説明Ⅰ】を完成させた。【説明Ⅰ】の矢印( → ) で示された部分に用いた手順として，最も適切なものを，下のア～オから１つ選び，記号で答えなさい。

　　ア　４つの整数の和を式で表し，計算する。
　　イ　共通因数をくくり出し，因数分解する。
　　ウ　計算した式の意味を読みとって，結論を導く。
　　エ　\( 4 \) の倍数であることを示すために，計算結果を変形する。
　　オ　\( n \) を自然数として，４つの整数をそれぞれ文字式で表す。

２ 【説明Ⅰ】の \( 4(n+4) \) という式から，正方形で囲まれた４つの整数の和について，\( 4 \) の倍数であることのほかに，どんなことがいえるか考えた。次の【会話Ⅱ】は，２人が話し合っている場面である。

【会話Ⅱ】
浩太：\( 4(n+4) \) は，\( (n+4) \) の \( 4 \) 倍ということだよね。\( (n+4) \) は，何を表しているのかな。
陽香：【説明Ⅰ】の４つの整数の中に, \( (n+4) \) はないね。図Ⅰのアの正方形で考えてみよう。
　　　アの正方形は  だね。\( 20=4 \times 5 \) の \( 5 \) は，どこかに隠れていないかな。
浩太：見つけたよ。 をみて! \( 5 \) は左上の数 \( 1 \) と右下の数 \( 9 \) の和の半分になっているよね。
　　　右上の数 \( 2 \) と左下の数 \( 8 \) のときも，和の半分は \( 5 \) になるよ。
陽香：すごい。浩太さんの考えを文字式を使って整理すると， と表されるから，
　　　● に入る式は \( (n+4) \) になるのかな。
浩太：文字式を計算して確かめると，左上の数と右下の数の和の半分は \( (n+4) \) になるね。
陽香：同じように，右上の数 \( (n+1) \) と左下の数 \( (n+7) \) の和の半分も \( (n+4) \) になるよ。
浩太：正方形で囲まれた４つの整数の和は，\( 4 \) の倍数であることだけでなく，『正方形の真ん中に
　　　ある数 ● の \( 4 \) 倍である』こともいえるね。

【会話Ⅱ】の下線部について，右上の数と左下の数の和の半分が \( (n+4) \) になることを示す計算をかきなさい。
ただし，計算の過程では，\( (n+1) \) と \( (n+7) \) の両方の文字式を用いること。

この【予想】が正しいことを文字式を使って説明した。下の【説明Ⅱ】の 　➀　 ～ 　➂　 に当てはまる式を答えなさい。また，　④　 をうめて，【説明Ⅱ】を完成させなさい。
ただし，図Ⅱのように，正方形で５つの整数を囲むとき，四すみにある４つの整数は，上，左，右，下の数を，それぞれ \( 2，8，10，16 \) とする。また，真ん中にある数は \( 9 \) とする。

大問４

志帆さんと直樹さんは，タブレット端末のソフトを使って，グラフを作成している。図Ⅰは，ソフトの【機能】を用いて，関数 \( y=x^2 \) のグラフを表示したものである。
このとき，後の１，２の問いに答えなさい。

【機能】
・ 関数を選び，\( \boxed{　　　} \) に値を入力すると，グラフが表示される。
・ 文字の値は を使って変えることができる。
　 ボタン (●) を左に動かすと値はだんだん小さくなり，
　 右に動かすとだんだん大きくなる。
・ 複数のグラフを作成し，同時に表示することができる。

１　【会話Ⅰ】は，関数 \( y=ax^2 \) と関数 \( y=bx+c \) のグラフについて，\( a，b，c \) の値によってグラフがどのように変化するかを，２人が調べている場面である。　①　 ～ 　➂　 に当てはまるグラフの変化として正しいものを，後のア～カから１つずつ選び，それぞれ記号で答えなさい。
ただし，変化する前のグラフを薄い線 (－)，変化した後のグラフを濃い線 (－) で表している。

【会話Ⅰ】
志帆：図Ⅰは，\( y=ax^2 \) を選んで \( a \) に \( 1 \) を入力したから，\( y=x^2 \) のグラフが表示されているね。
　　　\( a \) のボタン (●) を動かすと，グラフの開き方がどのように変わるのかな。
直樹：\( a \) のボタンを右に動かすと，\( a \) の値は \( 1 \) より大きくなって，グラフは 　①　 のように変化したよ。
　　　\( y=bx+c \) のグラフではどうかな。
志帆：\( b \) に \( -1 \), \( c \) に \( 6 \) を入力すると，\( y=-x+6 \) のグラフができるよ。\( b=-1 \) と \( c=6 \) の
　　　状態から，どちらか一方のボタンを動かして，グラフの変化を調べてみようよ。
直樹：\( b \) の値は変えずに，\( c \) のボタンを \( 0 \) に合わせると，グラフは 　➁　 のように変化し，\( c \) の値は
　　　変えずに，\( b \) のボタンを \( 0 \) に合わせると，グラフは 　➂　 のように変化するね。

【解説】

　➀　 ･･･ \( y=ax^2 \; (a>0) \) のグラフでは，\( a \) の値が大きくなるほどグラフの開きは小さくなります。
　　　　　 例として，\( y=x^2 \) と \( y=2x^2 \) のグラフを考えると下の図のようになります。

　➁　 ･･･ \( y=bx+c \) に \( b=-1，c=0 \) を代入すると，\( y=-x \) なので，
　　　　　 グラフは下の図のようになります。

　➂　 ･･･ \( y=bx+c \) に \( b=0，c=6 \) を代入すると，\( y=6 \) なので，
　　　　　 グラフは下の図のようになります。

２　図Ⅱは，関数 \( y=x^2 \) ･･･ ❶ と関数 \( y=-x+6 \) ･･･ ❷ と \( x=t \) のグラフを同時に表示し，点 \( A，B，P，Q，R \) を，次の【設定】にしたがって定めたものである。下の【会話Ⅱ】は，\( t \) の値によって変化する点や図形について，２人が調べている場面である。
このとき，後の（１）～（３）の問いに答えなさい。

【会話Ⅱ】
直樹：\( t \) に \( -2 \) を入力すると，点 \( Q \) の座標は 　➃　 になったよ。
　　　このとき，点 \( P \) は線分 \( QR \) の中点になるね。\( t \) の値を少しずつ大きくしてみよう。
志帆：\( t=0 \) のときは，点 \( P \) は原点 \( O \) と重なるね。
　　　このとき，\( △APB \) の面積は 　➄　 になるね。
直樹：ほら見て。点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるときが，もう１つあったよ。
志帆：本当だね。そのときの \( t \) の値は，\( t= \) 　⑥　 だね。

（１） 【会話Ⅱ】の 　➃　 に当てはまる座標を答えなさい。

（２） 【会話Ⅱ】の 　➄　 ，　⑥　 に当てはまる数をそれぞれ求めなさい。

（３） \( △APB \) について，正しく述べているものを，次のア～オからすべて選び，記号で答えなさい。

　　　　 ア　\( t=0 \) のとき，\( △APB \) は \( ∠B=90° \) の直角三角形である。
　　　　 イ　\( t=0 \) のとき，\( △APB \) の面積は，\( y \) 軸によって二等分される。
　　　　 ウ　\( t=-1 \) と \( t=0 \) のときの \( △APB \) の面積は等しい。
　　　　 エ　点 \( P \) が線分 \( QR \) の中点になるとき，\( △APB \) の面積は，\( △ARB \) の面積の \( \dfrac{1}{2} \) 倍である。
　　　　 オ　\( t \) の値が変わると，\( △APB \) の３つの辺は，すべて長さが変わる。

大問５

１　\( ∠BCD=110° \) のとき，\( ∠ABD \) の大きさを求めなさい。

２　\( △APB \) ∽ \( △CPD \) であることを証明しなさい。

（１） \( BP：PQ \) を求めなさい。

（２） \( PQ=2 \; cm  \) のとき，\( BQ，BC \) と \( \stackrel{\huge\frown}{ QC } \) で囲まれた部分( 　　　 ) の面積を求めなさい。
ただし，円周率は \( \pi{} \) とする。

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（１） \( 4-11 \)

（２） \( (-10) \div \dfrac{2}{5} \)

（３） \( (-2.3)+4.1 \) （小数で答えなさい）

（４） \( 3\sqrt{6} \div \sqrt{2} \)

（５） \( 3a \times (-2b)^2 \)

（６） \( -(5x-y)+2(x+2y) \)

大問２

（１） 一次方程式 \( 5x-2=3x+4 \) の解は，\( x= \) 　　　 である。

（２） 連立方程式 \( \left\{ \begin{array}{}
3x+2y=-2 \\
x-y=6 \\
\end{array} \right. \) の解は，\( x= \) 　　　 ，\( y= \) 　　　 である。

（３） \( (x-2y)(x+2y) \) を展開して整理すると， 　　　 である。

（４） \( 3ax^2-2ax \) を因数分解すると， 　　　 である。

（５） 二次方程式 \( 3x^2-5x+1=0 \) の解は，\( x= \) 　　　 である。

（６） \( \sqrt{2} \) と \( \dfrac{3}{2} \) の大小関係を式で表すと， 　　　 である。次のア～ウのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　 ア　 \( \sqrt{2}=\dfrac{3}{2} \) 　　　イ　 \( \sqrt{2}<\dfrac{3}{2} \) 　　　ウ　 \( \sqrt{2}>\dfrac{3}{2} \)

（８） ある中学校の生徒６人が砲丸投げを行ったところ，下のような結果になった。この６人の砲丸投げの記録の中央値は， 　　　 \( m \) である。

　　　 ［記録］ \( \boxed{　8，7，4，5，4，9 \;\;\;\; (m)　} \)

（９） あるアルミ工場で製造した製品から \( 200 \) 個を無作為に抽出して検査をすると，不良品の割合が \( 0.03 \) と推定された。この工場で製造された製品 \( 8000 \) 個に含まれる不良品は，およそ 　　　 個であると推定される。次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　 ア　\( 240 \) 　　　イ　\( 600 \) 　　　ウ　\( 1200 \) 　　　エ　 \( 2400 \)

大問３

下の図は，２０１７年度，２０１８年度，２０２２年度，２０２３年度について，沖縄県入域観光客数（国内）の月ごとの人数をそれぞれ１２か月分調べ,箱ひげ図にまとめたものである。
ただし，沖縄県入域観光客数（国内）とは，沖縄県在住者を除く，沖縄県を訪れた国内客の人数のことである。また，月ごとの人数は千の位を四捨五入しており，単位は万人である。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　２０１８年度のデータについて，第３四分位数を答えなさい。

【解説】

第３四分位数を表すのは箱の右端部分にあたる値です。

問２　図から読み取れることとして，必ず正しいといえるものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。

　　　ア　２０１７年度よりも２０１８年度の方が，データの四分位範囲が大きい。
　　　イ　４つの年度のうち，データの平均値が最も大きいのは，２０１８年度である。
　　　ウ　沖縄県入域観光客数 (国内) が \( 52 \) 万人以下の月は，２０２２年度よりも２０１８年度の方が
　　　　　多い。
　　　エ　２０２３年度において，沖縄県入域観光客数 (国内)が \( 60 \) 万人以上の月は，６か月以上ある。

問３　２０２３年度の箱ひげ図と同じデータを使ってまとめたヒストグラムとして最も適するものを，次のア～エのうちから１つ選び，記号で答えなさい。なお，\( 50 \) 万人以上 \( 52 \) 万人未満，\( 52 \) 万人以上 \( 54 \) 万人未満のように，階級の幅はいずれも \( 2 \) 万人である。

大問４

例えば，さいころを２回投げるとき，１回目に \( 1 \) の目が出たら，点 \( P \) は頂点 \( A \) から頂点 \( B \) に移動し，さらに２回目に \( 2 \) の目が出たら，点 \( P \) は頂点 \( B \) から頂点 \( C \) を通って頂点 \( D \) に移動する。
このとき，次の各問いに答えなさい。
ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

問１　さいころを１回投げて，点 \( P \) が頂点 \( D \) の位置にある確率を求めなさい。

問２　さいころを１回投げて，点 \( P \) が頂点 \( B \) の位置にある確率を求めなさい。

問３　さいころを２回投げて，点 \( P \) が頂点 \( B \) の位置にある確率を求めなさい。

大問５

下の図は，学校の体育館でシートの上に椅子を並べている様子である。椅子の前脚から後脚までの幅は \( 50 \; cm \) であり，椅子と椅子の間隔を \( a \; cm \) 空けて規則的に椅子を並べていく。はじめにシートの先端から \( 10 \; cm \) 空けて最初の椅子を置き，最後の椅子を置いたときに，椅子の後脚がちょうどシートの端にくるように，椅子を並べるものとする。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　下の表は，\( a=40 \) のときの椅子の数と椅子を並べるのに必要なシートの長さの関係を示した表の一部である。
このとき，下の表の \( \boxed{　　　} \) にあてはまる最も適する数を答えなさい。

【解説】

前の椅子の後脚から次の椅子の後脚までの距離は \( 40+50=90 \; (cm) \) になるので，
　椅子を \( 3 \) 脚並べるのに必要なシートの長さは \( 150+90=240 \; (cm) \)
　椅子を \( 4 \) 脚並べるのに必要なシートの長さは \( 240+90=330 \; (cm) \)
になります。

問２　\( a=40 \) とする。椅子の数を \( x \) 脚，椅子を並べるのに必要なシートの長さを \( y \; cm \) としたとき，\( y \) を \( x \) の式で表しなさい。

問３　長さ \( 3180 \; cm \) のシートに \( 40 \) 脚の椅子を並べるとき，\( a \) の値を求めなさい。

【解説】

図から，椅子の数を増やしていったときの必要なシートの長さを表にして書き出すと，

となり，必要なシートの長さは，
　椅子が \( 2 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 1 \; (cm) \)
　椅子が \( 3 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 2 \; (cm) \)
　椅子が \( 4 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 3 \; (cm) \)
　　　･･･
　椅子が \( 40 \) 脚のとき ･･･ \( 60+(a+50) \times 39 \; (cm) \)
となります。

よって，\( 40 \) 脚の椅子を並べるときに必要なシートの長さが \( 3180 \; cm \) であるとき，
　\( 60+(a+50) \times 39=3180 \)
　　　 \( (a+50) \times 39=3120 \)
　　　　　　　\( a+50=80 \)
　　　　　　　　　　\( a=30 \)

大問６

大問７

雄太さんと桃子さんは,次の【宿題】について考えた。下の【会話】は，２人が話し合っている場面である。

【会話】
　雄太：点 \( A \) の座標は \( A(-2， \)　　ア　　 \( ) \) になるね。同じように点 \( B \) の座標もわかるね。
　桃子：２点の座標がわかったから，２点 \( A，B \) を通る直線の式が，\( y= \) 　　イ　　 であることが
　　　　求められたよ。
　雄太：直線の式がわかったから，\( △ABC \) の面積が 　　ウ　　 \( cm^2 \) になることがわかるね。
　桃子：点 \( P \) の座標を求めるためには \( △ABC \) の底辺を線分 \( AB \) としたときに，\( △ABC \) の高さと
　　　　\( △ABP \) の高さが同じになるような点 \( P \) を \( x \) 軸上にとればよさそうだね。
　雄太：点 \( C \) を通り直線 \( AB \) と平行な直線を使えば，点 \( P \) の座標が求められるね。
　桃子：そうだね。点 \( C \) のほかにも \( y \) 軸上に点 \( D \) をとって，\( △ABC \) の面積と \( △ABD \) の面積が
　　　　等しくなるようにできるね。点 \( D \) を通り直線 \( AB \) と平行な直線を利用することでも
　　　　問題の条件を満たす点 \( P \) が \( x \) 軸上にとれるから，宿題の答えとなる点 \( P \) は２点あるという
　　　　ことだね。

このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　　　ア　　 にあてはまる最も適する数を答えなさい。

問２　　　イ　　 にあてはまる最も適する式を答えなさい。

問３　　　ウ　　 にあてはまる最も適する数を答えなさい。

問４　\( △ABC \) と \( △ABP \) の面積が等しくなるような \( x \) 軸上の点 \( P \) の座標を２つ求めなさい。

大問８

下の図のように，４点 \( A，B，C，D \) を円 \( O \) の円周上にとる。線分 \( AB \) は円 \( O \) の直径であり，線分 \( BD \) 上に \( AD//EC \) となる点 \( E \) をとり，線分 \( AC \) と線分 \( BD \) の交点を \( F \) とする。
また，\( AD=6 \; cm，AF=3\sqrt{5} \; cm，BE=6 \; cm \) とする。
このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　線分 \( DF \) の長さを求めなさい。

問２　\( △ADF \) ∽ \( △CEF \) となることを証明しなさい。

問３　\( △ABD \) の面積を求めなさい。

大問９

２点 \( P，Q \) が重なる点を \( R \) とし，この立方体を３点 \( B，E，R \) を通る平面で切り，頂点 \( F \) を含む立体を \( S \) とする。
このとき，次の各問いに答えなさい。

（１） ２点 \( P，Q \) が重なるのは出発して何秒後か求めなさい。

（２） 立体 \( S \) の体積を求めなさい。

（３） 立体 \( S \) において，\( △BER \) を底面としたときの高さを求めなさい。

大問１０

下の図１のように並べられた○の中に，次の規則にしたがって数を記入する。

下の図２は，\( a=1，b=2 \) として，規則にしたがって数を３段目まで記入したときの様子である。

このとき，次の各問いに答えなさい。

問１　\( a=1，b=2 \) のとき，４段目に記入される５個の数を左から順に答えなさい。

【解説】

真美さんは \( a，b \) を様々な値に変えて１段目から４段目まで数を記入し，その結果を考察して，次のように予想した。

真美さんは，まず予想１が成り立つことを次のように説明した。

予想１の説明
１段目の２個の数を \( a，b \) とすると，その和は \( a+b \)
２段目の３個の数を a と b を用いて左から順に表すと \( a，a+b，b \)
その和は \( a+(a+b)+b=2a+2b=2(a+b) \)
よって，２段目の３個の数の和は，１段目の２個の数の和の２倍となる。

次に，予想２が成り立つことを次のように説明した。

予想２の説明
１段目の２個の数を \( a，b \) とすると，その和は \( a+b \)
３段目の４個の数を \( a \) と \( b \) を用いて左から順に表すと \( a \)，　ア　，　イ　，\( b \)
その和は \( a+( \) 　ア　 \( )+( \) 　イ　 \( )+b=4a+4b=4(a+b) \)
よって，３段目の４個の数の和は，１段目の２個の数の和の４倍となる。

問２　上の 　ア　，　イ　 にそれぞれあてはまる最も適する式を答え，真美さんの予想２の説明を完成しなさい。ただし，式は同じ文字の項をまとめ，最も簡単な形で表すこと。

【解説】

問３　予想３が成り立つことを，１段目の２個の数を \( a，b \) とし，４段目の５個の数を \( a \) と \( b \) を用いて表すことによって説明しなさい。

【解説】

問４　\( a=18，b=32 \) のとき，１段目から４段目までの○の中に記入された１４個の数の和を求めなさい。

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（１）（ア）〜（エ）の計算をしなさい。

　　　（ア） \( 3-(-5) \)

　　　（イ） \( 2(x+3y)-5(2x+y) \)

　　　（ウ） \( 18x^2y \div (-12xy) \)

　　　（エ） \( (\sqrt{5}-\sqrt{2}) (\sqrt{5}+\sqrt{2}) \)

（２） \( x^2y-6xy \) を因数分解しなさい。

（３） 二次方程式 \( x^2-x-1=0 \) を解きなさい。

（４） 下の図のような三角すいの体積を求めなさい。

（５） 下の図のような線分 \( AB \) がある。線分 \( AB \) の垂直二等分線を作図しなさい。
ただし，作図には定規とコンパスを用い，作図に用いた線は消さずに残しておくこと。

（６） 下の図のように，異なる５点 \( A，B，C，D，E \) が同じ円周上にあり，\( AE//BD \) である。このとき， \( ∠BDC \) の大きさを求めなさい。

大問２

（１） ある学校の生徒，職員から５人を選び，年齢順に若い方からＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとする。５人の年齢の中央値は \( 30 \) 歳である。【Ａの年齢を \( 3 \) 倍し \( 2 \) を加えると，Ｄの年齢と等しくなる】。また，ＢとＥの年齢の和は \( 78 \) 歳であり，５人の年齢の平均値はちょうど \( 34 \) 歳である。
このとき，(ア)～(ウ)の各問いに答えなさい。

(ア) Ｃの年齢を答えなさい。

(イ) Ａの年齢を \( x \) 歳，Ｄの年齢を \( y \) 歳とする。このとき，\( x、y \) を用いて【　　】部の関係を等式に表しなさい。

(ウ) ＡとＤの年齢を答えなさい。

（２） 下の図のように，\( AB=15 \; cm，AC=BC \) の直角二等辺三角形 \( ABC \) があり，辺 \( AC \) 上に点 \( D \)，辺 \( BC \) 上に点 \( E \) を，\( AB//DE \) となるようにとる。また，頂点 \( C \) を通る直線 \( AB \) の垂線をひき，その垂線と２つの線分 \( AB，DE \) との交点をそれぞれ \( F，G \) とする。
このとき，（ア）～（ウ）の各問いに答えなさい。

（ア） 線分 \( CF \) の長さを求めなさい。

（イ） 線分 \( FG \) の長さを \( x \; cm \) とするとき，線分 \( DE \) の長さを \( x \) を用いて表しなさい。

（ウ） 四角形 \( ABED \) の面積が \( 36 \; cm^2 \) であるとき，線分 \( FG \) の長さを求めなさい。
ただし、線分 \( FG \) の長さを \( x \; cm \) として，\( x \) についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

大問３

（１） 点 \( A \) の \( y \) 座標を求めなさい。

（２） ２点 \( A，B \) を通る直線の傾きを求めなさい。

（３） 直線 ℓ の式を求めなさい。

（４） 点 \( C \) の座標を求めなさい。